Деформирование существенно неоднородгных тонкостенных конструкций и его анализ в рамках концепции оболочки со структурой тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ
|
Скворцов, Виталий Радиевич
АВТОР
|
||||
|
доктора технических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Санкт-Петербург
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
1992
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.02.04
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
12 з г
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МОРСКОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
СКВОРЦОВ
Виталий Радиевич
УДК 539.3
На правах рукописи
ДЕФОРМИРОВАНИЕ СУЩЕСТВЕННО НЕОДНОРОДНЫХ ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ И ЕГО АНАЛИЗ В РАМКАХ КОНЦЕПЦИИ ОБОЛОЧКИ СО СТРУКТУРОЙ
Специальность 01.02.04 — механика деформируемого твердого тела
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук
Санкт-Петербург 1992
Работа выполнена па кафедре сопротивления материалов Санкт-Петербургского государственного морского технического университета.
Научный консультант заслуженный деятель науки и техники Российской Федерации д. -т. н., профессор А. П.. ФИЛИН.
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
профессор ПАЛЬМОВ В. А., члеп-корреспопдент АН Латвии д. т. п., профессор ПАНОВКО Я. Г., доктор технических наук, профессор ФРИДМАН В. М.
Ведущая организация: Санкт-Петербургский зональный научно-исследовательский институт экспериментального проектирования.
Защита состоится 1993 г. в часов
в Актовом зале на заседании специализированного совета Д 053.23.01 при Санкт-Петербургском государственном морском техническом университете по адресу: 190008, Санкт-Петербург, ул. Лоцманская, 3.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного морского технического университета.
Автореферат разослан 19 г.
Ученый секретарь специализированного совета
Л. С. АРТЮШКОВ
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
АКТУАЛЬНОСТЬ. Среди неоднородных тонкостенных конструкций, используемых практически во всех отраслях промышленности, можно выделить класс, характеризуемый строением в известном смысле "экстремальным". Конструкции этого класса чаще всего являются соединительными, компенсирующими элементами, одновременно выполняющими дополнительные функции (например, разделителей сред), или амортизирующими элементами, работающими на изгиб, или иными упругими элементами, обладающими большой жесткостью по одним компонентам и малой - по другим. Эти и другие требования к механическим свойствам могут приводить к существенному разбросу параметров неоднородности, определяемых отношением минимальных и максимальных значений констант материала либо интегральных характеристик жесткости отдельных составляющих (например, слоев). Так, в предельном случае этот параметр монет равняться нулю (оболочки с несвязанными слоями). Свойствами, близкими к ним, могут обладать слоистые оболочки, в которых несущие слои скользят друг относительно друга с трением, или соединены низкомодульными прослойками либо податливыми дискретными связями, композитные оболочки, где жесткие волокна помещены в низкомодульную матрицу, оболочки непрерывно-неоднородного строения, причем зачастую к ним примыкают и конструкции "традиционного" назначения. Существенная неоднородность их строения физически означает возможность деформирования с сильно неоднородном или даже разрывным полем перемещений, формально же - наличие малых параметров неоднородности, которые соизмеримы или намного меньше основных малых параметров (относительная толщина, параметры гомогенизации). Имеет важность еце одна отличительная черта перечисленных конструкций: даже при полном исчезновении слабых связей они не обязательно становятся мягкими - возможен независимый, "параллельный" изгиб слоев (волокон), скрепленных по краям.
Описанию деформирования рассматриваемых конструкций посвящено множество двумерных теорий поперечно-неоднородных пластин и оболочек. Часть из них исходит из концепции оболочки с приведенными модулями, в рамках которой методология пострения и вид соотношений такие же, что 1 при однородном строении. К ним относятся теории 2-го порядка (по числу не-
зависимых кинематических векторов и силовых тензоров) типа Кирхгофа-Лява и типа Тимошенко, имеющие 8-й или 10-й суммарный порядок уравнений соответственно, а также элементарные теории повышенного порядка, например, аппроксимирующие перемещения с помощью полиномов высоких степеней. В альтернативных теориях, исходящих из концепции оболочки со структурой, усложнение связано с неоднородностью. Их порядок может быть как фиксирован, так и, в дискретно-структурных теориях, зависеть от количественных параметров строения (числа слоев). При существенной в вышеуказанном смысле неоднородности известные теории с фиксированным порядком описывают многие виды напряженно-деформированного состояния (НДС), включая поперечный изгиб, близкий к параллельному, с большими ошибками, вплоть до неограни¿енных. Использование же асимптотически точных, дискретно-структурных теорий, рассматривающих каждый слой как индивидуальную оболочку, имеет ряд ограничений. С одной стороны, они связаны с трудностью получения даже приближенных аналитических решений и огромными, зачастую неоправданными вычислительными затратами. С другой стороны, их применение для непрерывной или волокнистой неоднородности не имеет корректного обоснования. Одновременно с этим, учет малости толщины всего пакета (а не каждого слоя) позволяет описывать многие виды НДС и теорией фиксированного порядка, при разумном, обоснованном выборе дополнительных степеней свободы; в частности, для описания оболочки с несвязанными слоями, жестко скрепленными по краям, при действии только краевой и поперечной нагрузки и отсутствии взаимного отрыва слоев, в принципе достаточно теории 3-го порядка.
Дополнительный аспект неоднородности может быть связан с иикропериодичностыо, в том числе в плане. Кроме классической ее гомогенизации, которая может быть некорректной, при наличии малых параметров неоднородности, известны альтернативные, усложненные способы осреднения, присущие теориям с микроструктурой (например, типа Коссера). Практическое их использование, а также возможный переход к двумерной теории для первоначально усложненной трехмерной среды, в построенных моделях касаются лишь некоторых частных случаев, не всегда подтверждаются тестовыми задачами, методика ввода дополнительных переменных подразумевает "субъективное" их определение-, критерии необходимости повышения порядка отсутствуют.
Вышеизложенное не позволяет удовлетвориться существующими вариантами двумерной теории и соответствующего расчетного аппарата. Этим обстоятельством, а также необходимостью прикладного анализа НДС ряда промышленных существенно неоднородных обслочечных конструкций и определяется актуальность настоящей работы.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ: построение, обоснование, анализ и определение границ применимости новой двумерной математической модели, описывающей деформирование существенно неоднородных по толщине и в плане пластин и оболочек в рамках концепции оболочки со структурой, в геометрически и физически нелинейной постановке, удобной для практического использования (в частности, с минимально возможным порядком теории, не зависящим от количественных показателей строения) и, одновременно, достаточно точной при любых параметрах неоднородности вплоть до бесконечно малых; разработка расчетного аппарата для аналитического и численного решения задач на основе этой модели; прикладной расчет ряда промышленных конструкций.
НАУЧНУЮ НОВИЗНУ составляют следующие результаты работы, которые являются ПРЕДМЕТОМ ЗАЩИТЫ:
- функционально-структурная математическая модель многослойных существенно неоднородных пластин и оболочек, состоящих из чередующихся типов слоев, которая включает полную систему уравнений и формулы для интегральных модулей и имеет 3-й порядок теории (12-й порядок уравнений); результаты анализа.ее точности, показывающие, что в силу предложенных принципов введения дополнительных переменных модель имеет ограниченную сверху фактически малую погрешность при любом соотношении малого параметра неоднородности и относительной толщины; результаты определения критериев ее применимости;
- обобщение модели на' случаи искажения регулярности строения, геометрической нелинейности, нелинейной упругости, вяз-коупругости, сильной анизотропии, трения между слоями;
- обобщение модели на случаи оболочек, имеющих непрерывно-периодическое или почти периодическое строение по толщине и/или в плане, волокнисто-композитно^ строение, изготовленных из . материала, априорно описанного моментной теорией упругости, включающих дискретные и полудискретные связи, при увеличении суммарного порядка уравнений вплоть до 16-го;
- расчетный аппарат, включающий приближенную аналитическую
методику, позволяющую довести результат до замкнутых формул, и численную методику, основанную на адаптации известных алгоритмов х разрешающим уравнениям, вытекающим из исходной полной системы уравнений, для решения линейных и нелинейных статических и динамических задач для оболочек вращения, круговых, кольцевых и цилиндрических пластин, в том числе осе-симметричкых и кососишетричных задач для оболочек с трением между слоями при неоднопаракетрическом способе нагружения; - методика и результаты решения прикладных задач для ряда промышленных конструкций, с одной стороны, иллюстрирующих возможности предложенной модели, актуальность ее применения, преимущества перед известными моделями, а с другой стороны имеющих самостоятельную научную и прикладную значимость.
ДОСТОВЕРНОСТЬ результатов обеспечивается строгостью и корректностью математических выкладок, доказанными предельными переходами к классическим теориям, четкой физической трактовкой построений, сравнением с результатами, полученными другими методами, в том числе точными решениями теории упругости (там где они могут быть получены в явном виде) и экспериментальными данными.
• ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ определяется математическим аппаратом для аналитического и численного расчета широкого круга неоднородных конструкций, с целью адекватного предсказания их жесткостных и прочностных характеристик на стадии проектирования, обеспечения требуемых эксплуатационных показателей и прочности, экономичного выбора конструктивных параметров. Созданные методики и результаты расчетов внедрены в СКТБ "Компенсатор" и ПО "Севмашпредприятие".
АПРОБАЦИЯ. Основное содержание работы и ее отдельных разделов докладывалось и обсуждалось на У1 и VII Всесоюзных съездах по теоретической и прикладной механике (1986, Ташкент, 1991, Москва), XIV Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек (1987, Кутаиси), Всесоюзной конференции.. "Актуальные проблемы прикладной математики" (1991, Саратов),-Всесоюзной конференции. НТО судостроительной промышленности "Проблемы обеспечения прочности транспортных судов и плавучих сооружений" (1986),"научно-технической конференции "Разработка , изготовление и применение сильфонных компенсаторов в судостроении" (1985), научно-технической сессии "Статика и динамика тонкостенных конструкций" (1990, Тбилиси), школе-
-семинаре "Теория взаимодействия оболочек с жидкостью, газом и твердым деформируемым телом" (1986, Казань), научно-технической конференции отделения акустики ЦНИИ им. Д..Н.Крылова (1989), научно-техническиих конференциях профессорско-преподавательского состава и научно-технических советах ЛКИ (1986-1991), семинарах ЛКИ (ЛГМТУ) под. рук . А.П.Филина (1986, 1992), ЛГТУ под рук. В.А.Пальмова (1988, 1991), Института проблем механики под рук. А.Л.Гольденвейзера (1991).
ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликованы 23 печатные работы и И научно-технических отчетов по НИР.
ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения (260 стр. машинописного текста, 82 рисунка на 43 стр., 6 таблиц на 4 стр.) и библиографии (295 наименований на 28 стр.). Полный объем - 335 стр.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
ВВЕДЕНИЕ посвящено обоснованию актуальности, формулировке цели, научной новизны, выносимых на защиту положений. .
В ГЛАВЕ 1 дается анализ современного состояния вопроса и конкретизируются задачи теоретической части исследования.
Основной акцент в обзоре (п.1.1) делается на методологию построения теорий неоднородных оболочек. В рамках концепции оболочки с приведенными модулями способ построения и вид уравнений не зависят от строения. Альтернативной ей является концепция оболочки со структурой.
Элементарная теория типа Кирхгофа-Лява, порядок которой равен 2, а суммарный порядок уравнений - 8, практически не имеет разночтений. Впервые примененная к неоднородным оболочкам в 40-е годы (Э.Рейсснер, С.Г.Лехницкий, позже - С.А.Ам-барцумян, Э.И.Григолюк и др.), она была построена методом гипотез и основывалась- на аппроксимациях тангенциальных и поперечных компонент перемещений и* = иа + -аГп.
ал= а(Г)+ £6(г), иГ=<Л-(г)> (1)
причем поперечный сдвиг отсутствует
у = е + 7{<г+|-а-о (2)
( £ _ радиус-вектор точек срединной поверхности, V - двумерный оператор-градиент; Хе [-0,5к.; 0,5 к] - поперечная коор-
дината, 11 - орт нормали, & = -7П. - тензор кривизны). Поз-ие ей было дано асимптотическое обоснование (И.И.Ворович, М.И.Гусейн-Заде, И.Г.Кадомцев, Ю.А.Устинов, И.С.Зорин).
Простейшее ее усложнение сводится к учету сдвига (в (2) К ф 0 ), что соответствует теории типа Тимошенко (2-й порядок теории, 10-й порядок уравнений). Разные ее версии в рамках метода гипотез построили Н.А.Алфутов, Е.В.Быков, В.В.Васильев, А.Т.Василенко, К.З.Галимов, Я.М.Григоренко, В.И.Королев, Б.Л.Пелех, Б.Г.Попов, Л.Либреску, Э.Рейсснер, Д.Уитни и др., причем их основное разночтение состоит б выборе интегрального модуля (тензора) сдвига в соотношении для поперечной силы 0 = С'К - Прямое следование гипотезам дает
С ""^ ч/^* <*>'
(подразумевается общий случай плоской анизотропии, где тензор 6 соответствует поперечной сдвиговой жесткости материала), -что завышает двумерную жесткость. Это корректируется независимой ашроксимацией г.оперечных касательных напряжений
г-¿,00 О/Щ.
которая, в результате интегрального согласования с гипотезой
постоянства деформации сдвига, дает ■' .. (Зб)
Наиболее популярны следующие способы выбора функции $г :
¿Г-4, (4а)
что при однородном строении ( Г » П, б к ), так же как (За), приводит к коэффициенту сдвига П, = 1, или
. гК'г-г. ,
Ъ 42 (4в)
( Е. - какая-то из компонент продольной упругости), где при однородном строении П, = 5/6. При проведении "мысленного эксперимента" - сравнении дву- и трехмерного решений задачи о кручении полосы или. крутильно-сдвиговых колебаниях - в рамках прямого подхода, ¡гг определяется как собственная функция некоторой задачи Штурма-Лиувилля (П.А.Жилин, Х.-И.Аль-тенбах); здесь при однородном строении Г0 * . С ростом
неоднородности различие указанных Г увеличивается, и описание типов НДС, отличных от "эталонных" (используемых при
выводе той или иной формулы), дает все более грубые ошибки.
Дополнительные аспекты уточнения элементарной теории, не влияющие на порядок уравнений, сводятся к введению в соотношения упругости слагаемых, зависящих только от нагрузки, и добавок к упругим модулям, зависящих от кривизны. В основных НДС они обычно не дают практически важных поправок.
Следующий иаг уточнения теории, по-прежнему не выходящий за рамки "приведенных" теорий, заключается, в аппроксимации тангенциальных перемещений тремя функциями
У-+ , (5)
где <р описывает сдвиг (3-й порядок теории, 12-й порядок уравнений), или использовании еще более высокой аппроксимации как для сдвига, так и для поперечного сжатия, которое осуществляется с помощью степенных функций (А.Н.Андреез, Э.И.Григолюк, Г.М.Куликов, Ю.В.Немировский, А.О.Рассказсв, Н.Г.Степаненко, Л.Докси, Р.Кристенсен, К.Ло, Д.Редди и др.)г
Непрерывно-структурные теории (В.Е.Верииенко, В.Г.Пискунов, А.В.Плеханов, А.0.Рассказов, Н.А.Шульга, А. И.Ульяши-на) используют аппроксимации такого же типа, где функции включают константы материала как параметры: например, в (5)
причем взято согласно (4з).
Подобную трактовку.можно дать и методике построения теорий трехслойных оболочек с мягким заполнителем (А.Я.Александров, Н.А.Алфутов, Э.И.Григолюк, М.А.Йльгамов, Л.М.Кур-шин, В.Н.Паймушин, П.П.Чулков), где функции определяются не конкретными значениями модулей, а лишь общим строением и координатами границ слоев. Такие теории.в работе названы функционально-структурными. Известны близкие к ним версии для некоторых типов многослойных пластин (В.Н.Кобелев, Х.Мурака-ми, Д.Хегемиер), причем они не имеют физического обоснования и не допускают перехода к любым изменениям строения.
Теории трехслойных оболочек одновременно являются частным случаем дискретно-структурных теорий. В последних каждый слой рассматривается как индивидуальная оболочка, и уравнения, суммарный порядок которых зависит от числа слоев П , стыкуются на поверхностях контакта (В.В.Болотин, Э.И.Григолюк, Ю.Н.Новичков, П!П.Чулков, И.Ф.Образцов, Л.П.Хорошун,
В.Е.Чепига, П.Глокнэр, Л.Лябреску, Н.Пэйгано, Д.Терви). Доказано, что при существенной неоднородности только они могут претендовать на асимптотическую точность (В.А.Устинов, H.H. Ахмедов). Однако практическое аналитическое (даже приближенное) решение задач здесь редко доводится до результата, а численное требует очень больших ресурсов. Это проявляется особенно сильно в нелинейных задачах. Например, даже- одномерные задачи для пластин и.оболочек с трением между слоями, несмотря на общую постановку, доводятся до результата только при П = 2 (В.И.Зубко, В.Н.Полевой, В.И.Шопа) , в противном же случае принимаются сильные упрощающие предположения (Ф.М. Детинко, Ы.С.Жихаревич, Н.Г.Калинин, Б.Я.Кантор, D.H.Новичков, В.А.Лазько). Одновременно, указанные затраты ресурсов могут быть неоправданны, т.к. мнсгие задачи решаются и с помощью уравнений меньшего порядка. Один из вариантов упрощения, сводящийся к функционально-структурной модели осесимме-трично'го деформирования оболочек с межслойным трением, пред-ложек автором в кандидатской диссертации, и в этом смысле соответствующие разделы настоящей работы являются обобщением и продолжением результатов, полученных автором ранее.
При анализе других видов неоднородности дискретно-структурные теории используются только искусственным разбиением конструкции на слои, причем какое-либо серьезное обоснование техники разбиения практически отсутствует.
. Один из известных приемов анализа многослойных и других периодических по толщине или в плане оболочек связан с гомогенизацией. Кроме классического пленарного осреднения характеристик оболочки (И.В.Андрианов, А.Л.Каламкаров, Л.И.Маневич, Е.И.Михайловский) или осреднения самого материала с последующим переходом к однородной оболочке (H.A.Алфутов, Н.С. Бахвалов, А.Н.Елпатьевский, П.А.Зиновьев, А.К.Малмейстер, В.Е.Победря, Ю.И.Тарнопольский), известны микроструктурные теории оболочек-- например, теория типа Коссера (общие построения - А.Грин, П.Нахди, С.Трусделл, Д.Эриксен, П.А.Шилин, В.В.Елисеев, В.А.Пальмов,' практическая реализация для частных видов неоднородности т В.А.Вунаков, В.Д.Протасов, Ч.Воз-няк, Т.Левински, Р.Томас), и микроструктурные теории упругости - моментные (общие построения - А.А.Ильюшин, И.А.Кунин, В.А.Ломакин, В.А.Пальмов, Р.Ыиндлин, А.Эринген, практическое использование при осреднении - В.В.Болотин, Н.3.Зволинский,
Л.П.Исупов, Р.Л.Салганик, Д.Ашенбах, М.Биот, Т.Делф, С.Сан, Д.Херрманн), или исходящие из концепции смеси (М.Бедфорд, X. Мураками), реже - мультиполярные, ориентированные, нелокальные. Варианты последующего построения теории оболочек для некоторых сред с микроструктурой предложили Г.А.Геворкян, В.А.Дудников, В.А.Пальмов, А.Грин, С.Костанда, Э.Рейсснер.
Среди многочисленных решений эталонных задач, полученных в рамках той или иной теории, некоторые использовались авторами для сравнения с точными решениями и оценки корректности теории. При этом лишь асимптотические исследования претендуют на применимость при произвольных параметрах неоднородности; остальные же проводились для конкретных значений констант и имели качественный характер, что едва ли позволяет найти четкие границы применимости данной теории.
В работе сделаны некоторые эталонные сопоставления. Рассмотрена пластина из трансверсально-изотропного материала с модулями продольной упругости Е , плоского сдвига 6а , поперечного сдвига 6 , поперечного сжатия Е„ , взаимосвязи плоского и поперечного НДС V , которые при изотропии равны
р Ео г* р Ее р Ер ^о) ..._ ^ ^bsF' ^"^'aCi+VcO . с"я(1-МоХ1-2\0' 1-\>о • (7) К лицевым поверхностям приложены нагрузки ё« = б„ = 0, ?<}, = = 0,5 (}<, юз (ITXi/fj COS (TXj/tj) ( X; - декартовы координаты), причем, или пластина бесконечна, или граничные условия удовлетворяют условиям периодического продолжения. Более общий случай подразумевает = <£с ^(r) t где функция1^ удовлетворяет уравнению типа Гельмгольца + 0 (й«7-7). Считается, что выполнены условия малости поперечного сжатия
En//max Е
позволяющие положить Ы"» <лГ„ j (г) ^ <J0 = const (*).
Первый случай - однородная пластина с произвольным отношением (¿о - G/E . Показывается, что при достаточно малом f/^o ни одна двумерная теория не дает адекватного распределения U-a. , однако удается добиться ограниченной ошибки определения прогиба теорией типа Тимошенко: здесь
^«очн-- i-(i/r„ + VyXi-^Ц), (в)
причем наилучшие результаты получаются при Г0 =1 ( £»г О при р~о и р-оо .; wax £<j-~ 0,11 при р " 3). Теории по-
вишенного порядка дают более высокие погрешности.
Второй случай - пластина регулярного строения, состоящая из чередующихся жестких (индекс "А") и мягких ("В") слоев, причем Еа~9д (А-»-е>) . Малым параметром неоднородности является g » Gb/Ea. Показывается, что при g/S" -» 0 известные теории с фиксированным порядком дают большие ошибки, чаще всего - неограниченные (в некоторых неограниченность возникает только при искажении регулярности строения).
В п.1.2 обобщаются выводы о неприменимости известных вариантов теории фиксированного порядка для расчета существенно неоднородных конструкций, а также неудобства и ограничений использования дискретно-структурных теорий. Формулируется задача построения новой двумерной теории, которая:
- имела бы возможно более низкий фиксированный порядок;
- была бы близкой по форме к известным теориям, для возможности использования имеющихся общих аналитических решений и численных алгоритмов ;
- имела бы по крайней мере ограниченную, возможно более низкую погрешность для двумерных переменных и наиболее важных трехмерных переменных (максимальных напряжений) во всем диапазоне измене1шя параметров неоднородности;
- имела четкий физический смысл всех дополнительно введенных понятий и переменных и трактовку с позиций прямого подхода;
- обеспечивала корректность всех предельных переходов. Показано, что ее реализация возможна только в рамках функционально-структурного подхода, порядок теории должен быть не ниже 3, суммарный порядок уравнений - не ниже 12.
ГЛАВА 2 посвящена построению теории для слоистых пластин и оболочек.
В п.2.1 рассматриваются пластины, состоящие из чередующихся жестких слоев толщиной k.k ( le - i, п. ) и мягких слоев .толщиной kk>k+1 ( к» 1,0-1 ), для которых а), материал имеет произвольную плрскую анизотропию и характеризуется тензорами (продольная упругость, индекс "4" означает 4-й ранг), G . V , а также модулем Еп , б). все компоненты упругости слоев одного типа есть величины одного порядка, кроме, быть может, Еп (последний может иметь больший порядок), в), è описании геометрии строения нет дополнительных малых параметров, г), априорно выполнены условия, позволяющие пренебречь поперечной сжимаемостью.
и
Общее построение, основанное на методе гипотез без конкретизации дополнительных функций, формально сходно с (5). . После разбиения трехмерных переменных на плоские и неплоские части (с помощью единичного плоского тензора й. » УС , ~в ортогональных координатах равного й = е< е< + ег Е^ , и орта нормали П. ), принимаются гипотезы
<Г-«Г<Г), . (9)
причем угол есть поворот нормали (выполнено равенство, аналогичное (2)). Вводятся силовые переменные
Т-Ы. ГЧ^П (10)
где сумма М* есть истинный тензор моментов. Согласно (9), трехмерный поперечный сдвиг формально равен
*» - сГ^И*. (И)
Наряду с этим, возможно принятие независимой аппроксимации * - (12)
Интегрирование уравнений теории упругости относительно разделенных переменных дает полную систему двумерных уравнений
+ * - + 7-0 «-^-йй, сИ^тЬ,
7- М*- 9** 9* а О0'ГО"*
^ММ'-О+т^й+Л'Ч ТСэ{(Т-ТТ)=0; (13)
«¡'-П" С**), (14)
(" $ ", "с " - симметричная и кососимметричная части, "т " -транспонирование),
Т- + м" = § + к" -
- «с*15-^ о*- г". Г. (15)
В последних соотношениях учтены свойства симметрии входящих в них тензоров, которые, наряду с модулями инерциями и нагрузками, представляются следующими матричными формулами
к, <гг, 3", tf I
Qr-^n^s^-tta с*-». (i6)
Модули классической теории равны их комбинациям
Ыодуль сдвига Г" при непосредственном следовании (11) равен
r-Í^Vi. (18а)
а'при интегральном согласовании (11) и (12) -
r-ír^bíl^r-^r-írU des)
Ключевое место - выбор дополнительных координатных функций. "Поскольку f* и связаны между собой, то достаточно выбрать одну из них. С учетом предъявляемых к модели требований, предлагается, что функция f* отвечает распределению U* при бесконечно малой жесткости мягких слоев, когда имеет место параллельный изгиб,жестких слоев. Значит, в их пределах Д<й она линейна и имеет одинаковый наклон, а в точках равна нулю. Поведение в промежутках опре-
деляется распределением бь в слое; если оно постоянно, то
Z-JJfc, Kk»i — tlfc
A2fc ,
г jiglbai) ,e4ifk)fc+J
(19)
Общее распределение Ц«..определяется суперпозицией эпюр, показанных на рис. 1,а,б.
а).
б).. .
РИС. 1;
При выборе учитывается, что интегральный сдвиг ц мягком слое определен значениями на его границах; а таКше -. что £ постоянно в слое. Распределение в жестких слоях играет второстепенную роль; здесь ^ считается постоянной во всех диапазонах и равной среднему значению по к
= (20) к к*« [§"С()Л1' ( < К^У
Отсюда вытекают.все конкретные формулы для модулей и нагрузок. В частности, при регулярном строении,
<тГ= ± П («Ч) ♦ ^ (М)*;,
г"- (ГЛ
* " (21) Поскольку сами уточнения могут быть необходимы лишь при малых ЛЕа , (в противном случае они дают асимптотически малую поправку), то физический смысл модулей таков. Модуль , определяемый в указанном случае только первым слагаемым, есть изгибная жесткость пакета за счет мембранных жест-костей слоев, а - 33 счет изгибных несткостей слоев,
причем равенство (17) обеспечивает точность определения полной жесткости чистого изгиба при любых *Е„ • Соответственно,
М« =в
_________ ш определяется неравномерным распределением мембранных сил, а М^ - моментами в слоях. Наличие второго слагаемого (с ГА ) в формуле для С , отличающее ее от той, что вытекала бы из (18а), позволяет более корректно описать случаи слабой неоднородности.
Укажем, что известные модели с дополнительными функциями
г*
Я2)'5*, * = (22а)
¿-Г1'*2*'
ДЙк.к-и , (226)
предполагают распределения и формулы для модулей, близкие к полученным выше, однако дают принципиально неверные резуль-
тага, во-первых, при нерегулярном строении (как видно из (19) и рис. 1,6, наклон б разных мягких слоях различен), во-вторых - когда слои меняются местами (сдвиг в наружных мягких слоях является малым, как и в ближайших к ним. жестких слоях, рис. 1,в, поэтому модуль Г* определяется жесткостью не п , а ( П-2 ) из них).
Дополнительные граничные условия исчерпываются, одним векторным уравнением: на контуре Г с нормалью П-г
Вг-М*- Сг-(ек-е') = Мг , (23)
где Мр - внешняя нагрузка, Сг - тензор жесткости торцевой плиты (если она есть). В работе найдены его компоненты для некоторых видов строения. •
В п.2.2 проводится анализ точности модели при регулярном трансверсально-изо'тропном строении. Решения теории упругости разбиваются на бигармоническое (внутреннее НДС от краевых нагрузок), потенциальное ( иа = VII ) и вихревое ( и4-= причем последний два включают частные решения от
объемных и поверхностных нагрузок. При этом нагрузки удобно разложить по собственным функциям плоских задач
Чг-2 ЪЬ (Г),..., А. 7-7, (24)
где величина обратная собственному числу считается характерной длиной £ ~ . Показывается, что бигармоническое НДС. всегда описывается моделью оболочки точно, если
О(^кУ^) <0(0, (25)
причем в силу (17) вид дополнительных функций не имеет • значения. При анализе потенциального НДС, кроме (25), считается
о(еАь?ь6/Е,,в1<3 < оаь (26)
Нто определяет малость сжимаемости и позволяет ввести "объективное" понятие прогиба <*Г(£) . Прогиб, наряду с интегральными силовыми факторами Т , И и характеристическими показателями (скорости затухания погранслоев, собственные частоты) является основной величиной, подлежащей сравнению в трех- и двумерной теориях. Требовать точности определения трехмерных величин формально нельзя, однако на практике необходимо и это - в том числе, для максимальных напряжений. Трехмерная задача, с учетом (25, 26),. сводится к системе
- ДД {Е 5 = 7-£ ,
Еа ди-2©а(лд-77)и, (27)
где -Ь^ , Т+ - потенциалы нагрузки. Для вихревого НДС -
+ (2В)
В диссертации построены частные решения, соответствующие антисимметричному относительно £ = 0 НДС и имеющие вид
и общие решения при одномерном деформировании
--г^Й)^,
Если отбросить заведомо быстрые погранслои, то I//'' определяются через дискретные величины И/"^), ...
Сравнение итоговых решений для показывает следующее.
Погрешность прогиба (•¡1Г.Т°ЧМ-'ЦГ; )//-аГ.тс""' является функ-
I (ч4 Ь.
циеи параметров П , ча —.—=
. (29а)
При П = 2; 3 - = 0. По мере роста П максимум ¿ц- , достигаемый при с1-юо , растет: при п= 4 £т«х" 1
«0,01; при п = 5
» 0,02, и т.д. Наи-
(296)
большая ошибка, не зависящая от с) , может быть при П —о°
+ р = рп
. что совпадает с (8) при Г0 = 1. Ее зависимость от р показана на рис.2; максимум достигается при р я 3 и составляет примерно 0,11. Если на торце стоит жесткая плита, то к частному двумерному решению добавляется ровно один погранслой, в то время Рис. 2.
как в трехмерной теории - antie(n/2-) медленных погранслоев. Этот погранслой, скорость которого определяется с ошибкой не более 0,012, имеет множитель Ца), составляющий не менее 0,98 от <f¡(l¡ . Максимальная погрешность суммарного прогиба (в тех точках где он близок к максимуму) снижается с 0,11 до 0,095. При р-*-<» погранслой вырождаются в НДС, являющееся суперпозицией чистого и параллельного изгиба. Величина tówox изменяется в а ( i + ¿г(г>г-1)( J - Ь)/ ( 1 + ¿г(п1-0) раз
(в пределе - (i- раз) по сравнению с отсутствием плиты. Качественный вид зависимостей Í/(р) показан на рис. 3. Здесь se приведены кривые, соответствующие классическим теориям. Как видно, в них погрешность может быть неограниченно большой. Приведем также некоторые формулы для теорий того же-вида, что предлагаемая. При выборе i и в (5) согласно (6, 4в) погрешность при 0 = 2; 3 равна нулю, а при n, р ->- -
¿«r- (i+as/dvy1
(т.е. по-прежнему при сильной неоднородности может быть неограниченной). Этого удается избежать при выборе íu согласно (22а), однако погрешность снова возникает при любом нарушении регулярности: например, если п = 4 и толщины центрального ( Wbj ) И двух других ( hüí. ) мягких слоев отличны, то
(i* (^-ЬОН^Чк*^))*1-! •
Погрешность интегральных моментов определяется лишь погрешностью j . Если через них в строгом соответствии с гипотезами определить максимальные напряжения, то последние
теория типа Кирхгофа-Лява; точное решение без торцевой плиты; то же,- с жесткой торцевой
плитой; функционально-структурная-теория, без торцевой плиты; то »е, с жесткой торцевой
плитой; теория типа Тимошенкс
-К1УХ.-Л.
3 -
4 -— 5 -
' 6 -
Рис. 3.
оказываются заниженными, причем в некоторых случаях , (при р ~ П"а, о< Л< I ) недопустимо грубо. Предложены новые'формулы, выражающие б,-т1Ж через компоненты И'*'^ , которые являются оценками сверху и дают ошибку не превышающую 0,2-0,25.
Анализ точности вихревого решения показывает, что и здесь существует неустранимая, но фактически малая ошибка в определении моментов, связанная с ошибкой для А<
Симметричные типы НДС описываются асимптотически точно (в двумерьом смысле), кроме тех случаев, когда нагрузка является самоуравновешенной и "возбуждающей" только погранслои (без мембранного НДС), однако в этих случаях и напряжения всегда малы.
Аналогичным образом исследуются собственные частоты. Также, рассматриваются некоторые обобщения, связанные с нарушением регулярности и наличием произвольной плоской анизотропии. Ошибки по-прежнему остаются фактически малыми.
В п.2.3. дается трактовка модели с позиции прямого подхода. Если динамические и кинематические. уравнения вывести с помощью принципов прямого подхода в синтезе с концепцией смеси (в каждой точке двумерного континуума есть одновремен- • но две оболочки, имеющие общие перемещения, но разные повороты 9е , ), то для полного описания модели, т.е. определения двумерных модулей, нужно провести несколькй мысленных экспериментов. Показывается, что число исходных модулей избыточно. Так , , можно считать равными
нулю. При этом , АС , находятся из задачи о мембранном НДС и чистом изгибе-скручивании, '"Е? - о параллельном изгибе, далее - "Б* = - % « В ' .
Модуль Г" определяется рассмотрением изгиба при малом, но отличном от нуля и уточняется (за счет 'Га ) рассмотрением вихревого погранслоя. Наконец, можно найти из анализа чисто сдвиговых колебаний (возможно, с заведомым допущением ограниченных ошибок), после чего - Ч-г.
В п.2.4 проводится обобщение модели на случай гибких оболочек. Считается, что деформации жестких слоев являются малыми, а повороты, в простейшем варианте, квадратично малыми. Динамические и кинематические, уравнения сводятся к виду
«-С^Ц--а)5-1-иг*+ а-а)'
fш §Г- ■ (31а)
8д+7«г+|.а = о. (31б)
Соотношения упругости (15) не меняются, причем первое из них записываются не для Т , а для Т5 .
Определяются некоторые общие свойства решений для оболочек вращения, в т.ч. проводится анализ краевых эффектов.
В п.2.5 делается ряд обобщений с точки зрения реологии. Одно из них касается нелинейной упругости изотропного мало-сжимаемого материала мягких слоев. Строятся нелинейные соотношения упругости, включающие одну дополнительную безразмерную константу материала' к»/ , и показывается возможность ее определения из опыта на одноосное растяжения. Простейший вариант соотношений сводится к одной кубической нелинейности
(32)
где Г,1* определяется в зависимости от ©в , Ьь>,..,
Вязкоупругость материала мягких слоев рассматривается в рамках простейшей модели Кельвина-Фойхта, где модуль <3В заменяется оператором ©ь (1+ "Ь/эЪ ), а при гармонических колебаниях считается комплексным ©е» = ( 1 + , в то время как модуль объемного сжатия не меняется. Находятся комплексные двумерные характеристики.
Далее, рассматривается случай, когда' мягкие слои как таковые отсутствуют, а их роль играет сухое трение между жесткими слоями. Соответствующее определяющее соотношение идентично соотношению упруго-пластичности в модели Прандтля -
У« у« у*
«-ЬпрМТР, .
** =4 о* Х* = , , ,А*, (33)
где предельное усилие Ос равно
п". X • Рр| • р<°. р_ ¿♦♦¿.Л » ы«-
' *ТГЛ о . Р^о, У-М-И . (34)
Описываются случаи дополнительного НДС "на фоне" некоторого начального, а также наличие начальных зазоров или натягов.
Наконец, осуществляется обобщение модели для таких материалов, когда в описании их собственных свойств есть дополнительные малые параметры <5>/Еа (А-»£>). В этой версии равенство (316) нарушается и вводятся новые соотношения упругости
ГЧ^ГЧ', о-г^г-г^. (35)
Порядок уравнений увеличивается до 14. Строгость такой модели ниже; в частности, даже при параллельном изгибе она может относительно корректно определять лишь прогиб. Тем не менее, многие виды НДС она описывает точнее, чем исходная модель.
ГЛАВА 3 включает вывод разрешающих уравнений для оболочек вращения и их частных случаев (цилиндрических пластин, круговых и кольцевых пластин) и результаты решения приклад-, ных задач для'таких оболочек, имеющих слоистое строение.
Разрешающими уравнениями, выведенными в п.3.1, являются канонические системы уравнений 1-го порядка общего вида
т - < ••
Х- г/ X ♦ с^* р;ъ?га + V Н*,
где г , Н4)г - столбцы перемещений, усилий, нагрузок, -матрицы свойств ( Р5 - "кубическая" матрица). Рассматриваются нелинейное и линеаризованное осесимметричное НДС, а такие линеаризованное (на фоне осесимметричного) кососимметричное НДС, в статике и при гармонических колебаниях. Предлагаются два алгоритма, предусматривающих итерационную линеаризацию. Один основан на некоторой модификации метода прогонки, допускающей сложные условия сопряжения на границах, другой сводится к формальному методу конечных элементов применительно к вариационному уравнению, эквивалентному (36).
В п.3.2 исследуется НДС муфты, соединяющей два' вала и предназначенной для передачи вращающего момента и компенсации осевого и поперечного смещений (рис. 4,а,б). Муфта состоит из четырех резинометаллических дисков - кольцевых пластин, двух соединительных колец и промежуточного вала. Каждый диск содержит п металлических и ( и-1 ) резиновых слоев.
Предлагается методика приближенного аналитического расчета. В ее рамках решаются статические задачи об осе- и ко-сосимметричном изгибе "упругой пластины и находится связь ме-
Рис. 4.
(37)
вду силой и взаимным осевым смещением, моментом и поворотом, строятся формулы для напряжений (расчетными всегда являются-радиальные напряжения у внутреннего контура). Коэффициенты выражаются через элементарные функции, в т.ч. - асимптотические аппроксимации функций Бесселя. Учет нелинейности основан на методе Ритца, где координатными функциями являются линейные решения. Итоговые зависимости выражают максимальные напряжения и краевые усилия через, относительные смещения
а=иг/иг; Г/уГ, иГ/иГ, c-vx"
COSOJ^t «nwt , » УоЛ ¿г ,
^».^^.А-СС^аЩ, l-»»,. (38)
При использовании численной методики учтена нелинейная упругость, резины в статике, вязкоупругость при вибрации, податливость соединительных элементов, параметрическое влияние крутящего момента на взаимосвязанность деформирований в плоскостях и XX . Показана приемлемая точность квадратичной аппроксимации нелинейности (37, 38), и результаты сведены в таблицы значений коэффициентов для нескольких вариантов реализации муфты (варьировался тип металла, характеристики резины, ряд размеров). Наряду с этим, найдены частоты резонанса и антирёзонанса,' а также критические значения крутящего момента, соответствующие исчезновению жесткости муфты. Показано хорошее согласование с результатами экспериментов и определена погрешность использования модели типа Тимо^.
шенко. При определении общей жесткости последняя составляет до 40-50 %, а при определении частот эта модель дает принципиально неверную асимптотику.
В п. 3.3 исследуется деформирование упруго-демпферного амортизатора, конструкция которого явилась предметом изобретения. В отличие от предыдущей задачи, эта в принципе не может быть решена классическими моделями, в то Еремя как использование дискретно-структурной модели, даже в сочетании с эффективными численными алгоритмами, чрезвычайно громоздко.
Амортизирующий элемент собирается из П слоев-заготовок - тонких цилиндрических пластин с одинаковой шириной, толщиной и радиусом В , ЬА , R0 и разной длиной to* ( W« i.n), а в собранном виде, после поочередного частичного разгибания слоев и скрепления их краев, так чтобы их торцы выравнялись, пакет становится цилиндрической пластиной толщиной Ь» hAn t радиусом и длиной срединной поверхности R , I и углом раствора оС-t/R (рис. 5,а,б). В предположении дискретно-линейного распределения длин ?«t = L + (.k-^fn+O) , в пакете реализуется самоуравновешенное напряженное состояние, показанное на рис. 5,в. При этом, с учетом возможности допо--лнительного силового регулирования угла на величину ,
Тк'-ВА(мо,)а-|(щ.«), ^-¿ВЛ' (V-Ва н Еа кд , а4 a hyfc, - S/C., ЬА ¿ос/10 .
Контактные давления PiT.irn обуславливают трение.и, следовательно, поглощение энергии при амортизации.
Расчет производится для схемы, подразумевающей подвешивание платформы на двух амортизаторах (рис. 5,г). При большой ее длине ( L » R ) и массе для описания колебаний необходимо построение квазистаткческих характеристик циклического деформирования самих амортизаторов при смещении их верхних краев в направлениях х , без поворотов.
В рамках приближенной аналитической методики, первоначально решается задача о простом кагрунении, при этом величина О,, считается постоянной: согласно (34, 39), ■
* - I" Й ""ш ^ С V'а,) Ю(и1- 0. а
г).
e>i
а).
F,
в). ( I
У*
Рис. 6.
Показывается, что при отбрасывании слагаемых порядка к1/R1 характеристика нагружения Р (X) состоит из прямолинейного участка, где пакет имеет "монолитную" жесткость С0 (все слои сцеплены), криволинейного переходного участка," описываемого некоторой неявной зависимостью, и прямолинейного участка, где пакет имеет касательную жесткость параллельного изгиба Со/а1 (всюду, кроме участков длины ~ h - фрикционное проскальзывание слоев). Она аппроксимируется трех-кусоч-но-линейной зависимостью (рис. 6,а), полностью определяемой значениями Х()2 , ■ Это упрощает дальнейшие выкладки. С учетом постоянства уровня трения, характеристику нагружения приравнена зависимости амплитуд перемещений и усилий. Если последнюю представить в виде X0=<$>(Fo), то ветви нагруяения и разгрузки при циклическомм деформировании определяются зависимостями X—Х.-Ф(Р.)-2ФС2 Cf„-F)) (рис/ 6,6). В результате анализа петель гистерезиса с помо-
щыо некоторой компиляции методов гармонического баланса и прямой линеаризации, определяется эффективная активная шест-кость и коэффициент потерь у
' л« 0 л \,Ло о
Формулы для них сводятсг к элементарным зависимостям от 5?, = 2 Хо/Х( и ш ■ Характерный вид кривых показан на
рис. 6,в,г. Проведен их анализ в зависимости от п и сС . Осуществлено сопоставление с результатами ■ уточненного численного расчета, в котором никаких сделанных выше упрощений нет. Показано, что упрощения дают лишь пренебрейимую погрешность; в частности, учет изменения может дать поправку для С и X более 10 % только при с< ;> ({,5-1,5_)Э\
В п.3.4 рассматриваются некоторые особенности расчета многослойных сильфонов, состоящих из П слоев, скрепленных по краям. Считается, что все Лр гофров одинаковы, их форма или является сдельной и полностью характеризуется параметрами П> , Н , 10 , К» , Кн (рис. 7,а,б), или задается по. точкам ; толщина может меняться по меридиану § и по к достаточно медленно (рис. 7,в). Рассматриваются квазистатическое осевое деформирование, изгиб, сдвиг краев (рйс. 7, г,д,е)'.
"'||„„„п„„ "• дг* г'- ЦД
/уиу\ллл/\
чип}-'
1 в). 0
ад
е-1впг
Рис. 7.
Классическая схема расчета таких сильфонов предполагает параллельное деформирование слоев", где все жесткости сумми-. руются по к , т.е. сильфону эквивалентна однослойная оболочка типа Кирхгофа-Лява с жесткостями В , ,...Использование модели со структурой направлено на корректировку двух неточностей этой схемы: учет "частичного включения" монолитного изгиба пакета с полной жесткостью X) при неосесиммет-ричном деформировании, а такие учет трения между слоями.
Первый эффект легко учитывается в приближенной модели, сводящей сильфон к-эквивалентному стериню. Формулы для компонент его жесткости, выведенные на основе решения ряда эталонных задач и учитывающие наличие малых параметров Н/г0 , !г/10 , а также допускающие малость 1/п , дают
С,-а(VI4, С»«С, г.Уг+дСв, ¿Се = яг0БСРЛпг,
причём осевая жесткость С2 может быть найдена численно или оценена формулой
Сг = *Г0Ъ1 к. (¿+ к, дагН*(!♦ КРК Р* Н Ц >
(индекс "ср" означает осреднение по гофру), где ^с зависят от геометрии гофра. Наличие слагаемого а С» как раз учитывает, частично монолитный изгиб и дает относительную поправку порядка пг НУ г* ; в частности, для большинства сильфонов серии Ду она составляет примерно пг/200. Слагаемые с учитывают влияние окружных напряжений и, для таких же сильфонов, увеличивают жесткость в 1,5-1,6 раза.
Учет трения реализуется в приближенной методике с помощью решения грех осесиммегричных задач для одного полугофра ( 0« по простейшей теории оболочек: с жесткостью Т)^
при основной нагрузке и при постоянной моментной нагрузке (последняя отражает трение), и с жесткостью Ъ . Итоговая аппроксимация кривой нагружения (II, = 2.пгЦ^"^
предусматривающая, как и в предыдущей задаче, три линейных участка, является некоторой суперпозицией этих решений. Дальнейший расчет (построение петель гистерезиса, поиск активной жесткости" и коэффициента потерь) также, проводится по схеме расчета амортизатора. При анализе, поперечного деформирования в рамках оболочечно-стержневой концепции строится определяющее соотношение для стержня
Л ш ± Р (к ? г0 емф) г„ М1р ¿ч + Л Се -И I
с последующим переходом к петле гистерезиса и численному определению ее характеристик, либо, как и ранее, трех-кусоч-но-линейная аппроксимация, предусматривающая выделение нескольких характерных участков по окружному углу и длине.
Наконец, уточненная численная методика предполагает итерационное определение эффективных значений компонент модуля ' Г „ отражающего трение, и численное решение канониче-
ской системы уравнений.
Результаты решения задач для нескольких модификаций си-льфона Ду-350 на основе обоих методик включают эпюры напряжений, зависимости положения и величины максимальных напряжений- от соотношения компонент нагрузок, нелинейные силовые характеристики, зависимости итоговых жесткостей и точности их определения от геометрических параметров. Те из результатов, которые учитывают трение, показывают следующее. Влияние трения важно только при таких видах деформирования, когда ла фоне начального НДС, вызванного давлением, происходят малые дополнительные краевые смещения. Езд петель гистерезиса, а также кривых активной жесткости и коэффициента потерь качественно близок к тем, что показаны на рис. 6,б,в,г. В частности, при очень малых краевых смещениях происходит деформирование без проскальзывания слоев ( С" Со, X - 0 ); при достаточно больших - напротив, почти по всей длине происходит проскальзывание, причем влияние трения невелико ( ССо/м2, X 0 ). Максимум коэффициента потерь достигается при X, = (2 + 5) Х4 . Характерно, что приращения глобальных краевых усилий и максимальных напряжений при таких Хо пренебрежимо малы. Поэтому учет трения нужен не при анализе прочности сильфона и соединяемых им трубопроводов, а при определении собственных динамических характеристик сильфонов, являющихся амортизаторами или рассматриваемых как возможный источник акустического излучения.
ГЛАВА 4 посвящена описанию более общего вида неоднородного поперечного строения. Поскольку изменение строения влияет только на упругие модули, не зависящие от кривизны, все .построения делаются для пластин.
В п.4.1 рассматриваются пластины симметричного трансве-рсально-изотропного строения, в которых значения трехмерных модулей 'в некоторой окрестности срединной поверхности могут быть сколь угодно малыми, причем границы окрестности как таковые могут отсутствовать. Доказывается, что их НДС описыва- . ется асимптотически точно (в двумерном смысле) уравнениями теории трехслойных пластин с мягким заполнителем, которые по форме идентичны уравнениям построенной модели. Для. этого решаются трехмерные уравнения потенциального и вихревого ВДС, причем в первом случае принимаются ограничения, предполагающие малую сжимаемость. В том числе, после разложения попере-
чной нагрузки-в ряды типа (24), частное решение для потенциального НДС подчиняется уравнениям, вытекающим из (27)
и- tfo (yW-zJ, <J.XÍ ({Е2*}- {Еху})=
Разложение, в ряд по параметру Г= Х„г La , дающее классическое решение, здесь неправомочно, если параметр g = кг/{Е К '/в ] соизмерим с ним или меньше. Поэтому решение представляется в виде отношения рядов, содержащих лишь положительные степени S" и 5 Для прогиба оно имеет вид
«О- - г_а+.хЧЕНИв» _(i+ 0CfJj
Сравнение с аналогичным решением в двумерной теории дает
^-(ьг) Г - {1/(3}{Е}1 . (42)
Анализ решений с медленным погранслоем для прогибов и, в НДС обоих видов, интегральных моментов дает формулы для остальных модулей и приведенных нагрузок. При ступенчатом строении они переходят в формулы теории трехслойных пластин. Делаются обобщения для несимметричности строения, снижения модулей у краев, наличия нескольких низкомодульных участков по толщине. В последнем'.случае (п.4.2) используется та же техника, что при переходе от трехслойных пластин к многослойным.
В п. 4.3 рассматриваются пластины волокнисто-композитного строения, в которых изотропные низкомодульные слои (В), целиком состоящие из материала матрицы, чередуются с однона-правленно армированными слоями (А). Предполагается, что характеристики последних осреднены в плоскости классическим образом, т.е. без повышения порядка теории, поэтому необходимость последнего определяется существенной неоднородностью только в поперечном направлении (оболочка с поперечной структурой). Характерно, что'последняя не исчезает даже при полном исчезновении мягких слоев как таковых, в силу наличия "слабых" направлений , ортогональных направлениям волокон, в к -м армированном слое (считается Еь ~ « причем значения Ei.at одинаковы для всех слоев).
При определении дополнительной координатной функции, необходимой для поиска модулей, используется обобщение прин-
ципа, введенного в главе 2. Сначала полагается, что параметр
Ea/EíA стремится к нулю. Это определяет поле перемещений, соответствующее параллельному изгибу, во всех армированных слоях - кроме компонент по слабым направлениям . Оно •
фиксируется, после чего, с учетом распределения слабых модулей сдвига, поле перемещений определяется полностью. Искомая функция оказывается тензорной Р (автоматически -1" " * % ~ ) > 11 для ев компонент составляется система разностных уравнений. Тензорный характер функции изменяет некоторые из исходных соотношений (9, 10)
Ua- u+f-sM^, иЧИЧс^. Q^fé-f'i (43) и, значит, вид соотношений упругости. В частности, свойства симметрии тензоров здесь сужены Сцы* Ckf;;,J •
Конкретные' выражения для их компонент получены для 5 вариантов строения: направления 5?ги соседних слоев ортогональны ( п четно или нечетно); мягкие слои как таковые отсутствуют, орты повернуты на угол фо относительно ( П чет-
но или нечетно), или же каждый орт §гповорачивается на угол ф0 относительно §г„ в одном и том se направлении.
В п.4.4 приводятся некоторые результаты расчета для сильфонов, состоящих из трех типов слоев: металлических (А), низкомодульных вязкоупругих полимерных (В) и промежуточных -перфорированных металлических (С). При густой перфорации эффективные значения Ес таковы, что С-слои нельзя с уверенностью отнести ни к жестким, ни к мягким, поэтому используется методика, разработанная в пп.4.1,2. Проанализировано динамическое деформирование сильфонов Ду-200 со строением А-С-В-А, .А-С-В-С-А, А-В-С-А-С-В-А, и с неспаяннымя слоями А-А-А-А. Построены амплитудно-частотные характеристики систем, в которых сильфон является подвесом для груза, вычислены значения динамической жесткости и коэффициента потерь X ПРИ час~ тотах, близких к резонансным. Показано, что сильфон с неспаянными слоями имеет хорошие амортизирующие свойства лишь то-. гда, когда данной амплитуде колебаний соответствует данное начальное давление: здесь Хт»*= 1,2, однако его значение падает в десятки раз при изменении амплитуды в 5-7. раз. Характеристики сильфонов с прокладками являются стабильными (в рамках линейной постановки 7-ъ не зависит от амплитуды); наибольшее значение % достигается для третьего из указанных
вариантов строения и составляет 0,11 (при коэффициенте потерь самой прокладки 2,4). Отмечено хорошее качественное согласование результатов расчета с экспериментальными данными.
В ГЛАВЕ 5 вводится понятие пленарной структуры, связанное с увеличением порядка уравнений из-за существенной неоднородности в плане. Простейшее усложнение классического осреднения, необходимость которого в подобных ситуациях воз-никаёт и в трехмерной теории, обычно связано с микромомент-ной упругостью, причем ее вариант для плоского напряженного состояния фактически совпадает с описанием мембранного НДС в теории пластин типа Коссера. В диссертации пленарная микроструктура рассматривается либо с^ма по себе, либо в сочетании с поперечной микро- или макроструктурой.
В п.5.1 ■ обосновывается применение частично-моментной теории упругости для плоского деформирования трансверсально--изотропной среды, периодичной в направлении ортотропии. Строение в пределах периода ; ¿к] считается таким,
что в окрестности точки * = 0 модули материала могут быть сколь угодно низки. Критерием недостаточности классического осреднения здесь является неравенство ^
оа/г)=о({Е}Д</€10Аг>о(о/ (44)
а критерием достаточности частично-моментного осреднения -
о({Е*»)в {1/Ед/е4)<<хи, ос»^/1х)<оа), (45)
где Е - характерный размер в плоскости изотропии (если последний соизмерим с размером по X , то т/^Г ~ можно трактовать как параметр гомогенизации). Если И неравенство (45) не выполнено, то необходима еще более ' сложная модель, включающая более одного осредненного перемещения по 2 .
Общие соотношения теории, в которых несимметричность полного тензора напряжений проявляется в наличии двух векторов поперечных касательных напряжений ( Т"** п> Г* г =
= * Б ). включают 6'новых модулей (вместо одного - <а )
6*(иа- §»* + (*«!■•»• л),
= Н а. V- ^ + К ~ и
где - тензор микромоментов, 6«. - вектор микроповоротов,
являющиеся, в отличие от У, М^ , аксиальными и не имеющими компонент по П . Для поиска модулей проводится один дополнительный мысленный эксперимент, связашшй с параллельным сдвигом жестких краев X, = ± ^ { (НДС не зависит от а:* ). При сравнении решений не используется никаких "субъективных" определений для /Iе- , в«. , лишь считается, что на недефор-мируемых краях б«. - О , и, кроме того, шкала делений для 9«. принимается такой же, что для истинного поворота. При решении периодической задачи для неоднородной среды анализируется дифференциальное уравнение, левая часть которого идентична (41), причем, как и там, все переменные представляются в виде отношения рядов. В асимптотически точном решении для . •
■иГ , кроме частного решения, отвечающего классическому чистому сдвигу, фигурирует один погранслой, который при (44) является медленным. Сопоставление решений дает
6"-G*>-<©->-; K=<E:fl>, LKÍE^ejf^H-O,'
Stjn*-*, ,<...>« {...Jo/K. . (46)
В этих формулах заложена внутренняя погрешность порядка r¿ , однако при конечных £ сама поправка, определяющая отличие от классического решения, имеет порядок 0(8").
В п.5.2 строится двумерная теория-, для сред, априорно описанных микромоментной теорией упругости.
Если есть только поперечная микромоменгность, то форма уравнений сохраняется такой же, что для макрослоистого строения, причем поворот 6_w здесь отвечает наклону распределения U«l , а - среднему микроповороту б,.*п.. На основе решения некоторых модельных задач о поперечном изгибе показывается, что данная двумерная теория, с одной стороны, имеет . ту же погрешность по сравнению с трехмерной моментной теорией, что модель слоистой пластины по сравнению с дискретно-структурной моделью при П-»<*» ; с другой стороны, она полностью вытекает из макро-модели при и-roo t однако содержит ряд лишних модулей. Поэтому, если задано исходное неоднородное (слоистое) строение с большим п , то предпочтительным является двумерное описание на основе макроподхода, т.е. без промежуточного перехода к микромоментной среде.
Если есть только планарная микромоментность (или исходная микронеоднородность), то двумерная модель, по существу, совпадает с моделью типа Коссера. Характерной особенностью
является тот факт, что в соотношения упругости для оболочек целесообразно ввести малые добавки, зависящие от кривизны, к тензорам , '"С*"'* . Они обеспечивают тождественный переход к теории типа Тимошенко при исчезновении моментных
свойств ( = в"* = еЛ - е ).
Самый общий случай предполагает наличие пленарной микроструктуры и поперечной микро- или макроструктуры. Здесь порядок уравнений равен 16, динамические и кинематические соотношения включают первые три уравнения (30), а также
а.(7- Н1+ Q*- Q - с Л ■ W ч г*» . г?^ ,
£ = VU'Ü - &-аг- с en , wK= 79". а + |-с 6а С
Ier- . 4-76.-4-с.в», (4в)
где 9» , «] , W , ic. - поворот волокон вокруг нормали и соответствующие нагрузки, моменты, . деформации плоского микроизгиба. К прежним соотношениям упругости добавляется
= К- к . (49)
— ^ —
В п.5.3 ранее предложенное описание волокнисто-композитных пластин и оболочек уточняется учетом планарной структуры. Используется подход, разработанный в пп.5.1,2, и находятся добавки к тензорам , Асвязанные с несимметричностью Т , а также тензор К , для тех же вариантов строения,. что рассмотрены в п.4.3.
В п.5.4 предлагается техника учета планарной микроструктуры при анализе НДС гофрированных конструкций. Выводятся общие, формулы для дополнительных модулей в эквивалентной модели типа Коссера. Рассматриваются два примера прикладного расчета. В первом определяется погонная жесткость сдвига гофрированных переборок танкера типа "Победа", во втором - частота сдвиговых колебаний сильфона Ду-300, где строятся точные решения, а также решения по эквивалентным моделям со структурой и без нее. Погрешность классических моделей составляет 5-8 %, а учет структуры уменьшает ее до 2-4 %. В то же время, даже небольшое варьирование размеров сильно увеличивает влияние структурных эффектов (погрешность классических решений - 10-40 %, структурных - 3-9 %). Показывается,
что для оболочек (второй пример) важен совместный учет поперечного сдвига и планарной микроструктуры.
В п.5.5 дается описание конструкций с дискретными или полудискретными связями с учетом структуры обоих типов.
Первоначально рассматривается пластина, состоящая из двух слоев-обшивок одинаковой толщины, связанных системой однонаправленных ребер (рис. 8,а). Часть ее эффективных модулей находится либо стандартной континуализацией, либо на основе описанных выше методик, и в комментариях не нуждается, другая часть требует некоторых новых построений. Так, учет планарной микроструктуры предполагает, вместо одного эффективного модуля плоского сдвига Р , наличие трех модулей Р^ , идентичных б'' в (46), а также модуля моментной упругости к • Они определяются из задачи сдвига недефор-мируемых торцев =со1^
Р, = Р(1 = 2©кА, = К-^ЕНГ. (50)
Другая особенность связана с модулями, описывающими поперечный сдвиг в плоскости Зч* . Здесь предлагается простейшая континуализация разностных уравнений относительно усилий и перемещений в узлах " к " и " к, к+ I " (рис. 8,6), например,
(51)
Е^Г^-^Ю.- ¿(V«* и т.д. Она приводит к уравненияму идентичным уравнениям модели с 14-м суммарным порядком, где
■ 1 ~
Г/
гЛ о,
(52)
причем, ГГ учитывает сдвиг за счет изгиба ребер (рис. 8,в), а Г/ - за счет изгиба обшивок между ребрами (рйс. 8,г).
<Ц Н
/
X,
ад
I»)
1Гг)
I?'
В)._ Г)..
т
Рис. 8.
Одна из решенных прикладных задач касается искажения формы и размеров днищевой секции танкера за счет нагрева от солнечной радиации при секционной сборке корпуса в открытом доке. Согласно оценкам, наиболее велики здесь температурные прогибы, которые могут приводить к искривлению кромок, нестыковке швов при соединении с другой секцией и т. д. Тепловой расчет показывает, что нагрев обшивок происходит практически равномерно по толщине, а при отсутствии теней -и в плане, и весь перепад температур "сосредотачивается" в среднем слое. Поэтому отличны от нуля лишь навязанные тепловые деформации ■ При расчете предполагается континуа-лизация одной из систем ребер, соединяющих обшивки - а именно флоров (направленных по эсг ), и системы ребер жесткости обоих обшивок. Ребра другого направления - стрингеры - должны рассматриваться дискретно ввиду их небольшого количества. Используется описанная выше техника определения модулей, дополненная учетом несимметричности. Производится расчет при размерах, соответствующих танкеру "Победа", и перепеде температур 30®. Результат представляется в виде суммы
«г, + «г4 («£).
Второе слагаемое, максимум которого составляет 14,5 мм, может быть найдено классической теорией, в силу достаточно большой сдвиговой жесткости по хг . Если считать расстояние между стрингерами достаточно большим, то классический расчет дает гъах = 11 мм, учет структурных эффектов (последние здесь исчерпываются изгибом самих ребер) - 9,6 мм, а учет дискретности флоров (т.е. без структурной континуализации) -9,8 мм. Учет реального расположения стрингеров увеличивает прогибы и незначительно уменьшает влияние структуры.
Если бы распределение температур в плане было бы отличным от постоянного или линейного, либо производился бы . совместный расчет нагретой и ненагретой секций, необходим был бы учет и пленарных структурных эффектов. При тех же размерах, они могут дать поправку до 10-12 %. Предлагается методика определения соответствующих эффективных модулей, как при дискретном рассмотрении стрингеров, так и при совместной континуализации двух систем ребер.
Другой пример расчета касается определения критического наружного давления р , приводящего к потере устойчивости обшивки вакуумной камеры установки "Кристалл" для выращива-
ния искусственных монокристаллов. Простейший вариант расчета предполагает одномерный (плоский) изгиб цилиндрической пластины, состоящей из двух слоев, соединенных системой коротких стержней. Здесь имеют место поперечные структурные эффекты, вызванные как изгибом этих стержней, так и локальным изгибом участков наружных слоев между ними. Их учет уточняет классическое решение для ртл в 1,9-2 раза.
В ЗАКЛЮЧЕНИИ обобщаются основные результаты работы:
1. Выделен класс существенно неоднородных пластин и оболочек слоистого, непрерывно-периодического, волокнистого, решетчатого строения, обладающих тем свойством, что степень их неоднородности может быть описана малым параметром, и даже при нулевом его значении (одна из компонент материала имеет нулевую жесткость) конструкция не обязательно является мягкой. Проведен анализ существующих методов их описания; показано, что использование известных теорий фиксированного порядка может приводить к большим ошибкам, а использование теорий, порядок которых зависит от числа слоев, зачастую неудобно и неоправданно. Сделан вывод об актуальности построим новой теории и сформулированы основные требования к ней.
2. Выведена полная система уравнений деформирования существенно неоднородных пластин и оболочек, состоящих из чередующихся слоев двух типов и имеющая строение близкое к регулярному. Модель имеет 3-й порядок, а суммарный порядок уравнений равен 12 (в другой версии 14). При выводе использован метод гипотез, где дополнительная координатная функция определяется лишь общим видом строения и соответствует распределению при бесконечно малом параметре неоднородности. Это позволяет отнести модель к функционально-структурному типу. .3. Проведен асимптотический анализ точности решений для важнейших видов НДС, найдены их общие свойства; показано, что погрешность ограничена фактически малой величиной, причем избежать ее без повышения порядка теории невозможно.
4. Дана трактовка модели с позиций прямого подхода и концепции смеси; предложена методика определения двумерных модулей из ряда мысленных экспериментов.
5. Сделаны обобщения модели на случаи большой гибкости оболочек, нелинейной упругости и вязкоупругости материала мягких слоев, а также такое строение, когда роль мягких слоев играет трение между несущими слоями.
6. Сделаны обобщения подели на случаи непрерывно-неоднородного строения по толщине, близкого к периодическому, и некоторые типы волокнисто-композитного строения. В первом из этих случаев построено асимптотическое решение уравнений теории упругости в форме отношения двух рядов и найдено соответствие между исходной и квазитрехслойной конструкциями, с последующим переходом к произвольному числу периодов по толщине. Во втором обобщен подход к определению дополнительных координатных функций, используемый для слоистых оболочек, причем эти функции имеют тензорный вид.
7. Показана четкая взаимосвязь между критериями необходимости повышения порядка теории для оболочки, неоднородной по толщине, (т.е. учета поперечной структуры) и необходимости повышения порядка теории при осреднении свойств периодически неоднородной среды (т.е. учета микроструктуры в общепринятом смысле слова, в частности, в рамках моментной теории упругости). Для среды, неоднородной в одном направлении, построено асимптотическое неравенство, определяющее необходимость учета микроструктуры, и найдены эффективные характеристики; для этого использован один дополнительный мысленный эксперимент. Определены двумерные модули оболочки, материал которой описан моментной теорией. Построена' наиболее общая модель с поперечной и Планерной структурой, в которой порядок уравнений увеличивается до 16. Показана актуальность и предложены способы учета пленарной структуры для волокнисто-композитных и гофрированных конструкций, а также учет обоих типов структуры для конструкций с дискретными и полудискретными связями.
8. Выведены разрешающие уравнения осесимметричного и косо-симметричного деформирования оболочек вращения со структурой. Продемонстрирована их общность с аналогичными уравнениями классической теории и возможность использования тех же численных методов и алгоритмов.
9. Разработана методика- приближенного аналитического решения линейных и нелинейных задач для гибких кольцевых пластин, описанных построенной теорией. Наряду с численным счетом, они использованы при анализе статического и динамического осевого и поперечного деформирования муфт валопроводов, основными элементами которых являются резинометаллические диски. Показано, что классические теории в этой задаче дают существенные ошибки, которые построенной моделью исправляются.
10. Разработана методика приближенного аналитического и численного решения задач для цилиндрических пластин и оболочек вращения с трением между слоями, которая использована при расчете амортизаторов, содержащих пакеты слоев с начальным конструктивно созданным натягом (предмет изобретения автора), и многослойных сильфонов. Показано, что учет трения в последних наиболее важен при анализе дополнительного циклического деформирования с малой амплитудой краевых смещений на фоне начального НДС с давлением. Доказано, что даже при отсутствии трения в неосесимметричных задачах неприменима модель параллельного деформирования слоев, и предложена простейшая методика учета частично монолитного изгиба пакета.
11. Приведены результаты расчета сильфонов, содержащих три типа слоев (несущие, низксмодульныз, промежуточные - перфорированные) ; проведен сравнительный анализ их характеристик с аналогичными для сильфонов с неспаянными слоями.
12. Приведены результаты расчета гофрированных конструкций (судовых переборок, сильфонов), а также конструкций с дискретными и полудискретными связями (секций корпуса судна, обшивок вакуумных камер) на основании эффективной квазиоднородной модели с учетом пленарной и поперечной структуры. 3 некоторых из них этот учет имеет принцийиально важное значение, в других дает лишь небольшие поправки, которые, однако, могут сильно расти даже при малых вариациях размеров.
Результаты внедрены на предприятиях-изготовителях. Основное содержание работы отражено в следующих печатных работах:
1. Описание простого краевого эффекта теорией оболочек и .пространственной теорией упругости // Механика тв. тела. 1983. N 5. С. 137-147. Соавтор - П.А.Жилин.
2. Изгиб многослойной балки с неудерживающим взаимодействием слоев // Прочность материалов и элементов судовых конструкций: Сб. тр./ ЛКИ. 1985. С. 89-99.
3. Уравнения осесимметричных колебаний многослойных оболочек вращения с сухим трением между слоями// Динамика и прочность судовых конструкций: Сб. тр./ ЛКИ. 1986. С. 121-129.
4. Теория упруго-пластических гибких многослойных, оболочек с трением между слоями // Тр. VI Всес. съезда по теорет. и прикл. мех. Аннот. докл. / Ташкент. Изд. АН УзССР. 1986. С. 569. Соавторы - А.П.Филин, Н.М.Терешина.
5. Осесимметрйчное деформирование многослойных оболочек с трением между слоями// Тр. XIV Всес. конф. по теории пластин и оболочек/ Кутаиси-Тбилиси. Изд. Тбил. ун-та. С.424-429.
6. Математическая модель осесиммегрично деформируемых гибких многослойных оболочек вращения с трением между слоями // Л. ЛКИ, 16 с. Деп. в ВИНИТИ 05.06.87, N 4333-В87.
7. Некоторые вычислительные методы в осесимметричных задачах теории оболочек и их использование для расчета многослойных сильфонов// Л. ЛКИ, 20 с. Деп. в ВИНИТИ 21.05.87, N 4141-В87.
8. Модифицированное вариационное уравнение осесимметричного деформирования оболочки вращения// Упругость, пластичность и разрушение тонкостенных конструкций: Сб. тр./ ЛКИ. 1987. С. 94-100.
9. Моделирование гофрированной оболочки вращения конструктивно анизотропным цилиндром// Упругость, пластичность и разрушение тонкостенных конструкций: Сб. тр./ ЛКИ. 1987. С. 80-94. Соавтор - А.Б.Ромазанов.
10. Построение математической модели цилиндра, эквивалентного гофрированной оболочке вращения// Тр. XIII научн. конф. молодых ученых Ин-та механики АН УССР, Киев, 1988. 6 с. Деп. в ВИНИТИ. N 9073-В88. Соавтор - А.Б.Ромазанов.
11. Описание деформирования сильфона в рамках уточненной математической модели конструктивно анизотропной цилиндрической оболочки // Л. ЛКИ, 20с. Деп. в ВИНИТИ 14.12.88. Соавтор - А.Б.Ромазанов.
12. Гибкая гофрированная оболочка вращения как физически нелинейный конструктивно анизотропный цилиндр //Л.:ЛКИ, 16 с. Деп. в ВИНИТИ 14.12.88, N 8768-В88. Соавтор - А.Б.Ромазанов.
13. Неклассическая эквивалентная математическая модель многослойных пластин и оболочек с резко отличающимися свойствами слоев //Л.:ЛКИ, 30 с. Деп в ВИНИТИ 14.12.88, N 8756-В88.
14. Общая теория 3-го • порядка сложности для многослойных оболочек с резко отличающимися свойствами слоев //Л.:ЛКИ, 20 с. Деп в ВИНИТИ 17.07.89, N 4755-В89.
15. Математическая модель пластин и оболочек со структурой// Деформирование и разрушение судовых материалов и конструкций: Сб. тр./ЛКИ. 1990. С.112-122.
16. Прочность,жесткость и устойчивость гибких многослойных дисков //■ Деформирование и разрушение судовых материалов и
конструкций: Сб. тр./ЛКИ. 1990. С.102-112. Соавтор - А.Б.Ромазанов .
17. Теория оболочек со структурой и ее использование для расчета существенно неоднородных по толщине тонкостенных конструкций //Тр. научн.-техн. сессии "Статика и динамика тонкостенных конструкций." Аннот. докл. / Тбилиси. Изд. АН ГССР. 1990. С.63-64.
18. Упруго-демпферное амортизирующее устройство. Заявка на изобретение N 4842995 от 27.06.90. с Полож. решением от 14.04.91. Соавторы- А.Б.Ромазанов, Н.М.Терешина, В.В.Якунин.
19. Асимптотическое решение уравнений поперечного изгиба применительно к определению эффективных характеристик существенно неоднородных пластин, оболочек и сред // Матер. Всес. научн. конф. "Актуальные проблемы прикл. математики" / Саратов. Изд. Сарат. отд. Союза НТО, 1991. т.З. С.259-271.
20. Построение теории пластин и-оболочек для моментных сред // Проблемы прочности в судостроении : Сб. тр. / ЛКИ. 1992.- в печати.
21. Аналитическое исследование неосесимметричного деформирования многослойного сильфона с учетом частично монолитного изгиба пакета // Проблемы прочности в судостроении: Сб. тр./ ЛНИ. 1992.- в печати. Соавтор - А.Б.Ромазанов.
22. Расчет деформирования многослойных упруго-фрикционных амортизаторов // Проблемы прочности в судостроении: Сб. тр./ ЛКИ. 1992.- в печати. Соавторы - А.Б.Ромазанов, В.В.Якунин.
23. Симметрично-неоднородная по толщине пластина как трехслойная пластина с мягким заполнителем // Механика тв. тела. 1992; " в печати.
ППО "Пегас" 3ак;723 Тир.100
