Численное моделирование поведения гибких двиговых оболочек с деформируемой нормалью тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Й/Г-

ЬВІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ імені ІВАНА ФРАНКА

Іванова Наталія Володимирівна

УДК 519.6:517.958

ЧИСЕЛЬНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ПОВОДЖЕННЯ ГНУЧКИХ ЗСУВНИХ ОБОЛОНОК З ДЕФОРМІВНОЮ НОРМАЛЛЮ

01.01.07 - обчислювальна математика

АВТОРЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Львів - 1999

Робота виконана у Львівському національному університеті імені Іван Франка на кафедрі інформаційних систем.

Науковий керівник - доктор фізико-математичних наук, професор Шинкаренко Георгій Андрійович,

Львівський національний університет імені Івана Франка, завідувач кафедри інформаційних систем

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Слоньовський Роман Володимирович, Державний університет “Львівська політехніка”, професор кафедри прикладної математики;

кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Тополюк Юрій Павлович,

Інститут прикладних проблем механіки і математики імені Я.С.Підстригана НАН України, старший науковий співробітник відділу чисельних методів математичної фізики

Провідна установа: інститут кібернетики імені В.М.Глушкова НАН України, м. Київ

Захист відбудеться 23 березня 2000 р. о 1520 год. на засіданні спеціалізовано вченої ради Д 35.051.07 у Львівському національному університеті імен Івана Франка за адресою: 79602, м. Львів, вул. Університетська, 1, механіко математичний факультет, ауд. 377.

З дисертацією можна ознайомитись у Науковій бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка (вул. Драгоманова, 5).

Автореферат розісланий лютого 2000 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Я.В.Микитюк

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ '

Актуальність проблеми. Проектування тонкостінних інженерних інструкцій складної форми, які експлуатуються в умовах різноманітного атичного і динамічного навантаження, як правило, передбачає проведення іаліфікованого обчислювального експерименту, який вимагає:

> певної редукції тривимірної крайової задачі теорії пружності до двовимірної крайової задачі для визначення характеристик напружено-деформованого стану серединної поверхні оболонки;

» застосування адекватних чисельних схем для аналізу розв’язків вжитої теорії оболонок.

Важливу роль у формуванні основних гіпотез та у побудові ключових внянь геометрично нелінійної теорії оболонок та методів їх розв’язування грали праці Л.Я. Айноли, С.А. Амбарцумяна, І.Г. Бубнова, В.З. Власова, [. Воровича, К.З. Галімова, Я.М. Григоренка, А.Н. Гузя, А.Т. Василенка, .Ф. Каюка, В.А. Крисько, Х.М. Муштарі, В.В. Новожилова, В.Н. Паймушина, Б. Рікардса та багатьох інших вчених.

Протягом останніх десятиліть при розв’язанні задач теорії оболонок стали ідзвичайпо поширеними чисельні методи, засновані на варіаційних зинципах, які є універсальним способом опису енергетичних закономірностей ^тематичними засобами. Фундаментальні дослідження з цього питання іконані в працях В.Л. Бердичевського, К. Васідзу, К. Ланцоша, Л.С. Поллака, . Ректориса, Л.А. Розіна, J.T. Oden, J.N. Reddy та ін.

Питання існування та єдиності розв’язків варіаційних задач теорії золонок успішно розв’язуються методами функціонального аналізу. В працях Главачека, Р. Гловінскі, Г. Дюво, O.A. Ладиженської, Ж.-Л. Ліонса, . Мадженєса, С.Г. Міхліна, І. Нечаса були побудовані конструктивні методи )ведення існування та єдиності розв’язків варіаційних задач, які базуються на )будові послідовності апроксимацій Гальоркіна та подальшому граничному :реході в просторах допустимих функцій. Одним з ключових питань в таких зведеннях є питання коерцитивності білінійної форми, яка відповідає зтенціальній енергії оболонки. Доведення цього факту для певних класів юлонок в межах теорій Кірхгофа-Лява та теорії оболонок Тимошенка-[індліна можна знайти в працях І. Главачека, І. Нечаса, В.Г. Литвинова, проте

і даний час важко знайти доведення коерцитивності білінійної форми іріаційної задачі для оболонки довільної форми. Деякі підходи до доведення нування та єдиності розв’язків варіаційних задач теорії оболонок можна ¡айти в працях І.Ю. Хоми, М.М. Карчевського та ін.

Ефективне розв’язування сучасних задач теорії оболонок можливе при істосуванні таких потужних чисельних методів як варіаційно-різницевий та

метод скінченних елементів (MCE). Значний внесок у розвиток цих методії зробили Л.Г. Агошков, І. Бабушка, О. Зенкевич, Р.Д. Назаров, B.JI. Макаров Г.І. Марчук, С.Г. Міхлін, Ж.-П. Обен, Я.Г. Савула, A.A. Самарський, Г. Стренг Ф. Сьярле, Г.А. Шинкаренко та ін.

Однією з найбільш поширених в галузі дослідження оболонкови; конструкцій є теорія оболонок Тимошенка-Міндліна, яка базується на гіпотез про незалежний поворот нормалі оболонки. В працях А.Е. Богдановича A.C. Вольміра, К.З. Галімова, Є.І. Григолюка, Р.Б. Рікардса започатковані дослідження шестимодального варіанту узагальненої теорії, в яком; розглядаються три компоненти вектора переміщень серединної поверхні та трі функції, які характеризують поворот та обтиск нормалі, причому виходячи певних механічних міркувань в даних працях було знехтувано певним) компонентами згинних деформацій.

Отже, не дивлячись на значні результати, актуальними та важливимі етапами теоретичного та прикладного дослідження оболонкових конструкції залишаються питання: побудови моделей, здатних належним чиної!

відтворювати нелінійний характер їх деформування, поворот та відносн видовження волокон нормалі серединної поверхні тощо; коректності початково крайових та відповідних варіаційних задач; побудова і належне обгрунтуванн чисельних схем для узагальнених моделей оболонок; розробка алгоритмів ци: схем та відповідного програмного забезпечення.

Метою праиі є розробка математичних моделей, дослідження ї; коректності та побудова проекційно-сіткових схем для розв’язуванн варіаційних задач узагальненої теорії гнучких оболонок, а саме:

• розробка ключових рівнянь, постановка початково-крайових зада геометрично нелінійного деформування оболонок з урахуванням обтиск нормалі на базі шестимодального варіанту теорії оболонок Тимошенка Міндліна та формулювання відповідних варіаційних задач;

• доведення коерцитивності білінійної форми, яка відповідає потенціальні енергії ортотропної оболонки з достатньо регулярною серединної поверхнею довільної форми;

• встановлення умов коректності побудованих варіаційних задач шляхо; доведення існування, єдиності та неперервної залежності розв’язку ві даних задачі;

• побудову чисельних схем сформульованих варіаційних задач використання MCE для дискретизації задач за просторовими змінними т однокрокових рекурентних схем інтегрування в часі;

• дослідження умов стійкості та оцінок швидкості збіжності побудовани чисельних схем;

з

• програмна реалізація побудованого алгоритму для розрахунку гнучких оболонкових конструкцій;

• тестування запропонованої моделі гнучких оболонок з деформівною нормаллю, чисельних схем та програмного забезпечення шляхом розв’язування модельних задач та аналізу збіжності отриманих розв’язків. Загальна методика досліджень. В роботі використані співвідношення

’еометрично нелінійної теорії пружності. Шляхом усереднення характеристик «пружено-деформованого стану в напрямку нормалі до серединної поверхні оболонки побудовано замкнену систему ключових рівнянь шестимодальної 'еометрично нелінійної теорії оболонок відносно невідомих зміщень та іоворотів серединної поверхні оболонки. Сформульовані початково-крайові іадачі досліджуються за допомогою варіаційних методів з використанням іринципу віртуальних робіт. Отримані варіаційні задачі розв’язуються за допомогою напівдискретизації Гальоркіна та використання однокрокових рекурентних схем інтегрування в часі. Доведення коректності варіаційних задач га стійкості і збіжності чисельних схем здійснюється методами функціонального аналізу та шляхом дослідження відповідних енергетичних рівнянь з подальшою побудовою апріорних оцінок.

Наукова новизна результатів даної праці полягає у наступному:

• побудована система ключових рівнянь, які описують процес деформування гнучких оболонок довільної форми з урахуванням обтиску нормалі та лінійного поводження компонент тензора повороту по товщині оболонки;

• здійснено доведення коректності поставлених варіаційних задач лінійного деформування зсувних оболонок довільної форми з урахуванням обтиску нормалі;

• побудовано схеми квазілінеаризації запропонованих варіаційних задач на основі методу Ньютона;

• побудовано схеми чисельного розв’язування задач лінійного деформування зсувних оболонок з урахуванням обтиску нормалі на основі напівдискретизації Гальоркіна з використанням апроксимацій МСЕ та однокрокової рекурентної схеми Ньюмарка;

• встановлено достатні умови стійкості та побудовано оцінки швидкості збіжності вищезгаданих чисельних схем.

Практичне значення отриманих результатів полягає у створенні обгрунтованої методики чисельного дослідження задач деформування оболонкових конструкцій складної геометрії в умовах різноманітного навантаження і різних способах закріплення та у побудові алгоритму чисельного розв’язання отриманих задач. Розроблений програмний комплекс

може використовуватись для лінійного та нелінійного аналізу напружин деформованого стану оболонкових конструкцій з ортотропних матеріалів.

Реалізаиія та впровадження результатів роботи. Дана праця виконай в рамках планів наукових досліджень держбюджетної тематики кафедр прикладної математики та кафедри інформаційних систем Львівськог національного університету імені Івана Франка. Основні результати робот включені в звіт науково-дослідної теми Пп-785Б “Математичне та програми забезпечення чисельного моделювання еволюційної взаємодії фізикс механічних полів”, яка виконувалась протягом 1997-99 рр. кафедрої інформаційних систем згідно програми № 45 Координаційного плану наукове дослідних робіт Міністерства освіти України.

Вірогідність результатів забезпечується теоретичними положенням механіки суцільного середовища; доведенням коректності поставлени варіаційних задач; побудовою апріорних оцінок швидкості збіжносі проекційно-сіткових схем; відповідністю скінченноелементних розв’язкі тестових задач з їх аналітичними розв’язками; порівняльним аналізо: наближених розв’язків на послідовно згущуваних сітках як за просторовим змінними, так і в часі; співставленням з результатами розрахунків, отриманії іншими авторами.

Апробація роботи. Основні результати даної праці доповідались на дво Всеукраїнських конференціях “Застосування обчислювальної техігію математичного моделювання та математичних методів у наукови дослідженнях” (Львів, 1997, 1998), на міжнародній науковій конференції питань моделювання та дослідження стійкості систем (Київ, 1997), міжнароднії науково-методичній конференції “Комп’ютерне моделювання (Дніпродзержинськ, 1998), звітних конференціях Львівського університет (1997, 1998), а також на наукових семінарах кафедри прикладної математики т кафедри інформаційних систем Львівського національного університету імен Івана Франка (1996-1999).

Публікації. Основні результати дисертаційної праці відображені у 1: статтях та тезах доповідей наукових конференцій, з яких 5 наукових статей ; виданнях з переліку, затвердженого ВАК України.

Структура та обсяг прані. Дисертація складається зі вступу, п’яті розділів, висновків та списку літератури. Вона містить 140 сторіно: машинописного тексту, 11 рисунків та 11 таблиць. Бібліографія складається і 214 літературних джерел. .

Особистий внесок здобувана. Основні результати дисертаційної праи отримані автором самостійно. В той же час в працях [1-4], опублікованих і співавторстві з П.П. Вагіним та Г.А. Шинкаренко, дисертанту належит; розробка математичної моделі поведінки гнучких зсувних оболонок

¡формівною нормаллю, доведення Х/’-еяіптичності білінійної форми, яка зроджена потенціальною енергією зсувної оболонки з деформівною нормаллю, збудова проекційно-сіткових схем і доведення їх стійкості та збіжності, ззробка програмного забезпечення та проведення чисельних експериментів. В раці [12] автору належить формулювання задачі про напружено-деформований ган оболонок, побудова варіаційних постановок даних задач та доведення їх зректності. Співавтору П.П. Вагіну на рівних правах з дисертантом належать гзультати розробки згаданих математичних моделей оболонок, розробки тгоритмів проекційно-сіткових схем, конструювання програмного ібезпечення та проведення розрахунків. Науковому керівнику '.А. Шинкаренко належить постановка задачі дисертації, аналіз та обговорення держаних результатів.

Автор висловлює щиру подяку науковому керівнику професору, доктору іізико-математичних наук Г. А. Шинкаренку та науковому консультанту .оценту, кандидату фізико-математичних наук П. П. Вагіпу за постійну ;опомогу, увагу, підтримку та цінні поради в процесі виконання цієї роботи.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обговорюється важливість та актуальність проблем, які юзглядаються в дисертаційній праці.

Н пертому рої діл і проведено аналіз основних результатів, методів гисельного розв’язування задач теорії оболонок та огляд наукових робіт за ■емою дисертації. Сформульовано цілі дослідження, наукова новизна, а також )сновні наукові положення, які виносяться на захист. Подано анотацію щсертації за розділами.

її другому розділі даної праці побудовано ключові рівняння та ¡формульовано початково-крайову задачу теорії гнучких зсувних оболонок з іеформівною нормаллю.

Розглянемо оболонку скінченного об’єму

V = {(огІ,аг2,(а'з):(а,1,а,)єП,-А/2<а3 <к/2}.

З огляду на малу в порівнянні з іншими характерними розмірами зболонки товщину й, розгорнемо компоненти вектора переміщень точок зболонки за формулою Тейлора в околі серединної поверхні

С/,(а,, а2, йг3 , /) = иі (а,, а,, /)+ а, • у,(¿¡г, , а2, ?)+ Оуі2} і = 1,2,3. (2.1)

Тут м,- = £/,.(«яг,,<яг2,0,г), /, 0,/).

даз '

Таким чином для визначення напружено-деформованого стану гнучкої оболонки з деформівною нормаллю необхідно побудувати систему шести рівнянь руху для визначення вектора узагальнених зміщені ит =(м1(аг1,а2,0,и2(ді.йг2>г), «з(»і.а2^).Гі(а,,«2.0.Гг(«і.«2.0.Гз(аі.«2.0)-

Підставляючи апроксимації (2.1) в відомі деформаційні співвідношення гнучких тіл і відкидаючи в них члени порядку 0(1г2) та вище, отримаємо деформаційні співвідношення гнучких оболонок з деформівною нормаллю

£ £“ 2,/ « _ "2-Єп + 2%іЛ -=і о

& іі , » > Р/3 і ; 5 *

І + А:, \ + а3кі

є _ с £ — %\г ґп п

^33 ^12 , Ч/1 , ч* V

(1 + аъкх){\ + а2кг)

Тут Єц та Хц * компоненти тангенціальних та згинних деформацій, які маюті наступний вигляд

1 0 2 1 0 2

о о

£ц = ев + ~ ~ й? / , б'зз = еэз , є . = е,у - £У/ О)} , 1,2

0 1 0 1 І а 2 1 ° 2 Хи — К а + ^3-/ £Уз-і 4- 0)ъ (Оъ~-^к-, — — {кі + 2кзч)й>з ,

І 0 І 1 1 0

%\г ~ ^12 ¿У:- — й)\ 0г-і (2.3

] о 1 1 1 0 00

^3 = —^/¿Уз~—£У/<Уз4-£3_,й>/ £Уз, г=1,2,

де

"■*21.-..... 4.

» ^(^,К2) <72(Л,И,) 1 4(4/,)

¿у =---------------О) —-------------------------.

2А,А2 2 А{Аг 2АІА1 2А,А2

Ввівши матрицю-стовпець є -(.е^є^е^є^е^є^х^х^х^Х^Х-^

компонент тензора деформацій (2.3), остаточно деформаційні співвідношена можна записати у матричному вигляді

¿• = С,и+І(С0н)[1£п(С0и). (2.4

Перший доданок у виразі (2.6) відповідає компонентам лінійної деформації квадратична форма другого доданку є симетричною.

Рівняння руху гнучких оболонок з деформівною нормаллю побудовано н; основі варіаційного принципу Остроградського-Гамільтона. Підставивши ;

зираз для потенціальної енергії пружного тіла деформаційні співвідношення [2.3) та ввівши усереднені за товщиною оболонки характеристики напружень зигляду

Nn= j,<xl|(l + <23£2)¿ta,, Ми = ^(ти(1 +а^к2)а^а3 ТОЩО,

прирівняємо в рівнянні варіаційного принципу Остроградського-Гамільтона коефіцієнти при незалежних варіаціях переміщень; в результаті отримаємо систему рівнянь руху гнучких зсувних оболонок з деформівною нормаллю

ph^—álNsAz ,) + ^з ,3 ¡¿¡А, ДА-/,', + М’,)к,Ап)- к^АЖ -

дг ' 2 . - . -

-(#,*, + Ж,)*?,.,/*, + М:л)К,<?;-Л ~ 4<?з~,Кз-і + рЛЛ2 = 0.

(ДГ- (jV* ^ ) + ^( ^(,v ¿ +N„k,) + P}AtA, =0, (2.5)

or " ‘ ‘ "

phV\2^r-+=(K++

+ AlAlNl¡ - A¡<?i_¡ + AtA,m¡ = 0,

/7 % + ) ~ ^ :(4 М:’з)+ 4 A2 (iV33 + k\ Mi, + ^22) + Л, A Wj = 0

та статичні крайові умови

jV„ = iV„ cos2<? + ЛГ„ sin2 <9 + — (iV,2 + iVj,)sin 20 + — [(fe, + kz )(M’2 + M'2t )]sin 20, "2 4

Ns = -^-(JV22 - jVn)sin20+ N’2I eos2 #- jV*2 sin2 0 + ^(k2 eos2 0 — kt sin2 0)(M’2 + M'u),

Nz = íV^cos^ + jV^.smá1, (2.6)

Mn = A/,, eos219+ M22 sin2 ^ + +■ M2I )sin W,

А/, = -^(Л/22 ~ jV/n)sin2í? + M;, eos2 0-M¡2 sin2 0,

M, = M'u eos в -*• M\з sin 9.

Треба зауважити, що рівняння (2.5) та (2.6) разом з симетричними зусиллями та моментами Мі; містять “нововведені” зусилля ЛГ' і моменті:

М'., які визначаються співвідношеннями

При переході до лінійної теорії оболонок поворотами можна знехтувати тому нововведені зусилля і моменти співпадуть із відповідними симетричним!

і, оскільки рівняння руху (2.5) записані в лінійній формі, то (2.5) безпосередньо стають рівняннями руху лінійної теорії оболонок з деформівною нормаллю.

Доповнюють систему з деформаційних співвідношень (2.4), рівнянь рух\ (2.5) та статичних крайових умов (2.6) співвідношення пружності

Таким чином, в загальному випадку, початково-крайова задача теорї гнучких зсувних оболонок з деформівною нормаллю полягає у тому, щоб

знайти такий вектор узагальнених зміщень и{ах,аг,і), що деформації є{и) та зусилля і моменти а(и) задовольняють деформаційні співвідношення (2.4), фізичні співвідношення (2.8), рівняння руху (2.5) в області серединної поверхні оболонки, статичні крайові умови (2.6) на частині контуру Гст контура Г серединної поверхні СІ, геометричні крайові умови '

Здійснена тут редукція задачі теорії пружності приводить до відповіднії} задач теорії оболонок, яка дозволяє враховувати геометрично нелінійн; поведінку (гнучкість) оболонки, ортотропні властивості її матеріалу, деформаці

і напруження зсуву та повороти і відносні стиск/видовження нормалі серединно поверхні оболонки. Сформульовані початково-крайова та крайова задачі теорі гнучких зсувних оболонок із деформівною нормаллю узагальнюють добрі відомі моделі Кірхгофа-Лява і Тимошенка-Міндліна та найбільш повно послідовно описують напівдискретну модель теорії пружності за умов лінійно апроксимації вектора зміщень відносно змінної товщини.

+ (-1)' -1®з-,-(ЛГг - +

тощо. (2.7’

о- = Вє,

(2.8;

и = иг на Г„ = Г\Г<Г,

(2.9

та початкові умови

(2.10

В третьому розділі сформульовано варіаційні задачі теорії гнучких

ісувних оболонок з деформівною нормаллю, яка була розвинена в другому зозділі. Основними результатами даного розділу є доведення умов коректності заріаційних задач статичної рівноваги та динаміки лінійної теорії зсувних оболонок з деформівною нормаллю.

Вважаючи, що частина межі Г^ІЛГ^ жорстко защемлена, введемо простір кінематично допустимих векторів зміщень

формулюється варіаційна задача статики геометрично-нелінійного деформування гнучких зсувних оболонок з деформівною нормаллю

задано ІєУ;

знайти вектор узагальнених зміщень иеК такий, що

Тут форма та лінійний функціонал < І, •> мають наступний вигляд

При розгляді варіаційної задачі лінійної теорії оболонок в рівнянні (3.4) форма аЛ(-,-) замінюється білінійною формою яка має вигляд

(3.1)

з нормою

(3.2)

Припускаючи, що дані задачі задовольняють наступні включення Р = ІРі. Рг > Рз. т\ - т2 < тг} Є №)?,

(3.3)

а,у(»,у)=< /,у >

Уу є V.

(3.4)

а

(3.5)

\/и,у є V.

й(и,у)= ^^С,уУЕйВС,ис1€1 Уи,уеУ. (3.6'

п

Важливі властивості білінійної форми (3.6) констатує Теорема 3.1, про V-еліптичність білінійної форми

Нехай серединна поверхня О ортотропної оболонки є обмеженоїс поверхнею класу С2 з неперервною за Ліпишцем межею Г.

Припустимо, що

(!) пружні характеристики матеріалу оболонки приводять де симетричної додатно визначеної матриці В;

(!!) для кожного иєУ такого, що е(и) = {е^{и),...,е2г{и),Кп(и),...,К11(и),]-0 і СІ, випливає, що и=0у.

Тоді симетрична бтінійна формаа(-,•): КхК—»к. із (3.6) є неперервною тс У-еліптичною, тобто

|а(и,у)|< , М=сопіГ> 0, (3.7

а(и,и)>/^и^, (5=соп5ґ> 0, \/и,уєК. (3.8

Сформульований в даній теоремі факт дає можливість встановити один і: основних результатів стосовно лінійної варіаційної задачі статики оболонок : деформівною нормаллю.

Теорема 3.2. про коректність лінійної варіаційної задачі

Нехай на додаток до припущень теореми 3.1 навантаження ні розглядувану оболонку таке, що його усереднені за товщиною характеристикі задовольняють включення

4иієф), ¡=1,2,3 (3.9

К, К, Мп, М„ М; є ¿2(Г„). (3.10

Тоді лінійна варіаційна про рівновагу зсувної оболонки з деформівнон нормаллю має єдиний розв’язок и в просторі V, причому знайдеться С=сол5(>і така, що

кф«-- (ЗЛ1

Відповідна до початково-крайової задачі варіаційна задача динаміки оболоно має наступний вигляд:

Задано І є ¿2(0,Т;У); м°є V, и'єО;

знайти вектор узагальнених зміщень

и є 12(0,Т;У) такий, що •

/і(и"((),у) + ау(и(г),у) =</(0, V >, V іє(0,Т], (3.12

Ди'(0)-м',у) = 0,

a(w(0)-k°,v) = 0 VvsF, це на додаток до раніше введених позначень

A(".v>= +Лй)+~-(г' Л +Г&)^Лс1а^а2. (3.13)

З огляду на прийняті допущення відносно області Q та її межі Г білінійна форма //(v): GxG-*R неперервна, симетрична і G-еліптична, а тому визначає скалярний добуток в просторі G і норму jvj = ^¡m(u,v) VveG, еквівалентну нормі

і4-(іУмлМі;.Д

Як і для задачі статики, при переході до варіаційної задачі динаміки лінійної теорії в рівнянні (3.12) замість біквадратичної форми а,„(•,■) входить білінійна форма а(-,-).

Теорема 3.3. про коректність лінійної варіаційної задачі динаміки зсувних оболонок з деформівною нормаллю Припустимо, гцо виконуються умови теореми 3.1 та лінійний фунті іонол

І,1'єЬ!(.0уГ;Г).

Тоді існує єдиний розв’язок лінійної варіаційної задачі динаміки такий, що ueL“{0J;V), и' є U (0,T;G), и" є L2 (0,T;V).

Бічьиіе цього, розв'язок даної варіаційної задачі неперервно залежить від її даних, тобто існує C=consOO така, що

|a(0£ +К«Іо 5 фік +И“‘Е + illГИ|Ц W є[0.Л. (3.14)

Доведення даної теореми здійснюється конструктивним способом за допомогою напівдискретизації Гальоркіна. З цією метою вибирається послідовність скінченновимірних просторів апроксимацій {Vi,}eV така, що dim V>,=N->со при h—>0. Якщо зафіксувати в просторі Vh деякий базис то процедура Гальоркіна приводить до задачі Коші для системи звичайних диференціальних рівнянь

Mq’(t) + Kq{t) = R(t) Vte{0,T],

Kq(0) = q\ Mq’{0) = q\ (3.15)

для відшукання коефіцієнтів <j(r) = {g ,-(/)}*, розвинення напівдискретної апроксимації Гальоркіна

!'4(0 = 2д ('М ■ (3-16)

і-1

Оскільки матриці Мта К симетричні та додатно визначені, то задача Коші (3.15) має єдиний розв’язок.

Аналіз енергетичного рівняння

^К(0£+К(0Іо}=Ш.«;(0> '■//є(о,7'], (3.17

та побудова апріорних оцінок з використанням леми Гронуолла показали, ще послідовність напівдискретних апроксимацій {«*} утворює обмежену множину з якої можна вибрати збіжну при /¡->0 підпослідовність. Показано, що границ; побудованої таким чином послідовності є розв’язком лінійної варіаційної задач динаміки.

Виконаний аналіз варіаційних задач динаміки та статики зсувню

оболонок з деформівною нормаллю стосовно коректності їх постаново!

встановлює, з одного боку, правомірність розвиненої теорії на застосування, а,:

іншого боку, відкриває можливість побудови ефективних проекційно-сіткови>

схем відшукання їх розв’язків.

Основним результатом четвертого розділу є побудова проекційно-

сіткових схем для варіаційних задач теорії гнучких зсувних оболонок :

деформівною нормаллю та їх повний аналіз на предмет стійкості, апроксимаці

та збіжності для випадку лінійних задач цієї теорії. Розв’язування зада1

здійснюється методом скінченних елементів. Для цього в просторі V обираєтьо

послідовність скінченновимірних підпросторів У„ така, що Шт Ун=Ы->°о при /¡->0

та 1¥ = щільно вкладений у V. к>0

Послідовність апроксимацій Гальоркіна {і/л}єК розв’язку иєН варіаційно задачі статики (3.4) шукаємо як розв’язки наступних задач задано І є V та ¡і-союіуО;

знайти вектор и* є У/, такий, що (4.1

а,\(мл,у)=< 1,у > Уу є К*.

Вибираючи з векторних функцій розмірності 6x1 базис {(»,}", простору подамо розв’язок задачі (4.1) у вигляді лінійної комбінації

"/,=2^ (4-2[ Ы

З невідомим вектором коефіцієнтів q = {q■X,,. Тоді для знаходження розв’язку и, дискретизованої задачі (4.1) отримаємо систему нелінійних алгебричню рівнянь

(4.з;

для відшукання невідомих яи-.-лы розвинення (4.2). Туї К = та к = {к,}",, = {< і,ч>і >}*,. При розв’язуванні варіаційно

задачі лінійної теорії матриця К набуває вигляду К - {к:і = {а(^, срі )}* .

Важливі характеристики апроксимацій Гальоркіна лінійної варіаційної вдачі статики встановлює геппема 4.1.

Нехай виконано умови теореми 3.2 та иєУ - розв’язок лінійної варіаційної тдачі про рівновагу оболонки. Тоді для послідовності апроксимацій Гальоркіна [и*} вірні наступні твердження:

(!) для кожного фіксованого Іі> 0 коефіцієнти розвинення (4.2) жроксгшацій Гальоркіна едєК/, однозначно визначаються системою лінійних гпгебричнихрівнянь (4.3) з симетричною додатно визначеною матрицею К\

(!!) для кожного 1і>0 апроксимація Гальоркіна инєУ/, є найкращим наближенням (відносно енергетичної норми, породженої потенціальною енергією в просторі У) до розв'язку и<^У лінійної варіаційної задачі в просторі Уь, тобто

(4-4)

(!!!) послідовність апроксимацій Гальоркіна при /і-Х) збігається в просторі V до розв’язку лінійної варіаційної задачі.

Схема методу скінченних елементів для розв'язування нелінійних задач деформування оболонок будується на основі принципу можливих переміщень або варіаційного принципу Лагранжа, згідно якого серед всіх кінематично допустимих зміщень V із простору V, істинними будуть ті, які надають функціоналу повної потенціальної енергії

£(у) = ~ (у)ЕпВ£(у)А,А^а^а2 -

2 п " г ' (4-5)

~ ~ СГ^с/Г

£1 Г

стаціонарного значення, тобто такі и є V, що 8 £(и) = о.

Розгортаючи потенціальну енергію Є(и) в околі г'-го наближеній и‘ до стану рівноваги, та нехтуючи його членами вище квадратичних, отримаємо

£(іі‘ + Аи) = £(и‘) + 5£{и‘) + (4.6)

звідки дістаємо систему лінійних атгебричних рівнянь для визначення невідомого приросту Аи

Кт(и')Аи + К(и‘)и‘-Я = 0, (4.7)

де Кт та К - матриці тангенціальної та січної жорсткості.

Розв’язання системи лінійних алгебричних рівнянь (4.7) відносно Аи дає на (г'+1)-й ітерації матрицю-стовпець вузлових переміщень і поворотів IIм ~и‘ +Аи. Алгоритм знаходження стаціонарного значення потенціальної

н

енергії починається з допустимого розв’язку и°=0, при цьому на першій ітерації отримується розв’язок геометрично лінійної задачі.

Для лінійної варіаційної задачі за типових для MCE припущень відносне властивостей просторів апроксимацій {Vh}

для кожного v<= , k> 1,

знайдуться vh є Vh та C=const>0 такі, що (4.8)

0 <т<к,

побудовано наступні оцінки швидкості збіжності послідовності апроксимацій Гальоркіна {щ).

Теопема 4.2.

Нехай виконано умови теореми 3.2 mau<=V - розв’язок лінійної варіаційної задачі про рівновагу оболонки, причому існує таке натуральне к, що цей розв 'язок задовольняє наступну умову гладкості

ueVf)W2k*l(0), k> 1. (4.9)

Припустимо також, що послідовність апроксимацій Гальоркіна {«/,} будується методом скінченних елементів із використанням послідовності просторів {К*} із властивостями (4.8).

Тоді послідовність знайдених апроксимацій {и*} збігається при h~+Q до

точного розв’язку варіаційної задачі і її швидкість збіжності

характеризується апріорною оцінкою

\uh-ul<Ch*\ulrm. (4.10)

де C=const>0 не залежить від h.

Послідовність напівдискретних апроксимацій Гальоркіна {«*(/)} розв’язку и(с) варіаційної задачі динаміки (3.12) подамо у вигляді лінійної комбінації

uh{t) = Yjq,(t)-<pira. визначимо як розв’язки наступних задач: і=І

задано h=const>0, І є Л2(0,Г\V), и°єК uleG; знайти вектор узагальнених переміщень uh єІг(0,Г;КА) такий, що

») + aN (uh (t), v) =< /(/), v > V / є (О, Т],

/'«(°)>v) = Mut»v),

a(«*(0),v) = a(ii<),v) VveK;„ (4.11)

Для лінійної варіаційної задачі динаміки доведена наступна

Теорема 4.3 про збіжність напівдгіскреттіх апроксимацій.

Нехай и(і) - розв’язок варіаційної задачі (3.12) та існує таке натуральне :>1, що

и0єІГ:м(П), и, <=ІУ^1(0), и, и' є

и"є12(0,Т;У[}іГЇ"(П)).

Нехай для кожного Ь>0 напівдискретні апроксимагіії Гальоркіна (г/л(/)} визначаються як розв’язки задач (4.11) у просторах У/,, які володіють злостивістю щільності (4.8).

Тоді послідовність напіедискретних апроксимацій Гальоркіна {г(4(г)} збігається при Іі—>0 до розв'язку варіаційної задачі (3.12) і при цьому швидкість збіжності характеризується апріорною оцінкою

К(')~и'(0£ +!“Л0--»(0|^а:‘{1»1|(2,-.І№)+!И'С<*'(п> +

, V , (4.12)

ЧИС-т, + ]ИГ)|| ¡""(пА!

0

з С=соп5і>0, яка не залежить від !г та и.

Для інтегрування напівдискретизованої за просторовими змінними задачі (4.11) запропоновано однокрокову рекурентну схему

задано параметри Д/, Д ^соп5і>0

і пару {и'У}єР*х

знайти пару {г^+І,у'+І} є Уах Ун таку, що

Д і 2,у) + —Д/2Ді(уУ 2,у) =

2 Уує V,, (4.13)

= //(у-1, у) + -ід/^/у у)}4-^-А?2(/7-/)а(у', V)

им = 4і + , Vу"1 = - Vі, /=0,!,...Л>.

Тут пари векторів {г/*1,/4} визначають наближені значення векторів та

ВІДПОВІДНО В дискретні моменти часу /;+1=(/+1)Д/, У=0,1,..-Л^т-, N^=1, //=/(*,+Л//2).

Теорема 4.4. про безумовну стійкість рекурентної схема.

Якщо у°єК та ІеГ'(0,Т;У'), то однокрокова рекурентна схема (4.13, розв 'язування задачі (4.7) безумовно (по відношенню до вибору кроку м) стійкс в нормах просторів Vта С, якщо її параметри р та у задовольняють умову

р>-ї>\- (4.14;

Для однокрокової рекурентної схеми (4.13) сформульована та доведен; теорема про її збіжність, причому швидкість збіжності похибок є1 =и]-*<„(/,) е‘ = Vі -Х(/; ) характеризується оцінкою

В п ’ятому роздЫ розглядаються питання програмної реалізаці' проекційно-сіткових схем розв’язування сформульованих задач та результаті чисельного дослідження тестових задач, для яких проведено співставлення : аналітичними розв’язками та з чисельними розв’язками, отриманими іншимі авторами. Для розв’язування даних задач використовувались ізопараметричн квадратичні апроксимації на сітках криволінійних чотирикутних скінченнії? елементів.

В табл. 1 для задачі про деформацію циліндричної оболонки під дієк

.. . и/г , . ....

синусоїдального навантаження вигляду qr =q0sm-j-cosié', для якої відомиї

аналітичний розв’язок, проведено порівняння розв’язків в межа.' запропонованої в даній праці теорії з розв’язками в межах тривимірної теорі пружності, класичної теорії Кірхгофа-Лява та п’ятимодальної теорії оболоної типу Тимошенка-Міндліна. Розрахунки виконувались для Я=60, /=120 та різнії? значень А, и та В табл. 1 в останніх трьох стовпцях наведені значенії} радіальних зміщень ur/q0E~' для деяких значень вказаних параметрів, отримац

на основі теорії пружності (І), запропонованої теорії оболонок з деформівнок нормаллю (значення, виділені курсивом в І), теорії типу Тимошенка (II) т: класичної теорії (НІ). Для задачі про згин полоси-пластини побудоване аналітичний розв’язок для лінійного випадку та досліджено точність і характер збіжності чисельних розв’язків на основі запропонованих в даній прац алгоритмів. На рис. 1 наведені графіки прогинів в центрі прямокутної пластині скінченних розмірів під дією імпульсного навантаження, коли час ді

«вантаження дорівнює періоду Т\ коливань по першій власній частоті. Крива 1 ¡ідповідає розв’язку на сітці з 9 скінченних елементів, з яких один елемент іавантажений, з кроком по часу Д(=0.5. Криві 2 та 3 відповідають розв’язкам на :ітці з 9 скінченних елементів з кроками по часу лі =0.25 та 0.125 відповідно; (риві 4 та 5 відповідають розв’язкам на сітці з 36 скінченних елементів з кроком то часу А =0.25 та 0.125. Крива 6 відповідає аналітичному розв’язку задачі в чежах теорії Кірхгофа-Лява. Наведені графіки демонструють добру узгодженість чисельних розв’язків з аналітичним та їх збіжність при зменшенні <року по часу. Проведено співставлення результатів, отриманих в межах запропонованої в даній праці теорії при використанні різних сіток скінченних глементів та послідовно зменшуваних кроках по часу. Наведені також чисельний розв’язок в межах теорії Тимошенка та аналітичний розв’язок, отриманий на основі гіпотез теорії Кірхгофа-Лява.

Для більшості задач проведено співставлення результатів розрахунків, отриманих в лінійній і нелінійній постановках.

ВИСНОВКИ

1. На базі нелінійної теорії пружності шляхом послідовного збереження всіх членів однакових {0(Ь2)) порядків малості побудовано ключові рівняння геометрично-нелінійної теорії оболонок типу Тимошенка-Міндліна та сформульовано відповідні варіаційні постановки отриманих крайової та початково-крайової задач.

2. Доведена коерцитивність білінійної форми, яка відповідає потенціальній енергії оболонки.

3. Шляхом доведення існування, єдиності та неперервної залежності розв’язку задачі від її даних встановлено придатні для застосувань умови коректності побудованих варіаційних задач.

4. Побудовано чисельні схеми розв’язування сформульованих варіаційних задач з використанням МСЕ для дискретизації задачі за просторовими змінними та однокрокових рекурентних схем інтегрування в часі. Досліджено умови стійкості та збіжності побудованих чисельних схем.

5. Побудовані алгоритми розрахунку гнучких оболонкових конструкцій з урахуванням обтиску нормалі реалізовані у вигляді програмного комплексу.

6. Запропонована модель гнучких оболонок з деформівною нормаллю, чисельні схеми та програмне забезпечення протестовані шляхом розв’язування модельних задач та аналізу стійкості та збіжності отриманих чисельних розв’язків.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ АВТОРОМ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Вагін П.П., Іванова Н.В. Нелінійне деформування багатошарових оболонок //Львів ун-т. - Львів, 1996. -21 с.- Деп. в УкрІНТЕІ 20.12.96 №285 Ук96.

2. Вагін П.П., Іванова Н.В., Шинкаренко Г.А. Аналіз зсувних оболонок коректність та апроксимація варіаційних задач динаміки. // Математичи студії. - 1998. - Т. 10, №2. - С. 188-198.

3. Вагін П.П., Іванова Н.В., Шинкаренко Г.А. Про одну математичну модел динамічного деформування гнучких оболонок. //Доповіді НАН України. 1999.-№.-С. 54-60.

4. Вагин П.П., Иванова Н.В., Шинкаренко Г.А. Напряженно

деформированное состояние упругих гибких многослойных оболочек, і Прикл. механика. - 1998. - Т. 34, № 8. - С. 94-103.

5. Іванова Н.В. Дослідження геометрично-нелінійного деформуванн

багатошарових оболонок. // Проблеми економічного та соціальноп розвитку регіону і практика наукового експерименту, - 1997. Вип. 13. С. 321-330.

6. Іванова Н.В. Дослідження задач статики геометрично-нелінійноп

деформування багатошарових оболонок. // Тези Всеукраїнської наукове конференції “Застосування обчислювальної техніки, математичноп моделювання та математичних методів в наукових дослідженнях”, Львіе 1997.-С. 42-43.

7. Іванова Н.В. Дослідження чисельних розв’язків задач деформуванн зсувних оболонок. // Вісник Львів, ун-ту, сер. мех.-мат., 1998. Вип. 50. С. 106-110.

8. Іванова Н.В. Нелінійне деформування гнучких оболонок з деформівноь нормаллю. // Вісник Львів, ун-ту, сер. мех.-мат., 1997. Вип: 46. - С. 43-49.

9. Іванова Н.В. Чисельне дослідження процесу нелінійного деформуванн. багатошарових оболонок. // Міжн. наук, конф, з питань моделювання т дослідж. стійкості систем. Київ, 19-23 травня 1997 р. Тези доповідей. С. 61.

10. Іванова Н.В., Малець Р.Б. Чисельне моделювання нелінійноп деформування зсувних оболонок. // Міжнародна науково-методичн конференція “Комп’ютерне моделювання”. Дніпродзержинськ, 24-2' червня 1998 р. Тези доповідей. - С. 12-13.

ит п к 1 II 7=0 III 2=0

г=-й/2 г=0 г=й/2

0.05 20 0 8.89 8.38 7.43 8.84 2.42

8.07 7.38 6,69

0.1 15 0 6.28 4.40 3.56 5.33 2.12

5.54 4.36 3.17

20 0 3.79 1.79 1.28 2.52 0.672

3.08 2.05 /.0/

0.2 10 0 7.44 3.76 2.39 4.98 1.34

5.93 3.90 1.88

15 0 4.58 1.12 0.43 1.92 0.265

3.02 1.49 0.37

10 5 6.93 3.27 2.00 4.24 1.11

5.64 3.61 1.59

10 10 5.85 2.27 1.2 4 3.21 0.686

4.53 2.67 ОЯО

1 15 7.54 4.13 2.84 3.73 1.6

6.34 4.32 2.31

Рис. 1. Зміни в часі прогину го-Ю5 при 1а=Т\. Чисельні та аналітичний розв’язки.

Рис. 2. Зміни в часі прогину го 105 при /0=7У16, Чисельні та аналітичний розв’язки

Іванова Н. В. Чисельне моделювання поводження гнучких зсувних оболонок з деформівною нормаллю. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.07 - обчислювальна математика Львівського національного університету ім. Івана Франка, 1999.

В даній роботі запропоновані формулювання, обгрунтування та методика чисельного розв’язування задач геометрично-нелінійної теорії зсувних оболонок типу Тимошенка-Міндліна з урахуванням обтиску нормалі. Крайові та початково-крайові задачі досліджуються за допомогою варіаційних методів. При цьому використовуються варіаційні рівняння принципу віртуальних робіт, дискретизація методом Гальоркіна (відповідно, напівдискретизація еволюційної варіаційної задачі) за просторовими змінними, апроксимації методу скінченних елементів та однокрокова рекурентна схема інтегрування в часі еволюційної задачі. Для лінійних постановок задач доведена еліптичність білінійної форми, породженої потенціальною енергіею оболонки. Дослідження дискретизованих задач здійснюється шляхом аналізу відповідних енергетичних рівнянь. Запропоновано алгоритм та програмна реалізація розв’язування побудованих задач. Ефективність алгоритмів та чисельних схем досліджена на тестових прикладах та задачах з інженерної практики.

Ключові слова: початково-крайова задача, теорія оболонок, варіаційна задача, коректність, енергетичне рівняння, метод Гальоркіна, метод скінченних елементів, рекурентна схема, умови стійкості, апріорні оцінки швидкості збіжності.

Ivanova N. V. Computer modelling of the behaviour of flexible shear shells with deformable normal. - Manuscript.

The thesis foT the Candidate of Physical and Mathematical Sciences degree on the speciality 01.01.07 - Computational Mathematics. (Ivan' Franko National University in L’viv, 1999).

A formulation, substantiation and method of computer solution of the problems of the geometrically non-linear theory problems of the Timoshenko-Mindlin-type shear shells with deformable normal are proposed.

Boundary-values problems and initial boundary-value problems are investigated by using variational methods. The variational equations of virtual work principle, the Galerkin method discretization (the semi-discretization of the evolutional problem respectively) by space variables, the finite element method approximations and the recurrent scheme of integration by time variable are used. For the linear variants of the formulated problems, the coercivity of bilinear form generated by shell potential energy is proved. The analysis of the discretized problems is carried out by means of energy equations. An algorithm and a program

nplementation of the solutions of the formulated problems are proposed. The Tectiveness of the algorithms and the numerical methods was examined by solving st and engineering problems.

Key words: initial boundary-value problems, theory of shells, variational roblem, correctness, energy équation, Galerkin method, frnite element method, :current scheme, convergence, steadiness conditions, a priori estimâtes of Dnvergence speed.

Иванова H. В. Численное моделирование поведения гибких сиговых оболочек с деформируемой нормалью. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-атематических наук по специальности 01.01.07 - вычислительная математика ьвовского национального университета имени Ивана Франко, 1999.

В данной работе предложены формулировка, обоснование и методика целенного решения задач геометрически-нелинейной теории сдвиговых болочек типа Тимошенко-Миндлина с учетом обжатия нормали, формулированные задачи обобщают модели теории оболочек Киргофа-Лява и имошенко-Миндлина и последовательно описывают полудискретную модель гории упругости при условии линейной апроксимации вектора перемещений гносительно толщины оболочки. Краевые и начально-краевые задачи сследуются с помощью вариационных методов. При этом используются ариационные уравнения принципа виртуальных работ, дискретизация методом алеркина (соответственно, полудискретизация эволюционной задачи), по ространственным переменным, апроксимации метода конечных элементов и дношаговая рекуррентная схема интегрирования во времени эволюционной щачи. Для линейных постановок задач доказана элиптичность билинейной ормы, порожденной потенциальной энергией оболочки с серединной оверхностью произвольной формы. С помощью анализа сходимости оследовательности полудискретных апроксимаций Галеркина построено онструктивное доказательство существования решения эволюционной зриационной задачи. Дискретизированные задачи исследуются путем анализа эответствующих энергетических уравнений. Для линейного варианта становлены условия стойкости, апроксимация и скорости сходимости остроенных проекционно-сеточных схем. Предложен алгоритм и программная еализация решения поставленных задач. Эффективность алгоритмов и исленных схем исследована на тестовых примерах и задачах инженерной рактики.

Ключевые слова: начатьно-краевая задача, теория оболочек,

зриационная задача, корректность, энергетическое уравнение, метод алеркина, метод конечных элементов, рекуррентная схема, условия стойчивости, априорные оценки скорости сходимости.

Формат 60 х 84/16. Папір офсет. Офсет, друк. Ум. друк. арк. 2,5. Замов.'¿ч5. Наклад 120.

Надруковано з готового оригінал-макету у Видавничому центрі Львівського національного університету імені Івана Франка.

79000 Львів, вул.Університетська, 1