Численное исследование нелинейных волн на поверхности невязкой несжимаемой жидкости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МЕХАНИКИ

Р Г Б ОД

Протопопов Борис Егорович

ЧИСЛЕННОЕ' ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛН НА ПОВЕРХНОСТИ НЕВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 1994

На правах.рукописи УДК 532.59

Работа выполнена в Институте гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН (г. Новосибирск).

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук

И. В. Стурова

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Г. Г. Черных,

кандидат физико-математических наук Н. И. Макаренко

Ведущая организация: Вычислительный центр СО РАН (г.. Красноярск)

Защита диссертации состоится ЫАО^СЛ/ 1994 года

в 45" часов на заседании Специализированного совета к 003.22.01 в Институте теоретической и прикладной механики СО РАН по адресу: бзооэо, г. Новосибирск-90, ул. Институтская, 4/1.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ИТПМ.

Автореферат разослан IАААХчЬ 1994 года

Ученый секретарь Специализированного совета доктор физ.-мат. наук

А. А. Маслов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Акт^альность_теыы. Многие реальные процессы генерации, распространения и взаимодействия вот на воде требуют для своего адекватного описания привлечения достаточно общих моделей. Однако учет большого числа факторов, определяющих движение жидкости, приводит к усложнению математической постановки задачи, так что далеко не всегда удается построить ее решение аналитически. В качестве альтернативного метода исследований может быть выбран численный эксперимент, который занимает всё более достойное место в науке вообще и в гидродинамике в частности. Эффективность численного эксперимента определяется не только мощностью используемого компьютера, но и качеством дискретной модели. Проблема построения экономичных численных алгоритмов по-прежнему актуальна, поскольку предел возможного в ней еще не достигнут (да и вряд ли вообще достижим).

К числу волновых процессов, в которых важен точный учет как нелинейных, так и дисперсионных эффектов, относятся отражение уединенной волны от вертикальной стенки и генерация волн соли-тонного вида, убегающих вперед от источника возмущения, движущегося по поверхности жидкости. Первая из указанных задач имеет очевидное практическое приложение (в проблеме цунами, например), а также представляет теоретический интерес, будучи интерпретирована как частный случай взаимодействия уединенных волн. Весьма интересна и вторая задала - о генерации солитонов вперед'относительно движущегося (или вверх по потоку относительно неподвижного) источника возмущения жидкости. Это явление представляет собой яркий пример баланса нелинейных и дисперсионных эффектов, приводящего к нестационарной реакции на стационарное возмущение. Проблема актуальна и в смысле практических приложений, в корабельной гидродинамике в частности (движение судов в ограниченном фарватере).

Целью работы является разработка эффективного численного алгоритма расчета нестационарного движения идеальной жидкости со свободной поверхностью (в рамках потенциальной модели) и анализ с его помощью трансформации уединенной волны при отражении от вертикальной стенки, а также генерации волн локализованным рас-

пределением поверхностного давления, движущимся с околокритической скоростью.

Методика_исследований. В диссертации используется методы дифференциального и интегрального исчисления, методы функционального анализа, конечно-разностный метод построения схем расчета, методы дробных шагов решения систем линейных алгебраических уравнений - дискретных аналогов эллиптических задач, статистические методы обработки результатов (численного) эксперимента.

ЗЕЭктическая_зтачимость. Построенная численная модель и ее реализация на ЭВМ позволяют рассчитывать с хорошей точностью широкий класс задач о генерации, распространении и взаимодействии волн на воде. Результаты уже проведенных расчетов уточняют представления о взаимодействии уединенных волн с преградами и между собой, расширяют познания в области генерации волн движущимися источниками возмущения. Эти результаты могут оказаться полезными при решении таких практических вопросов, как защита от волн береговых сооружений, прогнозирование развития волн цунами, выбор оптимального режима движения судна в ограниченном фарватере, обнаружение движущихся объектов по опережающим их возмущениям поверхности жидкости.

Апробация. По теме диссертации опубликовано 5 статей. Результаты работы докладывались на семинарах: Вычислительного центра СО РАН (г. Красноярск, апрель 1989 г., март 1994 г.), Сеульского национального университета (г. Сеул, Южная Корея, январь 1993 г. ), Морского исследовательского института компании Хыондэй (г. Ульсан, Южная Корея, январь 1993 г.), Пусанского национального университета (г. Цусан, Южная Корея, февраль 19 9 3 г. ), Корейского исследовательского института кораблей и океанской инженерии (г. Таеджон, Южная Корея, февраль 1993 г. ), Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН (г. Новосибирск, июнь 1993 г. ), Института теоретической и прикладной механики СО РАН (г. Новосибирск, февраль 1994 г.), Института вычислительных технологий СО РАН (г. Новосибирск, февраль 1994 г. ), а также на: Школе молодых ученых "Актуальные проблемы вычислительной математики и математической физики" (п. Черноголовка, март 1988 г. ), Семинаре "Вычислительные методы в волновой

гидродинамике" (г. Абакан, июнь 1988 г. ), Всесоюзном совещании соисполнителей и участников Межведомственного проекта "Волна" (г. Севастополь, ноябрь 19 8 8 г. ), Совещании рабочей группы "Лабораторное моделирование динамических процессов в океане" (г. Новосибирск, апрель 1989 г.), Школе молодых ученых "Численные методы механики сплопной среды" (г. Абакан, май-июнь 1989 г. ), Международной конференции "Численные методы в задачах со свободными границами" (г. Ювяскюля, Финляндия, июль 19 90 г. ), IV Республиканской школе-семинаре молодых ученых и специалистов по теоретической и прикладной гидродинамике (г. Алушта, октябрь-ноябрь 1990 г. ), Всесоюзной научной школе "Гидродинамика больших скоростей" (г. Чебоксары, май 1992 г.).

Структура_и_объем_работы• Диссертация состоит из введения, трех глав (14 параграфов), заключения, что занимает 89 страниц машинописного текста. Работа, кроме того, содержит 3 таблицы, 33 рисунка и список литературы из 114 наименований. Общий объем диссертации составляет 128 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сформулированы основные поставленные цели, отмечена их актуальность, обоснован выбор метода исследований, дан обзор предыдущих исследований по всем рассмотренным задачам, кратко изложено содержание работы.

посвящена построению численной модели и ее обоснованию. В § 1 ставится задача о нахождении движения жидкости в бассейне конечной глубины из некоторого начального состояния под действием силы тяжести, поверхностного давления, подвижек дна и заданных потоков жидкости на боковых границах. Приняты допущения модели потенциального движения однородной несжимаемой невязкой жидкости, так что математически задача формулируется как необходимость решения уравнения Лапласа для потенциала скорости с условиями непротекания на дне и верхней - свободной - границе, заданным течением жидкости через боковые границы и дополнительным динамическим условием на свободной поверхности, определяющим ее мгновенное положение. В начальный момент времени фиксируется об-

ласть, занятая жидкостью, и касательная либо нормальная компонента скорости на поверхности.

Прежде чем строить дискретный аналог модели, представляется целесообразным редуцировать задачу к типичной волновой задаче -к набору (в данном случае - к паре ) законов сохранения с дополнительными замыкающими (неэволюционными) зависимостями:

а. * qг = О,

(1)

и£ + sx = о,

q{x,t) = Q(d) и.

(2) (3)

S(X,Î) = Г) + р +

1 + Г)

1 2 2 -(U - V } + Т1UV 2 Х

(4)

г) (a;, Î) = й - h.

(5)

V(x,t) = ht + qx, (6)

d = dQ(X), U = UQ(r) При t = 0. (7)

Здесь искомые функции d(x,t) и u(x,t) (X - горизонтальная координата, t - время ) имеют смысл глубины жидкости и касательной компоненты скорости на поверхности (с точностью до нормировки), q(x,t), T)(x,t), v(x,t) есть соответственно расход жидкости, возвышение поверхности и нормальная компонента скорости (также с точностью до нормирсГвки ). Поверхностное давление р{х,t ), линия дна У - ~ h{X,t) ( У - вертикальная координата) и начальные функции dQ(x), uQ(x) известны. Все величины обезразмерены таким образом, что плотность жидкости и ускорение свободного падения равны единице.

Зависимость расхода q{x,t) от искомых величин задана неявно, посредством оператора Q(d), действие которого определяется соотношением

СЦй) и = Ц(Х, п = | йу,

(8)

-ь

где потенциал скорости Ф(ДГ,у,í ) есть решение эллиптической задачи:

Ф + ф = о

XX уу

В = { -1г $ X < 12,.

- < Г/ < Г)(ХД) }, (9)

Фг = и. (УД)

а> = и у (у, г)

Ф + /1 Ф = - л,

у X X £

ф = ф

при X = - 11,

при X = 12,

при у = - 2"),

при у = Т)(л:, г)

(10) (11) (12) (13)

где

фееД) = ф0 а> + | иид>

(14)

с произвольной функцией <}>0 < > -

Преобразование традиционной постановки задачи к виду (1)--(14) аналогично известной процедуре сведения на границу (Овсянников 1985 ), однако имеет и ряд отличий, нацеленных на повышение эффективности последующего численного алгоритма. Это - дивергентный вид эволюционных уравнений, замена оператора нормальной производной оператором расхода, возврат от интегральной формы динамического условия (интеграла Коши-Лагранжа ) к дифференциальной (проекции уравнения моментов на свободную поверхность ). Выделение эволюционной и эллиптической частей общей задачи способствует четкому разграничению проблем, связанных с построением дискретной модели.

В § 2 обсуждаются проблемы численного решения эллиптической

задачи (9)-(13). В качестве мер по их преодолению выбраны адаптация расчетной сетки к границе подвижной области с помощью подходящей замены координат, редукция эллиптического уравнения общего вида (трансформированного уравнения Лапласа ) к системе из трех уравнений первого порядка, построение дискретного аналога задачи конечно-разностным методом, применение итерационной,схемы стабилизирующей поправки (из семейства экономичных методов дробных шагов ) для расчета системы линейных уравнений, полученных в результате дискретизации, оптимальное взаиморасположение узлов расчетной сетки для различных искомых величин.

Построению алгоритма расчета эволюционной задачи (1)-(7) по,-священ § 3. Уравнения (1), (2) дискретизируются по схеме Кран-ка-Николеона. Итерационный процесс, неизбежный в силу неявности схемы и нелинейности дополнительных соотношений (3), (4), совмещен с итерированием решения эллиптической задачи.

Строгое обоснование построенной дискретной модели не представляется возможным по причине нелинейности исходной задачи. В качестве приближенного обоснования предлагаются расчеты двух тестовых задач - о жидком невесомом эллипсе {§ 4 ) и о генерации волн поднятием участка дна (§ 5). Результаты тестовых расчетов демонстрируют высокую эффективность (точность * экономичность ) построенной численной модели.

В главе_11 численно исследуется отражение уединенной волны от вертикальной стенки. В отсутствие вязкости данный процесс может быть интерпретирован как частный случай взаимодействия уединенных волн (встречное столкновение двух одинаковых ). Именно эту точку зрения на проблему можно считать.превалирующей: здесь не затронут вопрос о силовом воздействии волны на стенку, а все внимание уделено изменениям параметров волны - амплитуды, скорости, фазы - вследствие ее отражения.

Глава открывается параграфом, посвященным численному моделированию уединенной волны, которое представляет собой нетривиальную проблему в силу отсутствия точного явного выражения уединенной волны в рамках потенциальной модели. Проблема решается как предварительной селекцией известных приближений уединенной волны (с оценкой их качества по результатам пробных расчетов), так и свободной (численной) прогонкой волны по каналу, с тем чтобы

благодаря действию дисперсии погрешность начального задания волны свелась лишь к наличию у нее "хвоста" вторичных волн. Достигнуто хорошее соответствие смоделированных волн понятию уединенной, что выражается в низких значениях скорости изменения амплитуды волны, малости амплитуд волн дисперсионного хвоста относительно амплитуды головной волны, практической неизменности профиля и хорошем согласии зависимости скорости от амплитуды с теоретическими предсказаниями.

Далее (§ 8 ) рассчитаны величина максимального заплеска волны на стенку, а также параметры отраженной волны. Максимальный за-плеск волны представляет очевидный практический интерес (например, в проблеме цунами) и вместе с тем может быть сравнительно легко определен в эксперименте, расчете или приближенной теории. По этим причинам имеется достаточно много неплохо согласующихся друг с другом данных по этой характеристике, так что ее вычисление носит скорее тестовый характер. Хорошее согласие настоящих результатов с данными других авторов можно рассматривать как еще одно подтверждение точности построенной численной модели.

Среди выявленных в расчетах особенностей поведения отраженной волны необходимо отметить, прежде всего, ее существенную нестационарность на начальной стадии отката. Непостоянство параметров отраженной волны обнаружено и другими авторамп, однако многие из них ограничились лишь констатацией факта, не оценив должным образом всех его последствий. В качестве примера можно упомянуть численную работу Реп1:оп &.Е1епескег (1982 ), в которой недооценка нестационарности отраженной волны послужила причиной значительных погрешностей в определении фазовой задержки волны. В настоящей работе показано, что медленное изменение волны на стадии отката отнюдь не означает близость "дальних" (асимптотических) и "ближних" (около стенки) значений ее параметров. Об этом, кстати, можно догадаться и по тому обстоятельству (обнаруженному также другими авторами ), что отраженная волна вблизи стенки уступает начальной волне по амплитуде, но превосходит ее' по скорости. Такое несогласованное отклонение параметров волны не может закрепиться окончательно (установиться), поскольку это противоречило бы известным фактам, что уединенная волна есть самая быстрая среди стационарных волн равной амплитуды, а ее ско-

рость монотонно растет с ростом амплитуды (за исключением малой окрестности максимальной амплитуды ).

Таким образом,, речь о параметрах отраженной волны следует вести с учетом их зависимости от времени либо, по крайней мере, подразделяя значения параметров на "ближние" и "дальние". До публикации автора (1990), содержащей основные результаты главы II, такое разделение было сделано лишь в работе Вуа^-Бли^ (1988), где аналитически построено приближенное решение типа отражающейся от стенки уединенной волны и показано, что отклонение ее амплитуды от своего первоначального значения есть величина переменного порядка малости: третьего вблизи стенки и пятого асимптотически. Расчеты автора подтверждают результаты теории по "ближним" значениям амплитуды отраженной волны. По "дальним" значениям расхождение более заметно, однако не принципиально, в том смысле что может быть преодолено добавлением к теоретической зависимости следующего по порядку члена с разумным коэффициентом.

Впервые рассчитаны "дальние" значения скорости отраженной волны. Показано их принципиальное отличие от "ближних". Это отличие делает недопустимой их подмену при определении сдвига фазы, подобно тому как это сделано в работе Реп(:оп & Шепескег (1982 ). Корректное определение сдвига фазы дает значения, неплохо согласующиеся с приближенной теоретической зависимостью. Это можно видеть по рис. 1, где в зависимости от амплитуды а набегающей на стенку волны представлены значения временного сдвига, фазы ДГ : точки 1 - численные результаты автора (штриховая линия - их аппроксимация ), точки 2 - численные данные из работы Рег^оп & Щепескег (1982 ), сплошная линия - приближенная теоретическая зависимость (Би & шгхе 1980).

Глава_111 посвящена численному исследованию весьма интересного, обнаруженного недавно (Ии & Ии 1982) явления - способности движущегося по поверхности или внутри жидкости источника возмущения генерировать волны солитонного вида, убегающие вперед по направлению движения этого источника.

В главе наряду с моделью потенциального течения идеальной жидкости используется одно из приближений этой модели, а именно обобщенные уравнения Буссинеска. Данное приближение относится к

семейству слабонелинейных, слабодисперсионных моделей и может быть использовано (и используется ) для изучения явления генерации волн в околокритическом режиме, когда одинаково важны как нелинейные, так и дисперсионные эффекты. Математическая постановка задачи в рамках выбранного приближения приводится в § ю. Здесь же кратко описаны особенности разностной схемы. При формулировке задачи и построении разностной схемы в максимальной степени соблюдены все принципы, используемые ранее (гл. I) в потенциальной модели.

В § 11 , в рамках обобщенного приближения Буссинеска анализируется зависимость основных характеристик процесса генерации со-литонов от параметров источника возмущения, а также очерчиваются границы области существования этого явления. Известно, что излучение волн вперед от источника возмущения имеет место в некотором диапазоне чисел Фруда (по глубине), содержащем единицу. Согласно Ьее а!. (1989), этот диапазон, есть (0,2; 1,2), причем верхний предел авторы увязывают с максимально возможной скоростью распространения стационарных волн, приблизительно равной 1,29. Вместе с тем, имеются примеры расчета генерации волн и при Фрудах, больших указанного значения (вплоть до 1,4 - см. Ег1ек1п et а.1. 1986). С целью прояснения этого вопроса в данной работе выполнен более подробный и последовательный анализ зависимости основных характеристик рассматриваемого процесса от параметров источника возмущения.

Установлено, что верхний предел по числу Фруда зависит от других чисел подобия и может существенно превосходить максимально возможную скорость распространения стационарных волн. По-видимому, наличие поверхностного давления не позволяет считать свободными даже те солитоны, которые достаточно удалились от источника возмущения и параметры которых стабилизировались. Таким образом, увязывание верхнего предела с максимальной скоростью стационарных волн, на котором настаивают некоторые авторы, представляется необоснованным. Указанный ими же нижний предел (по числу Фруда ) существования явления также должен быть скорректирован (в сторону увеличения - от 0,2 до 0,8), если рассматривать не затухающую со временем, а чисто периодическую составляющую процесса.

В § 12 процесс волнообразования рассматривается в более общем случае движения источника возмущения - движения в переменном режиме со сменой значений числа Фруда с одного постоянного на другое за счет соответствующей неровности дна (сглаженной ступеньки ). Выявлены качественные особенности перехода от одного режима генерации солитонов к другому. Обнаружена возможность своего рода запоминания перемены глубины, т. е. проявления последствий этой перемены (в виде взаимодействия солитонов, сформировавшихся в "старом" и "новом" режиме ) спустя длительное время с момента ее осуществления. Также показана зависимость продолжительности переходного периода от времени движения по .первоначальной глубине. Дано объяснение этой зависимости как результата сочетания двух эффектов - 'излучения волн солитонного вида вперед по направлению движения источника возмущения (причем число солитонов пропорционально времени движения■с момента старта ) и распада уединенной волны, выходящей на мелководье, на последовательность волн разной амплитуды.

Глава завершается моделированием исследуемого явления в,рамках более общей модели потенциального течения идеальной жидкости и сопоставлением результатов этого моделирования с полученными в рамках приближения Буссинеска данными с целью их верификации (§ 13). Показано, что широко используемое приближение Буссинеска правильно передает качественную картину процесса волнообразования, но искажает его количественные характеристики. Это искажение носит характер занижения как частоты генерации солитонов, так и их амплитуд, и становится заметным уже при малых величинах суммарного давления. На рис. 2, где показана важная интегральная характеристика процесса генерации волн - волновое сопротивление r(t) источника возмущения, можно видеть, что рассчитанная в рамках потенциальной модели кривая 1 колеблется с заметно большими частотой и амплитудой в сравнении с кривой 2 -результатом счета по приближению Буссинеска (частота колебаний, r(t) в точности совпадает с частотой генерации солитонов, а амплитуда колебаний приблизительно пропорциональна амплитудам солитонов).

В заключении формулируются основные выводы работы и намечаются перспективы дальнейших исследований.

1.25 лГ 1.00

0.75

0.50

0.25

0.00

▼

я 1 ▼ 2

▼ ▼ Jf—^ Ж _ Ж ^^ —

▼ Т

0.0 0.2 0.4 0.б а 0.8

Рис. 1.

0.8

г/Т

0.4

0.0

ъ 1 Г\ у\

JA ц чУ Х /

О

25

50

75 t 100

Рис. 2. 13

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

Построена численная модель, приближающая модель потенциального движения идеальной жидкости со свободной поверхностью. Выполнено обоснование, хотя и нестрогое, построенного приближения (осуществлено тестирование на известных решениях). Достигнута высокая эффективность численного алгоритма (за счет предварительной редукции задачи, применения экономичных разностных схем высокой точности, оптимального размещения узлов расчетной сетки й пр. ).

Выполнен анализ трансформации уединенной волны при ее отражении от вертикальной, стенки. Рассчитаны параметры отраженной волны не только вблизи стенки, но и на большом удалении от нее. Показано существенное различие "ближних" и "дальних" значений параметров волны. Это позволило выявить причины расхождения более ранних численных и приближенных теоретических результатов других авторов и тем самым внести определенную ясность в рассматриваемый вопрос.

Смоделировано явление генерации волн солитонного вида вперед по направлению движения источника возмущения - локализованного распределения поверхностного давления. Выполнен анализ зависимости основных характеристик процесса генерации солитонов от параметров источника возмущения,ч в частности очерчены границы области существования явления. Рассмотрен случай генерации волн в переменном режиме - со сменой значений числа Фруда при прохождении источника возмущения над сглаженным донным уступом. Выявлены качественные особенности такого перехода. Выполнено сопоставление численных результатов, полученных в рамках точной потенциальной модели, и результатов расчета по приближению Буссинеска с целью оценки степени достоверности последних.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЩИ

1. Протопопов Б. Е.. Численное моделирование поверхностных волн в канале переменной глубины. - в сб.: Вычислительные, методы прикладной гидродинамики' (Диншика сплошной среды,

был. 84), Новосибирск: ИГиЛ СО АН СССР, 1988, с. 91-105.

2. Протопопов Б. Е. Численный анализ трансформации уединенной волны при отражении от вертикальной преграды. - Изб. АН СССР. Мех. жидк. и газа, . issq, № 5, с. 115-123.

3. Protopopov В. Е. Numerical investigation of soliton generation by a moving region of surface pressure. - Intl Series Num. Matfl., 1991, vol. 99, p. 347-355.

4. Протопопов Б. E. Численное моделирование явления генерации солитонов движущейся областью поверхностного давления.

Ж. прикл. л'вх. и тэт. фаз., 1991, jé з, с. 78-84.

5. Протопопов Б. Е. Генерация солитонов вверх по потоку: численный анализ зависимости от ключевых параметров. - Ж. прикл. мех. и техн. физ., 1993, Jí l, с. 88-94.

Подписано к печати 26.04.94. Формат бумаги 60 * 84 1/16 Уч.-изд. л. Заказ № 26. Тираж 75 экз.

Отпечатано в Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН 630090, г. Новосибирск-90, пр. Акад. Лаврентьева, 15.