Численное моделирование распространения упругих волн в неоднородных анизотропных и пористых средах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ОГЛАВЛЕНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ.

ЛИТЕРАТУРНЫЙ ОБЗОР.

1. НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ УПРУГИХ ВОЛН МЕТОДОМ УИЛКИНСА.

1.1. спектр-фурье исходного сигнала и точность численного решения.

1.2. Структура поля упругих волн в ближней зоне сосредоточенного источника излучения.

1.3. Влияние формы неоднородности на волновое поле.

1.4. Выводы.

2. КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ УПРУГИХ ВОЛН В НЕОДНОРОДНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ.

2.1. Модификация метода Уилкинса для расчетов распространения упругих волн в анизотропных неоднородных средах.

2.2. Численное исследование распространения упругих волн в анизотропном полупространстве (монокристалле).

2.3. Методика расчета акустических полей для мезообъема, содержащего несколько разноориентированных кристаллов с различными свойствами.

2.3.1. Формулы преобразования матрицы упругих модулей в анизотропной среде при повороте системы координат и их использование в численном методе.

2.3.2. Результаты расчета волновых полей для монокристалла с поворотом оси симметрии.

2.3.3. Исследование волновых процессов в среде с анизотропными включениями.

2.4. Выводы.

3. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ УПРУГИХ ВОЛН В ПОРИСТЫХ СРЕДАХ.

3.1 Пористые среды вообще и их представление для численных расчетов. Компьютерный генератор моделей пористых сред.

3.2 Расчет распространения продольных и поперечных волн в пористых сухих средах. Сравнение с экспериментом.

3.3 Акустические волны в пористых флюидонасыщенных средах: численный расчет и взаимодействие с теорией Гассмана.

3.4. Выводы.

Объектом исследования являются неоднородные анизотропные и пористые среды и особенности распространения в них упругих волн.

Актуальность темы

Неоднородные анизотропные и пористые среды можно рассматривать макроскопически. При таком рассмотрении удается для широкого класса задач заменять сильно-неоднородную по сути среду другой, модельной однородной средой, свойства которой осреднены некоторым способом. Это можно делать в тех случаях, когда характерный размер неоднородности среды много меньше характерного размера изучаемого процесса - в случае распространения упругих волн таким характерным размером является длина волны. Однако для многих практически важных задач (таких, как изучение прочности структурно-неоднородных материалов, задачи физической акустики, дефектоскопии) требуется понимание особенностей поведения материала на мезоуровне.

Так, для металлических поликристаллитов и для композитов особый интерес представляет масштаб нескольких зерен (блоков), или отдельных кристаллитов в матрице. На этом уровне анизотропия упругих свойств существенно влияет на общее течение процесса деформирования. Заметим здесь, что большое значение в задачах мезомеханики играет компьютерное моделирование, в том числе с использованием конечно-разностных методов. Зачастую исследователи, занимающиеся таким моделированием, не учитывают реальную анизотропию отдельных структурных элементов среды. Это может привести к неправильным результатам при численном решении задач, особенно задач физической акустики или дефектоскопии, в которых длина излучаемой упругой волны может быть одного порядка с характерным размером неоднородности. Диссертационная работа призвана, в какой-то мере, восполнить этот пробел. А именно, в работе развита компьютерная методология и разработаны алгоритмы моделирования распространения упругих волн в неоднородных анизотропных и пористых средах для мезоуровня, когда размерами и свойствами отдельной неоднородности или поры нельзя пренебречь. Это позволяет говорить об актуальности выполненной работы.

Заметим, что есть еще одна область применения развитой методологии и разработанных алгоритмов - это сейсморазведка и сейсмология. Здесь используется столь широкий диапазон частот в средах со столь различным масштабом неоднородностей, что для многих случаев характерный размер процесса, то есть длина сейсмической упругой волны соизмерима с характерными размерами неоднородности.

Целью диссертационной работы является разработка методологии компьютерного моделирования процессов распространения упругих волн в неоднородных анизотропных и пористых средах на мезоуровне, когда размеры отдельных пор и (анизотропных) неоднородностей сопоставимы с размером расчетной ячейки.

Для достижения поставленной цели были решены соответствующие задачи. Некоторые из них были вспомогательными, при всей их необходимости. Другие носили исследовательский характер и перечислены ниже:

1. Аналитически и численно изучено влияние пространственного спектра Фурье исходного упругого (акустического) сигнала на устойчивость его формы при использовании в численном методе.

2. Изучены особенности поля упругих волн при численном моделировании задачи Лэмба в однородной среде. Проведено сравнение с результатами физического моделирования.

3. Изучены особенности волнового поля:

- в кристалле с осью симметрии, не совпадающей с осью симметрии задачи

- в изотропной матрице с включением такого типа.

4. Исследовано распространение акустических волн в пористых средах. Изучена зависимость скорости распространения упругих волн в пористых средах при различной пористости. Проведено сравнение с результатами физического моделирования.

Научная новизна и практическая ценность работы

Установлены соотношения между длиной волны акустического сигнала, распространяющегося в среде с включением, и характерным размером включения, позволяющие оценивать, при каком относительном характерном размере включения форма его не влияет на волновое поле.

Определены особенности волнового поля при импульсном воздействии на поверхности однородного полупространства, качественно хорошо совпадающие с данными физического моделирования.

Изучены процессы распространения упругих волн в кристаллах в случае, когда главная ось анизотропии повернута относительно оси симметрии задачи. Показано, что дифракция плоской волны на таком кристалле (с несовпадением осей симметрии кристалла и задачи) имеет существенные отличия от дифракции плоской волны на кристалле в случае совпадения осей. Этот вывод важен при изучении деформирования поликристаллических тел на мезоуровне, а также при интерпретации волновых полей в задачах физической акустики.

Построена компьютерная модель пористой среды. Полученные с использованием этой модели скорости распространения упругих волн в пористой среде отличаются менее чем на 1% от результатов лабораторного эксперимента. На основе численного моделирования построена кривая зависимости модуля плоского деформирования от пористости. Эта зависимость может быть использована при практическом определении скоростей во флюидонасыщенных средах (так называемая проблема замещения флюидов).

Основные результаты и положения, выносимые на защиту

1. Выявленная зависимость устойчивости формы акустического сигнала при численных расчетах конечно-разностным методом Уилкинса от гладкости его амплитудного спектра.

2. Особенности поляризации поперечных и упругих продольных волн в задаче Лэмба, выявленные при численном моделировании и подтвержденные результатами физического моделирования.

3. Методика численного моделирования процессов распространения упругих волн в неоднородных анизотропных средах и в пористых средах на основе модифицированного метода Уилкинса.

4. Особенности волнового поля, возникающие при распространении плоской акустической волны в матрице с анизотропными включениями при несовпадении оси симметрии задачи с главной осью анизотропии.

5. Установленная численным моделированием зависимость модуля плоского деформирования пористой среды от значения пористости.

Обоснованность и достоверность Работа расчетной программы в целом была проверена сравнением с результатами физического моделирования. Получено удовлетворительное качественное соответствие результатов для расчета волнового поля от импульсного сосредоточенного источника, действующего на поверхности однородного изотропного полупространства (задача Лэмба) и хорошее количественное соответствие для скорости распространения плоской упругой волны в пористой среде. Кроме того, были решены модельные задачи, для которых имелись аналитические результаты или численные результаты других авторов.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях: на международной конференции "Вибрационные технологии исследований и мониторинга литосферы" (Новосибирск, 1998 г.), на международной конференции "Physical mesomechanics and computer aided design of advanced materials and technologies - Mesomechanics' 98" (Израиль, Тель - Авив, 1998), на II международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых им. М.А. Усова "Проблемы геологии и освоения недр" (Томск, 1998), на конференции молодых ученых "Физическая мезомеханика материалов" (Томск, 1998), на международном семинаре и республиканской школе молодых ученых "Структурный анализ в геологических исследованиях" (Томск, 1999), на зимней школе-семинаре молодых ученых "Сопряженные задачи механики и экологии" (Томск, 1999), на II Всероссийской конференции молодых ученых "Физическая мезомеханика материалов" (Томск, 1999), на VI Всероссийской научно-технической конференции "Механика летательных аппаратов и современные материалы" (Томск, 1999).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 15 работ. Структура и объем работы.

Работа состоит из введения, литературного обзора, трех глав, заключения и списка цитированной литературы, состоящего из 175 наименований. Общий объем работы -153 страницы машинописного текста.

Во введении обоснована актуальность исследуемой проблемы, сформулирована цель работы, перечислены новые результаты, раскрыта их практическая ценность, представлены положения, выносимые на защиту, описана структура диссертации.

В литературном обзоре рассмотрены работы, посвященные численным методам (в основном в связи с задачами распространения упругих волн), упругим волнам в кристаллах, моделям пористых сред.

Первая глава посвящена некоторым особенностям проведения численных расчетов распространения упругих волн в деформируемых твердых телах.

В работе все задачи решаются конечно-разностным методом Уилкинса. Он существенно модифицирован для того, чтобы им можно было считать задачи распространения упругих волн в различных средах. Однако до последнего времени этот метод не использовался для расчетов в анизотропных средах (с учетом ориентации кристаллов) и в пористых средах в случае, когда размер поры - одного порядка с размером расчетной ячейки. В предлагаемой работе развивается именно методология применения метода Уилкинса в таких задачах.

Так как метод существенно изменен (а именно, линеаризован и дополнен определяющими соотношениями для анизотропных неоднородных сред с произвольной ориентацией осей), то основная часть проведенных исследований - это, по сути, тестирование метода, сравнение результатов расчетов с экспериментальными результатами и с расчетами других исследователей. В первой главе (в разделе 1.2) результаты сравниваются с данными физического моделирования.

Кроме того, в первой главе исследуется влияние формы неоднородности на волновое поле. Изучение этого вопроса необходимо для понимания того, в каких случаях можно задавать криволинейные границы с помощью квадратных расчетных ячеек.

Есть еще одна проблема, связанная с использованием конечно -разностного метода. При исследовании распространения упругих волн одним из основных вопросов является выбор вида функции источника (вида импульса). Основная частота исходного импульса и форма его в численных расчетах определяются в основном масштабным уровнем решаемых задач. Однако существенное значение имеет естественная для конечно-разностного метода замена сплошной среды на дискретную.

Поэтому представилось необходимым сначала в первой главе рассмотреть вопрос об использовании импульсов, задаваемых аналитически, в качестве начальных импульсов при численном решении задач эластодинамики. Здесь исследуются свойства исходных сигналов различной формы, и применимость их в конечно-разностном методе. Приводятся импульсы, которые при проведении численных экспериментов длительное время не меняют форму. По результатам исследований можно сделать вывод о том, что для уменьшения влияния дискретизации сплошной среды на распространение упругой волны необходимо выбирать такой сигнал, пространственный спектр которого плавно убывает так, что на частоте Найквиста амплитуда его близка к нулю.

Во второй части первой главы приведены результаты численных исследований методом Уилкинса по выявлению особенностей структуры поля упругих волн в ближней зоне сосредоточенного источника излучения. Источник задается в виде штампа, который генерирует сигнал заданного вида. Это имитирует импульсный пьезоисточник, применяемый в физическом моделировании. Правильность полученных в численных расчетах результатов была подтверждена результатами физического моделирования, выполненного в Институте геофизики СО РАН.

Сравнение численных и опытных данных позволяет утверждать, что численный метод адекватно описывает полное волновое поле и может быть использован для решения других задач эластодинамики.

В последней части первой главы проводились исследования по применимости расчетной сетки с квадратными ячейками при описании криволинейных границ. Была проведена серия расчетов распространения в однородных средах с отдельными включениями плоской волны с разными длинами волн I, и изучалось влияние формы и характерного размера неоднородностей а на волновое поле. Проведенные численные эксперименты показали следующее: 1) для волнового поля изменение отношения й!ь существеннее, чем изменение при данном аи формы (геометрии) неоднородности; 2) для включений размером 0.015 <<т< 0.18 влиянием формы можно пренебречь; 3) отдельное включение размером ¿/1< 0.015 не меняет проходящей волны. Упругие модули включения в 4 раза отличались от упругих модулей среды.

Вторая глава посвящена компьютерному моделированию распространения упругих волн в неоднородных анизотропных средах на мезоуровне.

Процесс деформирования по своей природе является волновым процессом. При прикладывании нагрузки, даже очень плавной, в среде происходят нестационарные волновые процессы. Установление деформационной картины происходит в лабораторных условиях за доли секунды. После установления стадию деформирования можно считать квазистатической. Но она полностью определяется неоднородным составом среды и предыдущим процессом установления. Поэтому моделирование (численное или физическое) распространения упругих волн в неоднородных средах необходимо для понимания результата деформирования данной среды (образца, материала).

Итак, компьютерное моделирование волновых явлений, происходящих при деформировании материалов, дает возможность более детально изучать природу происходящих процессов. Для кристаллических сред, или для сред, имеющих включения в виде зерен кристаллов, численное моделирование процессов деформирования представляет особый интерес. Хорошо известно, что кристаллы титана(Тл), никеля(№), кадмия(Сс1), цинка(2п), магния различные виды керамики обладают значительной анизотропией по упругим свойствам. Так, упругие модули Си и С33 (это модули сжатия в направлении 1 и 3 осей соответственно) для Хп отличаются в 2,56 раза, в изотропных же средах эти константы одинаковы. Таким образом, характерным свойством кристаллов является анизотропия их упругих свойств. Лучше всего эти свойства проявляются при решении задач о распространении упругих (акустических) волн, анизотропия оптических свойств выражена слабее.

При решении таких задач необходимо, как правило, проводить расчет для достаточно большого числа длин волн. Это предполагает значительные вычислительные мощности. Но при распространении упругих волн можно считать деформации бесконечно малыми. Это делает возможным линеаризовать численный метод Уилкинса; часть раздела 2.1 посвящена этому вопросу.

Исследования проводят на разных масштабных уровнях. Мезоуровень в ряде случаев представляет особый интерес для исследования. Проводя численные расчеты свойств поведения какого-то материала с позиций мезомеханики, мы, прежде всего, решаем для себя вопрос о представительности расчетной области. Целый ряд проблем корректно рассматриваются только в масштабах нескольких кристаллитов, нескольких блоков зерен. Это тот масштабный уровень, на котором говорить о "поликристалличности" (т. е. о макроуровне) нельзя. В то же время, это, с точки зрения кристаллографических особенностей, и не микроуровень.

Для использования метода Уилкинса на мезоуровне необходимо дополнить его алгоритмами для расчетов в анизотропных средах. Этому посвящена часть раздела 2.1.

Модифицированный таким образом метод должен быть протестирован на некоторой модельной задаче. Именно, автором были рассмотрены поверхности лучевых скоростей для монокристалла цинка (гексагональная сингония). Эти поверхности получаются аналитически и опубликованы в ряде работ. При численных расчетах могут быть получены фронты волн - это и есть поверхности лучевых скоростей, поэтому выполнено сравнение численных результатов с имеющимися данными Цинк выбран по той причине, что, во-первых, он, хоть и не часто, но встречается в задачах материаловедения; во-вторых, он обладает значительной анизотропией упругих свойств с наличием областей неоднозначности для поперечных волн. Это позволяет более полно проверить численный метод. Расчету волнового поля в монокристалле цинка посвящен раздел 2.2.

Модифицированный и проверенный на одной модельной задаче метод Уилкинса использован далее для построения методологии решения задач эластодинамики для произвольно-неоднородной анизотропной среды с наличием разноориентированных кристаллов. Этому посвящен раздел 2.3.

В третьей главе описывается численное моделирование распространения упругих волн в пористых средах. В тех случаях, когда длина волны много больше размера поры, используют многочисленные макроскопические модели пористых сред. На этом масштабном уровне отдельную пору нельзя представить ячейками расчетной сетки. То есть при численном моделировании на макроуровне считается, что в одной расчетной ячейке содержится достаточно много пор, так что свойства ячейки могут описываться осредненно.

В диссертационной работе описан такой масштабный уровень, когда одна пора может быть представлена несколькими расчетными ячейками. В третьей главе описан генератор моделей пористых сред - программа, которая подготавливает исходные данные для расчетов в пористых средах с наперед заданной пористостью. Для проверки работы алгоритма генератора модели, а также алгоритма расчета распространения упругих волн в такой модельной среде, было выполнено решение задачи, для которой есть экспериментальные данные. В описанном эксперименте приводится мезоструктура спеченного алюминия с пористостью 9 % и 17 %. Размер поры порядка 20x10"6 м, частота акустического сигнала 5МГц, длина волны » 0,1см. Таким образом, размер поры всего в 50 раз меньше длины волны, такие поры можно описывать несколькими расчетными ячейками. В эксперименте в качестве одного из результатов была вычислена средняя скорость продольной и поперечной волн для пористости 9 % и 17 %. В процессе численного моделирования также были посчитаны средние скорости распространения продольной и поперечной волн. В эксперименте для алюминия с пористостью 9% скорость продольной волны ^=5125 м/с; для пористости 17% скорость ^=4120 м/с. В проведенных численных расчетах были получены следующие значения: при пористости 9% значение скорости продольной волны ^=5123 м/с, а при пористости 17 % значение скорости продольной волны ур =4074м/с.

Таким образом, при численном моделировании значения скоростей в пористом алюминии, полученные по описанной в третьей главе методике, отличались от скоростей из эксперимента при пористости 9% всего на 0,04 %; а при пористости 17 % отличие составило 1,1%.

Проведены исследования зависимости скорости распространения продольной волны и соответствующего упругого модуля - так называемого модуля плоского деформирования (с33) от пористости и результаты занесены в таблицу. По таблице был построен график зависимости модуля продольной волны Сзз от пористости.

Итак, показана пригодность численной методики для моделирования распространения упругих (в т.ч. акустических) волн в пористой среде. Далее эта модель используется для моделирования волновых полей во флюидонасыщенных средах. Показана возможность практического применения численной методики в решении так называемой проблемы замещения флюидов.

В заключении приводятся основные результаты и выводы.

Работа выполнена в рамках научного направления "3.1.14. Развитие физико-геологических основ, теории и технических средств геофизических исследований строения и геодинамики литосферы, поисков полезных ископаемых и прогноза землетрясений" по плану работ ОИГГМ СО РАН на 1997-2000 гг.

ЛИТЕРАТУРНЫЙ ОБЗОР

Статьи и монографии будут рассматриваться здесь в том порядке, в котором излагается материал диссертации.

В начале обратимся к работам по проблеме использования численных методов в волновых задачах эластодинамики. Здесь можно выделить, с одной стороны, собственно развитие численных методов, с другой стороны -проблемы их использования.

Несомненно, основную роль в использовании численных методов для расчета распространения упругих волн играет сейсмика (сейсмология и сейсморазведка). Большое значение здесь по-прежнему играют асимптотические полуаналитические методы. Они на последнем этапе требуют большого объема вычислений, поэтому их также относят к численным. Это, прежде всего, собственно лучевой метод и методы, основанные на лучевом [2, 3, 8, 108]. Для анизотропной среды асимптотическое решение (нулевой член ряда) впервые получено Бабичем в [7]; развитие этого решения дано в работах [9, 20, 21, 27, 28, 63, 64, 69, 70, 91]. Лучевой метод имеет ограничения в сингулярных областях, поэтому для решения волновых задач активно развиваются дифракционные методы. Это, в первую очередь, метод Кирхгофа-Гельмгольца [164] и его модификации [120, 160, 171, 174]. Основными недостатками метода являются ограничение геометрической оптики и вычислительные трудности [99] для ядра кирхгофовского интеграла [20]. Метод, в котором эти трудности частично преодолены, предложен Клем-Мусатовым и Айзенбергом [131, 132]. К дифракционным также относятся методы, основанные на использовании принципа Гюйгенса-Френеля [122,130].

Достаточно мощным для сравнительно простых сред являются матричные методы [47, 48], позволяющие, в частности рассчитывать волновые поля для эффективных моделей тонкослоистых и пористых сред [49].

Перед тем, как обратиться к методам, основанным на полном или частичном разбиении сплошной среды на элементы, необходимо остановиться на одном из мощных методов, развитых для задач сейсмики (но он с успехом может применяться в дефектоскопии, в физической акустике, и т.п.). Это спектрально-разностный метод Б.Г. Михайленко.

Этот метод практически лишен недостатков и ограничений. Он позволяет моделировать нестационарные волновые поля для двумерных и трехмерных моделей неоднородных сложнопостроенных сред. Метод Б.Г. Михайленко основан на использовании аналитического метода разделения переменных совместно с конечно-разностным методом решения редуцированных одномерных задач. В спектральном методе (а это один из вариантов метода Галёркина [153]) производится разложение искомых функций в ряд по некоторым базисным функциям, которые бесконечно дифференцируемы во всей расчетной области. В этом - коренное отличие спектральных методов от конечно-разностных, в которых функции определяются в дискретных точках расчетной области. Коэффициент разложения искомых функций по базисным функциям образуют множество чисел, которые можно рассматривать как спектр. Если в качестве базисных функций выбрать тригонометрические функции, то это, по сути, является спектром Фурье. На этом же принципе построены и псевдоспектральные методы [154,117,125]. Впервые метод Б.Г. Михайленко предложен в работах [44, 45] и развит в работах [136, 137, 145, 146, 152]. Этим методом получены качественные результаты [46, 144], позволяющие считать их эталоном для расчетов волновых полей. Поэтому в диссертационной работе проводится сравнение некоторых результатов именно с расчетами Б.Г. Михайленко.

Отметим ещё группу методов, так же как и спектральный относящихся к классу методов взвешенных невязок. Это метод 8РЕМ (метод Чебышевских спектральных элементов) [161], метод конечных элементов [11,12,23, 30, 52, 53,107,126,155,162].

Промежуточное положение занимает метод граничных интегралов (граничных элементов) [98]. Суть его в том, что волновое поле строится на основе интегралов типа Грина-Вольтерра, ядрами которого являются фундаментальные решения уравнений эластодинамики. Обычно фундаментальные решения выбирают в виде расходящихся волн [5, 115]. В работах [18, 19] показано, что алгоритм численного решения становится эффективнее, если в качестве фундаментального решения брать сумму сходящихся и расходящихся волн. Метод граничных интегралов имеет достаточно широкое применение в механике твердого тела вообще, и в нелинейной теории упругости в частности [31, 40, 42]. В задачах распространения сейсмических волн в последнее время используются различные его модификации [96,97,105,158,166].

Значительную роль в численном моделировании вообще играют конечно-разностные методы [43, 54, 62, 72, 148, 156]. В задачах волновой динамики используют как простейшие схемы [1], так и специальные способы построения схем [59, 82]. В работах [111, 147] для изучения волновых полей в пористых средах применяется схема Мак Кормака, состоящая из двух операторов - предиктора и корректора. Схема обеспечивает четвертый порядок точности по пространству и второй - по времени. Эта схема применяется и в других задачах [165]. На идее центрирования операторов дифференцирования построена схема [168] для двумерного моделирования распространения Р и SV волн в неоднородной среде. Этот метод модифицирован для расчетов в анизотропной среде в трёхмерной постановке; при этом частные производные по пространственным координатам заменяются на разностные соотношения с высокой точностью [110].

В задачах эластодинамики (применительно к сейсмологии) используются обычно схемы второго порядка точности [135, 128], иногда комбинируются спектральные представления с конечно-разностной аппроксимацией [159]. Эффективные схемы разного порядка точности созданы для расчетов неупругих волн [133], для чисто упругих волн в сочетании с применением граничных элементов с дискретным волновым числом [172], для расчетов в анизотропных средах [116], и для моделирования землетрясений [121].

С конечноразностными методами связан ряд проблем, обсуждаемых в диссертации. Это, в первую очередь, проблема дискретизации вообще. Дискретная система имеет свой спектр собственных частот, и это сказывается на пропагаторских способностях методов. И другая проблема, не менее важная - при расчетах моделей с криволинейными границами возникают трудности в описании последних стандартными прямоугольными ячейками. Вопросы замены сплошной среды на дискретную фундаментально рассмотрены Л.И. Слепяном [76, 77]. Им доказаны две теоремы: одна утверждает, что взяв исходный импульс достаточно плавным, можно обеспечить распространение его без изменения формы на наперед заданное расстояние. Вторая - в некотором смысле обратная ей - доказывает, что какую бы плавную нагрузку мы не взяли, найдется такое время (расстояние), дальше которого проявится дискретность.

Численные аспекты выбора конечно-разностных операторов рассмотрены Гольдбергом [123]. Им изучены спектры операторов, и их возможность гасить паразитные колебания, возникающие на пространственной частоте Найквиста. Проблема адекватности вычисления скорости распространения упругих волн (то есть групповой скорости) обсуждается в [163].

Для возможности решения более сложных задач необходимо отводить под одну длину волны как можно меньше ячеек.

Вопросы соотношения длины волны с ячейками разностной сетки обсуждаются в [110,128,169].

Что касается проблемы представления криволинейных границ, то здесь значительный вклад (для задач сейсмики) внесли Per Nielsen с соавторами [151]. Им созданы генераторы криволинейных сеток, рассмотрены ошибки, вносимые описанием криволинейных границ посредством прямоугольных сеток [100, 150]. В то же время им показано, что достаточно мелкое разбиение на квадратные ячейки даёт точное решение. Использование же специальных генераторов криволинейных адаптивных сеток занимает машинное время, много больше, чем расчет на обычных сетках.

В диссертации рассмотрены две основные постановки задачи - одна тривиальная - о падении плоской волны и вторая - о действии сосредоточенного источника. Эта задача впервые была рассмотрена Лэмбом в 1904 году [134] и носит его имя. (Указание данной ссылки не означает, что автор диссертации читала эту работу, но означает просто необходимое отношение к классику). Один частный случай, впрочем, был рассмотрен Рэлеем ещё до Лэмба, в 1899 году. Однако именно Лэмб изучил структуру полного волнового поля. Он показал [41] существование трех областей (или трех стадий) передачи возмущения: первой следует область безвихревого расширения (продольная волна), вторая стадия - волна эквивалентного искажения (поперечная волна) и последней в данную точку поверхности приходит волна Рэлея. В связи с задачей Лэмба необходимо указать, что В.И. Смирновым [78] был предложен метод неполного разделения переменных в частности используемый при решении этой задачи. Независимо от В.И. Смирнова метод был опубликован Капьяром [106] и у зарубежных исследователей известен как метод Капьяра - деХоопа [1]. Метод В.И. Смирнова использован Г.И. Петрашенем и его учениками для решения многих задач эластодинамики и, в том числе, для нахождения новых решений в задаче Лэмба [65, 67, 68]. Е.И. Шемякиным задача Лэмба исследовалась аналитически и численно [60]. Он получил более точные изолинии для перемещений по сравнению с [65]. A.C. Алексеев и Б.Г. Михайленко [4] применили для решения задачи Лэмба метод неполного разделения переменных, скомбинировав его с конечно-разностным алгоритмом. В случае действия сосредоточенной силы не по нормали к поверхности результаты были получены Л.А. Назаровым [50, 51].

Отдельно следует упомянуть результаты Л.И. Слепяна. Им был предложен метод разложения функций в ряд Фурье на переменном интервале (Это в некотором смысле эквивалентно текущему спектру [88]). Этот метод, в сочетании с приемом улучшения сходимости рядов и интервалов Фурье с помощью экспоненциальной весовой функции, использован Л.И. Слепяном при решении задачи Лэмба [75, 76]. При этом решении удалось провести короче и проще, чем это делалось ранее.

Численно задача Лэмба методом Уилкинса была решена Стефановым Ю.П. [80]. Для анизотропных сред удобные для расчетов формулы были получены И.С. Чичининым [92, 93]. Особенности интегрирования в ближней зоне рассмотрены в [55]. Для специального вида среды с несимметричным тензором Кристоффеля (гиротропные среды) задача сведена к квадратурам в работе [94].

Переходя к распространению упругих волн в анизотропных средах заметим, что впервые анализ анизотропных скоростей (и зависимость их от направлений) продольных и поперечных волн проведён Кристолффелем (изложение одной из его работ 1877 года можно найти в книге А. Лява [41]). Однако задолго до этого, в 1828 году, Пуассон определил, что в изотропном твердом теле существует два типа волн; Стоке только в 1849 году показал, что волны Пуассона есть волны равнообъемного искажения. Коши (1830) и Грин (1839) впервые исследовали распространение плоских волн в кристаллической среде. После Кристоффеля общим анализом трёх типов волн (одной продольной и двух поперечных) занимался лорд Кельвин.

Решение простого волнового уравнения (вида д2<$! dt1 = c2V2(p) в простейшем виде нашел Пуассон, а в более общей форме - Кирхгофф.

Привычный нам вид матрица упругих модулей получила, благодаря работам Фойгхта. Он показал, что в самом общем случае имеется 21 упругая постоянная. Важнейшую роль в выводе 32 кристаллических систем сыграл труд A.B. Гадолина [13] опубликованный в 1867 и изданный в наши дни. Для каждого класса упругой симметрии тензор Кристоффеля был получен Ф.И. Фёдоровым [83], им же была доказана положительность собственных значений этого тензора. Сходство оптической и упругой анизотропии породило и сходство в терминах. Так, области неоднозначности волновых поверхностей для поперечной волн, численно исследованные в диссертации, названы А.Г. Хаткевичем внутренней конической рефракцией [89, 152] были построены поверхности фазовых и лучевых скоростей для широкого класса сингоний. Будаев [10] сформулировал на основе анализа корней уравнения Кристоффеля используемую классификацию анизотропных сред. Эффекты высших порядков в акустике кристаллов, описаны в [26, 74, 84].

Значительную роль теория упругих волн в кристаллах сыграла для изучения сейсмических волн в Земле. Большие усилия, поэтому были приложены для создания так называемых эффективных моделей слоисто-неоднородных и трещиноватых сред. Так, удается описать трещиноватую среду эквивалентной ей в некотором смысле анизотропной средой [109]. Эту задачу иногда удается решить и для слоистых периодических структур [73]. Для класса сред, соответствующих в некотором смысле слоистому осадочному чехлу, Г.И. Петрашеню удалось решить ряд задач аналитически [69]. Для более сложных сред численные методы были предложены в [46, 64, 91].

Бакулину и Молоткову [49] удалось построить эффективную модель пористой среды, которая оказалась эквивалентна трансверсально-изотропной гексагональной). Модель анизотропной среды и её роль в сейсмологии изложена в последней монографии Н.Н. Пузырева [71].

Первая модель пористой среды, по которой можно было бы оценить скорость распространения упругих волн была предложена Я.И. Френкелем ещё в 1944 году [87]. Им были рассмотрены: статика сухой почвы, статика влажной почвы; получены уравнения движения почвы при учете сил трения между твёрдой и жидкой фазой; и, наконец, решены (доведены до уравнений) задачи распространения продольных и поперечных колебаний. Итак, в этой модели учтено относительное движение жидкости и скелета. Аналогичную модель позже предложил Био для низкочастотного [101] и высокочастотного [102] случаев. Далее Био уточнил и расширил свою теорию [103]. Теория Био применима для мегагерцового и, частично для килогерцового диапазонов [81, 157]. Для диапазона частот, используемых в сейсмологии, применима несколько более простая (и требующая меньшего числа констант) теория Гассмана [118]. Для теории Гассмана существенно то, что нужно из каких-либо соображений знать модуль всестороннего сжатия сухого скелета. Например, можно получать его по лабораторным измерениям [119]. Если эта константа известна, то формулы Гассмана сразу же дают скорости упругих волн для того же скелета, но насыщенного любым флюидом (так называемая проблема замещения флюида). Однако с введением понятия "сжимаемости порового пространства" [170] стали возможными иные способы решения проблемы замещения флюида [138, 140,175].

Теория Био-Френкеля обогащается в последнее время дополнительными соотношениями и физическими представлениями. Так, создана комбинированная теория BISQ, сочетающая в себе учёт "фильтрационного" движения жидкости с реактивной поперечной составляющей течения [112, ИЗ]. Это второе предположение основано на модели "squirt-flow", описывающей выдавливание вбок или разбрызгивание флюида из микротрещиноватой или пористой среды при нормальном

22 падении продольной волны [142, 143]. Это делает возможным более точно учесть затухание упругих волн в пористой среде [114], см. также [61, 149]. Значительную роль играет анизотропия упругих свойств, вызванная в среднем не хаотичным расположением пор и микротрещин в некоторых средах. В этих случаях такие пористые (или слоистые с заполнением флюидом, или трещиноватые) среды можно заменять эффективными анизотропными моделями [124, 139, 141, 167]. Нелинейные эффекты при распространении в пористых насыщенных средах вибрационных колебаний изучались в [24]. Там показана возможность выделения геологического пласта - коллектора, содержащего газ (газоконденсат) по так называемому нелинейному параметру.

3.4. Выводы

1. Предложен модельный генератор для подготовки моделей пористых сред. Генератор (набор программ) позволяет подготавливать исходные данные в удобном для использования при расчетах виде для пористых сред с произвольным регулируемым значением пористости.

2. Выработана методика расчета средней скорости распространения упругих волн в пористой среде в случае, когда размер поры сопоставим с расчетной ячейкой. Проведено сравнение с опубликованными экспериментальными данными. Получено высокое количественное (до 1 %) соответствие результатов расчетов с данными эксперимента.

3. Показана возможность использования методики в так называемой проблеме замещения флюидов. Построена зависимость скорости распространения продольной волны и модуля плоского деформирования от значений пористости.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Работа посвящена численному моделированию распространения упругих волн в неоднородных анизотропных и в пористых средах. Предполагается, что тот масштабный уровень, на котором происходит рассмотрение волновых процессов, не позволяет прибегнуть к осреднению упругих свойств среды и к решению задачи с некими макроскопическими средними константами. Поэтому в работе считается существенным задание свойств отдельного кристалла, блока, включения, поры и расчет волнового поля в такой сильно неоднородной среде.

При этом были получены следующие основные результаты:

1. Изучена зависимость устойчивости формы акустического сигнала при численных расчетах конечно-разностным методом Уилкинса от гладкости его амплитудного спектра; показано, что при использовании сигналов с достаточно гладким спектром можно проводить расчеты распространения упругих волн для сотен длин волн без использования искусственной вязкости.

2. Активно используемый исследователями метод Уилкинса (метод ХЕМП) дополнен алгоритмами для расчетов в анизотропных неоднородных средах и для расчетов в пористых средах.

3. Изучены процессы распространения упругих волн в кристаллах в случае, когда главная ось анизотропии повернута относительно оси симметрии задачи. Показано, что дифракция плоской волны на таком кристалле (с несовпадением осей симметрии кристалла и задачи) имеет существенные отличия от дифракции плоской волны на кристалле в случае совпадения осей.

4. Предложен модельный генератор для подготовки моделей пористых сред. Генератор (набор программ) позволяет подготавливать

135 исходные данные в удобном для использования при расчетах виде для пористых сред с произвольным регулируемым значением пористости.

5. Выработана методика расчета средней скорости распространения упругих волн в пористой среде в случае, когда размер поры сопоставим с расчетной ячейкой. Проведено сравнение с опубликованными экспериментальными данными. Получено высокое количественное (до 1 %) соответствие результатов расчетов с данными эксперимента.

6. Показана возможность использования методики в так называемой проблеме замещения флюидов. Построена зависимость скорости распространения продольной волны и модуля плоского деформирования от значений пористости. р'

1. Аки К., Ричарде П. Количественная сейсмология: Теория и методы.: В 2-х т. / Пер. с англ. - М.: Мир, 1983. - 520 с.

2. Алеексеев A.C., Бабич В.М., Гельчинский Б.Я. Лучевой метод вычисления интенсивности волновых фронтов // Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Л., 1961. - № 5. - С. 3-24.

3. Алексеев A.C., Гельчинский Б.Я. О лучевом методе вычисления полей волн в случае неоднородных сред с криволинейными границами раздела // Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. -Л., 1959. № 3. - С. 16-47.

4. Алексеев A.C., Михайленко Б.Г. О задаче Лэмба для неоднородного полупространства//ДАН СССР. 1974. - Т. 214. - С. 84-86.

5. Алексидзе М.А. Фундаментальные функции в приближенных решениях граничных задач. М.: Наука, 1991. - 352 с.

6. Анциферов В.Н., Пещеренко С.Н. Геометрия поровой структуры порошковых материалов // Физическая мезомеханика. 1999. - Т.2. - № 4. - С. 55-59.

7. Бабич В.М. Лучевой метод вычисления интенсивностей волновых фронтов в случае упругой неоднородной анизотропной среды // Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. -Л.: Наука, 1961. Вып. 5. - С. 36-46.

8. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука, - 1972.

9. Бродов Л.Ю., Ковтун A.A., Тихонов A.A. Некоторые результаты численного моделирования для поперечно-изотропных сред // Физика Земли. 1986. -№11. -С.48-57.

10. Будаев B.C. Корни характеристического уравнения и классификация упругих анизотропных сред // Известия АН СССР. МТТ. 1978. - № 3. -С. 33-40.

11. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. -М.: Мир, 1987. 542 с.

12. Вычислительные методы в механике разрушения: Пер. с англ. / Под ред. СЛтлури. М.: Мир, 1990. - 392 с.

13. Гадолин A.B. Выводы всех кристаллографических систем и их подразделений из одного общего начала. Л.: Изд-во АН СССР, 1954. -157 с.

14. Гик Л.Д. Аномальные эффекты распространения сейсмических волн в пористых и трещиноватых средах // Физическая мезомеханика. 1998. -Т.1. - № 2. - С. 101-106.

15. Гик Л.Д. Сейсмическое моделирование сложнопостроенных структур. -Новосибирск: Наука. 1983. - 118 с.

16. Гогоненков Г.Н. Изучение детального строения осадочных толщ сейсморазведкой. М.: Недра, 1987. - 221 с.

17. Гольдин C.B., Колесников Ю.И., Полозов C.B. Распространение акустических волн в грунтах в условиях изменяющегося сдвигового напряжения (вплоть до разрушения образцов) // Физическая мезомеханика 1999. - Т. 2. - № 6 - С. 105-113.

18. Гречка В.Ю. Метод граничных интегралов расчета полей смещений в трехмерных вязкоупругих кусочно-однородных средах. I. Фундаментальные решения // Изв. вузов. Физика. 1994. - № 7. - С. 7681.

19. Гречка В.Ю. Метод граничных интегралов расчета полей смещений в трехмерных вязкоупругих кусочно-однородных средах. II. Матричное представление решения // Изв. вузов. Физика. 1994. - № 9. - С. 39-44.

20. Дружинин А.Б. Краевые волны в анизотропной среде // Геология и геофизика. 1990. - № 3. - С. 118-129.

21. Дружинин А.Б., Айзенберг A.M. Асимптотические решения уравнений движения анизотропной среды // Геология и геофизика. 1990. - № 6. -С. 129-138.

22. Дьелесан Э., Руайе Д. Упругие волны в твердых телах. Применение для обработки сигналов. Пер. с франц. М., Наука, 1982. - 424 с.

23. Дядьков П.Г., Назаров JI.A., Назарова Л.А. Моделирование напряженного состояния земной коры в окрестности сейсмогенного разлома в центральной части Байкальского рифа// Геология и геофизика. -1996,-№9. -С. 71-78.

24. Егоров Г.В. Нелинейное взаимодействие продольных сейсмических волн в пористых флюидонасыщенных средах // Геология и геофизика. -1995.-Т. 36.-№5.-С. 110-117.

25. Енохович A.C. Краткий справочник по физике. М.: Высшая школа, 1976. - 288 с.

26. Зарембо JI.K., Красильников В.А. Нелинейные явления при распространении упругих волн в твердых телах // Успехи физических наук. 1970. - Т. 102. Вып. 4. - С. 550-584.

27. Каштан Б.М., Ковтун A.A., Решетников В.В. О вычислении волновых полей в слоисто-однородных анизотропных средах // Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Л.: Наука, 1982. - Вып. 22. - С. 32-48.

28. Коновалова Е.В., Конева H.A., Перевалова О.Б., Козлов Э.В. Структура зернограничного ансамбля ГЦК однофазных поликристаллов // Физическая мезомеханика. 2000. - Т.З. - № 3. - С. 15-22.

29. Крауч С., Старфильд А. Методы граничных элементов в механике твердого тела. М.: Мир, 1987. - 328 с.

30. Крючкова В.В. Акустические волны в пористых флюидонасыщенных средах: компьютерное моделирование на мезоуровне // Физическая мезомеханика 2000. - Т. 3. - № 3 - С. 87-92.

31. Крючкова В.В. Компьютерное моделирование сейсмических волновых полей и возможности структурных построений // Структурный анализ в геологических исследованиях. Материалы Международного научного семинара. Томск: ЦНТИ, 1999. С. 242-244.

32. Крючкова В.В., Немирович-Данченко М.М. Преобразование матрицы упругих модулей в анизотропной среде при повороте системы координат // Методическое пособие. Изд-во ТГУ. 1999 г. 12 с.

33. Крючкова В.В., Немирович-Данченко М.М. Численное моделирование деформирования неоднородного материала на мезоуровне // Тезисы II Всероссийской конференции молодых ученых "Физическая мезомеханика материалов". Томск, 23 25 ноября, 1999 г., С. 77-78.

34. Крючкова В.В., Немирович-Данченко М.М. Численное моделирование распространения акустических волн в анизотропных средах. // Физическая мезомеханика 1999. - Т.2. - № 1-2 - С. 43-48.

35. Лейцин В.Н. Применение граничных интегральных уравнений к решению нелинейных задач теории упругости // Механика деформируемого твердого теда. Томск: Изд-во ТГУ, 1985. - С. 118-121.

36. Ляв А. Математическая теория упругости / Пер. с англ. М. - Л.: ОНТИ, 1935. - 674 с.

37. Ляхович Л.С., Мулик Е.И. Смешанная форма метода конечных полос // Вопросы механики и прикладной математики. Томск: Изд-во ТГУ, 1982. -С. 114-119.

38. Майнчен Дж., Сак С. Метод расчета "Тензор" // Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир, 1967. - С. 185-211.

39. Михайленко Б.Г. Метод решения динамических задач сейсмики для двумерно-неоднородных моделей сред // Докл. АН СССР. 1979. - Т. 246. №1. С. 47-51.

40. Михайленко Б.Г. Расчет теоретических сейсмограмм для многомерно-неоднородных моделей сред // Условно-корректные задачи математической физики в интерпретации геофизических наблюдений. -Новосибирск, 1978. С. 75-88.

41. Михайленко Б.Г. Сейсмические поля в сложнопостроенных средах. -Новосибирск: Наука, 1988. 310 с.

42. Молотков Л.А. Матричный метод в теории распространения волн в слоистых упругих и жидких средах. Л.: Наука, 1984. - 201 с.

43. Молотков Л.А. Эффективная модель упругой анизотропной среды с трещинами, заполненными жидкостью // Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Л.: Наука, 1990. - Т. 29. - С. 14-29.

44. Молотков Л. А., Бакулин А. В. Эффективная модель слоистой упруго-жидкой среды как частный случай модели Био // Математические вопросы теории распространения сейсмических волн. Записки научных семинаров ПОМИ. 1995. - Т. 230. - С. 172-195.

45. Назаров Л.А. Изобары компонент тензора напряжений в упругом полупространстве при наклонном сосредоточенном динамическом воздействии на поверхности // ФТПРПИ. 1983. - № 3. - С. 89-93.

46. Назаров Л.А. Исследование поля напряжений в упругом полупространстве при касательной сосредоточенной динамической нагрузке на его поверхности // ФТПРПИ. 1982. - № 3. - С. 41-46.

47. Назаров Л.А. Определение свойств структурированного породного массива акустическим методом // ФТПРПИ. 1999. - № 3. -С. 36-44.

48. Назаров Л.А. Применение метода комплексирования для решения смешаных задач динамической теории упругости // ПМТФ. 1992. - № 5. -С. 106-110.

49. Немирович-Данченко М.М. Математическое моделирование распространения упругих волн, возбуждаемых в анизотропных и неоднородных средах и в жидкостях: Диссертация . канд. физ.-мат. наук. Томск, 1993. 199 с.

50. Немирович-Данченко М.М., Стефанов Ю.П. Применение конечно-разностного метода в переменных Лагранжа для расчета волновых полей в сложнопостроенных средах // Геология и геофизика. 1995. Т. 36.-№11.-С. 96-105.

51. Никифоровский B.C., Шемякин Е.И. Динамическое разрушение твердых тел. Новосибирск: Наука, 1979. - 272 с.

52. Николаевский В.Н. Геомеханика и флюидодинамика. М.: Недра, 1996. - 447 с.

53. Нох В.Ф. СЭЛ совместный эйлерово-лагранжев метод для расчета нестационарных двумерных задач // Вычислительные методы в гидродинамике / Под ред. Б. Олдера, С. Фернбаха, М. Ротенберга. - М.: Мир, 1967.-С. 128-184.

54. Оболенцева И.Р. Прямые трехмерные задачи геометрической сейсмики. Новосибирск, 1976. - 108 с.

55. Оболенцева И.Р. Численный способ решения прямых пространственных задач геометрической сейсмики для сложнопостроенных анизотропных сред // Экспериментальные и теоретические исследования отраженных волн. Новосибирск: Наука, 1975. - С. 134-142.

56. Огурцов К.И., Петрашень Г.И. Динамические задачи для упругого полупространства в случае осевой симметрии // Учен, зап ЛГУ. 1951. -Вып. 24.-№149.-С. 3-117.

57. Панин В.Е. Основы физической мезомеханики // Физическая мезомеханика. Т.1. - №1. - С. 5-22.

58. Петрашень Г.И. О задаче Лэмба в случае упругого полупространства // Докл. АН СССР. 1949. - Т. 64. - № 5. С. 649-652.

59. Петрашень Г.И., Марчук Г.И., Огурцов К.И. О задаче Лэмба в случае полупространства // Учен. зап. ЛГУ. 1950. - Вып. 21. - № 135. С. 71118.

60. Петрашень Г.И. Распространение волн в анизотропных упругих средах. -Л.: Наука, 1980. 280 с.

61. Пузырев H.H. Методы и объекты сейсмических исследований. Введение в общую сейсмологию. Новосибирск: Изд-во СО РАН, НИЦ ОИГГМ, 1997. - 301 с.

62. Рихтмайер Р.Д., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. -М.: Мир, 1972.

63. Сибиряков Б.П., Максимов Л.А., Татарников М.А. Анизотропия и дисперсия упругих волн в слоистых периодических структурах. Новосибирск: Наука, 1980. 72 с.

64. Сиротин Ю.И., Шаскольская М.П. Основы кристаллофизики. М.: Наука, 1975. - 680 с.

65. Слепян Л.И. Исследование нестационарных деформаций с помощью рядов, определенных на переменном интервале // Изв. АН СССР, Механика. 1965. - № 4.

66. Слепян Л.И. Нестационарные упругие волны. Л.: Судостроение, 1972. -374 с.

67. Слепян Л.И. О взаимодействии пластины с жидкостью при ударе // Инж. ж-л, МТТ. 1966. - № 6.

68. Смирнов В.И., Соболев С.Л. О применении нового метода к изучению упругих колебаний // Труды сейсмологического ин-та. 1932. - № 20.

69. Стефанов Ю.П. Численное моделирование упругопластической деформации и разрушения неоднородных твердых тел под действием механических нагрузок: Диссертация . канд. физ.-мат. наук. Томск, 1999. 177 с.

70. Уайт Дж. Э. Возбуждение и распространение сейсмических волн. М.: Недра, 1986. - 261 с.

71. Уилкинс М.Л. Расчет упругопластических течений // Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир, 1967. - С. 212 - 263.

72. Федоров Ф.И. Теория упругих волн в кристаллах. М., Наука, 1965. -388 с.

73. Физическая акустика. Методы и приборы ультразвуковых исследований / Под ред. У. Мэзона. М.: Мир, 1966. - Т. 1. - Ч. А. - 592 с.

74. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов: В 2-х т. / Под ред. В.Е. Панина. Новосибирск: Наука, 1995. -Т. 1.-298 с.

75. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов: В 2-х т. / Под ред. В.Е. Панина. Новосибирск: Наука, 1995. - Т.2. - 320 с.

76. Френкель Я.И. К теории сейсмических и сейсмоэлектрических явлений во влажной почве // Известия Академии наук СССР. Серия географическая и геофизическая. Т. VIII. № 4. С. 133-149.

77. Харкевич А.А. Спектры и анализ. М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1957. - 236 с.

78. Хаткевич А.Г. К явлению внутренней конической рефракции упругих волн // Кристаллография. 1962. - Т. 7. - С. 916-921.

79. Хирт Дж., Лоте И. Теория дислокаций. М.: Атомиздат, 1972. - 600 с.

80. Цванкин И.Д., Чесноков Е.М. Волновые поля точечных источников в произвольно-анизотропных средах // Известия АН СССР. Физика Земли. -1989.-№7.-С. 12-27.

81. Чичинин И.С. Вибрационное излучение сейсмических волн. М.: Недра, 1984. - 224 с.

82. Чичинин И.С., Немирович-Данченко М.М. Методика задачи об излучении упругих волн источником, действующим на поверхности гиротропного трансверсально-изотропного полупространства //

83. Исследования распространения сейсмических волн в анизотропных средах. Новосибирск: Наука, 1992. - С. 81-96.

84. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. М.: Наука, 1977. - 400 с.

85. Ahmad S., Manolis GD Dynamic analys of 3-D structures by a transformed boundary element method // Computational Mechanics. 1987. - V. 2. - P. 185-196.

86. Ahmad S., Rupani A.K. Horizontal impedance of square foundation in layered soil // Soil dynamics and earthquake engineering. 1999. - V. 18. - P. 59-69.

87. Bakamjian B. Boundary integrals: an efficient method for modeling seismic wave // 62th Annual international meeting and exposition, society of exploration geophysicists, Expanded abstracts. 1992. - P. 1232-1235.

88. Ben-Menahem A., Beydoun W.B. Range of validity of seismic ray and beam methods in general inhomogeneous media. 1. General theory // Geophys. J. Roy. Astr. Soc. 1985. - V. 82. - P. 207-234.

89. Berg P., If F., Nielsen P., and Skongaard O. Diffraction by a wedge in an acoustic medium with combined velocity and density contrasts // Submitted to geophysical prospecting. 1993.

90. Biot M.A. Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid, I.: Low-frequency range // J. Acoust. Soc. Am. 1956a. V. 28. - P. 168178.

91. Biot M.A. Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid, II.: Higher frequency range // J. Acoust. Soc. Am. 1956b. V. 28. - P. 179-191.

92. Biot M.A. Mechanics of deformation and acoustic propagation in porous media // J. Appl. Phys. 1962. V. 33. - P. 1482-1498.

93. Bonnan S., Hereil P-L., Collombet F. Experimental characterization of quasi static and shock wave behavior of porous aluminum // Journal of applied physics. 1998. - V. 83.-No. 11.-P. 5741-5749.

94. Cagniard L. Reflexion et refraction des ondes seismigues progressives, Paris, Ganthier, Villars. 1939.

95. Carcione J.M., Seriani G., Priolo E. Wave simulation in 3-D anisotropic-viscoelastic media // 62th Annual international meeting and exposition, society of exploration geophysicists, Expanded abstracts. 1992. - P. 12511254.

96. Cerveny V., Molotkov I.A., Psencik I. Ray method in seismology. Prague: Varlovar. Univ., 1977.

97. Crampin S.A. A review of wave motion in anisotropic and cracked elastic media // Wave motion. 1981. - V 3. - P. 343-391.

98. Dablain M. The application of high-order differencing to the scalar wave equation // Geophysics. 1986. - V. 51. - P. 54-66.

99. Dai N., Kanasewich E.R., Vafidis A. Simulatoin of seismic wave in porous media // 62th Annual international meeting and exposition, society of exploration geophysicists, Expanded abstracts. 1992. - P. 1293-1296.

100. Dvorkin J., Nolen-Hoeksema R., Nur A. The squirt-flow mechanism: macroscopic description // Geophysics. 1994. - V. 59. - No 3. - P. 428-438.

101. Dvorkin J., Nur A. Dynamic poroelasticity : a unified model with the squirt and the Biot mechanisms // Geophysics. 1993. - V. 58. - P. 524-533.

102. Dvorkin J. and Nur A. . Dynamic poroelasticity : a unified theory with the squirt and the Biot mechanisms // 62th Annual international meeting andexposition, society of exploration geophysicists, Expanded abstracts. 1992. -P. 620-622.

103. Eskola L. Geophysical interpretation using integral equations. London: Chapman and Hall, 1992. - 191 p.

104. Faria E.L., Stoffa P.L. Finite-difference modeling in transversely isotropic media // Geophysics. 1994. - V. 59. - No. 2. - P. 282-289.

105. Fornberg B. On a Fourier method for the integration of hyperbolic equations // Soc. Industr. Appl. Math., J.Number. Anal. 1975. - N 12. - P. 509-528.

106. Gassman F. Elastic waves through a packing of spheres Geophysics. 1951b. -V. 16.-P. 673-685.

107. Geertrma J., Smit D.C. Some aspects of elastic wave propagation in fluid-saturated porous solids // Geophysics. -1961. V. 26. -P. 169-181.

108. Haddon R.A., Buchen P. W. Use of Kirchhoffs formula for body wave calculations in the Earth // Geophys. J. Roy. Astr. Soc. 1981. - V. 67. - P. 587-598.

109. Harris R. Dynamic 3-D simulations of earthquakes on en echelon faults // Geophysical research letters. 1999. - V. 26. No 14. - P. 2089-2092.

110. Hilterman F.J. Three-dimensional seismic modeling // Geophysics. 1970. -V. 35. - P. 1020-1037.

111. Holberg O. Computational aspects of the choice of operator and sampling interval for numerical differentiation in large-scale simulation of wave phenomena // Geophysical prospecting. 1987. - V. 35. - P. 629-655.

112. Hornby B., Schwartz L.M., Hudson J.A. Anisotropic effective-medium modeling of the elastic properties of shales // Geophysics. 1994. - V. 59. -No. 10.-P. 1570-1583.

113. Huang B-S., Teng T-L., Yeh Y.T. Numerical modeling of fault-zone waves: acoustic case // Bulletin of the seismological society of America. 1995. - V. 85.№6.-P. 1711-1717.

114. Hughes, T., The finite element method, Prentice-Hall, New Yersey, 1987.

115. Igel H., Riollet B., Mora P. Accuracy of staggered 3-d finite-difference grids for anisotropic // 62th Annual international meeting and exposition, society of exploration geophysicists, Expanded abstracts. 1992. - P. 1244-1246.

116. Inoue T., Miyatake T. 3-D simulation of near-field strong ground motion based on dynamic modeling // Bulletin of the seismological society of America. 1995. - V. 88. № 6. - P. 1445-1456.

117. Johnson G.R. Dynamic Analysis of Torsion Test Specimen Including Heat Conduction and Plastic Flow // J. Engin. Materials and Technology. 1981. -Vol. 103. №3,-P. 201-206.

118. Keller J.B. Geometrical theory of diffraction // J. Opt. Soc. Am. 1962. - N 52.N2.-P. 175-188.

119. Klem-Musatov K.D., Aizenberg A.M. Seismic modelling by methods of the theory of edge waves // J. Geophys. 1985. - V. 57.- P. 90-105.

120. Klem-Musatov K.D., Aizenberg A.M. The edge wave superposition method (2-D scalar problem) // Geophys. J. Int.- 1989. V. 99.- P. 251-267.

121. Krebes E.S., Quiroga-Goode G. A standard finite-difference scheme for the time-domain computation of anelastic wavefields // Geophysics. 1994. - V. 59. N. 2. - P. 290-296.

122. Lamb H. On the propagation of tremors over the surfase of an elastic solids // Phil, trans, roy. soc. of London. S. A. 1904. - V. 203. - P. 1-42.

123. Magistrate H., Day S. 3-D simulations of multi-segment thrust fault rupture // Geophysical research letters. 1999. - V. 26. No 14. - P. 2093-2096.

124. Martynov V.N., Michailenko B.G. Numerical modelling of elastic waves in anisotropic inhomogeneous media for the halfspace and the sphere // Geophys. J. Roy. Astr. Soc. 1984. - V. 76. - P. 53-63.

125. Martynov V.N., Michailenko B.G. Numerical modelling of propagation of elastic waves in anisotropic inhomogeneous media for the half-space and the sphere // Geophys. J. R. Astr. Soc. 1984. - N 76. -P. 53-63.

126. Mavko G., Chan C., Mukeiji T. Fluid substitution: Estimation changes in Vp without knowing Vs // Geophysics. 1995. - V. 60. - No. 6. - P. 1750-1755.

127. Mukerji T., Mavko G. Pore fluid effects on seismic velocity in anisotropic rocks // Geophysics. 1994. - V. 59. - No. 2. - P. 233-244.

128. Mavko G., Mukerji T. Seismic pore space compressibility and Gassmamf s relation // Geophysics. 1995. - V. 60. - No. 6. - P. 1743-1749.

129. Mavko G., Mukerji T., Godfrey N. Predicting stress-induced velocity anisotropy in rocks // Geophysics. 1995. - V. 60. - No. 4. - P. 1081-1087.

130. Mavko G., Nur A. Melt squirt in asthenosphere // JGR. 1975. - V. 80. - P. 1444-1448.

131. Mavko G., Nur A. Wave attenuation in partially saturated rocks // Geophysics. 1979. - V. 44. - P. 161-178.

132. Mikhailenko B.G. Numerical experiments in seismic investigations // Journal of Geophysics 1985. -N 58. - P. 101-124.

133. Mikhailenko B.G. Synthetic seismograms for complex threedimensional geometries using an analytical-numerical algorithm // Geophys. J. R. Astr. Soc. 1984. - N 79,3. - P. 963-986.

134. Mikhailenko B.G., Korneev V.I. Calculation of synthetic seismograms for complex subsurface geometries by a combination of finite integral Fourier transforms and finite-difference techniques // J. Geophysics. 1984. - N 54. -P. 195-206.

135. Nanxun Dai, Ernest R. Kanasewich, Antonis Vafidis Simulation of seismic waves in porous media // 62th Annual international meeting and exposition, society of exploration geophysicists, Expanded abstracts. 1992. - P. 12931296.

136. Nicolaevskiy V.N. Mechanics of porous andfractured media // Singapore: World scientific. 1990. - 420 p.

137. Nielsen P. Numerical modelling of seismic waves: on the elimination of grid artifact / Norsk Hydro Research Center, N-5020, Bergen, Norway, 1994. 471. P

138. Nielsen P., If F., Per Berg and Ove Skongaard Using the pseudospectral method on curved grids for 2D elastic forward modelling // Geophysical Prospecting. 1995. - V. 43. - P. 369-395.

139. Musgrave M.J.P. On the propagation of elastic wave in aelotropic media // Proc. Roy. Soc. 1954. - V. 226. - No. 1166. - P. 339-366.

140. Numerical methods used in atmospherical models // GARP Publication Series. 1979. -N 17. - V. 11.

141. Orszag S.A. Comparison of pseudospectral and spectral approximation // Stud. Appl. Math. 1972. - N 51. - P. 253-259.

142. Pereyra V., Richardson E. 3-D finite-element and ray tracing simulation of elastic wave propagation in complex geology // 62th Annual international meeting and exposition, society of exploration geophysicists, Expanded abstracts. 1992. - P. 1227-1231.

143. Richtmyer R.D., Morton K.W. Difference methods for initial-value problems // Wiley-Intersci.: New York. 1967. - 405 p.

144. Rosenbaum J.H. Synthetic microseismograms-Logging in porous formations // Geophysics. 1974. - V. 39. - P. 14-32.

145. Sanchez-Sesma F.J., Campillo M. Difraction of P, SV and Rayleigh waves by topografic features: a boudaiy integral formulation // Bull Seis. Soc. Am. -1991.-V. 81.-P.2234-2253.

146. Schmalholz S.M., Podladchikov Y. Buckling versus folding: importance of viscoelasticity // Geophysical research letters. 1999. - V. 26. No 17. - P. 2641-2644.

147. Scott P., Helmberger D. Applications of the Kirchhoff Helmholtz integral to problems in seismology // Geophys. J. Roy. Astr. Soc. - 1983. - V. 72. - P. 237-254.

148. Seriani G., Priolo E., Carcione J., Padovani E. High-order spectral element method for elastic wave modeling // 62th Annual international meeting and exposition, society of exploration geophysicists, Expanded abstracts. 1992. -P. 1285-1288.

149. Tal-Ezer H., Carcione J.M., Kosloff D. An accurate and efficient scheme for wave propagation simulation in linear viscoelastic media // Geophysics. -1990.-V. 33. P. 1366-1379.

150. Trefethen L.N. Group velocity in finite difference schemes // Society of industrial and applied mathematics review. 1982. - V. 24. - P. 113-136.

151. Trorey A.W. A simple theory for seismic diffractions // Geophysics. 1970. -V. 35. - P. 762-784.

152. Vafidis A., Abramovici F. and Kanasewich E.R. Elastic wave propagation using fully vectorized high-order flnite-differene algorithms // Geophysics. -1992. V. 57. -P. 218-232.

153. Vai R., Castillo-Covarrubias J.M. Elastic wave propagation in an irregularly layered medium // Soil dynamics and earthquake engineering. 1999. - V. 18. -P. 11-18.

154. Vernic L. Hydrocarbon-generation-induced microcracking of source rocks // Geophysics. 1994. - V. 59. - No. 4. - P. 555-563.

155. Virieux J. P-SV wave propagation in heterogeneous media: velocity-stress finite-difference method // Geophysics. 1986. - V. 57. - P. 889-901.

156. Virieux J., Madariaga R. Dynamic faulting studied by a finite difference method // Bull Seism. Soc. Am. -1982. V. 72. - P. 345-369.153

157. Walsh J.B. The effect of cracks on the compressibility of rock // J. Geophysics Res. 1965. - V. 70. - P. 381-389.

158. Wu R.-S. Gaussian beams, complex rays, and the analytic extension of the Green's function in smoothly inhomogeneous media // Geophys. J. Roy. Astr. Soc. 1985. - V. 83.-P. 93-110.

159. Zahradnik J., O'Leary P., Sochacki J. Finite-difference schemes for elastic waves based on the integration approach // Geophysics. 1994. - V. 59. N. 6. -P. 928-937.

160. Zapperi S., Vespignani A., H. Eugene Stanley Plasticity and avalanche behaviour in microfracturing phenomena // Nature. 1997. - V. 388. - P. 658660.

161. Zhu T. A ray-Kirchhoff method for body-wave calculations in inhomogeneous media: theory // Geophys. J.- 1988. V. 92. - P. 181-193.

162. Zimmerman R.W. Compressibility of sandstones // Elsevier science publ. -1991.