Численные методы решения обратных задач для насыщенных пористых сред тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

| Ч <

На правах рукописи

ШАМСИЕВ Марат Назмиевич

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ НАСЫЩЕННЫХ ПОРИСТЫХ СРЕД

01.02.05 - механика жидкостей, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Уфа-1997

Работа выполнена в лаборатории подземной гидродинамики Института механики и машиностроения Казанского научного центра РАН.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, член.-корр. РАЕН Хайруллин М.Х.

доктор технических наук, академик РАЕН, проф. Хасанов М.М.; кандидат физико-математических наук, доцент Рамазанов А.III.

Ведущая организация: Казанский государственный

университет

Защита состоится " ^ " 1997 г. в час на

заседании диссертационного совета К. 064.13.06. при Башкирском государственном университете по адресу: 450074, г.Уфа, ул.Фрунзе, 32, ауд. 216.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Башкирского государственного университета.

Автореферат разослан " 997 г.

Ученый секретарь диссертационного

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Важным этапом в исследовании многих математических моделей подземной гидромеханики является решение обратной задачи. Методы решения обратных задач позволяют оценить состоятельность рассматриваемых моделей и определять их неизвестные характеристики по геолого-промысловой информации, поступающей в процессе эксплуатации. Проблемы, связанные с интерпретацией на ЭВМ геолого-промысловой информации, приводят к некорректным, в смысле Адамара, математическим задачам. Решение некорректно поставленных задач становится устойчивым, если наложить на множество допустимых решений некоторые дополнительные ограничения. Поэтому, важным моментом при решении задачи об определении фильтрационных свойств пористых сред является выделение подходящего класса допустимых решений на основе некоторой дополнительной информации.

Математическая постановка многих обратных задач состоит в следующем: по дополнительной информации о решении рассматриваемой задачи требуется определить неизвестную функцию, которая либо является коэффициентом дифференциальног о уравнения, либо входит в краевые или начальные условия. Отличительной чертой обратных задач подземной гидромеханики, связанных с исследованием математических моделей реальных процессов фильтрации п пористых средах, является то, что характер дополнительной информации определяется возможностями промыслового эксперимента. Другим фактором, который необходимо учитывать при решении этих задач, является наличие погрешностей в экспериментальных данных. Таким образом, принципиальное значение приобретают вопросы исследования обратных задач, постановка которых определяется характером эксперимента и разработка устойчивых методов их решения.

В данной диссертационной работе рассматриваются две обратные задачи подземной гидромеханики. Первая задача состоит в определении коэффициентов дифференциального уравнения, которое описывает процесс нестационарной фильтрации в пористой среде (обратная коэффициентная задача). В качестве экспериментальной информации используются кривые изменения давления на скважине, известные из промысловых экспериме!ггов.

Во второй задаче восстанавливается начальное поле концентрации, соответствующее моменту выброса загрязнения при конвективно - диффузионном переносе концентрации в пористой среде (обратная ретроспективная задача). В качестве экспериментальной информации используются измерения концентрации в наблюдательных точках на текущий момент времени.

Исследование этих обратных задач н разработка устойчивых численных методов их решения являются актуальными для дальнейшего развития методов математического моделирования процессов фильтрации в пористых средах и их применения.

Цель работы. Основными целями работы являются:

1.Разработка эффективных численных методов решения обратных задач подземной гидромеханики, позволяющих определить состоятельность рассматриваемых моделей и оценивать их характеристики по имеющейся геолого-промысловой информации.

2.Решение с помощью разработанных алгоритмов модельных и практических задач.

Диссертационную работу условно можно раздешггь на две части, имеющие единый

предмет исследования - решение обратных задач подземной гидромеханики. В первой части рассматривается решение обратной коэффициентной задачи на основе теории некорректных задач, во второй - решение обратной ретроспективной задачи с помощью метода квазиобращення.

Научная новизна:

1.Предложен численный алгоритм для определения коэффициентов дифференциального уравнения, описывающего процесс нестационарной фильтрации, но кривой восстановления давления (КВД) или по кривой падения давления (КПД) на основе теории некорректных задач.

2.Предаожен численный алгоритм для определения месторасположения источника загрязнения но измерениям концентрации в наблюдательных точках на текущий момент времени на основе метода квазиобращення.

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием хорошо апробированных исходных математических моделей фильтрации, разработкой численных методов на базе развитых общетеоретических концепций, касающихся некорректных задач, проведением тестовых расчетов и сопоставлением решений прямых и обратных задач, а также, хорошим согласием результатов с результатами классических методов.

Практическая ценность результатов определяется возможностью применения разработанных в диссертации методов для решения практических задач фильтрации. Численный метод решения обратной коэффициентной задачи, основанный на теории некорректных задач, применяется для интерпретации экспериментальных данных. Он позволяет оценивать фильтрационные свойства пористой среды, а также позволяет выяснить необходимость проведения обработок призабойных зон для восстановления притоков жидкости к скважинам. Вычислительный алгоритм решения обратной ретроспективной задачи на основе метода квазиобращения позволяет определить месторасположение источника загрязнения в водоносном пласте по измерениям этой концентрации в наблюдательных точках на текущий момент времени. Численные методы решения обратных задач, предложенных в диссертации, могут найти применение в подземной гидромеханики и в теории тепломассообмена.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на научном семинаре лаборатории подземной гидродинамики и на итогопых научных

4

конференциях Казанского научного центра РАН (г. Казань, 1993-1995), на итоговых научных конференциях КГУ (г. Казань, 1993-1994), на второй Международной конференции "Идентификация динамических систем и обратные задачи " (г. Санкт-Петербург, 1994), на Международном Конгрессе "Развитие мониторинга и оздоровление окружающей среды " (г. Казань, 1994), на II Республиканской научной конференции "Актуальные экологические проблемы республики Татарстан " (г. Казань, 1995), на Международной научно - технической конференции "Актуальные проблемы матемашческого моделирования и автоматизированного проектирования в машиностроении" (г. Казань, 1995), на XIII сессии Международной школы по моделям механики и сплошной среды (г. Санкт-Петербург, 1995), на Международной конференции "Фундаментальные и прикладные проблемы охраны окружающей среды" (г. Томск, 1995), на Международной научно-технической конференции "Молодая наука - новому тысячелетию" (Набережные Челны, 1996), на II Республиканской научной конференции молодых ученых и специалистов (г. Казань, 1996), на VI Международной конференции HYDROSOFT 96 (Hydraulic Engineering Software VI) (Penang, Malaysia, 1996), на Всероссийской научной конференции "Фундаментальные проблемы нефти и газа" (г. Москва, 1996).

Диссертация в целом обсуждалась на научном семинаре под руководством чл.-корр. РАН М.А. Ильгамова (Институт механики и машиностроения КНЦ РАН, г. Казань), на общегородском научном семинаре по подземной гидромеханики (Казанский Государственный Университет, НИИ математики и механики им. Н.Г. Чеботарева, Институт механики и машиностроения КНЦ РАН, Казанский Государственный Технический Университет, г. Казань), на научном объединенном семинаре кафедр ФГД и ПФГ под руководством д.т.н., академика РАЕН Ф.Л. Саяхова (Башкирский государственный университет, г. Уфа).

Пубчикашш. По теме диссертации опубликовано 9 работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертационная работа содержит_страниц и состоит из

введения, ipex глав, заключения, 19 таблиц и 32 рисунков. Список литературы содержит 103 наименования.

Краткое содержание работы

Но введении обосновывается актуальность темы диссертации, поставлены цели и формулируются основные задачи исследования, раскрывается научная новизна, кратко излагается основное содержание работы по главам.

В первой гяаве дается обзор и критический анализ литературы, посвященной определению фильтрационных свойств пористых сред и кратко изложены методы интерпретации гидродинамических исследований пластов и скважин (экспресс - методы).

Во второй главе рассматривается постановка и решение обратной коэффициентной задачи об определении фильтрационных параметров пористых сред при нестационарной фильтрации па основе методов итерационной регуляризации.

В этой главе дается постановка задачи определения коэффициентов гидропроводности а(г) и упругоемкостн р'. Она ставится следующим образом: найти а(г) и р', когда процесс нестационарной фильтрации описывается дифференциальным уравнением

с начальным

Р(г,0) = <р(г) (2)

и граничными условиями

— Я С1) * (3)

or ^

P(Rt,t) = P„, (4)

где а-кН/ц, Р ' = РС + ™РХ , Рж " Рс - соответственно сжимаемость жидкости ц пористой среды, к, т, Я-соответственно проницаемость, пористость и толщина пласта, Rt - радиус контура питания, re s O.Ui - радиус скважины. Дополнительно известны измерения забойных давлений на скважине, полученные в результате промыслового эксперимента:

Р(г„1)=ф(1). (5)

Поставленная обратная задача является некорректной в классическом смысле, т.е. незначительным изменениям в исходных данных могут соответствовать большие изменения в решениях задачи. Решение некорректно поставленных задач становится устойчивым, если наложить на "множество допустимых решений некоторые дополнительные ограничения. Поэтому важным моментом при решении задачи об определении фильтрационных свойств пористых сред является выделение подходящего класса допустимых решений на основе некоторой дополнительной информации.

Приближенное решение задачи (1)-(4), (5) определяется как элемент, реализующий минимум функционала

min J(a.p-), J(a.p-) = ](ф(г)-P<rt, t))'dt. (6)

о

.при условии, что P(r,i) , а(г) и р' являются решением задачи (1)-(4).

Задача минимизации (б) при условии выполнения (1)-(4) сводится к задаче безусловной минимизации прн помощи функционала Лагранжа:

„• дР

где *¥(г,1)- множитель Лагранжа. Используя метод малых возмущений и условие стационарности приращения функционала Лагранжа еС(о,р') = 0, получим составляющие градиента функционала (6)

7/=-[МА, (7)

о & дг о

где тгг,«; - решение соответствующей сопряженной задачи:

Ч(г,Т)=0, (9)

/ ^¥ 2К<у(Г)—

дг

= ^ф(1)-Р(г„ч], (10)

ТГг.г 4=0. . (11)

Численные расчеты на модельных задачах показали, что скорость сходимости итерационного процесса зависит от выбора начальных приближений. Практический выбор начальных приближений осуществлялся следующим образом. При различных значениях фильтрационных коэффициентов делалось 5-6 итераций, затем в качестве начальных приближений берутся такие значения, при которых невязка по забойным давлениям убывает наиболее быстро. Предложенный метод устойчив относительно погрешностей исходных данных. На практике погрешность измерения забойных давлении составляет 2-5 %. При внесении этих погрешностей измерений в исходные данные задачи максимальная погрешность определения гидропроводностн составила 7%. В результате численных экспериментов установлено, что если радиус иризабойной зоны не больше б м н отношения между значениями коэффициентов гидропроводностн внешней и иризабойной зон не больше 5, то в результате НЕГтерпретации КВД, предложенным методом, получается оценка коэффициента гидропроводностн внешней зоны. Аналогичные выводы были получены Г.И. Баренблаттом и др1.

1 Баренблатт Г.И., Максимов В.А. О влиянии неоднородностен на определение параметров нефтяного пласта по данным нестационарного притока жидкости к скважинам. М: Известия Академии Наук СССР (отделение технических наук), №7, 1958.

Необходимо отметить, что классические метода.! обработки КВД не позволяют оценить гидропроводпость призабойнон зоны. Предложенный в диссертации вычислительный алгоритм позволяет оценить гпдропроводностп как призабойной, так и внешней зон.

На рис.1 приводятся результаты интерпретации КВД, снятой со скважнны №195 (Западная Сибирь, Чухлорская площадь). Получены следующие результаты: ст = 0.665 (Д м/сПз), /?" = 1.41 Ю5 (1/ат) Дсгф") =1.410 ■ 10-'.

Рис.1.

Кривая восстановления забойного давления, снятая со скважнны №195. о - реальная КВД; + - вычисленная КВД.

Эта КВД была обработана без учета притока жидкости после остановки скважины. В реальных условиях, после остановки скважнны, приток к ней не прекращается. Продолжающий приток жидкости после изменения режима работы скважнны можно измерить чувствительным скважинным дебитомеггром н косвенно определить расчетным путем по изменениям забойного, устьевого и затрубного давлений. Предложенный в данной диссертационной работе метод, позволяет учитывать приток без каких либо изменений в вычислительном алгоритме.

На рнс.2 приводятся численные результаты обработки КВД с учетом притока (рис.3), снятой с фонтанной скважины № 305 Бавлинского месторождения. Интерпретация этой КВД методом Э.Б.Чекалюка дает следующий результат: а =2.38 Дм/сПз.

Рис.2.

Кривая восстановления забойного давления, снятая со скважины №305. о - реальная КВД; + - вычисленная КВД.

Скв. № 305. Пр1гток после остановки скважины.

По скважине № 305 относительная погрешность оценки гидропроводности без учета тока - 7%. Необходимо отметить, что для малодебитных скважин неучет притока при аботке КВД может привести к еще большим погрешностям.

В третьей главе рассматривается постановка и решение обратной ретроспективной задачи осстановлении начального поля концентрации, соответствующего моменту выброса 1язнения, по результатам измерений концентрации в наблюдательных точках. Эта задача )сится к задачам экологического мониторинга подземных вод, т.е. выделение зон парной охраны водных объектов, разведка очагов загрязнения подземных вод.

Решение проблем по охране подоемных вод от загрязнения и эффективного управления их качеством во многом зависит от исходной информации. Поэтому представляется важным решение задачи об определении месторасположения источника загрязнения по замерам концентрации в наблюдательных точках, для того чтобы своевременно локализовать источник и не допустить дальнейшего распространения загрязнения.

Обратная ретроспективная задача формулируется следующим образом. Требуется найти начальное распределение концентрации С(х, у,0) = у) в ограниченной области

О - {(х,у):0< х,у < Ц , если конвективно-диффузионный перенос описывается уравнением: ¿к 8у? ду? дх у ду

с граничными условиями

ас ¿»1

OL-o,"

О, Щ =0, (13)

äl \у-ч ri-

где 1>г - коэффициехггы продольной и поперечной дисперсии, V, , V - скорости конвективного переноса.

Дополнительно известно распределение концентрации примеси х(х,у) во внутренних точках области О с некоторой погрешностью <5

\\{С(х,у,Т)~х(х.у))!

К

(14)

Для решения этой задачи используется метод квазиобращения. Метод квазиобращения cocroirr в том, что вместо исходного оператора находится 'близкий' ему оператор, для которого задача с обращением отсчета времени устойчива. На примере одномерной обратной ретроспективной задачи об определении месторасположения источника загрязнения исследовалось влияние погрешностей исходной информации и величины ¿гна её решение.

Как правило, в реальных задачах время Т нам неизвестно, т.е. мы не знаем время распространения этой конце1гграцин после выброса.

В этом случае решение обратной ретроспективной задачи (12)-(14) сводится к следующей задаче: минимизировать функционал по параметрам Tue

minJ<$.), J(U = \\[Qx,y,T;U-X(x,y>)'ds, (15)

D

при условии, что в момент выброса загрязнения в наблюдательных точках концентрация не превышала допустимых норм:

C(xs,yi,0)<C0 , i = l,2,...,N,

где С(ху,Т;4,) - решение задачи (22) - (23) с начальным условием С(х,у,0) = 4,(ху) , С0 -(опустимая норма концентрации, Ы-количество наблюдательных точек; 4/х,у)=и,(х,у,Т) • >ешение следующей приближенной задачи:

(16)

з,и, г?и, •д'и,

" Зх ' ду

д'и.

(д'и д'и

Ч --Г-+2-3—+-Г

I, Зх' дх'ду' ду

и.(х,у,0)=х(х,у).

и\ =0

дЦ. А

ДУ.

у=о Г'

- Лс2

= 0,

Ог^г-У^) =0, ду оу |уо у!-

(17)

(18)

(19)

В реальных условиях режим естественных потоков подземных вод является естационарным. Однако за конечный (расчетный) период времени режим естественных отоков подземных вод может рассматриваться стационарным или квазнстационарным. !оэтому для вычисления поля скоростей решается стационарная задача в области О .

На рис.4 приводится численное решение обратной ретроспективной задачи. В качестве входной информации бралось решение прямой задачи (рис.4(а)). Результат минимизации ункционала (15) и соответствующее восстановленное начальное поле концентрации риводятся на рис.4(Ь,с). Из восстановленного поля концентрации (рнс.4(с) видно в каком есте произошел выброс загрязнения.

На основе численных экспериментов в диссертации показывается, что с помощью эедаагаемого вычислительного алгоритма по заданным измерениям концентрации в 1блюдательных точках можно восстановить начальное поле концентрации, соответствующее эменту выброса загрязнения, и оценить время Т.

О

ООО 10 00 20 00 30 00 40 00 50 00 60 00 70 00 ЮОО 9500 100 00

о)

Рис.4.

2 2

а)~- Решение прямой задачи ( Т =8 сут, £>^=1.0л< /сут, РТ=0Лм /суш, ^ =30 м, у„ =60 м, Ь=Шм)-, Ь) - Решение прямой задачи (С(х,у,0) = ¿¡/х. у; Г) ); с) - Решение обратной задачи ( 4.(х,у;Т) = и,(х,у,Т) ).

Основные результаты и выводы.

1.На основе теории некорректных задач предложен численный алгоритм для оценки фильтрационных параметров насыщенных пористых сред по кривой восстановления давления с учетом притока.

2.На основе численных экспериментов показано, что при уровне погрешностей входных данных 2-3% (погрешность измерений забойных давлений) вычислительный алгоритм позволяет получить оценки искомых фильтрационных параметров с достаточной для практики точностью (5-7%).

3.В результате численных экспериментов установлено, что в результате интерпретации КВД при наличии прнзабойной зоны с ухудшенной проницаемостью (оценка гидропроводности ищется в классе постоянных функций), получается оценка коэффициента гидропроводностн внешней зоны и ее максимальная погрешность составляет 2,5%.

4.Предложенный вычислительный алгоритм позволяет получить оценки коэффициентов гидропроводности прнзабойной и внешней зон. Это позволяет выяснить необходимость проведения обработки прнзабойной зоны для восстановления притока жидкости.

5.На основе метода квазиобращения предложен вычислительный алгоритм, позволяющий восстановить начальное поле концентрации, соответствующее моменту выброса загрязнения, по измерениям этой концентрации в наблюдательных точках на текущий момент времени.

Основные результаты диссертации опубш&рваны в следующих работах:

КХайруллин М.Х., Шамсиев М.Н. Применение методов регуляризации к решению обратных коэффициентных задач фильтрации. Труды 2-ой международной конференции "Идентификация динамических систем и обратные задачи", т.2, С.-Петербург, 1994, с. С-6-1 - С-6-12.

2.Шамсиев М.Н. Численное решение обратной коэффициентной задачи теории фильтрации. Институт механики и машиностроения КНЦ РАН, Казань, 8л. - Деп. в ВИНИТИ 18.05.94, № 1247-В94.

3.Ханруллин М.Х., Шамсиев М.Н. Локализация источника загрязнения водоносного пласта на основе метода квазиобращення. Тезисы докладов II Республиканской научной конференции "Актуальные экологические проблемы республики Татарстан", Казань, 1995, с.150-151

4.Хайруллин М.Х., Шамсиев М.Н. Задача мониторинга по локализации источника загрязнения в водоносных пластах методом квазиобращения. Тезисы докладов Международной конференции "Фундаментальные и прикладные проблемы охраны окружающей среды", т. 1, Томск, 1995, с. 152-153.

5.Шамсиев М.Н., Хайруллнн М.Х. Интерпретация кривой восстановления давления методами математического моделирования. Тезисы докладов Международной научно-технической конференции "Актуальные проблемы математического моделирования и автоматизированного проектирования в машиностроении", секция 2, Казань, 1995, с.17-19.

6.Садовников Р.В., Шамсиев М.Н. Интерпретация кривой восстановления давления в трещиновато-пористой среде. Тезисы докладов Международной научно-технической конференции "Молодая наука - новому тысячелетию", ч.И, Набережные Челны, 1996, с. 17-18.

7.Хайруллин М.Х., Шамсиев М.Н. Определение месторасположения источника загрязнения водоносного пласта. Труды Всероссийской научной конференции "Фундаментальные проблемы нефти и газа", т. 5, Москва, 1996, с. 289 - 295.

8.Хаируллин М.Х., Шамсиев М.Н., Садовников Р.В. Определение параметров пластов по кривой восстановления давления на основе теории регуляризации. Труды Всероссийской научной конференции "Фундаментальные проблемы нефти и газа", т. 4, Москва, 1996, с. 291-297

Э.Шамсиев М.Н. Восстановление начальных условий в задачах подземной гидродинамики методом квазиобращения. Тезисы докладов II Республиканской научной конференции молодых ученых и специалистов, кн.4, Казань, 1996, с.72.