Деформирование пластин в докритической и закритической стадиях в условиях теории нелинейных деформаций тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ .НАУК УКРАИНЫ ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МАШИНОСТРОЕНИЯ

На правах рукописи

Хондокар Абу Зафор

ДЕвОШИРОВАНИЕ ПЛАСТИН В ДОКНШ1ЧЕСКОЙ И ЗАКН1ТИЧЕСКОЙ СТАДИЯХ Б УСЛОВИЯХ ТЕСНО! НЕЛИНЕЙНЫХ ДЕФОНААДИЙ

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого

твёрдого тела

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

Харьков 1992

Работа выполнена на кафедре строительной механики Харьковского инженерно-строительного института

Научные руководители

Официальные оппоненты

Ведудая организация

доктор технических наук, профессор ВИНОКУРОВ Л.П.

кандидат технических наук, доцент ХИЛЯКОВ Я.Г.

доктор технических наук, профессор ЮРЬЕВ А.Г.

кандидат технических наук, профессор ЫАЛАШЕНКО Л.А.

Харьковский политехнический институт

Защита состоится "02" О*^. 1992 года в /А часс на заседании, специализированного совета К 016.22,01 по присуждение учёных степеней в Институте проблем машиностроения АН Украины

по адресу 31(3046, Харьков, ул. Д.Пожарского, 2/10

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПМаш АН Украины

1992 г.

Автореферат разослан "22". О .

Учёный секретарь специализированного совета

Ю.С.Воробьёв

тг :л 1 ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

; :ртсциЛ |

" '""Актуальность темы. Снижение материалоёмкости конструкций, которое необходимо для развития современных технологий в народном хозяйстве, тесно связано с развитием теории прочностных расчётов инженерных конструкций.

В круг её вопросов входит выявление резервов сопротивления и надёжности конструкций, основу которых составляет получение методов, обладающих высоким сближением услоЕий теории расчёта с теии, которым подчинена работа конструкции в реальности. В этом смысле здесь сосредотачивайся ьнииание на разработке метода определения док^ЛШМйёйдГО и закритического состояний прямоугольных пяаетйн Ьри "учёте широкого класса заданных для них условий плоской задачи и поперечного изгиба.

Методика определения НДС б подобных условиях относится к теории нелинейных деформаций. Вытекающая из этой теории нелинейная система дифференциальных уравнений (уравнения Кармана) в частных производных, описывающая плоскую задачу и поперечный изгиб с привлечением гипотезы прямых нормалей и при ряде других ограничений, трудно разрешима. В имеющейся литературе не все частные вопросы нашли достаточно полное отражение. При решении задачи устойчивости по Эйлеру критическое состояние упругой системы определяется так асе, как состояние жёсткой системы, привлечением смежного состояния. Уравнениями по этому критерию отражается влияние ^критического состояния на закритическое и не учитывает обратное влияние. Для описания закритического состояния'требуется составить самостоятельное уравнение, при которой не удаётся получить замкнутую формулу для критической нагрузки и имеют место трудности, связанные с решением трансцендентного уравнения. Для реиекйя уравнений Кармана в условиях теории нелинейных деформаций привлекается метод конечных разностей. Его применение приводит к слоаной йвлииэйкой системе уравнений,не позволяющей получить критерий экстремальной стадии. В связи с этим для решения этой задачи необходимо применить метод, который дал бы, во-первых, способы формирования аппроксимирующих функций, удовлетворяющих ии-рокоыу классу граничных условий для плиты, во-вторых, найти эффективные методы решения уравнения плоской задачи с учётом правой части, отражаемой аппроксимирующей функцией и наличием разнообразных мембранных Нагрузок. Получение замкнутой форму-

лы для критической нагрузки, которая используется и для определения прогибов и напряжений в эакритической стадии деформирования пластины, весьма актуально для инженеров и проектировщиков.

Цепь диссертационной работы состоит в получении решения задачи о деформировании пластин в докритическом и закритичес-ком состояниях с определением критической нагрузки, при которой происходит переход из первого во второе состояние. Для её достижения необходима:

- привлечение теории нелинейных деформаций и принадлежащие ей два основных уравнения: плоской задачи и изгиба тонкой ПЛИТЦ*

- метод формирования, функций, аппроксимирующих прогибы |ДГ , удовлетворяющих широкому классу граничных условий для плиты;

- эффективный: прямой метод решения плоской задачи с учётом правой част», отражаемой аппроксимирующей функцией, с привлечением которого преодолеваются трудности, возникающие в ранее применяемых методах;

- построение алгоритма, основанного- на методе прямых, и ооздание программного комплекса для. реализации метода расчёта на ЭВМ.

Научная новизна, работ.«- заключаемся в- следующем:

- в разработке методик» определения, докритической и эакритической стадий деформировав«, прямоугольных пластин в условиях теории нелинейных, дефвцаций- с учётом непростейших на-груженмй в срединной- плоскостям

- в получении единого, мат.ода исследования НДС прямоугольных пластин в докритической: и близкой к ней закритической стадии при любом распределении- нагрузки в срединной плоское- , ти, при котором критическое состояние устанавливается не по критерию Эйлера, как предполагаемый момент наступления бифуркации в деформировании системы, в как экстремальное состояние, определяемое уравнениями, описывающими деформирование системы как единый процесс;

- в формировании функций, аппроксимирующих поверхность поперечного изгиба пластины 1АГ(х,у), удовлетворяющих широкому классу граничных условий для плиты;

- в получении замкнутой формулы для критической нагрузки

и использовании её для исследования закритического состояния, не прибегая к составлению самостоятельных уравнений}

- в учёте несовершенства граничных условий, связанных с технологическими или иными причинами;

- в получении более простого решения уравнения попереч- . ного изгиба тонкой плиты, используя условие удовлетворения , упомян}гоиу уравнению в одной точке: х = О, у = 0.

Практическая ценность работы состоит в разработке методики расчёта определения докритического и закритического состояний прямоугольных пластин при учёте широкого класса граничных условий. Разработана численно-аналитическая методика и создан на её базе комплекс программ на языке Фортран. В решении этих вопросов могут быть Заинтересованы многие научно-исследовательские, проектные и конструкторские организации.

Апробация работы. Основные положения диссертационной, работы докладывались и обсуждались на научно-технических конференциях ХИСИ (Харьков, 21-24 марта 1989 г., 13-16 марта 1990г.) и на 1У Всесоюзной научно-технической конференции "Современные проблемы строительной механики и прочности лета-Тельньк аппаратов" 18-21 сентября 1991 г. -Харьков: ХАИ 1991.

Публикации. Основное содержание диссертационной работы и результаты исследований автора опубликованы в I работе .

Объём работы. Диссертация состоит из трёх глав, библиографического списка и приложения. Общий объём диссертации состоит из страниц, в той числе: 93 страниц машинописного текста, 22 рисунка, 27 таблиц, 13 страниц списка использованной литературы и 20 страниц приложении".

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава посвящено постановке задачи и основ« метода репения. Дан анализ современного состояния теории гибких плвстйн, которая рассматривает вопросы НДО пластин в докрити-чвской и аакритнчвской стадиях.

В расчете пластин учитывается та нелинейность применительно к упругим системам, в которой деформации выражаются нелинейно через перемещения при линейном физическом законе. При этом получается нелинейная система дифференциальных уравнений в частных производных, которая трудно разрешима.

Поэтому используптся некоторые пути упрочения: привлечение гипотезы прямих нормалей и разделение общей задачи на

две: прочности и устойчивости. Также принимается ряд ограничений, которые заключаются в том, что в плоской задаче при составлении уравнений равновесия не учитывается деформированная схема, а в задаче изгиба плиты - учитываемся. И тем не менее, трудности математического характера остаются. Они преодолеваются привлечением конечных разностей, как например, работой Карнишина М.С., Исанбаевы Ф.С. и др. Что же касается проблемы устойчивости упругих систем, то постановка её в отрыве от всего процесса деформирования и привлечения критерия устойчивости по Эйлеру не отвечает реальности. Ими отражается влияние докритического состояния на закритическое и не учитывается обратное влияние. Для описания закритического состояния требуется составлять самостоятельное уравнение, при котором не удаётся получить замкнутую формулу для критической нагрузки. Устойчивость по теории нелинейных деформаций в отличив от критерия устойчивости по Эйлеру рассматривается как экстремальное состояние в процессе деформирования; исходные уравнений*, его описывающие, геометрически нелинейные. Для их решения имеются два апробированных метода. К первому - принадлежит метод конечных разностей. Его, применение приводит к сложной нелинейной системе, уравнряий, не позволяющей получить критерий экстремальной стади}.. Вгорой метод состоит в привлечении функции, аппроксимирующей-у/г. Его практическое исполь-" зование встречает трудности» Оод. состоят в том, что отсутствуют, во-первых, способы формирования аппроксимирующих функций, удовлетворяющих широкому, классу граничных условий, и, во-вторых, эффективные методы,режения уравнения плоской задачи с учётом правой части, отражаемой аппроксимирующей функцией и наличием разнообразных мембранных нагрузок.

В данной работе эти трудности в значительной мере устранены тем, что, во-первых, дан метод формирования функций, аппроксимирующих прогибы 1ДГ ! в "X область применения включается множество вариантов граничных условий для плиты. Во-вторых, предлагается эффективный прямой метод решения плоской задачи.

Перед изложением упомянутых методов в данной главе излагаются методологические основы теории нелинейных деформаций и вытекающие из них уравнения деформирования пластин. Здесь имеется ввиду решение Кармана простейшего случая задачи о де-

формировании одноосно равномерно сжатой напряжениями 5 вдоль оси X и свободноопертой по контуру в условиях теории нелинейных деформаций. Критическая нагрузка, которая получается при этом, совпадает с критической нагрузкой, полученной по критерию Эйлера. Однако, в отличие от него, решение по нелинейной теории деформации не ограничивается получением формулы для критической нагрузки. Оно позволяет с привлечением функции, аппроксимирующей IV , кроме неё получить прогибы и напряжения в закритической стадии.

Метод решения совместной системы уравнений, вытекающих из теории нелинейных деформаций состоит в следующем. Прогибы 1АГ аппроксимируются функцией, представленной в ииде МГ = ЦГодм. + 1Л(члсТ. С1)» где и/од.н- " решение однородного уравнения, соответствующего уравнению « (2); М/^с-,. - его

частное решение. Последнее рассматривается как решение уравнения (2), соответствующее некоторой воображаемой нагрузке Ра и задаётся с учётом граничных условий изгиба в виде

МА/аст. 3 А СОБ^С0& ~ (2), где А _ неопределённый коэффициент. Следуя методу разделения переменных, находится Ц/одн. в виде:

Содержащиеся в МГоДН.неопределённые коэффициенты А,В,С,ф подчиняются совместно с Ц/част, граничным условиям поперечного изгиба пластины как плиты.

Из выражения (I) как общего вытекают два частных: ЦТ = М/члст. и иГ " иГедн-'(б) (4а). ПервЛ из них при использовании (3) привлекается для свободноопертой плиты. Второе используется для плиты, две параллельные граня которой свободно оперты, а две другие имеют иные условия. '

Коэффициент А в выражении (3) определяется из уравнения изгиба при -О обычно привлечением процедуры Бубнова-Гале-ркяна и иа условия удовлетворения уравнению иэгиба в точке х - О, у » О, где ЦТ « А, когда метод Бубнова-Галеркина не V даёт удовлетворительные результаты. Совпадение получаемого при этом результата было проверено на ряде примеров, решающихся по методу Бубнова-Галеркина.

Для решения уравнения плоской задачи

в

привлекается дифференциально-разностный метод (ДН1). Интегрирование соответствующей ему системы обыкновенных дифференци-альнвх уравнений выполняется на коллокационных началах. Функция t-Рк на делительной линии К (рис. I ) ищется (в случае конечных разностей по переменной "у") в виде суммарного представления ; ^q^jCOS ^ (б)- Коэффициенты otK(jn)

подчиняем условиям удовлетворения функций <-Рк системе дифференциальных уравнений в ряде точек на каждой линии "К" и кро-мо этого принадлежащим им граничным условиям при X - + ^ .

Суммарные представления (6), являющиеся тригонометрическими полиномами, имеют преимущество перед алгебраическими полиномами в том, что они освобождают от высших степеней членов полинома при большом их числе. Кроме этого, это имеет существенное значение для обеспечения хорошо обусловленной матрицы, объёмистой в системе алгебраических уравнений, составляемых на коллокационных началах для определения коэффициентов с(куг) в суммарных представлениях.

Параметру " m " в выражении (6) придаём 9 значений, что соответствует числу коэффициентов о(к(.т) на одной делительной пикии при отсутствии симметрии. Их начинаем с W • 0,^ и далее увеличиваем на единицу, обеспечивающие хорошо обусловленности матрицы системы уравнений для коэффициентов с(х,цг) • ® результате её решения коэффициенты о^ло выражаются через А и через параметр нагрузки . После этого с привлечением известных зависимостей, выражающих напряжений ^х, ^у, 1ху через функцию Ц* , находим эти напряжения на каждой делительной линии. Закончив на этом решение плоской задачи подготавливается переход крещению задачи изгиба плиты, описываемого уравнением, представляемым в виде + Зг " 0 где J)3i =

Операцию интегрирования уравнения (7), требуемую по процедуре Бубнова-Галеркина, выполняется аналитически применительно к 3<| • а применительно к » учитывая систему делительных линий, выполняем сначала интегрирование по х на каждой из этих линий. Полученные результаты рассматриваем как ординаты кривой, определяющей'функцию по Переменной у. Её интегрируем методом Симпсона. '

Таким путём в конечном счёте получаем уравнение, из ко-

2

торого надлежит определить коэффициент А и функции, аппроксимирующей UT • Минимальная величина параметра нагрузки , при которой А^ имеет положительное значение, определяет появление изгиба и в этом смысле рассматривается как критическая. При решении уравнения (7) также используется условие его удовлетворения б точке х • О, у » О. Результат, как уже было указано ранее, получается совпадающим с результатом решения ло методу Бубнова-Галеркина.

В работе, опираясь на теорию нелинейных деформаций, получен общий метод решения задачи определения докритического я закритического состояний прямоугольных плаотин. В ев состав входят:

1) Определение напряжённо-деформированного состояния (НДС) пластины в условиях плоской задачи теории упругости.

2) Решение дифференциального уравнения изгиба пластины с учётом её деформированной схем».

3) Определение критической нагрузки.

Ч-) Исследование закритического состояния плвстинм, несущей нагрузку в срединной плоскости.

5) Учёт влияния на значение критической нагрузки отклонения от условия строгого приложения нагрузки в срединной плоскости.

Вторая глава посвящена практическому применению метода и проверке его надёжности. Реваются множество примеров для прямоугольных пластин с учётом вироксго класса заданных для них условий плоской задачи и поперечного itareffa. В качестве контроля предлагаемого метода решён классический пример« равномерное одноосное сжатие свободно опертой пластины (ряс. I). Решая плоскую задачу в уравнении плоской задачи ó учётом нелинейной добавки с привлечением аппроксимирующей функциии (ДГ "

I ACOS^COS ^ » раскрываем правую часть:

4Ш : (^f^fWf^v с»,

Граничные условия: Грань C<fi(X=f) : 4U- »Sg-j? " О

Грань АС(У=|):Час " 5 тЙ5 - или в конечных

«Ла.Л-а CIO

разностях• ¿¿у = - ¿jr » откуда для законтурной линии £ имеем - -ЯД ДЧ+4V5 •

«I т

л

i ¡

jt-J

S_L

0 10 M il U u U c<

Plie. 3

Г*

CE

m

-i. 4E.

X I

Рис. 5

loi

оЛ

№ ДО

4M «Il

W;A «J

ч *

i

< 17 w.1

« *"/ /

7

/

о w u u u w u Рис. 2

P'

! 1 1 1 1 p P

{

i

t с {

1 1 1 1 11 e

? 4«

« « t

0

РИС. 4

£1

й

»_t.

Рис. б

il

У

n

4

Л

I

L

\

i

i

I

«

Й

Я

I

a

a

Уравнение (I) после подстановки (8) в ей правую часть, записывается в конечных разностях: «?> порешенной у для каждой из делительных линий К (К = I, П, ИЦ Wy отдельности

Линия + =

- (Sin'^-Sm^Gc^f COS2^). (9а) = -Cfcs^Co^). (ю.)

линия

-^-^fe+^CS^Sm^-COS^Coif). , (П.) линия 17, + .

Заиенив в системе (9а) -(12а) функции на каждой делительной линии их суммарный представлением (6) через коэффициенты с(\цгп) получаем:

Линия I: fe M^rH^^-fe&^n^fhi COS Ш) - (Sin2^- Sm'M - Cos^cos^) , (9)

Линия П: - 1 С wCOS+i 5)Stm)G05 f ^C(£0^ COS f )4 i-M tf (fcW» f) - (S«?fЮ)

Линия

Cosf) r-^+^Us^Sm^-C^CO^f), (12)

где a ^m^ + A- €>4mi+8i|-&j; Ъ-

С ^ (2- 6 i, m2-^); & = ОпЧ*г m2+p.gi<); E=(fl»fyl-6W+&-8<')'

Уравнения (9),(Ю),(XI),(12) при записи их в коллокацио-нннх точках вместе с уравнениями, вытекающими из условий

= i = О, образуют систему алгебраических

2 Ъ*

уравнений относительно о(к(,т) • Указанная система, содержащая 2в уравнений, решается с применением ЭВМ с учётом в правой

2

части раздельно коэффициента А и параметра нагрузки ^ .

о

Коэффициент А и критическая нагрузка ^^определя-

лись иа решения уравнения изгиба плиты (7) двуыя способами:

С привлечением процедуры Бубнова-Галеркина и условия удовлетворения уравнении (7) в точке х »0, у - 0. По первому варианту получено следующее уравнение при Q = в s

0,042^ - 0,0625^ -í)^,» • С»)

- p

откуда следует, что А имеет действительные значения при 0,0625£^«ЬIjpj и,критическая (экстремальная) стадия в процессе деформирования пластины наступает при критической нагрузке, определяется из равенства 0,0625CJ^p » откуда

V = ° (14)

Для исследования закритического состояния принимаем "О^кр. и переписываем выражение (15) в виде:

1,^706%р(о|-13(15), где of > I. £ исследовании закритическои стадии определяем прогибов UT и напряжений ПРИ о(> 1 в центре плиты, т.е. в точке ж « 0, у » О. Были использованы следующие выражения для Uf" А и соответственно:

А - + (15а), где £ "К^ W 5

fr'/^í16) Построены графики (рис. 2),(рис. 3) иеменения |ДГ и бх в точке х ■ О, у » 0 при увеличении d -1,0} 1,1; 1,2; I,4;I,5. На основе анализа такого рода графиков было установлено, что в аакритической стадии рост как напряжения £>* так и прогибов ЦТ значительно опережает рост нагрузки. Например, при увеличении о! .в 1,1 раза бх увеличиваетоя более чем в 2 pasa.

Далее- решаются множество примеров по предлагаемому нами методу ЕЦО прямоугольных пластин в.докритической и аакритической стадиях, где учитываются разнообразные условия нагруже-кия в плоской задаче и широкий класс граничных условий при ■агябе плиты (рис. 5,6, 7, в, 9).

Для stKx задач в основном соблюдается симметрия по х и у, в отношении нагружения в срединной плоскости и решения их с одним варьируемым коэффициентом в функции 1ЛГ . Результаты доведены до получения конечних формул Для критической нагрузки.

Приведены сравнения результатов с другимй результатами ранее известными с привлечанйем критерия устойчивости по Эйлеру и а.нализ "прогибов и напряжений в точке х О, у =

О в закритической состоянии.

Один из важных вопросов поставленной задачи посвящен рассмотрении в постановке теории нелинейных деформаций нового вариайта Возможного Нарушения классических заданных граничных условий« Он в Появлении эксцентриситета у нагрузки,

прикладываемой на гданпц« в срединной плоскости пластины (рис. 10).

Было установлено, что при значениях Ы , близких к единице, прогиб в пластине с несовершенными граничными условиями становится равным прогйбу Ьластины с классически строгими Граничными условиями, когда нагрузка ^ в первом случае значительно меньше нагрузки ^^р. ВО вТором случае.

Ранее в условиях скмметричнОСтй задачи, функция аппроксимирующая ИГ , формировалась с одййи варьируемый коэффициентом. В связи <$ йесймиетричньш нагружениеи пластины в срединной плоскости в гфиКёнйеМоЙ ЦаМИ Методе решения задачи деформирования пяасТММ трвб^еТся формировать функциюгаппроксиыиру-ющей Ц/" , с сохранение^ а ней нв одного, а несколько ьарьи-руемых коэффициентов* Йх чйсло, обесйечивающее достоверность принимаемой функции, мо*но определить Ьутём сопоставления результатов рейекИЙ При йёреходё от функции с (Г|) , а затем (р-Ц) варьируемыми коэффи^ивНтаии, так как в этой случае мы не располагаем для с^аЬненИя готовши решениями по Эйлеру.

¿о Всём остальной метод решения задачи, изложенный ранее для пласТйй Ь симиет£йчньш Нагруженйем, распространяется и на пластины с насиииетрйчнык нагружениеы. Его применение иллюстрируется на ЬриЬбре ЬйЬЙодйб опертой пласТйны одноосно сжатой вдоль оси t Ьагрузкой^ рабЬраделённой По аакону треугольника (рис. II)

Вый* получены формулы для Критической нагрузки в двух вариантах 6 одням к двумя варьируемыми коэффициентами и установлено , Что последовательность значений коэффициента "К" в формуле критической нагрузки при переходе от одного коэффициента А к двум коэффициентам А^ и к^ в функции ЦТ имеет достаточно быструю сходимость. Далее приводится анализ прогибов и напряжений в закритической стадии для второго варианта

функции 1ЛГ (с двумя варьируемыми коэффициентами А^ , А2 ).

В третьей главе содержатся итоги исследования и общее заключение.

В работе на основе теории нелинейных деформаций достигнуто существенное продвижение в построении практического метода реиения задачи НДС прямоугольных пластин в докритическоЙ и близкой к ней закритической стадии. При этом критическое состояние устанавливается не по критерию Эйлера, как предполагаемый момент наступления бифуркации в деформировании систему, а как экстремальное состояние, определяемое уравнениями, описывающими деформирование системы как единый процесс.

Связанные с этим трудности решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных в работе преодолены тем, что дан метод формирования функций, аппроксимирующих поверхность поперечного изгиба пластины [А/"(х, у) и прямой метод решения плоской задачи с привлечением системы дяффорциа-льно разностных уравнений.

ОБЩЕЕ ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Дан метод определения критической и зокритяческой стадий деформирования прямоугольных пластин в условиях теории нелинейных деформаций с учётом непростейпих нагружений з срединной плоскости. Он освобождает от применения системы нелинейных уравнений (как, например, по методу конечных разностей) и позволяет учесть разнообразные условия нагружения в плоской задаче и широкий класс граничных условий при изгибе плиты;

Такой результат достигнут за счёт:

1) Привлечения дифференциально-разностного метода для решения плоской задачи и прямого метода реиения связанной с там системы неоднородны* дифференциальных уравнений)

2) Формирования функций, аппроксимирующих прогибы МГ с одним варьируемым коэффициентом при учёте нирокого класса граничных условий. Уравнение для его определения в случае, если применение процедуры Бубнова-Галеркина не приносит удовлетворительного результата, заменено уравнением, вытекающим из условия удовлетворения уравнению изгиба плиты в точке х"0, у-О. Его достоверность проверена в работе на многих примерах.

Интегрирование уравнения изгиба, которое требуется по процедуре Бубнова-Галеркина, выполнено с распространением метода Сиипсона, известного применительно к одномерной функцк',:

на функции двух переменных в условиях конечных разностей по одной перевенной. Таким образом, расширена область практического применения метода Сиыпсона.

3) Практическое применение метода иллюстрируется на ряде примеров с доведением их решения до конечных формул применительно к пластинам конечных размеров. Среди них имеются примеры, не имеваие ранее такого завершённого решения. К ним, в частности, принадлежат двухосное сжатие пластины сосредоточенными силами и сжатие пластины с отступлением от классически -формулируемых граничных условий.

В последнем примере рассматривается вопрос, как нам представляется, проблемного значения.

Основное содержание работы изложено в

I. Винокуров Л.II., Хондокар Абу Зафор. Общий прямой це-тод определения докритлческого и аакритического состояний пластин с произвольно-распределённой нагрузкой в срединной плоскооти//Тезисы докладов Всесоюзной конференции "Современные проблемы механикк и прочности'летательных аппаратов" 18-21 сентября 1991 г. Хсрькоа, 1991.

Ответственны?!*;за выпуск к.т.н., доц. Григорькн^ U.M.

Подписано в печать 18.06.92 Формат ,60x90x1/16 Усл.печ.л.1,0 Уч.-изд.л. 0,96 Бумага типографская № I Тираж 100 экз. Заказ № I561*.

Ротапринт ИПМаш АН Украины 3IÖ046,Харьков,ул.Пожарского.2/10