Числовые характеристики многообразий алгебр Ли тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

М'Х'КОЙ’І'КЛ СРЛЕНА ЛЕНИНА ¡1 ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. Е Ломоносова

ЧИОЛОШЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МНОГООБРАЗИЯ АЛГЕБР ЛИ (.01. 01.00 - мнт«їмат;іЧ“екаи логика, алгебра и теория чисел)

АВТОРЕ ФЕЇ АТ диссертации на соискание ученоя степени Л^кт; ; і ^игико-математических наук

Механико-математический факультет

На правах рукописи

М'ДЕНКО Сергей Петрович

?#> ’КВА

иуі

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры механикоматематического факультета Московского государственного .университета им. М. В. Ломоносова

Официалі ные оппоненты: доктор физико-математических

наук, ведущий научный сотрудник ДЖУВДШЬДАЕВ Аскар Серкулопич; доктор физико-математических наук, профессор КУШ!

Георгий Петрович; доктор физико-математических наук, профессор ПЧЕЛИНЦЕВ Сергей Валентинович;

Ведущая организация - Киевский государственный университет

Защита состоится

на заседании специализированного совета Д. 053.05.05 при МГУ по адресу: 117234, Москва, Лениниские горы, МГУ. механикоматематический факультет, аудитория 1408.

Автореферат разослан

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механикоматематического факультета МГУ.

года

I

Ученый секретарь

специализированного совета, докто, физ. -мат. наук

Чубариков Е Е

Т™”* I

/ *•¿.«1.;,^ I - 3 -

ив***?«# ! СБ!ЕЛ" ^¿•А.НТг.'КСТХЧА РАБОТЫ

‘пгугглънчоуч т>-‘.'М. '"ч.-рил шеп’оосрагий алгеор Ли - одна чз '■■•.-¡'ччч.' сч ьиги-аухо:-: солчччЛ соврсл.члко;; алгеСэ.ч, лзучслччл ■чдч.-чри /чл ч'ч:';< зч'нля ■¡ягалн^гда/.ся в н::>: то/::?т:т. Рог-

<

дччкы-? ч-:^; “то;: г-ории л^лоч ли р чологрч1:ч:л .

К ччч:у лч-р'-'Ч.еччгч :’о;:1 сисг: тчорлл :ч:г-':разлч алг‘;Сс> Л-;

ч)Т\чочч;л ?лч-ччл гччот чч ~~ о рпи■ г.■-^и*/.со*;и члс^о:.1 :.г.с.го-гСр.члл. кчгсрч- :ч- ччч;’ •чет трсччччлч гчосччч'; Г'.л7ё5;ч:, г;оп-

чччч’ччлт:: ;чч- л ксччутчггч

чч:;•;1 ,■ . г чччччччч:. опчоч

J

¡.'■ч ч;ч:члчч:ч; ; ч чч:чч:Vи гоч;-:;.ч-: счл:,чч:л чччч.чс ;:ол;-.*

чч м:;чгс'..:0;;ч.,.;,: с ;чч':ч:ччглч!СГ: ; чччго/; ;:ч;ч;огосер, лч:д ч; о.л/'ч,'.- ~ул--Чп ч.рчч ?риеч:к:! гчлолдогс подл лч:-члос:тг:онч;,:? ч;с'Г!Ч подлосчч олрчдоллчгел лодллллочди тсчдоччччн-

е чгкссччлч.ч:, пччго.чу 'Ч<:л;лчоо ччачснио гтрисСрчт:чч:' 'ччдч'ч х.чр^угор^тчк::: лооледсл птельч';ть ••:чч\:чкр:;сетсч!

ч'рбччьпсго идччк: и спро^лД".’^ ою рос: ••ногсоор-и.!:л.

Пель рячота. ш«лья; дксйчрг-циошюЯ рзСоти является:

!. ¡’остро::?]- тлорлэ рос:.ч мне го об роз и;! алгоОр Кссле-дч-чь рост многосОрал'л'Л. лоро.ич‘нн;;х ареоткук Оескеночы;:.::! ачг&бул?,й1 картаноьехого типа.

' Бах гурия ¡0. Д. Тохдестза с гмггСр^х Т'л. - М.: Наука, 1385. Кострккии д. И. Вокруг Бернсайда М.: Наука, 1'?30. га-м~-;слзз №. П. Тсядеетьз алгебр, и лх представлений. -М: Н';у<а. 1965. ■

' ^ Днестровская тетрадь. Н?реданшк- проблэиы теории колец и мог-улей. - ’*д. з-е. Нозосиенрж, 1082, п. ". 133.

Э

Теи А?, п. 1. 13.

2. Исследовать многообразия почти йсаиношального роста.

3. Описать ьаюгообразка с дистрибутивной робкой подмногообразии. '

4. Ввести классы алгебр Ли, в которых выполняется аналог теороми Ийрвова о высоте.

Основная столика выполнеивя иссдддомшкй. У {»аСюте развиты и широко использованы новые методы при.лохе.4ил теории представлений симметрической группы к исследования многообразий линейных алгебр. Построена и используется теория роста многообразии алгебр Ли. Применяются комбинаторные приоми.

конструкция вербального сплетения алгебр Ли ^ и метод

л ■

разделенных переменных Хиггинса .

Научная ноьпака. Все основные результаты диссертации ЯВЛЯЮТСЯ коеыми. В частности:

1. Какденк новые многообразия почти полиномиального роста, дано полное их описание в слу:-аэ разрешимых алгебр Ли.

2. Р&лек вопрос разрешимости и нильпотентности коммутанта ажч-Ср мкогооорагия, в которых выполилютсм все тождества бесконечномерной простои алгебры Витта.

С-1. Получек классификационный результат о многообразиях с дистрибутивной релеткой.подмногообразий. ■

4. Доказано отсутствие многообразий промежуточного роста,

' Ш.клькин А. Л Сплетение алгебр Ли и их применение в теории групп// Тр. Моск. матем. об-ва. - 1973. - К 29. - С. 247 -260.

~ Higgins P. J. Lie ririfrs satisfying: the Eng-fci condition.-

4 Proc. Cambridge Phil. Зое.: Math, and Phvs. Sci. - 1954.-

V. 50. - P. 8 - 15. '

?кспоке-йциалъность роста >.шогос5расий, оорохяьинмх ::рос"ычи Сесжіїеплк!.:!! алггСРПУ.і ішртаковского типа, yii.in.ui критерий полиясмийльностп рсита. . •

Практическая и 'гсопотичосілан ііркипеть. Лноеертаїшл но-г,:т тс-п:/с-тйч«скии Хг'іГ-'іkt*'d. Полученные результат!,; могут оыть ислолі-гоьаті з теории мнпгеоррааи;: алгебр Ал л »/логсобраэнЯ лруглх л’.:не;‘шь;л я’;геер.

Ат;гсбаі'лл_работу. Ге.-;7.;ьта;ьі локлалысались на KViî - XIX Ел-.-ес'.".них алггораі-'ческ;!;: кон!»-ре;;илях. :;а '.'л/дунааолншс

;-:л л í лр>лп;лл:с tic аллила 1 !г^го:ч6л:.;::'. '.V'X'1, !ііг-"г'yjí1!'. .¡а V - VI Бсвео'..-îHUX с::>..пио^и>'^ах í-.c i^uvvm :ro;i ч.:лулел, на І - IV 1>ог;оюзи!::: [л:ллах ”ллГ‘-С’СЬ! Лії :i :::< пглллхлклл". "УксгосОрчл’іГ: алгалрапчесгл”: слетем1', на нау'ч;!0-іг;0Лї'Ц0?л-ї^льспл: лемлнапал іто алгебре з УГУ лм. Р. глллгллла. ИМ «.Н Гр ГУ. ‘Гллиага ‘ГУ ь Ульпэтлоко.

Осногли:-; р^аулт-гагл "ллсеотац!;;; -лі/алмл-алл в работах ill - o3j.

■)бі<-м сабот». Лисснр?аі:>-;л оллерлі:г І'-'У crp-iüüu теклла я ОООТОГ7 іл; ьалдаглл ііятї: глав: Р;і0л;юграі;ій - ГУ на^ї^но-ЬаЖЛ.

;:слч;р.тднй2 работы

Совскупнсоть аЛГ^-Лр. Б ісоториу ГЬПГОЛНЯСТСЯ .Г5.’гГСИР03.',ЛИи.'! :;aíop 7сллїо?с^::кі.'х ссстноеении, ниосгаотел млсгосррариеи ял;: б геру’лчсжгяи А. Г. Курсіга npnv¡r.';n4-'>.;v. зносом алгеРр. л леслопсэ? вр-мя раипрсоїранен Tepv;'ii.эьодеj.’Ktaî Л. Маллг.тіл.м

"многообразие". Задание набора тождеств, определяющее многообразие. может бить неявным. Например, мокио рассматривать многообразие, пороэденное алгеброй или множеством алгебр.

Пусть а - многообразие абелевых алгебр Ли. Тогда А ~ -многообразие, состоящее из расширений абелевых алгебр при понеси абелевых, то есть из метабелевых алгебр Ли, А*1' - многообразие разрешимых алгебр Ли ступени разрешимости не выше а Обозначим лС - многообразие ннльпотентных алгебр Ли ступени не выше б. Тогда = А, а многообразие А состоит из алгебр, коммутанты которых кильпогентны не выше 2.

В случае нулевой хгра;ггеристкки основного поля все тождественные соотношения полностью определяются полилинейными тождественными соотношениям;:, поэтому суіцествешїим является вопрос: какую часть среди веек полилинейных элементов абсолютно свободней алгебри занимают элементы, которые остаются ненулевыми при факторизации по вербальному идеалу?

Более строго. Пусть V некоторое многообразие, Р^СО -V - свободная алгебра от п свободных образующих. Обозначим ол (V) размерность пространства Р* (V) полилинейных слов ( элементов алгебры Г,., (V) ) степени а Момга рассмотреть последовательность чисел ( сг (V), п - 1, 2,... ), которую называют последовательность» коразмерностей вербального іщеала. Чем меньше члены зтой последовательности, тем "беднее" строение многообразия V. .

Естественным образом определяя рост последовательностей, получаем понятие роста многообразия. Различают полиномиальный, окег.онекциалъкий рост. Как установил 11. В. Валиченко, С53, для >дюгообразий алгебр Ли, в отличие от ассоциативного слу-

чал, последовательность коразмерностей может расти сверх-жспонекциалькьм образом.

Весьма значительный рост м.тео получить, согласно статьи Ю. П Газу.ыслова, С123. Однако. А. Я Гркаког, з работе С 73 показал, что для произвольного ч > 0 последовательность коразмерностей растет слабее, чем последовательность ц'и'п!.

Само пространство (.V) можно наделить структурой модуля симметрической группы,что позволяет использовать теорию представлений, в частности технику, связанную с диаграмма!,1Н Юнга. Развитие этой техники - уточнение строения идекпстента. построенного по произвольней таблице Рига, приведено з $1.1. йдемпотент, построенный по некоторой таблице обладает симметрией относительно перестановок переменных с индексами,распло-хмшкни з одной строга? таЗдпин Юнга. Одно:», когда ш переходим к суммз идекпотентов, то эта симметрия исчезает. Оказывается, мокко с тем т успехом рассматривать элемент», которые будут обладать кососимметричностью по отновени» к наборам переменным, и рассматривать их линейные комбинации. Дроме того, при Фактическом счете в свободной алгебре Ли осе элементы, каждого кососсмыетричного набора можно считать одной и той же переменной и работать со словами в яовсм алфавите. Солее осторожно обраизясь с тождественными соотнесениями.' Аналогично новую переменную мояио вводить, когда определенные пере-менкпе. расположены? на определенных местах в левонермирезая-пой записи, подергается перестановкам по некоторому закону (церемонные одного пьста б геооеме 1. однако, хонтрехи-рсвать ситуации пока удавалось ли.ть, когда одной буквой с^о-значены вс»

Гя> симметричные переменные (сооту.етстьует строке лизграчху -Чїга);

5) кососш.ятричиш п«рек?шя» і столону тич-якмы) •.

в) переменные разбитые ¡ш одйн&чг»кь'о наборы кососикь^т-РНЧгШХ глреисивм: (сооткзтствует «РЯКОУГОДЫШКУ В ДКагр^«.»

!(.ига). •

Этот прием упроваз? ааяись элементов, что позволяет вести счет ь достаточно сложных по с?рооігию мнсгоойрагийх. Ііапрпмєр. в многообразии V - м_. д алгеСр Д; о дсустуг.ецно нилъпо--тенгньм коммутантом [СЗЗ. Рост этого многообразий мокно сравнить с ¡.'остом последовательности 2 *’ , п » 1,... . Этих ростом Фактически ограничивается область, з которой всзюкно получение аналогичных реэульт.тгоь. Полное описание строений модулей

Р(.{V), п • 1, Г.____ , получено ев;? только для двух маогообрг-

зяй с аналогичным ростом, ото Кіііогоссразне \’л . в котором н-.‘ наполняется м: одно стандартное1 тоэдесгво (и?учи;з е [б!) I! многообразна V, , поро.оенноо трехмерно;-; простой олг&Оро:':

! см. Г 5 1).

Бес три упомянуть^ пример:; многообразий с5лаг-ест одним ;• 7<;К ю сгопспюм: рост любого исобственного ПОДМНОГООООіл-р'.-ч -яьляетс?: • полиномиальные (этим по кеен н/.димости »: о'о'г.сняетея достигнутый успех ь ю: изучении). Так как оа;.и: ынэгообр&гля имеют экспоненциальный роет, тс та<мо многообразия 0!іли названы многообразиями почти полиномиального роста. Отмотлм,что термин "почти" относится к сгойстну многообразия. не бывает последовательности чисел почті; полиномиального роста.

СтержоЕым моментом, каогояїїйа работы является зохек. кзу-

:е многообразий почти полиномиального роста. На этом пути было поручено удовлетворите лык.*1 описание многообразий с г.потриЗутивнсй ргас-ткой подмногообразий ( одна из проблем в ill а так*& частичное ресекие сдзхной проблем из СП о рьзрегшюти 1л:0ГГ'05рагия, не еодергакего трехмерной простои нгеСры. Креме тсто.паоьнта достаточно содержательная теория, к излогс-нию ocnoiiHíK ее моментов, а такте содержания глаз,

і.-.ьі сейчас и приступаем.

- Центральным по содержанию явлльтея результати главы 4, г которой установлено, что в классе всех разрешимых алгебр Jj¡ су^ствуот только четыре многообразия почті; полиномиального '■оста, ’’то V, , v4 , упомянутые ранее, а также Vs . У* которые порождены полупрямыми произведениями }.! и К -2-мерію« !,;ет£-.белеБсй или 3-мерноЯ нильпотентиой (.эти алгебри г.ездееупз:) ка абелеву бесковочаоыерную алгебру (кольцо многочленов) и впертые введен« автором, хотя сами алгебри встречались н ран"е.

Многие результаті; этой глав!; связаны с нильпотентность» ;;о!.:;,;у:анта алгебр из исследуемого многообразия. Обратим внимание на

Teopeva 4.3.1. Пусть V многообразие разоошпаих алгебр Ли Лрнчс;-; V , V, f- V , vv <L V . Тогда cys&cTBjс? такое '■'ИСЛО s , что выполняется Еключение V со А.

Ехинетвеннкм известным пока примером неразрегг.з.:зго многообразия почти полиномиального роста является У„-- var ю!,, ,

поролленкогс трехмерной простой алгеброй.

Списание всех (не обязательно разрезики;:; г.догссбраг.ий по'-ти гслиної.тальксго роста получено г двух случаях, кс тор».:

-10-

соответствуют главы 3 к 5.

В третьей главе изучена подмногообразия многообразна, порожденного алгеброй V, ( бесконечномерной простой алгеброй картановского типа общей серии ). В этом классе существует только два многообразия почти полиномиального роста: Ул . Приведем соответствуйте результаты.

Теорема 3.1.1. Пусть для многообразия V выполнено следующее условие че V <=. vnг V,, •. Тогда существует такое натуральное ш, что верно включение V <=■ А .

Теорема 3.2. 4. Разрешимое подмногообразие многообразия, порожденного алгеброй Витта, имеет поликоми-альный рост тогда и только тогда, когда оно не содержит алгебру М. Такое многообразие, в частности, является подмногообразием многообразия Н5 А при некотором Б. ‘

Отметим также результат, связанный с нильпотентность» коммутанта разрешимой алгебра. .

Теорема 3.2.3. Пусть V многообразие алгебра Ли. Если для

5

некоторого числа с выполняется включение V п А с Ке А,

то тогда и для любого и существует такое число г, что выполняется включение V Л АЛ1с: К; А. .

Пятая глава посвящена изучению многообразий с дистрибутивной решеткой подмногообразий. £ случае ассоциативных алгебр полное описание многообразий с дистрибутивной реиеткой подмногообразий получено А. 3. Ананьиным и А. Р. Кемером в работе Г 2]. Для правоальтернативных алгебр — в. Д. Мартиросяном в [10].При ресении аналогичной задачи для алгебр Лі! приходится работать с четырьмя тождествами 6 степени, содержащими 10 числовых параметров. Техническая сложность решения задачи

— и —

продемонстрирована в параграфе 5.1, где получено полное описание на "лзнке" тождеств для многообразия V, (параграф 5.1). А ОСНОВНОЙ результат мокно сформулировать, используя теорс-ми

5. 3.1 и 5. 4.1, таким о&разом:

Теорема. Пусть V - многообразие разрешимых алгебр Ли с дистрибутивной решеткой подмногообразии. Тогда возможен только один из случаев:

1. Чс с V.

2. V - V,.

3. V - I ^ где V, - единственное многообразие с

таким снойспом, ресетка подмногообразий которого дистрибутивна.

4. Многообразие V имеет полиномиальный рост,з частности для некоторого г. выполнено включение V <= |’^ А.

В качестве следствия мехно привести неочевидний факт

Теорема 5.3.2. Либое многообразие разрешишь алгебр Ли с дистрибутивной решеткой подмногообразий является шахтовым.

Во второй главе.кроме упомянутого результата о многообразии \'г ( параграф 2.1 ), установлены эквивалентные полиномиальному росту условия. ■

Теоремз 2.2. 2. Для многообразия алгебр Лі V эквивалентны такие условия:

1. Многообразие V имеет полиномиальный рост.

2. Для некоторого з выполняется условие

А Ф V <= А.

3. Ненулевые подмодули модуля Р,^С V) соответствует лить диаграмма).* с ограниченным числом, не зависящем от п, клеток пне первой строки.

Новым является условие 2, а эквивалентность первого и третьего уелосші доігазана .К. И. Бенедиктовичем и А. В. Залесским ъ рабо ге С 33.

В параграф '¿. 3 доказано отсутствие многообразий промежуточного между полиномиальным и экспоненциальным роста «'теорема П. о. 1). -

В главо 1, кс.к у«;- отмечалось, развита тохкига, с в я сан кая С ВИДОМ тождественного СООТКОВІЄНИЛ Г4 - 0, ПОЛ/'чаеі'.ОГО по проиаволькэй диаграмма Юнга сі. Поленим сснсвлук ид;н. Рассмотрим некоторое раарезание диаграмм:« сі па псдднаграїл.'ь:

а,.........<іі . гаскрасим зі и подїиаграмки различив",!.: ш-о-ам;*..

Тогда эл/мокт і'н явлнстеп суммой слагаемых, отре-.;;;:. ;:а.-дого из котсрьіУ. ;.;о;л;о представить следукчвдм оСг..-."ом. Еое ;.:ести раскразены определенным цветом. Причем, число «/¿є? с изетсе к-ллои пош'лрр-а;:.« совпадает с числом :-:ле;ол г, о гг-дді:ц-гра;*:е. На псрс.тениго одного цвета действует /д.^.ч-нг г; угловой алгебры настроенная по диаграмме этого л; цвета.

Е этой главе в качестве при,\:ега пспольпозант. рі;т,нго;'і -техники, приведены результаты о нильпотентности ілюгосбразкя зкспочбааиільаого роста с услэвк-з-л знгелеьооти. Доказмедьст-ьо является автономны:.;, чем отличается от докь-ательсгва (без ограничения из рост) результата Е. Л Зельмакоьа £9], кэаэрый был получен позднее и 'опирается на результат А. II Хострикина о существовании аСелева идеала в гнгелевой алгебре Ли.

, Рсодумья автора о распространено на случал алгебр Ли знаменитой теоремы о высоте Д. И. Ширшова [133 .привели к введению ПОНгіТИіЧ АРІ-алгеСрь!. Отметим, что оОбжние этой теоремы для с луча? альтернативны): алгеО? получено О. В. Пчглинцевіж ГЛіЗ.

Псг^дкее, многообразия. состоящие- кз АРІ-аг.гс-бр, обрели более кдассичоеко.'» определение, так как в яарагрпфг 1.3 установлене. ¡то такие многообразия івеюг ассоциативный тип (многообразие .алгебр Ли г.м-ет ассошіативний тип, если существует такое число пі , что элемент, построенный по диаграмме Юнга, солер:--.ч!!іо;і кг.адппт со стороной пі , р^вен нулю в алгебрах «того уногообразия). Теорема о высоте для таких многообразия показана в параграф 1.5. ■

Отм'тим тьюг» результат, связанный с бесконечномерными прост1..:« алгебрами картановского типа. Многообразия, порожденные такими алгебрами, имоот экспоненциальный рост (теорема 1.2. 1,. '

Автор Ьлрахает благодарность Юрию Александровичу Еахтури-ну, научному консультанту зо время докторантуры з МГУ, кото-рі.ІіТ является моим Учителем вот уже ка протяжний 17 лет.

Література

1. Днестровская тетрадь, переменные проблемы теории кол-ц и модулей. - Изд. 3-є. Новосибирск, 1982.

2. Ананьин А. 3. . Кемер А. Р. Многообразия ассоциативных алгебр, рекетки подмногообразий которых дистрибутивна//Сиб. мат. х 1978.- Т. 17. - Ї1 4.- С. 723 - 730.

3. Венедиктович К. И. .Залесский А. Е. Т-идеалы свободной алгебры Ли е полиномиальным ростом последовательности коразмерностей// Вест АН БССР.- 1980. - N3.-0. 5 - 10.

4. Еайс А. Я. О специальных многообразиях алгебр ¿и//Алгебра

И Лзгика. - - Т. 23.- N 1. - С. 29 - 40.

- -

Ь. Беличенко И. Б. О кнсгосбрагизх с~;.'еЗр Л:! А И, наг, поле!: характеристика нуль// ЛАН БССР,- ¡981. - Т. £5,- Л 12. -0. 1063 - 1066.

0. Чоличенко И. Б. Об олном многообразии алг.ор Ли.евяслннок со стандартными тохбзстепхи, !//Еес:и АП ¡л'ОР. .--г. *:.з. -мат. навук,-1080.-М 1. - С. 23-30. И//там *?. 2. -С.

V. Гргежов А. И. о росте кногообраг.ий алго;'о // V »г««,

аакетк;!. - 1983. - Т. 44,- I. - С. 51 - ‘-5.

8. Лре;:еки В. С. Представления с^мметрич-ч:;--;';: ;рулпа и

гоойразил лкн>.-Яш1х алгеОр // ‘Пгем. со. ■ Кч;1. Т. 1 и>. -¡: - с. у'с - П5.

9. Зельманов Е. 1!. ¡Глобальная ¡п.лыют^пгнсс:очг>.-л:

геСр й! ограниченного нш:е:;са нал г:о.-- пул.'П ,;1 у ^а^та -р;!ег;:ки//ДЛП СССР. - 1667. • Т. 29С. - !.’ Г.. - Г.*Г. - £68.

10. '.рткрос.’И Н. Л. о диггркЗугиря ;сти р^иетоп гаД’-ио: .,.;о;>а-;.кй шюгсо?р.чзка пт ак&лдоркатквшсс си'.г> '»•?// йлся. ЛИ ApM.ee;-1, 1084,- Т. 78. - N -5. - С. 199 - ГОС.

11. Пче линцеи С..В. Теорема с впсоте для альтернагиьакх а.лг^бр. //‘.Ятем. ей. 1984. - Т. 1?4. - N 4. - С. Г/7 - '33.

12. Р&гмыслэв ¡0. П. О слс;а!гот» многообразий алгебр у, и:< представления// Вс-етник 1.ТУ. - 1988. - К 4. - С. ?-:> - 78.

13. Шнргов А. И. О гольцах с то.удестЕенимя соотнесениями// Мзтем. со. - 1957. - Т. 43, N 2. - С. 277 - 283.

Работы автора по теме етсеертаанм

14. Рост чяогооСразий алгебр Ля (ойзор)//У.М1 - 1990.- I. 15. -К 6(276). - С. 25 - 45.

15. О многообразиях разрешимых алгебр Ли// ЛАН СССР. - 1090. -Т. 313.- N б,- С. 1345 -1348.

16. Многообразия центрально-метабелезых алгебр Ли над полем характеристики куль /> Матем. заметки. - 1981.- Т. 30.-

N 5. - С. 649 - 657.

17. Многообразия алгебр Ли со слабым ростом последовательности K0pa3MepH0CTeil//L;CTHHK МГУ.-1982.-N 5,- С. 63-66.

18. Многообразия гилерцентрально-метабелевых алгебр Ли над полем характеристики 0//Вестник МГУ. -1983.-N5. - С. 33-37.

19. Тождество знгелевссти и его прилохения/Жлтем. сб.-1983. -Т. 121, N 3. - С. 423 - 430.

20. К проблеме энгелевости// Матем. сб. - 1984.- Т. 124, N 1.-С. 57 - 67.

21. О многообразиях полиномиального роста алгебр Ли над по-

- лем характеристики нуль// 1,‘атем. зачетки.-1986. - Т. 40.-

N 6,- С. 713 - 721.

22. О многообразиях алгебр Ли промежуточного роста // Вест АН БССР. - 1987. - N ?.. - С. 42 - 45.

23. Многообразия алгебр Ли с двуступекно нилъпотентним коммутантом// Весці АН БССР,- 1987.- N 6. - С. 39 - 43.

24. О разрешимых подмногообразиях многообразия, порожденного алгеброй Внтта//Матем. сб.-1988. -Т. 136.-ИЗ. - С. 413-425.

25. Вариант теореми о высоте для алгебр Ли// Матем. saw;тки. -1990,- Т. 47. - N 4.- С. 83 - 89.

26. К проблеме энгелевости// XV11 Веесога. алгебр. копій. Минск, 1983.- Ч. 1.- С. 129 -130.

27. О росте многообразий алгебр Ли// XVIII Всесоюз. алг. кснф. Кипинев, 1985. - Ч. 2. - С. 37.

23. Вариант теоремы о Encore для алгебр Ли // XÎX Всесоюз. алг. конф. Львов, 1987.- Ч. 2.- С. 183.

29. Я вопросу о многообразиях почти лолиномиального роста //

Международная конф. по алгебре. Тезиси докладов по теории гале а. алгебр и модулей. Новосибирск, 1989. - С. 92. .

30. Многообразия, состояние ira АРІ-алгебр // Международная конф. по алгебре. Тезиси докладов по теории колец, алгебр и модулей. Барнаул, 1991.- С. 83.

31. Многообразия 2-метабелевых алгебр Ли/ZV Всесоюз. симп. по теории колец, алгебр и модулей. Новосибирск.-1982. -C. 93-Q4.

32. К проблеме разрешимости многообразий алгебр Ли, не содер-жашх трехмерной простой алгебры // VI Всесоюз. симп. по теории колец,алгебр и модулей. Львов.-1990. - С. 89.

33. Многообразия алгебр Ли с условием дистрибутивности решетки подмногообразий // VI Всесоюз. школа по теории многообразий алгебраических систем. Магнитогорск, 1390,- С. 25.

. ОДПЕТСЄНС' в печать ?2.^1.Р2- Сориат Т^ГС Fyvara пис**аа

Ііе^ать _о^сет.чзд_ Г "ипаж Рачаз'П ї~есплатпо.

ХяГП' Ротапринт 4"52600, г Ульян^рск, ул. Энгельса.Ч.