Численные и приближенные методы в прямой и обратной задачах дифракции на периодической поверхности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МЕХАНИКИ АН СССР ШСКОВСКИИ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

Факультет вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи

МИХЕ2В Андрей Геннадьевич

УДК 519 £32537 £74 £

ЧИСЛЕННЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ В ПРЯМОЙ И ОБРАТНОЙ ЗАДАЧАХ ДИФРАКЦИИ НА ПЕРИОДИЧЕСКОИ ПОВЕРХНОСТИ

01ШБ7 - вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1ЮСКВА. - 1991

Работа вывояиэке. ::а :ш{)едрз глтекатггасгкй; 0::сп:г..; факультета ШкХ МГУ к з отдела механики управляемы:: ско-хаг. ИПМ АН СССР.

Научный руководитель - доктор <?изкко~кат£г::ат2кзсж:': каук,

профессор Д. С. Ильикснмй

Официальные оппоненты: доетор Фязкко-иатемат71чоскик каук

А. И. Носнч,

доктор фгагасо-глатзг.атггчгсючХ иауг; А. В. Тюсонровов.

Ведущая организация - Вычислительный центр АН СССР

Защита состоится " ИуО^ЯЛ^*^ 1991г в /[ \ часов на заседании специализированного совета Д£)53й537 в МГУ по адресу: 119899, Москва, Ленинские горы, МГУ, Факультет вычислительной математики и кибернетики, ауд. 685.

С диссертацией шхгкс, ознакомиться в библиотеке Факультета ВМкК МГУ.

а р^г

Автореферат разослан " 1 _/ ) 1991г.

Ученый секретарь специализированного совета доктор физ-мат. наук, професдр^^^л/. л

" Щист

Моисеев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В последнее время большое прикладное значение имеют исследования в области распознавания различных характеристик волнистых поверхностей по данным электромагнитного зондирования. В частности, такие исследования являются актуальными в связи с работами по опроделению характеристик ветрового волнения поверхности океана при помощи дистанционного зондирования с искусственных спутников земли. Существенным здесь является, что длина зондирующей волны сравнима с масштабом неоднородностей поверхности.

Решение задач дифракции на волнистых поверхностях, имеювдх сотни и тысячи неоднородностей, сравнимых с длиной волны падающего поля возможно только приближенными методами. Однако - погрешности приближенных методов можно оценить, применяя их к задачам, для которых возможно получить решение численно, с гарантированной точностью.

Примером таких задач является классическая задача дифракции плоской волны на периодической поверхности, которая до сих пор не утратила своей актуальности. Интерес к этой задаче связан с исследованиями в радиотехнике, акустике, технике физического эксперимента и других областях науки. Во многих случаях решение задачи дифракции на периодической поверхности может дать качественную картину поведения поля вблизи волнистой или шероховатой поверхности, а также качественную картину распределения поверхностных токов. Данная задача является ключевой для анализа потерь з широком классе волноводов и резонаторов с гофрированными стенками.

Постановка и первые-результаты решения задачи дифракции на периодической поверхности известны еще с работ лорда Рэлея. В резонансном частотном диапазоне, когда период отражающей поверхности соизмерим с длиной падающей волны, дифрагированное поле имеет очень сложную структуру и параметры отраженного поля могут быть с высокой точностью получены лишь с помощью прямых вычислительных методов.

Цэлыо" ра^Ъты является следующее:

1. .Построение численного алгоритма решения задачи дифракции плоской волны на гладкой периодической поверхности.

2. Определение при помощи данного алгоритма границ применимости приближенных котодов. В качестве приближенных методов рассматриваются методы Кирхгофа, малых возмущений и малых наклонов.

3. Матепатач0суля постановка обратной задачи определения Формы 2'гс-периодичэской поверхности по .данным обратного резонаксноо рассеяния, доказательство теоремы о возможности однозначного восстановления Формы поверхности по приближению Кирхгофа для дифрагированного поля, построение вычислительного алгоритма решения задачи определения Формы периодической поверхности.

Научная новизна диссертации состоит в следующем:

- предложен алгоритм решения задачи дифракции на периодической поверхности.

исследованы границы применимости прибликенных

методов,

- доказана теорема о возможности восстановления Формы поверхности по приближению Кирхгофа для отраженного поля.

-предлоген алгоритм реиения задачи определения формы поверхности.

Практическая ценность работы. Разработан графический комплекс программ, При помощи которого можно исследовать различные приближенные методы реоэния задачи дифракции на волнистой поверхности. Показано, что из трех исследованных приближенных методов в резонансном диапазоне частот лучшей точностью обладает мэтод малых наклонов. Показано, что применительно к задаче восстановлэния формы поверхности в случае краевого условия Дирихле метод малых наклонов обладает высокой точностью.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научных семинарах кафедры математической Физики факультета Вычислительной математики и кибернетики МГУ, кафедры математики Физического факультета МГУ, Всесоюзной школе-семинаре "Актуальные проблемы вычислительной математики и математической Физики" в п. С лаве кое в 1339 г.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в [1-4].

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трах глав» заключения и списка литературы и' занимает 1?7 страниц. Список литературы включает 62 найменованип.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дана общая характеристика работы, приведен обзор литературы, обосновывается актуальность исследования.

В первой главе диссертации рассматривается применение метода коллокации к решению интегральных уравнений, к которым сводится задача дифракции плоской волны на импедансной периодической поверхности.

В 51 I изложена электромагнитная постановка задачи дифракции наклонно падающей плоской волны на гладкой импедансной периодической поверхности.

В 5 2 данная задача сведена к двум независимым краевым задачам для потенциалов электромагнитного поля U1 и ÜP.

В } 3 краевые задачи приводятся к безразмерному виду:

Пусть о- бесконечная периодическая по оси у с периодом ■ b=2ic импедансная поверхность, заданная; Формулой . о = Ч (х,у) | x=f(y) > . Яу) - гладкая 21-периодическая -скалярная Функция.

• Искомые Функции и^ удовлетворяют уравнению Гельмгольца

Д Uj + Й^- Uj а 0 i=1 ,2

в области Ü - < (Х.У) i < X < 1(7) : 0 5 у < 2ж >

Функции Uj удовлетворяют сл-з дующим граничным условиям на поверхности а :

ац,

U., (f(y),y) - h1 ■ gjp = О

^(f(y).y) - bg-Ug = О

Птп г < з^-- £(у) долглш условия

змозсз

из - ♦ НЙр

„(5) _ Л-Ь- ( 2-СОВа + у-в1Па )

"под ~ 8

„(Л) _ у «Ш "^'^п5'

Здесь а - угол медду волновым вектором аадапщэП еолны ось» х, - + п , г = 2«-&-в1пс. ,

п

ветвь корня выбирается из условия Не > 0, 1п гп г О, --неизвестные амплитуды отраженных плоских золя. Функции и^ , и^ должны удовлетворять условия?! квазипэриодичностк Флота:

зу3».!» «

р -

функции и^, 1^2 ищутся в классе С (£!)(■£ (О)

В § 4 при помоги Функция Грина канала Флокз : (--—„

Сйц.у^хр.ур) * Щ £ к- ¿г* + ( ¿у+гив )г ]е-1иг

краеЕые задачи сводятся к интегральным уравнениям дня ещ

Функций (Шр),Ур) И и^сг(Ур),Ур):

$ -

■«ГГ

о

гп

1и2( И ) - | С<й,Г(ур),ур)-§|(И,Г(у?),ур)]

О

^{Г (Ур).Ур) I(Ур)ФГр - .

В 5 5 получены Формулы для диаграмм направленности по.ад конечного освеженного участка периодической поверхности

В 5 б изложен алгорит реяения интегральных уравнений, основанный на применении метода коллокации дщ, кусочлопостошшых базисных Функций. 3 ядре интегральное уравнения выделены особенности, всэкмрлящие ори совпадении точек каблгадедащ и интегрирования к при отличии точки наблюдения от точки интегрирования на 12% , получены быстро сходяш^эся ряды для вьг-гослэния Функция 0(М,Р) я |~(ИУР>.

В 3 7 произведено сравнение метода мзляокацкй с мегодоы Л. А. ВаЯнштейна и А. И. Сукоаа в случае паденлн Е-поляризопакной полны на идаалъкопроиодятдук поверхность для поверхностных тонов и- амплитуд отраженных плоских волк, кз которого следует, что оба метод', обладают хорошо^ точностью и примерно одинаковой •з&гзкту.вностыо.

В § 8 ориведены методологические результаты и результаты численных расчетов.

Во второй главе диссертационной рз&л-.-

рассматривается оруманекие приближенный методов к задач« дкфракцни плоской водны на периодической поверхности

В § I получены даа члена формального асимптатичесчс<г ряда по стапеля« &

Л ?г ■ < 7. СО Бс + у -31Па )

е

+ А.)>(х>у) + + ... ].

показано, что первый член высокочастотной асимптотики соответствует методу Кирхгофа, приведены формулы для вычисления поверхностных токов и амплитуд отраженных плоских волн в соответствии с методом Кирхгофа. Доказано, что в случае идеальнопроводящей поверхности модули Кирхгофовских амплитуд отраженных плоских волн не зависят от поляризации, а Фазы отличаются на тс.

Во втором параграфе рассматривается метод малых возмущений применительно к задаче дифракции на периодической поверхности. Решение ищется в виде ряда:

и3 = ^пад * + + Е^-Т^«^ + • • • ,

приведены формулы для вычисления поверхностных токов и амплитуд отраженных плоских волн

В третьем параграфе рассматривается метод малых наклонов применительно к задаче дифракции на периодической поверхности. Амплитуды отраженных волн ищутся в виде :

2ГТ

1 Г -1т, 1<ГЛ+Г„)Г(У)

п ~ 2й

ТШМ.Н. = ' Г е-1пу е

Приведены Формулы для вычисления амплитуд отраженных плоских волн.

В четвертом параграфе представлены результаты численного сравнения приближенных методов Кирхгофа, малых возмущений и малых наклонов с алгоритмом, изложенным в главе 1; Построены графики и линии уровня погрешностей приближенных методов, проведено исследование точных и приближенных зависимостей коэффициента обратного рассеяния

от величины возвышения повер: ,..:ти и от угла падения плоской волны. Показано, что в резонансном диапазоне частот учет второго члена высокочастотной асимптотики не приводит к увличению точности метода. По результатам сравнения сделан вывод, что наиболее точным из трех приближенных методов в резонансном диапазоне является метод малых наклонов.

Третья глава диссертации посвящена задаче восстановления Формы идеальнопроводящей гладкой периодической поверхности по данным обратного резонансного рассеяния.

В первом параграфе изложена математическая постановка обратной задачи.

Во втором параграфе показано, что для некоторого класса поверхностий в случае как Е-, так Н- поляризации падающего поля и идеальной проводимости поверхности по приближению Кирхгофа для Функции обратного рассеяния можно определить часть отражеющей поверхности. Приведена также вероятностная Формулировка теоремы о возможности определения формы всей поверхности.

В третьем параграфе на основе метода малых наклонов предложен алгоритм восстановления формы поверхности, заданной фиксированным числом коэффициентов Фурье при помощи минимизиции Функционала невязки:

$(а,5) = I - Щат,(Ь Г

т: 1

представлены Формулы для вычисления градиента

Функционала $(а,с!)

В четвертом параграфе приведены примеры воссгздсвления формы поверхности по данным обратного рассеяния. Входные данные для алгоритма, решающего обратную задачу, вычислялись при помощи алгоритма, изложенного в первой главе.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ * Метод коллокации применен для решения интегральных

- о -

уравнений." к paau .•«» когорюс сводится задача даФракн.кк «л даркодзгчзегозй цовзрхносги. ЗФ&гкгквный вычю.дичилляый^ ажгорята. позводаввдкй решать задачу дифракции наклонно' падагядей шгасшй волны ка гладкой периодической юягедансиой пазергкссга реализован на ЭВМ ЕС 1055 и IBS PC АТ. Произведено численное сравкокиэ алгоритма с ранее известным методой Л. А. Вайявтейна к А. И. Су коза, развитым для задачи дифракция Е-полярззованнай плоской волны на идеальнопроЕодазцзй поверхности, который такке был реализован ка ЭВМ ЕС 1055. Показано, что в случае краевого условия Дирихле оба метода обладают хорошей точностью и примерно одинаковой эффективное ьв.

С помощью реализованных алгоритмов произведено исследование распределений поверхностных токов, дифрагированных нолей в дальней зоне для различных параметров задачи.

Для задачи дифракции на периодической поверхности реализованы на ЭШ ЕС 1055 к Ш И! Й следующие приближенные методы метод Кирхгофа, метод малых возмущений, метод малых наклонов. Произведено численное тестирование приближенных методов, построили карты погрешностей методов, показано, что из трех приближенных методов в резонансной частотном диапазоне лучшей точностью обладает катод малых наклонов.

В диссертации с Форму дарована математическая постановка задачи определения Формы периодической поверхности по данный обратного рассеяния. Сформулирована и доказана теорема о возможности однозначного определения Формы поверхности в иркбяикенкк Кирхгофа. Предложен вычислительный алгоритм определения формы поверхности, основанный на приближенно» методе малых наклонов. Проведено численное восстановление Формы периодических поверхностей по данным обратного резонансного рассеяния.

ОСНОВНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В СВЕДУЩИХ РАБОТАХ:

1. Ильинский А. С., Михеев А. Г. Дифракция волка на поркодичссюй ' отраялккцей пове рхности У /Бе стн. Коек, ун-та.

.. -э -

Сзр. 15 Вычксл. varsM. и шсСзрн. - 1590. - И. I - С. 35 -А2.

Z. Коркчез 3Л., Кжезв X, Г.» FaCoTHosa Е. В.. Йамавв' А. С. CpasnoHMG точности чкслзниых и асимптотических методов з гадачз дкбрахшт плоской этактромагнитной волны на пзр^од^'жсг.оП идэалькоировсдяцей поверхности // Радкзтехя. и элзктрок. - 1990 . - N. 2 - С. 258 - 266.

3. Норнэвв ЗА., Михеев к. i„ Работнова Е. 0., Шамаэв А. С. Сравнение двух численных методов рушения задачи дифракции Е-яоляризованной плоской волны на идеалькогфОЕодяпцей периодической поверхности // ЖВМиМФ. -ISS0 .-Т 20. - U. 5 - С. 697 - 704.

Млхэев А. Г. 0 восстановлении формы периодической поверхности по данным обратного рассеяния// Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15 Вычисл. матем. и ккберя. - 1990. - N. 2 - С. 23 - 28.