Численное решение задач оптимального управления тепловыми процессами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

р | о ОД КИЕВСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

.. , ИМЕНИ ТАРАСА ШЕВЧЕНКО

2 9 ДПР Ш5

На правах рукописи

ГАРАВУЛОВ САПАРБАИ АГЫЛОВИЧ

УДК 519.6:517.977.56

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ТЕПЛОВЫМИ ПРОЦЕССАМИ

01.01.07 - вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Киев-1996

Диссертацией является рукопись

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики факультета кибернетики Киевского университета имени Тараса Шевченко.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент ФЕДОРЧЕНХО И. С.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор ГАЛИЦИН А. С., кандидат физико-математических наук, доцент ДОВГШ Б. П. Ведущая организация: Институт кибернетики

имени В. М. Глушкова НАН Украины

Запита состоится 16 мая 1996г. в 14.00 час. на заседании специализированного совета Д 01.01.23 в Киевском университете имени Тараса Шевченко по адресу:

252127, г. Киев-127, просп. Академика Глушкова, 6, факультет кибернетики, ауд. 40.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Киевского университета имени Тараса Шевченко Сул. Владимирская,58).

Автореферат разослан 12 апреля 1996 года.

Ученый секретарь специализированного ученого совета, кандидат физико-математических наук

В. П. Шевченко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Тепловое состояние многих элементов конструкций и деталей .8 технологических процессах обработки металлов, охлаждения высокофорсированных двигателей, отвода мощных тепловых потоков » ядерных реакторах, МГД и ЭГД генераторах, линиях электропередач и др. определяет их нагрузочные возможности, качество функционирования, надежность эксплуатации. Качественное проектирование и эффективная эксплуатация таких объектов невозможны без применения средств автоматического управления, при разработке которых применяется теория оптимального управления процессами теплопроводности.

Сложность математической постановки задач оптимизации процессов теплопроводности требует разработки приближенных методов их решения. Важной проблемой является аппроксимация этих задач подходящими оптимизационными задачами в конечномерных пространствах, исследование которых дало бы пути их численного решения. Хотя в этом направлении ведутся интенсивные исследования, указанная проблема остается и ныне актуальной, особенно в отношении построения удобных и надежных в применении алгоритмов численного нахождения аппроксимаций оптимального управления источниками тепла и тепловым потоком при ограничениях на управление.

Целью настоящей работы является исследование аппроксимаций в классе кусочно-постоянных функций и разработка алгоритмов численного решения задач оптимального управления источниками тепла и тепловым потоком & стационарных и нестационарных . процессах теплопроводности в одно- двух- или трехмерных твердых телах о переменными теплофизическими характеристиками при квадратичной функции стоимости как без ограничений так и с ограничением в форме неравенств на управление.

Методы исследования. Основу математического исследования составили методы математической физики, вычислительной математики, функционального анализа и математического программирования. ,

Научная новизна. Построены аппроксимации в классе кусочно-постоянных функций задач оптимального управления источниками тепла и тепловым потоком в стационарных и нестационарных процессах теплопроводности в стержне, тонкой пластине и твердом теле при граничных условиях Дирихле или Неймана, квадратичной функцией стоимости без ограничений и с ограничениями в виде неравенств на управление.

Установлено существование и единственное решение аппроксимирующих задач и их сходимость к решение исходных задач по функции стоимости, управлении и температурному состоянию в соответствухшх фукциональных пространствах при стремлении шагов сетки к нулю.

Получены соотношения, характеризующие решение аппроксимирующих задач в виде систем линейных или нелинейных (в зависимости от множества допустимых управлений) алгебраических уравнений относительно значений температуры, управления и сопряженных переменных в узлах сетки и позволяющие строить алгоритмы численного решения задач оптимизации тепловых процессов.

Практическая ценность. Результаты диссертации нашли применение при разработке бюджетной теш N 505 "Оптимальное управление процессами теплопроводности", выполняемой в Киевском университете имени Тараса Шевченко.

Результаты работы могут найти применение при проектировании и эксплуатации средств автоматического регулирования технологическими процессами в металлургической, машиностроительной, теплоэнергетической, химической и др. отраслях промышленности.

Апробация работа. Результаты работы неоднократно докладывались на семинарах кафедры вычислительной математики факультета кибернетики Киевского университета

имени Тараса Шевченко, а также иа следующих конференциях:

1. "Памяти академика М. П. Кравчука" Ск 100-летию со дня рождения). Научно-техническая конференция, г. Киев, 1992г.

2. "Проблемы нелинейного анализа". Научная конференция, г. Махачкала, 1992г.

-з-

3. "Применение вычислительной техники и математических методов в научных исследованиях". Научно-техническая конференция, г.Львов, 1992г.

4. "Моделирование и исследование устойчивости систем". Украинская конференция, г.Ккев, 1993 г.

5."Моделирование к исследование устойчивости систем". Украинская конференция, г.Киев, 1995 г.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 6 работ [1-63 .

Структура работы. Диссертационная работа состоит иэ введения, двух глав, разбитых на 10 параграфов, заключения и списка цитированной литературы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, кратко изложено состояние проблемы численного решения задач оптимального управления процессами теплопроводности, сформулированы цель и задача исследования, изложено содержание диссертации.

Первая глава посвяцена исследовании аппроксимаций задач оптимального управления стационарными процессами теплопроводности.

В -параграфе 1.1 рассмотрена задача нахождения

Ду) С13

где

уеиа

XV) = /ССТСх)-ТаСх))* + и \*СхЭ)с1х, (2)

£1

а Т^СШ - обойденное решение краевой задачи

П ' д

АТ : = - 7 - асх) - ) + (П = Г + v в 0. СЗ)

Т = О на Г . Ш

Q - ограниченная, область s К" с границей Г, и € <1,2,3),

¡3 - известные коэффициенты, f - заданная функция, v € Ug -управления, Ug- выпуклое замкнутое подмножество в La(fl). Исследована последовательность аппроксимирующих задач

^inf J. (vh), С5)

Vй* h

где = Н,п Uô , ^ - пространство кусочно-постоянных на функций, ^ = U _ U(kh), dh= f Т% dx ,

"«chi n "h

«<)(h):={x=Cxi... ,xm)€ D?n:k1h1Sx1<Ck1+ Dh^h,) O.^e Z,i=l,m>, rh - граница Ô,; 0,= ^NTh.

"h

Th определяется разностной схемой

Vh ==-5 **b\èh*\ c7>

tel 1

V° Ha rh-

fh' T3h " усреднения по ячейкам u(kh) фунхций

К, (3, f, Tg, vh - кусочно-постоянное восполнение сеточной функции Yh.~

Для произвольно выбранного v € Ug получена оценка

решения ThCv) системы С7) в сеточной норме, соотьетствувшей

энергетической, с помощь» которой установлена теорема 1.1 о существовании и единственности решения ThCv) системы С7) в

для произвольно взятых V б ия и Ь = СН,, Ь , ... ,Ь ) его

и 12 Щ

устойчивости в сеточной норме, соответствующей энергетической,

сходимости последовательности П^Су^} в 1.^(0) к обобщенному решению ТС у) задачи (3),С4) и слабой сходимости в 1.аСП)

последовательности СГЬх (V)) к "¿^ , 1=1, и.

Для последовательности задач (5) доказана ТЕОРЕМА 1.2. Для любого Ь существует единственное решение v® € и^ задачи (3). При Ь О

^ -» Ли), (8)

V® и в ЦСШ, С9)

ТС и) в ЬаСШ, слабо в 1,аСП),1=17т СЮ)

где и - решение задачи (1), ТСи) - решение задачи СЗ), С4) при v = и, Т£ - решение системы С7) при уь= у®. Л® =

В работе рассмотрены следующие случаи задания множества Ш' иа = 1./Х);

СИ) 11а = С v € ЬаСХ): v 2: 0 почти всюду в X >;

(111) Уд - < V € 1.аСХ): ? < у < г? почти всюду в X ;

т) е Ь^СХ) заданные в X функции >,

где X - некоторое множество из К" или К"*' . Доказана

ТЕОРЕМА 1.3. Решения V® аппроксимирующих задач (3) соответственно случаям Ш-СШ) задания множества иа при X = П характеризуются соотношениями

Ci)

Ciiî Cil

где

Соотношения СИ), С12) представляют собой систему Зп линейных, а СИ), (13) и СИ), (14) - нелинейных алгебраических уравнений относительно Зп неизвестных y®, Т°, Ph в вершинах сбтки i^.

В параграфе 1.2 исследуется задача (1), где функция стоимости задается равенством C2), а Т е W4fl) - обобаенное решение задачи (3) при граничном условии

- X § = 0 на Г. С15)

где п - внутренняя нормаль к Г.

Считая коэффициенты и известные функции продолженными о

•V -

О на некоторую область Q з Q с-сохранением ранее указанных

свойств, a y = 0 вне Cl построена последовательность аппроксимирующих задач С 5), где

VV ■ Vî <4-»Ль ♦ "Î > * < • С16) К :

Th удовлетворяет системе разностных уравнений

nh, т«=о -я. V Ч ■ * V рь - 0 на rh=

в V

(И) и у°= max ( qh,0 ) в

СИ)

С12) С13)

1) сш и

V - 4 ph- ФС Vv'v

fV W

v «h*-v v

V V \ •

C14)

Vh=FA+Vh на с17)

разностные операторы Ah, Fh и Gh порождаются аппроксимацией интегрального тождества, определяющего обобщенное решение краевой задачи СЗ),С15), в классе кусочно-постоянных функций,

- одьединение ячеек u(lch)> покрывающих П и имевших с О непустое пересечение, - граница flj, 0^= flj \ Th .

Для произвольно заданного v е установлена оценка .решения ThCv) задачи С173 в сеточной норме, соответствующей энергетической, с использованием которой доказана теорема 1.4, являющаяся аналогом теоремы 1.1 для рассматриваемого случая.

Для последовательности решений аппроксимирующих задач установлена

ТЕОРЕМА 1.5, Для произвольного h существует

•V

единственное решение v° задачи (5). При h —» 0 имеют место предельные соотношения С8)-С10), причем

Т° —»ТС и) в L (Г),

Л л

где и - решение задачи С1), ТСи) - соответствующее ему решение задачи СЗ),С15), Т® - решение системы С17) при vh= v°

Решения аппроксимирующих задач и зависимости от множества допустимых управлений при X = П характеризуются соотношениями

■<» " Vh= Fhfh' Wb- К = > » fr . С18)

и С12) в ; СИ) С18) и С13) в ;

(111) (18) и (14) в ;

где qh= - L G;Ph .

(18), (12) представляют собой систему (2г + п) линейных, а (18),(13) и (18).(14) - нелинейных алгебраических уравнений, относительно 2г + п неизвестных - значений сеточных функций

Т®, Ph в узлах сетки , и v° в где г - число узлов

сетки fljj .

В параграфе 1.3 рассмотрена задача (1), где

JCv) = J (T-Ta)"dx + v J Vadr. (19)

П Г

T - решение краевой задачи

AT = f в П, - X Ц = g + v на Г, (20)

g - заданная мощность теплового потока, g е L (Г); y -управляемая мощность теплового потока, v е Ug с La(D; Uд -выпуклое замкнутое подмножество в Le(D, остальные обозначения те же, что и ранее.

Получена последовательность аппроксимирующих задач (5),

где

VV = \ - 2ТЬТ^) ♦ К^. (21) a Th - решение системы уравнений

*Л- ГЛ+ v W в i- С22)

разностные операторы А^ Fh , Gh порождаются аппроксимацией

в классе кусочно-постоянных на функций интегрального тождества, определяющего обобщенное решение краевой задачи (20),

/ V с1 Г, *<къгГ<1Г, множество вершин

Г Г

<к1)> ОсМ

ячеек м(кЫ, для которых Г(кЫ: = Г п Ы(кы ж с .

Для произвольно заданного V 5 У^ для решения ТьСу) системы (22) получена оценка

к ("л* ..Д

С 23)

К

и = \ V I

" 'Л** =С ^ I Я • КИ п ■ с 2 V- )'"

и аналогично опрделятся | д. Ц для усреднения д по участ-

а.Пь

кам Г(кН)> символ £ означает суммирование по всем вершинам

, в которых определено разностное соотношение ТЬх для

сеточной функции Ть , заданной лишь на А", С - некоторая положительная постоянная, не зависящая от К.

На основе оценки С23) доказана теорема 1.6, являвшаяся аналогом теоремы 1.4, где ТьСу) - решение системы С22).

Для решения аппроксимирующих задач установлена теорема 1.7 - аналог теоремы 1.5 для данного случая. Доказана ■

ТЕОРЕМА 1.8. Решения v° аппроксимирующих задач (5) соответственно случаям (1)-(Ш) задания множества U^ при Х=Г характеризуются соотношениями

Ш AhTh-Ghvh=rhfh+Gh9h. A>h-T« =-Tah в fi", (24)

и (12) на r(]th>; Cil) (24) и C13) на Г(кЬ),

СШ) (24) и (14) на Г(кЬ),

ГД® Ч»= ' ~Г GhPh На Г«1сь,-<kh>

Соотношения (24),(12) представляют собой линейную, а (24),

(13) и (24), (14) - нелинейные системы алгебраических

уравнений относительно 2г + s неизвестных Ph, Т° на С1 *

и V® на rfth), s - число участков Г(]сЬ).'

В параграфе 1.4 приведены примеры задач оптимального управления стационарными процессами теплопроводности в стержне, тонкой прямоугольной пластине и твердом теле в форме параллелепипеда с постоянными теплофизическими характеристиками.

В случае отсутствия ограничений на управление выписаны в явном виде решения аппроксимирующих задач при управлении источниками1тепла. Приведены результаты численных расчетов.

В параграфе 1.5 предложен подход к численному определению характеристик нелинейного источника тепла в задаче нахождения

Inf | Тя -Т |" wev 8 .ja

где Td € La(fl) - заданная функция, Т - решение краевой задачи

-И-

(3)-(4) при V = хСТ) € V, V - некоторый "подхолявий" класс функций.

Приведены результаты вычислительного эксперимента и обсуждается возможность использования полученных результатов к исследованию нелинейных уравнений.

Во второй главе рассмотрены задачи оптимального управления нестационарными процессами теплопроводности. В параграфе 2.1 рассмотрена задача (1),

где

Л у) = /ССТСхДЭ-Та<х.и)* + V у"Сх.О)ах(Л, (25)

О

о

Т с ^а'°(0) - обобщенное решение начальна-краевой задачи

ср| + А1 = Г+ у вА, (26)

Т( х,..... хя, 0 ) = р в П, (27)

Т( X......... Ь ) = 0 на 5, (28)

I И

0 = 0x10,81; Б = Г х 10,0[; I « 10,81; с, р, Г, р - заданные функции; V б Цд - управление; и^ - выпуклое замкнутое подмножество в Ьв(0)

Исследована последовательность аппроксимирующих задач

„ 1пГ !,_(?„_) (29)

где иа п Н^, Ньт пространство кусочно-постоянных на

6„т функций, О ьт = С^х ]0, п0г],

ЛАт}:=тЛь I I ССф'-2Т1 4 + (30)

- решение системы разностных уравнений

TJh =0, Och) e Th , j = 07no; . (32)

T£= ph, (kh) € C^; (33)

dhT= J Tgdxdt, T^ - усреднения функций f и Tg по

ячейкам q,k<J):s «<kh>x ]Jt,(J+1)t], ph= (cpp),/ (cp)h,

Ajj- оператор из (7) § 1.1.

Для произвольно заданного v € Ua для решения T^Cv) системы (31)-С33) получена оценка в сеточной норме, соответствующей энергетической, на основе которой доказана теорема 2.1 о существовании и единственности решения Т^ разностной схемы (31)-(33) для любых v е U^ т, h, его устойчивости в сеточной норме, соответствующей энергетической, слабой

сходимости последовательностей { ThT } * { ThT х } интерполяций сеточных функций и их разностных отношений соответственно к обобщенному решению Т и — , 1=ГГш задачи

(26) -(28).v

Установлена

ТЕОРЕМА 2.2. Для любых h, т. существует единственное решение vh* € UajT задачи (29). При h 0, т -» О

— JCu); С34)

v * —♦ и в L (Q); С 33)

пт а

Т*тT(u), t;TiX ,1=Г71 слабо в LaCQ), С36)

<V -V

где Т*т=,Thr( v*T) - кусочно-постоянные интерполяции , решения системы (31)-(33) при vhT = v*T, J*T = JhTCv*T), ;T(u) -

решение задачи (2б)-(28) при v=u. Дохаэана

ТЕОРЕМА 2.3. Решения vh* аппроксимирующих задач (29) соответственно случаям (i)-(ili) задания множества при X=Q характеризуются соотношениями

(i) (T*J - Т*"»-') ♦ AhT',J - Ghv"'«> = b¡»,

Ä cp¿--pJ)+a;p¿ -T^-T^. Ckh) €

» *t (37)

phe осы«<^

T*'J= 0, i = olñ0, P¿ = 0, J = l,n0+ 1, (кМеГ„; (38)

vh'J= ^h- 6 Л»,- C39)

Cli) (37), (38) и

v'-J = maxCqJ , 0 ) (kh) € J=lJV (40)

(ili) (37), (38) и

v*'J = , tj¿, p)q¿ (kh) € j=l7ïï0. C41)

< - 4P¿- • b¿-f¿. (42)

(37),- (39) являются системой 3s линейных, а (37), (38), (40) и (37), (38), (413 - нелинейных алгебраических уравнений относительно 3s неизвестных - значений сеточных функций v*T, Т*т я PhT в узлах сетки

В параграфе 2.2 исследуется задача (1), где функция стоимости задается равенством (25), а Т е V£,0(Q) -обобщенное решение начально - краевой задачи (26)-С27) при граничном условии Неймана

-X = 0 на S, С 42}

Считая, что функции *>, с,,р, X продолжены на некоторую

*v —

область Í1 э fl, функции f и Т= продолжены на область

-V "V °

Q = Q х J0.©Э , с сохранением ранее указанных свойств, a v = О вне Q, построена последовательность аппроксимирующих задач С29), где

♦ d'T . С43)

Т^ - решение системы разностных уравнений

Чл + V¿ = Vi + ■ Ckh> € ñ • . . C44)

T»= ph. Ckh) e С45)

операторы Ah , Fh и Gh введенны в § 1.2.

Для произвольно заданного v € U^ установлена оценка решения ThTCv) задачи (44)-С 45) в сеточной норме, соответствующей энергетической, с использованием которой доказана теорема 2.4, являющаяся аналогом теоремы 2.1 для данного случая.

Для решения задач (29), установлены аналоги теорем 2.2 и 2.3, а именно

Т Е О F Е М А 2.5. При любых h, т существует единственное решение vh* е задачи (29). При h —» 0, т 0 имеют место предельные соотношения (34)436),

где и - решение задачи (1), Т(и) - соответствующее ему решение задачи (26), (27), (42); T¡JT - решения системы (44)-(45)

при vht = vht ■

и

ТЕОРЕМА 2.6. Аппроксимации v*T оптимального управления и соответственно случаям Ci) - (iii) задания

множества U3hT при X = Q характеризуются соотношениями (1) С373 при Ckh) € ñj и (39) при Ckh) € ;

СИ) С37) при Ckh) « и С40) при Ckh) € ;

(Iii) С37) при Ckh) б ñj и (41) при Ckh) € ;

где qj, - L- G¿P¿ , Fhf¿ . V Fh' V операторы из § 2.1.

Таким образом, нахождение аппроксимаций vh* оптимального управления и требует решения системы (2г+п)пв линейных в случае Ci) или нелинейных, в остальных случаях, алгебраических уравнений относительно (2г+п)по неизвестных -

значений сеточных функций Т*т , PhT в рлах сетки 0¡JT и

VhT В Кг ■

В параграфе 2.3 рассмотрена задача Cl),

где

JCv) = JCT-Tfl)4 dxdt ♦ v J v" dS (46)

Q S

a T € Va,0CQ) - решение начально-краевой задачи

cp + AT = f в Q , С 47)

ТС x, 0 ) = ? в il . С48)

" Х Ж = 9 + v на S • U9}

где g - заданная мощность теплового потока, g € LaCS); v -

управляемая мощность теплового потока, v € U3; - выпуклое

замкнутое подмножество в LeCS); остальные обозначения те же, что и ранее.

Получена последовательность аппроксимирующих задач С29) ,

где

по П0

Т^ - решение системы уравнений

= СкМ € , (52)

Аь, Сн - разностные операторы, введенные в § 1.3.

Считая коэффициенты и известные функции продолженными, как и в § 2.2,

при произвольно заданном V е для решения Тьт(у) системы С31)-С52) получена оценка

«оК <

"гК?* + С. «ГЬт1* - К

кг

(53)

ЬТ

* С4 в? И Л*С„|Г|'; + сГЦ0||а + | V Ва

где С4 , 1=1,6 некоторые положительные постоянные, независящие от шагов сетки,

к 1с

и аналогично вводится |у. _В . .

ад

На основе оценки (53) доказана

ТЕОРЕМА 2.7. Для произвольно заданного v € L^CS) разностная схема C5D-C52) при любых h. т однозначно определяет сеточную функцию ThT(v> на С*т , устсячиэа в сеточной норме, соответствующей энер.этической корме, и при h О, т —» 0 последовательность (IhT(vhT)) слабо сходится в LaCQD и в LaCS) к обобщенному решение 7(v) е задачи (47) - (49), а последовательности xCv)>

öTCv) — '

сходятся слабо в La(Q) к , 1=1,и .

Для последовательности решений аппроксимирующих задач доказаны

ТЕОРЕМА 2.8. Задача С29), где JhT(vhT) определяется равенством .(50), a ThT(vhr) удовлетворяет системе (51)-(52), имеет единственное решение v*T € U3hT

V ht, i=m, у Т.

При h 0, т -»0 имеют место предельные соотношения (34),(35) и v*T —» и в Lt(S), где Г*т - решение системы (51)-(52), при vhT = vjJT, ц - решение задачи (1), в которой J(v) определяется равенством (46), а Т(и) - решение задачи (47) -(¿9) при V = и,

ТЕОРЕМА 2.9. Аппроксимации v£T оптимального управления u соо тветственно случаям (1)- (Ш) задания множества Ug при X = S находятся из соотношений

Ci) С37) при (kh) с и С39) при СкК) € Г^; СШ (37) при Ckh) 6 flj; и (40) при (kh) €

(Ш) С37) при <кМ € и С41) при СкЮ €

гдв ^ . - ^ К ' К * ТьЧ + ■

< кЬ >

Аппроксимации ук* оптимального управления определяется через решения системы С2г + 5)по линейных ь случае С1) или нелинейных, в других случаях, алгебраических уравнений относительно (2г+з)по неизвестных - значений сеточных функций

, , СкЮ € и СкМ € j=lГiГ .

В параграфе 2.4 рассмотрены примеры задач оптимального управления нестационарными процессами теплопроводности в стер-хне, тонкой пластинке и твердом теле в форме параллелепипеда с постоянными теплофизическими характеристиками.

Приводятся результаты численных расчетов. Обсуждаются возможности построения диссипативных структур режимов с обострением образующихся в диссипативной активной нелинейной среде.

В параграфе 2.5 исследуется возможность численного определения характеристик нелинейного источника тепла в задаче отыскания •

1пГ Ц Тя -Т {

где е 1.г(0) - заданная функция, Т - решение начально -краевой задс.-ш С 26) - С 28) при v = хСТ) € V, V - некоторый "подходящий" класс функций.

Приводятся результаты вычислительного эксперимента и обсуждаются возможности использования подхода к исследованию режимов с обострением характерных для диссипативной активной нелинейной среды.

Основные результаты работы

1. Предложен подход приближенного решения задач оптимального управления источниками тепла и тепловым потоком в стационарных и нестационарых процессах теплопроводности в одно-.

двух- и трехмерном твердом теле с переменными теплофиэичесхими характеристиками при квадратичной фунхцкк стоимости без ограничений и с ограничениями в форме неравенств на управление.

2. Построены аппроксимации в классе кусочно-постоянных функция рассматриваемых задач.

3. Установлены существование и единственность решений аппроксимирующих задач и их сходимость к решению исходных задач по функции стоимости, управлении и температурному состоянию в соответствующих функциональных пространствах при стремлении шагов сетки х нулю.

4. Получены соотношения, характеризующие решение аппроксимирующих задач в виде систем линейных или нелинейных Св зависимости от множества допустимых управлений) алгебраических уравнений относительно значений температуры, управления и сопряженных переменных в узлах сетки, на основе которых разработаны алгоритмы численного решения задач оптимального управления тепловыми процессами.

Основное содержание диссертации изложено в следующих работах „ 1. Федорченко И.С., Гаравулов С.А. Аппроксимация задач оптимального управления стационарными тепловыми процессами. // Моделирование и исследование устойчивости систем / ЧастьП /. Тез. докл. Укр. хонф. - Киев, 1993. с. 84.

2. Федорченко И. С., Гаравулов С.А. Разностная аппроксимация оптимального управления мощностью теплового потока в стационарном процессе теплопроводности в пластинке. - Вестн. Киев, ун-та. Сер. физ.-мат. лит. 1993, N 2, с. 144-153.

3. Федорченко И.С., Гаравулов С.А. Разностная аппроксимация оптимального управления мощностью источников тепла в нестационарном процессе теплопроводности в пластинке. / Киев. ,ун-т. -Киев,1993. - 23с. Деп. в ГНТБ Украины, N 1969- Ук 93.

4. Гаравулов С. А. Разностная аппроксимация оптимального управления мощностью источников тепла в стационарном процессе теплопроводности в пластинке, -Деп. в ГНТБ Украины. 14.10.93. N 1967-Ук93.

5. Федорченко И. С., Гаравулов С. А. Аппроксимация задач оптимального управления стационарным процессами теплопроводности в

твердом теле. // Методы исследования экстремальных задач. -Киев: Ин-т кибернетики АН Украины, 1994, с. 55-67. 6. Федорченко И. С., Гаравулов С. А. Аппроксимация задач оптимального управления нестационарным процессом теплопроводности в пластинке. // Моделирование и исследование устойчивости систем / Прикладная механика / Тез. докл. Укр. конф. -Киев, 1955. С. ИЗ.

Гаравулов С. А.

Чу.сеяъне розь'язаяня задач оптимального керування тепловими процесаыи. Рукопис. Дисергац1я на эдобуття вченого ступеня кандидата фхзико-математичних наук 1з спец1альност1 01.01.07-обч1:слювальна математика. Ки:вський ун1верситет 1мен1 Тараса Певченка, Кя1'в, 1995.

Дисертац1я м!стить результата, опубликован! в шести роботах автора. Основниш результатами дисертацП с побудова наближених розв'язк:в задач оптимального керування джерелами тепла 1 тепловим потоком в стац1онарних 1 нестац!онарних процесах теплопроводност! в одно-, дво- та тривим!рному твердому тШ !з зм!шанюши теплоф1зичниш1 характеристиками при квадратичн1й функцН вартост! без обмежень та з обмеженнями в форм! нер1вкост! на керування.

Встановлено !снування та един1сть розв'язк!в апрокси-муючих задач в клас! кусково-пост!йних функц!Я та 1х зб!жн1сть до точних розв'язк!в за функцП» вартост1, керуванням та температурнил» станом.

Отримано сп!вв!дношення, що характеризуют розв'язки апроксимуючих задач, на основ! яких розроблено алгоритми чисельного розв'язання задач оптимального керування проаесами теплопроводност1.

Garavuloy S.A.

Numerical solution of problems of optical control of heat processes.Thesis on search the candidate degree of science CPh.D.) in Physics and Mathematics, speciality 01.01.07 -computational mathematics. Kyiv University, Kyiv. 1996.

The dissertation consists results published in six author's works. The main result of the dissertation is •

constructlon of approximate solutions of problems of optimal control of heat soures and flow in stationary and non-stationary recesses in one-, two- and threedimension solid body with variable heat characteristics under the quadratic function of cost without restrictions and with restrictions in the form of non-equalities on the control.

The existence and uniqueness of the solutions of approximate problem in the class of piece-constant functions are established and their convergence to exact solutions on the function of cost, the control and the temperuture state is proved.

The correlations which characterize the solution of the approximate of problems are obtainel. On this basis the algorithms of numerical solution of the problem of optimal control of heat conduction are developed.

Ключевые слова

оптимальное управление, процесс теплопроводности, аппроксимация, численное решение.

Подписано к печати C8.04.I996 г.Об.1,1.Формат 60x8% I/I6. Печать офсетная.Тир.100.За*.69.Бесплатно. ХОП УШУ им.Драгоманом, Киев, Пирогом, 9.