Численное решение граничных интегральных уравнений в областях с угловыми точками тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

РГЗ СЛ

^ -1 ..... ' ~ ~

Московский Государственный Университет им. М.В.Ломоносова Научно-исследовательский Вычислительный Центр

На правах рукописи УДК 517.968.21

АРУШАНЯН Игорь Олегович

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ОБЛАСТЯХ С УГЛОВЫМИ ТОЧКАМИ

Специальность 01.01.07 — вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 1995

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики механико-математического факультета Московского Государственного Университета им. М.В.Ломоносова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

академик РАН Н.С. Бахвалов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.Б. Андреев

кандидат физико-математических наук, доцеят A.A. Амосов

Ведущая организация: Вычислительный центр РАН

Защита состоится г. в 15 часов на засе-

дании диссертационного совета К.053.05.84 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119899 Москва, Воробьевы горы, НИВЦ МГУ, конференц-зал .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Научио-иссле-довательского вычислительного центра МГУ .

Автореферат разослан " " 1995 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук

М.Н. Киоса

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одним из методой числепного решения эллиптических краевых задач в областях сложной формы является метод граничных интегральных уравнений. Граничные интегральные уравнения можно условно разбить на два класса: прямые, в которых неизвестными являются функции, имеющие смысл в содержательной постановке исходной задачи, и непрямые (более известные как интегральные уравнения теории потенциала), представляющие собой уравнения относительно вспомогательных функций, по которым решение исходной задачи находится интегрированием.

При численном решении граничных интегральных уравнений как классическим методом квадратур, так и методом граничных элементов в общем случае приходится решать систему линейных алгебраических уравнений с несимметричной заполненной матрицей. Для экономии вычислительных затрат возникают два пути. Первый состоит в выборе узлов квадратуры или граничных элементов таким образом, чтобы матрица системы имела вид, позволяющий либо быстро решить систему прямыми методами, либо построить эффективно сходящийся к решению итерационный процесс (например, системы с теплидевы-ми или блочно-теплицевыми матрицами). Второй путь, являющийся предметом изучения в данной диссертационной работе, состоит п уменьшении размерности системы за счет повышения точности аппроксимации. Задача усложняется, когда граница рассматриваемой области имеет особенности, в частности, угловые точки.

На таких областях для некоторых типов прямых граничных интегральных уравнений в работах И. Бабушкц достигнута экспоненциальная относительно числа степеней свободы скорость сходимости за счет специального выбора граничных элементов. При численном решении интегральных уравнений теории потенциала второго рода более простым в практической реализации, чем метод граничных элементов, является метод квадратур.

Для таких уравнений имеется ряд работ, в которых предложены методы, имеющие только алгебраическую относительно числа узлов квадратуры скорость сходимости. Известно также, что если граница области и граничные условия являются аналитическими, то метод, основанный на использовании квадратурной формулы средних прямоугольников, имеет экспоненциальную скорость сходимости. Поэтому возникает вопрос о возможности численного решения интегральных уравнений теории потенциала методом квадратур с экспоненциальной точностью в случае, когда граница области имеет угловые точ-

ки. Значительный интерес представляет также изучение возможности эффективного вычисления решения исходной краевой задачи в произвольной внутренней точке области на основе полученного решения интегрального уравнения без потери достигнутой точности.

Таким образом, выполненные в данной диссертационной работе исследования по построению конструктивных методов с экспоненциальной скоростью сходимости для решения граничных интегральных уравнений на областях с угловыми точками, которые возникают при решении ряда важных прикладных задач, являются актуальными.

Цель работы. В работе рассматриваются граничные интегральные уравнения теории потенциала для задачи Дирихле для оператора Лапласа и первой краевой задачи теории упругости в плоской области, являющейся криволинейным многоугольником с кусочно-аналитической границей. Целью работы является численное решение рассматриваемых уравнений методом квадратур и получение приближенных решений с экспоненциальной относительно числа узлов скоростью сходимости' в равномерной метрике, а также вычисление без потери достигнутой точности значений функционалов ва решениях интегральных уравнений.

Научная новизна. Аппроксимация граничных интегральных уравнений системами линейных алгебраических уравнений проводится на основе составных квадратурных формул Гаусса, в которых элементарные отрезки сгущаются к угловым точкам границы области, а 'число узлов элементарных квадратур на этих отрезках меняется при приближении к угловым точкам. Такой подход позволяет получить экспоненциальную (иногда ее называют полуэксцонеяциальвой), а ие алгебраическую, как в работах других авторов, точность аппроксимации относительно числа узлов.

Исследование разрешимости и устойчивости полученных систем линейных алгебраических уравнений сводится к исследованию в пространстве непрерывных периодических функций линейных уравнений, содержащих аппроксимирующие операторы, построенные на базе используемых квадратурных формул. На основе решений линейных аппроксимирующих систем построены приближенные решения интегральных уравнений, сходящиеся к точным решениям с экспоненциальной скоростью в равномерной метрике. Предложен метод, позволяющий вычислять с той же точностью решения исходных краевых задач в произвольных внутренних точках области, а так же их нормальные производные на границе с использованием: только информации о решении построенных систем линейных алгебраических уравнений.

Сказанное определяет научную новизну работы.

Практическая значимость. Результаты, полученные в диссертационной работе, позволяют с высокой точностью и со значительной экономией вычислительных затрат численно решать некоторые эллиптические краевые задачи (задача Дирихле, первая краевая задача теории упругости) в плоских областях достаточно сложной формы.

Предложенный в работе метод и разработанный на его основе комплекс программ могут быть использованы при решении ряда прикладных задач, таких как решение задач плоской деформации призматических тел, расчет кручения стержней или потенциалов электростатических полей.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на заседаниях научно-исследовательского семинара кафедры вычислительной математики механико-математического факультета МГУ, на научно-исследовательском семинаре отдела численного анализа НИВЦ МГУ, на научно-исследовательском семинаре по дифференциальным уравнениям Московского энергетического института, на научно-исследовательском семинаре отдела вычислительных методов Вычислительного центра РАН, на научно-исследовательском семинаре Института вычислительной математики РАН.

Публикация. Результаты диссертации опубликованы в четырех печатных работах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введенная, трех глав н заключения. Общий объем диссертации — 85 страниц, список литературы — 44 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждается актуальность тематики и приводится краткий обзор работ, посвященных численному решению граничных интегральных уравнений для эллиптических краевых задач в плоских областях с угловыми точками. Формулируются цели работы, описываются научная новизна и практическая значимость полученных результатов, рассматриваются основные выдвигаемые на защиту положения, излагается краткое содержание работы по главам.

В первой главе предложен метод численного решения уравнений теории потенциала для внутренней задачи Дирихле для оператора Лапласа в плоской области с конечным числом угловых точек.

В §1.1 рассматривается постановка задачи. Пусть С! — ограниченная область в Л2 с границей Г, являющейся замкнутой кривой без самопересечений и допускающей следующее параметрическое представление :

Г = {х = «(,) = Ыз)М*)), « € [0,4. =(0) = *(Т)}.

Рассматривается интегральное уравнение Т

ф) + I К(ММ«)й = /(«) , » 6 [0,Т1, (1)

о

где / — заданная кусочно-гладкая Т-периодическая непрерывная функция, а ядро интегрального уравнения (1) в случае гладкой кривой Г задается формулами:

1 х\{1) (*2(л) - »,(!)) - (аяЩ - ая(р)

* ' («1 (5) - X! (О)2 + (*,(») - *2(«)):

2 , , , ,-т^тг-> * т4 3>

Уравнение (1) возникает при поиске в виде потенциала двойного слоя с неизвестной плотностью Ф(х) решения следующей краевой задачи:

АЧ(х) = О , х £ й,

1 (2) ^(*)=2/(в) ,х = х(в)6Г.

Сначала рассматривается простейший случай, когда область П является многоугольником. Пусть

¿=о

где Г,- — прямолинейный отрезок, соединяющий точки Лу и / ¿41 (считая Ру = Ро). Величина внутреннего угла области Г2 при вершине Р] обозначается через . С вершинами связан набор чисел {«Л >3 ~ °> • • • > ^ > таких, что

0 = во < «1 < • • ■ < aJ-l < «у = Т. Уравнение (1) записывается в эквивалентной форме: Т

2ф) + у *■(•,«) (?(«) - ?(•)) Л = /(*), 5 б [О, Т]. (3)

Основное преимущество такой записи состоит в повышении гладкости подынтегральной функции при t = а.

В §1.2 строится составная квадратурная формула, аппроксимирующая интеграл в уравнении (3) на решении с экспоненциальной относительно числа узлов точностью.

Вводится конечная система подотрезков отрезка [0,Т], сгущающаяся к угловым точкам. При атом концевые точки элементарных отрезков сгущения в окрестности каждой угловой точки находятся по формуле sj + 0.5(s,-+i — «,) • в* либо по формуле aj — 0.5(aj — fj_i) • в*, где 0 < Qj < 1, к = 0,1,2,... ,N. Подобные разбиения использовались A.A. Гончаром для кусочно-полиномиальных приближений аналитических функций и Б.Д. Бояяовым при построении оптимальных квадратурных формул для некоторых классов аналитических функций. На каждом из элементарных отрезков применяется квадратурная формула Гаусса, число узлов в которой уменьшается при приближении к угловым точкам.

При оценке погрешности квадратуры строятся ограниченные ала-литические продолжения подынтегральной функции с элементарных отрезков в некоторые включающие их области комплексной плоскости и используется оценка Н.С. Бахвалова погрешности численного интегрирования аналитических функций. Согласно методу, предложенному в работах В.Г. Мазьи, поведение асимптотики решений интегральных уравнений вблизи углов определяется из известных результатов В.А. Кондратьева о свойствах решений внутренних и внешних эллиптических краевых задач.

Справедлива следующая

Теорема 1. Существует такое число щ > 0, что при всех целых п> п\ можно построить квадратурную формулу

для которой в случае, если <р является решением уравнения (3), выполнено

im 1

тех i€(0,T)

Т

JК(з, t) (¥>(<) - ¥>(*)) Л - ¥>)<&• ехр(—с\/п) , 0

где постоянные строго положительны и не зависят от выбора п.

Строится система линейных алгебраических уравнений 2Ф<"> + £ А^К^,*|*>)(Ф<*> - ф|">) = /(*[">),

2=1 С"*/

г = 1,... ,п,

аппроксимирующая исходное интегральное уравнение на решении, и исследуются вопросы сходимости и устойчивости метода. Наряду с системой (4) рассматривается уравнение

У» + Кп<Рп -f, (5)

где через Кп обозначен линейный ограниченный оператор на пространстве Т-периодаческих непрерывных функций, такой, что

для произвольной функции V из данного пространства. Решение уравнения (5) сводится к решению системы (4), так как Ф^"' = . С другой стороны, функция

является решением уравнения (5). Доказывается, что при достаточно больших значениях п представление (6) осуществимо для всех 5 € [0,Т].

Вопрос о разрешимости системы (4) сводится тем самым к рассмотренному в §1.3 вопросу о существовании в равномерной ограниченности по п последовательности операторов {(/+ ЛГ„)-1}.

Основной результат первой главы формулируется следующим образом:

Теорема 2. Имеется такое число тг2 > 0, что при всех целых п > п* существуют операторы (I + Кп)~1 и выполнено

Решение у>п уравнения

фп + К„1рп = /

существует я едивствепво и справедлива оценка IIЧ> ~ Vn||c < const2 • exp(-cVn) ,

где ц> является решением уравнения (3). Здесь все постояпиые строго положительны и не зависят от выбора п.

Доказательство этой теоремы осложняется тем, что, в отличие от случая, когда кривая Г является гладкой, нет сходимости по норме последовательности операторов {1+Кп} к оператору (I + К) при п —► оо, а имеет место только поточечная сходимость.

В §1.4 рассмотрен общий случай, когда область П является криволинейным многоугольником, т.е. участки /у кривой Г, соединяющие угловые точки Pj и Pj+x , j = 0,... , J — 1, являются аналитическими дугами, причем угол между касательными к кривым и /} в вершине Pj, обращенный внутрь области О, отличен от 0 и 2тг для всех j, хотя и может быть равен яг.

Вводятся следующие ограничения, состоящие в том, что при t G [aj, «j+i], j = О,... , J — 1, имеет место представление

»1 (t) = Xlj(i), X2{t) = x2j (i) ,

причем на отрезке [«j, выполнено

(x'i,(i))2 + 0'2j(0)2 > const > 0 ,

в существуют числа 6j > 0, такие, что функции %ij(t), * = 1,2 , при каждом j допускают ограниченные аналитические продолжения с отрезка [sj,sj+i] вещественной оси в круг на комплексной плоскости с центром в точке (0.5(л,- -f fj'+i), 0) и радиусом г;- = 0.5(зу+1 — Sj) + .

Доказано, что при сделанных ограничениях теоремы 1 и 2 могут эыть обобщены на рассматриваемый случай.

Во второй главе полученные результаты переносятся на гра-гачные интегральные уравнения первой краевой задачи плоской теории упругости.

В §2.1 рассматривается постановка задачи. Пусть Q— область в El2, описанная в §1.1 первой главы. Рассматривается краевая задача:

рДw -(-(Л + /i)Vdivu = 0 , r€fi,

и = Р,хеГ, ^

Лде u = (ui(x), ii2(i))T — неизвестная вектор-функция; А, ц — посто-шные Ламе; F — заданная кусочно-гладкая вектор-функция.

)

Решение задачи (7) ищется в виде плоского потенциала двойного слоя второго рода;:

* = J(T(dy,n)r(y-x))$(y)dly, г

где Г (у — ») — фундаментальное решение задачи (7), являющееся матрицей с элементами

Через T(dv,n) обозначен оператор цсевдонапряжения:

ЫМ-+ + ■

Здесь I, j = 1,2 и ¿- — символ Кронекера. Тогда компоненты неизвестной функции Ф являются решением системы интегральных уравнений:

Ф(х) + J(Т(ду,п)Г(у - х)Щу) dly = 2F<>). (8)

г

Вопрос об асимптотическом поведении решения этой системы вблизи угловых точек границы исследуется в §2.2 на основе метода, предложенного в работах В.Г. Мазьи; при этом используется известный подход к определению асимптотики решений вспомогательных краевых задач вблизи особенностей границы.

В предположении, что вблизи вершины Рj область П совпадает с сектором

{х = («1, Xi) | xj + «х2 = re*9 , 0 < г < const, —0.5otj < 0 < 0.5о^} , справедливо следующее представление при х = (г, 9) е Г, т —* 0:

Ф(х)= <¿1(0)1** £ + ,

где е > 0, uii(9), ы2(0) — гладкие функции, а /?у — корень уравнения

) sin/% + |т-ау|>У = (/3sin(T + It - а,|))2

с наименьшей положительной вещественной частью.

В §2.3 описано построение составной квадратурной формулы, аппроксимирующей на решении интегралы, стоящие в левой части системы (8). При обозначениях

#.) = *(*(•)), f(s) = 2p{x(s)) система (8) может быть записана в эквивалентном виде: Т

2£(s) + j М(а, t)(<?(t) - ф(а)) dt = /О) , 5 6 [О, Г], (9)

где M (s, l) — матрица с элементами

I «i(0 Ы*) - »i(f)) - 4(0 (*i(*) - *i (0). - ®i(0)* + (*2(e) - *а(0)2

(xk(a) - xk(t))(xt(a) - x,(t)) \ '(x,(s) - n(i))2 + (x2(s) - x2(<))V _t_ x[(t)x''(t)-x'2(t)x'{(t):i

W(i))2 + (xi(i))2

Mkt(s,t) = <

x +

x ( aSl -f b

x'k(t)x',(t)

(x[(t)f + (x>2(t)y

Здес!

* ,t = 2(Л + "> = 1,2.

t

t - s.

тг(Л + 3/i) ' 7г(Л + 3ц) Справедлива следующая

Теорема 3. Существует такое число пз > 0, что при всех целых л > л3 может быть построена квадратурная формула

v) = £ А^М(в,4n)) (*(t<n)) - <?(*)) , ;'=1

л которой в случае, когда компоненты векгор-фупкции ф являются решением системы (9), выполнено

шах se|o,TJ

.t

J M {а, t) - £(*)) Л - Sn(5,0)

< b • exp(—c\/n) ,

где все постоянные строго положительны и не зависят от выбора п.

Построенная квадратурная формула позволяет перейти к системе линейных алгебраических уравнений:

71 2

Е.И д. V* М. 1>Н ЛпЬг<ьН _ <&(").- А^Ь

]=1 т=1

¿=1 . т=1

Здесь I — 1,... ,п.

Наряду с системой (10) рассматривается система линейных интегральных уравнений

(11)

где Мп — линейный ограниченный оператор, действующий в пространстве Г—периодических непрерывных вектор-функций, такой, что

(м„ в) («) = *(«) + $.(.,

для произвольной вектор-функции г из данного пространства. Нахождение решений системы (10) сводится к решению системы (11), и наоборот.

В §2.4 исследуется вопрос о существовании и равномерной ограниченности последовательности операторов {(Г + Мп)-1}. В отличие от рассмотренного в первой главе метода здесь возникают дополнительные ограничения на входные данные задачи. Поэтому в дальнейшем для каждого ] = 0,...,/ всюду полагается, что если су $ [тг/2,37г/2], то выполнены неравенства:

А + З/*

тй (—— +1+соэ (*■ -1* - < * -1* - «Л •

Теорема 4. При введенных выше ограничениях существует такое число щ > 0, что при всех целых п > г»4 выполнено

!!(/+*<•„)-% <сашЛ1 .

Решение системы (11) существует и единственно и, если <р является решением исходной системы (9), то имеет место оценка

0 — || < соп^г • ехр(—с-/п) ,

где все постоянные строго положительны и не зависят от выбора п.

Из теоремы следует, что линейная система (10) имеет единственное решение , т = 1,2,г = 1 ,...,п. Вектор-функция ^"'(я) г=

(^["^(в), <^2П^(8))Т> определенная в каждой точке з € [0,7] как решение линейной системы из двух уравнений

(2¿АРМ^У ))*{%) =

;=1 т=1

=ш - £ (£ м2,т(в> ,

3=1 т-1

удовлетворяет (11) и является приближенным решением исходной си-:темы интегральных уравнений (9). Доказывется, что выписанная снуема при достаточно больших значениях п однозначно разрешима гри каждом 5 6 [0; Г].

Все полученные во второй главе результаты обобщаются на слу-гай, когда область 12 является криволинейным многоугольником.

В третьей главе рассматриваются практические аспекты при-сенения полученного метода к решению соответствующих краевых адач.

В §3.1 рассматривается численное решение задачи Дирихле для ператора Л аяласа методом граничных интегральных уравнений. Ре-[еяие задачи Дирихле (2) представимо в виде:

Щх) = £ / £Г(1п ~ у])ф(у) л» •

г 11

При получении приближенного решения СГ„(х) задачи (2) инте-рал, стоящий в правой части этого представления, заменяется ква-ратурной суммой, узлы и коэффициенты которой определются ква-ратурой, построенной в теореме 1, а функция Ф(у) при каждом у — [а) заменяется значением близкой к ней в равномерной метрике не-эерывной функцией у„(в), заданной формулой (6).

Теорема 5. Пусть число п отвечает условиям теоремы 2. Тогда существует такое число > что для любой точки а; € П выполнено:

¡[/(х) - 17п(х)| < с(х) ■ (<3(х))_С11А) ,

где

О < с(а;) < -у-г , 1 + с2г(а:)<<Э(®)<д.

Здесь г(х) — расстояние от точки х до кривой Г, а с\ и сг строго положительны и не зависят от выбора п .

Далее предложен метод, позволяющий находить после решения системы (4) приближенное решение задачи (2) в любой внутренней точке области за 0(п\/п) арифметических действий с погрешностью 0(ехр(—с-у/п)) •

Аналогичные результаты имеют место для рассмотренной во второй главе краевой задачи плоской теории упругости.

В §3.2 предложен метод, позволяющий приближенно вычислять значения нормальных производных решений задач (2) и (7) на границе области с экспоненциально убывающей относительно числа узлов погрешностью.

Описанию и обсуждению численных расчетов посвящен §3.3. Выполненные численные расчеты подтверждают правильность полученных в работе теоретических результатов.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Основные результаты диссертации состоят в следующем.

1. На основе метода квадратур предложена аппроксимация интегральных уравнений второго рода теории потенциала системами линейных алгебраических уравнений с экспоненциальной отпосительнс числа узлов точностью для задачи Дирихле для оператора Лапла са и первой краевой задачи теории упругости в плоских областях < угловыми точками.

2. Доказаны существование и едпнствеиость аппроксимирую щих систем линейных уравнений, получены оценки устойчивости, ш основе решений лилейных систем построены приближенные решена интегральных уравнений в пространстве непрерывных функций; в С корме доказала экспоненциальная скорость сходимости метода.

3. На основе полученных приближенных решений предложен! способы вычисления без потери достигнутой точности еяедуюди: функционалов на решениях интегральных уравнений:

— решений исходпых краевых задач во внутренних точках области вплоть до ее границы;

— нормальных производных решений исходных краевых задач па границе области.

4. Проведен ряд числеппых расчетов, подтверждающих правильность полученных теоретических результатов.

ПУБЛИКАЦИИ

Результаты диссертации опубликованы в следующих работах.

1. Аругаанян И.О. О численном решении интегральных уравнений теории потенциала для внутренней задачи Дирихле в областях с угловыми точками // Пакеты прикладных программ. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1992. С. 70-92.

2. Арушанян И.О. К оценке погрешности численного решения интегральных уравнений теории потенциала на кривых с угловыми точками // Вопросы конструирования библиотек программ. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1993. С. 26-38.

3. Арушанян И.О. О сходимости метода квадратур для граничных интегральных уравнений в областях с угловыми точками // Пакеты прикладных программ. М.: Изд-во Моск. уп-та, 1994. С. 39-48.

4. Арушанян И.О. О числепном решении граничных интегральных уравнений плоской теории упругости в областях с угловыми точками // Конструирование библиотек и пакетов программ. М.: Изд-во Моск. уц-та, 1995. С. 35-55.