Численное решение связанных трехмерных краевых задач упругой пористой среды тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО - МАТЕМАТИЧЕСКИМ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 539.3

КАКУШЕВ ЭЛЬДАР РАМАЗАНОВИЧ

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СВЯЗАННЫХ ТРЕХМЕРНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ УПРУГОЙ ПОРИСТОЙ СРЕДЫ

Специальность: 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико — математических наук

з I ЯНВ 2013

МОСКВА 2013 г.

005048941

005048941

Работа выполнена на кафедре механики композитов механико -математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова

Научный руководитель: доктор физико — математических наук,

профессор Сергей Владимирович Шешенин

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор,

Ведущая организация: мастерская №15 открытого акционерного общества

Института по изысканиям и проектированию инженерных сооружений «МОСИНЖПРОЕКТ»

Защита диссертации состоится 22 февраля 2013 г. в 16 часов 00 мин, на заседании Диссертационного совета Д 501.001.91 по механике при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП - 1, Москва, Ленинские Горы, Главное здание МГУ, Механико -математический факультет, аудитория 16 10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико -математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж). Автореферат разослан января 2013 г. Ученый секретарь

диссертационного совета Д 501.001.91

заведующий кафедрой прикладной математики и информатики МГСУ Владимир Николаевич Сидоров

доктор физико - математических наук, старший научный сотрудник геофизического центра Российской академии наук Илья Юрьевич Колесников

доктор физико - математических наук, профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы.

Пористыми являются многие природные тела: грунты, горные породы, кожа, кость, а также многие искусственные материалы. Изучение теории фильтрации и механики насыщенных пористых сред необходимо для описания движение жидкостей через пористые материалы и описания напряженно-деформированного состояния насыщенных жидкостью твердых деформируемых тел. Например, теория фильтрации позволяет прогнозировать те изменения, которые могут произойти в естественных грунтовых потоках при строительстве зданий и сооружений. Расчеты по теории фильтрации необходимы также в нефтяной и газовой сфере не только для оптимизации процесса добычи, но и в связи с вопросами экологии. Были отмечены случаи оседания поверхности земли на значительных участках территории нефтяных промыслов. Один из широко известных примеров оседание поверхности земли в г. Лос-Анджелесе (Калифорния) после начала разработки одного из крупнейших нефтяных месторождений в США. Через 32 года после начала откачки воронка оседания поверхности земли простиралась на площадь 50 млн. м2, причем в центре воронки ее глубина достигала 8,8 м. Оседание поверхности земли нанесло существенный вред и потребовало проведения дорогостоящих ремонтных работ. Проседание земли происходит не только при откачке нефти, но и при откачке грунтовых вод, при осушении почвы, при строительстве зданий на водонасыщенных грунтах и т.д.

Поэтому возникает необходимость развития и усовершенствование методов расчета фильтрационных явлений.

Возникновение и развитие теории фильтрации связано с именами таких ученых как М. Био, К. Терцаги, В. Н. Николаевский, Г. И. Баренблатт, X. Азиз, В. Н. Щелкачев, в. ОатЬо1аи, Я. И. Френкель, Н. М. Герсеванов, В. А. Флорин, И. Н. Кочина, С. Бакли, М. Леверьет, С. Е. Джейкоб и т.д.

В настоящей диссертационной работе рассматривается связанная модель фильтрации в упругой пористой среде, основанная на теории Био (ВЫ М.А. 1955; Николаевский В. Н. 1970). Дано обобщение на случай геометрически нелинейного деформирования. Эффект связанности появляется из-за взаимного влияния пространственной деформации каркаса грунта и изменения давления жидкости в порах. В работе рассмотрены два класса задач: задачи фильтрации жидкости вследствие откачки из месторождения и задачи с внешним силовым воздействием. Задачи фильтрации жидкости из месторождения - это типичные задачи откачки/закачки жидкости из одного из слоев многослойного месторождения. Задачи с силовым внешним воздействием - это типичные задачи расчета проседания фундаментов в водонасыщенном грунте, например, грунте намытом в море.

Связанная модель позволяет определять одновременно фильтрационный поток жидкости и осадку деформируемой пористой среды, в которой происходит фильтрация (Киселев Ф. Б 1996; К. Ыршкоу 2009; Р. ШеЬ 1995).

В работе предложена, исследована и реализована надежная численная связанная модель фильтрации в упругой пористой среде. Разработанная численная модель позволяет рассчитывать величины изменения порового давления, горизонтальные и вертикальные перемещения, в том числе проседания земной поверхности в рассматриваемых задачах, а также напряжения и деформации. Также в работе реализована и несвязанная модель фильтрации в упругой пористой среде. Проведено сравнение моделей.

Для решения связанная модель сложнее, чем несвязанная. Поэтому исследован вопрос о том, когда связанная модель сводится к несвязанной. Именно, математически показано, что в случае откачки из скважины в однородном грунте и в слоистом грунте с неперетекающими несущими слоями, связанная задача сводится к несвязанной. Также численно исследована связь между решениями по связанной и несвязанной моделям. В сотрудничестве с кафедрой инженерной и экологической геологии геологического факультета МГУ решена практическая задача об откачке нефти

4

из скважины в 13-слойном грунте. Предложено обобщение связанной теории фильтрации в упругой пористой среде для геометрически нелинейного деформирования с использованием идеи Лагранжевого — Эйлерового подхода (ALE - Arbitrary Lagrangian Eulerian. Hirt С. 1974, Benson D. 1989, Huerta A. 1994).

Численные алгоритмы реализованы в виде пакетов программ на языке FORTRAN.

Цель работы.

1. Исследование и создание надежной численной реализации связанной трехмерной модели фильтрации в упругой пористой среде.

2. Исследование различия между решениями по связанной и несвязанной моделям.

3. Решение практических задач с помощью разработанных компьютерных программ.

Научная новизна работы заключается в следующем;

1. Разработан эффективный и надежный численный метод решения связанной трехмерной модели фильтрации в упругой пористой среде.

2. Теоретически и с помощью расчетов показано, что в случае откачки из скважин в однородной бесконечной упругой среде и в слоистой бесконечной среде с неперетекающими несущими слоями, связанная задача сводится к несвязанной.

3. Показано, что в задачах откачки жидкости из месторождения связанная и несвязанная модели дают близкие решения.

4. Показано, что в задачах с силовым внешним воздействием связанная и несвязанная модели дают различные решения.

5. Предложено обобщение связанной задачи фильтрации в виде геометрически нелинейной постановки.

Достоверность результатов.

Обоснованность и достоверность теоретических результатов диссертации подтверждены строгими математическими выводами, основанными на положениях механики.

Достоверность полученных численных результатов подтверждается согласованностью расчетных данных предложенных моделей и существующих моделей других авторов. Построенные алгоритмы были отлажены на модельных задачах с известными аналитическими решениями.

Для задачи, которая была решена в сотрудничестве с кафедрой инженерной и экологической геологии геологического факультета МГУ, проводились сравнения полученных численных результатов с результатами геодезических измерений осадок поверхности земли.

Теоретическая и практическая значимость работы.

Результаты имеют важное теоретическое и прикладное значение и могут быть использованы для решения многих практических задач, связанных с фильтрационными явлениями, например, возникающих в строительной практике.

На защиту выносятся:

1. численные реализации связанной и несвязанной моделей фильтрации в упругой пористой среде;

2. теоретические и численные результаты сравнения моделей;

3. обобщение связанной задачи фильтрации в упругой пористой среде в виде геометрически нелинейной постановки с использованием идеи ALE.

Апробация работы.

Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались:

на научных конференциях «Ломоносовские чтения» секция механики, МГУ имени М.В. Ломоносова (2009, 2010 и 2012 гг.);

на второй международной научно-практической конференции «Теория и практика расчета зданий, сооружений и элементов конструкций. Аналитические и численные методы». Москва, 18 ноября 2009 года.

на научно-исследовательском семинаре кафедры механики композитов Механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством д.ф.-м.н., проф. Б.Е. Победри (2010 - 2012 гг.);

на научно-исследовательском семинаре кафедры теории пластичности Механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством член-корр. РАН Е.В. Ломакина);

на научно-исследовательском семинаре кафедры теории упругости Механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством д.ф.-м.н., проф. И.А. Кийко (2012 г.); Публикация результатов.

Основные результаты диссертации опубликованы в 7-х работах, список которых приведен в конце автореферата. Структура и объем работы.

Диссертация состоит из содержания, введения, четырех глав, заключения и списка литературы. В работе содержится 18 таблиц, 31 рисунок, 98 библиографических ссылок. Общий объем диссертации 112 страниц. Личный вклад автора.

Результаты, составляющие основное содержание диссертации, получены автором самостоятельно. В совместных работах соавторам принадлежат постановки задач. Разработка алгоритмов предлагаемых методов, их программные реализации и тестирование, а также решение конкретных задач выполнены соискателем самостоятельно.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение.

Во введении дается обзор литературы, обоснована актуальность научных исследований. Сформулированы: цель работы, ее научная новизна и практическая значимость.

Глава 1. Связанная модель фильтрации в упругой пористой среде в

Глава 1 состоит из 4-х параграфов и посвящена постановке связанной модели фильтрации в упругой пористой среде и ее численной реализации.

В § 1 главы 1 выводятся уравнения связанной трехмерной модели фильтрации в упругой пористой среде (1). Считается, что в каждой точке объема существует вектор перемещения скелета й и давление р в жидкости. Модель использует уравнение движения и неразрывности фаз, закон фильтрации Дарси, определяющие соотношения для пористого каркаса и условие баротропии насыщающей поры жидкости. Линеаризованная относительно начального состояния связанная система уравнений выглядит следующим образом

В уравнениях (1) С — тензор эффективных модулей насыщенного фунта

при нулевом давлении жидкости в порах, Рж— коэффициент сжимаемости жидкости, п— объемная пористость грунта, к — тензор коэффициентов

фильтрации (к = , где у - удельный вес жидкости, К - тензор

коэффициентов проницаемости пористой среды, Ц - динамический

8

геометрически и физически линейной постановке.

О)

НУ

коэффициент вязкости жидкости), О,— интенсивность источников и стоков с1т ,

({у =-, где ат - это масса жидкости, выделившаяся или

рж ¿1 (IV

поглотившаяся в элементарном объеме с!У за время й?/, рж - плотность жидкости).

Система уравнений (1) решается в приращениях икр относительно их статических значений, вызванных постоянными массовыми силами, поэтому начальные условия имеют следующий вид: и = 0, р = 0 при ( = 0.

Вся поверхность области Б делится на 4 части:Ест, Ец, и Ър на

которых задаются нагрузки, перемещения, поток жидкости и давление соответственно.

В первом параграфе главы 1 подробно описываются виды граничных условий, используемые в рассматриваемых в диссертации задачах. В задачах откачки жидкости из месторождения на границах рассматриваемой области задаются типичные условия для геологических задач Рис. 1:

1. На поверхности земли поверхностная нагрузка отсутствует и давление не

меняется: ^С: Ум - р1_) • Я = 0, р = 0; х е Хст, £ст = Т,р.

2. Боковая поверхность и дно месторождения неподвижны и непроницаемы:

оп

3. На границе между слоями предполагается идеальный контакт:

й+ = ¿Г; = = р~; • Vр+ = к• Чр~.

гА

р= о ; 5° = 0

и =£Г:

дп и =0

дп 5 = 0

>

Рис. 1. Типичные граничные условия для геологических задач откачки жидкости из месторождения.

В задачах с силовым внешним воздействием, в отличии от задач откачки жидкости из месторождения, на поверхности земли, в зависимости от задачи могут быть заданы следующие граничные условия:

• действует ненулевая поверхностная нагрузка, как на скелет, так и на

• действует ненулевая поверхностная нагрузка только на скелет:

Подобными видами граничных условий моделируется, например, влияние здания на водонасыщенный грунт. В остальном граничные условия, в рассматриваемых классах задач полностью совпадают.

В § 2 главы 1 дана вариационная постановка связанной модели фильтрации в упругой пористой среде.

жидкость: (с:Ум- Я = 5° Ф 0

(С:Ум)-Я = 5°

• заданы ненулевые перемещения ¿7 = С/0 Ф 0.

V

V

V

V

В уравнениях (2) и и р - решение, ч> и д - пробные функции, причем все 4 функции принадлежат пространству Соболева й^1.

В § 3 главы 1 проведена процедура дискретизации вариационных уравнений (2) и получена система алгебраических уравнений (3). Для дискретизации краевой задачи по пространственным переменным использовался метод конечных элементов (МКЭ), а по времени разностная схема. Система уравнений (3) является седловой системой и решается в каждый дискретный момент времени tn.

л.Л

'А Вт> В С

V р

(?)

Разработана численная реализация связанной задачи трехмерной фильтрации и программная реализация на сетках, топологически эквивалентных параллелепипедной сетке. В качестве конечных элементов использовались два вида элементов: элементы Q1-Q1 Рис. 2 с трилинейными функциями формы для ii и р, и элементы Q2-Q1 Рис. 3 с триквадратными функциями формы для и и трилинейными функциями формы для р. Численные алгоритмы реализованы в виде пакетов программ на языке FORTRAN.

Рис. 2. Элемент <31-С>1. Конечные элементы для икр содержат по 8 узловых точек, соответствующие функции формы являются трилинейными функциями.

27 узловых точек, функции формы являются триквадратными функциями. Конечный элемент для р содержит 8 узловых точек, функции формы являются трилинейными функциями.

§ 4 главы 1 посвящен устойчивости системы уравнений (3). Существование и единственность решения седловой системы (3) имеют место быть при выполнении условия положительной определенности для матриц А и С: (Аи,и) > 0,Vm Ф 0; (Ср,р) > 0,Vp * 0, и условия Ладыженской-

(Втр,и)

Бабушки-Брецци (LBB) для матрицы В: inf sup- .. .... „ >£ >0, где

реоЦлпг ,teG* [|р[||м|[

Gp и G^ это .TV-мерные подпространства пространства Соболева W\. Для

элементов Q2-Q1 условие LBB выполняется и система (3) имеет устойчивое решение. Для элементов Q1-Q1 выполнение LBB условия зависит от шага по времени г, который входит как множитель в матрицу С. При достаточно больших значениях данного параметра LBB условие выполняется и система (3) на элементах Q1-Q1 имеет устойчивое решение, но при уменьшении т условие нарушается и решение системы во времени ведет себя не устойчиво.

В четвертом параграфе главы 1 найдено условие устойчивости решения связанной модели фильтрации в упругой пористой среде, при использований элементов Q1-Q1. Это условие выведено для класса задач откачки жидкости из месторождения, удовлетворяющих следующим условиям:

1. месторождение состоит из одного слоя и представляет собой куб;

2. в качестве граничных условий заданы типичные условия для геологических задач;

3. разбиение области по координатам равномерное, количество шагов по координатам вдоль X, У, Ъ одинаковое;

4. тензор коэффициентов фильтрации к диагональный и его диагональные элементы равны (в итоге остается одна скалярная величина к, которая называется коэффициентом фильтрации);

5. скважина расположена в центре месторождения и пронизывает его по всей высоте Ъ.

Условие устойчивости выглядит следующим образом:

/г2

Г > Я -; 7ГГ ~2, где /г - шаг по координатам, Е - модуль Юнга, к -

Ек

коэффициент фильтрации. Неравенство получено использованием методов теории размерностей и численных тестов на кубической сетке. На примере модельной задачи проиллюстрирована потеря устойчивости численного решения связанной модели при уменьшении шага по времени г.

Для сравнения конечных элементов С21-С21 и С22-(31 численно решена модельная задача откачки жидкости из месторождения. В Табл. 1 приведены результаты расчетов. При этом количество шагов по времени было одинаково, но менялось время процесса откачки жидкости. Условие устойчивости при использовании элементов 01-01 выполнено при времени откачки большем 9-ти дней. Из таблицы видно, что при использовании элементов 02-01, решение можно получить для любого момента времени, а при использовании элементов 01-(21, устойчивое решение можно получить только при времени откачки большем 9-ти дней.

Длительность процесса откачки Давление (МПа)

01-01 <32-<31

1 мин. - -0.0014

10 мин. - -0.014

1 час - -0.08

12 часов - -0.56

1 день - -0.79

3 дня - - 1.54

7 дней - -2.23

10 дней -2.46 -2.46

30 дней -2.5 -2.5

100 дней -2.5 -2.5

Табл. 1. Изменение давления в жидкости в окрестности скважины в зависимости от времени процесса и вида используемых конечных элементов.

В главе были получены следующие результаты:

1. Разработана численная реализация связанной линеаризованной задачи упругой пористой среды и программная реализация на сетках, топологически эквивалентных параллелепипедной сетке.

2. Численно исследовано условие устойчивости решения связанной модели и показано отсутствие надежности элементов (31-<31.

Глава 2. Итерационные методы решения связанной модели фильтрации в упругой пористой среде.

Глава 2 состоит из 2-х параграфов и посвящена итерационным методам

решения связанной задачи фильтрации в упругой пористой среды.

Распространенной особенностью рассматриваемых задач фильтрации в

упругой пористой среде является то, что область состоит из нескольких слоев

и их свойства (толщины слоев, модули Юнга, коэффициенты фильтрации)

могут отличаться на несколько порядков. Размеры области доходят до 20 км

по длине и ширине, и до 3-5 км по глубине. Чтобы учесть эти особенности

задача численно должна решаться на большой сетке размера сотни тысяч

14

алгебраических уравнений. Параллелепипедо подобная форма области приводит к тому, что итерационные методы позволяют решать задачи, состоящие из более, чем 1 ООО ООО уравнений на обычном ПК, в то время как прямыми методами можно решать связанные задачи фильтрации в упругой пористой среде, состоящие максимум из 100 ООО - 150 ООО уравнений.

В § 1 главы 2 описывается итерационный метод, основанный на методе Удзавы, и используемая в итерационных методах матрица Шура S:

(-ВА-]Вт+С)р'=Г1 (4)

' S '

Для сравнения итерационных методов численно решена модельная задача откачки жидкости из месторождения. Для каждого метода найдена зависимость количества итераций от отношения текущей невязки к начальной

IHI

, I. Показано огромное преимущество метода сопряженных градиентов.

Результаты численных расчетов представлены в Табл. 2.

г Количество итераций

И1 Метод простой итерации Метод минимальных невязок Метод сопряженных градиентов

ю-2 26 16 7

ю-' 267 127 23

10" 627 299 40

Ю-5 991 471 62

ю-6 1360 648 78

Табл. 2. Зависимость количества итераций в итерационных методах от отношения текущей невязки к начальной.

Матрицы А и С в системе уравнений (3) являются плохо обусловленными за счет разброса коэффициентов. Как следствие, матрица Шура 8 в (4) тоже плохо обусловлена. Поэтому, при увеличении количества неизвестных в алгебраической системе уравнений количество итераций в итерационных методах сильно возрастает. Чтобы избавиться от этого явления был предложен

оператор предобусловливания, позволяющий получать решение со скоростью сходимости, не зависящей от количества неизвестных в алгебраической системе. Оператор предобусловливания выглядит следующим образом: Е + Т А, где Е - это единичный оператор, г - шаг по времени, А - оператор Лапласа.

Предложенный оператор предобусловливания существенно улучшает работу итерационных методов. Для демонстрации эффекта влияния предобусловливателя численно решена модельная задача откачки жидкости из месторождения. Для каждого итерационного метода найдена зависимость количества итераций от числа алгебраических уравнений и отношения

И

текущей невязки к начальной , Л.. Результаты численных расчетов для

метода сопряженных градиентов представлены в Табл. 3.

У Метод сопряженных градиентов без предобусловливателя Метод сопряженных градиентов с предобусловливателем

111 Но II количество точек по X, У, Z и количество точек по X, У, Ъ и

Г 1 число решаемых уравнений число решаемых уравнении

31x31x31 41x41x41 51x51x51 31x31x31 41x41x41 51x51x51

275 684 530 604 907 924 275 684 530 604 907 924

10" 31 36 37 3 3 3

ю-2 115 141 169 6 6 6

Ю-3 142 177 208 10 10 10

10"4 159 197 236 18 18 18

Ю-5 174 215 258 25 25 25

10"* 196 240 288 33 33 34

Табл. 3. Зависимость количества итераций в итерационных методах сопряженных градиентов с преобусловливателем и без предобусловливателя от числа алгебраических уравнений и от отношения текущей невязки к начальной.

§ 2 главы 2 посвящен решению двух задач: задачи откачки жидкости из месторождения через одни скважины и закачки жидкости обратно в пласт через другие и задачи о притоке воды к подземным сооружениям. С помощью

реализованной связанной модели фильтрации в упругой пористой среде можно оценивать перемещения на поверхности земли в зависимости от расположения скважин. Также разработанную программу можно использовать для оценки необходимости проведения защитных мероприятий в подземных сооружениях.

В главе были получены следующие результаты:

1. Разработан итерационный метод на основе метода Удзавы с оператором предобусловливания для решения дискретной связанной задачи.

2. Показана работоспособность на сетках более 1 ООО ООО уравнений.

Глава 3. Модель упругого режима или несвязанная модель фильтрации в упругой пористой среде.

Глава 3 состоит из 3-х параграфов и посвящена несвязанной модели фильтрации в упругой пористой среде.

С момента появления связанной системы уравнений модели Био у исследователей возникло желание упростить ее, путем некоторых дополнительных предположений, «развязав» входящие в уравнения переменные. За системой, получаемых несвязанных уравнений модели Био, исторически закрепилось название упругого режима фильтрации.

В главе 3 из уравнений связанной модели фильтрации в упругой пористой среде выведены уравнения несвязанной модели, проведено сравнение связанной и несвязанной моделей, приведены численные результаты решения задачи о проседании поверхности земли при откачке жидкости из месторождения.

В § 1 главы 3 показано, что для случая бесконечной однородной и изотропной среды с нулевыми возмущениями на бесконечности (на практике при достаточном удалении от месторождения возмущения малы) из уравнений связанной модели фильтрации в упругой пористой среде (1) следует, что в любой точке рассматриваемой области выполнено соотношение

17

где Я и р. - это коэффициенты Ламе. Показано, что данный результат можно распространить на случай слоистого грунта, когда течение жидкости происходит в одном из пластов, ограниченном сверху и снизу непроницаемыми пластами. Такой случай вполне может осуществляться на практике.

После подстановки соотношения (5) в последнее уравнение системы (1), получаются уравнения несвязанной модели фильтрации в упругой пористой среде:

Упрощения в несвязанной постановке позволяют решать уравнения независимо. Для проводящего пласта решается отдельно последнее уравнение системы (6) и находятся р. Затем поле перемещений й определяется из решения трехмерной краевой задачи для первого уравнения системы (6) при уже известном давлении жидкости. Несвязанная модель с успехом применяется в задачах откачки жидкости из месторождения.

В § 2 главы 3 рассматривается расчёт перемещений каркаса горных пород и изменения пластового давления при эксплуатации нефтяного месторождения, расположенного на востоке центральной части ЗападноСибирской низменности (на юге Томской области). Длительная откачка нефти приводит к возникновению различных неблагоприятных явлений: оседанию земли, образованию провалов. Оседание земной поверхности является одной из экологических проблем при добыче нефти и газа в Западной Сибири. Поверхность Западной Сибири характеризуется высокой степенью заболоченности; именно этой территории принадлежит мировой рекорд по количеству болот на единицу площади. Дополнительное оседание земной

1

(6)

поверхности даже на несколько сантиметров может привести к ещё большему заболачиванию, подтоплению территории, деформациям автомобильных трасс, трубопроводов, коммуникаций, промышленных и гражданских сооружений. В связи с этим прогнозирование оседания земной поверхности при эксплуатации нефтяного месторождения является важной практической задачей.

Решением подобных экологических проблем занимается кафедра инженерной и экологической геологии геологического факультета МГУ, данная задача решалась в сотрудничестве с этой кафедрой.

По описанию геологического строения западносибирского месторождения были выделены 13 слоев пород. Все слои разреза имеют субгоризонтальное простирание, что позволяет использовать для расчета горизонтально-слоистую модель. Характеристики их свойств, используемые для численного расчета, показаны в Табл. 4 и Табл. 5.

Номер слоя Толщина слоя (м) Е (МПа) V

13 100 100 0.3

12 50 500 0.25

11 320 9000 0.35

10 100 5000 0.28

9 50 11000 0.35

8 800 13000 0.28

7 600 9000 0.3

6 300 6000 0.25

5 60 14000 0.35

4 80 16000 0.28

3 50 14000 0.35

2 270 17000 0.28

1 220 26000 0.2

Табл. 4. Толщины слоев и свойства пород (модуль Юнга, коэффициент Пуассона).

общее время откачки (сут) 1825

интенсивность откачки (м /сут) 3000

сжимаемость жидкости (1/Па ) -16 10

2 коэффициент фильтрации (м /Па/сут) 1.38-10"5

пористость грунта 0.1

протяженность месторождения по X (м) 16 000

протяженность месторождения по У (м) 16 000

протяженность месторождения по У (м) 3 000

Табл. 5. Размеры месторождения, свойства и параметры откачки жидкости.

Нефтеносным является 4-й слой. Откачка нефти производится из единственной скважины, расположенной в центре модели и проходящей через весь 4-й слой. В скважине задан расход насоса, равный реальному суммарному расходу по месторождению. Нефтеносный слой перекрыт сверху и снизу водонепроницаемыми слоями, коэффициенты фильтрации которых в десятки тысяч раз ниже по сравнению с проводящим слоем.

Граничные условия на перемещения в задаче — это типичные граничные условия для геологических задач. Граничные условия на давление задаются только в нефтенасыщенном слое. Вся граница слоя непроницаема и жидкость

дР О

через нее не течет: —= I).

дп

В параграфе 2 главы 3 приведены результаты расчетов: вертикальные и горизонтальные перемещения во всех слоях и давления в разные моменты времени. На Рис. 4 приведен график с результатами проседаний поверхности земли в разных точках.

В процессе эксплуатации месторождения проводились многолетние геодезические измерения деформаций поверхности земли, в ходе которых было установлено, что скорость вертикальных деформаций в среднем по месторождению составляет 0.5-2 см в год. Анализ результатов численных расчетов показал, что они соответствуют результатам измерений, это видно из Рис. 4.

Рис. 4. Изменение вертикальных перемещений на поверхности земли, на расстоянии 100 м., 200 м. и 300 м. от скважины в зависимости от времени.

§ 3 главы 3 посвящен сравнению связанной и несвязанной моделей фильтрации в упругой пористой среде. Показано, что в задачах откачки жидкости из скважины результаты численных расчетов на больших временах откачки совпадают. При сравнении моделей на начальных временах откачки, выявлено, что в отличие от несвязанной модели, связанная модель фильтрации в упругой пористой среде позволяет описать эффект Мандела-Крайера (эффект выпучивания поверхности земли и увеличения давления в порах жидкости рядом со скважиной в первые часы откачки). В качестве задач с силовым внешним воздействием численно решены задача о проседании грунта при строительстве здания и задача о штампе.

Показано, что несвязанная модель в задачах с силовым внешним воздействием не учитывает изменения давления, и численные результаты перемещений в моделях существенно отличаются.

В главе были получены следующие результаты:

1. Разработана программная реализация несвязанной модели упругой пористой среды на основе неявной по времени схемы.

2. Подтверждено, что в задачах откачки из скважины связанная и несвязанная модели дают близкие решения.

3. Показано, что в задачах с силовым внешним воздействием, связанная и несвязанная модели дают существенно различные решения.

Глава 4. Связанная модель фильтрации в упругой пористой среде в геометрически нелинейной постановке.

Глава 4 состоит из 2-х параграфов, уравнения связанной модели здесь выведены для общей геометрической и физической нелинейности. Для геометрически нелинейного случая предложен метод решения связанной задачи с использованием совместного Лагранжевого и Эйлерового подходов.

В § 1 главы 4 выведены уравнения связанной модели фильтрации в упругой пористой среде для геометрически и физически нелинейного случая:

У,(<х) + (р)/ = 0

и V • | ¿'"у/

п

' (Ш ■ _ ф .

(7)

1А V 7 Л

В уравнениях (7) {(У^ - среднее напряжение в представительном объеме, (р) -

средняя плотность, / - внешняя массовая сила (одинакова для каркаса и жидкости).

Система уравнений (7) сформулирована в текущей области. Третье уравнение — это следствие из уравнения неразрывности для твердой фазы. Граничные условия задаются так же, как и для геометрически и физически линейного случая.

В качестве определяющих соотношений рассмотрены определяющие соотношения гиперупругой среды:

(<t) = F-| J'1 —

\~/ ~ I щ J

д IV

Рт, З^^ХР, С(8) дЕ

В уравнениях (8) - градиент деформации, Е - тензор деформации Лагранжа - Грина, IV - упругий потенциал.

Вариационные уравнения в скоростях, линеаризованные относительно текущего состояния выглядят следующим образом:

-I

г _ =

w •

dS° . - + рп

\

dt )

рп dZ (9)

-¡Vq-k-Vp d¥ = ¡q(V-v)d¥ + ¡qnJS;K^-d¥-¡qQd¥

У V V dt у

Первое уравнение системы (9) продифференцировано по времени,

_ дй , др

поэтому оно сформулировано относительно v = —, р = — (производные,

dt dt

вычисленные при фиксированных Лагранжевых координатах). В уравнениях (9) и и р решение, w и q- пробные функции,

Г"1 — A-1 J7 Р Р Р С K-¡jkl~J rn¡rjj¡rkklrll¡^iíM¡ii-

При численном решении задачи упругой пористой среды (9), когда

движение жидкости описывается Эйлеровым подходом, а движение скелета —

Лагранжевым, возникают определенные трудности. Чтобы объединить

преимущества и избежать ограничений любого из этих подходов, был

предложен метод решения системы с использованием идеи ALE (Arbitrary

Lagrange Euler).

Схема численной реализации системы (9) с помощью итерационного процесса выглядит следующим образом:

• + рп

-|У д-к-Ч рт+и!+1 (IV = +

Ф"

а?

т+1, .г ^т

(10)

т

где р

Г Т

пт+1,л-1 = 4-х V Ут+1,5+1, «2 - номер шага по времени, 5 - номер внутренней итерации на шаге т.

Идея метода (10) заключается в следующем:

1. Решение (*) относительно у",+1'1+1 на общей лагранжевой -эйлеровой сетке 0т+] г в текущей области Ут+^г. Вычисление

—т+1,5+1 — т+\, 5+1 .„т+1,^+1 _. /1

и ,х ,п =>У„+1,,+1

6т+1 1+| - лагранжева сетка на итерации э+1

2. Решение (* *) относительно рт+х'5+1 на эйлеровой сетке 0т+1 а

3. Интерполяция давления рт+х'1+1 на сетку 1+1.

Данный алгоритм можно рассматривать как теоретическое обобщение соответствующего итерационного метода в линейном случае.

В главе были получены следующие результаты:

1. Выведены уравнения связанной модели фильтрации в упругой пористой среде для геометрически и физически нелинейного случая.

2. Предложен алгоритм решения связанной задачи фильтрации в упругой пористой среде в геометрически нелинейной постановке.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы, которые сводятся к следующему:

1. Разработана, исследована и реализована надежная численная связанная модель фильтрации в упругой пористой среде;

2. Математически и на основе численных тестов исследована связь между решениями по связанной и несвязанной моделям фильтрации в упругой пористой среде;

3. Решены две практические задачи: задача об откачке из скважины в 13-слойном грунте для кафедры инженерной и экологической геологии геологического факультета МГУ, и задача о притоке воды к подземным сооружениям в сотрудничестве с ОАО «Мосинжпроект».

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Статьи в научных изданиях, рекомендованных в перечне ВАК

1. Шешенин С. В., Какушев Э. Р., Артамонова Н. Б. Моделирование нестационарной фильтрации, вызванной разработкой месторождений. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2011. № 5. с. 66-68.

2. Какушев Э. Р., Шешенин С. В. Связанная и несвязанная модели нестационарной фильтрации. //Вестник ЦКР Роснедра. 2012. № 2. с. 27-35.

3. Какушев Э. Р., Шешенин С. В., Закалюкина И. М. Итерационные методы решения связанной задачи фильтрации. // Вестник МГСУ. 2012. №9. с. 129-136.

Остальные публикации по теме диссертации

4. Шешенин С. В., Какушев Э. Р., Артамонова Н. Б., Киселев Ф. Б., Антонов В. И. Моделирование нестационарной фильтрации, вызванной разработкой нефтяного месторождения. // Вторая международная научно-практическая конференция «Теория и практика расчета зданий, сооружений и элементов конструкций. Аналитические и численные методы. (Филипповские чтения)». Сборник трудов МГСУ, 2009. с. 370 - 376.

5. Какушев Э. Р., Киселев Ф. Б., Шешенин С. В. Трехмерное моделирование фильтрации в упругой среде. // Ломоносовские чтения. Тезисы докладов научной конференции. Секция механики. М.: Изд-во Московского университета. Апрель 2009. с. 84 - 85.

6. Какугиев Э. Р., Шешенин С. В. Моделирование осадки поверхности земли при разработке нефтяного месторождения. // Ломоносовские чтения. Тезисы докладов научной конференции. Секция механики. М.: Изд-во Московского университета. Апрель 2010. с. 27.

7. Какушев Э. Р., Шешенин С. В. Решение связанной задачи фильтрации. // Ломоносовские чтения. Тезисы докладов научной конференции. Секция механики. М.: Изд-во Московского университета. Апрель 2012. с. 84.

Подписано в печать: 16.01.2013 Объем: 1,0 п.л. Тираж: 100 экз. Заказ № 37 Отпечатано в типографии «Реглет» 119526, г. Москва, пр-т Вернадского, д. 39 (495)363-78-90; www.reglet.ru

Введение.

Глава 1. Связанная модель фильтрации в упругой пористой среде в геометрически и физически линейной постановке.

1.1. Геометрически и физически линейная модель фильтрации в упругой пористой среде.

1.2. Вариационная постановка связанной модели фильтрации в упругой пористой среде.

1.3. Дискретизация вариационных уравнений.

1.4. ЬВВ-условие, анализ устойчивости связанной модели фильтрации в упругой пористой среде.

Глава 2. Итерационные методы решения связанной модели фильтрации в упругой пористой среде.

2.1. Метод Удзавы и внутренние итерационные методы.

2.2. Задача управления осадкой поверхности земли при откачке из месторождения.

2.3. Задача о притоке воды к подземным сооружениям.

Глава 3. Модель упругого режима или несвязанная модель фильтрации в упругой пористой среде.

3.1. Вывод уравнений несвязанной модели из уравнений связанной-модели.тт.

3.2. Численные расчеты по несвязанной модели. Численный анализ задачи откачки из месторождения.

3.3. Сравнение связанной и несвязанной моделей.

Глава 4. Связанная модель фильтрации в упругой пористой среде в геометрически нелинейной постановке.

4.1. Геометрически нелинейная модель в текущей области.

4.2. Метод решения.

Явление движения жидкостей и газов в пористых средах называется фильтрацией. Пористыми являются многие природные тела: грунты, горные породы, древесина, кожа, кость, а также многие искусственные материалы. Ряд важнейших аспектов нашей жизни касаются движения жидкостей через пористые среды. Это движение жидкостей через пористые биоматериалы в живых организмах, движение влаги в почве, движение воды в грунте и, наконец, извлечение нефти и газа из недр.

Теория фильтрации получила большое развитие особенно в нашей стране, в связи с большими масштабами гидроэнергетического и гидромелиоративного строительства, а также развитием нефтяной и газовой промышленности.

В строительстве, при проектировании различного рода сооружений необходимо учитывать влияние фильтрационных потоков. Теория фильтрации позволяет прогнозировать те изменения, которые могут произойти в естественных грунтовых потоках при строительстве зданий и сооружений. Расчеты по теории фильтрации необходимы в нефтяной и газовой сфере.

Основоположниками отечественной школы теории фильтрации являются Н. Е. Жуковский, Н. Н. Павловский, Л. С. Лейбензон. Исследования этих ученых и их многочисленных учеников и последователей-стали фундаментальной основой развития теории фильтрации в нашей стране.

Н. Е. Жуковский в 1889 г. опубликовал первую работу по теории фильтрации «Теоретическое исследование о движении почвенных вод». Он впервые вывел общие дифференциальные уравнения теории фильтрации, показал, что напор как функция координат удовлетворяет уравнению Лапласа, указал на математическую аналогию теплопроводности и фильтрации. Им исследованы также вопросы капиллярного поднятия воды в пористой среде, решен ряд задач о притоке воды к скважинам.

Н. Н. Павловскому принадлежит определяющая роль в развитии теории фильтрации в гидротехническом направлении. В монографии «Теория движения грунтовых вод под гидротехническими сооружениями и ее основные приложения» изложена разработанная им строгая математическая теория движения грунтовых вод под гидротехническими сооружениями. Им впервые задачи фильтрации воды были сформулированы как краевые задачи математической физики. Также он впервые предложил использовать параметр Рей-нольдса в качестве критерия существования закона Дарси.

Теоретические и экспериментальные исследования Л. С. Лейбензона начались в 1921 г. Им проведены первые исследования по фильтрации газированных жидкостей, сформулированы задачи нестационарной фильтрации при вытеснении нефти водой, получены фундаментальные результаты в развитии теории фильтрации природного газа. Выдающийся вклад в развитие теории фильтрации в нефтегазоводоносных пластах внесли С. X. Христианович, Б. Б. Лапук, И. А. Чарный.

В СССР особый интерес к проблеме фильтрации появился в 1930-е годы в связи со строительством гидротехнических сооружений. Следует отметить таких ученых как Я. И. Френкель, В. Н. Николаевский, П. П. Золотарев, Н. М. Герсеванов, В. А. Флорин, В. Н. Щелкачев, Г. В. Исаков, X. А. Рахматулин, Р. И. Нигматулин и др.

Наиболее близкими к теме диссертации разделами теории фильтрации являются теория течения жидкости в деформируемых пористых средах, теория консолидации и теория упругого режима фильтрации.

Теории течения жидкости в деформируемых пористых средах начала развиваться с работ Я. И. Френкеля. Им впервые была предложена полная система динамических уравнений движения произвольной насыщенной пористой среды. Система уравнений Я. И. Френкеля состояла из уравнений движения твердой и жидкой фазы, уравнения неразрывности для жидкости, уравнения упругого деформирования твердой фазы и некоторого замыкающего соотношения для пористости. В качестве параметров определяющих 3 деформации скелета среды у него фигурировали два модуля упругой объемной сжимаемости твердой фазы, сжимаемость жидкости, модуль поперечного сдвига скелета среды и некоторый дополнительной параметр, входящий в указанное замыкающее соотношение для пористости - всего пять параметров. Л. Я. Косачевский, воспользовавшись условием существования упругого потенциала рассматриваемой среды, выразил один из параметров Я. И. Френкеля через остальные четыре.

В работах В. Н. Николаевского уравнения движения насыщенной пористой среды формулировались как уравнения импульса для всей среды в целом и уравнения импульса для жидкости, уравнения баланса массы для твердой и жидкой фазы. Линеаризованные уравнения движения замыкались обобщенным законом Гука, связывающим фиктивные напряжения, поровое давление и деформации твердой фазы. Деформации представляли собой сумму деформаций, связанных с переупаковкой твердых несжимаемых частиц скелета среды и деформаций гидростатического расширения этих частиц под действием порового давления.

П. П. Золотарев дополнил систему динамических уравнений упругого деформирования, введя в рассмотрение линейные уравнения баланса тепла в фазах и термоупругие деформации жидкости и твердых частиц. Подробный термодинамический анализ упругого деформирования в насыщенных пористых средах выполнялся в работах В. Н. Николаевского и П. П. Золотарева. В их работах сформулированы уравнения притока тепла в фазах, как для линейного, так и для нелинейного случая. При этом была введена гипотеза о характере осредненной работы сил, действующей на границе между твердой и жидкой фазой.

Развитие теории консолидации грунтов как раздела теории фильтрации во многом определялось задачами речного и морского гидротехнического строительства, а также необходимостью проектирования и возведения ряда крупных промышленных транспортных сооружений. Теория консолидации дает расчетные методы решения следующих основных задач: развитие осе4 дания сооружений во времени, устойчивость оснований сооружений, развитие проседания грунтов при откачке жидкости. Впервые система уравнений одномерной консолидации была сформулирована К. Терцаги (1925).

В СССР первой в области консолидации земляных масс была работа Н. М. Герсеванова «Основы динамики грунтовой массы», 1933. В ней детально рассматривалась одномерная задача консолидации двухфазной среды. В составленной неполной модели уплотняющейся среды рассматривался полностью водонасыщенный грунт. Существенным уточнением работ Терцаги было обобщение зависимости закона Дарси на случай одновременного движения жидкой и твердой составляющей грунта. В дальнейшем С. А. Роза было дано решение одномерной задачи разбухания глинистого слоя конечной и неограниченной толщины. М. В. Малышевым рассмотрена задача о консолидации слоя водонасыщенного грунта, растущего по толщине во времени.

Обобщение теории консолидации Терцаги-Герсенова на многомерный случай, проводилась в работах В. А. Флорина. Им были предприняты попытки учета дополнительных физических эффектов - изменения проницаемости грунта и наличия начального градиента давления, структурной прочности и ползучести скелета грунта. Все основные работы В. А. Флорина в области консолидации грунтов обобщены им в двух монографиях: «Теория уплотнения земляных масс» и «Основы механики грунтов». Необходимо также отметить, что в его модели впервые рассматривалось наличие газа при консолидации.

В случаях, когда отток избыточной жидкости из порового пространства через свободную поверхность невозможен или на всех границах нагрузка передается только через жидкость, имеет место незначительная объемная деформация переупаковки. В таких случаях задачи рассматривались В. Н. Николаевским, В. А. Флориным.

Ряд исследований было посвящено учету отдельных факторов и особых условий консолидации грунтов. В. А. Флориным, Н. Н. Масловым, П. Л.

Ивановым рассматривались одномерная задача консолидации, происходящая 5 в результате разрушения структуры несвязанных грунтов под влиянием динамических воздействий, в частности при разжижении водонасыщенных песков.

Большое число исследований в теории консолидации посвящено учету ползучести скелета грунта. Допущения о мгновенно деформируемом скелете грунта в некоторых случаях не соответствует действительности, что отмечалось рядом исследователей. Так, Н. Н. Маслов отмечал, что уплотнению водонасыщенных глинистых грунтов препятствует их вязкость. В работах Н. Я. Денисова, М. Н. Гольдштейна, В. А. Флорина и др. также указывалось на необходимость времени для перемещения структурных элементов грунта. В ряде случаев предлагался приближенный учет влияния ползучести скелета грунта путем разделения процесса консолидации на два этапа - «первичной» и «вторичной» консолидации. При этом «вторичная» консолидация характеризуется только вязким деформированием грунта, происходящим уже после окончания процесса фильтрации воды из пор грунта.

Ползучесть скелета грунта, происходящая одновременно с процессом консолидации, была учтена В. А. Флориным при рассмотрении задачи об одномерном компрессионном сжатии.

Наряду с теоретическими результатами в теории консолидации большое значение имеют экспериментальные исследования. Экспериментальному определению свойств ползучести скелета грунта посвящены многочисленные исследования. К ним относятся работы С. А. Роза, А. И, Котова, А, Г. Соколова и т.д.

Цытовичем и Зарецким получены некоторые результаты по исследованию консолидации оттаивающих грунтов, в частности рассмотрена задача консолидации слоя оттаивающего грунта переменной толщины.

Теория упругого режима фильтрации появилась и начала развиваться в связи с развитием нефтяной промышленности.

Джейкоб фактически предложил первую математическую модель, отражающую ряд черт упругого режима фильтрации. Развивая применительно к 6 насыщенным пластам горных пород представления теории К. Терцаги уплотнения мягких грунтов Джейкоб принял, что роль уплотняющей внешней нагрузки играет неизменное вертикальное горное давление, уравновешенное напряжением в скелете среды и поровым давлением. Поэтому он считал, что изменение порового давления приводит к пропорциональному изменению напряжения, что связано с изменением пористости и мощности пласта. При выводе своих уравнений Джейкоб пренебрегал деформациями в плоскости пласта и сжимаемостью материала зерен твердой фазы.

В СССР первые наиболее важные результаты в области теории упругого режима фильтрации были получены В. Н. Щелкачевым. Он в своих работах в предположении о линейных связях пористости пласта и плотности твердых частиц с поровым давлением из уравнения неразрывности для жидкости и закона Дарси получил уравнение, которое назвал уравнением пьезопроводно-сти.

Развитие математической теории упругого режима фильтрации стимулировалось исследованиями прикладного характера, которые были связаны с основными принципиальными вопросами и методами проектирования разработки крупнейших месторождений нефти.

Следующий шаг в анализе физических предпосылок теории упругого режима фильтрации был сделан Г. В. Исаковым, который предпринял первую попытку изучения деформаций скелета пласта.

В ряде работ предпринимались попытки формального учета инерционных свойств жидкости, фильтрующейся при упругом режиме, однако вносимые при этом поправки к основным решениям оказались незначительными.

В последние десятилетия в теорию фильтрации жидкостей и газов в деформируемых пористых средах активно внедряются методы механики сплошных гетерогенных сред. Начало этому направлению было положено в работах X. А. Рахматулина, предложившего замкнутую систему уравнений взаимопроникающего движения многофазной смеси сжимаемых фаз, которая включала уравнения сохранения массы и импульса для каждой фазы. Следу7 ет отметить также работы Р. И. Нигматулина, где насыщенная пористая среда рассматривается как гетерогенная смесь с эффектом прочности одной из фаз.

Одним из основных методов интенсификации разработки месторождений является гидравлический разрыв пласта. В настоящее время около трети запасов углеводородов можно извлечь только с использованием этой технологии. Фундаментальные результаты по данному направлению получили известные отечественные ученые Баренблатт Г. И., Гарипов Т. Т., Желтов Ю. П., Христианович С. А. и т.д.

Широкие исследования по теории фильтрации проводятся и за рубежом. Наиболее выдающиеся достижения были сделаны следующими учеными: Анри. Дарси, Поль Филунгер, Карл фон Терцаги, М.Био, Джейкоб, М. Мас-кет, С. Баркли, М. Леверетт, А. Ван Эвердинген и т.д.

Начало систематическому изучению особенностей фильтрации жидкости в пористой среде было положено трудами французского инженера Анри Дарси в середине XIX века. Он экспериментально установил линейную зависимость скорости фильтрации воды через песчаный фильтр от разности напоров воды на входе и выходе фильтра и сформулировал закон, получивший его имя. Теоретическое обоснование опытного закона Дарси было выполнено другим французским ученым Ж. Дюпюи, который получил формулу для определения объемного расхода (дебита) скважин. Австрийский ученый Ф. Форхгеймер впервые применил методы теории потенциала для решения ряда фильтрационных задач. Существенный вклад в развитие представлений о структуре порового пространства и влиянии свойств пористой среды на движение в ней флюидов внес Ч. С лихтер.

В начале XX веке научную дискуссию по описанию насыщенных пористых сред развернули два профессора из Вены. В 1913 г. Поль Филунгер исследовал явление повышения давления поровой жидкости. В последующих работал он исследовал явления капиллярности и трения поровой жидкости при движении относительно пористого скелета, а также открыл эффект эффективных напряжений. Основатель современной механики грунтов, Карл 8 фон Терцаги в 1923 г. начал свои исследования в области насыщенных деформируемых пористых тел в рамках вычисления коэффициента проницаемости глины. Также в своих работах Терцаги применил закон Дарси для описания фильтрации жидкости через упругую пористую среду. Им введено понятие эффективного напряжения, как среднего по малому объему напряжения в твердой фазе грунта при нулевом давлении в насыщающей его жидкости. Уравнения Терцаги были одномерными и учитывали только вертикальную компоненту вектора перемещения. Несмотря на такое упрощение, модель получила широкое применение в механике грунтов и используется до сих пор при вычислении проседания поверхности грунта.

В 1936 г. Филунгер сформулировал концепцию современной теории насыщенных жидкостью пористых тел, использовав концепцию объемных долей и теорию смесей, однако эта его работа была впоследствии проигнорирована и забыта. Несмотря на взаимную непримиримую критику работ по механике грунтов, оба ученых, Филунгер и Терцаги, считаются основоположниками первых теорий пористых сред.

Дальнейшее развитие теория фильтрационной консолидации получила в работах В.А-.Флорина и М.Био. В предложенных ими независимо друг от друга теоретических моделях были учтены силовые воздействия фильтрационного потока на грунтовый скелет, зависимость фильтрационных характеристик процесса от изменения пористости. Теория Био является расширением классической теории упругости на случай двухфазной среды с учетом ввода дополнительных параметров, учитывающих взаимодействие фаз. Био вывел соотношения линейной теории пороупругости между напряжениями и деформациями в двухфазной среде, развил теорию, пористых сред, насыщенных жидкостью, в случае трехмерных задач. Позже он рассмотрел более общий случай вязкоупругих анизотропных пористых тел. Био применил принцип соответствия, согласно которому, уравнения, описывающие механику пористых сред, будут формально такими же, как и для упругих или вязкоупругих систем, при условии, что упругие коэффициенты заменены соответст9 вующими операторами. Дальнейшие исследования Био были связаны с распространением упругих волн в пористо-упругой насыщенной жидкостью среде.

Трехмерная модель М. Био с некоторыми обобщениями, является, пожалуй, наиболее употребляемой в теории фильтрации с самого момента своего появления и по настоящее время. Такую популярность модели Био в своем классе задач можно объяснить удачным компромиссом между числом описываемых физических явлений и минимальным количеством используемых при этом предположений и упрощений. Платой за достаточную общность и универсальность в построении модели явилась связанность входящих в нее уравнений.

Большое значение для развития технологии нефтеотдачи имеют работы М. Маскета.

Основы теории двухфазной фильтрации, предложенные С. Баркли и М. Левереттом, получили широкое распространение и представляют собой основное содержание модели двухфазной фильтрации.

Работы зарубежных авторов последних лет, так же как и отечественных посвящены гидродинамическому моделированию процессов разработки нефтяных и газовых месторождений применительно к усложняющимся условиям их эксплуатации.

Большое распространение в последнее время получили конечно-разностные и конечно-элементные методы как в России так и за рубежом. В двух- и трехмерных задачах фильтрации для слоистых грунтов альтернативы последним методам решения нет. До 1990-х годов получить численное решение в рамках модели Био не удавалось. В последующие годы развитие в моделировании процесса фильтрации жидкости в грунте шло, по сути, в двух направлениях. Во-первых, в создании моделей с нелинейными определяющими соотношениями для твердой фазы грунта, в обобщении закона Дарси на случай нелинейной зависимости от скорости жидкости, учете температурных деформаций, увеличении числа фаз в модели, учете фазовых переходов и

10 массообмена между фазами и т.д. Здесь существенный вклад внесли работы В.Н. Николаевского, Р.И. Нигматулина, Г.И. Баренблатта, С.А. Христиано-вича. Методы определения констант и построения решения для настолько общих моделей пока встречают определенные трудности. Во-вторых, развивались математические, как правило, численные методы решения практических задач фильтрации по модели Био. В этом направлении известны работы Р. Бори, Д. Хелма, X. Чена, П. Хсая, Дж. Зу и другие.

Также необходимо отметить, что в последние годы для решения сложных фильтрационных задач создано несколько новых направлений, в частности, развитие исследований показало, что традиционные задачи гидродинамической теории фильтрации можно сформулировать как стохастические в средах со случайными неоднородностями. В связи с этим активно развивается специфическое направление в теории фильтрации, которое можно назвать стохастической теорией фильтрационных процессов. В некоторых случаях традиционных методов подземной гидромеханики становится недостаточно для адекватного описания всего периода жизни месторождения. В таких случаях применяют вероятностно-статистические методы.

Под влиянием новых актуальных задач, выдвигаемых практикой разработки месторождений в настоящее время интенсивно исследуются задачи взаимного вытеснения жидкостей и газов в пористых средах, задачи с подвижной границей и эффективные приближенные методы их решения.

Наиболее близкие работы к теме диссертации это работы C.B. Шешени-на и Ф. Б. Киселева, Paul A. Hsieh, К. Lipnikov, A. Naumovich в которых рассматривается связанная модель фильтрации Био.

В диссертационных работах К. Lipnikov 2002 г. и A. Naumovich 2007 г. рассмотрены численные методы, применительно к модели Био. Характерной чертой работы A. Naumovich является использование многосеточных методов применительно к трехмерной области. В данной диссертации многосеточные методы не используются, поскольку их эффективность теряется в случае большого разброса коэффициентов уравнения. Отличительной чертой

11 данной диссертации является рассмотрение слоистых грунтов с сильно различающимися упругими и фильтрационными свойствами.

Цели работы:

1. Исследование и создание надежной численной реализации связанной трехмерной модели фильтрации в упругой пористой среде.

2. Исследование различия между решениями по связанной и несвязанной моделям.

3. Решение практических задач с помощью разработанных компьютерных программ.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Разработан эффективный и надежный численный метод решения связанной трехмерной модели фильтрации в упругой пористой среде.

2. Теоретически и с помощью расчетов показано, что в случае откачки из скважин в однородной бесконечной упругой среде и в слоистой бесконечной среде с неперетекающими несущими слоями, связанная задача сводится к несвязанной.

3. Показано, что в задачах откачки жидкости из месторождения связанная и несвязанная модели дают близкие решения. ~

4. Показано, что в задачах с силовым внешним воздействием связанная и несвязанная модели дают различные решения.

5. Предложено обобщение связанной задачи фильтрации в виде геометрически нелинейной постановки.

Теоретическая и практическая значимость работы.

Результаты имеют теоретическое и прикладное значение и могут быть использованы для решения ряда практических задач, связанных с фильтрационными явлениями, например, возникающих в строительной практике.

Основное содержание работы.

Диссертация состоит из содержания, введения, четырех глав, заключения и списка литературы. В настоящей диссертационной работе рассматривается связанная модель фильтрации в упругой пористой среде, основанная на теории фильтрации Био с некоторыми обобщениями, главным из которых является обобщение на случай больших деформаций. Эффект связанности появляется из-за взаимного влияния деформации каркаса грунта и изменения давления жидкости в порах. В работе рассмотрены два класса задач: задачи фильтрации жидкости вследствие откачки из месторождения и задачи с внешним силовым воздействием. Задачи фильтрации жидкости из месторождения - это типичные задачи откачки/закачки жидкости из одного из слоев многослойного грунта. Задачи с силовым внешним воздействием - это типичные задачи расчета проседания фундаментов в водонасыщенном грунте.

Связанная модель позволяет определять одновременно фильтрационный поток жидкости иосадку деформируемой пористойсреды, в которой происходит фильтрация. В работе предложена, исследована и реализована надежная численная модель фильтрации в упругой пористой среде. Разработанная численная модель позволяет рассчитывать величины изменения порового давления, горизонтальные и вертикальные перемещения, в том числе проседания земной поверхности в рассматриваемых задачах, а также напряжения и деформации.

Заключение

В работе получены следующие основные результаты:

1) Разработана, исследована и реализована надежная численная связанная модель фильтрации в упругой пористой среде. Численные алгоритмы реализованы в виде пакетов программ на языке FORTRAN;

2) Математически и на основе численных тестов исследована связь между решениями по связанной и несвязанной моделям фильтрации в упругой пористой среде;

3) Решены две практические задачи: задача об откачке из скважины в 13-слойном грунте для кафедры инженерной и экологической геологии геологического факультета МГУ, и задача о притоке воды к подземным сооружениям в сотрудничестве с ОАО «Мосинжпро-ект».

1. Абдулвалабов А. И. О пределе применимости линейного закона фильтрации. «Азербайджанское Нефтяное Хозяйство» № 9, 1960 г. с. 24-32.

2. Абдулвалабов А. И. О законе движения жидкостей и газов в пористой среде. «Нефть и Газ» № 4, 1961 г. с. 83-89.

3. Аникеев А. В., Артамонова Н. Б., Калинин Э. В. Некоторые особенности деформирования и разрушения горных пород при техногенном изменении режима подземных вод. // Геоэкология, № 3, 2000. с. 249 - 256.

4. Антонов Д. А. Экспериментальное определение коэффициентов сжимаемости песчаников. «Труды Уфимского Н.- И. института», вып. 2, 1957 г., с. 117-127.

5. Баренблатт Г. И., Ентов В. М., Рыжик В. М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. М.: Недра, 1984. - 208 с.

6. Басниев К С., Конина И. К, Максимов В. М. Подземная гидромеханика: Учебник для вузов. М.: Недра, 1993 г., 416 с.

7. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. М.: Наукау 1987. 600 с.

8. Быченков Ю. В., Чижонков Е. В. Итерационные методы решения седло-вых задач. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010. - 349 с.

9. Васидзу К Вариационные методы в теории упругости и пластичности. -М.: Мир. 1987. 542 с.

10. Гиматудинов Ш.К, Ширковский А.И. Физика нефтяного и газового пласта / Учебник для вузов. Изд. 3-е перераб. М.: Недра. 1982. — 311 с.

11. Говорова Г. Л. Перераспределение пластового давления в процессе заводнения. «Нефтяное хозяйство» № 1, 1949 г., с. 26-31.

12. Дьяконов Е. Г. Минимизация вычислительной работы. Асимптотически оптимальные алгоритмы для эллиптических задач. М.: Наука, 1989. -272 с.

13. Егоров А. Г., Костерин А. В., Скворцов Э. В. Консолидация и акустические волны в насыщенных пористых средах. Казань: Изд-во Казанского Ун-та, 1990 г., 102 с.

14. Ентов В.М., Зазовский А.Ф. Гидродинамика процессов повышения нефтеотдачи. М.: Недра. 1989. 232 с.

15. Желтое Ю. П. Разработка нефтяных месторождений. Учебник для вузов/ Ю.П. Желтов 2-е изд. перераб. и доп. М.: ОАО «Издательство недра», 1998. - 365 с.

16. Зенкевич О. К. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир. - 1975. -541 с.

17. Зенкевич О. К., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. Пер. с англ. М.: Мир. - 1986. - 318 с.

18. Какушев Э. Р., Шешенин С. В. Связанная и несвязанная модели нестационарной фильтрации. // Вестник ЦКР Роснедра. 2012. № 2. с. 27-35.

19. Какушев Э. Р., Шешенин С. В., Закалюкина И. М. Итерационные методы решения связанной задачи фильтрации. // Вестник МГСУ. 2012. № 9. с. 129-136.

20. Киселев Ф. Б. Численное моделирование в задачах механики грунтов: диссертация . кандидата физико-математических наук: 01.02.2004 Москва, 2006 101 е.: 61" 06-1/405--------------" -----

21. Киселев Ф. Б. ,Шешенин С.В. Разностная схема для задачи нестационарной фильтрации в слоистых грунтах. // Изв. РАН. МТТ, 1996, №4, с. 129135.

22. Коллинз Р. Течения жидкостей через пористые материалы. М., «Мир», 1964 г., 353 с.

23. Крейг Ф.Ф. Разработка нефтяных месторождений при заводнении / Пер. с англ. М.: Недра. 1974. - 192 с.

24. Кулинич Ю. В., Нарожная 3. В., Рыков Г. В. Механические характеристики песчаных и глинистых грунтов с учетом их вязкопластических свойств при кратковременных динамических нагрузках. М.: ИПМ АН СССР, 1976, препринт №69, 96 с.

25. Максимов М. М, Рыбицкая Я. П. Математическое моделирование процессов разработки нефтяных месторождений. М.: «Недра». 1976 г. -264 с.

26. Маскет М. Течение однородных жидкостей в пористой среде. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. - 628 с.

27. Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высшая школа. 1977 г. - 431 с.

28. Нигматулин Р. И. Динамика многофазных сред. 4 1- Москва. Наука. Гл. ред. Физ. мат. лит., 1987 г., 464 с.

29. Нигматулин Р. И. Основы механики гетерогенных сред. М. Наука, 1978.-336 с.

30. Николаевский В. Н. Геомеханика и флюидодинамика. М.: Недра, 1996. — 447 с.

31. Николаевский В. Н. Механика пористых и трещиноватых сред. М.: Недра, 1984.-232 с.

32. Николаевский В. Н., Басниев К. С., Горбунов А. Т., Зотов Г. А. Механика насыщенных пористых сред. М.: Недра, 1970. - 339 с.

33. Новацкий В. Теория упругости. Перевод с польского Б. Е. Победри. М.: Мир, 1975.-871 с.

34. Олейник О. А., Иосифъян Г. А., Шамаев А. С. Математические задачи л „л ТТЛ Л ТТТТ /N«« Л ТТТГТ ТЧ f « Л К . Т I Л Л I 'Л Т 1 ЛЛЛтеории СИЛЬНО исидииридныл унрушл. срсд. — ivi. ivil > . — 1УУЧ i .-311 с.

35. Победря Б. Е. Лекции по тензорному анализу. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1974. . . ----

36. Победря Б. Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ, 1984.

37. Победря Б. Е. О вычислительной механике деформируемого твердого тела. В сб. «Математические методы механики деформируемого твердого тела». М.: Наука, 1986. с. 124-129

38. Победря Б. Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. -М.: Изд-во Моск. Ун-та. 1981 г.

39. Победря Б. Е., Георгиевский Д. В. Основы механики сплошной среды (курс лекций). Учебное пособие. М.: Физматлит, 2006. 272с.

40. Полубаринова Кочина П. Я. Развитие исследований по теории фильтрации в СССР (за 50 лет). М.: Наука. - 1969. - 548 с.

41. Самарский А. А. Введение в численные методы. М.: Наука, 1982. 269 с.

42. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука. - 1989 г. - 616 с.

43. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978.

44. Терцаги К. Теория механики грунтов. М.: Госстройиздат, 1961.

45. Тухватуллина А. В., Кантур О. В. Математические модели деформирования мягких грунтов. В. кн.: Совершенствование методов расчета и конструкций подземных сооружений. М.: 26 ЦНИИ МО РФ, 2000 г.

46. Холимое Э.М., Деви Б.И., ДзюбаВ.И., Пономарев С.А. Технология повышения нефтеотдачи пластов. М.:Недра. -1984. 271 с.

47. Хейгеман Л., Янг Д. Прикладные итерационные методы. М.: Мир. -1986. - 448 с.

48. Цытович Н. А. Механика грунтов. М.: Высшая школа. - 1983. - 288 с.

49. Шешенин С. В., Какушев Э. Р., Артамонова Н. Б. Моделирование нестационарной фильтрации, вызванной разработкой месторождений. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2011. № 5. с. 66-68.

50. Шешенин С. В., Киселев Ф. Б. Численное моделирование нестационарной фильтрации в-грунте. // Изв. РАН, МТТ, 3, 1996.

51. Шешенин С. В., Кузь И. С. О прикладных итерационных методах. Вычислительная механика деформируемого твердого тела. - М., вып. 1. — 1990.-с 63-74.

52. Щелкачев В. Н. Основы и приложения теории неустановившейся фильтрации: Монография. В 2 ч. -М.: Нефть и газ, 1995. -4.1. 586 е.; Ч. 2. -495 с.

53. Щелкачев В. Н. Разработка нефтеводоносных пластов при упругом режиме. М.: Гостопиздат. 1959. - 467 с.

54. Щелкачев В. Н. Упругий режим пластовых водонапорных систем. Москва, Гостохтепиздат, 1948 г., 144 с.

55. Bathe K. J. Finite Element Procedures. // Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ. 1996,- 1037 p.

56. Bathe K. J, Pantuso D. On the stability of mixed finite elements in large strain analysis of incompressible solids. // Finite Elements in Analysis and Design. -1997. -№28.-P. 83- 104.

57. Belytschko T., Liu W.K., Moran B. Nonlinear Finite Element Analysis for Continua and Structures. John Wiley & Sons, 2000.

58. Biot M. A. Bending settlement of a slab resting on a consolidating foundation. //Journal of Applied Physics. 1942. Vol. 13. No. l.-P. 35-40.

59. Biot M. A. Consolidation Settlement of a soil with an impervious top surface. //Journal of Applied Physics. 1941. Vol. 12. No. 7.-P. 578-581.

60. Biot M. A. Consolidation Settlement under a rectangular load distribution. // Journal of Applied Physics. 1941. Vol. 12. No. 5. - P. 426 - 430.

61. Biot M. A. General solutions of the equations of elasticity and consolidation for a porous material // Journal of Applied Mechanics, Trans. ASME. 1956. Vol. 23. No. l.-P. 91-96.

62. Biot M. A. General theory of three-dimensional consolidation. // Journal of Applied Physics. 1941. - Vol. 12. No. 2. - P. 155-164.

63. Biot M. A. The Elastic Coefficients of the Theory of Consolidation. // Journal of Applied Mechanics. 1957. Vol. 24. - P. 594 - 601.

64. Biot M. A. Theory of deformation of a porous viscoelastic anisotropic solid. /'/' Journal of Applied Physics. 1956. Vol. 27. No. 5. - P. 459 - 467.

65. Biot M. A. Theory of elasticity and consolidation for a porous anisotropic . solid. //JournaLof Applied Physics. 1955. Vol.-26. No. 2. - P, 182 —185.

66. Biot M. A. Theory of finite deformations of porous solids. // Indiana University Mathematics Journal. 1972. Vol. 21. No. 7. - P. 597 - 620.

67. Biot M. A. Theory of stability and consolidation of a porous medium under initial stress. // Journal of Mathematics and Mechanics. 1963. Vol. 12. No. 4. -P. 521 -542.

68. Boland J., Nicolaides R. Stability finite elements under divergence constraints, SIAM J. Numer. Anal., 20 (1983), pp 722-731.

69. Braess D. Finite Elements: theory, fast solvers and applications in solid mechanics. Cambridge. - 2001. - 352 p.

70. Braess H., Wriggers P. Arbitrary Lagrangian Eulerian finite element analysis for free surface flow // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 190. - 2000. -P. 95-109.

71. Brenner S. C., Scott L. R. The mathematical theory of finite element methods. // Springer, 2002. - 363 p.

72. Brezzi F., Fortin M. Mixed and Hybrid Finite Element Methods. // SpringerVerlag, New York, 1991.-223 p.

73. Burbey T. J. Validity of Jacob's assumptions for calculation subsidence due to pumping of confident aquifers. / Morel-Seytoux HJ (ed) Proc/ 17th Annual Am/ Geophys Union Hyd. Days Conf., 14-17 Apr. 1997, Colorado State Univ., Fort Collins, Colorado.

74. Darcy H. Les fontaines publiques de la ville de Dijon. Paris, 1856, 647 p.

75. Donea J., Huerta A. Finite Element Methods for Flow Problems. John Wiley & Sons, Chichester, New York, 2003.

76. Elman H. C., Silvester D. J., Wathen A. J. Finite elements and fast iterative solvers: with applications in incompressible fluid dynamics. Oxford: Oxford Uniersity Press, 2005. 400 p.

77. Fatt I. Compressibility of sandstones at low to moderate pressures. // Bulletin of the Association of Petroleum Geologist. 1958. Vol. 42. - No.8. - P. 1924-1957.

78. Gambolati G. Numerical models in land subsidence control // Computer Methods in Applied Mechanics end Engineering. 1975. - No. 5. - pp. 227 -237.

79. Gaspar F.J., Gracia J.L., Lisbona F.J., Vabishchevich P.N. A stabilized method" for a secondary consolidation Biot's model. Numerical Methods Partial Differential Equations 24: 60-78 (2008).

80. Hsieh P. A. Deformation-induced changes in hydraulic head during groundwater withdrawal: Ground Water, v, 34, no. 6, pp 1082-1089.

81. Huerta A., Casadei F. New ALE application in non-linear fast-transient solid dynamics // Engrg. Comput. 11. - 1994. - P. 317-345.

82. Jacob C. E. Flow in groundwater // Engineering hydraulics / Ed. By H. Rouse. N. Y.: Wiley, 1950. 321 386.

83. Kühl E., Hulshoff S., de Borst R. An arbitrary Lagrangian Eulerian finite-element approach for fluid-structure interaction phenomena // Int. J. Numer. Methods Engrg. 57. - 2003. - P. 117-142.

84. Lipnikov K. Numerical methods for the Biot model in poroelasticity. // A Dissertation presented to the Faculty of the Department of Mathematics. University of Houston. May 2002. p. 232.

85. Naumovich A. On finite volume discretization of the three-dimensional Biot poroelasticity system in multilayer domains. Computational methods in applied mathematics, Vol. 6 (2006), No. 3, pp. 306-325

86. Naumovich A., Gaspar F.J. On a multigrid solver for the three-dimensional Biot poroelasticity system in multilayered domains. Comput. Vis. Sei. 11, 7787 (2008).

87. Rodriguez-Ferran A., Perez-Foguet A., Huerta A. Arbitrary Lagrangian-Eulerian (ALE) formulation for hyperelastoplacitcity // Int. J. Numer. Methods Engrg. 53. - 2002. - P. 1831-1851.

88. Schanz M. On the equivalence of the linear Biot's theory and the linear theory of porous media. 16th ASCE engineering Mechanics Conference. July 16-18, 2003, University of Washington, Seattle.

89. Settari A., Walters D. A. Advances in Coupled Geomechanical and Reservoir Modeling with applications to reservoir compaction // SPE Journal, Sept. 2001, P. 324-334.

90. Srenberg R. Analysis of mixed finite elements methods for the Stokes problem: A unified approach, Math, Comp., 42 (1984), pp 9-23.

91. Uzawa H. Iterative methods for concave programming. In studies in Linear and Nonlinear Programming (K. J. Arrow, L. Hurwicz and H. Uzawa, eds). Stanford University Press. Stanford, CA~ 1958. pp. 154- 165.

92. Wall W.A. Fluid-Struktur-Interaktion mit stabilisierten Finiten Elementen, Ph.D. thesis, Bericht des Instituts fur Baustatik Nr. 31, Universität Stuttgart, 1999. E. Kühl et al. // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 193. - 2004. -P. 4207^1222.

93. Wolff R. G. Relationship between horizontal strain near a well and reverse water level fluctuation. // Water Resources Research. 1970. - Vol. 6. - No. 6 -P. 1721 - 1728.

94. Zhu J.-G., Yin J.-H. Deformation and Pore-Water Pressure Responses of Elastic Viscoplastic Soil. // Journal of Engineering Mechanics. September 2001. -P. 899-908.