Численные методы решения обобщенных спектральных задач для полиномиальных пучков самосопряженных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

РГ6 од

¡О^ДЕРЖАВНИЙ УН1ВЕРСИТЕТ 1м. I. ФРАНКА

ЧИСЛОВ! МБТОДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ УЗАГАЛЬНЕНИХ СПЕКТРАЛЬНИХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛШОМ1АЛЬНИХ ПУЧК1В САМОСПРЯЖЕНИХ ОПЕРАТОР1В

Спет'альтсть 01.01.07 — обчислювальна математика

Автореферат дисертацп на здобуття наукового ступеня кандидата ф>зико-математичних наук

2 9 МАЙ

На правах рукопису

ПОДЛ Е В С Ь К И И Богдан Михайлович

ЛЬВ1В— 1995

Дисертвц1ша в рукоаис

Роботе викляяиа в Гяститут! прикладам. проблей ыехаШки 1 математики Я.С. Шдстрягоча НАН Укра1ни.

НауковиЯ К8р1вишс: кандидат ф1зяко-штвыаткчних наук,

СТ.Н.о. ЕШНСЬКИЙ АНАТ0Л1Я 1ВАН0ВИЧ

0ф1ц1йн1 шокввти; доктор ф1зико-ыатёматичша наук,

. лрофвсор ШИНКАРЕНКО ГЕОРИЙ АВДР1Й0ВИЧ

доктор ЗДввко-иатвматичнш наук, ОТ.Н.с. ХЛОБИСТОВ ВОЛОЩШР ВСДОДОШИРОВИЧ

ПровХдва устаноаа: Державин* ун!верситет "ДьвХвсыса пол1техн1ка"

Захнст в1дСудеться * черная 1995 р. о 15-00 годин1 на зас1давн1 опец1вл1завано1 вчено1 ради К 04.04.05 у Льв1вському державному ун1вврсятет1 1м. I. Франка ( 290602, Льв1в, вул. Ун1-верситетоька 1, ЛДУ, ауд 261 }

8 дасертац1ею мота озиавшитись в б1бл1отец1 Льв1вського дервавного ун1верситезу.

: ©г

Автореферат роз1слакнП МЛ" ^ ^ 1995 р..

Вченяа секретер

Шец1ал1эозаыо1 вчево! рада Остуд1н Б.А.

ЗАМША ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальн1сть проблема. Багато теоретачних 1 прикладнях питань математично! ф!зикя, мехаМки та Хяших наук породхують спектральн1 задач1 для операторнозначнйх фунжц1й. Эокрема, ряд обернет« задач стосовио синтезу нштрсм1нюючих систем зводкться до нел1н1Ёних р1в-нянь' типу Гаидерштейна, як1 мать невдиниЯ розв'язок. При доел1д-жени! к1льк!сних 1 як1свих характеристик розв'язк1в тагах р1внявь необх1дно знаходити розв'язки в1дгеов1дних л1н1Яних однор1дних 1н-тегральних р1внянь з нел1н1йшш спектральним параметром у ядр1,тоб-то виникае проблема досл1дкеншГ 1 розв'язку узагальнених задач на власн1 значения. Розв'язання ц1е1 проблеми дав мохлив1сть отримати 1нформац1ю ще на стад11 проектування, вибираючи аптимальн1 щодо рознив 1 електродинвм1чних характеристик кипром!1шоч1 системи, тсб-то проводит обчислювальний експеримент..

Спек*ральна задача, взагал1 кажучи, в досигь складною проблемою иатематично! ф!зики 1 II розв'язання пов'язано з значними труд-нощами як при теоретичному досл1дженн1, так 1 з обчислювально! точки зору,

Достатньо повно досл!д*ен1 д1н1Ян1 (класичн1) задач1 на власн1 значения. В багатьох вкладках для них 1сиують загальн1 результата Цснування власних значень, 1х д1Ясн1сть, кратн1сть, розпод1л, структура множили власних вектор1в 1 1яш.), а тако* ефективн1 метода знаходхе! 1Я 1 оц!нки власних значень.: .

Узагальнен1 задач! на власн! значения, зокрема з пол1ном1аль-ною залежн!стю в1д параметра, досл1джен1 це недостатньо повно. Вони виникають при иоделшанн1 складнях задач математично! ф1зюда, чнм пояснюеться 1х актуальн1сть та значний 1нтерес досл1дник1в до роз-робки метод1в та алгоритм1в 1х розв'язання.

Основи загально! спектрально! теорИ голоморфных оператор-Функц1й 1, зокрема. пол1ном1алыгах операторних пучк1в закладен! в роботах М.В.Келдиша, де розвинен! потутГ анал1гичн1 метода, як1 основан1 на вивченн1 1х резольвент. Щ результата пот1м були посилен! I узагальнен1 в роботах Д.Е.Алахверд1ева, Г.В.Радз1евського, та 1нш. .

3 прикладно! точки зору серед р!зних оператор-функц1й найб1ль-ио! увап; зас уговув.клас пол1нсм!альних операторних пучк!в з еамо-опряженими операторами-коеф!ц1ентами. Взклиеий 1х п!дклас складають

г1пербол!чн1 операторн1 пучки, спеетральн! задач! для якнх допускаюсь вичорпне теоретичне досл!дкення i розробку числових алгоритм1в Ii розв'язання.

На даиий час визначилися дек!лъка л!дюд1в до розв'язку такт узогальнешх задач. В основу одного з них покладена факторизац!я опера тощих пучк!в з наступним доелХдаевням спектральных характеристик мноаник!в. Такий п!дх1д бере св!й початок з роб1т М.Г.Крейна та Г.Лангера i розвинезшй в. роботах А.С.Маркуса , 1.В.Мереуци, ВЛ.Ыацавва. Кого обчислювалъним аспектам присвячен! робота Х.ДЛк-рамова, В.Н.Кублановсько!, В.Б.Хазанова, В.Б.Михайлова, А.Фр1кера.

ЬшШ напрям пов'язаний з вар!ац!йним описом спектру пучка. Такай п1да;1д бере ов1А початок з роб!т Р.Да£ф!на, де розглядалася спектральна задача для сильно дёмпфоввних квадратичлих операторпах пучкХв. Тут, по сут1, було отримано узагальнення в!домого класично-го м1н1иаксного пршщипу характеризацИ власних значень. В подаль-вому такий п1дх1д отримав св!й розвиток в роботах Е.Роджерса, К.Га-делера, Ф.М.Реза, Д.Скотта, а такоа Ю.Ш.Абрамова, Р.Тернера, Б.Вер-нера, Г.Восса та !нш..

Розробляеться ще один вакливий непрям досл1дження узагальнених спектр&пыдис задач спец!ально для пол!ном1альшх пучк1в самоспряже-них шератор1в. В1н базувться на л!невризацИ по спектральному параметру, тобто звы!н! шх1дао1 нел!н1йно1 задач! екв1валентною л1-HltoB задачею в б!льш "широкому" простор!. .Л1неаризац1я використо-вувалася в роботах А.1.Бал1нського, В.Н.Кублановсько!, П.Мюллера, К.Шнейдера, Р.Лвхыана, В.Б.Хазанова 1 !нш..

Вихористання л1неаризац11 при досл1дженн1 пол!ном!альних операторам пучк!в самоспрякешх оператор!в особливо доц!льно в тих випацках, коли в1дпов1днай л!н1йниЯ пучок вдаеться симетрувати дея-кам саыослряженш! додатно визначеним оператором.

Питания скметрування л!неаризатор1в окремих клас!в квадратична пучк1в смюсарягених оператор1в в неск!нченновим!рному простор! розглядалося ке в роботах К.Гвделера ! П.Мюллера. Однак, потр!бно в!даначнтм, цо мохлив1сть побудова сиыетризатор!в Сула суттево обу-швлена квадратичною залежн!стю в!д параметра ! спец1вльниш1 влас-тквсстями Bora оператор1в-ксеф1ц1ент1в. Для пучка n-го порядку з оОмевеимма саюспряже1наы операторами задача дословна АЛ.Бал1н-

'V I'

Метой дано! робели в:

- розробка методу симетруввння для доол1дхення узагальнених спектралыгих задач;

- узагальнення вар1ац18ного и1даоду до доел1д»ення 1 знагод-ження спектра лъгах характеристик узагальнеких слектролыадх задач для лол1ном1ялших операторних пучк1в дов1льного порядку;

- вобудова схем 1 алгоритм1в стац1он»рмих та нестац1онарних багатокрокових аналог1в 1терац1йгаа иетод!в для зяаходження влаоних эиачень 1 власних вектор1в пол1ном1альдах пучк1в;

- проведения чиолових розрахунк1в по знаходженню влаоних зна-чень 1 власних воктор1в ряду узагэльнених задач, як! виникають при досл1дженн1 як1с1шх характеристик нел1н!Яних р!внянь в теор11 синтезу випроы1н»вчи1 систем.

Наукова новизна полягае в тому, цо:

- здШснена математична постановка звдач! симетрування для по-л1ном1альних операторних пучк!в самоспряжених олератор1в (як обме-жених, так 1 диференц1альних) дов1льного порядку;

- запропоновано критерИ та деяк1 достатн1 умови знаковмзначе-Ност1 симетризатор1в 1 покн1стю розв'язана задача 1х побудови;

- показано ефективд1сть вюсористання методу симетрування на приклад! задач на власн1 значения з спектральниы параметром в кра- -

. йових умовах;

- запролонована } обгрунтоввна вар1ац1йна характеристика власних значень для р1вном1рно (ц1лком) г1пербол1чних операторних пуч-к1в;

- побудовано схеми 1 алгеритми багатокроковнх аналоПв 1тера-ц1йних метод1в для знаходжения спектральких характеристик таких задач; '

- запропоновано п!дх1д (побудовано алгоритм та проведено чяс-лов1 розрахунки) до чисельного розв'язання задач1 знаходження пер-иэ! точки розгалуження одного типу нел1н1Йних 1ятегральних р1вяянь.

В1рог1дн1сть отриманих результат1в забезпечуеться строгим ив-гематичним обгрунтуванням георетичних результат1в, доведениям зо!я-иост1 1терзц1йнихПроцзс1в, вотановленням двосторслн1х оц1нок для бласних значень, а тако* хорошим погодосекням числових розв'язк1п з

В1Д0ЩЕ£И.

Практична л1кн1сть .робота полягев в тому, що в н!й повн1стю . завершена побудова тесрИ методу скиетруванкя для пол1ном1алышк пучк1в самоспряяенкх опервтор1в (як обыеаеша, так 1 диференц1аль-иих) довольного порядку, Заетосування методу симетрування дав иаж-. лмв1оть використовуватм при досл!даеик1 в1даов1дда нелШйних s:;-дач метода класично! тесрП i отримувати на цьому шляху результате, як1 узагальншть в!дон1.

Поеднання методу симетрування з вар1вц1Еним п!дходои огшсу спектру дозволило обгрунтувати вар1ац1йиу характеристику власних значень операторного пучка 1 на ц1й основ! побудувати числов1 алгоритма З-i поауку (причому обчислення проводит» не сере ходячи в прое-*г1р бХльш виеоко! posulpaocri), Зохрема, програмна реал1зац1я $а-прапанованого алгоритму знаходкення точки розгалуження розв'яаку нел1нШюго 1нтегрельного р1ришня безпосередньо вюсористана при розв'язуваня! практичных задач синтезу ишром1шоючих систем,

Апробац1я робота 1 публ1кац11.' Основа 1 полокення J. окрем! результата дасертадШю! роботи дсдав1далися i обговорювалися на УХ та XII Всесоюзному сем1яар1 з питвнь ситЛзацИ обчислекь ( Алуш-tb,198i ; Одеоа, 1989); I, V, VII те IX Конференциях молодих вче-икх 1в статуту пршишдешх проблем механХки 1 математики АН Укра1ни (Льв1в, 1973,1977,1979.1981); РеапублАканських сем1ларах Науково! ради АН Украина з проблема "К1бериетмка" (Льв1в,19В8; Ки1в,1989); I-lí Всесоюза 11 науково-техн1чн18 ксдаферевцИ "Лристро! 1 метода ирюсладно! електродинамАки" (Одеоа, 1988); Нвуково-технХчвшу cml-üspi "Проектуваиня рад1оедейтроаа»1 цркотро1в s заотосуванням САП?" (йахадшЛв. 1990).

Зй матер1влами даоертацИ адубл1коввио 12 наукових роб1т.

Структура 1 об сиг диоертацП. ДвеертаЩя окладаеться з вотуиу, чотарьох ризд1в1в, висйовк!в 1 сшоку лДтератури, «кий включав 105 и«вм«шувань íirepayypaa« jptepeí i mí стать 111 отор1нах тексту.

аэдст ДИСЕРТЛЦИ

У вступ! подгаю короткий огляд i енвл1з лАтератури з дано! проблематики та обгрунтов'вна актуалыйоть вибрано! теми. Виклвдеиа мета роботи, сформульоваяо основн! положения, як1 виносяться на эвхист.

" Перший розд!д присвячешй!» головяим чином, побудов1 . методу симетруввння для г1пербол1.чних пол1ном1влыадх оперяторшх пучк!в еямоспряженмх оператор!в. Основна увага ирид1ля0ться зв'яэку м!я спектралъними характеристиками оператор«* пучк1в 1 1х л1неариза-тор!в, пабудов1 i опиоу мкожини вс1х симвтрйзатор1в, й-тркож кри-Tepi» i деяким достатн1м умов ом «гмвтровакост!..

Розглядаютъся пучки виду

bfU = Х""1!^ ... + XL^jt 1Я (1)

э операторами-коеф1ц1енташ Lt, t=0,1.....п , як1 налеявть де-

як1й мноэеин! оператор1в Х(Н),. де Н - г1льберт1в прост1р над полем д1йсниж eöo комплекснях чисел з скаляриям добутком (•, •) 1 нормою !•! . в - спектральний параметр. Множима опвратор1в Я(Н) Mose бути множиною во1х л!н1йних неперервних ( в(Н) ), ц1л-ком неперервних ( Вл(Н) ) 1 ск1нченновим1рних ( В"(Н) ) операто-pin, як1 д1ють в Н , а таков мноаиною во!х лШйних замкнених ?)ператор1в ( Ъ(Н) ) з сгг1льно» облаотв визначення 0(Ь), вЦльною в II.

Ягацо 1 D(L*i)^D(Li), (=0, ... ,п , то пучок (1) иаэи-

ввоться самоспряяетш. Сямоспряженнй пучок (1) називавться rinep-

Оол1чним, якио 1Q»0. 1 при Vj/*0 во! торен! pt(y), f=l.....п ,

многочлена (L(\)y,y) д!йен1 i р1зн1.

Опечатку розглядввться задача л1неаризац11 пол1ном1яльного пучка. В простор!. Н - прям1й (ортогональн1й) сум1 п xonltt вя-?1дного простору И ( елементй э Я позначяються через у =ГУ, у , ... ,51%)1, 2 а скалярная добуток s кьому ли-

ы »v %

эяачаеться формулою (y,z) = £ 0/t,z() ) вводиться оператор

- а -

i показувться. цо пучки L(\) 1 1(\)=\1-2 спектрально екв1вэ-лентяJ ( I - одиничний оператор в npocropi Н ). Л е ы а 2. р(1)=р(1)^ 0(1)=е(Ь). Л е ы а 3. ofil)*c (I). ac(lMe(i), ap(L)=or(i). Тут Ор - точковий спектр, - неперервний спектр, ог- залиико-внй спектр.

Л е м ö 4- Пара [Xify() в власною- парою пучка (1) тод1 1 т!лыш Т0Д1, коли (Х{,(у4Д(у{.....- власна пара оператора (2).

Заувакення. Для пучка (1) поряд з л!неаризатором I мояиа викориотовувати такой Лнеаризатор LT. При цьому op(LT) ~ б(L) 4 а власн! вектора у I z отератор!в LT i L зв'язан! сп1вв!диовенням у = Sßz , де

S/S^z ; z^l L kmly , Ä--1.2.....п . (3)

(«о

л «,

з области визначеная Ь('S0) = в D(LQ), щ1льною в Н , коли £{с Ь(Н)

1 D(SoMl . .коли I(c 8(R1.

Оск!льки при л1неаризац11 пол1нои1 ального пучка самоспряжеши оператор1в втрачаеться властив1сть саыоспряяеноет!. то двл1 роз-глядветьоя питания симетрування оператора I .

Озна чення. Оператор I г1льбертового простору Н на-зиваеться симетррваним, якщо в простор1 Н 1снув скалярний добуток [•,•) , в!дносно якого L о симетричним. ТвкиЯ скалярний до-буток I•,•) називаеться симетруючим для оператора I .

Якдо скалярний добуток I •, • ) записати у вигляд1 t •, •) = = (S-. •) , де S- симетричний в.1даосно (•,•) додатно визначений оператор, то симетрованяй оператор I задовольняе сп!вв1дношенню (Sl)*' SZ .

За доноыого» отератор!в LI та дсв1льного многочлена з д1Дсншя коеФ1ц1ента«и

^ р(\) --а^а^-3* U)

в npocropi С Судувться оператор

S = Sjxl) , (5)

чдгы «кого справедлив! так! твердгення.

Л е м © 5. Сперэтср 5 - с;:метругчш2.

Т е о р е м а 1. Будь-якиЙ з скмет^ячпп» сгперптор1й йиду (5), де р(\) - д1'Ясняй мяогочлей i D(S)=D(S„)t о скмэгрйзэтором one-

«v - v/v ^ «iv о

рвтора L ¿ тобто fSi; =Síi

Т о о jj е м а 2. Kesoil ШюгоЧлей (4) üoa Д1йой1 Kopetii áj< &г< ... < «t 4 i "Год! укоай

(-')}1Ша{)у.у)*1%(й>j/h >t¿0 V¡f s p(L) , U1.2...., ti-i, (é) о нео0х1дннми 1достатп1мп для того, сой сдав*рйзатор S = SQp(l) оператора L дув р!ш)Ш1ряо лодатпо внзйвчюш!» тосто

' iSy.y) » iíy.h, f>0 Vy <* D(L)>

При цьсяу, формулою (5) опиеуеться- вся «по«та сжметрязатор1в ri-пербол1чного пупса виду <1).

Сйектральнимп зонаш ПЛербол1чйого пучка (1) пазиваються мнсаанз я{, ,... ,п , вс1х знапепь функц1онэл1в pt(y) йа ода-íriráilñ сфер1 простору ¡!. Очеввдпо» cío спектральн! зонй в на пустыми зв'язнямя обыетенгаш пАдшокотяка д1йсио1-прямо!, у об то иро-ulsimm (sao точкомл), як1 не ггератшаотьсл. Одояк, вони иокуть мети сп!лън1 гранпчн! точга. Якда ít íí^ П я* - е. . то говорить, до спектрзлый зояи Sj 1 Е1дя1лен1. Пучка з такши вла-ctoboctibci.bcIx ix спйктрзлътгах зся огрдаэет пазву сильно г1пербо-Л1чнм, вбо р1шсм1рпо г1лврбоя1чнз2 пучз;1в.

Щдкреёлнмо, мо в reopsal г деапся скэ1валей37те, одмк б1льа практкчке о' 'сання р1вяоа1ряо rlirepda.ni'tísa пучк1в. В рол1 «мок, що розд1ляють зона, Еяетупаоть Kopsni «ногаздэна якяй. га-

користозуеться пра псбудов1 спгетрязйтор1в оператора i .

В робот 1 влд1ятаться таяеяг клао г1пэрбая1пткх пучк1в, для йкях' питания и1дд1лепосП Is спхгриыт sm Ю!р1пуои>оя особливо просто.

О з н 8 ч в й я я. Пучоя 1(\) Пйэюаатьей ц1лкш rlnepeo-л1чним. ямцо вякопуеться умова

С»8ШУМ.8'(УЛ)) > О . П)

gfy.ij = lM"'cori»Ms',;acfrí;^...tleit!l,9fy;tcse_<ryj. "•

сЛу) • t (п-n)ak(y>a^(y) , aу), i«0.1.....п.

к*п I ■ , » -

(»0,1.,!. ,г«-1, Й»0,1.....П-1.

В формул! (7) - 4езут1аятэ двох многочлен^.

Для уедах .цучхАв справедлива т^ке з?»ердукешя. Теорема 3, Я«1\о пол1ноы1алъний одераторшй пуча; 1Ск) дзЦкоы г1нер<5ол1чыий., то скыегризатор S ,оператора ¿ (Зуде pliiHo-wlpiip додатаю виан&ченяы, причому S будуетьсд за формулою

S* j г»

fi S¿(L.yQ> ,

= ■лля <5.удь-«кого ф1кооводаго ü0 g да.; .

У дщпадках, коли е мажливХсть ац!кити фунхцЛоиали (1{у,у) аьерху i эздзу, вдяадярться корисшм <Яльщ простой критерДВ додатг иоД йиавдч&ноо'г! оииетразагора. Однак в!и е лиые достатлЛм.

Г ,е о iP е,е Л- Нвкай ifXp - опервторний пучок веду ,(1).

¿ £ * l/,.J/),. и^Х), .^>0, уу с jDCI;..

.Яадо .да чр^дь-^якоыу ti , А-1,2,..- ,п-1, виксдауютьоя умови

■го р1ыюм1рио додйтно №значений симетррзатор S оператора 1

будувтьоя so допомогою оп1ш1дношеняя

= -

""чкуе, нкцо lüBHouipao обо .иДлком р1пвр<Зол1ч)шй опара-

юргмй:пучок в0о г1цербол1ч1Шй пучок, ,який задоволъияв ¿иовам теорем»! 4, то вигДдну нелШйну задачу ыожна замХнити екв!валентной. аодячвю про спектр оператора Í який,ыиштруеться cauocnpaseiuiu додитно визначешш оператором S ..

В робот1 заироионоваио .конкретле заотосуваяня методу симетру-ымт для доол1да»янн. одного клаоу задач на влзсн! значения э адшм ияршатрш в нряйоылх ушпах. Показано, «к задачу aa<>Wi! до иол1ном1алъного пучка з самосоряжеиимп опвраторами-коя-<J>iUÍiíHfíjas: 1 ьизнячм^н иэгЦр чисел,як1 забезлечуняь виконання умов 'f<?{jpswss «гсчууо побудувати додатний сиыэтриватор сулроводаушого оизрчтура.

•1ак«м чином, заогоаування методу сиывтрувшня при досл1д*ешЦ .»Ц^оицщнх «-¡л 1я ifeHiíх сиектрэдьнлх задач, дао мозыгцв1сть отриму-вяти дин itiiс ¡ьладсч-и кдасичяих результат^. П*вн1Я реядАзацП та-k'^iut.-^víTW ¡(fwicb.H4¿Hi аэотуцн! роздали jxtóoTU.

- а -

Ирисвйчеяйй по«удов1 уэвгальпвкИХ о)1йл1й

гелия 1 В8р1ац1йнс«у сппоу власти эначёиь г1йярбол1чш1к пучк.н,

Опечатку розглядяётьйя г1пербол1чниЙ опероторний пучок ряду (1)з овмеяепнш оперйторями-коеф11ивнтпми , тоста е ,

В простор! И -ВВОДИТЬСЯ ФУИЙЦОЙЙД

(в)

к

ЯИ-.)

(9)

'Форлултоетъся прингот Радея 1 доведаться теорема-.

Т й о р е м а 5. Як^о Пучок эадоВольнйв у>*овй (6),

тод!

^ Шп

у

дё г* визначпотъея за .допомого» (9)-, в власна "пара 1(\).

Аналйг1чюЛ результат отримаяо 1 для г1тгерДсийчногв пучка а гЦлкой неперервними тй дифе'репи1йлыгими огхератор!«а~коец1 ектями, яюгй сформулъоваяо у вигляд1 теорем.

Теорема8. Якщо пучок (1) :з Щлком тгеперервнимя еямо-¿•ггряжешши операторами, кизначйоат на сеПарйбельвому г1ЛьОертояо-му простор! Н, з В(Н) звдовольняв умовй (6)-, тод! задача т

нласн1 йнпчсн.тя 1(\)у = 0 мае зчисленпу множину д1йстлс я л пени* ^начеиь, нка дсЯгаеться дб нуля

\ •> '"> V > ... О

¡1 й!дпоп!дну пепяу ортснормовяну гюол1лопн1аъ тиютих нектор1в

[у*.}, ТС5ТО

» О , у) « Ь . /-1,5.....

0 власн! значения ддя seil и ь 1 шзвачаються як максдаум узо-гальиеиого Çynimauiizy Редзя (Ô).

Т е о р с « с 9. Якдо лучок (1) з дйференд! а льнами самоспря-¡кещ&ш 'етюрагорг-ул задовольняв уыовн (6) та шконуеться умова ilrß,il) > V,Ay.У), Vñ>0 vy с D(L), де ßfx; - область шзначешш дучка, уод1 задача на власи1 значения .= О мае зчисленну

•шсетиу дЛСзщг» ^ласках Едшчень, як! не ).1а»ть ск1иченыо! гранично! Ï041C! ■

à,< ... < la< ... -í о

1 в1дооз1дау nosay ортсиорыоваиу шсл!доеш!отъ власига вектор!в {</j} . ïoôîo

Ul}>V} * О . i/J с JXL) , >1,2.... ,

о алаон! апзчаш jysa bcís п в 1 иизиачгшться як ы!н!муы уза-гальыедого фушаЦоиглу Релея (в).

В тратьом.у иобудовад-il снслогн отац1онарш12 I иеота-

ц!онариих ¿тораоШшх кэтод!в та слгораггм1в для узагальнено! спектрально! аедач! s пол1цс«!аяьнш! операторным пучком. Вони базують-ся на lîlHlwlaauli сбо ыакашАзтЦ! узагальиеннх фупкц!онал1в Релея.

Длл аздач! ¡iü слгсш! значит L(\Jу =■ О , де L(X) - гАпер-0ол1чщЖ опоратар1шЯ пучен: вдду (1), запропонована загальна. схема п -крокоиого 1тсрац1елого нетоду розв'язку задач! у вкгляд!.

<el»1,2, ... ,п-1),

Обо

^.VV.VVA-,* -- (11>

№»1.2, . ,11-1),

< Pt - l^apsulÉíii параметра, tt=n, n+ 1, .... . iteo a Л ß un валелгать в!д Ьдакса v , зюбто un коздому

кроц! !тервц!1 сони э посг1йшолз величинами, тод! отрнмуомо стец1-онариий 1терац12шгЯ метод 1 нгетац1онарний в протилегшону канадку.

В заленност1 в!д того, як визнзчаюгъся параметр« « , ¡3 , а; такоя вектора Л., Л„, ... ,Л„ . отршуегьсл тсй чл 1нккй 1тера-ц1йиий метод.- .... .

Алгоритма, як! дал! розглядазоться, булушъся з врахувшндм ■* того, що град1быги

' • (12)

ФушаЦоналу (8) на ксгшсиу кроц! Судуть ортогс:!влык«и м1з .собою..

А л г о р ц у м 1. По дояксму набору фушоЦ2 , .. •, уп « Н назначаемо у„ + 1 , у = 1,як розв'лзск (10), де

Л»-».' .* - * (13)

а власн! значения шукавться за долсдагоэ сп!вв!днопзш1Я

ДО

<ч<

Л

^.(.Д-ц,),!.! . .» »

, Ь в I .

¿V, .•

(«I '

Пзраметрн <*„ + 1! впблраиться з умов а м1н1ыуму фунгаЦоналу (14) .1 улови ортогональном! град!ент!в цього фунгаЦоналу но кожному кро-ц! !терэц!йного процесу, в!дпоз1дао. Для лара»етр!в 1 ,в.

робот1 даписвн! в!дпо»!дн! сп!вв1дноаення. ' ' • ,

Алгоритм 1 о л - кроковии аналогом методу спряиеиах град^ен-т!в длл знаходаення власнах значень 1 власщсс вектор!в г!пербод1ч-1шх операториих пучк!в.

Аналог1чш1Й алгоритм отримуеться; якщо викорастовуватй 1тера-ц1йний прочее (11), для якого Приводиться Bol необх1дн1 сп1вв1днб-шення.

Яйцо в1даовитис>1 в1д обчислеиня ри йа кокн1й iiépauii Í но-класти о; тод1 за допомогою 1терац1йних процг;с!в (10) ta (11) отримуемо 1нш1 алгоритми; як1 будуть для задач! L(\)<j = 0 баг'а-токроковишг аналогами методу спуску (п1дйому). В цьому иипадку по набору функц!й _yt ,ys, ... е И визначатоться як розв'язок (10),а власн! значения вйзначаються за допомогом (14) Анолог1чний алгоритм отшму'етьея з шкористанням ехеми (11).

Ильше того, 1терац1йн1 процэси. (10) та (11) описуютЬ такой 1 так! стац!онарн! алгоритм;!, як п - кроков1 аналога степеневого методу та методу обернено! 1терац11.

. Застосувакня теореми Тешля в npoueci алгоритму обернено! Ьч-рацП дозволило отриматй посл!довност1 двосторотйх оц1нок власного значения .1, таким чином, обчислити floro з б1лыпога точн1с-тю'. Числова реал!зац!я такого алгоритму демонструеться на приклад! задач1 для квадратичного пучка диференц1ал' них оператор1в.

Таким чином, 1тера'ц!йн! процеси (10) та (11) об'еднують в ' рамках едино! схеми алгоритми, як1 е багатокроковяш аналогами методу спряжених' град1ект1в, методу спуску-, á також степеневого методу та методу обернено! 1терац11.

В четвертому роздШ запропоновано п1дх1д (гюбудовэно алгоритм та проведено числов1 розрахунки) до ■ чиселъного розв'язання задач! знзходження першо! точки розгалуження одного типу нел1в1й-них 1нтегралышх р!внянь, як1 виникають при синтез! автен за ¡задано» ампл!тудною д1а1фамою напрямленост! (ДН).

- Взр1ац1йна постановка задач1 синтезу приводить до нел!н!йного 1нтегрального р!вняння

ли = j cig , (15)

-i ■

нке мае нееднняй 'розв'язок. Тут ~ Ш антенн, Р(£) - задана

амшйтудаа ДН, с - параметр, який характеризув електричн! розм1ря антенн 1 величину кута, в якому задана F(£J ,

^(.са-Е.'Я

= .............; '

К!льк1сть розв'язк1в рХвшишя (15) залехить п!д значения параметра с 1 вигляду задано! функц11 ? . Вкявляеться, «\о ода« з розв'язк!в р!вняння <15), якгЛ вигшсуаться в явному вигляд!, Дернув для вс!х значень с>0 1 вАн в единим для ыалих с .* Але .практичней 1нтерес в 61льшост1 вшщдкХв мяють якраз т1 розв.'язки, як! в!дга-лужуються в!д п ершиного (тривХального) ростом р

Задача .знадодаекня точки С , в як.!й 'пХдбувает-ься вДдгалукен-пя рсзв'язку в1д первивдого, вводиться до визначення власних значень узагальнеио! спектрально! задач! на власн! значения в-дду '

V = У(с)\> , (.1.6)

.з !нтегральним оператором

Г , . ■■ , ■

Т(сМ1.с) * ..... , .. Ф . М)

дэ - первинний розв'язок рДвняяня (.15).

-Запропонований п1дх!д до знаходаення точки розгалужекня полагав в зам!н! задзч1 (16) задачею з 1гол1ном1аль!1о з'алежною ,в1д спектрального параметра оперяторнознзчною фунгаЦею 1 добудов1 алгоритму чнсельного знаходження II наймекшого власного значения, .числовэ реал1зац!я якого даа наблюдения до точки розгалукення ви-.х!дно1 задач!. З.застосуванням .методу симетрурания ! алгоритму оберкено! 1терацП, запропоноваши в.попереднХх, розд1лах робота, було чисельно знайдено наймешие ,власне .значения,спектрально! звда-,ч! для пол1ном1ального пучка, тобто була.знайдена.перша точка роз-г&лухення розв'язку рХвиядая (15) для дек1лъкох.тшЦв задания р.а~[ грам. . 1 ■

Зроблено анал!з числозих результата.

В1дзначадться, що вказаний п!дх1д до розв'язувшшя зядь а .(1.6) не.приз'язаний до .конкретного.талу.антен X_ меже бути виксрие-, ..тений для здаходаення точек .розгялух^няя в!доов1даих нед1н.(йяих .рХвнявь для р!зного тяпу еипоом1н/кчих ..систем'«

В висновках фэрмулшться осношХ результата работ . та деяк! напрямки мокливого продовкення досл1деойь.

0СК0ВЙ1 ИЗУЛШТЙ. РОБОТИ:

1. Розроблево загалышА п!дд1д до побудовз 1 опиоу мноиши вс!х сиыетризатор1в пол1иса1влышх пучк!в самоспрязгейих оперзтбр1в (пк неперервних, так I да$орекц1вль!Шх) дов!льного порядку.

2. Встановлаяо крптерН то дэяк!, в1дпосно прост1 для перс-в1рки, достотн1 умови 8какои53Нйчекорт1 ск*87разатор1в.

3. Запропоиоваво * роад1воввзо конкрэтив засТосування методу симетрування для. доелЛдяекая одного класу задач на власн1 значения з спехтральким параштрш и крайетзя уиовах.

4. Обгрунтовапа вар1сц1£па харакгераокжа влаених значень для Пол1ном1альнл2 пучк1в доз1лького порядку з сокоспряяешага непе-рервнимя, ц1лкоу Ееперэршазя! та д^фзретЦакьнйма операторами-кое-Ф1ц1еягада, сшетрпзаторз л1нсарпзвтор1в яквх волод1ють влаетивос-тями знаковЕзначеиост!.

5. Побудовано аналога сттЦшарнях I нествц1онарних 1терац1й-них иетод!в звахоетешш влаоют значень 1 плаених вектор1в р1вно-м1рно (ц1лкоя) ПвербоМчнах олвраторнлх пучк1в.

■ 6. ЗапрокскаВЕЯО иовяй п!дх1д (побудовано алгоритм 1 проведено числоЛ розразфоа) до чпселыюго розв'язуванвя эадач1 зваход-кешя перзо£ дааа роэгаяуЕзппл одного тепу нел1н1Дних 1нтеграль-нах р!виянь, як1 Екпагасть в тсорИ сгптезу вййроы1нхючпх систем.

СШШ СШБЛВШДНМХ Р0Б1Т ПО ТЕШ ЛИСЕРТАЩ1

1. Байгаокй А.Й.", Гкдагвтшй Б.М. К всстросу о двусторонних . оцокках собстваищх значеиза подшжсалышх операторных пучков // Мат.катода и &гз.-ыэх. поля. -1976. -Еып.Э. -С.94-95.

■ ■ 2. Балкнский А.И., Пйдвевкай! В.Ы. Вараацпопиая характеристика собственных, значений некоторых полкномиальнше пучков дафферен ; циалышг операторов. // Мат. метода к фяз.-ыех. поля. -1983--Вал.17. ^С.17-21, 3. Вал1шскйИ А.Н., ПодяевокЕй Б.М. Узтод последовательных приближений в задаче о собственных значениях пучка да®фэренци-: альных, операторов . // Мат. метода п фяз.-мех. поля. -1983 . -Бил.1Ь. -С.18-21. ' '

4. Подлевсгай Б.M. О свмоеопрмженних операторных пучках, спектрально вквивалентных симосопряжеиним операторам // Укр. мат. хурн. -1984. тЗб' У 5. -С.660-663,

5. Подлевский Б.М. Итерационный алгоритм решения обобщенной задачи на собственные значения для полиномиальных операторных пучков // XX Всееоюзн.семинар по вопросам оптимизации вычислений, Алушта, 6-8 октября 1987г.: Тез.докл. -Киев: Ин-т кибернетики АН УССР, 19Я7. -С.165-166.

6. Балинский А.И., Подлевский Б.М. Метод симметризации в обобщенных спектральних задача*. -Львов, 1989. -ЗВс. -(Препринт /АН УССР. Ин-т лрикл. пробл. механики и математики: 25-8*3).

7. Подлевский Б.М. Некоторые градиентные методы в задаче о собственных значениях полиномиальных операторных пучков самосопряженных операторов // Мят.метода и физ.-мех.ноля. -1990. -Вып.32. -С.49-51.

8. Подлевеький Б.М, Деяк! алгоритми розв'язку спектральних задач для пол1ном1ал1них олераторних пучк!в. -Льв1н, 1990, -14с. -(Препринт/АН УРСР. 1н-т прикл. пробл. механ1ки I математики; 15-90).

9. Подлевский Б.М. О равномерной положительности симметризатора // Мат. методы и ф»з.-мех. поля. -1991--Емп.34. -С.12-15.

10. Андрийчук М.И.,Василькив Я.В., Войтович H.H..Ковальчук A.M., Подлевский Б.М., Савенко П,А. Синтез излучпщих систем по заданной диаграмм« направленности // VHI Всесоюзн. симпозиум по дифракции и распространению волн, Львов, 1991 г.: Тез, докл. -Москва: ИРЭ АН СССР. 1981. -Т.1. -С.271-273.

11. Сввенко П.А., Подлевский Б.М. Комплекс программ анализа и синтеза линейных, плоских и конформных ФАР и двухзеркальнш антенн // Научно-технический семинар по проектированию p;i-диовлектронмого оборудования с применением САПР, Николаев, 14-17 августа 1990г.; Тез.докл. -Николаев: Николаевский филиал КИИ дальней радио<лвязи, 1990. -С.37.

12. Подлевский Б.М., Романенко В.Я., Рыкэлюк И.И., Савенко П.А., Ткач !4,Д. Пакет прикладных программ синтеза плсегах »нтенних решеток по заданной ймшмгудмоЙ диаграмме напр.т^енносуя // Программные средства машиностроении. -Киев; Ии-т кибернетики им. В.И.Глукковв АН УССР, 1990. -С,43-51.

Особистий вклад. Bol результата, що складають основний зм!ст дисертвц!йно1 робота, отриман! автором сймостХйяо. В публ1кац!ях, як! написан! в сн1вавторетв1, дисертаятов! нвлекить! в робот! {1] - обгрунгуйаняя двос!горонн!х оц1нок власниХ значень пол!ном!альгшх ойераторних пучк1в та побудова алгоритму, в робот! Î2] - побудова узагальненого функц1оналу Релея та обгрунтуваняя вар1яЩйно1 характеристики власних значвнь, s робот! [3] - побудова алгоритму та обгрунтуваннй методу посд1довних наблмжейь* а твкож чиолов! розра-хуИки, в робоТ! £63 - вступ4 параграфи 1,2,4 та п.Э.2 1 н.5.1 параграф^ 3 1 5, в робот! {10} - побудова алгоритму та програмнэ рв8л1зац1я задач! синтезу л!и!йно1 антени, в робот! [11] - побудова алгоритму та програмна реал1зац!я (комплекс програм) задач1 синтезу л!н!йно! та плоско1 ФАР, а також постановка задач! ¥а програмна реал!зац!я задач! аяал!зу дводзеркально! випроМ1ню«чо! св^геми, в робот! [12]- - побудова алгоритму та програмна реал!за-ц1я задач1 синтезу плоско!•антенн по задан1й ампл!тудн1й д!аграМ! наврямленост!. ;.'■•.

Bohdan Podlevfeky. 1№ mmtCtl UETHODS OP SOMJTIOH 0? ÎHE G№RAIIZED EIGENVALUE PROBLBiS FOR IHE POX.ÏMOUIAL BEAMS 0? THE SEtF-ADJOINT OPERATORS

Thee Je for a master'e degree (mathematics and physios) spe- ' ojaltzed field 01.01,07 - computational jjiatheisatJos.

Ivan Franco Lviv State University, I»viy, 1995..

The numerical methods of solution of the generalised eigenvalue problems are profjoeed and grounded. Thie methods te oon-struoted on the basis of the probltm of eyitmetriszation for the ¡.polynomial operator beams with the eelf-adjoint operators completely solved in this sojenti/io work. '

Богдан Подяевекий. ЧИСЛЕННЫЕ (жгода РШЕВДЯ ОБОНЦЕННЫХ ШЕИТг РАЛЬНЫХ ЗАДАЧ ДКЯ ПОЛЕКОШАЛЬШХ ПУЧКОВ СШОСОПРЯХШШ ОПЕРАТОРОВ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических неук по специальности ,01.01.07 - вычислительная математика

Львовский госуниверситет им.. И.Франко, Львов, 1995

Предлохеш и обоснованы численные методы решения обобщенны* задач на собственные значения. Эти методы строятся на основе полностью решенвой в дьнной работе проблеме симнетркзйцим дл» цоливо- " циэльных пучков самосопряженных операторов.

Ключов! слове: узьгальнена спектрельне задача, псд1номХвльтай пучок, самоспрякен! оператора, еиметрування, власн! значения, >