Численные методы построения волны разгрузки слабого разрыва в стержнях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ПОСТРОЕНИЕ ВОЛНЫ РАЗГРУЗКИ СЛАБОГО РАЗРЫВА В СТЕРЖНЕ ПОСТОЯННОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ

§ I. Постановка задачи

§ 2. Метод характеристик.

§ 3. Метод итераций.

§ 4. Частное решение системы уравнений для волны разгрузки слабого разрыва

§ 5. Метод соответствующих хорд.

§ 6. Метод соответствующих касательных.

§ 7. Начальная скорость волны разгрузки слабого разрыва

§ 8. Изломы волны разгрузки слабого разрыва

ГЛАВА П. ПОСТРОЕНИЕ ВОЛН НАГРУЖЕНИЯ И РАЗГРУЗКИ В КОНИЧЕСКОМ СТЕРЖНЕ

§ 9. Постановка задачи

§ 10. Построение решения на переднем фронте волн пластического нагружения.

§ II. Построение решения в области пластического нагружения.

§ 12. Начальная скорость слабой волны нагружения.

§ 13. Построение слабой волны нагружения методом соответствующих касательных

§ 14. Изломы слабой волны нагружения.

§ 15. Соотношения на волне разгрузки слабого разрыва

§ 16. Начальная скорость волны разгрузки слабого разрыва

§ 17. Построение волны разгрузки слабого разрыва методом соответствующих касательных.

§ 18. Изломы волны разгрузки слабого разрыва.

ГЛАВА Ш. РЕАЛИЗАЦИЯ НА ЭВМ МЕТОДОВ ПОСТРОЕНИЯ ВОЛНЫ РАЗГРУЗКИ СЛАБОГО РАЗРЫВА

§ 19. Построение волны разгрузки слабого разрыва в полубесконечном стержне постоянного поперечного сечения методом итераций

§ 20. Построение волны разгрузки слабого разрыва в полубесконечном стержне постоянного поперечного сечения методом соответствующих касательных

§ 21. Построение волны нагружения и волны разгрузки слабого разрыва в полубесконечном коническом стержне методом соответствующих касательных

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Во многих областях техники широко применяются стержневые элементы, испытывающие воздействия ударных нагрузок. Обеспечение надежной работы узлов и механизмов и стремление максимально облегчить конструкции требует дальнейшего совершенствования методов расчета упруго-пластического состояния динамически нагруженных стержней.

Динамическое нагружение и разгрузка стержня представляет собой сложный волновой процесс. От загруженного конца вдоль стержня последовательно распространяются волны упругого нагружения, волны пластического нагружения, вызывая необратимые пластические деформации, и с началом разгрузки стержня - волны упругой разгрузки. Передний фронт распространяющихся вдоль стержня волн упругой разгрузки называется волной разгрузки. В отличие от волны разгрузки сильного разрыва, которая распространяется со скоростью упругих волн, скорость волны разгрузки слабого разрыва изменяется при движении по стержню, и даже для стержня постоянного поперечного сечения построение волны разгрузки слабого разрыва является достаточно сложной задачей.

Точный расчет стержневого элемента, находящегося под действием динамических нагрузок, невозможен без знания закона распределения остаточных деформаций в стержне, что в свою очередь требует знания закона распространения волны разгрузки. Поэтому понятен тот интерес, который проявляют многие исследователи к изучению волны разгрузки.

Большой вклад в развитие теории распространения упруго-пластических волн внесли такие видные советские ученые как Х.А.Рахмату-лин, Ю.Н.Работнов, А.А.Ильюшин, В.С.Ленский, Г.С.Шапиро и многие другие исследователи.

Задача об определении одномерной волны разгрузки была впервые поставлена Х.А.Рахматулиным в работе ¿"297. Рассматривался полубесконечный стержень постоянного поперечного сечения. Из условий непрерывности первых производных решения при переходе через волну разгрузки слабого разрыва и граничных условий на конце стержня Х.А.Рахматулин получил систему уравнений для определения волны разгрузки слабого разрыва и изучил некоторые ее свойства. Для приближенного построения волны разгрузки Х.А.Рахматулин предложил два метода: прямой и обратный.

Прямой метод заключается в разложении функций, входящих в систему уравнений, в виде рядов в окрестности точки начала разгрузки и определении неизвестных коэффициентов разложения через известные. Полученное решение справедливо в окрестности точки начала разгрузки.

В обратном методе, задаваясь видом волны разгрузки слабого разрыва, из системы уравнений определяется закон разгружения конца стержня и сравнивается с заданным. Подбором формы волны разгрузки необходимо добиться заданного закона разгружения.

Г.С.Шапиро в работе Л2 7 предложил метод характеристик, позволяющий по известному начальному куску построить всю волну разгрузки. Метод характеристик будет подробно рассмотрен в § 2.

В работах /~31У рассмотрен ряд примеров построения волны разгрузки методом характеристик, причем на граничные условия нагружения-разгрузки конца стержня были наложены такие ограничения, чтобы начальная скорость волны разгрузки равнялась или скорости упругих, или скорости пластических волн.

В дальнейшем эти ограничения были сняты В.Л.Бидерманом /~27 благодаря тому, что им было получено в конечном виде выражение для начальной скорости волны разгрузки слабого разрыва в случае, когда первые производные функций, задающих граничные условия на-гружения-разгрузки конца стержн^ одновременно не равны нулю.

Формулы для следующих, после начальной скорости, производных волны разгрузки в начальной точке приведены в работах ¿~447, /~457, Л8/ и других.

Большое число примеров построения методом характеристик волны разгрузки слабого разрыва в стержнях постоянного поперечного сечения приведено в работах 7, /~347•

А.М.Скобеев в работе /~357 впервые доказал существование и единственность волны разгрузки слабого разрыва. Другое оригинальное доказательство единственности волны разгрузки приведено А.А.Космодемьянским ¿""197.

В работе /~357 исследовалась ассимптотика волны разгрузки и в частности, было показано, что при бесконечно спадающем давлении, заданном на конце стержня, скорость волны разгрузки стремится к скорости упругих волн. Ассимптотика волны разгрузки слабого разрыва изучалась также в работах /~17, /""137, /~147, /""157.

Для частного случая граничных условий, когда к концу стержня мгновенно приложено спадающее во времени давление, А.И.Буравцев ¿~47 преобразовал систему уравнений для волны разгрузки слабого разрыва к одному функциональному уравнению, которое решал затем методом последовательных приближений. Подобным образом решалась задача в работе ¿"97, причем Ю.П.Гуляеву удалось получить решение функционального уравнения в виде функционального ряда по степеням некоторого параметра, меньшего единицы, что обеспечивало хорошую сходимость ряда.

Г.Т.Тарабрин /~"39/ заменял действительную скорость распространения волны разгрузки слабого разрыва некоторой постоянной средней скоростью, величина которой определялась по наилучшему удовлетворению граничным условиям на конце стержня.

Большое число работ посвящено исследованию волны разгрузки при различных моделях материала стержня. Рассматривались как модель Прандтля, так и модели с нелинейной зависимостью между деформацией и напряжением /~207, /""327, а также модели материала, учитывающие эффект запаздывания текучести /~77,

Г28.7

Для стержня постоянного поперечного сечения, материал которого удовлетворяет модели Прандтля, Е.Р.Влодарчик ¿""47получил частное решение системы уравнений для волны разгрузки слабого разрыва. Он показал, что если давление на конце стержня нарастает, а затем падает по линейному закону, то волна разгрузки слабого разрыва распространяется с постоянной скоростью.

Этот результат был усилен в работе ¿"1тт7$ где В.С.Ленский и С.Д.Алгазин показали, что если функции, задающие давления нагружения и разгрузки на конце стержня, представляют собой параболы "к"-той степени, где "к" - целое положительное число, то волна разгрузки слабого разрыва также распространяется с постоянной скоростью, которую можно определить из приведенного в работе уравнения.

При изучении динамически нагруженных стержневых элементов внимание исследователей уделялось не только стержням постоянного поперечного сечения, но и стержням переменного сечения и в частности, коническим стержням. В настоящем обзоре рассматриваются такие работы, где динамическое нагружение приложено к узкому концу конического стержня. В этом случае энергия упругих и пластических волн убывает по мере продвижения от загруженного конца по стержню. Данное обстоятельство приводит, в частности, и к тому, что граница, разделяющая в коническом стержне области упругого и пластического нагружения (волна пластического нагружения), может распространяться как со скоростью пластических волн - в случае ударного пластического нагружения, так и с переменной скоростью, меньшей скорости пластических волн, - в случае слабого пластического нагружения конического стержня. Так что для конического стержня построение волны разгрузки слабого разрыва осложняется в общем случае еще и построением слабой волны пластического нагружения, не говоря уже о значительно усложняющемся виде уравнений для волны разгрузки слабого разрыва.

Г.С.Шапиро в работе ¿"^З^/получил в конечном виде решение в упругой зоне на переднем фронте ударных волн пластического нагружения, распространяющемся со скоростью пластических волн.

А.Н.Харитонова /"40рассмотрела разгрузку конического стержня, когда к его концу мгновенно приложено спадающее во времени давление, так что ударная волна пластического нагружения, распространяющаяся со скоростью пластических волн, является одновременно и волной разгрузки. Искать решение в области разгрузки предлагается методом характеристик, причем значения волновых функций в области разгрузки на начальном участке волны разгрузки ищутся методом линеаризации. Получена формула для определения сечения истощения ударной волны пластического нагружения.

Укажем также работу Е.Р.Влодарчика ¿~467, где волна разгрузки отлична от ударной волны пластического нагружения. Для изучения свойств волны разгрузки в окрестности точки начала разгрузки было применено разложение в ряд Маклорена и получены первые три члена.

Ю.В.Суворова изучала распространение в коническом стержне волны пластического нагружения, когда к концу стержня мгновенно приложено постоянное напряжение, превосходящее предел текучести материала. Из-за наличия эффекта запаздывания текучести материала волна пластического нагружения, которая для модели Прандтля должна была бы быть ударной, распространяется с переменной скоростью, меньшей скорости пластических волн, что является в некотором роде аналогом слабой волны пластического нагружения. Для определения этой кривой применяется метод разложения неизвестных функций в ряды Тейлора в окрестности начальной точки волны нагружения.

Заключая обзор литературы, заметим, что за исключением нескольких методов, имеющих или чисто теоретическое значение, или применимых лишь для частного случая граничных условий, для построения волны разгрузки слабого разрыва в полубесконечном стержне постоянного поперечного сечения нашел широкое применение единственный метод - метод характеристик, предложенный Г.С.Шапиро. Отметим, что использование метода характеристик вызывает определенные трудности при построении волны разгрузки слабого разрыва.

И наконец, нам неизвестны работы, в которых излагались бы методы и приводились примеры построения волны разгрузки слабого разрыва в полубесконечном коническом стержне.

Цель работы. Поиск новых численных методов построения волны разгрузки слабого разрыва в полубесконечном стержне постоянного поперечного сечения и в полубесконечном коническом стержне.

Общая методика выполнения исследований. Теоретические трудности не позволяют аналитически выразить волну разгрузки слабого разрыва из соответствующей системы функциональных уравнений. Поэтому приходится прибегать к численным методам построения волны разгрузки. В работе предложены три новых метода решения поставленной задачи. Это итерационный метод, метод, основанный на частном решении системы функциональных уравнений, и метод, основанный на дифференциальных связях, полученных из системы функциональных уравнений для волны разгрузки слабого разрыва. При расчете волн разгрузки на ЭВМ применялись различные приемы численного интегрирования и интерполирования функций.

Научная новизна работы заключается в следующем.

Для полубесконечного стержня постоянного поперечного сечения:

- разработаны три новых метода построения волны разгрузки слабого разрыва: метод итераций, метод соответствующих хорд и метод соответствующих касательных;

- расширено ранее известное частное решение системы уравнений для волны разгрузки слабого разрыва;

- найдено новое частное решение системы уравнений для волны разгрузки слабого разрыва;

- впервые изучены изломы (конечные разрывы первой производной от непрерывной кусочно-дифференцируемой функции) волны разгрузки слабого разрыва как следствие изломов функций, задающих граничные условия нагружения и разгрузки конца стержня, а также как следствие уже образовавшихся изломов волны разгрузки слабого разрыва.

Для конического стержня:

- впервые предложен метод построения волны слабого пластического нагружения и волны разгрузки слабого разрыва - метод соответствующих касательных и приведены конкретные примеры расчета волн;

- получено решение в области упругих деформаций на переднем фронте волн слабого пластического нагружения, которое является обобщением решения Г.С.Шапиро;

- впервые изучены изломы волны слабого пластического нагружения и волны разгрузки слабого разрыва как следствие изломов функций, задающих граничные условия нагружения и разгрузки конца стержня, а также как следствие уже образовавшихся изломов волн.

Практическая ценность. Предложенные методы построения волны разгрузки доведены до уровня алгоритмов и реализованы в виде программ на языке ФОРТРАН для ЭВМ типа ЕС или БЭСМ-б. Результаты расчетов показали высокую точность построения волны разгрузки. Указанные методы найдут практическое применение при расчете упруго-пластического состояния динамически нагруженных стержней.

Некоторые теоретические результаты используются автором в Нижне-Волжеком научно-исследовательском институте геологии и геофизики при исследовании распространения сейсмических волн в слоистых средах, в частности, при расчете синтетических сейсмограмм.

Предложенные методы построения волны разгрузки и другие теоретические результаты работы могут быть использованы в учебном процессе при чтении студентам механико-математических факультетов университетов специального курса по теории распространения одномерных упруго-пластических волн и проведении спецсеминаров и лаборатории специализации по этому курсу.

Достоверность результатов обеспечивается строгостью постановки задач, применением обоснованных математических методов при их решении, а также проверкой удовлетворения построенных волн граничным условиям, заданным на конце стержня. Кроме того, волны разгрузки, построенные предлагаемыми методами, сравниваются между собой, а также с известным точным решением. При отсутствии известного решения точность построения волны разгрузки слабого разрыва оценивается по величине погрешности, получаемой при удовлетворении граничным условиям на конце стержня - в методе соответствующих касательных, или начальным условиям - в методе итераций.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе дана постановка задачи о построении волны разгрузки слабого разрыва в полубесконечном стержне постоянного поперечного сечения. Материал стержня обладает линейным упрочнением.

Подробно рассматривается метод характеристик /~427 и на основе некоторых его особенностей предлагается новый метод для построения волны разгрузки слабого разрыва - метод итераций.

Далее в первой главе расширяется класс функций задающих граничные условия, для которых волна разгрузки слабого разрыва распространяется с постоянной скоростью. Здесь же приводится новое частное решение системы уравнений для волны разгрузки слабого разрыва. Показано, что если функции, задающие граничные условия нагружения и разгрузки конца стержня, представляют собой многозвенные ломанные, то волна разгрузки слабого разрыва будет также являться многозвенной ломанной. На основании найденного частного решения вводится новый метод для построения волны разгрузки слабого разрыва - метод соответствующих хорд.

Как дальнейшее развитие метода соответствующих хорд предлагается еще один метод для построения волны разгрузки слабого разрыва - метод соответствующих касательных. Обосновывается способ коррекции вычисляемой скорости волны разгрузки по погрешности как прием, повышающий точность метода соответствующих касательных.

И наконец, в первой главе изучаются изломы (конечные разрывы первой производной непрерывной кусочно-дифференцируемой функции) волны разгрузки слабого разрыва как следствие изломов функций, задающих граничные условия нагружения-разгрузки конца стержня. Исследуются особенности, которые вносят изломы в метод соответствующих касательных.

Во второй главе рассматривается задача о построении волны разгрузки слабого разрыва в полубесконечном коническом стержне.

Решение в упругой области на переднем фронте волн пластического нагружения (волне нагружения) получено в виде суммы, в которой первое слагаемое есть известное решение Г.С.Шапиро ¿"~437 для ударного пластического нагружения, а второе слагаемое отлично от нуля только в случае слабого пластического нагружения. Подобный подход позволяет строить решение в области активных пластических деформаций по одним и тем же формулам, независимо от вида пластического нагружения.

Для построения волны нагружения и волны разгрузки слабого разрыва предлагается метод соответствующих касательных, обосновывается способ коррекции скорости по погрешности как прием, повышающий точность построения. Исследуются изломы слабых волн нагружения и разгрузки и те особенности, которые вносят изломы в метод соответствующих касательных. Везде, где возможно, сопоставляются расчетные формулы для конического стержня и для стержня постоянного поперечного сечения.

В третьей главе приводятся примеры расчета на ЭВМ волны разгрузки слабого разрыва в стержне постоянного поперечного сечения и в коническом стержне. В виде программ реализованы метод итераций и метод соответствующих касательных. В рассматриваемых примерах методы сравниваются между собой, а также с точным решением, когда таковое имеется. В методе соответствующих касательных показывается эффективность коррекции скорости по погрешности. Тексты программ и инструкции пользования ими даны в Приложении.

На защиту выносятся:

I) Три новых метода построения волны разгрузки слабого разрыва в стержне постоянного поперечного сечения - метод итераций, метод соответствующих хорд и метод соответствующих касательных. Последний метод предлагается для расчета движения вынужденного фронта пластических волн нагружения и волны разгрузки слабого разрыва в коническом стержне.

2) Расширение класса точных решений системы функциональных уравнений для волны разгрузки слабого разрыва для стержня постоянного поперечного сечения.

3) Исследование нарушений гладкости движения фронтов активных пластических волн и волны разгрузки как следствие нарушений гладкости функций, задающих граничные условия на конце стержня, а также как следствие уже образовавшихся нарушений гладкости движения фронтов.

Апробация работы. Основное содержание работы и ее отдельные положения докладывались на:

- У1 Всесоюзном симпозиуме по теории распространения упругих и упруго-пластических волн (Фрунзе, 1975 г.);

- Всесоюзной конференции по механике сплошных сред (Ташкент, 1979 г.);

- городском научном семинаре по механике деформируемого твердого тела при кафедре теории упругости Саратовского госуниверситета (Саратов, 1982 г.);

- геофизической секции Ученого совета Нижне-Волжского научно-исследовательского института геологии и геофизики (Саратов, 1983г.);

- У конференции молодых ученых Нижне-Волжского научно-исследовательского института геологии и геофизики (Саратов, 1977 г.).

Основные результаты, изложенные в работе, опубликованы в статьях ¿'10У - ¿~1г7 и ¿"24J, ¿"25

Г 1 А В А I

ПОСТРОЕНИЕ ВОЛНЫ РАЗГРУЗКИ СЛАБОГО РАЗРЫВА В СТЕРЖНЕ ПОСТОЯННОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ

§ I. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Приведем общую постановку задачи о распространении волны разгрузки в пластических средах, используя для определенности соотношения теории малых упруго-пластических деформаций А.А. Ильюшина

При рассмотрении других моделей, описывающих пластические свойства среды (например, теория пластического течения с изотропным упрочнением), подобные задачи ставятся аналогично. Волна разгрузки математически определяется как некоторая поверхность (фронт), перемещающаяся в теле с определенной скоростью. Эта поверхность обладает тем свойством, что материальные частицы, находящиеся перед фронтом волны разгрузки, пребывают в состоянии активного пластического деформирования, а за фронтом - в стадии упругой разгрузки. Таким образом в каждый момент времени вся пластическая среда разбивается на две области I и II, в которых реализуются следующие уравнения: в области I активного пластического нагружения ( > 0 или ^¿с > 0 ) д Ь оЬ в области II разгрузки < 0 или ^ п ) оЬ Ы

Здесь б. , 6; - интенсивности напряжений и деформаций, универсальная функция, не зависящая от вида напряженного состояния, Б. , Э. - девиаторы напряжений и деформаций.

У У

Процесс активного нагружения и разгрузки показан на рис. I.

Если поверхность раздела является поверхностью сильного разрыва, то она распространяется со скоростью упругих волн. Если тензор напряжений и деформаций, а также скорость частиц непрерывны на поверхности раздела областей I и II, то эта поверхность будет волной разгрузки слабого разрыва. Используя кинематические условия для непрерывных характеристик движения на поверхности раздела, а также дифференциальные уравнения движения в окрестности указанной поверхности, можно показать, что имеет место обобщенная теорема Х.А.Рахматулина о волне разгрузки ¿"26суть которой состоит в том, что скорость волны разгрузки слабого разрыва всегда лежит между скоростями упругих и пластических волн нагружения. В общем случае волна разгрузки слабого разрыва в каждый момент времени является заранее неизвестной поверхностью раздела механических состояния пластической среды. Математическое построение этой поверхности является основной задачей о волне разгрузки слабого разрыва. Знание закона движения фронта волны разгрузки необходимо для расчета остаточных деформаций в твердом теле после прекращения действия внешних нагрузок. В дальнейшем изложении ограничимся детальным изучением распространения одномерной волны разгрузки слабого разрыва в длинных стержнях.

Дан полубесконечный стержень постоянного поперечного сечения из материала с линейным упрочнением. Уравнения (1.1) примут вид:

О £>

Рис. I

Рис 2

Е-8 , е ^ ев + (E-Ef)-€S ,£>es (I,2)

6=E-t + (E-EJ-(Ss-S0(X)) .разгрузка Здесь 6 - напряжение, £ - деформация, £s - предел упругости, 80(Х) - деформация сечения X в момент начала разгрузки, £ , Е1 - модули упругости и пластичности материала. Конец стержня нагружается по закону ffft) так, что до момента времени tQ имеет место рост пластических деформаций, и после момента времени t0 разгружается по закону fz(t) , причем fz(t) = 0 при t^tK . На рис, 2 представлен процесс нагружения-разгрузки стержня на фазовой плоскости (X,t ). Здесь I - область упругих деформаций, 2 - переходная область, 3 - область активных пластических деформаций, t = fix)- волна разгрузки, 4 - область разгрузки, ts - время появления пластических деформаций на конце стержня, U0=vEVp , а^Еуу - скорости упругих и пластических волн, где J) - плотность материала стержня. Отметим, что поскольку £ > Еi , скорость распространения упругих волн CL0 больше скорости распространения пластических волн .

Уравнение движения стержня имеет вид: 1 д£ dj£ / & dF(x) dtz f 'де дхг + j> Fix) dx CI-3) где U(X, t)- смещение точек сечения X в момент времени Ь , F(X) - закон изменения площади поперечного сечения стержня. Зависимость б = 6(E) своя для каждой области стержня (рис.2) и задается соотношениями (1.2). Для стержня постоянного поперечного сечения (при F(X) = const ) для области 4, области разгрузки, уравнение (1.3) запишется следующим образом:

Общее решение этого уравнения запишется в виде:

2 2 ^ ао о

Здесь , jгч - неизвестные волновые функции. Найдя эти функции из соотношений на слабой волне разгрузки, из граничных условий на конце стержня можно получить уравнение для волны разгрузки слабого разрыва.

Основные результаты работы заключаются в следующем.

1. Для стержня постоянного поперечного сечения разработаны три новых алгоритма численного построения волны разгрузки слабого разрыва: метод итераций, метод соответствующих хорд и метод соответствующих касательных. Последний метод использовался также при расчете движения вынужденного фронта пластических волн нагружения и волны разгрузки слабого разрыва в коническом стержне.

2. Расширен класс точных решений системы функциональных уравнений для волны разгрузки слабого разрыва для стержня постоянного поперечного сечения.

3. Подробно изучены нарушения гладкости движения фронтов активных пластических волн и волны разгрузки (изломы волн нагружения и разгрузки) как следствие нарушений гладкости функций, задающих граничные условия на конце стержня, а также как следствие уже образовавшихся нарушений гладкости движения фронтов.

Метод итераций является более общим методом, так как для его реализации достаточно требование непрерывности граничных условий. Точки волны разгрузки рассчитываются независимо друг от друга, что исключает накопление погрешности построения волны разгрузки. Точность построения волны разгрузки оценивается по степени удовлетворения начальному условию ос = О , Ь = Ь0 .

В случае задания кусочно-гладких граничных условий более эффективным с точки зрения временных затрат на ЭВМ является метод соответствующих хорд и, особенно, метод соответствующих касательных. Волна разгрузки рассчитывается последовательно с наперед заданным шагом. Требуемая точность достигается за счет уменьшения шага построения точек и введением коррекции процесса построения по невязке функционального уравнения для волны разгрузки.

Указанные методы реализованы в виде программ на языке ФОРТРАН для ЭВМ типа ЕС или БЭСМ-6. Тексты программ даны в Приложении. Приведены конкретные примеры расчета волн. Достигаемая точность удовлетворения граничным условиям позволяет сделать вывод, что предложенные численные методы дают практически точное решение задачи о построении волны разгрузки слабого разрыва в полубесконечном стержне постоянного поперечного сечения и в полубесконечном коническом стержне для материала с линейным упрочнением.

Предложенные численные методы без особых принципиальных затруднений могут быть распространены и на решение соответствующих задач для материалов с нелинейным упрочнением и материалов, обладающих эффектом запаздывания текучести (модели В.С.Ленского и Ю.Н.Работнова).

В заключение автор выражает искреннюю благодарность кандидату физико-математических наук, доценту Ю.П.Гуляеву за постановку задачи и консультации.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Цель данной работы состояла в разработке численных методов построения волны разгрузки слабого разрыва в полубесконечном стержне постоянного поперечного сечения и в полубесконечном коническом стержне. Эти методы являются дальнейшим развитием метода характеристик Г.С.Шапиро, и они позволяют строить последовательность точек волны разгрузки с наперед заданной точностью и плотностью их распределения.

1. Алгазин С.Д., Ленский B.C. Аналитическое исследование волны разгрузки. ПММ, 1976, т. 40, вып. 2, с. 327-336.

2. Бидерман В.Л. Расчеты на ударную нагрузку. В сб.: "Основы современных методов расчета на прочность". М., Машгиз, 1952.

3. Буравцев А.И., Есенина H.A. Взаимодействие волны разгрузки с ударной волной. "Вестник Ленинградского ун-та", 1966, № 13,с. 55-62.

4. Буравцев А.И. Аналитический способ построения волны разгрузки. "Вестник Ленинградского ун-та", 1970, вып. I, с. 97-105.

5. Буравцев А.И. Распространение упруго-пластических волн в стержне с нелинейной зависимостью напряжений от деформаций.' "Вестник Ленинградского ун-та", 1972, № 13, с. 94-96.

6. Гуляев Ю.П., Ленский B.C. 0 волне разгрузки в материалахс запаздывающей текучестью. ПММ, 1968, т. 32, вып.6, с. 287-296.

7. Гуляев Ю.П. Разгрузка стержня из материала с запаздывающей текучестью. МТТ, 1970, № 3, с. 138-143.

8. Гуляев Ю.П. Приближенный метод построения волны разгрузки в средах с запаздывающей текучестью. В сб.: "Некоторые задачи теории упругости о концентрации напряжений и деформаций упругих тел", Саратов, Саратовский ун-т, 1971, вып. 2, с. 84-88.

9. Гуляев Ю.П. Распространение одномерных волн разгрузки. "Механика деформируемых сред", Саратов, Саратовский ун-т, 1974, вып. I, с. I3I-I35.

10. Гуляев Ю.П., Макаркин A.A. Исследование поведения волны разгрузки в материалах с запаздывающей текучестью. "Механика деформируемых сред", Саратов, Саратовский ун-т, 1974, вып. 2, с. 49-60.

11. Гуляев Ю.П., Макаркин A.A. К решению прямой задачи о построении волны разгрузки. "Механика деформируемых сред", Саратов, Саратовский ун-т, 1976, вып. 4, с. 47-52.

12. Гуляев Ю.П., Макаркин A.A. Численное построение волны разгрузки слабого разрыва. "Механика деформируемых сред", Саратов, Саратовский ун-т, 1978, вып. 5, с. 17-23.

13. Домбровский Г.А., Турченко В.Я. Ассимптотика волны разгрузки. МТТ, 1972, № I, с. 69-76.

14. Домбровский Г.А., Турченко В.Я. О волне разгрузки. "Доклады АН СССР", 1972, 204, № 5, с. I06I-I064.

15. Домбровский Г.А. Об ассимптотике волны разгрузки. ПММ, 1979, т. 43, вып. I, с. 144-152.

16. Ильюшин A.A. Пластичность. Гостехиздат, 1948.

17. Ильюшин A.A. Пластичность. Изд. АН СССР, М., 1963.

18. Космодемьянский A.A. О существовании сильной волны разгрузки. МТТ, 1977, № 5, с. 153-157.

19. Космодемьянский.A.A. Об определении волны разгрузки методом итераций. МТТ, 1978, № I, с. I56-I6I.

20. Керимов К.А., Юсифов В.Г. Определение волны разгрузки по заданной нагрузке для упруго-пластических материалов.1. ВИНИТИ, № 830-82 ДЕЛ.

21. Ленский B.C. Об упруго-пластическом ударе стержня о жесткую преграду. ПММ, 1949, т. 13, вып. 2, с. 173-179.

22. Ленский B.C., Фомина Л.Н. Распространение одномерных волн в материалах с запаздывающей текучестью. Изв. АН СССР, ОТН. Механика и машиностроение, 1959, № 3, с. I12-120.

23. Ленский B.C. Введение в теорию пластичности. Вып. 2. М., изд. МГУ, 1969.

24. Макаркин A.A. Об одном численном методе решения функциональной системы уравнений для волны разгрузки. "Механика деформируемых сред", Саратов, Саратовский ун-т, 1979, вып. 6,с. 15-19.

25. Макаркин A.A. Построение волны разгрузки в коническом стержне. "Механика деформируемых сред", Саратов, Саратовский ун-т, 1982, вып. 7, с. 21-28.

26. Новацкий В.К. Волновые задачи теории пластичности. Мир, 1978.

27. Работнов Ю.Н. Модель упруго-пластической среды с запаздыванием текучести. ПМТФ, 1968, № 3, с. 135-147.

28. Работнов Ю.Н., Суворова Ю.В. О законе деформирования металлов при одноостном растяжении. МТТ, 1972, № 4, с. 138-147.

29. Рахматулин Х.А. О распространении волны разгрузки. ПММ, 1945, т. 9, вып. I, с. 91-100.

30. Рахматулин Х.А. 0 распространении волны разгрузки вдоль стержня переменного предела упругости. ПММ, 1946, т. 10, вып. 3, с. 213-220.

31. Рахматулин Х.А., Шапиро Г.С. О распространении плоских упруго-пластических волн. ПММ, 1948, т.12, вып. 4, с. 369-374.

32. Рахматулин Х.А. Исследование законов распространения упруго-пластических волн в среде с переменным пределом упругости. ПММ, 1950, т. 14, вып. I, с. 84-93.

33. Рахматулин Х.А. О распространении упруго-пластических волн при сложной нагрузке. ПММ, 1958, т. 22, вып. 6, с. 172-180.

34. Рахматулин Х.А., Демьянов Ю.А. Прочность при интенсивных кратковременных нагрузках. Физматгиз, 1961.

35. Скобеев A.M. К теории волны разгрузки. ПММ, 1962, т. 26, вып. 6, с. 1059-1067.

36. Скобеев A.M. О плоской упруго-пластической волне. ПММ, 1965, т. 29, вып. 3, с. 264-272.

37. Суворова Ю.В. Распространение упруго-пластических волн в стержнях с учетом запаздывания текучести. МТТ, 1970, № 2, с. 68-74.

38. Суворова Ю.В. Упруго-пластические волны в коническом стержне с запаздывающей текучестью. МТТ1, 1971, вып. 2, с. 18-25.

39. Тарабрин Г.Т. Приближенный способ решения задачи о волне разгрузки. В сб.: "Борьба с шумом в городах и на производстве", Волгоград, 1969, с. 144-154.

40. Харитонова А.Н. Распространение упруго-пластических волн в коническом стержне. "Инженерный сборник. Изд. АН СССР", 1956, т. 24, с. 217-221.

41. Чебан В.Г. О распространении продольных упруго-пластических волн. "Ученые записки Кишеневского гос. ун-та", 1952, вып. 5, с. 34-46.

42. Шапиро Г.С. Продольные колебания стержней. ПММ, 1946, т. 10, вып. 5-6, с. 73-81.

43. Шапиров Г.С. Распространение упруго-пластических волн в стержнях переменного сечения. ПММ, 1952, т. 16, вып. 3,с. 335-340.

44. Tuchak P.A., Schultz Л.В. Determination of the unloading boundary in longitudinal elastic-plastic stress wave propagation. Trans. ASME. Sep. E. J. Appl. Mech., 1971, vol. 37, No. 4.

45. Tuchak P.A. A note of the unloading boundary in elastic-plastic stress wave propagation. Trans. ASME. Sep. E. J. Appl. MECH., 1973, vol. 40, No. 1.

46. Y/lodarczyk E. Propagation of a plane loading and unloading wave in a bar with monotone increasing cross-sectional area andcurvilinear ( 6 S ) - relation. "Bull. Acad, polon. sci. Ser. sci. techn." 1966, 14, Ho. 3, 245-252.

47. Wlodarczyk E. An analytic solution of the problem a weak-discontinuity unloading wave. "Proc. Vibrat. Probl. Pol. Acad. Sci.", 1971, 12, No. 1, 71-86.

48. Wlodarczyk E. A closed-form solution of the propagation problem of an unloading shok wave in a bilinear elastic body. "Proc. Vibrat. Probl. Pol. Acad. Sci.", 1972, 13, Ho. 3, 219-227.