Численное решение нелокальных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений с сингулярными коэффициентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК АЗЕРБАЙДЖАНА ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ

На правах рукописи УДК 519.

АШИРОВ БАЙРАМ САПАРОВИЧ

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛОКАЛЬНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С СИНГУЛЯРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

01. 01. 07-вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степенн кандидата физико-математических наук

Б аку — 19 91

Работа выполнена в лаборатории прикладной математики физико-технического института АН Туркменистана.

Научные руководители:

—член-корр. АН Азербайджана, доктор физико-математических наук, профессор Я. Д. Мамедов,

—кандидат физико-математических наук, доцент А. А. Досиев. Официальные оппоненты:

—доктор физико-математических наук, профессор М. М. Кар-чевский.

—доктор физико-математических наук, профессор Б. И. Му-саев.

Ведущая организация: Институт математики АН Республики Беларусь.

Защита состоится » 1992 г. в 14 час.

на заседании Специализированного совета К 004. 21. 02 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Институте кибернетики АН Азербайджанской Республики по адресу: 370141, г. Баку, ул. Ф. Агаева, квартал 553, дом 9.

Отзывы на реферат просим высылать в двух экземплярах с заверенными подписями.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института кибернетики АН Азербайджанской Республики.

Автореферат разослан «р^-З» 1891 г.

Ученый секретарь специализированного совета, ///)

кандидат физико-математичеста^Ий^и^ / старший научный сотрудник //¿л^К / А. М. БАГИРОВ

д .. J ОБЩАЯ ЫРАХТЗРХСТШ FAE02H

Актуальность теки. В последнее время, начиная с осяовопола-гаюде iT работы Бицадзе A.A. и Самарского A.A., больное внимание уделяется дифференциальным задачам, где на ряду с классическими краевшш условиями налаются и нелокальные. Эти задачи пжроко применяются з практически ватных задачах: теплопроводности, физики полупроводников, гпдромзханкгп, теории упругости, теории оболочек п др.

Несмотря на то, что теория разностных схеи для численного решения задач с локальными условия:® сочти установлена, численным нахождениям решения задач с нелокальными условиями посвящены лишь отдельные статьи. Появление нелокальных условий прегде всего затрудаяег обоснован.":? классических, разностных с;:с:л 2 сгаои о уолозгенквм с-'руктз'рч кагр::ц полученных систем, уравнений. Эта трудность проявляет себя особенно для негладки ревешй. ; '

Для численного нахождения решения нелокальных задач в основном применяли конечно-разностные методы (метод сеток), причем отот метод обоснован з случае обыкновенных дифференциальных уравнений в работах Волкова З.А., Левина В.А. и Моисеева Е.И., Baf' Г.(Д., Сапаговаса И.П. и Чегиса P.D., Курбанова И.А. и

Во всех существующих работах, з которых обосновывается предложенный численный метод, предпологается ограниченность производных от точного решения определенного порядка, например, для получения оценка O(f-f') для погрешности приближенного решения либо предпологались ограниченность произ-

- -

водных до 4-го порядка б области определения точного решения, либо рассматривались только те задачи, решение которых имеют такие гладкости. Ко существуют -такие классы задач, в которых производные от решеч.л, -даже начиная с первого порядка, неограниченно растут при подходе г. определенной точке границ. К ярким примерам таких задач относятся краевые задачи для обыкновенных дифференциальных 7равнений с сингулярными коэффициентами, которые яьяшотся _ катематическкм моделей при изучений ряда прикладных задач, например, при проектировании элек-трохонтактов нз аидкаго металла ресенке подобного дифференциального уравнения опнсызазт свободную поверхность каила •.гидаосхи, находящейся на плоскости. Кроне того, в некоторых задачах для уравнена;! в частных производных с сакгуляркиьд: ксеффщЕентага после црхшзнзнаа звтов& разделенаа дереггегшх праходигоя решать задачи для обыкновенных дзф$ерзЕцгшьЕ2г уравнений о синхудярныьш коэффициента».

В связи с зтыгл представляет интерес пострознлз п обоснование численных глгоратг/.ов дла ресекхл нелокальных краевнх задач в случае обыкновенных дврюеренднальных уравнзкаЁ второго порядка с сиягулярййма sosj^amsaraya. учитывающие особенность точного рапэния.

Д^лъ работа. Работа посвящена построению к обоснс^зажп) разностного ызюда для рекенгя нелокальных, задач в случае обакковечкыг: дя.5$ерзнциадьякх уравнений с сгягугяршкг коэф-флцзантамл. ;

Методн исследования. Цру выводе и обосновании подученных в padoTo- результатов ясиодьзувтсг тесрхя разностных схем,

теория дифференциальных уравнений и свойства решений 'дифференциальных уравнений с сингулярными коэффициентам!. •

Научная новизна. Б диссертации получены следующие основные результаты:

- найдены необходимые и достаточные условия для однозначной разрешимости рассматриваемых задач;

- построена неравномерная сетка и разностные сссе.н на ней для аппроксимация нелокальной задачи, в которой значение искомого решения или потока в правом конце отрезка связано

со значениями решения или потока в конечном числе точек внутри отрезка линейкам образом и для погрешности приближенного решения получена оценка D(AZ) . Доказана однозначная разрешимость полученной нелинейной разностной задачи;

- построена разностная схема для задач с интегральным нелокальным условием, когда значение решения или потока в правом конце отрезка связано со значением внутри Отрезка через интеграл .некоторой функции, зависящей от решения или потока. Доказана однозначная разрешимость полученной нелинейной разностной задачи. Для погрешности приближенного решения получена оценка 0(Аг) ;

- получена оценка OCkz) для приближенного решения, являющегося решением разностной скеш, построенной на разномерной сетке для задач с нелокальными условиями, когда значение решения в правом конце отрезка связано со значением решения внутри отрезка, а такхе оценка СхЬ?^) °£+р<1) когда значение потока в правом конце связано со значением потока внутри отрезка.

Теоретическая и практическая ценность- Теоретическая

ценность работы заключается в построении и обосновании раз-яосгкшс схем для численаого решения нелокальных краевых задач в случае обыкновенных даареренццальннх уравнении второго порядна с сивгуляр;.: '-аз коаджциеытшш. Полученнш результаты •могут найти применение при построении и обосновании разностных схем и для нелокальных краевых задач в случае уравнений эдллпгичэского вша с оангулиршли коэ$$шшднхаш. Дракга-ческая ценность работы заключается в возшшосяи применения •полученных результатов к численному рслешго нрикладцых за- . дач.

Апробахгая работы. Основные результаты диссертац&и докладывалась га Всесоюзной коцуеренцги решдаашше уравнения к оптимальное управление" (г.Ашхабад, 13£0 г.), на научно-исследовательских семинарах каседры вычислительной иаге-А,атяет БГУ ям.Ы.А.Расуязаде, кафедры вычислительном математики К£У и:.Ульянова-Ленина, отдела прикладной глагекагякн МИ АНТ, сэшшаре профессора Абрашна З.Н» (Шшгнгух математика АН Республики Беларусь) а на сешшарз по кагенатике ярг Факультете прикладной математики ТГ/ иг.иЫазстуцкули.

Публикации. Основные результат ддоеергацаи опубликованы в работах [1-6].

Диссертационная работа состоит из введения, двух хлав, заключения к списка литера-

туры- Объем работы составляет 14Э страниц машинописного текста, включая 4 таблиц л библиографию из 53 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Б диссертационной работе рассматривается уравнение

-(0С^и.')'-1-£(0С,и,)=О о-<с*г< 1 г О^Х<.1 (I) ■

со следующими краевыми условиями

и(о)=1/и , (2)

а в точке х=/ для кахдой задачи один из следующих нелокальных условий

'иц) = с1иса)1-с£ о , (5)

£

• и(р = исае]ч-сС (4)

£ = » £

а

П(1)~ Сз/7(а)+сС < (6)

г

' (7)

г = 7 '

Ё

счПО)=1ч>(х3п)с1х, + с1 о^а-гВт, (8) '\а' • - * где , сс , <± , <4 = со/г. г/: -яоток(С=!(ф).

Сразу отмети«;, что те гладкости.решений, которые были

использованы при оценке погрешности приближенного решения

разностным методом во всех вше перечисленных.работах, не

Зудут выполниться вблизи Х=о для рассмотренных нами задач

з связи с сингулярностью коэффициентов уравнения в точке

сс=о .

Разностная схема построена следуют*« образом. Для це-юго Л/ выбирается к = 1/м и рассматривается разбиение

отрезка Со>0 с помощью точек СР<КЛ><*-) , К = 00)л/ , где функцрч ср выбирается следующим образом: при неравномерном разбиении фСК^к^гСкК)7^ , а при равномерном разбиении ЯРС^^к,^) =:- К к, ,о

Идея получения разностной задачи основывается на интег-ро-интерполяционяок методе.

Первая глава посвящена численному решению задач первого рода, т„е, с нелокальными условиями (3),(4),(5)-

В §1.1 находятся необходимые и достаточные условия для однозначной разрешимости рассматриваемых задач, которые сформулированы•в следующих теоремах.

Теорема 1.1.1. Для того, чтобы задача (1)-(3)была однозначно разрешима для любого значения ^ , необходимо и достаточно, чтобы <

где ицх) -решение следующей задачи

-(ОС* иг'У *-С}(Х)РГ=0 , (9)

1^(1)=: 1} (Ю)

т8 У- &[ц(х,0) -и(ос, о^е* 1.

Teopeaia I.I.2. Для того, чтобы задача (1),(2),(4) была однозначно разрешима для любого значения Jit , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

e=i

где xir(x) -решение задачи (9),(10)

£=1

Теорема 1.1.3. Достаточным условие:,-! для разрешимости

задачи (I),(2),(5) являете* выполнение следующих условий

■■

/ ^р(х) , с с,

где Ы(х)-решение задачи {9),(10).

В §1.2 рассгдтргапстся ;гетод иераваокгрвпх сеток для задачи (1)-(3) в которой / с, / -г / ..Вводим следуюдпе обозначения ик * и(Хк), Я**,"О, кЬ = /С*, исЬ) и *.Л.

Уравнение (I) аппроксимируем следующей разностной схемой

' Л-- КОГ/-1, . а:?«-"?)

■'•-¡к пи А- I -•// 1 у

Заметил, что ^¿г

Краевые условия (2),(3) аппрзхсиг.прусм слвдук^ш кспо-йллз условиями для рсгенпл ;/ разностного уравнения {II)

4% Ш КР^п]- <¿ = 0, (Щ

Л =(а-)< 1 , < а < .

Во второй способа ашцхгесскацяп нелокального краевого •-•слопу« (3) отрссо:: С'о} 'О разбивав гая специальная обрэзом X;; О'Ь,) , А - аГС:/М 3 1 М < л/- / ,

1, >0 ♦ Если зс*<1 то, раос'птрпзал правил

- 10 -

конец отрезка, как дополнительную узловую точку ^^ ~ / , краевые условия (2),(Б) аппроксимируем следующими краевыми условиями для решения ^ разностного уравнения (II)

>.;-, (13)'

Значение- .'■ определим следующим образом

У„ = О^г , , (14)

^ = ох*-х^^/о- х*., ;< 1 ■

Подставляя значение из. (13) в (14), получим

у о & у,- - -л -л л ' (15)

Третий способ, аппроксимации нелокального краевого условия (3) заключается в следующем. ■

. Так как уравнение (I) удовлетворяется в точке сс=а то, аппроксимируя уравнение в этой точке с помощью соседних уз-, лавах точек и • получим

где + ; '. _

3 Д^а ^а. Аггь^а /^а. >

тн ■£- т+2г«3 [ У ]и ^км а ],

¿-О

ты / , ч

тч-! I ^ / 1 к° ; >

т = .

Заметил, что >0} А^О , , А^а>0

£Чг >0 >' 4=0>г- ■

- II -

Далее, на основании теоремы о неявной функции, следует существование функции „ .

и краевые условия (2),(3)-аппроксимируем следующими краевыми условиями для решения у разностного уравнения (II)

> . • (15)

Имеет место следующие теоремы. ^

Теорема 1.2Л. Пусть непрерывная функция -^(^¿и) ((■хсо> ) имеет непрерывную производную и"4С(ол13, СЦо>11хЯЬ ,

^и'^ сго/а , ^А^'Ге С{[оЛ-]

Тогда при ^ для достаточно малого к и .для любо-

го разностное решение задачи (П),(12) сходится к

точному решении задачи (1)-(3) и справедлива оценка

}и~ои . , •

Теорема 1.2.2. Пусть выполнены все условия теоремы 1.2.1. Тогда при'ХК = (кку-*- для достаточно малого ^ и для любого разностное рекение задачи (II),(15) схо-

дится к точному реценшо задачи (1)-(3) и справедлива оценка

Теорема 1.2.3. Пусть выполнены все условия теоремы 1.2.1. Тогда при для достаточно малого и

для любого ^€(0^1) разностное решение задачи (Л),(16) сходится к точному решению задачи (1)"-(3) и справедлива оценка

¡ч~у I * С А2.

В §1.3 результаты теорем 1.2.1 и 1.3.3 обобщаюгся для ■ задачи (1),(2),(4) в которой 0<а1<аг^<..,< а посто-

явные числа либо нсшшиштедшнс, либо лсотркцател^нае и удовлетворяют неравенствам — 1 ^ ->'■ + сх'>- - 1 .

Краевые условия (2),(4) аппроксимируем краевыми условиями 'г

'Уо~/!<> & =&,кДУъ -о, (17)

для решения у разностного уравнения (II).

Во втором способе краевые услоем (2),(4) аппроксимируются условиями £

для .репенда у - разностного уравнения (II), которые получаются путем аппроксимации уравнения в каждой точке ае с помощью близлежащих узловых точек и , "а затем применением к полученным разностным схемам теоремы о неявной Функции.

Теорема 1.5.1. Цусть выполнены все условия теорема 1.2.1. Тогда при Х^ = (К^) дал достаточно малого к.

и дл:. ллбото 1) разностное решение задачи (II), (17)

сходятся к .точному решению задачи (1),(2),(4) а сирзаедяиза адкка ¡и-и у-г С!сг ..

.Теорема 1.3.2. Цуоть выполнены все условия теореми

1

1.2.1. Тогда при для достаточно малого к и

для любого (с^ 1) разностное решение задачи (II),(18) сходится к точному решению задачи (1),(2),(4) к справедлива оценка .

- 13 -

В для в:п::е:;ен2Л яшеграла в нелокальной услозак (5), применяя о-ср: тулу прямоугольников, получас:: разиос-гауп

3пдаЧу (.- '/,-.-о ,

¿'Ко ■

С^О , С!, г .г/Го•»'ОС5 /ч, * / ,

1,лпрскск:жруЕщуа задачу (1),(2),(5). Если хе пришить формулу урэпецяй для вычеслокич интеграла,в (5), то задача (I), ;2),(5) аппрокск:,'прузтся следуг:;ел разностной задачей

} (¿0)

Творога 1.4.1. Пустз неярерывше функция я цн^и) сх,и)£{ъ,13х £ ) п;:.зйг непрерывные производные /41 к ^ , [р>:че:л Пусть, крот,-в того ;

аГр, М ^ о:«га/а .

'огда при для достаточно малого ¡» лля

х.лзх "С/ (г Сс^ О разностное решение задача (15) сход-.тся :г очнс:,:у решению задача (1),(2),(5) а справедлива оценка

* СА.

1.-1.3. 1&СИ ВЫНОЛПСТИ ЗСО у0Л0&&1 тсоре*.:ч .4.1. Тог/п при доя достаточно теплого А г.

- 14 -

для любых «О^б^О . разностное решение задачи (20) сходится к точному решению задачи (1),(2),(5) и справедлива оценка у а_у у ^

В пятом параграфе доказано

Теорема 1.5.1. Пусть непрерывная функция рСХ^Ц.) ((х}и)бЕ°>12* Я, ) имеет непрерывную производную ^ 20 и

/*6 С /Со, о * Я } , $ С (о,, 13 .

Для фиксированного «¿"ССОлО такого ^з , для которого

Тогда при хк-кк для достаточно малого А разностное решение (II),(12) сходится к точному решению задачи (1)-(3) и справедлива оценка

Отметки, что результаты теоремы 1.5.1 обобщаются также для задач с нелокальными условиями (4),(5).

Вторая глава посвящена численному решению задач рторо-го рода, т.е. с нелокальными-условиями (6),(7),(8).

В §2.1 относительно однозначно! разрешимости" рассматриваемых задач доказываются следующие теоремы.

Теорема 2.1.1. Для того, чтобы задача (1),(2),(6) была однозначно разрешима для любого значения ^ , необходимо и достаточно, чтобы

с. агиг (аз ф 1 3

г , *

где их(эс)-реиение задачи ..

■и/(о; = о , иг'со=1 ■

а

- 15 -

1зорема 2,1.2. Для. того, чтобы задача (1),(2),(7) была одн'Эзначно разрешима для любого значения , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

И^аеЫ'Со-г) * 1,

о

где ^сГ^-реиение задачи /21).

Теорема 2.1.3. Для однозначной разрешимости задачи (I),

(2),(8) достаточным условием является выполнение условий

б

о,

где' Ь]Сх)-решение задачи (21).

В §2.2 рассматривается -метод неравномерных сеток- для задачи (1),(2),(6) в которой -

В первом способе для решения у разностного уравнения (II) краевые условия (2),(В) аппрокси?<шруются условия:,за А, - с1 , ' : (22)

Л У<У~У-У~Г ,о~р п _ У С ~УС-1

гм--7 ГА/ ) ГС - £ ,

А, Ао^/ ¿-с*-; (^ч ~-1), а во втором способе условиями , ".

У*

; 4 Г-) ) (я,0 > Во, к0 Ъ,)] ,

где

(23)'

- 16 -, £>ол -Kc/Jc ,

Приводе;.: освоение результаты, шод-деш&е u этой параграфе ,

.Теопэт-:а 2.2,1» Пусть непрерывная *ушадаг /'(ос,а) ((XjU)€ [о, ij л R ) и:.:осзт непрерывную производную ю и

f€ х"*Г<ЕС{г°ЛlxR} , * ^

для X£[a_,iJ. Тогда при для достаточно кэлого

к к дат любого для решения разностной задачи

(II), (22) справедлива оценка

С Д. ,

Теоозмз 2.2.Й. Пусть выполнены все условия теореьщ ' 1 1

2.2.1. Тогда при.ock.-iKk)i~°i дащ достаточно ¡.-алого к и для любого <*€(c>ji) для репонкя разностной задачи (II),(23) ептаведлква оценка

£ ChL„

3 §2.3 результаты §2.2. обобщаются для задачи (1),(2), ;7) в которой 0^af<az<... <ах<1 ; постошшне числа ;;i:öo ¡¡споло;:1"гз.тьЕ.й, Jürto неотрицательна и удовлетворяют неравенствам - «гч.^ -/-.., •/- ^ -г .

чей - ¿/г = О, к ~ l(i)M-t j

J ' (24)

& , Я// = /V, ^ где * аг < ,

Георе.га 2.5.1. Пусть выполнены все условия теорем

(25)

- Г? -

2.2.1. Тогда при = для достаточно малого А

и для любого для решения разностной задачи (24)

справедлива оценка- ^

Теперь задачу (1),(2),(7) аппроксимируем задачей где

А: = ^ ~ УС**« 1.

Теорема 2.3.2. Пусть выполнены все условия 'теоремы 2.2.Г. Тогда при ОС^Скк)1'* для достаточно малого к, и для любого о^С^О для решения разностной, задачи (25) справедлива оценка _ .5

/и-у/ £ Ск2-.

В §2.4 рассматривается метод неравномерных сеток для задачи (Г),(2),(8), в которой Су^о , Для вычисления интеграла в нелокальном условии (8), применяя формулу прямоугольников, получаем разностную задачу

Уо^Ч > (26)

аппроксимирующую задачу (I),(2),(8). Если ка применить формулу трапеции для вычисления интеграла в (8), то задача (I),

- 18 -

(2),(8) аппроксимируется следующей разностной задачей

>

С -1С I / к°+т1

+ (г*. к)]

$„)]} ' «'^-оф^^ЩКи,.....г

Доказаны следующие теоремы.

.Теорема 2.4.1. Дусть непрерывные функнии ш</>(х,П)

[о^О х ^ ) непрерывные производные у^о

е . Пусть, кроме того € С{(0,13 }.,

и У. Я }, К * К? , 1С,,//(£-&) для Х4[а3Ц -. Тогда при хк=скк)^ для достаточно малого к ■ и для любых о^ббС^ 1) для решения разностной задачи (26) справедлива оценка

Теорема 2,4,2, Дусть выполнены все условия теоремы

•у

2.4.1. Тогда при для достаточно малого к и

для любых «Оуб £ Со, 1) для решения разностной задачи (27) справедлива оценка

I с к* .

- 19 - •

Наконец, в ?2.5 рассматривается метод разномерных сеток для задачи (1),(2),(6), в которой - . Краевые условия аппроксимируются условиями (22), а во втором способе условиями (23).

Основные результаты этого параграфа сформулированы_в следующих теоремах.

Теорема 2.5.1. Пусть непрерывная функция f(X3u.) £ [OjfJ х % ) имеет непрерывную производную -г&ЪО И 7еи- К* для хе [а, Q, C/(Oj Ц х А.} .Для фиксированного «ЧГ (о, 1) и такого ¡уз , для которого et 1

Тогда при SC^-кк для достаточно малого к дда решения

разностной задачи (21),(22) справедлива опенка !у~и / * Ск

Теорема 2.5.2. Пусть выполнены все условия теоремы 2.5.1. Тогда при ¿СК = Кк для достаточно малого к для решения разностной задачи (II),(23) справедлива оценка ¡y-ui* ск^ . По теме диссертации опубликованы следующие работа:

1. Доснев A.A., Аииров Б.С. О некоторых, краевых задачах с нелокальными условиями для уравнений с сингулярными коэфЬи-циентами//Деп. в АзНИИНТИ.-й1137 . Аз-88.

2. Аширсз Б.С. К численному решению нелокальных краевых за-« дач для уравнений с сингулярными коэ,|фщиентами//йзЕестхя АН ТССР. Сер.фаз .-техн.,хим. и геол. неук.-1990. -Щ.

3. Доспев A.A., Аииров Б.С. Метод сеток для численного решения нелокальных краевых задач второго рода для уравнений

с сингулярными коэффициентами//Дифференц.уравн* и оптим.управление: Тезисы дохи. Всесоюзн. конференции.-Ашхабад,1990.

4. Аширов Б.С. К численному решению краевых задач второго рода для уравнений с сингулярными коэ'ффщиейташ//Дифферен1. уравн. и опгим.управление: Тезисы докл. Всесоюзн. конференции .-Ашхабад,1990.

5. Лосиев A.A., Аширов Б.С. К численному решению многоточечной задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с сингулярными коэффициентами//Приблик. методы реш. спер, уравн.: Сб.-Баку, 1991.

6. Аширов B.C. Метод сеток для численного решения нелокальных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с сингулярными коэффициентами//Приблйк. методы реш. опер, уравн.: Сб.-Баку, I99L.