Численное моделирование нелинейных колебаний газового пузырька в жидкости с учетом образования ударных волн тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

ргб оа

/ 1 3 ДЕК 2003

ТОПОЛЬНИКОВ АНДРЕЙ СЕРГЕЕВИЧ

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ ГАЗОВОГО ПУЗЫРЬКА В ЖИДКОСТИ С УЧЕТОМ ОБРАЗОВАНИЯ УДАРНЫХ ВОЛН

Специальность 01.02.05 - „Механика жидкости, газа и плазмы"

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата, физико-математических наук

л

Уфа - 2000

Работа выполнена на кафедре механики сплошных сред Башкирского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Ахатов И. Ш.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

член-корр. АН РБ, ' профессор Шагалов В. Ш.

доктор физико-математических наук, профессор Рамазанов М. Д.

Ведущая организация: Институт физики молекул

и кристаллов УНЦ РАН

Защита состоится 26 декабря 2000 х\ в 14 час. на заседании диссертационного совета Д 064.13.07 при Башкирском государственном университете по адресу: 450074, г. Уфа, ул. Фрунзе, 32, в аудитории 216 физико-математического корпуса.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Башкирского государственного университета.

Автореферат разослан " " ноября 2000 г.

вЛГЗ. 3//, <7, ?±

Ученый секретарь диссертационного совета,

д. т. н., профессор . ^ Ковалева Л. А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Важность исследования динамических процессов в пузырьковых жидкостях связана с тем, что они широко представлены в природе и технике. Многие современные технологии, используемые в различных промышленных отраслях, основаны на применении кавитационных эффектов. Поэтому адекватное описание процессов образования, роста и схлопывания газовых пузырьков в жидкости с учетом возникновения ударных волн в среде является актуальной задачей механики и физики.

Построение и реализация математической модели, описывающей динамику одиночного газового пузырька в жидкости, представляются важными по двум причинам. С одной стороны решение задачи о колебаниях монопузырька способствует формированию понятий об основных закономерностях движения в процессе взаимодействия пузырьков в кластере. С другой стороны рассматриваемая задача представляет самостоятельный интерес в связи с исследованием кумулятивных эффектов, возникающих в момент захлопывания газовой полости. Открытие в последнее десятилетие явления однопузырько-вой сополюминесценции, свечения газа в пузырьке под действием внешнего акустического воздействия, стало новым стимулом для совершенствования теоретических и экспериментальных методов описания процесса.

В настоящее время существуют несколько подходов к моделированию динамики пузырька в жидкости, основанных на законах механики сплошных сред в предположении о сферической симметрии задачи. В зависимости от способа описания среды используются различные приближения для газа внутри пузырька и окружающей его жидкости. Наиболее простое из них предполагает однородное распределение параметров в пузырьке и несжимаемость воды и сводится к решению обыкновенного дифференциального уравнения. Для того чтобы модель в полной мере учитывала динамические свойства среды используется более сложная постановка, в которой газ и жидкость описываются с помощью законов сохранения в форме дифференциальных уравнений в частных производных. Поскольку специфика рассматриваемой задачи такова, что для ее решения необходимо привлекать численные методы, то основным требованием, предъявляемым к математической модели, становится сочетание точности и

экономичности ее применения.

Целью диссертационной работы является построение и численная реализация эффективной математической модели, описывающей динамику нелинейных колебаний газового пузырька в жидкости с учетом образования ударных воли и разрывов в среде.

Направлениями исследований являются моделирование поведения пузырька в жидкости в условиях, соответствующих экспериментам по акустической и лазерной люминесценции, а также выявление основных закономерностей пузырькового коллапса и образования ударных волн при интенсивном сжатии.

Методы исследований. Поставленные задачи решались численно на ЭВМ. Для решения системы дифференциальных уравнений в частных производных, выражающих законы сохранения, использовались конечно-разностные схемы, основанные на методе распада разрыва.

Достоверность и обоснованность результатов, полученных в диссертационной работе, обеспечивается корректностью математик ческой постановки задачи, основанной на применении законов сохранения механики сплошных сред, проведением сравнительных тестовых расчетов и согласованием с данными экспериментальных исследований.

На защиту выносятся.

- математическая модель, описывающая колебания парогазового пузырька в жидкости с учетом приближений уравнений динамики среды;

- решения задач о охлопывании пузырька в воде при сонолюми-несценции и лазерном пробое в жидкости.

Научная новизна работы состоит в

- разработке математической модели решения задачи о радиальных колебаниях газового пузырька в жидкости с учетом двухкомпо-нентности газовой фазы, эффектов тепло- и массопереноса и нелинейных явлений, связанных с образованием ударных волн;

- создании эффективного вычислительного алгоритма для решения широкого класса задач, связанных с описанием сферически-симметричного движения пузырька в жидкости;

- численном моделировании колебаний газового, парового и парогазового пузырьков в воде в условиях, соответствующих экспериментам по акустической и кавитационной люминесценции.

Практическая полезность работы. Полученные в работе результаты могут быть использованы для объяснения механизмов схлопьгоания микропузырьков в жидкости, приводящих к ионизации и свечению газа, а. также для дальнейших практических разработок с целью достижения сверхплотных состояний вещества внутри пузырька. Разработанная математическая модель и построенный на ее основе вычислительный алгоритм имеют универсальный характер для решения широкого круга задач газовой динамики.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались автором на семинарах кафедры механики сплошных сред математического факзгльтета Башкирского государственного университета и Института Механики УНЦ РАН (под руководством профессора И. Ш. Ахагова), конференции молодых ученых Башкирского государственного университета (Уфа, 1998), международной научной конференции „Оптимизация численных методов", посвященной 90-летшо со дня рождения С. Л- Соболева (Уфа, 1998), IV всероссийской школе-семинаре „Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа" САМГОП-98 (Уфа, 1998), ХХП школе-семинаре по проблемам механики сплошных сред в системах добычи, сбора, подготовки, транспорта и переработки нефти и гада под руководством академика АН Республики Азербайджан А. X. Мирзаджанзаде (Уфа, 1998), XV международном симпозиуме по нелинейной акустике 1Я>чА15 (Геттинген, Германия, 1999), рабочем семинаре Третьего Физического Института Геттингенского Университета под руководством профессора В. Ла-утерборна (Геттинген, Германия, 1999), международной конференции по многофазным системам, посвященной 60-летию со дня рождения академика РАН Р. И. Нигматулина 1СМ8-2000 (Уфа, 2000), VI школе-семинаре стран СНГ „Акустика неоднородных сред" под руководством профессора В. К. Кедрипского (Новосибирск, 2000).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 7 работах автора, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 163 страницы, в том числе 46 рисунков. Список литературы состоит из 145 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении отмечена практическая ценность и. актуальность проблем, рассматриваемых в диссертации. Сформулированы цель и научная новизна работы. Проведено краткое изложение структуры диссертации.

В первой главе выполнен обзор теоретических и экспериментальных исследований, посвященных изучению нелинейных колебаний газового пузырька в жидкости в условиях люминесценции. Рассмотрены различные модели описания пузырькового коллапса применительно к задачам об акустической и лазерной кавитации. Показана необходимость построения математической модели, учитывающей особенности решения путем использования упрощающих приближений.

Моделирование задачи осуществляется в предположении о сферически-симметричном характере движения. В общем случае вся вычислительная область разбивается по радиальной координате на три зоны, а именно: 1) 0 < г < а(Ь) - занимаемую газом, где д(() -радиус пузырька; 2) а(Ь) < г < - занимаемую жидкостью и ограниченную некоторой искусственно введенной лагранжевой границей, радиус которой в несколько раз превосходит ¿¡(¿); л 3) Д(£).< г < Яр, зону жидкости, в которой она считается слабосжи-маемой:

Для описания динамики парогазовой смеси в области 0 < г < а(£) рассматривается система дифференциальных уравнений в частных производных: « 1 я

д , . 1 д , , 9Ч др — - А (

дt и дг рт2 дг ^ 7 дт

Здесь р,и,р,Т,е = ре+/га2/2 - соответственно плотность, скорость, давление, температура и удельная на единицу объема полная энергия смеси, е - удельная на единицу массы внутренняя энергия смеси,

к - массовая концентрация пара, Л = kXv + (1 — к)\д - коэффициент теплопроводности смеси, D - коэффициент бинарной (взаимной) диффузии, определяющий интенсивность относительного движения компонент (пара ,,v" и газа „g") в соответствие с законом Фика:

pv (и - Uv) = -рд (и - Ug) = pD^;.

В предположении выполнения условий локального термодинамического равновесия в каждой точке среды, отсутствия химических реакций между отдельными компонентами и аддитивности параметров газовой смеси справедливы следующие соотношения:

Pv = кр, рд = (1 - к) р, T = TV= Тд,

u — huv + (l-k)ug, p = pv+p3, £ = kev + (1 - k)sg.

Связь между основными переменными пара и газа выражается с помощью уравнений состояния, которые в общем случае записываются в виде: . /m-,

Для жидкости в области a(t) < г < R(t) с учетом прежних обозначений дифференциальные уравнения выглядят следующим образом; dp, 1 Ô ,

d , . 1 d , о оч dpi

-щ (piuù + ^ГдР (piui r") + — 0> dei 13, 2, 1 a /, 2дТЛ

В общем случае предполагается, что жидкость не является однородной по составу и содержит малое количество растворенного в ней газа, массовая концентрация с которого определяется из решения уравнения

дс дс _ 1 д ( 2 ®с\ dt Ul дг pit2 дг \fir 32дг ) '

где аэ - коэффициент диффузии газа в жидкости.

Уравнения состояния для жидкости определяются соотношения-

ЫИ' . Р1 = РАРЬЪ), £( =£«{рг, За-

граничные условия в центре пузырька, на поверхности раздела фаз и в поде при г = выглядят следующим образом: дк др дТ

и|г=о=0, —|г=0=0, ^1г=о = 0, -^-¡г=о=0; , . Зу + , - 2г>

Щг=а = а--:-, иг|г=а=о--;-,

Р|г~ Л Р1\г~а

' 2а 4^и{|г=а . 2а 4щ (. %

р\г=а = Р1\т=а +--ь - = Р1\г=а Н--Н--О - —-

а а а а \ р1 \г=а

Зг|г=о ~ Т\г-а = [Т], Л(-^|г_а - А— \г-а = ¿ь1(Ру\г=а),

дк

р£>0^\г=а = (1 - k)jv - к]^ с|г=в = Нрд\г=а;

щ\г=н = и, Зг)г=д — Т;о, с\г~ц — Со, 1{ в,

Здесь а - коэффициент поверхностного натяжения для жидкости на границе пузырька, щ - коэффициент динамической вязкости воды, [Г] - скачок температуры на межфазной поверхности, 1{р„\т=а) ~ теплота парообразования, являющаяся функцией давления пара, (7( -скорость звука в жидкости, р[ - инициирующее давление в жидкости, которое в общей постановке зависит от размера колбы и интенсивности внешнего возмущения, _;'„ и з<1 - массовые потоки, вызванные процессами испарения и конденсации пара и диффузией газа:

. _ а (Р5(Г{|г=а) Г„р„1г={Л

\ ут J а

Г„ = ехр(—П ) - йл/п 1--у= / ехр(—а; )с£г

■и|г=а ,

и

■2\

fi — y— . y^BvTv\r=at v ¿Pv jr—û

de

Jd =

'Полученная система уравнений, записанная вместе с начальными и граничными условиями, моделирует задачу о колебаниях парогазового пузырька в жидкости, принимая во внимание нелинейные эффекты, связанные с образованием ударных волн в рассматриваемой области 0 < г < R(t). Вместе с тем специфика задачи такова, что влияние последних оказывается существенным лишь в течение очень короткого по сравнению с периодом колебаний пузырька промежутка времени. В остальное время динамические процессы внутри газа и жидкости происходят не столь интенсивно и могут быть описаны на основе упрощенных моделей.

При малых скоростях частиц внутри пузырька используется го-мобаричсское приближение для парогазовой смеси, предполагающее пространственную однородность давления, которое распространяется на случай однокомпонентности содержимого пузырька. В последней ситуации при условии, что толщина теплового слоя много больше радиуса пузырька, возможно дополнительное упрощение на основе изотермической модели. Для жидкости при малых отклонениях плотности от начального значения оказывается справедливым приближение несжимаемости, когда распределения параметров в области a(t) < г < R(t) находятся из интеграла Коши-Лагранжа с учетом известного закона изменения радиуса пузырька:

1--р;— ) О"-+ г 1 - -zpr- hTlr=a + 2 1

Ci J dt 2 V 3Q / V 4CZ

Ui\r=ajv f, , a\pi\r=a-pT ad

X- = f 1 + — 1 ---+ ~fr-rAPl\r=a-Pl)-

Pio \ О i J pio piabiat

Использование упрощений уравнений динамики газовой смеси внутри пузырька и в окружающей жидкости в зависимости от характера изменения радиуса пузырька приводит к значительной экономии машинного времени, так как позволяет.избежать энергоемкой процедуры решения системы дифференциальных уравнений в частных производных. Вместо этого в течение преобладающего промежутка времени колебаний пузырька решение задачи будет сводиться

к численному интегрированию обыкновенного дифференциального уравнения, выражающего закон изменения радиуса. Используемый при этом метод Рунге-Кутты, основанный на формулах Дормана-Принса, аппроксимирует его с пятым порядком точности во времени. Пространственные распределения параметров в газе и жидкости будут определяться либо явно, либо, если речь идет о гомобарической модели для газа и уравнении теплопроводности для воды, численно на основе неявной конечно-разностной схемы второго порядка аппроксимации.

Во второй главе излагается методика численной реализации уравнений газовой динамики, записанных в виде

|(рт^) +1(^=0,

— (риг?) + — (ри2тР + рге) = 0ргв-\

где 0 - показатель симметрии (при /? — 0 имеем обычный плоский случай, при /3 = 1 и /? = 2 случаи соответственно цилиндрической и сферической симметрии).

Для численного решения системы рассматриваются две конечно-разностные схемы. Первая из них записана в подвижной системе координат: 1= I, £ = £ (г, {) и аппроксимирует систему равенств

Ш + д£ + <эе ~

в которой II = (рт13Г£,риг13Г£,егРг(УГ, Г = (и — г^ , риг&(и— -п) +рт0, еИ3 (и- г*) +риг0)Т, й = (о,0,-Л^г^дТ/д^, И =

Вторая схема использует представление Исходных уравнений в лагранжевых массовых переменных:

¿ = гп(г,0= /

¿о

ди вд1_ + сЮ=н дЬ дгп дгп

где и = (т,и,те,г)Т;В = (-1, г3,1,1)т, = (г0и,р,г^ир,О)Т, С = = (О.О.-Аг^т-^/Эш.О)7, Я = (0,0,0, «)г, т —1/р.

Решение матричных уравнений проводится методом расщепления по физическим процессам. На нервом шаге для каждого временного отрезка At с помощью метода распада разрыва определяется промежуточное решение системы дифференциальных уравнений без учета теплопроводности (А = 0). Используемая при этом конечно-разностная аппроксимация имеет первый порядок точности во времени и пространстве, причем значения в промежуточных узлах расчетной сетки берутся из решения локальной задачи Римана о распаде разрыва для каждой пары соседних узлов. Далее, с учетом найденных таким образом значений газодинамических параметров решается система:

ди дС гг(га-Н)

откуда окончательно получаем и^.

Для оценки применимости численного метода к задачам', в решении которых присутствуют ударные волны и разрывы, проводится ряд тестовых расчетов. При этом рассматриваются задачи, для которых существуют аналитические или автомодельные решения, позволяющие оценивать результаты, полученные численно: в плоском случае - задача. Римана о распаде произвольного разрыва и задача о поршпе, вдвигаемом в область, заполненную теплопроводящим газом, а в сферическом - задачи о слете газа в. точку и о сходящейся к центру симметрии сферической ударной волне большой интенсивности.

В третьей главе решается задача о нелинейных колебаниях газового пузырька в центре сферической колбы, заполненной жидкостью, под действием периодического акустического поля.

Для идеальных газа и жидкости, подчиняющихся уравнениям состояния

_ Рз (1 ~ ЪдРд) РдВдТд _ Р1 - к\ - Н2)

9 (ъ~1)Рд' 9 1 (71-1) Л '

где тд = 1.4, 1 ¡Ъя = 794 кг/м3, Вд = 287.75 м2/(с2-К), 7/ = 1-015, к\ — 2.25 • 10® м2/с2, = Ю00 кг/м3, проводится сравнение различных моделей описания динамики среды. На рис. 1 показаны вре-

а, мкм 100-,

Т. К

1Е+9 -з

О

1Е+2

30

35

40 1 МКС

45

-2.0 -10 0.0 1.0 2.0 3.0

М", НС

Рис. 1. Изменения радиуса пузырька и температуры в его центре в зависимости от времени. Ь* обозначает момент времени, соответствующий минимальному значению радиуса пузырька, а о = 10 мкм, ре = до - рг (* +■ Яр/Я) = р2 (4 - Пр/^) +

и = 27г(45 кГц), Ар = 0.25 атм, Др = 5 см, = 1 атм, Сг = 1500 м/с,

= Аг = 0, а = /¿/ = 0.

менные зависимости радиуса пузырька и температуры с его центре, построенные для четырех различных вариантов решения задачи без учета теплопроводности. Решение по модели настоящей работы, основанной, ¡на использовании приближений (толстая сплошная линия), оценивается путем сравнения с решениями, полученными по полной модели в газе и жидкости (тонкая сплошная линия), полной модели для газа и приближения несжимаемой жидкости (штриховая линия) и адиабатической модели для газа и несжимаемой жидкости (пунктирная линия). Анализ результатов позволяет сделать вывод о том, что предложенная в работе модель удовлетворительно описывает динамические процессы в газе и жидкости и является экономичной с точки зрения вычислительных затрат.

На рис. 2 представлены графики временных и пространственных распределений параметров в газе и жидкости, построенные для газа с учетом (сплошная линия) и без учета (пунктирная линия) теплопроводности. Из рисунка видно, что в условиях рассматриваемой задачи нагрев пузырька, заполненного теплопроводным газом, обусловлен безударным квазиадиабатическим сжатием вещества. Нали-

а, мкм

0.9 -f.

р, атм р. атм r 1Е+10 1Е-7 -,

- 1Е+3

0.5

lE-í-2 1Е-2

1 i ; i 1 i ' 1-i

0.0 0.2 0.4 0,6 0.8 '1.0 12

Г, МКМ

-0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 t-t*,не

Рис. 2. Изменение радиуса пузырька и давления в его центре для газа с учетом (сплошная линия) и без учета теплопроводности (пунктирная линия). Пространственные распределения давления в моменты времени, соответствующие коллапсу, со = 4.5 мкм, p¡(t) = = рю — A^/sin (ait), ш — 2тт (26.5 кГц), Api = 1.45 атм, рю = 1 атм, As = 0.0258(Ts/293)°'5, \¡ = 0, = 0.001 Па-с, а = 0.0726 Н/м.

чие теплопроводности приводит к вырождению ударных волн.

Исследование влияния уравнений состояния на динамику финального сжатия пузырька проведено с учетом реальных зависимостей для воздуха, аргона и воды. Показано (см. рис. 3), что при коллапсе воздушного пузырька внутри него образуются ударные волны, а для аргона сохраняется гомобарический профиль распределения параметров. Численные эксперименты с различными амплитудами внешнего акустического давления позволили выявить основные закономерности пузырькового схлопывания для двух исследуемых газов.

В четвертой главе приводится решение задачи о охлопывании сферической паровой полости, индуцированной лазерным пробоем в жидкости.

Постановка задачи предполагает, что в начальный момент времени паровой пузырек покоится в неограниченном объеме воды и имеет одинаковую с ней температуру. Дальнейшее сжатие пузырька определяется тем, что давление насыщения водяного пара при комнатной температуре оказывается намного меньше атмосферного давления в жидкости. В процессе схлопывания происходит конденсация пара,

а, мкм р. атм Т,,,^, К

М*, не Др,, атм

Рис..З. Изменение радиуса и температуры в центре для воздушного (пунктирная линия) и аргонового (сплошная линия) пузырьков при Ар[ = 1.35 атм. Зависимость максимального значения температуры газа в центре пузырька от амплитуды внешнего возмущения. Течки -решение для воздуха, символы - для аргона, ао = 4.5 мкм, ш = 2тг(26.5 кГц). ~ *

так что масса полости в момент максимального сжатия оказывается на порядок меньше свое!« начального значения. После коллапса, который в лабораторных условиях сопровождается световой вспышкой, пузырек расширяется и совершает еще несколько затухающих радиальных колебаний.

Решение задачи проводится в соответствие с изложенной выше методикой, полная система дифференциальных уравнений для пара и воды используется только при больших скоростях сжатия и растяжения. Для моделирования пара рассматривается зависимость в форме ван дер Ваальса, жидкость описывается уравнением Ми-Грюнайзеиа. Решение строится с учетом теплопроводности и массо-обмена на границе пузырька, обусловленного испарением и конденсацией.

В результате численных расчетов установлено (см. рис. 4), что в момент схлоиывания паровой полости, внутри нее происходит квазиадиабатическое сжатие газа, сопровождающееся повышением давления до 105 атм и температуры до 104 К. Сравнение с экспериментальными данными по величине минимального радиуса, высоте первого

ш, 10"1:кг а, мк.м -100

-[-Г , . р

О 20 40 60 80 100 120 140

^ МКС

л—'—I |—г 1—I—1—г -100 -50 0 50 100 150 200 1-1", НС

Рис. 4. Зависимость радиуса пузырька и массы пара от времени. Изменения радиуса и температуры пара в центре пузырька при схло-пывании. Решение для ао = 1 мм, а = 0.075.

!Г 3 л - г 1

450 -

200

г, в □

250—,

200

150

Т I ' 1 1 ,

0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1,6 а0, мм

О/ /

/

1.0 2 0 а0, мм

Рис. 5. Сравнение с экспериментальными данными по высоте первого отскока и максимальной амплитуде давления в ударной волне в воде на расстоянии 3 мм от центра пузырька. Символы - результаты лабораторных измерений, точки - расчетные значения.

□

100

отскока и амплитуде расходящейся ударной волны в воде (Ohl et al., 1999; Lindau, Lauterborn, 2000) проводится для различных значений начального радиуса пузырька (см. рис. 5).

Влияние малых (порядка 1%) добавок неконденсируемого газа анализируется с помощью численного решения задачи о схлопыва-нии парогазовой полости с учетом процессов диффузии внутри нее и в окружающей жидкости. Показано, что на стадии сжатия пузырька около его границы со стороны газа устанавливается тонкий пограничный слой с относительно высоким содержанием воздуха. В результате скорость конденсации уменьшается и конечная масса пузырька в коллапсе оказывается больше, чем в случае, когда его содержимое составляет только пар. Для различных начальных концентраций воздуха исследуются интенсивность схлопывания и величина последующего отскока.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключении приведем основные результаты работы и выводы.

1. Построена математическая модель для описания сферически-симметричных колебаний газового пузырька в жидкости с учетом эффектов тепло- и массообмсна и двухкомпонентности газовой фазы. В зависимости от характера поведения решения рассматриваются динамические приближения уравнений газовой динамики, которые позволяют существенно упростить процедуру численной реализации задачи.

2. Предложен эффективный вычислительный алгоритм для решения гидродинамической системы дифференциальных уравнений в частных производных, моделирующих задачу о колебаниях пузырька в жидкости, основанный на методе распада разрыва.

3. Рассмотрена задача о радиальных колебаниях газового пузырька в жидкости под действием периодического акустического воздействия. На основе сравнения различных моделей описания газа в пузырьке и жидкости показана эффективность предложенной вычислительной методики. На примере простых уравнений состояния ван дер Ваальса для газа и двухпараметрической зависимости для воды установлено, что учет теплопроводности среды приводит к вырождению ударных волн, которые имеют место в случае нетеплопроводного газа.

4. Для реальных уравнений состояния воздуха, аргона и воды установлено, что динамика охлопывания воздушного пузырька имеет ударно-волновой характер, а коллапс пузырька, наполненного аргоном, происходит в режиме квазиадиабатического нагрева газа около центра пузырька.

5. Построено численное решение задачи о схлопывании сферической паровой полости в воде в условиях, соответствующих лабораторным экспериментам по лазерной кавитации. Для различных значений максимального радиуса проведено сравнение с опытными данными по глубине коллапса, величине первого отскока и интенсивности расходящейся ударной волны в воде.

6. Показано, что в условиях рассматриваемой задачи небольшие (порядка 1%) добавки неконденсируемого газа приводят к ослаблению интенсивности схлопывания за счет формирования существенно неоднородного распределения концентраций вблизи стенки пузырька.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Топольников А. С. Численное моделирование колебаний газового пузырька в жидкости под действием акустических возмущений // Тезисы докладов международной научной конференции „Оптимизация численных методов". - Уфа, 1998. - С. 71-72.

2. Топольников А. С. Численное моделирование колебаний газового пузырька в жидкости под действием акустических возмущений // Сборник трудов XXII школы-семинара по проблемам механики сплошных сред в системах добычи, сбора, подготовки, транспорта и переработки нефти и газа. - Уфа, 1998. - С. 23-24.

3. Нигматулин Р. И., Ахатов И. Ш., Вахитова Н. К., Тополыш-ков А. С. Моделирование колебаний газового пузырька в жидкости под действием внешнего акустического возмущения // Вестник Башкирского Университета. - Уфа, 1999. - т 3. - С. 17-20.

4. Nigmatulin R. I., Akhatov I. Sh., Vakhitova N. К., Topolnikov A. S. Bnbble collapse and shock formation in sonoluminescence // Book of Abstracts of International Symposium on Noirlinear Acoustics ISNA-15. - Goettingen, Germany, 1999. - P. 49.

5. Nigmatulin R. I., Akhatov I. Sh., VakhitovaN. K., Topolnikov A. S. Bubble collapse and shock wave formation in sonoluminescence // "Non-

linear Acoustics at the Turn of Millennium" AIP conference proceedings: - Melville, New York, USA, 2000. - Vol. 524. - P. 433-436.

6. Nigmatulin R. I., Akhatov I. Sh., Vakhitova N. K., Eolotno-va R. Kh., Topolnikov A. S., Nasibullayeva E. Sh., Kalyakina 0. L., Zakirov K. R. Mathematical modeling of a single bubble and multibubble dynamics in a liquid // Proceedings of International Conference on Multiphase Systems ICMS-2000. - Ufa, 2000. - P. 294-301.

7. Vakhitova N. K., Nigmatulin R. I., Akhatov I. Sh., Bolotno-va R. Kh., Topolnikov A. S., Nasibullayeva E. Sh. Resonant supercompression of gas bubbles (sonoluminescence, sonochemistry and bubble fusion) / / Book of Abstracts of 20th International Congress of Theoretical and Applied Mechanics ICTAM-2000. - Chicago, USA, 2000. -P. 64.

X

Введение

Глава 1. Обзор экспериментальных и теоретических исследований нелинейных колебаний пузырька газа в жидкости. Постановка задачи и основные уравнения

1.1 Обзор экспериментальных и теоретических исследований

1.2 Постановка задачи и основные уравнения

1.2.1 Уравнения динамики парогазового пузырька в жидкости

1.2.2 Начальные и граничные условия.

1.2.3 Уравнение движения границы "жидкой капли"

1.2.4 Динамические приближения для газа и жидкости

Глава 2. Численный метод

2.1 Численная схема для решения системы дифференциальных уравнений в подвижной системе координат.

2.2 Численная схема для решения системы дифференциальных уравнений в лагранжевых массовых переменных.

2.3 Решение задачи Римана о распаде произвольного разрыва

2.4 Примеры решения задач газовой динамики с ударными волнами в плоском и сферическом случаях.

2.4.1 Задача о распаде разрыва в плоской постановке

2.4.2 Задача о поршне, вдвигаемом в трубу, заполненную теплопроводящим газом.

2.4.3 Задача о слете газа в точку

2.4.4 Задача о сходящейся ударной волне в газе переменной плотности.

Глава 3. Задача о колебаниях газового пузырька в жидкости под действием акустического поля

3.1 Модели идеальных газа и жидкости.

3.1.1 Сравнение с полной моделью решения задачи.

3.1.2 Сравнение с моделью теплопроводного газа.

3.1.3 Анализ влияния амплитуды внешних возмущений на характер колебаний воздушного и аргонового пузырьков

3.2 Модели реальных газа и жидкости.

3.2.1 Расчет схлопывания воздушного пузырька в воде на основе реальных уравнений состояния для газа и жидкости

3.2.2 Расчет схлопывания аргонового пузырька в воде на основе реальных уравнений состояния для газа и жидкости

3.2.3 Влияние амплитуды внешнего воздействия на характер сжатия для воздушного и аргонового пузырьков в случае реальных уравнений состояния.

Глава 4. Задача о схлопывании парового пузырька в жидкости в условиях кавитационной люминесценции

4.1 Динамика парового пузырька в жидкости при лазерном пробое

4.2 Влияние добавок неконденсируемого газа на поведение пузырька при лазерном пробое в жидкости.

Важность исследования динамических процессов в пузырьковых жидкостях связана с тем, что они широко представлены в природе и технике. Многие современные технологии, используемые в различных промышленных отраслях, основаны на применении кавитационных эффектов. Поэтому адекватное описание процессов образования, роста и схлопывания газовых пузырьков в жидкости с учетом возникновения ударных волн в среде является актуальной задачей механики и физики.

Построение и реализация математической модели, описывающей динамику одиночного газового пузырька в жидкости, представляются важными по двум причинам. С одной стороны решение задачи о колебаниях монопузырька способствует формированию понятий об основных закономерностях движения в процессе взаимодействия пузырьков в кластере. С другой стороны рассматриваемая задача представляет самостоятельный интерес в связи с исследованием кумулятивных эффектов, возникающих в момент захлопывания газовой полости. Открытие в последнее десятилетие явления однопузырьковой сонолюминесценции, свечения газа в пузырьке под действием внешнего акустического воздействия, стало новым стимулом для совершенствования теоретических и экспериментальных методов описания процесса.

В настоящее время существуют несколько подходов к моделированию динамики пузырька в жидкости, основанных на предположении о сферической симметрии задачи. В зависимости от способа описания среды используются различные приближения для газа внутри пузырька и окружающей его жидкости. Наиболее простое из них предполагает однородное распределение параметров в пузырьке и несжимаемость воды и сводится к решению обыкновенного дифференциального уравнения. Для того чтобы модель в полной мере учитывала динамические свойства среды, используется более сложная постановка, в которой газ и жидкость описываются с помощью законов сохранения в форме дифференциальных уравнений в частных производных. Поскольку специфика рассматриваемой задачи такова, что для ее решения необходимо привлекать численные методы, то основным требованием, предъявляемым к математической модели, становится сочетание точности и экономичности ее применения.

Целью настоящей работы является построение и численная реализация эффективной математической модели, описывающей динамику нелинейных колебаний газового пузырька в жидкости с учетом образования ударных волн и разрывов в газе и жидкости.

Предложенная модель основана на использовании приближений, в соответствие с которыми на различных этапах решения задачи применяются обоснованные упрощения в ее постановке. В качестве основной модельной гипотезы используется предположение о слабой сжимаемости жидкости вдали от поверхности пузырька. Настоящий подход позволяет избавиться от энергоемкой процедуры численного интегрирования системы дифференциальных уравнений в частных производных во всей области, занимаемой водой, и ограничиться рассмотрением только ближней к пузырьку зоны. Дополнительные упрощения связаны с использованием приближений законов сохранения газовой динамики в пространстве и времени, когда изменение параметров среды происходит достаточно медленно. В этом случае для моделирования динамики газа в пузырьке в зависимости от постановки задачи применяются адиабатическая, изотермическая или гомобарическая модели, а жидкость считается несжимаемой. Предложенный метод позволяет добиться существенной экономии машинного времени без видимых потерь в точности решения.

Научная новизна работы состоит в

- разработке математической модели решения задачи о радиальных колебаниях газового пузырька в жидкости с учетом двухкомпонентности газовой фазы, эффектов тепло- и массопереноса и нелинейных явлений, связанных с образованием ударных волн;

- создании эффективного вычислительного алгоритма для решения широкого класса задач, связанных с описанием сферически-симметричного движения пузырька в жидкости;

- численном моделировании колебаний газового, парового и парогазового пузырьков в воде в условиях, соответствующих экспериментам по акустической и кавитационной люминесценции.

Достоверность результатов, полученных в рамках диссертационной работы, обеспечивается корректностью математической постановки задачи, основанной на применении законов сохранения механики сплошных сред, проведением сравнительных тестовых расчетов и согласованием с данными экспериментальных исследований.

Практическая значимость работы. Полученные в работе результаты могут быть использованы для объяснения механизмов схлопывания микропузырьков в жидкости, приводящих к ионизации и свечению газа, а также для дальнейших практических разработок с целью достижения сверхплотных состояний вещества внутри пузырька. Разработанная математическая модель и построенный на ее основе вычислительный алгоритм имеют универсальный характер для решения широкого круга задач газовой динамики.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 163 страницы, в том числе 46 рисунков. Список литературы состоит из 145 наименований.

Заключение

В заключении приведем основные результаты работы и выводы.

1. Построена математическая модель для описания сферически-симметричных колебаний газового пузырька в жидкости с учетом эффектов тепло-и массообмена и двухкомпонентности газовой фазы. Предложенная модель основана на использовании гипотезы „жидкой капли", в соответствие с которой вся область жидкости разбивается на две зоны, причем сжимаемость среды учитывается только в ближней к поверхности пузырька зоне. В зависимости от характера поведения решения рассматриваются динамические приближения уравнений газовой динамики, которые позволяют существенно упростить процедуру численной реализации задачи.

2. Предложен эффективный вычислительный алгоритм для решения гидродинамической системы дифференциальных уравнений в частных производных, моделирующих задачу о колебаниях пузырька в жидкости. Основу численного метода составляет конечно-разностная схема Годунова первого порядка точности, использующая решение классической задачи Римана о распаде разрыва. Практическая реализация законов сохранения механики сплошной среды осуществляется в лагранжевых и эйлеро-лагранжевых переменных. Эффективность численного метода тестируется с помощью модельных гидродинамических задач о распаде произвольного разрыва й о поршне, вдвигаемом в область, заполненную теплопроводящим газом, в плоском случае, а также о слете газа в точку и о сходящейся к полюсу ударной волне большой интенсивности - в случае сферической симметрии.

3. Рассмотрена задача о радиальных колебаниях газового пузырька в жидкости под действием периодического акустического воздействия. На основе сравнения различных моделей описания газа в пузырьке и жидкости показана эффективность предложенной вычислительной методики. На примере простых уравнений состояния ван дер Ваальса для газа и двухпараметрической зависимости для воды установлено, что учет теплопроводности среды приводит к вырождению ударных волн, которые имеют место в случае нетеплопроводного газа. Определены основные закономерности образования ударных волн в газе при последовательном повышении амплитуды внешнего воздействия.

4. Для реальных уравнений состояния воздуха, аргона и воды проведены численные расчеты в задаче об акустической кавитации пузырька в жидкости. Показано, что динамика схлопывания воздушного пузырька существенно отличается от коллапса пузырька, наполненного аргоном. В первом случае в газе наблюдается интенсивная ударная волна, которая вызывает кратковременный всплеск параметров в центре, во втором характер сжатия обусловлен квазиадиабатическим нагревом газа около центра пузырька в безударном режиме. Для разных значений амплитуды периодического возмущения проведена серия вычислительных экспериментов, в которых исследуется ее влияние на максимальный рост газодинамических параметров в пузырьке.

5. Построено численное решение задачи о схлопывании сферической паровой полости в воде в условиях, соответствующих лабораторным экспериментам по лазерной кавитации. Исследованы эффекты тепло- и массо-обмена на межфазной границе, приводящие к изменению массы пузырька. Для различных значений максимального радиуса проведено сравнение с опытными данными по глубине коллапса, величине первого отскока и интенсивности расходящейся ударной волны в воде.

6. Показано, что в условиях рассматриваемой задачи добавки неконден-сируемого газа ничтожно малы и содержимое пузырька главным образом составляет водяной пар. Проведены исследования влияния присутствия воздуха в виде небольших (порядка 1%) начальных массовых концентраций. Установлено, что на стадии сжатия пузырька около его стенки образуется тонкий пограничный слой с относительно высоким содержанием газа, который значительно уменьшает скорость конденсации пара. Численные расчеты с различными значениями начальной концентрации воздуха показали, что при ее увеличении интенсивность схлопывания ослабевает.

1. Аганин А. А., Ильгамов М. А. (1997). Особенности расчета нелинейных сферических волн в газе и жидкости методом распада разрыва // Сборник научных трудов: „Моделирование динамических процессов в сплошных средах", Казань, стр. 109-194, 1997.

2. Аганин А. А., Ильгамов М. А. (1999). Численное моделирование дй-намики газа в пузырьке при схлопывании с образованием ударных волн // ПМТФ т. 40 - стр. 101-110 - 1999.

3. Аганин А. А. (2000). Нелинейные колебания газа в областях с подвижными границами // Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук, 2000.

4. Акуличев В. А. (1978). Кавитация в криогенных и кипящих жидкостях. М.: „Наука", 1978.

5. Аскарьян Г. А., Прохоров А. М., Чантурия Г. Ф., Шипуло Г. П. (1963). Луч оптического квантового генератора в жидкости // ЖЭТФ -т. 44 вып. 6 - стр. 2180-2182 - 1963.

6. Ахмадеев Н. X. (1993). Уравнения состояния газообразных и конденсированных веществ. Уфа, 1993.

7. Бузуков А. А., Попов Ю. А., Тесленко В. С. (1969). Экспериментальное исследование взрывного процесса, вызванного фокусировкой моноимпульсного излучения лазера в воду // ПМТФ № 5 - стр. 17-24 -1969.

8. Бузуков А. А., Тесленко В. С. (1971). Сонолюминесценция при фокусировке лазерного излучения в жидкость // Письма в ЖЭТФ т. 14 -вып. 5 - стр. 286-289 - 1971.

9. Варгафтик Н. Б. (1972). Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей М.: „Наука", 1972.

10. Гиршфельдер Дж., Кертисс Ч., Берд Р. (1961). Молекулярная теория газов и жидкостей. М.: „Иностранная литература", 1961.

11. Годунов С.К. (1959). Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики // Математический сборник -т. 47 вып. 3 - стр. 271-306 - 1959.

12. Годунов С. К., Забродин A.B., Иванов М. Я., Крайко А. Н., Прокопов Г. П. (1976). Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: „Наука", 1976.

13. Жарков В. Н., Калинин В. А. (1968). Уравнения состояния твердых тел при высоких давлениях и температурах. М.: „Наука", 1968.

14. Забабахин Е. И. (1960). Заполнение пузырьков в вязкой жидкости // ПММ т. 24 - вып. 6 - стр. 1129-1131 - 1960.

15. Зельдович Я. Б., Райзер Ю. П. (1966). Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. М.: „Наука", 1966.

16. Карлыханов Н. Г., Коваленко Г. Н., Ногин В. Н., Симоненко В. А. (1999). Свечение газовых пузырьков при сонолюминесценции // Труды Международной конференции V Забабахинские научные чтения, Сне-жинск, стр. 41-45, 1999.

17. Кедринский В. К. (2000). Гидродинамика взрыва: эксперимент и модели.- Новосибирск: изд-во СО РАН, 2000.

18. Лабунцов Д. А., Муратова Т. М. (1972). Тепло- и массоперенос. -Минск, 1972.

19. Лабунцов Д. А. (1977). Неравновесные эффекты при испарении и конденсации // Сборник научных трудов: „Парожидкостные потоки", Минск, стр. 6-33, 1977.

20. Ламб Г. (1947). Гидродинамика.- М.: „Гостехиздат", 1947.

21. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. (1976). Статистическая гидродинамика. Ч. 1, 2. М.: „Наука", 1976.

22. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. (1988). Гидродинамика. М.: „Наука", 1988. ;

23. Лойцянский Л. Г. (1978). Механика жидкости и газа. М.: „Наука", 1978.

24. Маргулис М. А. (2000). Сонолюминесценция // Успехи физ. наук -т. 170 № 3 - стр. 263-287 - 2000.

25. Нигматулин Р. И., Хабеев Н. С. (1976). Динамика парогазовых пузырьков // Изв. АН ССР, МЖГ № 6 - стр. 56-61 - 1976.

26. Нигматулин Р. И. (1978). Основы механики гетерогенных сред. М,: „Наука", 1978.

27. Нигматулин Р. И. (1987). Динамика многофазных сред. Ч. 1, 2. М.: „Наука", 1987.

28. Нигматулин Р. И., Шагапов В. Ш., Вахитова Н. К., Лэхи Р. Т. (мл.) (1995). Метод сверхсильного сжатия газового пузырька в жидкости непериодическим вибрационным воздействием давления умеренной амплитуды // Доклады РАН Т. 341 - № 1 - стр. 37-41 - 1995.

29. Нигматулин Р. И., Ахатов И. Ш., Вахитова Н. К. (1996). О сжимаемости жидкости в динамике газового пузырька // Доклады РАН Т. 348 -№ 6 - стр. 768-771 - 1996.

30. Нигматулин Р. И., Шагапов В. Ш., Галеева Г. Я. (1998). Вынужденные нелинейные колебания газового пузырька в большой сферической колбе (резонаторе), заполненной жидкостью // ПМТФ Т. 39 - № 5 - стр. 7787 - 1998.

31. Нох В. Ф. (1967). СЭЛ совместный эйлерово-лагранжев метод для расчета нестационарных двумерных задач // Сборник статей: „Вычислительные методы в гидродинамике" - М.: „Мир", стр. 128— 184, 1967.

32. Оран Э., Борис Дж. (1990). Численное моделирование реагирующих потоков М: „Мир", 1990.

33. Патанкар С. (1984). Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М.: „Наука", 1984.

34. Пол Б. (1962). Коэффициенты испарения // Ракетная техника № 9 -стр. 3-12 - 1962.

35. Ривкин С. Л., Александров А. А. (1980). Теплофизические свойства воды и водяного пара. М.: „Энергия", 1980. ;

36. Самарский А. А., Попов Ю. П. (1992). Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: „Наука", 1992.

37. Седов Л. И. (1977). Методы подобия и размерности в механике -М.: „Наука", 1977.

38. Седов Л. И. (1984). Механика сплошной среды. Т. 1, 2. М.: „Наука", 1984.

39. Тесленко В. С. (1976). Экспериментальные исследования кинетико-энергетических особенностей коллапсирующего пузырька от лазерного пробоя в вязких жидкостях // ПМТФ № 4 - стр. 109-117 - 1976. ;

40. Тесленко В. С. (1977). Исследование светоакустических и светогидро-динамических параметров лазерного пробоя в жидкостях // Квантовая электроника т. 4 - № 8 - стр. 1732-1737 - 1977.

41. Физические величины : Справочник // под ред. Григорьева И. С., Мей-лихова Е. 3. М.: „Энергоатомиздат", 1991.

42. Франк-Каменецкий Д. А. (1987). Диффузия и теплопередача в химической кинетике. М.: „Наука", 1987.

43. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. (1990). Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: „Наука", 1990.

44. Черноусько Ф. Л. (1960). Сходящиеся ударные волны в газе переменной плотности // ПММ т. 24 - стр. 885-896 - 1960.

45. Atkins P. W. (1982). Physical Chemistry // Oxford U. P., New York, 1982.

46. Baghdassarian O., Tabbert B., Williams G. A. (1999). Luminescence characteristics of laser-induced bubbles in water // Phys. Rev. Lett. -Vol. 82 № 12 - pp. 2437-2440 - 1999.

47. Barber B. P., Putterman S. J. (1991). Observation of synchronous picosecond sonoluminescence // Nature Vol. 352 - pp. 318-320 - 1991.

48. Barber B. P., Hiller R., Arisaka K., Fetterman H., Putterman S. (1992). Resolving picosecond characteristics of synchronous sonoluminescence / / J. Acoust. Soc. Am. Vol. 91 - № 5 - pp. 3061-3063 - 1992.

49. Barber B. P., Wu C. C., Lofstedt R., Roberts P. H., Putterman S. J. (1994). Sensivity of sonoluminescence to experimental parameters // Phys. Rev. Lett. Vol. 72 - № 9 - pp. 1380-1383 - 1994.

50. Barber B. P., Hiller R. A., Lofstedt R., Putterman S. J., Weninger K. R. (1997). Defining the unknowns of sonoluminescence // Phys. Reports-Vol. 281 pp. 65-143 - 1997.

51. Battino R., Rettich T. R., Tominaga T. (1984). The solubility of nitrogen and air in liquids //J. Phys. Chem. Ref. Data Vol. 13 - pp. 563-600 -1984.

52. Born M., Mayer J. E. (1932). Zur Gittertheorie der Ionenkristalle // Z. Phys. Vol. 75 - pp. 1-18 - 1932.

53. Brennen C. E. (1995). Cavitation and bubble dynamics // Oxford U. P., New York, 1995.

54. Brenner M. P., Lohse D., Oxtoby D., Dupont T. F. (1996). Mechanisms for stable single bubble sonoluminescence // Phys. Rev. Lett. Vol. 76 -№ 7 - pp. 1158-1161 - 1996.

55. Chakravarthy S. R., Osher S. (1985). A new class of high accuracy TVD schemes for hyperbolic conservation laws // AAIA Paper № 85-0363, AAIA, New York, 1985.

56. Chodes N., Warner J., Gagin A. (1974). A determination of the condensation coefficient of water from the growth rate of small cloud droplets // J. Atmos. Sci. Vol. 31 - p. 1351 - 1974.

57. Cheng H. Y., Chu M.-C., Leung P. T., Yuan L. (1998). How important are shock waves to single-bubble sonoluminescence? // Phys. Rev. E -Vol. 58 № 3 - pp. R2705-R2708 - 1998.

58. Chu M.-C., Leung D. (1997). Effects of thermal conduction in sonoluminescence //J. Phys.: Condens. Matter Vol. 9 - pp. 3387-3397 - 1997.

59. Colella P., Glaz H. M. (1985). Efficient algorithms for the Riemann problem for real gases //J. Comp. Physics Vol. 59 - pp. 264-289 - 1985.

60. Colella P., Woodward P. R. (1984). The piecewise parabolic method (PPM) for gas-dynamical simulations // J. Comp. Physics Vol. 54 - pp. 174201 - 1984.

61. Colussi A. J., Weavers L. K., Hoffman M. R. (1998). Chemical bubble dynamics and quantitative sonochemistry //J. Phys. Chem. A Vol. 102 -pp. 6927-6934 - 1998.

62. Crum L. A. (1994). Sonoluminescence // Phys. Today № 9 - pp. 22-29 -1994.

63. Eller A., Flynn H. G. (1965). Rectified diffusion during nonlinear pulsations of cavitation bubbles //J. Acoust. Soc. Am. Vol. 37 - № 3 - pp. 493-503-1965.

64. Flynn H. G. (1975). Cavitation dynamics. I. A mathematical formulation // J. Acoust. Soc. Am. Vol. 57 - № 6 - pp. 1379-1396 - 1975.

65. Fyrillas M. M., Szeri A. J. (1994). Dissolution or growth of soluble spherical oscillating bubbles // J. Fluid. Mech. Vol. 277 - pp. 381-407 - 1994.

66. Frenzel H., Schultes H. (1934). Luminescenz im ultraschallbeschickten Wasser // Z. Phys. Chem Vol. 27b - pp. 421-424 - 1934.

67. Fujikawa S., Akamatsu T. (1980). Effects of the non-equilibrium condensation of vapor on the pressure wave produced by the collapse of a bubble in a liquid // J. Fluid Mech. Vol. 97 - pp. 481-512 - 1980. ■

68. Gaitan D. F. (1990). An experimental investigation of acoustic cavitation in gaseous liquids // Ph. D. dissertation, Univ. of Mississippi 1990.

69. Gaitan D. F., Crum L. A., Roy R. A., Church C. C. (1992). Sonolumi-nescence and bubble dynamics for a single, stable cavitation bubble // J. Acoust. Soc. Am. Vol. 91 - pp. 3166-3172 - 1992.

70. Gilmore F. R. (1952). The collapse and growth of a spherical bubble in a viscous compressible liquid // Californ. Tech. Univ. Hydrodynamics Lab. Rep. № 24-4 1952.

71. Glimm J. (1965). Solutions in the large for nonlinear hyperbolic systems of equations // Comm. Pure Appl. Math. Vol. 18 - p. 697 - 1965.

72. Gompf B., Günther R., Nick G., Pecha R., Eisenmenger W. (1997). Resolving sonoluminescence pulse width with time-correlated single photon counting // Phys. Rev. Lett. Vol. 79 - № 7 - pp. 1405-1408 - 1997.

73. Grüneisen E. (1908). Zusammenhang zwischen Kompressibilität, thermischer Ausdehnung, Atomvolumen und Atomwärme der Metalle // Ann. Phys. Vol. 26 - pp. 393-402 - 1908.

74. Guderley G. (1942). Starke kugelige und zylindrische Verdichtungsstöße in der Nähe des Kugelmittelpunktes bzw. der Zylinderachse // Luftfahrtforschung, 19 1942.

75. Gurtman G. A., Kirsch J. W., Hastings C. R. (1971). Analytical equation of state for water compressed to 300 Kbar //J. Appl. Phys. Vol. 42 -№2-p. 851-857- 1971.

76. Hagen D. E., Schmitt J., Trueblood M., Carstens J., White D. R., Alofs D. J. (1989). Condensation coefficient measurement for water in the UMR cloud simulation chamber //J. Atmos. Sei. Vol. 46 - p. 803 - 1989.

77. Harten A. (1983). High resolution schemes for hyperbolic conservation laws // J. Comp. Phys. Vol. 49 - pp. 357-393 - 1983.

78. Hentschel W., Lauterborn W. (1982). Acoustic emission of single laser-produced cavitation bubbles and their dynamics // Appl. Sc. Research -Vol. 38 pp. 225-230 - 1982.

79. Herring C. (1941). Theory of pulsation of the gas bubble produced by an underwater explosion // OSRD Report № 236 - 1941.

80. Hickling R. (1963). Effects of thermal conduction on sonoluminescence // Nature Vol. 352 - p. 318 - 1963.

81. Hilgenfeldt S., Lohse D. (1999). Predictions for upscaling sonoluminescence // Phys. Rev. Lett. Vol. 82 - № 5 - pp. 1036-1039 - 1999.

82. Hilgenfeldt S., Grossmann S., Lohse D. (1999). Sonoluminescence light emission // Phys. Fluids Vol. 11 - № 6 - pp. 1318-1330 - 1999.

83. Hiller R., Putterman S. J., Barber B. P. (1992). Spectrum of synchronous picosecond sonoluminescence // Phys. Rev. Lett. Vol. 69 - pp. 182-1184 -1992.

84. Hiller R. A., Putterman S. J., Weninger K. R. (1998). Time-resolved spectra of sonoluminescence // Phys. Rev. Lett. Vol. 80 - pp. 10901093 - 1998.

85. Holt M. (1984). Numerical methods in fluid dynamics // Berlin, Heidelberg: Springer, 1984.

86. Holt R. G., Gaitan D. F. (1996). Observation of stability boundaries in the parameter space of single bubble sonoluminescence // Phys. Rev. Lett. -Vol. 77 pp. 3791-3794 - 1996.

87. Himmelblau D. M. (1964). Diffusion of dissolved gases in liquids // Chem. Rev. Vol. 64 - pp. 527-550 - 1964.

88. Jarman P. (1960). Sonoluminescence: A discussion //J. Acoust. Soc. Am.L Vol. 32 p. 1459 - 1960.

89. Kamath V., Prosperetti A. (1989). Numerical integration methods in gas-bubble dynamics // J. Acoust. Soc. Am. Vol. 85 - pp. 1538-1548 -1989.

90. Kamath V., Prosperetti A., Egolfopoulos F. N. (1993). A theoretical study of sonoluminescence //J. Acoust. Soc. Am. Vol. 94 - pp. 248-260 - 1993.

91. Ketterling J. A., Apfel R. E. (1998). Experimental validation of the dissociation hypothesis for single bubble sonoliiminescence // Phys. Rev. Lett. Vol. 81 - pp. 4991-4994 - 1998.

92. Kondic L., Gersten J. I. (1993). Theory of the origin of brief sonolumine-scence light pulses // Preprint, City College of the City University of New York, 1993.

93. Kondic L., Gersten J. I., Yuan C. (1995). Theoretical studies of sonolu-minescence radiation: Radiative transfer and parametric dependence // Phys. Rev. E Vol. 52 - № 5 - pp. 4976-4990 - 1995. .

94. Kondic L., Yuan C., Chan C. K. (1998). Ambient pressure and single-bubble sonoluminescence // Phys. Rev. E Vol. 57 - № 1 - pp. R32-R35 -1998.

95. Kwak H.-Y., Na J. H. (1996). Hydrodynamic solutions for a sonolumine-scing gas bubble // Phys. Rev. Lett. Vol. 77 - № 21 - pp. 4454-4457 -1996.

96. Lindau O., Lauterborn W. (2000). Laser-produced cavitation studied with 100 million frames per second // AIP conference proceedings -Vol. 524 - pp. 385-388 - 2000.

97. Lofstedt R., Barber B. P., Putterman S. J. (1993). Toward a hydrodynamic theory of sonoluminescence // Fhys. Fluids Vol. 5 - № 11 - pp. 29112928 - 1993.

98. Lofstedt R., Weninger K. R., Barber B. P., Putterman S. J. (1995). Sonoluminescence bubbles and mass diffusion // Phys. Rev. E Vol. 51 -pp. 4400-4410 - 1995.

99. Lohse D., Brenner M. P., Dupont T., Hilgenfeldt S., Johnston B. (1997). Sonoluminescing air bubbles rectify argon // Phys. Rev. Lett. Vol. 78 -pp. 1359-1362 - 1997.

100. Matula T. J., Crum L. A. (1998). Evidence for gas exchange in single bubble sonoluminescence // Phys. Rev. Lett. Vol. 80 - p. 865 - 1998.

101. Metten B., Lauterborn W. (2000). Molecular dynamics approach to single bubble sonoluminescence // AIP conference proceedings Vol. 524 -pp. 429-432 - 2000.

102. Mie G. (1903). Zur kinetischen Theorie der einatomigen Korper // Ann. Phys. Vol. 11 - pp. 657-697 - 1903.

103. Moss W. C., Clarke D. B., White J. W., Young D. A. (1994). Hydrodynamical simulations of bubble collapse and picosecond sonoluminescence // Phys. Fluids Vol. 6 - № 9 - pp. 2979-2985 - 1994.

104. Moss W. C., Clarke D. B., Young D. A. (1997). Calculated pulse widths and spectra of a single sonoluminescence bubble // Science Vol. 276 -pp. 1398-1401 - 1997.

105. Moss W. C., Young D. A., Harte J. A., Levatin J. L., Rozsnyai B. F., Zimmerman G. B., Zimmerman I. H. (1999). Computed optical emissions from a sonoluminescing bubble // Phys. Rev. E Vol. 59 - № 3 - pp. 29862992 - 1999.

106. Nigmatulin R. I., Khabeev N. S., Nagiev F. B. (1981). Dynamics, heat and mass transfer of vapour-gas bubbles in a liquid // Int. J. Heat Mass Transfer Vol. 24 - № 6 - pp. 1033-1044 - 1981.

107. Nigmatulin R. I., Shagapov V. Sh., Vakhitova N. K., Lahey R. T. Jr.1996). A method for superhigh compression-induced temperatures in agas bubble using non-periodic resonance liquid pressure forcing // Chem. Eng. Comm. Vols. 152-152 - pp. 17-53 - 1996.

108. Nigmatulin R. I., Akhatov I. Sh., Vakhitova N. K., Topolnikov A. S. (2000). Bubble collapse and shock wave formation in sonoluminescence // AIP conference proceedings Vol. 524 - pp. 433-436 - 2000.

109. Nigmatulin R. I., Akhatov I. Sh., Vakhitova N. K., Lahey Jr. R. T. (2000). On the forced oscillations of a small gas bubble in a spherical liquid-filled flask // J. Fluid Mech. Vol. 414 - pp. 47-73 - 2000.

110. Notlingk B. E., Neppiras E. A. (1950). Cavitation produced by ultrasonics // Proc. Phys. Soc. London Sec. B Vol. 63 - pp. 674-685 - 1950.

111. Ohl C.-D., Philipp A., Lauterborn W. (1995). Cavitation bubble collapse studied at 20 million frames per second // Ann. Phys. Vol. 4 - pp. 26-34 -1995.

112. Ohl C.-D., Lindau O., Lauterborn W. (1998). Luminescence from spherically and aspherically collapsing laser induced bubbles // Phys. Rev. Lett. Vol. 80 - pp. 393-396 - 1998.

113. Ohl C.-D., Kurz T., Geisler R., Lindau O., Lauterborn W. (1999). Bubble dynamics, shock waves and sonoluminescence // Phil. Trans. R. Soc. Lond. A Vol. 357 - pp. 269-294 - 1999.

114. Pecha R., Gompf B., Nick G., Wang Z. Q., Eisenmenger W. (1998). Resolving the sonoluminescence pulse shape with a streak camera // Phys. Rev. Lett. Vol. 81 - p. 717 - 1998.

115. Plesset M. S. (1949). The dynamics of cavitation bubbles // J. Appl. Mech. Vol. 16 - pp. 277-282 - 1949.

116. Prosperetti A., Lezzi A. (1986). Bubble dynamics in a compressible liquid.

117. First order theory // J. Fluid Mech. Vol. 168 - pp. 457-478 - 1986.

118. Prosperetti A., Lezzi A. (1987). Bubble dynamics in a compressible liquid.

119. Second order theory // J. Fluid Mech. Vol. 185 - pp. 289-304 - 1987.

120. Putterman S. J., Weninger K. R. (2000). Sonoluminescence: How bubbles turn sound into light // Annu. Rev. Fluid Mech. Vol. 32 - pp. 445-476 -2000.

121. Rayleigh Lord. (1917). On the pressure developed in a liquid during the collapse of a spherical cavity // Phil. Mag. Vol. 34 - № 200 - pp. 94-98 -1917.

122. Ree F. H. (1976). Equation of state of water // LLNL Report UCRL-52190, 1976.

123. Riney T. D., Garg S. K., Hastings C. R., Kirsch J. W., Morland L. W. (1970). Systems, science and software //La Jolla, Calif. Rept. № 3SR-267, 1970.

124. Roe P. L. (1981). Approximate Riemann solvers, parameter vectors, and difference schemes //J. Comp. Physics Vol. 43 - pp. 357-372 - 1981.

125. Schräge R. W. (1953). A theoretical study of interphase mass transfer // Columbia U. P., New York, 1953.

126. Simonenko V. A., Nogin V. N., Kucherenko Y. A., Kovalenko G. V., Karlykhanov N. G. (2000). Single bubble collapse: Physics and prospects // Proc. Int. Conf. on Multiphase Systems, Ufa pp. 306-315 - 2000.

127. Sochard S., Wilhelm A. M., Delmas H. (1997). Modelling of free radicals production in a collapsing gas-vapour bubble // Ultrason. Sonochem. -Vol. 4-pp. 77-84- 1997.

128. Storey B. D., Szeri A. J. (1999). Mixture segregation within sonoluminescence bubble // J. Fluid Mech. Vol. 396 - pp. 203-221 - 1999.

129. Storey B. D., Szeri A. J. (2000). Water vapour, sonoluminescence and sonochemistry // Proc. R. Soc. Lond. A Vol. 456 - pp. 1685-1709 -2000.

130. Vogel A., Busch S., Parlitz U. (1996). Shock wave emission and cavitation bubble generation by picosecond and nanosecond optical breakdown in water //J. Acoust. Soc. Am. Vol. 100 - № 1 - pp. 148-165 - 1996.

131. Vuong V. Q., Szeri A. J. (1996). Sonoluminescence and diffusive transport // Phys. Fluids Vol. 8 - № 9 - pp. 2354-2364 - 1996.

132. Voung V. Q., Szeri A. J., Young D. A. (1999). Shock formation within sonoluminescing bubbles // Phys. Fluids Vol. 11 - № 1 - pp. 10-17 -1999.

133. Walsh J. M., Rice M. H. (1957). Dynamic compression of liquids from measurements on strong shock waves //J. Chem. Phys. Vol. 26 - № 4 -pp. 815-819 - 1957.

134. Weninger K., Putterman S. J., Barber B. P. (1996). Angular correlations in sonoluminescence: Diagnostic for the sphericity of a collapsing bubble // Phys. Rev. E Vol. 54 - № 3 - pp. R2205-R2208 - 1996.

135. Weninger K. R., Cho H., Hiller R. A., Putterman S. J., Williams G. A. (1997). Sonoluminescence from an isolated bubble on a solid surface // Phys. Rev. E Vol. 56 - № 6 - pp. 6745-6749 - 1997.

136. Wu C. C., Roberts P. H. (1993). Shock-wave propagation in a sonoluminescing gas bubble // Phys. Rev. Lett. Vol. 70 - № 22 - pp. 3424-3427 -1993.

137. Wu C. C., Roberts P. H. (1994). A model of sonoluminescence // Proç. R. Soc. Lond. A Vol. 445 - pp. 323-349 - 1994.

138. Yasui K. (1995). Effects of thermal conduction on bubble dynamics near the sonoluminescence threshold //J. Acoust. Soc. Am. Vol. 98 - № 5 -pp. 2772-2782 - 1995.

139. Yasui K. (1997). Alternative model of single-bubble sonoluminescence // Phys. Rev. E Vol. 56 - № 6 - pp. 6750-6760 - 1997.

140. Yasui K. (1998). Single-bubble dynamics in liquid nitrogen // Phys. Rev. E Vol. 58 - № 1 - pp. 471-479 - 1998.163

141. Yasui K. (1999). Mechanism of single-bubble sonoluminescence // Phys. Rev. E Vol. 60 - № 2 - pp. 1754-1758 - 1999.

142. Yasui K. (1999). Single-bubble sonoluminescence from hydrogen // J. Chem. Phys. Vol. Ill - № 12 - pp. 5384-5389 - 1999.

143. Yuan L., Cheng H. Y., Chu M.-C., Leung P. T. (1998). Physical parameters affecting sonoluminescence: A self-consistent hydrodynamical study // Phys. Rev. E Vol. 57 - №4 - pp. 4265-4280 - 1998.