Численный анализ задачи трех тел с кулоновским взаимодействием тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ



1 ь Й/№ ДОЗ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

ИНСТИТУТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ

ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ С КУЛОНОВСКИМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ

Специальность 01.01.07 — вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

УДК 519.6

МАЛЯСОВ Сергей Юрьевич

МОСКВА 1993

Работа выполнена в Институте вычислительной математик! РАН

Научный руководитель — доктор физико-математических нау!

доктор физико-математических наук ТЫРТЫШНИКОВ Е. Е.

кандидат физико-математических наук ГУСЕВ В. В.

Ведущая организация — Вычислительный центр Сибирского от деления РАН

Защита состоится « &У » съ^Ае^ьЯ_1993 г. в /5~ часов нг

заседании специализированного совета К 003.47.01 в Институт« вычислительной математики РАН по адресу. 117334, Москва, Ле пинский пр-т, 32а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Институте вычислительной математики РАН.

Автореферат разослан _Л-к!/?-пЯ_ 1993 г.

КУЗНЕЦОВ Ю. А.

Официальные оппоненты:

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических наук С. А. ФИНОГЕНОЬ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задача трёх тел с кулоновским взаимодействием - классическая задача квантовой механики. Многие исследования в современной физике приводят к необходимости вычисления значений энергии и волновых функции связанных состояний квантово-механической системы трёх заряженных частиц, которая описывается трёхмерным уравнением Шредингера. В последнее время эта задача привлекает внимание в связи с исследованиями проблемы мюонного катализа ядерных реакций синтеза.

Сложность математической постановки задачи трёх тел, а именно, граничные условия, обеспечивающие ограниченность соответствующих решений, переменные коэффициенты, наличие особых точек, по существу исключают возможность её решения аналитическими методами. Поэтому практически единственным путём получения решения является проведение вычислительных экспериментов на ЭВМ. Для этого необходима разработка эффективных методов и алгоритмов численного решения поставленной задачи, обеспечивающих необходимую точность результатов.

Проектируемые в настоящее время физические установки и эксперименты ставят повышенные требования к точности расчётов соответствующих математических моделей. Одним из возможных способов достижения требуемой точности вычислений является разработка схем высокого порядка точности. В этом смысле наиболее эффективным способом вывода таких схем представляется метод конечных элементов (МКЭ). Основная трудность, возникающая при этом, связана с решением получающейся обобщённой алгебраической проблемы собственных значений

Аи = X Ми (1)

с симметричными положительно определенными матрицами А и М размерности в несколько десятков тысяч переменных. Заметим, что для решения такой задачи в последние годы разработано множество быстрых и экономичных итерационных методов, среди которых можно отметить такие как обобщённый метод обратных итераций, методы Ланцоша, модифицированные градиентные методы. Практически во всех таких итерационных методах требуется наличие некоторой симметричной положительно определенной переобусловлпваюшей матрицы В, спектрально эквивалентной матрице задачи А.

С теоретической точки зрения наиболее эффективными среди методов решения вспомогательной задачи Ву = д, возникающей в итерационных методах решения спектральных задач, являются алгебраические много-

сеточные методы декомпозиции области, теория которых разработана в работах О. Аксельссона, П. Вассилевски, Ю.А. Кузнецова.

Одним из основных моментов этих методов является разбиение области П, в которой рассматривается задача, на малые непересекающиеся подобласти (суперэлсменты) 0,: & = IIП,. Далее, для каждой подобласти Г2, строятся матрицы А„ являющиеся аппроксимацией сужения оператора задачи на эту подобласть с однородными условиями Неймана на границе, к ним определяются локальные переобусловливающие матрицы В, и оцениваются гранццы спектров задач А, и, и,. Результирующая

переобусловливающая матрица В определяется в результате ассемблирования локальных матриц В, по всем подобластям. Для получения теоретических оценок и организации самих итерационных процедур с матрицей В используется так называемый суперэлементный анализ, позволяющий получить оценки границ спектра задачи Аи = цВ и через границы спектров задач на отдельных суперэлементах

■ ■ {А.и., и.) ^ ?(Л«и„ и.) (Ли, и) (Л.ц„ и.) шш -г ^ —тт;-г — тт;-г ^ шах —-- .

' (В,и„ и,) ~ Е(В,и„ и.) (Ви, и) ~ • (В,и., и.)

Применение подобного анализа допустимо только в случае неотрицательности всех членов разложения.

Использование алгебраических многосеточных методов такого типа в итерационных процедурах решения проблемы собственных значений (1), возникающей в результате аппроксимации уравнения Шредингера для задачи трёх тел, затруднено тем, что сужение оператора задачи на некоторые подобласти с однородными условиями Неймана на границе подобласти не обладает положительной определённостью. Поэтому разработка новых алгебраических многосеточных методов и расширение сферы применения многосеточных переобусловливателей является актуальной проблемой. Цель работы.

1. Построение новых алгебраических многосеточных переобусловливателей для итерационных методов решения спектральных задач, получающихся в результате МКЭ дискретизации уравнения Шредингера для задачи трёх тел квантовой механики.

2. Расширение сферы применения многосеточных переобусловливателей на случай задач с положительно определёнными операторами, сужения которых на какие-то подобласти рассматриваемой области с однородными условиями Неймана на границе не являются положительно определёнными или полуопределёнными.

- 33. Проведение численных экспериментов с целью тестирования построенных методов, а также вычисление двух минимальных собственных значений энергии и соответствующих волновых функций связанных состояний для системы трёх частиц Л/х.

Общая методика исследований. В диссертации использованы результаты и методы теории аппроксимации, матричного анализа и матричных итерационных методов, а также элементы функционального анализа.

Научная новизна. Построены новые алгебраические двухсеточные и многосеточные методы разделения области для задач, возникающих в результате МКЭ дискретизации одно- и двумерных модельных эллиптических уравнений, коэффициенты которых имеют особенности, не позволяющие применить для решения классические алгебраические многосеточные методы разделения области. Получены оценки скорости сходимости построенных методов. Показана оптимальность арифметической сложности предлагаемых алгоритмов.

Практическая значимость. На основе метода конечных элементов разработан комплекс программ, реализующих алгебраические многосеточные методы декомпозиции области для спектральных задач в двух- и трёхмерных областях. Построенный алгебраический многосеточный метод может быть использован для создания новых пакетов программ, ориентированных на многопроцессорные ЭВМ.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах:

» семинарах лаборатории вычислительной математики ИВМ РАН,

• XXXII и XXXIV научных конференциях МФТИ,

• XIII и XIV конференциях молодых учёных МФТИ,

• II Всесоюзной конференции "Современные проблемы численного анализа" (1989 г., г. Тбилиси).

Публикации. По теме диссертации опубликовано пять работ, список которых приведён в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит нз введения, трёх глав, заключения и списка литературы объёмом 101 наименование. Общий объём работы 119 страницы, из них 10 страниц .с таблицами и ри- . сункамн.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность задачи, поставленной в диссертационной работе, даётся краткий обзор по итерационным методам решения алгебраических обобщённых задач на собственные значения и по многосеточным методам, включая алгебраические многосеточные методы разделения области. Указывается на ряд особенностей, возникающих при использовании алгебраических многосеточных методов для решения рассматриваемых задач. В конце введения даётся краткое содержание диссертации.

Первая глава посвящена постановке задачи трёх тел квантовой механики, методам аппроксимации и итерационным методам решения алгебраических обобщённых задач на собственные значения.

В параграфе 1.1 рассматривается классическая постановка задачи трёх тел. Значения энергий и волновые функции связанных состояний системы трёх частиц являются решениями стационарного уравнения Шре-дингера. После отделения движения центра инерции и усреднения по угловым переменным, описывающим относительное движение ядер, в представлении полного момента ] это уравнение сводится к системе (7 + 1)-трёхмерных дифференциальных уравнений относительно функций т], В.). Здесь Т7 - вытянутые сфероидальные координаты, Я - межъядерное расстояние, а .7, А,т - квантовые числа, классифицирующие искомые волновые функции. Для случая J = 0 эту систему можно записать в обозначениях 1(11 = £,22 = »7,13 = у/рИ) в единицах е = Л = тп0 = 1 в виде

(Ь-Е)Г = 0, (2)

где

V(x) = VP7-*3

ZaZi - -2^—2 ((.Zi + Za)II + {Zb - Z.)x2) — *2

Af, n,Za,Zb— const, x = (xi,i2,x3) e ii = {r e R311 < xi < cx>,-i < 12 <,o < xj < 00}. Необходимо найти значения энергии Е и ограниченные в Q решения F, соответствующие дискретному спектру.

-5В параграфе 1.2 определяются граничные условия для волновых функций дискретного спектра, формулируется обобщённая постановка системы (2) и строится вариационный функционал Релея-Ритпа.

Граничные условия для функции F следуют из условия ограниченности решения (2) в области П и на границе

Г! = {х € R3 | ri = 1, -1 < х2 < 1, 0 < 13 < оо} U • {х 6 R3 11 < X] < оо, х2 = ±1, 0 < х3 < с»} U {х 6 R3 | 1 < х, < оо, -1 < х2 < 1, х3 = 0} :

lim(x?-1)|^=0, lim (1-х?) limy35|^=0. (3)

»i-r 1 ' дхх 27 дх2 ' »3-<г3 дх3 v '

Так как решения (2) достаточно быстро стремятся к нулю при х\ —>

оо и х3 —» оо, то в дальнейших исследованиях и при численном решении

можно использовать конечную область

П = {1 < ii < -1 < < 1, 0 < х3 < хГ1} ,

где xj"1 > 1, х^х > 1. На границе

Г0 = {х £ R3 | х, = хТ"1, -1 < х2 < 1, 0 < х3 < xj"1} U

{х € R3 | 1 < Ii < хГ1, -1 < х2 < 1, х3 = xf01}

при этом нужно ставить однородные условия Дирихле.

Затем вводится пространство U как замыкание области определения оператора L

D(L) = {« | и 6 WlT{Q)M € Ьг,т(П), и|Гв = 0} в норме H«||(Vjir-

Вариационный функционал задачи имеет вид

где

а(и, v) = j

' . du dv £a,(x) — — + tVuv Й dii du

dx i <fx2 dx j,

(и, ь) = ! тиу ¿х\ dx2dxs . п

Стационарные точки F этого функционала являются волновыми функциями задачи (2), а значения энергии вычисляются по формуле Е = Л(^).

Показано, что существует такая константа ^ > не зависящая от значений ху** и ху", что оператор Ь = + d будет положительно определён. Обозначим через о(и, «) новую билинейную форму, порожденную оператором Ь

а(и, «) = а(и, v) + d^x (и, и) ,

для которой вариационный функционал Релея-Ритпа имеет вид

(и, и)

Наряду с билинейной формой а(и, V) вводится в рассмотрение вспомогательная билинейная форма

Ь(и, v) = /

Л дидь -

¿=1 ОХ,- дх,

¿П, (4)

о

где функция У(х) представляет собой неотрицательную часть "сдвинутого" потенциала V(г) -(- ¿:

У(г) + с1, У{х) + <1>0

У(х) + <1< 0 •

Доказана следующая

Лемма 1. Билинейные формы а(и, V) и Ь(и, ь) спектрально эквивалентны, причем

а(и, и) < Ь(и, и) < С1! а(и, и), Уи 6 £/,

где константа С\ не зависит от значений х™1 и х^1.

В параграфе 1.3 формулируется вариант метода конечных элементов для аппроксимации рассматриваемой задачи. В П определяется прямоугольная сетка или сеточная область П4 и вводится пространство функций ин, состоящее из трилинейных в каждой ячейке сетки, непрерывных в О и обращающихся в ноль на Го функций. С/А является подпространством пространства и размерности N, где N - число узлов сетки Г2Л, принадлежащих П и Гь

Метод конечных элементов для дискретизации задачи (2)-(3) используется в следующей формулировке:

Найти две собственные пары (ФА, Аа) и (Ф$,

А? = т£{й(Фл)|ФАеиА\{0}} = Я(Ф?), (5)

= т£{д(ФА)|ФАе1/А\{о}(ФА, ф?) = о} = л(Ф$).

Задача (5) приводит к алгебраической частичной проблеме собственных значений

Аи = АЛ/ и. " (6)

Матрицы А и М симметричны, положительно определены и имеют ленточную структуру.

В конце главы, в параграфе 1.4, излагается метод решения сеточных спектральных задач (б), полученных в результате конечно-элементной аппроксимации. Рассматриваются некоторые модифицированные градиент-

ные итерационные методы, учитывающие специфику сеточных операторов.

Для решения задачи (6) выбирается модифицированный групповой градиентный метод в следующей формулировке.

По известному двумерному подпространству Щ строится двумерное подпространство Щ+1, более точно аппроксимирующее собственное подпространство задачи (6), натянутое на собственные векторы, отвечающие двум минимальным собственным значениям:

Щ+1 = Яд.Я?, п = 0,1,..., РП = Р{Щ),

Яд = I --)В-\А- рм),

где Р(Нч) = шах/¿(и), /?°<А3, р(и) =

После нахождения приближенно собственного вектора, отвечающего 2-му собственному значению, для определения собственного вектора, отвечающего Л|, используется модифицированный градиентный метод с ортогонализацией:

и0 = и? из Щ , ¿п+1 = ы» _ -уР^В-^Аи" - 11(ип)Мип), иП+1 = ¿-И/Цй^Ч^,

где - ортопроектор в ортогональное к и* подпространство.

Для реализации метода необходимо построить симметричную положительно определенную матрицу В такую, чтобы выполнялись неравенства

0 < 60В < А < 6гВ

с константами ¿о и ¿1, не зависящими от шага сетки Л. Наилучшие оценки скорости сходимости этого метода достигаются при у =

Матрица В строится с помощью алгебраического многосеточного метода разделения области, некоторые варианты которого описаны в следующих разделах.

Вторая глава имеет теоретический характер и посвящена построению алгебраических многосеточных переобусловливателей (матриц В) для одномерной и двумерной модельных задач. Предлагаемый подход к оценке спектра матрицы В~1 А (рассмотрение 3-ей краевой задачи на подобластях) позволяет расширить класс рассматриваемых операторов.

В параграфе 2.1 предложен Двухуровневый переобусловлпватель для одномерной модельной задачи на основе метода разделения области с разбиениями на малые непересекающиеся подобласти. Показано, что стандартный подход приводит к тому, что сужения исходного оператора на

некоторые подобласти с однородными условиями Неймана на границе не являются положительно полу определёнными. Предложен иной подход, позволяющий получить положительно полуопределённые сужения на любую подобласть. Тем самым показана применимость многосеточного метода разбиения области к задачам такого класса.

Формулируется следующая модельная задача:

Ьи = -Р^ + У(х)и(х) = Хи, X £ П = [0, Хговг] , (7)

а

и(0) = и(хта1) = 0, Г(х) = 7--.

х

В параграфе выбирается некоторое < > 1 и определяются сеточные области / = < — 1, (, как объединение попарно непересекающихся отрезков « = 1,..., Щ 4- 1, N1 = 2' — 1, с длиной стороны /ц = х™« 2-'. Определяются пространства сеточных функций иЦ\ I = < — 1, Рассматривается аппроксимация задачи (7) методом конечных элементов, которая приводит к алгебраической частичной проблеме собственных значений

Аи = \М и (8)

с симметричными положительно определёнными матрицами А и М, причём матрицу А можно представить в виде суммы двух матриц А = К+У, которые определяются соотношениями

{Ки, V) = / ^ ¿с, (V«, V) = / У(х) «V ¿г, п Лх ** а

для любых иЛ, »* £ и[1\ где ы*, являются восполнениями векторов «,V е В."' и, наоборот, и,V являются сужениями иь, V4 из При вычислении элементов матриц V и М используется процедура концентрации масс. По этой причине матрицы М и V считаются диагональными, V = <Иад{ьи...,Ун,}, М = <Иад{тп1,...,т^}.

На сетке П^-1' определяется вспомогательная матрица которая возникает при аппроксимации на пространстве другого оператора,

задаваемого выражением

¿и = -^ + 1У(*)и(х) (9)

с функцией 1У(х) = У(х) - %У(х)2.

Так как матрица V - диагональная, то вне главной диагонали у положительно определённой матрицы А стоят неположительные элементы и матрица А, а также матрица М~1А являются А/-матрицами. Из Теоремы Перрона-Фробениуса для неотрицательных матриц устанавливается следующая, важная для последующего изложения

Лемма 2. Пусть недиагональные элементы неприводимой матрицы А неположительны. Тогда любые два из следующих утверждений эквивалентны:

1. А является М-матрицей;

2. для А существует представление А = а Е — Э, где 5 0 (все элементы матрицы 5 неотрицательны) иа> где р(Б) - спектральный радиус матрицы 5;

3. ЛеЛ > О для любого собственного значения А;

4. минимальному собственному значению соответствует собственный вектор, все элементы которого положительны.

Таким образом, минимальному собственному значению А1 задачи (8) соответствует вектор, все компоненты которого не равны нулю и имеют один знак. Для определённости будем его обозначать через <р.

Далее на сетке вводится понятие сулерэлемента С'1-1' (Рис. 1).

¡-2

5-1

1+1

1+2

Рис. 1: Элемент - суперэлемент сетки П^ Определяется матрица жёсткости А, на суперэлементе

1 + г,_1/2 О -1 О 1 + ^+1/2 -1 -1 -1 2 + ^

А 21,» ^22,«

где блочная структура матрицы А, определяется разбиением узлов суперэлемента на группы: в первую группу входят узлы 1, 2 , во вторую группу - узел 3.

Показано, что в результате ассемблирования матриц А, по всем суперэлементам получается матрица А. При этом матрицы А, не обязательно положительно полу определены, что препятствует построению алгебраических многосеточных методов для рассматриваемой задачи.

Наряду с матрицами А, вводятся в рассмотрение матрицы А, с изменённой главной диагональю

А, = А. +

где диагональные элементы Ох , и С2,» определяются с помощью собственного вектора <р задачи (8), соответствующего минимальному собственному значению А1 следующим образом:

ЧЧ - Щ - 4>м

0\>. = —Г-, <72,« =

2^-1 ' 2<р,

'¡+1

Ассемблирование по всем суперэлементам матриц А, также даёт матрицу А, но матрицы А, уже являются положительно определёнными.

Затем, на каждом суперэлементе определяются положительно определённые матрицы В,

В\\,г + А12,,А21,А21,г

•^21,. А22,,

<71,»

02,.

0

В качестве блока Вц,, выбирается матрица возникающая при

рассмотрении оператора (9) на области а коэффициент ©, свой

для каждого суперэлемента 9, = 1/ + , где I - центральный узел суперэлемента

На каждом суперэлементе рассматриваются обобщённые задачи на собственные значения

А. и, = т]^ В, и, (10)

и доказывается следующая

Теорема 1. Собственные значения Т)^ спектральных задач (10) для всех суперэлементов принадлежат отрезку [1, 5/3].

Строится двухсеточный переобусловливатель В для глобальной матрицы жёсткости А, показывается, что собственные числа задачи

Аи = г)Ви (И)

мажорируются снизу и сверху соответственно минимальным и максимальным собственными числами задач (10). Таким образом, доказывается следующая

Теорема 2. Собственные числа матрицы В~1А принадлежат отрезку [1,5/3].

В конце параграфа приводится блочное I?Б Ь разложение матрицы

В.

В параграфе 2.2 рассматриваются дифференциальная и вариационная постановки двумерной модельной задачи

Ьи = -Ди + (7 - а/г) и = А и, г = ^х2 +у2, (12)

и|вп=0, (х,у) € П = [-1,1] х [-1,1].

В пункте 2.2.2 вводится последовательность сеток П^'', / = 1, ...,<, и соответствующие пространства сеточных функций [/О. Рассматривается аппроксимация задачи (12) на сетке методом конечных элементов, которая также приводит к алгебраической проблеме собственных значений, аналогичной проблеме (8). При вычислении матричных элементов также производится процедура концентрации масс.

В пункте 2.2.3 вводится понятие суперэлемента области (Рис. 2). Определяется матрица жёсткости А, на суперэлементе

I

Т?

Т^Гб

13+т

-г

■о 7

Т?-1

тз^г

Рис. 2: Суперэлемент области П

(О

1

А.=

Ап Аи О А21 А22 Агз О Аъ2 Л33

где блочная структура матрицы А, определяется разбиением на группы узлов суперэлемента: в первую группу входят узлы 1, 2, 3, 4 (в локальной нумерации узлов суперэлемента), во вторую группу входят узлы 5, б, 7, 8 и к третьей группе относится узел 9.

. Показано, что в результате ассемблирования матриц А, по всем суперэлементам получается матрица А. При этом матрицы А, не обязательно положительно полуопределены.

Наряду с матрицами А, вводятся в рассмотрение матрицы А, с изменённой главной диагональю

А. = А.+

А

А

о

где диагональные блоки и Х>2 определяются с помощью собственного вектора, у задачи (8), соответствующего минимальному' собственному

значению А1 А = ^ (Над

| (У.-.У-1

(Ум-1 ~ Уй-З^-О + (Уй-1,; - Уй-Ц-г). Уй-и-1

- У|-2,;Ч1) + (И-Ц ~ У.-Ц+г). (Ум*! ~ У.-)-2.;-и) + (Уй-Ц ~ ¥>¡+1 ¿+2) 1

¿>2

I / ~ Ум-г). ~ М-ы). (У.,; ~ - Уц+г) 1

Из Леммы 2 следует, что все компоненты этого вектора не равны нулю и имеют один знак.

Ассемблирование таким образом определённых матриц А, также даёт матрицу А, причём матрицы А, положительно определены для всех суперэлементов.

На каждом суперэлементе определяются матрицы В,

Ли + Ап О

¿21 Д22 +£>2 + А23А^ Л32 Л 23

О Лз2 Лзз

с блоком ¿?22 = /22, также положительно определённые.

На каждом суперэлементе рассматриваются спектральные задачи (10) и доказывается следующая.

Теорема 3. Собственные значения т/*' спектральных задач (10) для всех суперэлементов принадлежат отрезку у]. Числа обусловленности матриц В~1А, удовлетворяют условию сопс1(В~1А,) < 5.

Далее, в пункте 2.2.4 строится двухсеточный переобусловливатель В для глобальной матрицы жёсткости А и показывается, что собственные числа матрицы В'1 А мажорируются снизу и сверху соответственно минимальным и максимальным собственными числами спектральных задач (10).

В пункте 2.2.5 рассматривается схема многосеточного итерационного метода с внутренними чебышевскими итерациями. Фиксируем некоторое I, I <1 Если N1 х А^-матрица А^ имеет блочную структуру

0

Л23

М

*33

Аи

м л1\

Д12 4(0 А22

о 42 4'-'

где размерность блока Аи - N¡-1 х N¡-1, то матрица В« может быть записана в виде

ВС)

■РГ

В«

п(0 "22

1<0 л33

Я, л =

И')

о о

№'4? о

о [вЩ-'А^ /33

(13)

где /Ц\ 1 = 1,2,3, - единичные матрицы, а блок В''] задаётся выражением

С)

Оказывается, существует другое представление матрицы в[1}: Теорема 4- В|'/ = | Л''-1', где матрица Л^'-1' определяется выражением

(Л(<_1) и,ь)=1 УиЛ + т^Т) У(г, у) ил (14)

п

для любых ил, г* 6 где ил, являются восполнениями векторов

и, V в Я^'"1 и, мао&фот, и,ь являются сужениями и", И из [/Г".

Для решения системы с матрицей в|'] из (13) может быть использован чебышевский итерационный метод с симметричным положительно определённым переобусловливателем [#{?] ■ Заменяя на

где В'1' = В'1', мы получаем матрицу В^'К Построенная таким образом матрица В(0 = ¿(0 называется многосеточным переобусловливателем с внутренними чебышевскими итерациями для А = А^'К

Из теоремы 3 вытекают оценки скорости сходимости многосеточного метода и числа арифметических действий.

Теорема 5. Пусть а\ и - минимальное и максимальное собственные числа матриц такие, что

1 < — < 5.

Тогда, если при определении матрицы

используется з = 3 внутренних чебышевских итерации, то

«^¿{[вмр1^')}^™,

если же при определении матрицы

в«)

используется 5 = 4 внутренних

чебышевских итерации, то

1-1

«^{[в^Г'л«} <6.0.

Теорема 6. Число арифметических действий требуемых для

решения системы с матрицей оценивается сверху следующим образом:

Q(N)<iCN прия = 3, при з = 4,

где С ~ положительная константа, не зависящая от ЛГ, а * - количество уровней многоуровневого переобусловливателя.

В конце параграфа приводятся результаты численных экспериментов для двух- и трёхсеточных методов.

В третьей главе описывается многосеточный метод для трёхмерной задачи трёх тел квантовой механики.

В параграфе 3.1 определяются необходимые в дальнейшем сетки и вспомогательные функционалы. Вводится последовательность тетраэдральных сеток П^, I = 0,1,и соответствующие пространства непрерывных кусочно-линейных функций. Рассматриваются матрицы Л/, задаваемые с помощью билинейной формы (4)

(А,и,у)=Ь{йн,ьн), 1 = 0,...,<,

для любых йл, ¿А € где йк,Сн являются восполнениями векторов и, V Е К"1 и, наоборот, и, и являются сужениями йА,0А из [/¡¡'К

Вводя разбиение узлов сеточной области П^'' на четыре группы таким образом, что в первую группу входят только узлы сеточной области П^'""1', матрицу Л/ можно представить в блочном виде

Аи 3(0 л12 0 0

АМ !(') л22 А® 0

0 ;(') Л32 А® л33 ДО

0 0 л(1) л43 д(,) л44

где блоки I = 1,2,3,4, являются квадратными диагональными матрицами.

Определяя с помощью дополнительных функционалов матрицы ¿¡¡, т, в8. ВЙ = [вЩТ, Вй = [В$]ГИВ« = [вЩ-1 В«, можно

определить симметричные положительно определённые матрицы В^. В конце параграфа приводится блочное ЬТПЬ разложение матриц Д(')

в<'> = ^ [в<?®в<§®в<2®4?] Я,

где

Л

/С)

И]

-1

О О

п(<) ^21

г(0

У 22

К]

-1

В!

О

О О

гС) •<33 -1

1Й]

В

О

о о

/С)

•44

В параграфе 3.2 вводится понятие суперэлемента области строится модифицированная матрица жёсткости суперэлемента А, и двухсе-точный переобусловливатель В,. На каждом суперэлементе рассматриваются спектральные задачи, аналогичные задачам (10). Показано, что результатом ассемблирования матриц А, и В, по всем суперэлементам являются, соответственно, матрицы А{ и

В параграфе 3.3 строится двухсеточный переобусловливатель В = ВО и описывается процедура решения системы уравнений с матрицей В. Показано, что процесс решения представляет собой процедуру в форме У-цикла.

В параграфе 3.4 описывается построение многосеточного переобусло-вливателя В1 с внутренними чебышевскими итерациями. Построенная таким образом матрица В1 называется многосеточным переобусловлива-телем для матрицы А задачи (6).

В параграфе 3.5 приведены результаты численных экспериментов, подтверждающие обоснованность применения многосеточного переобусло-вливателя, и результаты расчётов для задачи трёх тел квантовой механики.

В заключении формулируются основные результаты данной работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. На основе алгебраических многоуровневых методов декомпозиции области построены новые двухсеточные и многосеточные переобусловли-ватели для итерационных методов решения алгебраических спектральных задач, возникающих в результате МКЭ дискретизации одно- и двумерных модельных задач. Получены оценки скорости сходимости построенных методов, в том числе методов с внутренними чебышевскими итерационными процедурами. Показана оптимальность арифметической сложности предлагаемых алгоритмов.

2. Построен новый алгебраический многосеточный итерационный метод решения спектральных задач, возникающих в результате МКЭ дискретизации трёхмерных задач трёх тел квантовой механики.

3. Создан комплекс программ, реализующих алгебраические многосеточные методы для спектральных задач в двух- и трёхмерных областях. С помощью разработанных методов проведены вычислительные эксперименты для нахождения двух основных энергетических состояний трёхчастичной мезомолекулы dtp. Проведено сравнение результатов расчётов с результатами, приведёнными у других авторов, подтвердившее адекватность методов решения сеточных задач.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Численное решение задачи об определении колебательных уровней энергии трёхатомной молекулы LiCN // Труды XI конф. молод, учёных Моск. физ.-техн. ин-та, 24 марта - 5 апреля 1986 // Моск. физ.-техн. ин-т, М., 1986.

2. О применении методов типа декомпозиции области в одной задаче квантовой механики (совместно с И.Н. Коныдиным) // Численный анализ и математическое моделирование. - М.: ОВМ АН СССР, 1988. - С.92-98.

3. Об оценке границ спектра для некоторого класса положительно определённых матриц // Численный анализ и математическое моделиро' вание. - М.: ОВМ АН СССР, 1990. - С.35-45.

4. Об одном методе решения задачи трёх тел с кулоновским взаимодействием // Численные методы и программное обеспечение. - М.: ОВМ АН СССР, 1990. - С.106-120.

5. О мультипликативном аналоге метода Шварца для спектральных задач с эллиптическим оператором // Численные методы и математическое моделирование. - М.: ОВМ АН СССР, 1992. - С.71-79.

Сдано в набор 09.02.93 Пошгасаяо а печать 16.02.93

Формат 60x90 1/16 Бум. офс. Печать офсетная

Усл. печ.л. 1,0 Усл.*р.-отт. 1,12 Уч.-гад. д. 0,87

Тир. ЮО »«з- Злх. ^83

Прооааоастмнно-ваоатвпьсиЯ комбинат ВИНИТИ 140010, Люберцы 10, Московской обл., Октябрюся* проспект, 403