Численное моделирование явлений распространения сильных ударных волн в гетерогенных упруго-пластических средах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение

ГЛАВА I. РАСПРОСТРАНЕНИЕ СИЛЬНЫХ УДАРНЫХ ВОЛН

В ПЕРИОДИЧЕСКИХ СЛОИСТЫХ МАТЕРИАЛАХ

§1. Ф изико-математическая постановка задачи и метод численного интегрирования

§2. Анализ затухания сильных ударных волн в периодических слоистых материалах

§3. Слоистая модель порошков.

ГЛАВА П. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ

ПОРОШКОВ ПШ. ИМПУЛЬСНОМ НАТРУЖЕНИИИ.

§1. Математическая модель.

§2. Частные случаи

§3. Характеристики системы

ГЛАВА Ш. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ РАСПРОСТРАНЕНИЯ СИЛЬНЫХ УДАРНЫХ

ВОЛН В ПОРОШКАХ . . „ . *.

§1. Описание GAP - метода. Модельные расчеты.

§2. Анализ расцространения ударных волн в порошках на примере решения задачи о структуре волны

§3. Решение задач об импульсном нагружении порошков

Динамика многофазных систем является сравнительно молодым, но интенсивно развиваемым разделом механики сплошных сред. Актуальность исследований в области механики гетерогенных сред обусловлена важными практическими црименениями их в теплоэнергетике, нефтегазодобывающей, металлургической промышленности, авиационной технике и т.д. При этом перед исследователями стоят две основных задачи:

- построение замкнутых математических моделей, адекватно описывающих течения гетерогенной смеси при заданных физико- химических свойствах каждой из фаз и исходной структуре смеси;

- создание численных методов, позволяющих эффективно решать задачи динамики многофазных сред.

Гетерогенная среда - это смесь, состоящая из нескольких фаз и характеризующаяся макроскопическими по сравнению с молекулярными масштабами неоднородностями. Для описания движения такой среды необходимо определять её состояние в каждой точке выделенного объёма в каждый момент времени. Однако, если количество не-однородностей велико, то указанный способ математического описания оказывается неприемлем. В этом случае применяют осредненное описание движения гетерогенной смеси, используя гипотезу взаимопроникающих движений составляющих многоскоростного континуума, предложенную Х.А. Рахматулиным [i] и сыгравшую важную роль в развитии механики гетерогенных сред. Им феноменологически получена и исследована замкнутая однодавленческая модель, описывающая движение сжимаемых жидкостей в случае, если давления в фазах зависят лишь от истинных плотностей фаз ( уравнения состояния типа баротропии). Эта модель включала уравнения неразрывности и движения каждой из фаз.

В дальнейшем А.Н. Крайко, I.E. Стерниным [2] была предложена модель течения нереагирующей смеси газа с несжимаемыми твердыми частицами, которая включала также уравнения энергии для смеси и для твердых частиц. При этом уравнение состояния для газообразной фазы было более общего вида, чем в [i] . Р.И. Нигматулиным в [з] эта модель была обобщена на случай смеси с фазовыми переходами, а в [4] на случай, когда обе фазы сжимаемы.

Высококонцентрированные дисперсные системы "газ - твердые частицы" рассматривались в работах [5-7] . Процессы, происходящие в таких средах, гораздо сложнее, т.к. при этом существенную роль играют непосредственные столкновения между частицами.

Наконец, когда твердые частицы образуют одну из возможных плотных упаковок, т.е. в задачах' с насыщенными пористыми средами, начинают сказываться эффекты прочности. Впервые механизм деформации упругих насыщенных пористых сред был рассмотрен в работах Терцаги [8-9] . Им решалась задача об одномерном плоском сжатии водонасыщенного грунта. В дальнейшем попытки выписать определяющую систему уравнений для описания поведения таких сред предпринимались Герсевановым, Полыгиным.

Основополагающая работа Я.И. Френкеля [ю] была выполнена в 1944 г. Система уравнений, предложенная им, содержала уравнения движения для каждой из фаз, уравнение неразрывности для жидкой фазы, линейную связь типа закона 1Ука для пористой среды и соотношение для возмущения пористости. В дальнейшем В.Н. Николаевским было показано, что замыкающее соотношение для возмущения пористости не эквивалентно недостающему уравнению неразрывности дая твердой фазы. Позднее М.А. Био [п] произвел учет в уравнениях дополнительной "присоединенной массы". При этом система уравнений, предложенная им справедлива лишь для постоянной однородной пористости.

В.Н. Николаевский [12] цри выводе определяющих уравнений выписывает сначала микроуравнения, справедливые в каждой микроточке, заполненной жидкостью пористой среды, а затем осредняет их по объему, занятому L -й фазой. Метод осреднения микроуравнений является существенно более сложным, но и более строгим по сравнению с чисто феноменологическим. Он позволяет конкретнее представить структуру макроскопических параметров и возможные способы их теоретического и экспериментального определения. Метод пространственного осреднения в механике гетерогенных сред подробно изложен в работе [13] .

Такой способ вывода уравнений динамики насыщенных пористых сред проводится цри следующих двух основных допущениях:

- характерный размер микрочастиц зернистой твердой, фазы много больше молекулярно-кинетических размеров;

- характерный размер микрочастиц много меньше расстояний, на которых макроскопические параметры фаз меняются существенно вне поверхностей разрыва.

Первое из этих допущений позволяет рассматривать каждую микрочастицу сплошной и исследовать её поведение с помощью методов механики сплошных сред. Второе допущение позволяет считать выбранный элементарный макрообъём заполненным двумя сплошными средами и описывать макроскопические процессы в гетерогенной смеси с помощью совокупности взаимопроникающих и взаимодействующих континуумов, каждый из которых имеет свои макроскопические параметры, присущие соответствующей фазе.

Другой подход к моделированию поведения насыщенных пористых сред разработан в работах Г.М. Ляхова [14] . Им изучаются волновые процессы в трехфазных системах, состоящих из пористого скелета, насыщенного жидкостью и газом. При этом многокомпонентная среда рассматривается как одна сплошная среда, и анализируется фактически равновесный случай, когда давления, температуры и скорости фаз совпадают, а тензор фиктивных напряжений, обусловленный не зависящим от насыщающей жидкости механизмом передачи усилий через контакты между зернами, равен нулю. Такая смесь в итоге описывается как однофазная сжимаемая среда с усложненным уравнением состояния, зависящим от уравнений состояния исходных компонент и их массовых концентраций. Предложенная модель учитывает влияние временных факторов введением объёмной вязкости. Вязкость такой среды связывается не с вязкостью компонентов, а с не мгновенным сжатием среды при действии нагрузки. Позднее в работе [15] эта модель была обобщена на упруто-шгас-тический случай.

В работах [16-17] разработана односкоростная, однотемпе-ратурная модель двухфазной упруго-пластической среды с фазовыми переходами. Она использовалась для исследования нестационарных ударных волн в армко-железе. На основе связи фазовых переходов с упрочнением определена кинетика фазовых переходов.

Подробные обзоры работ по моделям механики гетерогенных сред содержатся в [12, 13, 14, 18] .

В данной работе изучается поведение порошков при нагружении их продуктами детонации конденсированного ВВ. Порошки представляют собой отдельный класс насыщенных пористых сред, характеризующийся несвязностью зерен между собой и значительной концентрацией газообразной фазы ( 0.3 -«- 0.6 ). Практический интерес при этом имеют порошки, состоящие как из сильно сжимаемых материалов с низким пределом текучести, так и из материалов, обладающих высокими прочностными свойствами ( например Л£г 0} ). Последние особенно важны в связи с проблемой создания новых керамических материалов взрывной обработкой порошков. Физико-механические процессы, происходящие при этом, достаточно сложны. Математические модели, используемые для описания поведения порошка при нагрузках той интенсивности, что рассматриваются в данной работе, должны учитывать в общем случае такие особенности процесса, как упругая деформация пористого скелета, переупаковка зерен, вязко-пластическое затекание пор, неравновесные процессы объмена импульсом и энергией между фазами, фазовые превращения, особенности поведения при разгрузке и т.д. В данной работе будет рассмотрен лишь один класс задач, связанный с моделированием распространения и структуры сильных ударных волн в порошках. Такая постановка позволяет ввести упрощающие допущения и получить модели, удобные для их дальнейшей реализации.

В первых попытках сформулировать уравнения, определяющие поведение порошка при динамических нагрузках, предполагалось, что пористый материал сжимается до пяотности сплошного тела при напряжении, которым можно пренебречь [19]. Полученное после уплотнения сплошное вещество рассматривалось как несжимаемое. Эта модель получила название - "модель затвердевающего тела".

В работе [20 ] исследуются вопросы, связанные с поведением пористых тел при распространении в них ударных волн, амплитуда давления в которых порядка I МПа. Отмечается возможность аномального поведения ударной адиабаты в случае большой пористости тела.

В работе [ 21 ] предложена р- оС - модель пористого тела, в которой в уравнение состояния введен параметр пористости ос , а исходная система уравнений замыкается зависимостью между давлением и пористостью. Данная зависимость выбиралась в [21] эмпирически. При этом действием сдвиговых напряжений пренебре-галось.

Расчет зависимости пористости от давления теоретически с учетом динамики процесса затекания пор произведен в [22] . Наличием газообразной фазы внутри пор пренебрегалось. В [23] рассмотрено влияние внутрипорового давления на процесс изменения пористости. В [24] произведен учет сдвиговых напряжений.

В [25-26] поведение пористого тела исследуется на основе модели сферических ячеек. Анализируется влияние скорости ударной волны, вязкости, предела текучести и пористости на характер распространения волн. Получено условие существования ударных волн. Найдены области значений параметров, при которых цроисходит полное пластическое затекание пор во фронте волны. Исследован характер кумуляции энергии и эффекты плавления при ударном сжатии.

Двумерные расчеты распределения параметров в порошке при динамических нагрузках проводились М.Л. Уилкинсом. В работе [27] приведены результаты численных расчетов обжатия стальной капсулы, наполненной медным порошком, продуктами детонации конденсированного ВВ. В расчетах использовалась модель [22] .

Экспериментальное исследование распространения и структуры ударных волн в пористых средах проведено в работах [28-31] , в которых авторы наблюдали двухволновую конфигурацию фронта ударной волны на пористых образцах со спеченным каркасом. Наличие предвестника впереди фронта объясняется распространением слабых звуковых возмущений. Предвестник в несвязных порошках обнаружен в [32] .

В работе [зз]экспериментально отмечено существование предвестника сложной структуры в порошке 03 . На нем имелись возмущения переменной амплитуды. Наличие такой структуры предвестника объясняется фильтрацией газа, сжимаемого на фронте ударной волны, через поры впереди фронта.

В работах [33-35] предлагается метод изучения двумерного ударного сжатия пористых сред, основанный на комбинации рентгеноимпульсного и электромагнитного методов с последующей численной обработкой полученных экспериментальных данных. При этом не используется уравнение состояния порошка.

Явление наклонного отражения ударных волн в пористых средах исследовано в работах [36-37] . Изучено влияние начальной плотности вещества, интенсивности ударных волн и сжимаемости преграды на режим отражения.

Лдя определения механических характеристик гетерогенной смеси (скорости звука, упругих модулей и т.д.) часто используется слоистая модель [38-39] . Считается, что слоистый материал, состоящий из периодически чередующихся пластин, со средней плотностью равной плотности смеси правильно описывает физику ударного сжатия компонент и моделирует путь, по которому в смеси устанавливаются их конечные параметры. Так в работе [40] показано, что равновесные значения параметров и скорость ударной волны связаны соотношениями Ренкина - Гюгонио. Расчеты при этом проводились по слоистой модели и применительно к условиям эксперимента, описанного в [41] . Существенно, что уравнение состояния содержало как холодную, так и тепловую составляющую. Проведенные в работе исследования опровергают точку зрения [42] , состоящую в том, что равновесное состояние пористого металла, сжатого ударной волной, расположено на адиабате Гюгонио сплошного материала.

В работе [43] слоистая модель црименяется для моделироваг ния распространения ударных волн в элконитах. Анализируется метод смесей. В ней содержится также подробный обзор работ по распространению волн в слоистых средах.

Однако, прямых исследований, сравнивающих поведение смеси и соответствующей ей слоистой модели, проведено недостаточно. При этом необходимо отметить работы [44-45],в которых показана стационарность фронта ударной волны в слоистом материале ЛЕ-Си. и согласие его с адиабатой смеси. Однако в работах [46-47] были получены результаты, противоречащие модели слоистого материала .

В работе [48] экспериментально показана ограниченность применения слоистой модели к существенно гетерогенным средам. При этом проводится сравнение затухания ударной волны в смеси и соответствующем ей слоистом материале, определяется доля энергии, выделяемая в процессе ударного сжатия смеси не по механизму, действующему в слоистом материале. Определяется размер ячейки слоистого материала, способного моделировать поведение смеси.

Исследование поведения слоистых материалов имеет ещё один аспект. К нему следует отнести явление усиления или ослабления амплитуды давления, массовой скорости на фронте ударной волны в зависимости от набора слоистой системы. Е.И. Забабахиным [49] было показано, что душ систем чередующихся плоских слоев из легкого и тяжелого материалов при увеличении толщин слоев можно получить явление неограниченной кумуляции. В дальнейшем это явление изучалось численно и экспериментально в целом ряде работ [50-56] .

В работах [53-54] в линейном приближении получены формулы, позволяющие определять давление и массовую скорость за фронтом головной ударной волны при её движении по слоистому материалу. Здесь впервые было показано, что увеличение или уменьшение давления и массовой скорости однозначно связано с изменением акустических импедансов слоев.

В дальнейшем этот факт был подтвержден и для нелинейного взаимодействия только для сред, состоящих из двух и трех различных слоёв [53-56] . Однако в работе [57] отмечено, что возрастание амплитуды давления головной ударной волны наблюдается не только из-за распада разрыва на границе материалов с разной акустической жесткостью, но и за счет возникновения волн сжатия, которые догоняют головную волну.

При установившемся движении в периодической слоистой системе [49] может распространяться ударная волна с периодически меняющимся давлением на фронте. При этом размер ячейки определяет только масштаб явления, время установления стационарной волновой картины и не влияет на амплитуду давления. В работе [48] экспериментально показано, что амплитуда головной волны на одинаковой глубине не зависит от числа ячеек в периодическом слоистом материале. Применение же подхода, развиваемого в [53], дает сильное затухание амплитуды головной волны при увеличении числа переходов границ разделов различных материалов в слоистой системе. Это связано с неучетом нелинейных эффектов.

В работах [58-59] на основе анализа нелинейного волнового уравнения показано увеличение амплитуды слабой ударной волны по мере распространения в периодическом слоистом материале, подтвержденное экспериментально.

Несмотря на большое количество работ по исследованию ударных волн в слоистых материалах, в настоящее время практически не изучено распространение волн конечной длительности в периодических слоистых материалах на неустановившемся участке движения с учетом нелинейных эффектов, которые могут приводить к качественно новым явлениям, не описывающимся линейными моделями.

Математические модели механики гетерогенных сред представляют собой сложные системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Аналитическое решение таких задач в общем случае затруднительно, поэтому успешно решать практически важные задачи динамики гетерогенных сред можно лишь численными методами с применением современных ЭВМ.

Существенным моментом при решении конкретных задач является выбор системы координат, который определяется постановкой задачи. При эйлеровом описании движения среды расчет производится на фиксированной разностной сетке. Обычно такой способ описания применяют при неподвижных границах рассматриваемой области. Однако при этом необходимо особым образом учитывать движение контактных границ.

Одномерные нестационарные гидродинамические течения в некотором материально фиксированном объёме имеет смысл изучать в лагранжевых переменных. Особенно удобно применение лагранжевой системы координат при наличии большого числа контактных границ, т.к. при её соответствующем выборе они автоматически сохраняются. Однако в механике многоскоростных континуумов единой лагранжевой системы координат не существует. Поэтому здесь удобнее использовать эйлеровы координаты, сохранив сильные стороны лаг-ранжева подхода, т.е. применять метод подвижных сеток [60-61] и комбинированные эйлерово-лагранжевы методы типа метода "частиц в ячейках" [62-63] . Так в работах [64-66] для численного решения одномерных, нестационарных задач динамики многофазных сред применялся метод "частиц в ячейках".

Для расчетов нестационарных волновых процессов в многофазных дисперсных средах в [67-69] развивался метод "крупных частиц", предложенный и разработанный в [70-71] для решения задач динамики сжимаемой жидкости.

В работе [18] рассматриваются вопросы, связанные с численным моделированием одномерных нестационарных течений в рамках модели Клигеля - Никерсона [72] и модели Крайко - Стернина. Описаны расчеты по методу Лаке а - Вендрофа [73] ив лагранжевых координатах, связанных с движением несущей фазы, с помощью схемы сквозного счета с искуственной вязкостью. При этом отмечается, что вопрос о корректном численном решении краевых задач для систем составного типа, когда на границе расчетной области имеется существенно неравновесное состояние среды, остается открытым.

Для расчетов стационарных течений смеси газа с твердыми частицами (объёмная доля частиц мала) в сверхзвуковой части сопел Лаваля, где выполняется условие гиперболичности уравнений, Никерсоном [72] , Крайко и др. [74-75] црименялся метод характеристик. При наличии в расчетных областях дозвуковых зон используется метод установления [7б] .

Численное моделирование многомерных задач динамики многофазных сред значительно сложнее, чем одномерных. В работе [78] выполнен пример такого расчета с помощью модифицированного метода ICE [77] .

Подробный обзор численных методов, применяемых для решения задач динамики гетерогенных сред дан в [18] .

Одним из методов, объединяющим достоинства эйлерова и лаг-ранжева подхода к описанию сплошной среды, является GAP-метод, предложенный [80] для расчетов двумерных течений сжимаемой жидкости с большими деформациями. Однако применение его в первоначальном виде для расчетов одномерных течений нецелесообразно из-за наличия осцилляции за ударными волнами и в окрестности контактных границ. Это особенно относится к расчетам упруго- пластических задач, где необходима высокая точность как в областях пластических волн, так и в областях упругих волн. С другой стороны сами решения задач динамики многофазных сред являются часто осциллирующими. Поэтому, чтобы уловить осцилляции решения разностная схема должна удовлетворять свойству монотонности. В работе уделено значительное внимание улучшению свойств разностной схемы. Эта работа проведена на уравнениях газовой динамики, для которых можно выписать точные решения многих классических задач.

Содержание диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Объём диссертации - 143 машинописных листа, в том числе 53 рисунка на 37 страницах и I таблица .

Заключение

1. В работе в рамках гетерогенного подхода предложена упруго-пластическая модель поведения порошков при импульсном нагружении. Выписаны соотношения на сильном разрыве и проведена их классификация. Разрешены соотношения на ударной волне.

В гидродинамическом приближении решена задача о структуре волны с фазовыми превращениями.

2. Выписаны характеристики и проведен анализ типа полученных систем уравнений. Показано, что исходная модель в случае скоростной неравновесности фаз представляет систему составного типа, а модель без учета газообразной фазы для большого класса задач является гиперболической.

3. Показано, что в случае бесконечного числа частиц разностная схема GAP - метода, используемого в работе, аппроксимирует исходные дифференциальные уравнения с порядком 0(т+ п ). Предложена модификация GAP - метода применительно к решению задач динамики порошкообразных материалов.

4. На основе предложенной модели численно исследовано распространение и структура сильных ударных волн в порошках фторо-пласта-4 и *A£Z03 . Сопоставление численных результатов с данными экспериментов даёт хорошее количественное и качественное . совпадение.

5. Исследовано затухание сильных ударных волн в периодических слоистых материалах. При определённых условиях установлен эффект усиления амплитуды головной волны при измельчении ячейки слоистого материала. Показано, что этот эффект ослабевает при уменьшении амплитуды или пространственного размера импульса нагрузки.

6. Проведен анализ эффективности применения слоистых материалов для ослабления сильных ударных волн по сравнению с монолитными материалами.

1. Рахматулин Х.А. Основы газодинамики взаимоцроникающих движений сжимаемых сред. - ПММ, 1956, т. 20, вып. 2, с. 184-195.

2. Крайко А.Н., Стернин I.E. К теории течений двухскоростной сплошной среды с твердыми шш жидкими частицами. ПММ, 1965, т. 29, вып. 3, с. 418-429.

3. Нишатулин Р.И. Уравнения гидромеханики и волны уплотнения в двухскоростной и двухтемпературной сплошной среде при наличии фазовых превращений. Изв. АН СССР, Ш(Г, 1967, $5, с. 33-47.

4. Нишатулин Р.И. Методы механики сплошной среды для описания многофазных смесей. ПММ, 1970, т. 34, вып. 6, с. I097-III2.

5. Мясников В.П. О динамических уравнениях движения двухком-понентных систем. ПМТФ, 1967, )£2, с. 58-67.

6. Буевич Ю.А. Континуальная механика монодисперсных суспензий. О свойствах суспензий сферических диполей во внешнем поле.-ПММ, 1974, т. 38, вып. 2, с. 30I-3II.

7. Гольдштик М.А., Козлов Б.Н. Элементарная теория концентрированных дисперсных систем. ПМТФ, 1973, JM, с. 67-77.

8. Уеыссы^о К. гиъ У*6сьилге>гАел,сСеъ WaMeb&Mbft , 19ZZ, s.

9. Терцаги К. Теория механики грунтов. М.: Госстойиздат,1961.

10. Френкель Я.И. К теории сейсмических и сейсмоэлектрических явлений во влажной почве. Изв. АН СССР, Сер. геофиз. и географ., 1944, т. 8, М.

11. J$6ot M. Л. о/ fi^fuz^&too/b op e&wtzc, ъгсше* оп> /восйб s'CLtu^ca^eo^ /ъоъои* -зо&аС,1. Ж. еХ rfeocost. Лпъеъ,1. Vг , .

12. Николаевский В.Н., Басниев К.С. и др. Механика насыщенных пористых сред. М.: Недра, 1970.

13. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1978.

14. Ляхов Г.М. Волны в грунтах и пористых многокомпонентных средах. М.: Наука, 1982.

15. Ловецкий Е.Е., Масленников A.M., Фетисов B.C. Расширение газовой полости в газоводонасыщенной уцруто-пластической среде. ПМТФ, 1979, Isf, с. 137-142.

16. Яненко H.H., Солоухин P.И., Папырин A.H., Фомин B.M. Сверхзвуковые двухфазные течения в условиях скоростной неравновесности частиц. Новосибирск.: Наука, 1980.

17. Sa&xLc&yU М.&., s&bfrub ики^&гъсбеъ PtJ

18. С/. . ЛбесЛ. ^дмг. v&Tvzfc. Soc.

19. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. М.: Наука, 1966.

20. У W. Co/zitctutiyi^e egcta&oa. J-оъ /иуьоиъ-У. J/zfiP. fj, p. ZSSO.

21. Дунин C.3., Сурков B.B. Динамика закрытия пор во фронте ударной волны. БММ, 1979, т. 43, №3, с. 5II-5I8.

22. Дунин С.З., Сурков В.В. Эффекты диссипации энергии и влияние плавления на ударное сжатие пористых тел. ПМТФ, ЖЕ, 1982, с. I3I-I42.27. М.А., С£йьг 3-- о/

23. Всс£сЛеъ 8.М.; £asu>ee ЛС.М., /Чобб d-.C. S/locA-urzwe. oo/7i/icz>c,t:6oAb oP /ъсуъосс4 а£и,пъСпло/7ъ. —a ifyfre. f9?4 9 45", и/У, ЗЖ4-3

24. BocLcte C&mfisve64ebn, о/ /иую^ со/г/иеъ S/госЛ КГалы . С/, d/ъ/ъе. (РАуь v 39,

25. Роман O.B., Нестеренко В.Ф., Пикус И.М. Влияние размера частиц порошков на процесс взрывного прессования.-ФГВ, 1979, JS5,

26. Ставер A.M., Кузьмин Г.Е., Нестеренко В.Ф. Экспериментальное исследование ударных волн в пористых средах. В кн.: Труды

27. П совещания по обработке материалов взрывом. Новосибирск, 1982, с. 150-156.

28. Кузьмин Г.Е., Ставер A.M. К определению параметров течения при ударном нагружении порошкообразных материалов.-ФГВ, 1973, J&9, с. 898-904.

29. Кузьмин Г.Е. 0 кинематике сжатия порошкообразных материалов ударными волнами. ФГВ, 1974, т. 10, $5,с. 746-752.

30. Костюков Н.А., Ставер A.M. Косое столкновение ударных волнв пористых металлах. В кн.: Ш Международный симпозиум по обработке металлов взрывом. Мариаске Лазне, 1976, с. 335-349.

31. Костюков Н.А. Влияние начальной плотности вещества на режим косого столкновения ударных волн.- БМТФ, 1977, №3, с. 124130.

32. Маккуин Р., Марш С. и др. Уравнения состояния твердых тел по результатам исследований ударных волн. В кн.: Высокоскоростные ударные явления. М.: Мир, 1973, с. 299-427.

33. Современные композитные материалы. М.: Мир, 1970.40. /2.; Л/ъсОъ&ия Ю. У, Мсъсссо-&бе %>. £.1. SAocA о/ /иуооиб

34. У. JftfU- Жс^^ /9£<?3 39, */<fO, 4ЯГ5--4£-С2 .

35. Д/иэС&моп G. Я). Sfizsz/eyzct fc&ieasc&i y^tztcote, 7 Хбе j Ссъ&^оыгиъ, Э&с.

36. У. Ръос., S^mfi&scusK, сж.gfvUbgt, Oct.

37. Нестеренко В.Ф. К термодинамике ударного сжатия пористых материалов. 4-бА УъЯёыглРбок&в on,odcuzszjz , SZT-f, и. 2, /У.

38. Нестеренко В.Ф. Электрические эффекты цри ударном нагружении контакта металлов. ФГВ, 1975, №3, с. 444-456.

39. Нестеренко В.Ф. Ударное сжатие многокомпонентных материалов.-Динамика сплошной среды, вып. 29, 1977, с. 81-93.

40. Забабахин Е.И. Явления неограниченной кумуляции. В кн.: Механика в СССР за 50 лет, т. 2, М.: Наука, 1970.

41. Козырев А.С., Костылева В.Е., Рязанов В.Т. Кумуляция ударных волн в слоистых средах. ЖЭ и ТФ, 1969, т. 56, вып. 2, с. 427-429.

42. Огарков В.А., Пупырин П.П., Самысов С.В. Простая модель слоеных систем для получения больших скоростей тел. В сб.: Детонация. Черноголовка, 1978.

43. Йэъо&б G.&. efiur. Jkee^eteztio/ъ о/ /и&ийм ггьссе&/г£се , *Угьdufce Sccgsbce, S^cocA^ j^oba/z^

44. Conjebeszxze . S9?9, v. 2, p. 9H.

45. Лаптев В.И., Тришин Ю.А. Увеличение начальной скорости и давления при ударе по неоднородной цреграде. ПМТФ, 1974, 16, с. 128-132.

46. Качан М.С., Киселев Ю.В., Тришин Ю.А. Взаимодействие ударных волн с контактной границей соударяющихся тел. ФГВ, 1975, №5, с. 767-773.

47. Балчан и Коуэн. Метод разгона плоских пластин до большой скорости. Приборы для научных исследований, 1964, №8.

48. Крошко Е.А., Чубарова Э.В. Численное моделирование высокоскоростного удара по многослойным пластинам. В кн.: Численные методы решения задач теории упругости и пластичности. Материалы У1 Всесоюзной конференции. Новосибирск, 1980, ч.1, с. 91-104.

49. Wcw&d asvc6 the ^ho^je^t^i of ^o&ufs.

50. SybcubUAe c^eeoc^ tл/ew УсхгЛ ,59. У.С. Mfesu+crfZoa съ .of Уоби&. Syteu&u^e, ttU^ebjoi^ {^ел*, УоъА , S97/.

51. Алалыкин Г.Б., Годунов С.К. и др. Решение одномерных задач газовой динамики в подвижных сетках. М.: Наука, 1970.

52. Численные методы решения задач газовой динамики. Под ред. Годунова С.К. М.: Наука, 1976.

53. Харлоу Ф. Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики. В кн.: Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир, 1967, с. 316-342.

54. Анучина Н.Н. 0 методах расчета течений сжимаемой жидкости с большими деформациями. ЧММСС, 1970, вып. I, М.64. ^eo-uze JZ.S. JirLCL^ctfOi о/ cuzttzcuty soc/l&la on^z tco~o -/гЛале the иъ ce££ та.

55. Co/7i/iu,t. <zsu£ З&сыЖ , кЗ, p. <ГИ -JZ3.65. оСбас/ие, с^.сС of tofzAfeccctyf sccfzjzbs&otzsLc cpZi хЛсО/ty f£&ur3 ccjcszg t&s. /мл&сбг, - - ce& . СЗЬ. G-. СГ/^бъ .1. Soctb/L , , /97'f,

56. Левайн А.С., Оттерман Б. Анализ течения смеси газа с твердыми частицами в ударной трубе. РТК, 1974, т. 12, $5,с. 5-7.

57. Губайдуллин А.А., Ивандаев А.И., Нигматулин Р.И. Модифицированный метод крупных частиц для расчета нестационарных волновых процессов в многофазных дисперсных средах. ЖВМ и

58. МФ, т. 17, №, 1977, с. 1531-1544.

59. Нигматулин Р.И., Ивандаев А.И., Губайдуллин А.А. Численное моделирование волновых процессов в двухфазных дисперсных средах. В кн.: Труды Ш Всесоюзного семинара по моделям механики сплошной среды. Новосибирск, 1976, с. 140-166.

60. Губайдуллин А.А., Ивандаев А.И., Нигматулин Р.И. Некоторые результаты численного исследования нестацонарных волн в газовзвесях. Изв. АН СССР, МЖГ, 1976, JS5, с. 64-68.

61. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М., Фомин В.М. и др. Численное исследование современных задач газовой динамики. М.: Наука, 1974.

62. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Нестационарный метод крупных частиц для газодинамических расчетов. SBM и МФ, 1971, т. 2, Щ, с. 182-207.

63. Клигель Д., Никерсон Г. Течение смеси газа и твердых частиц в осесимметричном сопле. В кн.: Детонация и двухфазные течения. М.: Мир, 1966, с. 182-201.

64. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М., Мир, 1972.

65. Стернин Л.Е. Основы газодинамики двухфазных течений в соплах. М.: Машиностроение, 1974.

66. Верещака Л.П., Крайко А.Н., Стернин Л.Е. Метод характеристик для расчета сверхзвуковых течений газа с инородными частицами в плоских и осесимметричных соплах. М.: ВЦ АН СССР, 1969, вып. I, с. 15.

67. Крайко А.Н., Нигматулин Р.И. и др. Механика многофазных сред. В кн.: Итоги науки и техники. Сер. Гидромеханика, 1972, т. 6.

68. ЖалХоиг P.M., Л.Л. У. Co/n/i^t.v.f, А

69. З&гъёоиг ^ ft., dsrwaten, М^тге^са^ Савси. -&ztco/b о/ ^ссб •З-ёоигз.1. У. </9?5~, Кр. -/9-5-2.

70. Уилкинс М.Л. Расчет упруго- пластических течении. В кн.: Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир, 1967,с. 212-263.

71. ЛСал^сСеъ J&. М., GAP А РТС

72. Jlafiiem^LtcCA с/ Сс/ръ/^&ь&о/ъ , Z9, </3, р. 434 44£.

73. Дерибас А.А., Нестеренко В.Ф. и др. Исследование процесса затухания ударных волн в металлах при нагружении контактным взрывом. ФГВ, 1979, 12," с. 126-132.

74. Баум Ф.А., Орленко Л.П. Физика взрыва. М.: Наука, 1975.

75. Самарский А.А., Арсенин В.Я. 0 численном решении уравнений газодинамики с различными типами вязкости. ЖВМ и МФ, 1961, т.1, вып. 2, с. 357-360.

76. Дремин А.Н., Шведов К.К. Определение давления Чепмена-Жуте и времени реакции в детонационной волне мощных ВВ. ПМТФ, 1964, 12, с. 154-159.

77. Рини Т. Численное моделирование явлений при высокоскоростном ударе. В кн.: Высокоскоростные ударные явления. М., Мир, 1973, с. 164-219.

78. Павловский MtH. Измерение скорости звука в ударно-сжатых кварците, доломите, ангидрите, хлористом натрии, парафине, плексигласе, полиэтилене, фторопласте-4. ПМТФ, 1976, 15, с. 136-139.

79. Челышев В.П., Шехтер В.И., Шушко Л.А. Уравнения состояния для металлов при высоких давлениях. ФГВ, 1970, №6.

80. Ммеш Т. У. , Gcctt ики.} <£ СВ. Лб^/ЬеъигА S&c&nzptA, on. S/LOC<& Оотрт^е&зсОгь

81. О/ . </. Л/фе. РА?*., у. 39, vSSO,

82. Яненко Н.Н., Ворожцов Е.В., Фомин В.М. Дифференциальные анализаторы ударных волн. ДАН СССР, 227, I, с. 50-53.

83. Рождественский- Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука, 1978,

84. Фомин В.М., Хакимов Э.М. Численное моделирование волн сжатия и разрежения в металлах. ПМТФ, 1979, №5, с. II4-I22.

85. Ставер A.M., Фомин В.М., Ческидов П.А. Структура сильных ударных волн в порошках. В кн.: Численные методы решения задач теории упругости и пластичности. Материалы УШ Всесоюзной конференции. Новосибирск, 1984.

86. Ческидов П.А. GAP метод и перестройка разностной сетки.-В кн.: Численные методы решения задач теории упругости и пластичности. Материалы УП Всесоюзной конференции. Новосибирск, 1982, с. 222-232.1. Иллюстрациипл1. Рис. 3ю