Решение задач теории упругости с угловыми особенностями методом граничных интегральных уравнений тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОНИКИ И МАТЕМАТИКИ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи КЛЕПИКОВ ВЛАДИМИР ПАВЛОВИЧ

УЖ 539.3.001:517.9 043.3

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ С УГЛОВЫМИ ОСОБЕННОСТЯМИ МЕТОДОМ ГРАНИЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого

твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой' степени доктора технических наук

Москва - 199*/

Работа выполнена в Московском ордена Ленина и ордена Трудового красного Знамени институте инженеров железнодорожного транспорта.

Официальные оппонента - доктор физико-математических наук,

профессор В.М.АЛЕКСАНДРОВ

- доктор технических наук, профес сор А.Б.30Л0Т0В

- доктор физико-математических наук, профессор П.И.ПЕРЛИН

Ведущее предприятие - ЦНИИСК им.Кучеренко

Защита диссертации состоитЬя /у лУУз 19д>^

со ♦

в 1 Н на заседании специализированного совета

063.68.01 при Московском институте электроники и математики по адресу:109028.Москва, Б.Вузовский переулок, д. 3/12, ауд. .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института. Автореферат разослан " /4 " рт/уло у ^99j, года. Отзыв на автореферат, заверенный печатью, просим направлять по адресу совета института.

Ученый секретарь специализированного совета

В.М. Яганов

ОБЩАЯ -ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теми. В строительстве, кораблестроении к в ьшшностроенки большое значение имеат расчеты на прочность конструкция сложной формы с нерегулярной границей. Определение поля напряжений в окрестности угловых точек является важным этапом прочностного расчета, когда угол входящий и имеет место концентрация напряжений. С развитием вычислительной техники в практику расчетов Еошел метод граничных интегральных уравнений.. Этот метод может быть элективно применен для решения задач теории упругости для тел с угловыми особенностями. Использование метода граничных интегральных уравнений, понижающего размерность задача на единицу и позволяющего явно учесть особенность напряжений в угловых течках, делает тему диссертации актуальной.

Цель диссертационной габоть*. Разработать элективные алго-' ритмы и программы решения различных задач теории упругости для тел с угловыми особенностями.

Научная новизна. В диссертации разработаны эффективные численные алгоритм решения.задач теории упругости с использованием ранее не применяющихся для этих целей интегральных уравнений.При разработке численных алгоритмов исаолъзозаны интегральные уравнения плотность которых имеет те же особенности, что и напряжения. Эго позволило явно учесть при получении численных результатов асм.птогику плотности разрешающих уравнений в окрестности углов. Впервые показано, что тензор напряжений лля интегрального уравнения, полученного с использовании« потенциала ВеЯдя в трехмерной задаче теории упругости, че удовлетворяет Ч'слонн.чм совместности дггор"-:ацнй. Получены

кубатурные формулы для вычисления сингулярных интегралов, возникающих при решении трехмерных задач теории упругости прямы« методом интегральных уравнений. Разработанные алгоритмы реализованы в программном комплексе "СЖГ".

Достоверностьролученных результатов проверена на большом количестве тестовых примеров расчета стержней на кручение и изгиб поперечной силой, а также задач с заданными смеиенишя и задач с заданншли усилиями в двухмерной и трехмерной постановках. Численно исследована сходимость предлагаемых.алгоритмов.

Практическое значение и внедрение. С использованием разработанного программного комплекса."СИНГ" решен ряд иракгичес-юк задач для Добровольного общества "Наука" на кручение и изгиб поперечной силой стерганей различного профиля, содержащих угловые точки. Для ЦНИИПСК им. Мельникова разработаны рекомендации по расчету на прочность пересекающихся пластинчатых элементов узлов, работающих в упругой области. Для Производственного Объединения "Уралвагонзавод" разработан пакет прикладных програш САПР по оценке напряженного состояния в Блементах конструкций вагонов с концентраторами напряжений.

Доклады и публикации. Основные положения диссертационной работы докладовались на П-ой Всесоюзной конференции по теории упругости /Тбилиси, 1984 /. на Всесоюзном симпозиуме "Метод дискретных особенностей в задачах математической физики" /Харьков,1985/, на П-ом симпозиуме по механике разрушения /Житомир,1985/, тематическая конференция "Проблемы численного моделирования и автоматизации проектирования инженерных конструкций" /Ленинград.1986/,на Республиканской научно-технической конференции "Эффективные численные методы решения

краевых задач механики твердого деформируемого тела" /Харьков,1989/, на X научном семинаре "Методы потенциала и конечных элементов в автоматизированных исследованиях инженерных конструкций" /Ленинград.1989/,на ХП Международном конгрессе "Применение математики в инженерных расчетах" /йе?.;.'.ар, 1990/. на межвузовском семинаре "Численные методы строительной механики" пол.руководством проф. Л.А.Розина.Р.А.Хечумова.Н.Н. Шапошникова. /Москва,1993/, на семинаре кафедры "Строительной механики" МШТа /Москва,1993/,на семинаре по механике сплошной среды им. Л.А.Галина под руководством проф. В.М.Александрова институт Проблем механики /Москва, 1993/. .Материалы диссертации опубликованы в двадцати трех печатных работах автора.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, восьми глав, заключения, списка литературы я прилояения, Содержит 185 страниц машинописного текста, 4 таблицы и 6о рисунков. • Перечень литературы включает 184 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТУ

Во введении обоснованы актуальность и важность вопросов, составляацих предмет изучения, а таете кратко изложено основное содержание, работы.

В пегво? главе дано состояние вопроса решения задач теории упругости для областей'с нерегулярной границей. Бэльеой Еклад в исследование и рехение задач упругости с угловыми особенностями внесли М.Л.А'.льямс, '.'."¿'.Зорсвич, К.Х. Арутокян.О.К. Аксентян.С.М. Белояосов.Б.А. Кондратьев, Я.С.У^лянд, А.4.Ули-тко и др.

В последнее время значительное развитие подучили вариационно-разное т:ъэ хетодн. Одн?.у, из ? ^екгявных приемов этого мето-

да, применительно х решению краевых задач, является включение в число базисных функцай асимптотики решения этих задач в окрестности нерегулярной границы. Этот прием нашел отражение в работах Л.А.Оганесяна. I.A.Руховца. Дж.Стренга, Дж.Фикса, В.Б.Беркуна. Е.И.Даиевского, А.М.Проценко и др.

Понятие потенциала было введено в конце ХУШ века Лагранжем и использовалось в работах Лапласа, Гаусса,Грина, Томсона, Дирихле, Гельмгольца, Робена, Пуанкаре, Ляпунова. Стеклова и др. •

Большое значение для решения краевых задач имела, разработанная Фредгольмом /1900 г./ теория интегральных уравнений. В те же годы начала XX века предпринимались попытки построения интегральных уравнений Фредгольма с использованием того или иного интегрального представления для смещений в работах Дж. Лауричелла, А.Корна, Г.Вейля. Значительный вклад в решение задач упругости методами теории потенциала внесли Н.И.ОДусхе-лишвили, Ф.Трикоми, Г.Жиро, С.Г.Михлин, В.М.Александров, В.Д. Купрадзе, Т.Г.Гегелиа, М.О.Башелейшвили, П.И.Перлин, Т.В.Бур-чуладзе, А.Б. Золотов . .

Практическая необходимость использования метода граничных интегральных уравнений для решения задач теории упругости привела к созданию вычислительных алгоритмов, которые получили большое развитие, благодаря исследованиям A.A. Александрова, Т.А.Круза, А.П.Угодчикова, Ю.Д.Копейкина.П.И.Перлина.Ю^В.Ве-ркжского, М.А. Алексидзе, Н.Ф.Андрианова, М.И.Лазарева,Н.М.Ху-торянского,- Ю.Л. Бормота и др. Большинство работ по методам численной реализации посвящены решению граничных интегральных уравнений для областей с гладкой границей.

В работах А.Корна, С.Зарембы, Т.Кзрлемаяа, И. Радона был о

положено начало исследованиям по теории потенциала дчя областей с нерегулярной границей. В дальнейшем эти вопросы исследовались в работах Л.Г.Магнарадзе, С.Г.Михлина, К.И. %схелишвили, Я.Б.Лопатинского, И.И. Данилюка, В.Ю.Шелепова. Б.В. Базалия и др.

Традиционно интегральные уравнения теории потенциала в теории упругости изучаются при помощи методов исследования фредгольмовых и сингулярных интегральных операторов с особенностями типа Коти. В случае негладкой границы, в связи с появлением дополнительных особенностей у ядер, реализация такого подхода встречает трудности, не преодоленные полностью и к настоящему времени.

Теория разрешимости граничных интегральных уравнений теории упругости в областях с кусочно-гладкой границей получила развитие в работах Б.В.Базалия, В.Ю.Шелепова.С.Е. Михайлова, • С.С. Заргаряна, В.Г. г/азьи и др.

Во второй главе решаются задачи кручения /задача 1/ и изгиба поперечной силой /задача 2/■стержней, сечения которых может иметь угловые точки. Задачи сводятся к определению функций и X , удовлетворяющих уравнения:/. Лапласа во

внутренних точках области

2£1 +■ 21 . II . дг1 _п

дх! дх1 ~и > дх} 1x1 ~и> /1/

где (р и "X - 4ункшш кручения и изгиба соответственно, и услових) Неймана на контуре Г*

За 7

= -Г X = Г Г? - Т К? /задача 1.2/ /2/

•Зго > ->со Ч 1г

- е -

дп\г ^ш'^сг)

+ (2 +у]х,х2/г.

/задача 2 /

/3/

V - коэффициент Пуассона, проекции внешней

нормали к контуру на оси и ох, .

В плоскости комплексного переменного ¿Г - Х^* I, 5 - дуговая, а = £ (£) - комплексная координата контура Г . к =сИ/о1$ решение задач /1/-/3/ будем искать в виде потенциала простого слоя с неизвестной плотностью • ^ I = ^»З - номер задачи ^

X = 21 ¿а

/5/

которые тождественно удовлетворяют уравнениям /1/. а после подстановки их в соотношения /2/./3/ приходим к интегральным уравнениям относительно ^(1) ( 6) [ = 1 )

/и^у-^КСбЛЩоС^сСЗ^

■ ' /е/

Наличие ненулевого решения однородного уравнения /6/ приво-

дат к многозначности зго решения, поэтому добавим ядро возмущающего оператора К < = 1 / I— к ядру уравнения /6/

Нш (Ь) - л! [ К й 5.)+К,

/7/

Решение уравнения /7/ единственно,совпадает с одним из решений /6/ и может быть получено методом последовательных приближений путем разложения в ряц Неймана

со

= /а) + ^ ]а) ,

^ о . *,

/8/

> }

В точках гладкости контура Г"* плотность ) не-

прерывна, а в левой и.иравой окркстностях угловой точки 5* контура Г имеет вид

/9/

8 =/!-'!/( 1+Ш-Я1/Х),

/10/

где . ^([) ~ значение соответственно, в ле-

вой и правой окрестностях точки , ^ ~ - гладкие

функции, равные нулю в точке , СО - внутренний угол

в точке , /К - некоторая неизвестная постоянная,

связанная с коэффициентом интенсивности напряжений во входящих углах.

Учет симметрии при численном решении-интегрального уравнения позволяет сократить объем исходной информации, время Г формирования разрешающей системы.алгебраических уравнений, а также объем, требуемой оперативной памяти, и тем самым более эффективно использовать ЭВМ. В работе рассмотрены зеркальная, циклическая симметрия и их комбинация для задачи кручения стержня. Остановимся на последнем случае, когда сечение стержня оО обладает циклической симметрией, то есть комплексные координаты симметричных точек связаны соотношением

= 27О ( ) о£= ^ >

где - количество циклически симметричных частей, -

длина контура, а порождающая подобласть оО* ( и порождающий отрезок J в свою очередь обладает еще и зеркальной . симметрией, когда комплексные координаты симметричных точек и ¿Г ■ связаны соотношением

г-1-е21',

где р - угол оси зеркальной симметрии с осью ООС^ Тогда от интегрального уравнения /7/ на всем контуре Г"* перейдем к интегральному уравнению на Г"i/2 - половине порохда,ощего отрезка циклической симметрии

_

При численном решении полученных интегральных уравнений используется представление дшг плотности исследуемых интегральных уравнений /9/ в виде

= Ха/«)^,«)/ /П/

где /И(и( $)- неизвестная ограниченная фикция, а \л/(3)~ - известная сингулярная весовая функция, на каждом криволинейном отрезке между двумя особыми точками и . равная ■

пг,

где . §^2. - степени сингулярности ДЛ (Д) соответс-

о* Р* 1

твенно, в начале ив конце О г отрезка, ьсли один

из этих концов точка гладкости Р . то в нем §* =0.

в остальных точках определяется выражением /10/. С

использованием /11/ разрешающие уравнения преобразуется к

виду

- Г

^ я * ~ -¿¿У -

В третье!» главе дается метод решения двумерной задачи теории упругости с заданными усилиями на границе. Задача плоской деформации сводится к определению двухкомпонентной функции перемещений '\Х I . удовлетворяющей в области системе уравнений Ламе

Со. Ас о, и«--/,э/

_ ШЛ = 12

С" ^

где - символ Кронеккера. д и /и - постоянные

Ламе. ~

Для задачи плоского напряженного состояния Л в /13/ и далее необходимо заменить-на X =«2А/^/?'А+2^мЗ.Здесь и далее индексы меняются от 1 до 2 и по повторяющимся индексам в этих пределах подразумевается суммирование. Используемые некоторые переменные без индексов, означают совокупность индексных величин X * ( Х-(, ССг) • Кроме того, функция \Л> I должна удовлетворять следующему граничному условию

где - внешняя нормаль к контуру Ъ ¿0 ;

заданная функция контура.

Интегральное представление для градиента ¿^ имеет

вид

. ... зг> /,5/

Здесь ОС и у точки области сР и ее границы Эй), соответственно, = &ZZ = 0; 1 =

= ( А 3/и)/( Л + /7) . Rucz)-***-

даментальное решение системы /13/

Г ztwI&ÍZ), /-p-z 5Г . /i«/

+ SLHj 2

Подстановка /16/ в /14/ сводит решение краевой задачи к решению интегрального уравнения вида ^ д _ ^ ^

Это уравнение имеет два характеристических числа /X =i1. Многозначность решения интегрального уравнения /17/, обусловленную характеристическим числом ^Х = 1. можно преодолеть добавив к ядру интегрального уравнения /17/ ядро возмущающего оператора

где

¿^ ~ Г сС 8> -. длина контура ;

СС^— $ - центр тяжести контура ;

- момент инерции контура.

83)

Тогда интегральное уравнение /17/ запишется так

3«.) - х]" [К=& (Ь). /IV

э®

Решение интегрального уравнения /18/однозначно и оовпадает с одним из решений /17/, Так как ^Х = -1 все еще является характеристическим, то решение /18/ может быть получено разложением в видоизмененный ряд Неймана

0^3.) о) У

* р*о

эя>

=I [ Ки&лХсшо^т з.

э®

Пусть начало локальной системы координат помещено в угловую точку 3 .а ось абсотсс направлена по биссектрисе внутреннего угла, тогда соответственно в левой и правой окрестности угловой точки на контуре плотность интегрального уравнения /18/ имеет вид

р.

в,

- А,

соз^и)

Ж

4-

А

1

±т

4-Уч

г

2 1-Ъ

и)

й-5Ту,+

и)

- т (-'-¡^ и)

л Ы <2 Л,

«-1

си

■А,

Л

-Ш(^-(гл-и))

|б-5*Г\

± СО& ( (< а5})

о ¿10

Здесь Д , А _■ ".- коэ-^щиеитв интеггального уравнения ' Ч ' 1 ;/

* Хг -корн«

следующих уравнений

Ш (- (£-4) Ш0, /20/

при .

.КХ (а)< 2Ж .

и

при ■

О с л.

В полосе О С ^ 4 1 отсутствуют корни уравнения /20/, если (л) ^ 257.5° , а уравнение /22/ не имеет решений; если, (л) > 102.5° и член с А $ в асимптотике пропадает.

В данной главе рассматривается решение задач как в однос-вязных, так и в многосвязных областях. Кроме того рассматриваются задачи при действии внутренних усилий, сосредоточенных в точках и на линии внутри области. Проверяются условия совместности деформаций для используемых интегральных уравнений.

. В четвертой главе представлен метод решения плоской задачи теории упругости с заданными на границе смещениями.

Ставится задача определения двухкомпонентной функции перемещений и, , удовлетворявшей в области системе

уравнений Ламе /13/ непрерывно дифференцируемой в 5) . непрерывной в и ограниченной на бесконечности в

случае бесконечной области

. Кроме того функция должна удовлетворять следующему граничному условию

dUi

dS

+

(6) ~ ^ 2 /23/

дГ1 d5

&;(£>) - заданная ferнкция смещений на границе

ЭЯ)

области , ^^ - некоторые произвольным об-

разом зафиксированные точки на замкнутых контурах ¿Г, .

ЭЯ) .

здесь

составляющих

Решение рассматриваемой задачи имеет вид

H-, ш№]СлЛ(ЩШ$

3® '

где

C/z ) : - ^i-iR2 6 г

— 2 Zi Za ) /24/

'Г-

■ра+р)-^

Дифференцируя Щх) в /24/ и действуя оператором Сц%£ получим выражение для компонент тензора напряжений во внутренних точках области. Устремив X к границе ЭЗ) получим, приведенные в диссертации, выражения для напряжений точек, принадлежащих границе.

Х(К)

. I - произ-

вольные фиксированные точки внутри контуров . К ■»

1 + ГП , решение ищется в виде т

И после подстановки в первое условие /23/ приходим к интегральному уравнению ^ д _ ^

Ш%) -а/Ки(5ЛЮД)с15 = э®

т

ЬаИауТКОш.)-Xм] к,ш.

Неизвестные постоянные /ч • , К =» 0 + гП , фигурирующие в добавочных членах для бесконечных и неодно-свяэных областей ( УУХ >0) определяются из условий разрешимости интегрального уравнения и второго условия /23/.

А для конечных односвязных областей возникают лишь посто-

Л<0)

■ . которые сразу определяются из условий /23/.

Для снятия интегрального уравнения /25/ со спектра применяется возмущающий интегральный оператор вида

95)

где - длина контура.

Рассматривается также задача с заданными смешениями при действии внутренних усилий, сосредоточенных в точках и на линиях внутри области. '

Асимптотика для плотности данного интегрального уравнения в окрестности углов имеет вид •

"(-¡Г,

0, +

II

0,

И-З'Г+Л;'

'Щфы).

•I3-3*1+0.(6), Ж<и)<2Ж;

о,' +■ — Л .

- лг

^-(Ях-и)) -т 1^±(2ж-и)))

■и-зчЛ

О < и < X.

}f-í и в данном случае определяются в результате

решения следующих трансцедентных уравнени

Зс < U) < 2 Ж

. *4tn.(( #П ¿J = 0,

0< iü < JT

г тШггШя-Ш- (ь-4)йп(гя-и))=(). ' ■

В пятой главе рассмотрен метод решения задачи окаймленной пластины.

.Рассматривается изотропная, конечная или бесконечная пластина. окаймленная по части границы и вдоль некоторых внутренних линий упругими криволинейными*стержнями, обладающими переменными продольной и изгибной жесткостями, переменными кривизной и толщиной, имеющими произвольную форму.

Для пластины, находящейся в плоском напряженном состоянии, ■ справедливы уравнения Ламе

(X¥+fí)UKlKL4-fíUi)f<i(=0, /26/

Если пластина нулевой толщины односвязна и не имеет точек заострения

( D ¿ 0. 2tt)

и окаймлена упругим краевым стержнем, то граничные условия имеют вид

$.(?>) = и1(бле), Л-(и) = -ц (и);

6>

где ^ - распределенные погонные усилия, порождаемые внешними воздействиями Т^ , Ц. , - соответ-

ственно усилия, порождаемые передачей воздействия со стрингера на пластину. 3 - произвольная зафиксированная точка на 35) Будем рассматривать граничные условия, получ&ташеся из предыдущих дифференцированием по

7 ^ /27/

Оператор Г} ¿у в данном случае имеет вид

1П а V %

где

ва»];

+ ъсыг^сфп^- ^шЕ^ы'атЦ.

Здесь функции 9 • ^ • л/ & • ^ий • опре-

деляются явно через кривизну <£■(&) и продольную и иэгиб-ную жесткости стержня. $ ; , - векторы касательной и нормали.

Решение задачи ищется в виде потенциала двойного слоя второго рода

л -

Ж Гм) Г -,и*=±Р. Р

Вводя обозначения 0^)= , Т^Ц). (\])П4 (6)

будем иметь

к , а - ^ {^^+(*гч> &кпщшь

' ВиОг-йиЪшт.

т< (и (а)) ■■ = (ит (ха ))п,а1 =

0<£)

= +/ % (Ш (М},

з ь

\т - -в ■

Таким образом, для решения задач /26/, /27/ необходимо задать геометрические и жесткостнке характеристики в точках заданной геометрии, а также з.чеаишв. нагрузку.

Для рассматриваемого интегрального уравнения /28/ число Л = 1 - является характеристическим, поэтому для снятия его со спектра имеет смысл добавить к его ядру возмущающий интегральный оператор вида

-и ' сдЯ

тогда приходим к безусловно и однозначно разрезимому интегральному уравнению

а а.)-х( ><1+^)0 4-

Плотность рассматриваемого интегрального уравнения в окрестности угловой точки имеет вид

где. . . ; . ' ■■

: §(2,Цг,) = О, /(-зе,и), хг) = о, „р, яг.ш< гх

ЧъгмгНН"^ ^ 0<и1<л-

Здесь О 4 • 1 ~ значения плотности в

левой' и -правой окрестностях угловой точки &м , собствен-

ные векторы С^(Ь)) . выписываются

явно

Ж С (х) < 2 Л, о < со < л,.'

и ^ в данном случае являются корнями уравнений

К 4 и) * 2Х,

Сг(и)У-

'т$гЧш-14

о ¿.из < 2Я, ялтШс 4(2 я-и)) + ( Уг 1) Ш (22-и))* О,

• В шестой главе рассматривается метод решения трехмерной задачи теории упругости.

Исследуется возможность использования интегрального уравнения Вейля для решения трехмерных задач. Одним из преимуществ использования такого подхода является.тот факт, что оператор напряжений в этом случае имеет вид

Ц) I къу- яг. ЯхЯпАъ

дХ1 д^дпА^) ■ /29/

Тот факт, что /29/ допускает в точке ОС = О особенность вида приводит к тому, что соответствующее интег-

ральное уравнение имеет ограниченное ядро в точках гладкости граничной поверхности. А это в свою очередь позволяет применять обычные кубатурные формулы при вычислении соответствующих интегралов и т.д.

Однако, как показано в данной главе работы, тензор /29/ не удовлетворяет условиям совместности Сен-Венана.

Для решения трехмерной задачи используется интегральное уравнение, полученное-прямым методом с использование тождества'Бетти, которое для задачи с заданными усилиями имеет вид

/30/

« "

где

О,

где сС - дополняет

£ до бесконечной области.

] и - компоненты усилия и '

смещения на границе области. Это уравнение является в данном

случае при ОС 6 уравнением второго рсда.

•»

Если на левую и правую .части /30/ подействовать оператором усилий /¿j , то получим интегральное уравнение

вида

$ £

где

+&I

+ п:(х)П1(х)2рт +

+П(х.)П(<1)[$и 2fn.fi рСя-зтЯ+^прУ

Уравнение /31/ при ОС£ является интегральным уравнением второго рода при неизвестных усилиях. Напряжения в расчетной области получаются после дифференцирования /30/ и воздействия на результат дифференцирования оператором

При выполнении вычислительных процедур все интегралы в /30/,/31/ можно разбить на несобственные и сингулярные. Первых значительно больше, чем сингулярных и вычисление их составляет основную часть работы при реализации алгоритма, однако, ошибка вносимая в формулы /30/,/31/ при грубом вычислении сингулярных интегралов практически сравнима с суммарной погрешностью от всех несобственных интегралов при одних и тех же предположениях относительно плотности интегралов и формы элементов интегр1рования . При отмеченном влиянии

точности вычисления сингулярных интегралов на погрешность метода в целом и относительно небольшой доле сингулярных интегралов в общем объеме вычислений рационально использовать для их вычисления достаточно точные кубатурные формулы независимо от их сложности. В данной главе работы получены . новые кубатурные формулы для вычисления сингулярных интегралов в /30/./31/ и они применены для получения численных результатов с использованием программного комплекса "СИНГ".

В седьмой главе представлены алгоритмы численной реализации рассмотренных в диссертации задач.

При численном решении полученных во второй главе интегральных уравнений используется представление для плотности исследуемых интегральных уравнений в виде

/И1П(4) ■ /32/

где ДУ, (5) - неизвестная ограниченная функция, Лл/(6)-известная сингулярная весовая функция, на каждом криволинейном отрезке между двумя особыми точками В* и , равная

где

- степени сингулярности соответст-

венно в начале 5* и в кбнце -5 а, отрезка. С использованием /32/ разрешающие уравнения преобразуются к виду

Методом коллокаций сведем это интегральное уравнение к системе линейных алгебраических уравнений. Для этого интегральное уравнение используем в ряде точек коллокаций на контуре сечения . Имееющиеся в интегральном уравнении интегралы будем вычислять приближенно с помощью формул типа трапеций, учитывающих наличие сингулярного веса и использующих-значения искомой функции в точках коллокации. После того, как интег-

ральное уравнение сведено к системе линейных алгебраических уравнений, ее решение получается с использованием метода последовательных приближений. После определения плотности ин- • тегрального уравнения в точках коллокаций, напряжения и перемещения определяются простым интегрированием по контуру.

•Изложенный алгоритм реализован в программном комплексе "СИ11Г". сходимость его исследована численно. В качестве тестовой была рассмотрена задача кручения стержня с квадратным . сечением, решение которой известно. Контрольным било напряжение в серединах сторон рассматриваемого сечения. Проводились расчеты для различного количества точек коллокаций в диапазоне от 5 до 50 на стороне сечения, причем число точек на каждой из сторон квадрата бнло одинаково. Начиная с числа точек коллокации 10 на стороне, величина расчетного касательного напряжения и теоретического его значения не превосходила 1/£, а при числе точек на стороне 12 и более, результат практически совпадает с теоретическим.

При построении .численного алгоритма решения задач с заданными усилиями, смещениями на границе и задачи окаймленных пластин использовалась следующая дискретная схема. Кроме точек коллокации, в которых используется интегральное уравнение и определяются неизвестные значения плотности граничного интегрального уравнения, введем, в рассмотрение дополнительные узловые точки, расположенные между точками коллокаций и используем для численного интегрирования. Для этого сначала узловые точки распределяются-равномерно или по нулям полиномов Чебышева на отрезке гладкости контура так. чтобы концы отрезка гладкости /угловые точки/ также входили в число узловых. Общее число узловых точек равно Р . Затем часть узловых точек назначим точками коллокации. Общее число точек коллокации есть М . Номер ПЬ - й точки коллокации как узловой точки обозначается РСШ.) . Пример такой дпс«ретиза-ции приведен на рис.1. Граница исследуемой области включает

шесть отрезков гладкости. Кружками помеченыузловне точки,. крестиками - точки коллокации. Положительное направление обхода соответствует порядку возрастания номеров отрезков гладкости. Граничный контур разбивается.точками коллокаций на квазирегулярные (С) , переходные ( & ) я сингулярные ((X) граничные элементы. Каждый сингулярный элемент [6-, включает левую и правую окрестности угловой точ-

ки & * вплоть до ближайшей к ней точки коллокации

. Переходные элементы состоят иэ отрезков между этими ближайшими к угловой % Т и следующими точками коллокаций . Остальные отрезки между соседними

точками коллокаций являются квазирегулярными граничными элементами и составленные ими зоны также будем называть квазирегулярными. Будем считать преобладающим первый член в асимптотике плотности интегрального уравнения. Тогда искомую плотность интегрального уравнения представим в виде

(¿■¿б)* ос*,)*

... « где (¡[ОЬ) - новая ограниченная функция;

- старшие степени; сингулярности (^¡(Ь) соответственно в начале За и в конце отрезка гладкости. Если один из этих концов - точка гладкости дЗЗ ..то'В нем . = 0. Аппроксимируем плотность рассматриваемых ИУ на

дЯ) - по ее значениям в точках коллокации Врет) « № = Н М , в виде

где Ц-. ^ - функции формы.

Тогда, если &(&) - некоторая функция, то

С м 2 (тк)

Для приближенного вычисления интегралов используются весовые

лСК)

квадратурные формулы с выбранными узловыми точками о ^ , Тогда

М а р

\Г" V" п(т-к)

г - I СЬ^г^Му

т=< к^н г г/

м Р

При дискретизации интегрального уравнения с учетом этих соотношений имеем

м

~ ($рспг)) сЬ'и

р

где суммирование ведется по всем точкам коллокадаи от 1 до М

где.

V ï №

и tio boom узловым точкам от 1 до^ Р . Предполагая, что _в квазирегулярных зонах функция О i линейно меняется между точками коллокации, получим для точек коллокации ,

принадлежащих этим зонам, функции

a- s„„. ,,)/fi,,~r v~-«), s^ es,

по к - суммирования нет. Тогда для Spfm-J , принадлежащих квазирегулярным зонам

где £> р - иоэ4фшиенты квадратурных ({юрмул/33/для главных членов асимптотики, т.е. с весом W (б) (по fy — суммирования кет ) . Учитывая для сингулярных элементов не только первый, но и второй член асимптотики плотности граничного интегрального уравнения, аппроксимируем плотность следующим образом

Qc(s%t) = t Aj&)Qb)}J>~*f - M-5*1,

/

Так как имеется по две компоненты плотности в левой и правой окрестности угловой точки "5 , то используя /Зо/ в бли-жаКгих к & и лекаккх с разных стирок о? нее точках.коллэ-

/35/

нации , получим симтему четырех алгебраических

I (О) , {-<)

уравнений относительно постоянных А ¿ , /} с . Решив систему, выразим АкО>) через значения компонент плотности граничного интегрального уравнения в точках коллокации, близких к угловой

(по К суммирования нет.)

На переходных элементах ("5- и + 3 • гДе

3 — - точки коллокации, близкие к 3 + и лежащие на

том же отрезке гладкости, аппроксимируем выражением

К =

Таким образом, для точек коллокации Вр(т) = ^ , близких к угловой точке, можно записать

где верхний знак берется, если В- «а нижний -

если = ; - другой (отличный от £>*) ко-

нец отрезка гладкости, которому принадлежит точка 8 :р ;

- степень сингулярности на этом конце*, Ъ ^ - коэффициенты квадратурных формул с весом у

на отрезке гладкости, которому принадлежит точка & ( при К =1 имеем старший вес, при 2 - младший вес ^ . Когда

и д- 4 оО ^ 257.5° выражение для плотности имеет в окрестности угловой точки следующий вид

= ; , Дг - подлежащие определению

коэффициенты интенсивности плотности; | Q¿(S) ¡4, &> . Здесь в формуле /35/ можно положить ¿Г^ = 0, а вектор С 21 вычислить с помощью формул _

С; (и)=фи»-Г/Ф;

при __ го •

ТГ^СоХ 2 ТГ, СО £ 25?,3

с;М=С ол- г, , ^й^едм)^

при 0

о <и! ¿7Г, М -/■' <02,5

П* := П.р($> гО)- предельное значение вектора, нормали;не-

посредственно перед и за угловой точкой 8> *

'При численном решении трехмерно? задачи поверхность исследуемого тела разбивалась на плоские многоугольники. $ пределах этих многоугольников искомые функции предполагались постоянными, после чего задача сводилась к системе алгебраических уравнений, неизвестными которой являются значения искомой функции в фиксированных "полюсах" многоугольников,

В заключительном параграфе настоящей главы подробно изучается сходимость всех разработанных алгоритмов, реализованных в программном комплексе "СИНГ". Сходимость изучается численно путем сгущения сетки граничных элементов и увеличения количества узловых точек. Результаты показывают хорошую сходимость разработанных алгоритмов.

В восьмой главе представлены результаты, полученные автором с использованием разработанного им программного комплекса "СИНГ". Указанный комплекс обладает рядом преимуществ, Для задания исходной информации достаточно указать координаты точек граница и внешние воздействия. Если отрезок границы прямой, то. необходимо указать лишь концевые точки. Если геометрия достаточно сложная, то необходимо указать ее настолько точно, насколько это требуется в расчете. И даже если это будет достаточно большое число точек, то на величину разрешающей системы алгебраических уравнений это не окажет никакого влияния, т.к. размерность указанной системы алгебраических уравнений определяет количество точек коллокации, которые наносятся на заданную таким образом кривую, проходящую через точки геометрии.

Для устранения возможных погрешностей, связанных с ошибками при задании исходных данных по геометрии области в програАь-ме предусматривается тестирование. При анализе результатов

используется графический вывод на дисплей или АЦПУ картин-изолиний напряжений в заданных сечениях ?ела. Время счета двумерных задач, реализованных на ЭВМ ЕС колебалось от нескольких секунд для тестовых задач и до 30-40 минут для практических задач на ЕС-1060. Для трехмерных задач, реализованных на персональных ЭВМ время счета колебалось от нескольких минут, при решении тестовых задач до 4-5 часов при решении задачи расчета конечной части хвостовика автосцепки на машинах Г ВМ.

Было решено большое количество тестовых, модельных и практически важных задач для различных организаций. В качестве примеров приведем некоторые из них.

Для сравнения с результатом полученным С.С.Заргаряном в его докторской диссертации бил расчитан стержень на кручение, имеющий сечение кругового сектора с углом раствора 270°. При общем числе точек коллокации 54 был получен результат, изображенный на рио. 2. Обведенные результаты соответствуют данным С.С. Заргаряна, проценты, подчеркнутые волнистой линией, обозначают отличие результатов С.С. Заргаряна и автора в соответствующих точках. Анзлиз полученных результатов показывает, что расхождение порядка \% говорит о хорошем совпадении результатов расчетов.

По заказу ПО "Уралвагонзавод"им. Дзержинского с использованием разработанного программного комплекса "СИНГ".бил проведен расчет трех типов размеров сечения гайки крепления колесной пары полуоси нагона. Нагрузкой является осевое сжатие силой 40 т. Расчет проводился по расчетной схеме плоской деформации, с уравновешиванием радиального усилия по внешней кромке. Распределение нагрузки на шесть зубов резьбы в соответст-

вии с заданием заказчика производилось следующим образом. На первом зубе 34л или 16,61 кг/мм2 и 9,59 кг/мм2 по оси адате и оси ординат соответственно, И далеё со второго по шестой зубы резьбы: 23% или 11,24 кг/мм2 и 6,48 кг/мм2 ; 16% или 7,82 кг/мм2 и 4,52 кг/мм2 ; 12Й или 5,86 кг/км2 и 3,39 кг/мм2; ВТ, или 4,15 кг/мм2 и 2,40 кг/мм2; &% или 2,93 кг/мм2 и 1,69 кг/мм2. Усилия распределены равномерно по каждому зубу контактной части резьбы и уравновешиваются моментом и равномерно распределенной нагрузкой на упорной части гайки и равномерно распределенными усилиями на внешней части. Было расчита-но несколько типов размеров гаек. На рис.З и рис.4 представлены картины изолиний интенсивности полученных касательных напряжений в расчетных сечениях . •

5= в,г

Анализ полученных результатов позволяет сделать вывод, что наиболее нагруженной является упорная часть гайки.

В рамках совместной работы с ПО "Уралвагонзавод" решена задача о распределении напряжений в конечной части хвостовика автосцепки вагона. Расчетная схема приведена на рис. 5. Общее число граничных элементов 876. Формирование разрешающей системы алгебраических уравнений и ее реаение производилось с учетом симметрии расчетной области. Когда нагрузка распределена равномерно в упорной части хвостовика и является единичкой нормалью по всей цилиндрической части, а уравновешивающая нагрузка распределена равномерно по сечению среза расчетной схемы, то получаем распределение касательных напряжений в срединном срезе хвостовика в виде рис.6 .Располагая расчетные еечения произвольны*: образом получим полную картину напряженного состояния в теле для данного вида нагрузки.

Рис. 2

г- 40 -

- 41

Рис, 5 I

Расчетная схема конечной части хвостовика автосцепки вагона

Рас, б Нзолжнзи интенсивности касательных напряженна в сечены

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. В диссертации разработаны эффективные численные алгоритмы решения задач теории упругости с использованием ранее не применяющихся для этих целей интегральных уравнений.

2. Использование при разработке численных алгоритмов интегральных уравнений, плотность которых имеет те же особенности, что и напряжения, позволило явно учесть при получении численных результатов асимптотику плотности разрешающих уравнений в окрестности углов.

3. Дня анализа свойств используемых при разработке численных алгоритмов решения интегральных уравнений, полученных с использованием непрямого метода ГИУ, необходимо исследовать тензор напряжений на удовлетворение условий совместности деформаций.

4. Установлено, что тензор напряжений для ИУ, полученного с использованием потенциала Вейля в трехмерной задаче теории упругости не удовлетворяет условиям совместности деформаций. Этот результат делает некорректным использование известного регулярного интегрального уравнения Вейля для разработки алгоритмов решения трехмерных задач теории упругости.

5. Получены кубатурные формулы для вычисления сингулярных интегралов, возникающих при решении трехмерных задач теории упругости прямым методом ГИУ.

6. При численном решении интегральных уравнений для устранения собственных функций однородных уравнений необхо-

димо добавить возмущающие операторы определенного вида, используемые в работе.

7. В случае симметрии исследуемого тела был проверен ее учет в интегральных уравнениях, что позволило существенно сократить необходимые ресурсы ЭВМ и объем вводимых исходных данных.

8. Разработан программный комплекс "СИНГ", позволяющий ре; тать двумерные и трехмерные задачи теории упругости с

угловыми особенностями. Анализ полученных результатов и сравнение с данными других авторов показал, что предлагаемая методика и программный комплекс "СИНГ" может . бить тароко использован в практических расчетах.

Основные положения и результаты.диссертации опубликованы

в работах:

1. Клепиков В.П..Михайлов С.Ь. Применение метода граничных интегральных уравнений в задачах кручения стержней с угловыми особенностями // П Всесоюзная конференция по теории упругости: Тезисы докладов. Тбилиси. 19Й4. С. 131-132.

2. Клепиков В.П..Михайлов С.Е. Решение интегральных уравнений изгиба и кручения упругих стержней с угловыми особенностями // П Всесоюзный симпозиум "Метод дискретных особенностей в задачах математической физики".Тезисы докладов. Харьков. 1985. С.53-54.

3. Клепиков В.П. Применение метода граничных интегральных уравнений в решении задач теории упругости для тел с угловыми точками //Деп. в ВИНИТИ. 08.07.85. Я 4965-85. 21 с.

4. Клепиков 3.П..Михайлов С.Ь. Решение граничных интегральных уравнений кручения стержней с углов«.« особенностями

с учетом симметрии // Деп. в ВИНИТИ. 10.06.85. JM0009-85. 25 с. .

5. Клепиков В.П. Определение коэффициента интенсивности напряжений для тел с кусочно-гладкой границей методом граничных интегральных уравнений // П Всесоюзный симпозиум по механике разрушения". Тезисы докладов. Житомир.1985. С;53.

6. Клепиков В.П..Михайлов С.Е. Решение интегральных уравнений кручения упругих стержней с угловыми точками и учет симметрии сечения //Машиноведение.АН СССР. Jf 4. 1986. С. 56-63.

7«. Клепиков В.П., Гагаев М.П. Определение напряженного состояния рельса при кручении методом граничных интегральных уравнений // Областная научно-техническая конференция "Роль молодых ученых и специалистов в ускорении научно-технического прогресса на транспорте". Тезисы докладов. Свердловск. 1987. С. 56-57.

8. Клепиков В.П. Расчет конструкций с угловыми особенностями методом граничных элементов // Областная научно-техническая конференция "Роль молодых ученых и специалистов в ускорении научно-технического прогресса на транспорте". Тезисы докладов. Свердловск. 1987. С. 64-65.

9. Клепиков З.П..Михайлов С.Расчет узлов конструкций с угловыми точками // Деп. в ВИНИТИ. 21.08.87. 16 с.

Ю.Клепиков В.П. Численная реализация метода граничных интегральных уравнений в первой задаче теории упругости для областей с угловыми точками // Деп. в ВЛШТ/1. 06.06.88. К 4455-В88. 9с...

11.Клепиков В.П., Михайлов С.К. Вычисление коэффициентов '

интенсивности напряжений в углах с помощью граничных интегральных уравнений //Деп. в ВИНИТИ. 06.06.88. Jf 4456-В88. 17 с.

12. Клепиков В.П. Об интегральных уравнениях теории упругости с регулярными ядрами // Деп. в ВИНИТИ. 09.11.88. 7939-В88. 6 с,

13. Клепиков В.П., Михайлов С.Е. Расчет элементов конструкций с угловыми точками методом граничных интегральных уравнений // Машиноведение АН СССР. № 5. 1989. С.38-46.

14. Клепиков В.П..Михайлов С.Е. Применение метода граничных интегральных уравнений в расчете сварных узлов конструкций // Строительная механика и расчет сооружений. № 4, 1989. С. 4-7.

15. Клепиков В.П., Трубаев H.A. Применение регулярных интегральных уравнений в решении задач теории упругости // Строительная механика и расчет сооружений. № 5. 1989.

С. 54-56.

16. Клепиков В.П..Михайлов С.Е. Решение граничных интегральных уравнений плоских задач теории упругости для тел с упругими окаймлениями и углами // Республиканская научно-техническая конференция "Эффективные численные методы решения краевых задач механики твердого деформируемого тела". Харьков. 1989. Тезисы докладов, С.142.

17. Клепиков В.П. Применение регулярных интегральных уравнений в решении задач теории упругости с нерегулярной границей // Межреспубликанская научно-техническая конференция "Численные методы решения задач строительной механи-ки^еории упругости., и пластичности". Тезисы докладов. Волгоград. 1990. С.42.

18. Клепиков В.il..Михайлов C.K. (^расчете сварных швов с угловыми точками // Сб. Металические конструкции и испытания сооружений. Л. 1988. С.54-59.

19. Клепиков d.U. Кубатурные формулы для сингулярных интегралов при решении трехмерных задач теории упругости методом граничных интегральных уравнений // Деп. в ВИНИТИ. 15.01.93. * 5849-ЗД93. 21 с.

20. Клепиков В.П.,Трубаев H.A. Решение трехмерных упругих задач методом.граничных интегральных уравнений // Деп. в ВИНИТИ. 15.01.93. Jf 5849-ЖД93. 21 с.

21. Клепиков В.П. Решение трехмерных задач теории упругости методом граничных интегральных уравнений // Межвузовский

сборник научных трудовиНаучные решения актуальных задач

транспорта", вып. 871. 1992. С.33-46.

КЛШИКОВ Владимир Павлович

РИ11ЕНИЕ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ С УГЛОВЫМИ ОСОБЕННОСТЯМИ МЕТОДОМ ГРАНИЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого

твердого тела

Сдано в набор 25, О/. 94. Объем 3,0. п. А

Подписано к печати 2,5.0/. 9е/, Заказ Я6О,

Формат бумаги //в Тираж 100 экз.

Типография МИИТ, Москва, К-55, ул.Образцова,15.