Численно-аналитические методы исследования решений двухточечных краевых задач с параметрами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

^ УН1ВЕРСИТЕТ \м. ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

- 8 М1Р

^ правах рукопису /ДК 517. 927. 4

КОРОЛЬ 1гор 1ванович

ЧИСЕЛЬНО-АНАЛНИЧН! МЕТОДИ ДОСЛ1ДЖЕННЯ

РОЗЗЯЗК1В ДВОТОЧКОВИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ 3 ПАРАМЕТРАМИ

01. 01, 02 — диференц1альж р1вняння

АВТОРЕФЕРАТ

Дисертацп на здобуття наукового ступеня кандидата ф1зико-математичних наук

КИТВ — 1996

Дисерташао с рукопис

Робота виконана на кафецр1 диференшальних piвнянь та матсматнчно! фЬихи Ужгородського державного ун1верснтету

Наукоа! кер!ввики: доктор ф!зико—математичних наук

ТОНТО М.Й.

кандидат ф1зихо-математичннх наук, доцент МАРИНЕЦЬ В.В.

ОфМйш оповести: доктор ф1зико-математнчних нате, професор

МАРТИНЮК ДЛ.

кандидат ф^зико-математичних наук, доцент ОРДИНСЬКА З.П.

Провиша уставовш Чершвецький державний университет

Зяхист в1пбудетъся -21ы ИЯ 1996 р. о 14 год.

на засшанш спешашзованоУ ради К 01.01.21 при Кшвському уншсрснтсп ¿м.Тараса Шевченка за адресою:

252127. м. Ки1в-127, пр. Глушкова. 6, корпус механисо-матеиатичного факультету, ауд. 42.

3 дисерташао можна ознайомитнся в б)блютеш Кшвського унтереитету за адресою: м. Киш, вул. Володимнрська. 58.

Автореферат разослано 1996 року

Вчений секретар спецшпзовано! ради КУРЧЕНКО О.О.

ЗАГЛЛЬНА ХАРАКТЕпХТШ РС30711

Актуальн1сть теш. При досл1дненн! р1зного роду процвс1з часто приходять до математичнш моделей у бигляд1 крайових задач для звичайшх диферешЦальних р1внянь. ЦеЁ факт 1 послужив стимулом бурхливого розвнтку сучаско! теорП крайоЕнх задач. Достатньо поз-но ВИВЧ8Н1 р1зн1 метода,, як! дозволяють досл!даувати питания 1сяу-вання та единост! розв'язк!в, 1х наблизено! побудови. Цшл проблемам присЕячен! робота Н.В.Азбелева. Г.М.Вейя1кко, £.О.Гребен1кова, 1.Т.К1гурадзэ. М.О.Красносэльського. А.Я..1еп1на, ДЛ.Перовз. а такоя представник!в ки1веько1 математично! школп - Ю.О.Мнтрополь-ського. А.М.Самойленка, М.О.Перестша, О.А.БоЗчука, А.Ю.Лучки. Д.I.Мартиника, М.Й.Ронто та 1нших.

На сьогодн1шн1й день теор1я крайових задач волод1е потухнем арсеналом анал1тичних, фуккц1ональна-акал.1тичшх, чпсельнях та чис9льн0-а!!ал1т11чних кетод1в. Остачн! еид1ляяться з-есм1е 1бенх

ш

своею конструктивности як на етап! визчення таких вахишнх шггань як Юнування розв'язк1в, зб1кн!сть наблпкэаих розв'язк!з до точшх та при одеряанн1 зручних для практики оц1яок зб1жвост1, так 1 при пооудов1 наояпзених розв'язк1в.

Серед сучасних засо01в досл!даэкня нелШЯнлх крэйознх задач широко застосування отрпмав чисельно-анал1тичниа .метод послЛдошах ааблкжень, залропонований А.М.СачоЕлвнкад.

При дссл1д::знн1 проблем теорИ автоматичного рзгулхззнЕЯ, з 1НЕИХ праиадних гзлузях прнродознавства часто зустр1чаэтьсз крз-Яоз! задач1 з парамэтрзш. Ваглив1 результата в цьсму капряссу одерхан! в працях А.М.СаиоЯлекка, Г.а.Гсчз, А.З.Шезка, Н.С.Кур-пеля.А.Ю.Лучкн, А.Г.Марусяка,- З.А.Рсзнто, М.Й.Ронто. РЛ.Ссбкснзчз.

Але. незвахзвча на значну к1льк!сть роб1т, патання 1сзузгнн.= та побудови розв'язк1в краЗовлх задач з параметрами розглянут1 на

1

б покпй м1р1. Тому актуальною е проблема иолщрення 1.подальвого розштку конструктивная метод!в досл1даення крайових задач для систем звичайних диферевц1альних р1внянь. коли параметра входять 1 в р1вняння, 1 в крайов! умови. '

Ыета робота - узагальнення чисельно-анал1тичного методу лосл1-довних наближень 1 його пошрення на досл!дкення систем звичайних диференщалышх р1внянь першого та другого порядк!в, коли 1 р1в-няння, 1 крайов1 умови м1стять параметр!.

Ыетоди досл1даення базуються на 1деях чисельно-анал1тичного методу посл1довшх наближень, запропонованого А.М.Самойленком.

Наукова новизна результаПв робота:

-узагальнено чисельно-анал1тичний метод послЛдовних наближень на вшадок нел!н1йних систем диференц1альних р!внянь першого порядку з параметрами, як нормального вигляду, ' так 1 частково роз-в'язаних в1дносно пох1дно1, Мдпорядкованих двоточковим крайовэд умовам з параметром:

-обгрунтовано застосування методу лоел1довних наближень для систем нел1н1йних диференц1альних р1внянь другого порядку з двото-чковими крайовими умовами, коли 1 в р1вняння, 1 в крайов1 умови входять параметри;

-отримано необх1дн1 та достатн1 умови Юнування розв'язку на-ведених вшце крайових задач, вказано ефектавн! алгоритми знаход-хення набликених розв'язк1в, оц1нено 1х похибку.

Теоретична та практична ц1нн1сть дисертацИ полягае в тому, що одеркан1 результата узагальнюють 1 розширюють попередн1 дослЮТен-ня в як1сн1й теорИ крайових задач. Запропонован1 алгоритми побу-дови розв'язк1в мокуть бути застосован1 до розв'язання прикладних задач науки 1 техн1ки, як1 зводяться до нел1н1йних крайових задач.

Апробац1я робота. 0сновн1 результата роботи допов1далися на сем1нар1 кафе при 1нтегральних та диференц1алышх р1внянь Швсько-

г

го ун1верситету 1м.Тараса Шевченка (кер1вники - академ1к А.М.Само-йленко, професор М.О.Порестюк), на Всеукра1нськ1й науков!й конфе-ренд11 "Нов! Шхсда до розв'язання диференц1алышх рШшнь" (м. Дрогобич, 1994 р.), на кокференцИ "Нел1н1йн1 крайов1 задач1 математично! ф1зини та 1х застосування" (м. Терноп1ль, 1994 р.), на Всеукра1нськ1й науков1й конференц11 "Розробка та застосування математичних метод!в в яауково-техв1чних дослШеннях" (м. Льв1в. 1995 р.) на п1дсумкових наукових конференц1ях ггрофесорсько-викла-дацького складу математичного факультету Ужгородського державного ун!верситету (1994, 1995 рр.).

Публ1кац11. По тем1 дисертацП опубл1ковано 7 наукоЕях роС1т, список яких наведено в к1нц1 автореферату.

Об'ей та структура роботи. ДисертаЩя складзеться з вступу, трьох роздШв, висновк1в тз сш:ску л1тературя, якай над1чуе 123 найменуваяня. Загальний обсяг роботи - 117 стор1нок.

З'ЛСТ Р050ТИ

У першому розд!л! "Двоточков1 крайов1 задач1 з параметрами для систем диференц1альних р1внянь першого порядку", до якого вхо-дять §§ 1-5, 1де1 ч);сельно-анал1тичного методу посл1довких нзблл-жень потарюються на нел1н1йн1 система звичайних дафбрекц1альки р1внянь з скалярним параметром вигляду

з двоточкевиш крайсЕнмп умовачи, як1 тез и!стять сяаллртглй параметр:

Ах(О) + уЕг(Г) = а, О (2;

Тут й - вектор, а г./ - вектор-функШ з л-шш1р;сму «2x.il-довсму простор1 Е , пгЗ. г . г„ - педз! дз! хооплгнатз век-

з

тора КО) = х0 = ^0il,io>2,x3(0).....zn(0)). А,В - стал! ыатри-

ц! розм1рЕост1 тыг, в параметра I 1 v зм!кшгься в областях

iSi ft А. М м

Ul^íi. и, i/el^tü, vi. V>0.

П1д розв'язком задач! (1)-(3) на 1нтервал1 [О.Т] будемо розу-ы1ти непервршо-диференц1йовну вектор-функц1ю x=x*(t), tetO.T) 1 так1 значения параметра 1=1? тобто сухупн1сть (x*(í),a\í>*). яка задовсшьняе наступним умовам:

1) ц.х'т.х'У) « w = ia.TiJttjj.2, .

2) £rx'lt)=f(.t.x'{t) А*), .

3) Ar*(0) + i>*Bx'(T) = й,

4) <(0)=хО)1. x'2(0)=xo>3.

Припускаеться, що права частина системи (1) задовольыяе умовам: ip функц1я fit.x.l) визначева 1 неперервна по (t.x.l) в обдаст1 . 10,!ГЗ«1)«1г 1 обменена в н1й векторе»« Ы=(Ы},....Мп), li^O t=TT5:

!/{t.x.X)l íH, • '

де D - замкнена, оомехена область в . Еп. Bj) upa bcíi telO.T), x',i-€D. V.Velj функШя f{t.x,\) задо-вольняе уыов1 Л1пзп1дя з матрицею j}* Ki • 1

векторам ), L,*0, vt=T7ñ :

X ft 4

\flt*x'A') - fit,x*A*)i « Kix'-x"l + 1|1'-1»|.

■ де i/(í.x.l).i=({/.(t.x.X)Г.....I/ (t.x.l)i). 1 HeplBHOCTl ulx

i ti

векторами розугйються покомпонентно.

Серед крайових задач тшу (1)-(3) вщйлимо клас таких, для яки параметри И. К. 1, величина А. В, г0 х0 а.'як! входять в крайоЕ1 умови, а такса область визначенвя W задовольнявть таким додвтковим умовам:

Bt) МН02ИН8 Dp точок (xq l,ifl a.Zg), яка мЮтиться в.

облает! D при вс1х значениях lelj, veразом 1з своХм £-око-Ш1, непорожня:

&

* в ,

П1д С будемо розум1ти мнояину (п-2) - вим1рних вектор!в га таких, що х„=г(0)=(£ ,,г ,2) леаить в инозин!. Б.;

О 01 03 .о р

Г4) вс1 власн! значения 3,(0) матршЦ 0=-|-К лежать у круз1 одшичного рад1уса:

13,(0)1 < 1. У1=Т7П.

ПерзаЗ параграф носить допгайяний характер. В ньому фор!улю-ються деяк! означення 1 твердаення, як! використовушься в подаль-шх викладках.

В §2 у вигляд! рекурентного сп1вв1дношення будуються найли-

жоння

t о

, I ВГхГа-1А*»В)хЛ -4-|/(а.гв(а.20Д.»)Д)(!9 ]сИ +-^-(4)

о

як1 задовольняэть крайовш умовам (2). (ЗУ пра дсв1лъних значениях параметр1в з област1 (2оД.1>)€7=Сх1хх1р .

Доведено наступив твердяення про властлвост! фушаШ! посл1-ДОВНОСТ1 (4).

Теорема 1. Кэхай для крайово1 задач1 (1)-(3) э облает! назначения Я викопувться умови А1)-Г1). Тод1:

1) ПОСЛ1ДОВН1СТЬ фуНКЦ1'Я X (Г.2 Д.») ВЛГЛЯДУ (4) ЗаДСЕОЛЬЕЯе

о*

крайовпм умовач (2). (3) для вс1х гь=1,2.... пря дов1льн2х (20Д,») з схзласт1 V 1 р1вном1рно зб1гаеться ара я->® на кнезз-Н1 [ОЛЬс;«!,,*^ до яепэрервно! гргЕ2чно1 функаП г'и.г Д,я. щвчому справелшва яастуша ощнка:

2) для вс1х (Х,у,20)€У функц1я х*(г.г0Л,и) е розв'язком 1нте-грального р1вняння

г 1Р В"1 ПЗ-Ц+УВ)! ] XI г )=г0+|[/( t,x(t),\)--т[г ¡/(з.х(з)Л)0зри —^гр-^ г,

о о

1 при 1=(Гприймае початкове значения

3) кр1м цього, гранична функц1я х*(г,г0Л,») задовольняе крайовим умовам (2), (3), тобто е розв'язком збурено! по в1дношенню до (1)-{3) крайово1 задач! вигляду

. ^-=-/(1.1 Д) +й(2оД.р). Ах(0) + уВг(Т) = й.

г1(0)=1О.1' Х210)=ХО.2'

де збурення мае настуший вигляд:

В~11й-и+1>В)х1 1 I Ыг0л.1»=-—^——£?-4-]Лг,х"(1,20Д.1/)Д)йГ. .

* - о

Показано, що в праву частину р!вняння (1) завзди мокна так ввести додатковий керуючий параметр (I. щоб розв'язок збуреного р1вняння

+ (1. .

який при 1=0 проходить через задану точку

х(0) (101.10>а.20), . (6)

задовольняв крайовим умовам (2). (3).

Вивчаеться зв'язок м1к задачею Кояй (1), (6) 1 вих1дною кра-йовою задачею (1)-(3).

В §3 доведено достатв! умови 1снування розв'язку крайово1 задач! (1)-(3), що.дозволяв на гйдстав! анайзу посл1довних наближень (4), не знаходячи 1х гранично! ФункцИ, робити висновки щодо 1сну-

вання розв'язку задач1.

В §4 01льш детально вивчаеться влаетивост1 гранично! ФункцН х*(1.20Д,у) та точно! визнач&льно! функцН д(га.Х.У)- Так, доведено лему. в як!й оц!нюеться близьк1сть фуккц1й х'и^Д'.г) 1 г'СГ.г'Д-.^") для точок (г^Д'.у). (2£Д",у") з област1 V, теорему про иеперервну залезшЛсть визначально! вектор-^ункцп Д(20Д.1/) в!д 20, X. ^ та оц1лку в1дхилення Мг^Д'.р') .V").

Кр1м того, одержано необх!дн! умов» Юнування рсзв'язку крайово! задач! (1)-(3), тобто умовн, необх!дн1 для того, шоб дзя-ка ш-добласть м1стила точку (20Д,у). яка впзначае початков* значения точного розв'язку г*Щ вих1дно! задач1.

Приклад, наведений в §5, дае наглядну 1люстрац1ю застосувэння чисельно-анал!тичного методу посл!довних набляжень до двоточкових крайових задач з параметрами. Для конкретно! крайово! задач1 зна-йдено в анал1тичному вигляд1 два посл1довя1 наближення до точного розв'язку система, а такой чясельно знайдено два наблгггення до тощих значень пара«етр1в та початкозого значения.

Друпй розд!л "Крайсз! задач! для систем диферзнц1альннх р1вклнь перюго порядку, частково розз'язанюс в1дносяо пог!дно1" прясвячений узагальневкю 1 повшренню чисель5о-аяал1тачнс го методу посл1лсвшк каблкйяаь на досуч ляення систем нел1н1йнях хкфевежй-

I

влытх р1вяляь вигляду

-д?--д^- Д ,...Д1), (?)

п1ддорядкованих наступим крзйовим ушзаы:

дкГ(О) + Вх(Т) = <3. , (8)

^(^о,......г1.1(0)5!Го.«.1' ?9)

де Х1...... 5- скаляра! параметра, =[^.1 ]. 1= ' ,

Л. Ой.

5е1£=[5,51, точка п-взайрного 0ВКЛ1ДОВОГО простору ■£,

?

причому 1+1 <71, Х(0)=(Х ,...,Х„ -X, (0).....X (0), А. В -

Oí 1 О) J + 3 п

стал! матриц1 розм1рност1 п*п. .

Припускаеться, що крайова задача (7)-(9) задовольняе таким умовам:

12) функЩя f(t.x.y.ti). де y=i/(t)=-gjx(t), визыачена 1 неперервна по (í.x.j/,л) в област1

(t.x.y,л) е £0,T]xD,xD_*I., ■ ' (10)

ISA

де В,, D_ - замкн8н1, обмежен! област1 в Е , а=(Х.,...Д,),

13 П 1 I

Ае1А=11х...Л1, ^д«®1. 1 обмежена вектором М:

l/(t,r,y,A>| sH, IHK,.../.*). Мао. í=TS; (11)

1 !) i

Б2) в облает! (Ю) функц1я f{t,x,y,л) задовольняе умов1 Л1ш1ця l/(Í.X',í/',A') - /(Í.X-.ir.A*)! s KjlX'-X-l + _

(12)

+ K3ly'-yi + LIA'-A"!,

при вс1х г,^, А' .А"€1а, де К^ Ка - матршй розы!рност1 71хп. а I - матриця розм1рност! . 1 »п. причому вс1 матриц! - з сташш нев1д'емними элементами. В2) 1снуе непорожня множина й (п-1-1)- вим1рних точок г0 така, що для будь-яких «€1,, Ле1, точки х=(х.......х„ , ,2 ) лежать

в А О О • * О » I ♦ * О

в облает! разом 1з сво1м ^-околоы, 1 область Ъ2 м1 стать у соб! Ра-ок1л почэтку координат, де

Р;гМго'5>= +-^Г-^ •

Г2) вс1 власн! значения а, (0) матриц1 лежать у круз1

одиничного рад1уса: 18,(0)1 < 1. У1=77Й.

В §6 будуеться посл1довн!сть функц!й вигляду

8

т

-т|г|Лз.гп(з,^0,л<5),ув(з,20,л.5),л)с19|(ЗГ + (13) о

+-у-. т=0,1,2,...,

Х0^'20,А,г)=Х0=(г0,1.....го.1о'г1,а(0).....г„<0»'

де уви.20,л,5)=-2^хви,20,л,5), як1 задовольнявть крайовим умо-вам (8), (9) при дов1льшес значения* дарамегр1в (20,л,г) з област1

Л б

■ Встановлено р1вном1рну зб1жн!сть шсл1довностей функц1й

хи(Г,2а.л,г) вигляду (13) та Н пох1дних уя(Х,га,кЛ) до в1дпов1д-

них граничил функта х*и.20,А.5) та у,а.г0,л.5)=-^х*(Г.г0.л,г).

знайдено оШнкн зб1жност1.

В §7 доведено, до функц!я х*(Г,20,л,г) е розв'язком крайово!

задач1 (7)-(9) той 1 т1льки тод1, коли в точц! (г.А.г) визнача- •

о

льна функц!я д(г0.л.5) вигляду

В-1 [Й-(5У4+В)Х1 А(г0.А.в) = -—^-ту-Й,-

т

о

перетвсрюеться в нуль. Знайдено анал1тичний гираз керуючого параметра и 1 встановлено його един1сть. Досл1дауетьея спец!альна задача керування, яка дозволяе побудувати збурене по в1дношенню до (7) р1внякня, для якого розв'язок деяко1 задач! Кош1 буде в той же час задовольняти 1 крайовим умовам (8), (9).

У зв'язку з там, до на прэктиШ ми знаемо т1пьки нвблкген1 значения хв(Г,20,а,5) точного розв'язку крайово1 задач! (7)-(9), в §8 вводиться до розгляду наближена визначальна функц!я

дв(20.л,г) = ——у

- В'1

1 1> \ '•*> о

Це дае змогу на п1дстав1 анализу наближень xa(t,z0,A,8) вигляду (13) довести наступн1 достатн'1-умови 1снування розв'язку крайово! задач! (7)-(9).

Теореаа 2. Нэхай для крайово1 задач! (7)-(9) виконуються умови Аа)-Г3) l. KplM .того,

1) 1снуе опукла, зачкнена область v'=g'xI^xIj с G*Ia*I5 така, що для деякого ф1ксованого mal наближена визначальна функц1я Д (z.,л,5) вигляду (14) мае в V* едину особливу точку (2„,л,б)=

о О О

=(z„ ,л ,5 ), !ндекс яко! не дор!внюе нулю, тобто визначальне

От ram.

р1вняння д (2 ,л,$)=0 мае в v' единий розв'язок ненульового 1ндексу;

2) на меа1 S област1 v' виконуеться нер1вн1сть '

Inf IL (z ,А,6)I > Qm(E-Q)-iR(zn,5), <*0,A.sies m 0 0

Д9 R(z0,5) = К P1(z0,5)+Kaßa(20.8).

Тод1 крайова задача (7)-(9) мае розв'язок (x'(t),A*,5*), по-чаткове значения якого х*(0) , = (xQ it....,xo 1+1,z*), де z*c-G',

Л .0

В цьому параграф! доведено твердкення, яке на основ! вла-стивостеЯ наблияено! визкачально! фуккц!! (К) дозволяе встановити T2K0S 1 необх!дн! умови розв'язуваноот!- задач! (7)-(9). Вказано алгоргш наблийэного знаходаення початкового значения розв'язку.

Розроблену методику досл1дження 1 в1диукання розв'язк!в кра-йових задач застосовано до конкретного прикладу. В анал!тичному вигляд! побудовано два перш1 наближення а такоз: чисельно знайдено два наблигоння до початкового значения, та значень параметр1в.

У третьему розд1л1 "Застосування чисельно-анал1тичного методу до систем диферещйальних р1внянь другого поряжу" 1де1 цього ме-

10

тоду пошраються на досл1дження систем нелШйних звичайних дифе-ренШапышх р!внянь другого порядку з параметрами

Щ-=/(t,X,-f?-Д Л .....X,), п>1+1, (15)

dt Ul 1 . 1

п!дпорядкованих наступним двоточковим умовам:

5Ах(0) 4 Вх(Т) = dj. ' detB*0. (16)

х(0) - ±(Т) = d2. (17)

W8*«,.»' J2(0)=xo(a" —*..,<9,aIo.i*i' i18>

Крайова задача (15)-(18) м1стить в р1внянн! векторний параметр л=(11,...Д1)й?1, а в крайових умовах - скалярний параметр в. Задану задачу будемо розглядати в област1 (t.x.y.A.S) е [O.I]«D1»DaKlJl«Ii,." (19)

де D . D - зашшен1. обкекенГ облает! в п-вям!рному евкл1довому простор1 Е . Ле1.=1 «...xl,=rx4 Д д,]. Sei = [5 ,5 ],

П А 2 1 11 11 о

Припускаеться, що крайова задача <15)—<18) в област1 (19) за-довольняе наступним умовам:

¿3) функц1я '/(i.r.y.A) визначена 1 неперервна по (i.x.y,А) в област1 [0,T3jcD,*D,xI. , 1 задовольняе в н1й умовам обменено-

1 2 А

ст1 1 Л1пш1ця (11), (12):

Б3) 1снус непорожня многина С (л-1-1)- вкм1рних точок zQ така, що

при вс1х значениях параметра Ле1А. Sels точки xq=(to

...,х„ , .,z) м!стяться в област1 D. разом 1зcboIm а-околом, 0,1+10 1 г 1

1 ?2-ок1л-початку координат лекить в облаот1 Da, де . W*o-*>sJ!r +\г*1агш+в)х0].| 4 | |-d2| .

»na

В3) вс1 власн! значения sf (Q) мзтриц1 лежать в

одиничкому круз!:

iSj(Q)l < 1, vt=T7n»

В §10 при таких припущеннях побудовано посл1довн1сть неперер-вних фушаЦй вигляду

1г1 *

ХАIДл^")--^га-хв.ув.А)«1в}ггг -

о 1о о;

тч т >

00 о >

г0(Г,г0.л,г)=х0=(10>1,...,х0>1+1>20), яг»0.1.2.....

де г , л. б - нев1дом1 параметри.

(21)

як! задовольняють крайовим умовам (16)-(18). Посл1довн1сть функц1й

(21) р1вном1рно зб1гаеться до гранично1 функцИ. х*(1,20,л,5), а

посл1довн1сть 1х пох1дних ут^,г0,А,5) - до гранично! функц11

, с2Х*(1,2 ,л,8) У и,2о,л,5)=-—;—-, 1 для вшилень при вс1х т=1,2,...

виконуигься настулн1 од1нки:

1хти.го,А.б) - х,(г,г0,А,8)\ 5 -|-<?°"1Г£^"1Д(20,5),

\уа(г,г0.л.&) - * Ц-ог-^Е-ягЪи^в).

де Й(го,5) = К1р1(г0.в)+Хара(20Гв),

Кр1м того, доведено, що гранична функц1я задо-

вольняе крайовим умовам (1б)-( 18), тоЗто е розв'язком збурено1 крайово! задач1 вигляду

5ах(0) + Вх(Т) = х(0) - х(Т) = й2.

г1(01яГо.»' ^^о.а.....11-1<°>аХо.1.1-

12

дэ збурення Бизкачасться за формулою т

b(Z0.A,S)=-^rd2--^r jfit (t а0Л.5) .у* (t ,20.Л,6) ,A)dt. (221 о

Летально вивчаеться зв'язок Mlz 1снувакням розв'язк1в крайово1 задач! (15)-( 18) та 1снуваннш розв'язк1в р1вняння д(20,л.5)=Ю.

В §11 вводиться до розгляду наближена визначальна функц!я ■т

о

1 на п!дстав! вивчекня 11 властнвостей .одержано дсстатя1' умови

1снування розв'язку задач1 (15)-(18).

Доведено теорему про неперервну залежн1сть визначально! вектор

функц11 a(zo,a,6) вигляду (22) в1д парг»летр1в.

Також встановлено необх1дн1 умови розв'язуваност1 крайово! задач1 (15)-(18).

Теореш 3. НехаЗ для крайово1 задач! (15)-(18) виконуються умови А3)-В3).

Тод! для того, ооб деяка область V-- g">j"*i" с G*I,*I. м!-

АО А V

стала точку (z'.a's'), яка зводить крайову задачу (15)—(18) до екв!валентно1 12 задач1 Кош1

z(0)=x;<rOfl.....

fill, .^p.-ieVBJiJ^d,-|t»0

Tt

- -j- jj^/i*»-*(i. 2*, a*, 5*) ,j/* (t ,2*, a*. 5* ) ,a* ) -

oo

T

- jrjfl3,x*(3.2*. A*. 5*) ,y* (9.2*, a* , 5*) ,a* )da}dtdr

0

необх!дно, шоб для вс!х номер1в т 1 дов1льно! точки (уо,а,5J з мнокини v" мала м!сце нер1ЕН1сть

и зир [(Е-ОГ'Гк II -X | + ЦЛ-Л| +

" 0 Ся .А.в V

+ (К1+-{-Ка]-а(а0.?.г0,« )] + (ПЕ-аг'Ш^З).

де а(г^.г'.г-.б") * |в_ 16-А+В-(5'А+В)^]|.

■ В остзнньому цараграф1 роботи на конкретному приклад! про!лю-стровано ефективн1сть застосування розроблено1 методики. Знайдено два посл!довн1 наближення до точного розв'язку, оц!нено !х похибку.

Користуючись нагодою, автор висловлюе пиру подяку сво!м нау-ковим кер1вникам - доктору ф1зико-математичних наук М.Й.Ронто та кандидату ф1зкко-математичних наук, доценту В.В.Мариншо за пост1-Яну увагу, ц1нн1 поради та зауваження.

П1ДСЖ0В1 БИСНОВКИ

1. В робот! запропоновано та обгрунтовано нову модкф!кац!ю чисель-но-анал!тичного методу послЦовних наближень для досл!дження систем нелШйних■звичайних даферешДалышх р!внянь першого порядку нормального вигляду з параметрами у випадку нерозд!лених двоточкових крайових умов, як! м!стять параметри.

2. Метод посл!довних наближень узагальнено на двоточкоМ крайов! задач! у вштадку систем нел!н1йних диференц1альних р!внянь, як1 частково розв'язан! в1дносно пох1дао1, коли 1 крайов! умови,. 1 р1вняння залежать в1д параметр!в.

3. Чисельно-акал!тичний метод посл1довних наближень покирено та обгрунтовано для двоточкових крайових задач з параметрами у випадку систем диференц1альних р1внянь другого порядку.

4. Для вказаних вище тип1в,задач одержано наобх1дн1 та достатн! умови 1снування розв'язк!в, розроблено ефективн1 алгоритми по-Оудови наближених розв'язк1в у вигляд1 р1вном!рно зб1жних поел! довностей функц1й та одержано оц1нку !х похиоки..

и

Основн! результата дясертац11 опубл!кован1 в наступит роботах:

1. Ронто Н.И., Король И.И. Исследование и решение краевых задач с параметрами численно-аналитическим методом //Укр.мат. курн.

- 1994.- 46. ffô.- С. 1031-1043.

2. Король I.I. Про досл1даення двоточкових крайових задач для систем звичайних' диференц1алыздх р1внянь другого порядку з параметрам //Лоп. HAH Укра1ни.- 1995.- N9.- С. 9-12.

3. Король И.И. О решении двухточечной задачи с параметрами //Сб. науч. трудов "Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения".- Киев: Ин-т математики АН Украины.- 1993.-С. 73-75.

4. Король I.I. Застосування -чисельно-анал!тичного методу для досл1дкення двоточкових крайових задач //Сб.научн.трудов "Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения".- Киев: Ин-т математики АН Украины.- 1994.- С. 109.

5. Король I.I. Про посл1довн! набликення для двоточкових крайових задач з параметрами //Нов! пшоди до розв'язання дифе-решйальшх р1внянь. Тези доп. Всеукр. наук, конф.- Лрогобич.

1994.- С. 75-76.

6. Король I. Про застосування чвсельно-анал1тичного метода для систем дйференц!альних р1внянь другого порядку з параметрами //Тези доп. Всеукр. наук. конф. "Розробка та застосування ма-тематичних метод!в в на'уково-техн1чних досл1даеннях". Част.З.

- Льв1в.- 1995.- С. 107. ,

7. Король I.I. Про модиф1кац1ю чисельно-анал1тичного методу для пер1одичних систем другого порядку //П1дсумкова наук, конфер. проф."- виклад. складу матем. ф-ту УжЛУ. Тези доп. - Ужгород,

1995.- С. 28-29.

Король I.I. Численно-аналитические методы исследования решений двухточечных краевых задач с параметрами. Рукопись. Диссертация на-соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. Ужгородский государственный университет, Ужгород, 1996.

В диссертации содержится обоснование применения численно-аналитического метода последовательных приближений при исследовании систем нелинейных обыкновенных уравнений первого и второго порядков с параметрами в случае двухточечных краевых условий, содержащих параметры. Изучаются вопросы существования и приближенного построения решений рассматриваемых задач.

KOROL I.I. The numerical-analytic methods lor the Investigation oi the solutions or two-point boundary value problems with parameters.Thesla for a degree of Candidate of Science (Ph.D) In Physics and Mathematics, speciality 01.01.02 - Differential equations. Uzhhorod State University, Uzhhorod, 19S6.

Thesis contalne the substantiation' of the numerical-analytic method lor successive approximations when.the systems of the nonlinear ordinary differential equations of the first and the second order under the nonseparable two-point boundary conditions are investigated in case ahen the equations and the boundary conditions contains parameters. We Investigate the problems of existence and approximate construction of the solutions of the given boundary problems. -

Ключов1 слова: чисельно-анал1тичшй метод посл1довшк набяижень, крайов1 у^гови, крайова задача, параметр, збурена крайова задача, точке визначальне р!вяяння, наближеке визначальне р1вняння.