Численное моделирование трещины, заполненной жидкостью тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

ИНСТИТУТ MATH,ЭТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ РАН

На правах рукописи Уда 519.63:621.382

ЛЕМЕХА Алла Валентиновна ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРЕЩИНУ, ЗАПОЛНЕННОЙ ЖИДКОСТЬЮ

Специальность 01.01.07 - вычислительная математика

АВТОРЕ O'E PAT

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1992 г.

Диссертация была выполнена в Филиале ИАЭ им.И.В.Курчатова

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Р.П.Федоренко

1

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук

Рябенький B.C.

доктор физико-математических наук Саульев В Л'.

Ведущая организация - ВЦ РАН

Автореферат разослан "_" ______1992 года.

Защита состоится "_____1992 года в " часов

"__" ыивут на заседании Специализированного совета

К.003.91.01 . №5.1 РАН

Адрес: 125047, Москва, Миусская пл.4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИММ РАН

Ученый секретарь Совета к.ф.-м.н. Uii^^T С.Р.Свнрщевский

U

ОБЩЕЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Актуальность работ. Создание циркуляционых систем в трсщя-с гидроразрыва в настоящее время рассматривается как один кз ювных способов извлечения глубинного тепла Земли из сухих гор-к пород. Основным элементом такой циркуляционной системы явля-зя подземная трещина, заполненная хадкостыо. С помощью нагнета-гсъной и отбирающей сквашны трещина соединяется с тешгообметш-л, находящемся на поверхности Земли. Расчет подобных циргсуляци-!щх систем является весьма сложной задаче, главным образом сому, что в основном подземном элементе - трещине гидроразрыва -повременно происходят взаимосвязанные упругогидродинаш'леские оцессы.

Действительно, пусть давления нагнетания и отбора гшдкости трещины гидроразрыва (давления .на сквакинах) известны. При ом поле скоростей движения жгдкосги в трещине запксит ог ев скрытия. Однако, само раскрытие заранее неизвестно, так как оно ределяется распределением давления жидкости в трещине, которое кке подлежит отыскана®. Е^ли же еще учесть, что температура качиваемой ходкости отличается от температуры горных пород, то силу термоунругих дефортациП; локальное раскрытие трещины, рас-юделешш в ней давления и температура' оказывается взакмосвязаи-т.»1. Таким образом, здесь возникает целый ряд новых своеобразных дач механики, весьма громоздких по своей формулировке п требуэ-[х разработки специального вычислительного аппарата для их эффе-•ивного решения. По самой своей сути эти задачи являются яелк-¡йшл.'л. Это связано, с одной стороны, с нелинейной зависимостью

локальной гидравлической проводимости трещины от ее раскрытия к, с другой стороны, - с возможностью контакта поверхностей тращЕ: и образования зон налегания. При этом основные техЕШгошческда показатели работы циркуляционной системы в трещине гндрорэзрава -пропускная способность трещины и количество тепла, пропускаемо? вмасте с теплоносителем в единицу времени - являются нелиаейШйЗ! функциями давлений в оквашнах и температура закачиваемого *геШ13-носителя.

Целью настоящей работы является:

1. Разработка метода расчета давления жидкости в транше при еа-дагагом ее раскрытии. Ситуация осложняется наличием сквааш, размеры которых много меньше размеров треаршы, ц выровдениеа уразке-ния неразрывности потока в связи с обращением , в пуль рамфэтия трещшш на ее границе.

2. Разработка метода совместного решения уравнений для. раскрытия трещины, давления жидкости и фильтрационного потока.

3. Программная реализация методик.

4. Проведение расчетов методического характера с цавыо выяснения работоспособности и эффективности методик. ' •

' 5. Проведение расчетов научно-методического характера. Основной вопрос - как ведет себя велнчияа рзахОда кидкости (пропускная способность трещины) при изменения фор® "трендам , (круг и эллипс), расстояния между скважинами, а такие наклона траищны.

Научная новизна и практическая ценность: ' . 1. Разработан метод и создана программа расчета давления шщкостк в раскрывающейся трещина,' сводящегося к решений в сингулярно-

ЕсаггупешоО: области злллптаческого уравнения, вкроздающегося па грзгпще.

у

?.. Раг-работана методика совместного решения задач о раскрытии трзцгшп, давдотга падкости н флльтрацтгоштои потоке. Методика реа-

лтговгнм в прогрил;е.

0. Прсводепи научно-исследовательские расчеты, позволившие /::.гле;;гь i:a:ovop"v плтереенш эффекты;

a) c::b;ick::octj> расхода шщкостн от перепала давлений ira с;'п~.:;,пзх является пемопотецпой;

si) тел дна крлтячастс: зяачешгя перепада давлетшй на о;хо г;п mue соосксгстпуот глакешалытой величине расхо-г.ттсйуц, а л-'орсо - ':с::з:п.7 полггого закрытия трещшш.

iîx:o,"'jr:3 езоуль'гптн диссертации опубликовали в

-. ; i :> 1- i »

nvngrrr/рз п сб~ ем 7;:ссертащш состоит из пведе-

Ж'я, трзд глаз» apzir.oTsm'.a » сяг,с:гз дагоратуры, включающего 22 дг,; Работа гаягзяю яа 03 «лист даяпшописиого текста,

eryiqr.si'î 57 рпсушш.

ШШЛ-Ш РЛБО'Ш

Оз пвндщти охарактеризовать прг-дивт н цнл(, диссертационной

работа, a raiera кратко излагается содержите глав ¡г unpavpa'tfia t

диссертации.

Порвая глава посвивдепз математической ностаиошш -подач. Р. <> 1 описывается задача о трещин*.! пшрораариа.ч о«:? учета фш.трлциои -

шлх утечек. При отсутствии коктакта поверхностей трещит вкутрл области G, -задача сводится к решению следующей система уравнена; в безразмерных перемещал::

' д Г С W(X').dX- = (х , _ п<0 _ _li.cos а;.Л1) ^ J- i" R(x-x') 1 2 н

X °

t dtvita3./'5i.~-ip - Р—i.cos a) + ez'§§-JJ = 0; (2)

о

в заданной двумерной области G(xt) относительно двух нензвест

, нцхфункщШ ) и р(хг,х2), где G ~ область, занимаемая трещи

колв плоскости (хг,х2); 2ш(х^,хг) - раскрытие трещины по оси 0Хз

р(х^,хг) - давление гащкостл в трещине; р - козйищгент, содержа

щкй плотность нвдкосги п плотность горних пород, Н - расстояние

от поверхности Земли до начала координат,

х=(х.х ), dx=dx -dx , д =а/ах2+а/ах2, ■ R(x)=/(x^x3)'. 12 12 12 12

В 52 рассмотрена задача с учетом фильтрации, сводящаяся к - решению системы уравнений:

ОС

ff W(X').&t\ = (х } _ (ио--i.cos a). (3)

* ¿J R(x-x') 1 2 Во • _

- «) * C3.qL=0;(4)

г . ii 2

о

. q (x')'dx'

' ГГ—£- = р{х) - р. (5)

CTi R(x-x')

где С^ и а - некоторые коэффициенты.

Во второй главе диссертации содерштся метод приближенного решения задачи о тргадше гвдрорязрива. В §5 1 к 2. описаны в об-ецях чертах задача о трещине отрыва и задача фильтрации. Методика рвссму.я этих задач уке известна и используется для решения задачи о -.редкие гкдроразрынз в тмоинацни с методом решения »пройденно-

го эллпятотеского уравнения, который описан в 53.

Затплем это уравнение в обцем шдо '

сИи[ш3(х) •£г,с1с1СР(х)]} = Ях), -г С/ н С,, (б)

Пусть Функции ш(х) и /(х) ухе известии. [Гас интересует. давление Р(х) в многосвязной; области

<7/ II (?,

-к

где О - область, занимаемая трещиной в плоскости {х а обла-

сти - проекцшт скпаксга на эту. плоскость.

Два сущестшндих момента делают эту задачу нестандартной и требуют соответствующих разработок.

1. Сквашти ялпяптся окрудаостяуи очень малых радиусов г. но сравнению но только с размерами С, но и с продллемш шагом сетки к. Тькич образом, нерпой вопрос - это построение схемы с аагем Л, иосЕолл:с:-'с:"г достаточно аккуратно учитывать наличие сква;:с.ш, ока-Еиззглшх опрвдояящое влияние па решение задача. Р.. Уравнение (б) выроздается на внешней границе области О (на о), так как гу на 5 образуется в пуль. Из теории уравнения (3) ненастно, что функция ю п окрестности 3 имеет асимптотику

= И(т))./Т ои3'2), где п - длина дуги «а Л, я -- расстояние от по внутренне;'! нормали. Таким обрззом, коэффициент дг.Ф'узпи и уравнения (6) ■» окрестности 5 есть величина 0(^3/г). Ото оч :нь сильное ниртаде-:глп, и в зто!.! случаи на 3 ж; ставят к.нп«.и-лигЗи классические крае-чше условия, они заменяется претим требованием ограниченности решении. ,,

Для построения рапностноЯ схем;; использовалась '■специальна;? иоди&тациа метода конич;шх элементов (КО). Основным и я»» •

ляются следующие операции:

1. Сеточная функция Рь я определенным обрззо.-.î восполняется д. непрерывной в G}1 функции Р(х ).

2. Эта функция Р(з ) "подставляется" в уравнезна . (б), таз з

ч . » 2

дает разностную схему - систему уравнений дтл Р .

Для гладкого восполнегогя сеточкой функция Р ссшльсуетс:

к

следующие элементарные функция. Пусть есть счетная ечоГй«: Îu-Ji, содержащая "скважину" - круг радиуса г, перпихл J.

J=1,...,4; J=5 соответствует сгсвпгсшз. Спродел.:.! ),

, :. .,5 как решения уравнения Яакйеса лрг

краевых условия?!: для 4 в j-e;*t взр^гз лхглирьта,

в остальных вершинах и но грап;ц<з сп^^гп-. Па е,:;о;йс: границе ячейки р - кусотао-лшойная дузлгциа. ilp;; Суп.;;г.г;;.ч f^-l па грашще сквахзпш и р'^-0 на беспиол грс;:;до К'-^'-кц. С i:a\".X;.v. J ,

функций «У (S ,3 ) фУШОДКЯ Р(2 ,S„) Б ПЧ^лй с

Пи 0.5, го+0.5) строится но £ор:луло

*Р. .32 J+3?. г/ (S, ) .

* S; , t. » i

Построенная тагам образов (йгакщш ) пр.: лс^ах Ри

является кусочно-гаршнотесг-ой, гсарзризий к улоаястсоряз? заданным краевым условиям на хрзшщ&я еша^гз.

Разностное уравнепно в точке (1с,в) получим, приравняв пули суммарный ноток в указанную на рисунке область пулевой плоской меры, ограниченную контуром типа "двусторонний крест".

m-l

вычисляется по формуле линейной интерполяции

Рп = о.Ра + И-о).Рр, (7) где о - весовая функция,

Л^д)2 + и = - ■ ■ — ?

Лха'хр)г + (Уа-Ур)2 '

точки а и р являются внутренним* точками области причем они лежат впз приграничной зоны.

После того, как было получено соотношение (7), разностная задача решалась итерационным методом. Результата вычислительного эксперзшента изложены в пункте е) §3.

Гретья глава содержит описание результатов проведенных методических и исследовательских расчетов.

В §1 рассмотрен случай горизонтального расположения подземной трещины. Приведена блок-схема общего итерационного процесса, описаны расчеты, проведенные с.целью выяснения зависимости абсолютной величины-расхода шдкостя (? от перепада давлений па скважинах при различных глубинах расположения трещины Н , различных радиусах трещины К , различных формах треаугаы (круг и эллипс), различ-, них расстояниях мевду скважинами. Величина <2 определяется формулой

= - -д- | шэ(7Р)Г1.(^, где Заграница £-ой сквазяпш.

5г

В §2. приведена результаты расчетов, проводившихся при произвольном угле наклона трещины <* к вертикальной оси.

В Приложении А описана программа решения выровденного эмпш-тического уравнения.

Ташы образом била получена 9-титочечная разностная схема для Р^ п. Краевых условий на грашще нет, они заменены требованием ограниченности рзшешш. Но разностная схема должна быть дополнена кахаш-то -алгоршпжм вычисления Рк в в граничных уздах: сетки. С гтой целью били проведены одномерный и двумерный модельные зкспе-Р12ленти и исследовано аналитическое решение уравнения (6), которое иатбы сравнивалось с реиениегл разностного уравнения. Контур трещина Г задавался ломаной с набором вершш (X,.). Область покрыта раавшврной сеткой 1гхк с узлзшг (к,а). Счетныегочки (точки, в ко-тор^л определена функция ?к и), лежащие внутри контура Г, делятся на дна типа: "внутренние" (В) и "дефектные" (Д). У внутренних точек вез Еосегль соседой по 9-ткточечной схема лежат внутри контура Г. Если это условие не выполняется, то ш считаем точку "деОекшой". Для нео ш подбираем пару внутренних точек- "доноров" а к р, по котором К осуществляем интерполяцию. Делается это так. Для тощих (лдДд) ицаи ближайшую вершину контура Г. Для

зт?й верапшы п двух соседних вершин справа и слева строил окружность с центром (Хд.Г^,). Прямая СД является перпендикуляром к контуру Г. По ходу этого перпендикуляра ищем ячейку с парой внутренних точек- "доноров" « и р. Отрезок, соединяющий эти точки, пересекается с прякой СД в точке (ХПДП). Тогда, согласно проведенным . эцсЕврайЕтса, сеточпуц Супкцшз втачка Д следует вычислять по Сорглудз: ■

2 о /•••ч /

тдв - расстояние от точки Д до границы, - расстояние от точш П до грашацг, Иа ~ радиус области значение Р в точке П

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1'.Разработал и программно реализован метол расчета давления жидкости в раскрывающейся трещине, сводящийся к решению в сингуляр-т но-возмущеиной области эллиптического уравнения.

2. Разработана методика совместного решения задач о раскрытия трещины, дэвлегаи жидкости и фильтрационном потоке. Создана программа и проведена проверка эффективности методики.

3. Проведена серия научно-исследовательских расчетов при различных формах,размерах трещины, различной ориентации тредичи относительно поверхности Земли и вертикальной оси, различных расстояниях (лекду сквахашаш!. Анализ результатов проведенных расчетов позволил выявить следующие эффекта:

а) зависимость расхода жидкости от перепада давлений на сквашшах является немонотонной;

б) имеется два критических значения перепада давлений лр; одно из них соответствует максимальной величине расхода жидкости, второе - моменту полного закрытия трещины.

Основные результат» диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Вазовский А.<5., Лемеха A.B., Федоренко Р.П. ЧисленниЛ анализ унругогидродинямичпекой задачи о циркуляции жидкости в тр»:;цини гидроразрыва. - М., 1987 г. - 28 с. (Нренгмчт/ им.М.В.Ю'ЛЛНза АН СССР, 5:1).

2. Зазоискнй А.Ф., Лемеха A.B., .Федоре яко Р.П. НелннеЯгшв з»;кти при циркуляции жидкости в трощили гидроразрипл. - М.. 1W ' г. -30 с. (Препринт/ ИГИ им.М.В.Келдглю ЛИ СССР. 10)