Численное решение задач о плоском осесимметричном движении нелинейно-вязкой жидкости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

КнхвськгП унхверситзт 1чеН1 Тараса Шевченка К 058.I3.U9

На правах рукопису

ЗАРУЦЬКА Тетяна ВолодимирхЕна

удк 539.374

ЧИСЕШШП РОЗБ'ЯЗОК ЗАДАЧ ПРО'ШЮСК! ТА ОСЕШЕТРИЧН! РУГЛ НЕЛIШЙНО-В *ЯЗКО1 РГДНКИ

01.02.05 - механика р1дин, газу I плазм«

Автореферат дчсертацЯ на здобуття нанкового сгупзня кандидата ф}зико-математичних наук

Ки1в - 1993

Дисертац1ею е рукопис

Робота виконана в 1нстлгутг мехшпки А11 Украпш

Науковкй кер1вник — доктор фхзико-математичних наук,

професор Литвинов В.Г.

Оф1цШи опоиентн - доктор ф!зико-математичних наук,

професор Шмаков Ю. 1. - кандидат ф1зико-математичних наук Гончаренко В.М.

Нровгдна органгзацгя - Кшвський полттехнтчний хнститут

Захист В1дбудеться ¿6 1991 р. о 15 °° на за-

седали! спец!ал130Бан01 ради К 0bb.Ib.U9 в .КиГвському унхверс; тет1 тмЛ'араса Шевченка за адресою: 252017, Кигв, вул.Болод;:-мирська б'!, механ1ко-матсматичний факультет.

3 дисертацгею можна ознайомитись в б1бл!отец1 Кн1вськсго ун!верентету {м.Тараса Шевченка.

Автореферат роз!сланий 1993 р.

Вчений секретар спец1ал13овано1 ради кандидат ф!зико-математичнкх доцент

наук,

/3. 'ТСо ¿О-«.-,' В.С.Ковальч

злшъил характеристика роботи

Актуальн1сть теми. Здеб1лыиого матер!али, що оточують сучас-ну людину, являюгь собою приклади неньютон!вських середовищ. Р1з-нсман!тн! технолог!чн1 процеси в х1м!чн1й, нафтопереробн1й, фармацевтикой та харчовМ галузпх промисловостг пов'яэан! з течхею неньютон1БСЬкюс р!дин. Тому ц!лкоы природньо, що {нтерес до тео-ретичних роэробок в ц!й областх ыехан1ки р!дини посййно зростае.

Значний внесок в дослгдаення неньютон1вських середовищ, пояснения IX повед}нки та побудову р1зн0ман5:тних моделей зробили Дк.Астаргта, Ю.Буев1ч, Г. В. Виноградов, О.АЛльюшин, B.A.KapriH, B.P.JliTBiHOB, Д«.Марруч1, Е.П.Мосолов, Г.Дж.Олдройд, М.Рейнер, К. Трусдел, У,Л.У1лк!нсон, Т.Б.Фройштетер, Ю.1.Шмаков, З.П.Шульман, О.М.Яхно, Б. СоЬигииъ, y.L.ivicjMri, W- ЫМ, Я.Й.ШЫмг, ^Ь. White та 1нш1 вчен1.

3t%4a4i про pyx неныотон! вських р1днн, за деякими винятками, не мають розв'язк1в, як! можна було б впписати у явному внгляд! нав!ть в областях нескладно? форми. Тому дуже важливими е питания розробки та обгрунтування ефективних чисельних метод!в розв'яз-ку таких задач. Одним з найб{льш пошнрених метод!в щодо цехан!ки нестисливох' в'язко? /як ньюгон{вськох, так i неньютон!вськог/ pi-дини на сьогодн1шн!й день став метод ск!нченних елемент}в /МСЕУ. Однак необх{дн!сть задовольняти умов{ нестисливост! призводить до значних труднощ!в при використанн! МСЕ. Не дивно, що п!дходи, якими користувались ранше, ыають певн! недол!ки /наприклад, як-що вводиться- функц!я струменя, то для забезпечення збгжност! за МСЕ, потр!бно використовувати ск1нченн! елементи високих порядк!в/. Схке, проблема пошуку ефективних алгоритм1в, що дозволяють вивча-ти повед!нку неньютон!вських, зокрема нел!н!йно-в'язких, нестис-лиегос р1дчн в обмеженгос областях п!д д!ею заданого навантаження е дуже актуальною.

Мсто» робот» е вивчешш стац1оиарнох течГх нел1н{йно-в'язк01 нестисливох р!дини в плоских та осестлетричних областях дов!ль-Koi конф1гурац!i, включапчи:

1. Розробку методики чиселыюго досл}дження.

2. Створення комплексу програм, що реал{зують запропонова--iy методику.

3. Застосування цього комплексу програм до вивчення впливу

зм!н навантаження, геометр!I облает! та 1ндшх фактор!в на не-ныотон!вськ1 властивост! матер1алу.

Наукова новизна. В робот! вперше розвииуто ефективнпй п!д-Х1Д до чисельного моделювання стац!онарних течхй нел!н!йно-в'яз-koi нестисллвог р!дини в р!зноман!тних каналах на основ! мето-д!в с!длово1 точки та ск!нченних елемент!в. За допомогою эапропо-новано! методики одержан! дан! щодо залекност! основшк г!дроди-нам!чних характеристик потоку в!д зм!н навалтакення, геометр!i облает! та вплив цих та 1ншос фактор!в на прояв неньютон!вських властивостей матер!алу.

Достов!рн!сть рез.ультат!в забезпечуеться:

- використанням обгрунтовано1 математично! модел!;

- строгим доведениям зб!жност! наближених р1шень до точного;

- пор!вняннлм отриманта результат!в з в!домнми точшши або наближеними рвениями для деяких частинних випадк!в;

- як!сним зб!гом результат!в автора з наявннми експернмен-тальними даними.

Практична ц!нн!сть роботи полягае в створенн! пакету програм, ¡цо дозЕоляе моделювати широкий клас технолог!чних процес!в без використання дуже дорогих натуршк випробувань.

Апробац!я роботи. Результат дисертац!йно! роботи допов!да-лись та обговорювались на сем!нарах.в!дд!лу механгки композпц!Я-них середовшц 1нституту механ!ки АН Укра!ни /1969, 1993 p.p./, Х1У, ХУ, ХУШ конференц!ях молодих вчених 1нституту механ!кл Ail Украгни /Кийл!в, 1989, 1990, 1993 p.p./, на ссм1кар! проф. Б.М. К!форенка на кафедр! мехаы!ки суц!льних середовиц в Кигвськсму ун!верситет! !мен! Т.Г.Шевченка.

Публ!кац!т. Оснобн! результат роботи в!дображен! в J-4 .

Структура та обсяг роботи. Дпсертац!я складасться !з вступу, трьох глав, висновку i списку л!тератури, який ьастпть 123 наЯ-менування. Загальний обсяг дисертац!йно1 роботи - 92 стор!нкн, включаючи 30 граф1к!в.

3MICT ДИСЕРТАЦП

У вступ! дано огляд л!тератури, наведено аиал!з сучасногс стану проблем», що розглядаеться, обгрунтовано актуальн!сть теми роботи, визначено мету роботи. Короткб викладено зм!ст роботи по главах.

В nepmffl глав! дало постановку задач! про стац!онарни(1 рух нел!н!йно-в'язко1 нестисливо1 р!дини в тривимхрному випадку в наближенн! Стокса, тобто без врахування нел!н!йних доданк!в в !нерц!йних членах. В припущенн! про в!дсутн!сть об'емнчх сил ця задача зводшься до пошуку в облает! S1. . що мае л{пимцеву мечу .S , /St <= А 3 / функцхй гГ = / т?± , гУ^, VI / i р , як! задо-вольняють систем! р!внянь

з граничним!) умовами

3

/ 1У - вектор швидкост!, р - г!дростатичний тиск, /г^ , Пг. , п3 -складовг вектора зовн!шньо1 одинично1 норглал: до 3 = ¿л с/ ¿г. ,

- скалярна функц!я другого !нвар!анта тензора швидкос-тей деформацН, Fi - компонента векторно! функц!г Г ,Гг, Гз / поверхневнх сил, що д!ють на £»/.

До ргвнянь /I/ додаеться умова нестисливост! р!дини

Г ЗЛ- - П

э^Г - 0 /V

Дал! зроблено перех!д до узагальненого фэрмулювання крайо-ео1 задач1.

Нехай = (С^Ц))*,

О"/=О ], де - прост!р неск!нченно диференц1йовних в

функц!й, - замикання . Позначимо Н:± - замикання множк-ни г*. у (и/^Сл.))3 за нормою

г. 3 г

де С Л} - прост!р Соболева.

Узагальнениц розв'язком задач! /1/-/4/ назвемо функц!ю ХгвЙх,

ДЛЯ ЯК01

Припускаеться, що Р =/ Г*, Рг. , /\з / в Н± / - спряжений Ил /.

Доводиться, що якщо !снуе класичний розв'язок^ задач} /I/— /4/, то в!н також е 1 узагальненим 1, навпаки, гладкий узагаль-нений розв'язок е класичним.

Доводиться, що пошук узагальненого розв'язку еквгвалентний визначсшю стац!онарног точки эаданого в простор! И* функц!-

0,!ала Г* (а) 3

у (и. -г ^^ /7/

£10 ¿г

Мае м!сце теорема I. Нехай функц!я (¿) эадовольняе уловам:

I/ (¿) - неперервно диференц!йовна на СО, м) .

V £ £ се, де а.* , й-г , а.з> О - пост!йн!.

! р =/Га , Гг. , Рз / е Н** . Тод! !снуе единий узагальнений розв'язок задач! /1/-/4/, який е абсолютним м!н!мумом функц!онала /7/ у простор! .

Таким чином, задача зводиться до вар!ац!йно1: знайти М1н1-мум функц!онала /7/ в На.

Нехай V = { 1x1-0- £ , &\!>1=0 5 . Мсжна

довести, що якщо -V - розв'язок задач! /б/, то !снуе функц!я р & Ьг С л") така, що справедлив! сп!вв!дношення /1/—/4/, де пох!дн! приймаються в розум!нн! розпод!л!в ! для лагранк!ану

1Г : V * и -» К

У'иге V, ¿.гГл) /е/ виконуеться умова

Тобто, розглядувана задача зводиться до пошуку с!длово! точки лагранж!ану У простор! V хЬ^Гп").

Для проведения пошуку використано алгоритм модиф!ковано1 Функц!: Лиграша. Тод! розв'язок ^находиться за схемою:

/ю/

де з _ с- у.

$ I: у (т^+л (+ Ш— )■

+ ¿¿о

( ; '

1

( Ръ, ¿^иг) = £ р,гг ¿¿0-иГсЬг,

^ и>> =, $ ¿- Гс си,

л > О - параметри

обчислень.

Якщо виконуються умови теореми I, 1>0) ро - дов!льна пара 3 у х Ьг (.пЛ ! константи задовольняють умовам

О < §»г. ^ "^-Р ^ г Я

, т. т' , ТОд!

\/гп-7/О 3 единий розв'язок / , рт.+± / задач! /10/,

ПрИЧСму &П- в V , р в ¿¿г-Схг.).

Наближен! розв'язкн задач! /9/ будувалися методом ск!нчен-них елемент!в. Обгрунтовуеться спец!альний виб!р ск!нченноеле-ментних простор!в для швидкостей та тиску. Обговорюеться процес розв'язку отриманог системи нел!н!йних р!внянь.

В друг!й глав! запропонована методика використовуеться для досл!даення плоских рух!в нел!н!йно-в'язко"1 нестисливо1 р!дини на приклад! пол!проп!лену. Обговорюються результата обчислень, анал!зуоться одержан! особливост! теч!й, а саме:,

- у випадку щ!лини, яка звужуеться, зростання конусност! приз водить до р!зкого посилення процесу гальмування р!дини на еход! ! посёредин! до виши и щ!лини /пор!вн. мал. I ! 2/. Черезг^

позначено безроэм!рну поздоикнк швидк!сть, - максимальна

/своя для кожного перер!зу/ вхдстань в1д ос! ОХ . Крива I пока-зуе змгну 1Ух*~ вздоет входу А 8 , 2 - вздоех л/л/ , 3 - вздоек ¿•.Э . Для мал.1 ¿~2> =0,1«Ю-1 м. Для мал.2 СХ> =0,5- и;

- шщ!ння тиску вздовж л!н!к', що з'еднуе середини вх!дного та вих!дного перер!з!в щ!лини, що звужуеться, б!льш р{зке у випадку мсншох конусност! - крива I /мал.З/;

- у вигшдку щ!лшш складно! форми /мал.4/ при переход! в!д прямо! д{лянки до Д1лянки, що звужуеться, в!дбуваеться впкривлен-ня проф!лю поздоекньо! компонент» вектора швидкост! внасл!док застою р!дини /мал.5/. Крива I дае розпод!л Лс вздоек /?б , 2 -вздовж СИ , 3 - вздоек КЬ . Поперечна компонента вектора швидкост! на виход! щ!лини додатня 1 за абсолютним значениям переяи-щуе швидк!сть на вход!.

ГНдкреслюються також !нш! особливост!.

У трет!й глав! запропонований у перш!й главг п!дх!д викорнс-таний для вивчення теч!й розплаву пол!проп!лену в осесиметричних каналах дов!льно! конф!гурац!!. Виявлено деяк! особливост! таких теч!й:

- зб!льшення навантаженнл приз водить до посилення ненысто-н!вських властивостей пол!мера /див. мал.6/ на приклад! цил!ндра з коловим перер!зом. Крива I в!дпов!дае навантаненюо Рг =0,5х хЮб Па, крива 2 - рй *0,5.ЦГ11а. """ - ГЪ /гЛг^ , -максимальна ньютон!вська швидк!сть при даному навантаженн!, рад!ус цил!ндра;

- у випадку, коли канал мае поздоекн!й перер!з, зображений на мал.4, при переход! в!д облает! ПЁ>СИ до облает! СХ>Е 6- в окол! т. С спостер1гаеться викривлення проф!лю поздоехньо! скла-дово! вектора швидкост! внасл!док застою р!дини /мал.7/. тУг* = = /тУгт. I - максимальна для кожного перер!зу швид-к!сть ; Хи. - максимальна в!дстаяь в!д ос! О2 у напрям!

£>£ для кожного перерхзу. Крива I характеризуе зм!ну ^ездоек А & , 2 - вздое* СХ> , 3 - вздовж КЬ . Але якщо канал в!дразу починаеться з конусу /тобто в!дсутня область ЙВ,С2> /, тод! за-ст1йна зона не утворюеться;

- вплив неньютон!вськнх власгивосгей пол!ыера на залети!сть розходу в!д навантаження видно з мал.8 /л!н!я 2 побудована для розплаву пол!проп!лену, л!н!я I - для ыьютон!всько1 р!дини/.

Знайдено, яков мае бути оптимальна /в розумхннг одер*ання максимального розходу/ довжина кон!чно! д!лянки у внпадках пол!-

;ера та ньптон!всько1 р!дини.

Одеркан! також !нш! результяти.

0С1ЮБН1 РЕЗУЛЬТЛТИ 1 ВИС! ЮБКИ

В дисертпц1йн!й робот! розвинуто ефективний п!дх!д до роэ-з'язання стац!онпрних задач диням!ки нел!н! Шго-в*язкоГ нестис-шво1 р{дип11, що грунтусться на методах с!длпшг точки ' та ск!н-;е!!нпх елп.-ентхв.

Ссновн! результат« роботи полягають в тому, що:

1. Розроблено методику чисельного досл!даення задач стац!-знарного руху нел!н!йно-в'язко1 нестисливо1 р!дини у плоских та эсеспметрпчних каналах дов!льно1 конф!гурацп. Ця методика м!с-гнть в соб!:

- перех!д до узагальненого формулювання крайово! задач!-;

- вар!ац!йну постановку задач! в швндкостях та формулсвання в гонких шеидк!сть-тиск, цо вводиться до поиуку схдлово! точки в!дпое!дного функц!оналу;

- псиук с!длого1 точки методом модиф1коЕлно1 функц!? Ллграняа;

- дискретизац!я проблем» поиуку с!длово! точки методом ск!нчен-нг.х елсмент!в та ск!нченноелсментне формулюгання методу моди-ф!когаио1 функц!? Лагранка.

2. 1!а и!дстаг! п!д<;мих рпмультат!в гстаноплена зб!жп!сть исбудованих Наблиених ропв'я;зк1в до точного для розглядуганих задач.

3. 1!а баз! запропоногапо1 методики створено комплекс програм, цо дозроляс розрахутти гс! г!дродинам! чн! характеристики теч!!'.

4. Розроблсний комплекс програм використано для чисельного цосл!дг.еннл процесу пр-отискугання розплаву пол!проп!лену при ■£" = =5'сО°К кр!з ь плоек! капали р!зноман!тно! форми. Остановлено до-як! особливост! таких теч!й.

5. Доведено, що для того, цоб отричатн методом сн!нченнлх елемент!в класнчшШ розв'язок - параболу Пуазейля в задач! про теч1н ньютон!всько1 р!дпни в неск!нченн!й труб! з коловим перервем, у випадку реально! груби ск!нченно1 довжини необх!дно за-дати на вход! та енходх труби поперечну компоненту навантаяення.

6. Створений пакет програм використано для вивчення теч!й резплаву пол!проп!лену в осесиметричних каналах р!знокан!тно1 кенф!гурац!I. Еиявлен! деяк! особливост! таких теч!й.

7. Проведено пор!ЕИяння результат!в для. плоского та осеси-

1и

мстришюго канал!в, що мають однакову конф!гурац!ю { однаков! роэм!ри.

8. Знайден! оптимальн! /в розум1нн1 одержання максимального ро.чходу/ допжини д!липок, що звужуютьсн, дли осиспмотричного каналу складно! форни у винадках полЬфо^лену та ньютон!вськог р1-дани. Выявлено, що для ныотон!всько1 р!дини неоппшальний виб!р доекини приз водить до втраг рооходу б!ля 5/о, а для пол!проп!лену б!ля 11%.

Основн! положения ! результати дисертац!йног робот» м!стять-ся в публ!кац1ях:

1. Заруцкая Т.В. Плоское движение нелинейно-вязкой несжимаемой жидкости // Тр. Х1У науч. конф. мол. ученых Ин-та мех. АН УСС1 Киев, -23-26 мая 1969. 4.1 / Ин-т мех. АН УССР; - Киев, 1989. ■ С.50-54. - Деп. в В;1ШТИ 02.08.89, №5164-В89.

2. Заруцкая Т.В. Метод конечных элементов в задаче о стационарное движение нелинейно-вязкой несжимаемой жидкости // Тезисы П Регион. научн.-техн. конф. по математ. моделированию в процессах производства и переработки полимерных материалов, Пермь, 6-7 февраля 1990 г. - С.4.

3. Кочнева Т.В. Осесимметричное течение нелинейно-Бязкой несжимаемой жидкости // Тр. ХУ науч. конф. мол. ученых ¡[н-та мех. АН УССР. Киев, 29 ыал-1 июня 1990 г. Ч.Ш / АН УССР. Нн-т мех. -Киев, 1990. - С.4^-465. - Деп. в ВИНИТИ 10.7.90, Кч]^02-Ви0.

4. Заруцкая Т.В. Исследование поведения неньютоновской несжимаемой жидкости в осесимметрнчных каналах сложной формы // Тр. ХУШ науч. конф. мол. ученых Ин-та мех. АН Украины. Киев, 1821 мая 1993. Ч.П / Ин-т мех. АН Украины. - Киев, 1993. - С. 59-63. - Деп. в 1'НТБ Украины 16.08.93, )Л765-Ук93.

т.

ylXrrt

Нал.. Z

P-dO6, Н/нл

0.S

Hi-

в

0,03 X, м

Hau.. 3

* //////// С /

R Г</ Е ////////// К

3>

И ал. Ч

y/íkt.

H сил. 5

Г

. л

M сы.. б

±ч

\ X \ N \ \ N N 4 \з ч \ ч \

- 1

0,5 iX¿ *

M сил. Ч-

4F

5

-ч -Ä о -ùjSL

Иол. &