Численное решение задачи Стефана применительно к расчету процесса бестигельной зонной плавки тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАГСТЕЕШШ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Р АХ АЛЬ Махмуд

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ СТЕФАНА. ПРИМЕНИТЕЛЬНО К РАСЧЕТУ ПРОЦЕССА БЕСТИГЕЛЬНОЙ ЗОННОЙ ПЛАВКИ

Специальность 01.01.07 - вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург

1992

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики ыатеиагико-ыеханического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

КАУЧНЫЯ РУКОВОДИТЕЛЬ: кандидат физико-матеиатических наук, доцент САМОКШ Борис Андреевич

£»ЙШАЛЬШЕ ОППОНЕНТЫ:

доктор физико-математических наук, профессор РЯВЮ1НД Валерия Яковлевич

кандадаг физико-ьа.теиатических наук, старший научные сотрудник

ЗИВ Александр Давидович

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ - Санкт-Петербургский экономико-математический институт

Защита диссертации состоится «У в '/■-!> час. на заседании специализированного совета Д 063.57.30 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в Санкт-Петербургском университете го адресу. 193904,Санкт-Петербург, Старый Петергоф. Библиотечная пл., д.2. Матемахико-ыеханический факультет.

С диссертацией иожио ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского университета.

Автореферат разослан 1992 г<

5ЧЕШ$ СЕКРЕТАРЬ специализированного совета Д 063.57.30, доцент

С.А.СУШКОВ

.мссзртаций | ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Бестигельная зонная плавка [I] является современный технологическим процессом, обеспечивающим получение материалов, в частности полупроводников, высокой чистоты и с хорошими кристаллическими свойствами. Основной чертой этого процесса является отсутствие контакта расплавленного материала со стенками, ¿^тематическое моделирование процесса позволило бы сократить экспериментальнуп работу по разыскании оптимальных технологических параметров.

йагекагическое описание процесса теплопередачи в частично расплавленном стерхне формулируется задачеЯ Стефана для уравнения теплопроводности. Диссертация посвящена вопросам построения численных алгоритмов решения задачи Стефана применительно к процессу бестигельной зонной плавки.

ЦЕЛЬО РАБОТЫ является испытание известных и построение новых разностных схеи репения задачи Стефака, отладка алгоритмов, изучение их поведения и эффективности путем практических численных расчетов, изучение влияния некоторых параметров и технологических условий на процесс бестигельной зонной плавки.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Проведены экспериментальные испытания разностной схемы Сашрского-Иоисеенко [2], показавшие ее неэффективность в данной задаче. Построена разностная схема для разыскания обобщенного решения стационарной задачи Стефана. Испытан на практике порождаемы»! ей численный алгоритм. Путем численного моделирования выявлено влияние на процесс плавки некоторых физических параметров.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты работы были долозены на семинаре кафедры вычислительной математики Санкт-Петербургского университета.

СТРУКТУРА И ОБТЕИ РАБОТЫ. Диссертация состоит из четырех глав и списка литературы. Объем диссертации

страниц машинописна го текст; Список литературы содержи 71 наименований. Диссертация содержит 9 таблиц ZZ чертежа .

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава I - Введение. Содержит общее физическое описание процесса бестигельной зонной плавки, упрощеннув математическую постановку задачи. Ядром математической постановки является задача Стефана для уравнения теплопроводности с граничный условней, описиваодим разогрев с помощью токов высокой частоты и остывакие за счет излучения.

Глава 2 содержит обзор работ по численный методам решения задачи Стефана. Работы по численный методам решения задачи Стофака, за отдельными исключениями, начали появляться в 60-е годы. Интенсивное развитие этих методов происходит в 70-80 годы. Все методы решения задачи Стефана можно разделить на две группы:

- методы, в которых производится явное выделение границы раздела фаз;

- методы, не требушцие явного выделения границы раздела.

В методах первой группы, более сложных по своей структуре и в применении, явное выделение границы раздела производится путем специального построения сетки либо введения специальных неизвестных функция, описшзащих положение границы. Применение разностных 'схем высокой точности и в особенности достаточно сложных криволинейных конечных элементов позволяет получить алгоритмы высокой точности. Однако эта высокая точность реализуется лишь при условии достаточной регулярности границы.

Метода второй группы представляют собой однородные разностные или конечно-элементные схемы, не учитываощие положения границы. Эти методы основаны на так называемой зн-тальпийной формулировке задачи Стефана. Вводится в качестве неизвестной функции энтальпия, или полное удельное теплосодержание, с учетом скрытой теплоты фазового перехода. Me-

ходы второй группы существенно проще в реализации, но точность их ограничена вследствие того, что решение обладает низкой гладкоетью.

Примерно с 1985 года появился ряд работ, в которых изучается оценки погрешности методов решения задачи Стефана, в основной относящихся ко второй группе.

Глава 3 содержит уже детальнув математическую постановку задачи, которая в дальнейшей будет решаться численно.

Требуется решить уравнение теплопроводности в области цилиндрической формы с учетом конвекции в жидкой фазе»

=div(k(u)8radu)f cpvt H+epCV^If.

с условием Стефана на границе раздела фаз!

q, ■ (k (u) graJi02 - (kfOgradu.^

- скорость движения границы, I - твердая фаза, 2 -жидкая фаза, и с граничным условием на поверхности цилиндра:

к(иЛ jradu. I = P0(bt) -e<Ju4 , Tt-Rfj)

описывающим поверхностный (вследствие значительного скин-эффекта) разогрева высокочастотным излучением и остывание за счет излучения по закону Стефана-Вина.

Простой и достаточно точный вид функций Р0 (3-."0 заимствован из литературы, функция R(3*J отлична от постоянной в жидкой фазе, и образующая цилиндра отличается от прямой. Вид этой функции должен быть найден из условия равновесия свободной поверхности. Если учитывать только силы тяжести и поверхностного натяжения, эта функция может быть найдена независим. Же приближенное выражение также заимствуется из литературь.

Для приближенного учета конвективного движения в качестве функции тока берется простое аналитическое выражение,

удовлетворявшее лишь условиям прилипания на границе с твердой фазой, с коэффициентом. Коэффициент подбирается так, чтобы значение функции тока (общая интенсивность конвективного движения) примерно совпадала с величинами, полученными расчетным путей другими авторами в сходных условиях (при сравнимых числа Грассгофа).

¡С описанной задаче приценялась в первую очередь известная схема Самарского-Цоксееико, включающая размазывание дельта-образного коэффициента. Оказалось однако, что эта схема для нашей задачи не дает удовлетворительных результатов. Стабилизация по времени происходит чрезвычайно медленно. Интервал размазывания не-удается выбрать так, чтобы он захватывал небольшое число счетных точек. Была построена новая разностная схеиа для стационарной задачи Стефана, описывающая установившееся распределение температуры в слитке, двияудемся с постоянной скоростью относительно нагревателя. Схема однородная и не требует специального выделения границы раздела. Не вводится такхе сглаяивание (размазывание) коэффициентов. При выводе схемы используется энтальпиЕная постановка, но в окончательную формулировку ¡энтальпия как неизвестная функция не входит. Схеиа имеет вид:

\(к V ) + Лр\/уа(б(и~и*))_ + срУуо + сруг V. - о

скорость движения стержня вдоль оси Л - удельная теплота плавления,-6' - функция единичного скачка}

V, 1с О - разностная апроксимация оператора сЬу к дгас] .

К К

К згой схеме приценяется итерационный процесс типа метода расцепления или метода переменных направления. Его можно истолковать, как разностную схему для условной (не физической) нестационарной задачи. Таким путем получены все приводимые в диссертации численные результаты. Существенным пунктом при отработке алгоритма был выбор шага по времени. Замечено, что при слишком больших шагах итерационный про-

десс характеризуется незатухающими колебаниями по времени и отступлением от естественной физической картины (нарушение характера монотонности) по пространственный переменный.

По описанному алгоритму просчитан ряд вариантов. Исследовано влияние некоторых параметров (характеристики нагревателя, скорость движения стержня, его диаметр) на характеристики процесса.

На основании сделанных расчетов ыоасно сделать следующие ВЫВОДЫ:

1. Численные значения температуры в хидкоз зоне достаточно устойчивы относительно модификации детале! алгоритма. По-видимому, разностная схема удовлетворительно описывает процессы теплопроводности и плавления-затвердевания. В части, описывающей тепловые процессы, разработанный в диссертации алгоритм и расчетная схема могут быть рекомендованы для использования.

2. Учет конвекции существенно влияет на распределение температуры. Видимо необходимо более точное описание течения с помощьв уравнения Навье-Стокса.

3. Более точно описание течения необходимо такхе для более точного расчета формул свободной поверхности,

ЛИТЕРАТУРА

I. Ратников Д.Г. Бестигельная зонная плавка. Металлургия, М., 1976.

Самарский А.А.,Иоисеенко Б.Д. Экономическая схема сквозного счета для многомерной задачи Стефана. Я.В№ 1965, т.5, » 5, 81&-827.