Дифференциальная геометрия обобщенно-геодезических отображений многообразия и их касательных расслоений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Р Г Б ОД

/ ч сен 1995

харьковский физ»ю-тешяеск1й шстигут низких температур да. б.и.веркша нлну

На правах рукописи

ЛЕЙКО Святослав Григорьева

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЮМЕГРШ СБОБЩЕННЭ-ГЕОДЕЗШЕСШ ОТОБРАЖЕНИЙ ИЮГ00ВРА2ИИ И ИХ КАСАТЕЛЬНЫХ РАССЛОЕНЫ

01.01.04 Геометрия и топология

А р г о р е ф е р а т

диссертация на соискание учвной степени доктора физико-уатематических наук

ХАРЬКОВ 1995

^•^спртоциоР. есть рукопись

Ра*эта выполнена па "пв дг-о геэ:.'етр>ш и топологии Одссског"» государственного укирер^ .:тот& им. И.И.Мечникова

Сфициальни-.- оппоненты доктор ф1!Г!!Ч0-мате.;ат;!Ч?ск1:х кау;-, ;-рлк>сс.)Г К;:р1:чонко Б.4».

§азкко-»»г.те:.,птйчес!:их паук, профессор Клиентов С.Б.

доктор ({•изи^-:.,8,'е..,йтич^ских наук, профессор Феденко «.С.

Ьедощря оргакдамдия: Кр.з?нскиК госукиеерситет

Зг-пот* состоится 199 а. г.. не рвсемииу

спецхаяязирз&гкиого Ученого совета Д 0162702 гри ¿>иаико-теун/.ческом институте низких тс'/ператур 3.И.Верхние НАНУ по адресу: 310164, Харьков, пр.Ленина, 47

С лигсегтгцх?^ «окно ознакомиться в науччо? библиотеке ¿•изиго-тех!!стоско1 с. института н:-::>к:ос температур им. о.И.Веркина

3/'

Автореферат разослан "31 " 1995

Ученый секрета!"' специализированного Ученого совета

Котляров В.П.

АН-

- 3 -

I. ОБЩАЯ ХАРАКГЕРтат РАБОТЫ

Актуальность проблематики. Проблематика ди.*<5.еренцируемьпс отображений обобщенных геометрических пространств имеет глубокие истори еские корни, связанные с задачами живописи, архитеотури, К ртографии и т.п. Их разнообразие привело к необходимости изу-таиия об'щих свойств отображений. На. ото;/ пути возникли проективная геометрия, изометрические, конформные, геодезические отображения.

Задача о геодезическим от -■бражении -оверхностей впервые поставлена Э.Бельтрами в 1865 году и была связала с реалияацией геометрии И.И.Лобачевского. Здесь йу било рассмотрено от -бря-'е.чие поверхности на плоскость при котором геодезические кривые ¡.егехо-длт в геодезические кривые ( прямые ). Е термшологии, гредгохсн-ной 5.Н^уром, такие поверхности названы проективн'лги. Результат, к которому призе.- Э.Бельтрамт, означал, что проективными поверхностями могут быть только поверхности постоянной '¿ротизны. Геодезические отображения произвольна поверхностей рассмотрены У.Днни, который показал, что они является поверхностями лиу?илля.

Теория геодезических отображений римановкх грострачста восходит к работам Т.Леви-Чивита. ¡к' была постарлеЬа и росена проблема нахождения метрик л -мерных римановых пространств, которые имеют обз;ие геодезиче"кие кривые. Замечательно, что к ней свелась задача моделирования динамических траекторий механических систем. Впоследствии А ..З.Петровы« теория геодезических отображений разрабатывалась как математический аппарат для моделирования траекторий свободных движений в гравитацког'ых полях.

К настоящему времени усилиями ряда геометров основные вопросы теории геодезических отображений (псевдо)римановых пространств уже репены и Епутся уногэчгслрнные исследования геодс. .гаеских отображений более общк>: пространств ( фянслероввх, касательных расслоений ) или отображений, близких по содержа«® ( концкркулярнкх, голоморфно-проективных, квлтернианно-проектявнис, кокгактно-про-ективных и т.п. ).

В Г. 33 году В.¿.Каган об эбяил понятие гроективно-евклидозего простра—гтва и привел к понятие ( )-проективного пространства. ■Последнее характеризуется тем, что в нем каждая . зодезнчесиая кривая ле^ит в р -мерной плоскости. В настоящей диссертации нами

развита теория -геодезических отображений пространств с аффинной связностью без кручения, которая посвящена общим закономерностям отображений, придаюг..м образам геодезических кривых порядок уплощения не выши некоторого фиксированного значения /> . Но С! ей идейной сути она является широким и естественным обобщением теории ( )-проективных пространств в том направлении, которое в свое время было разработано Н.С.Синюковым.

Как хорошо известно, геодезические кривые в римановых пространствах являются кратчайшими кривыми - экстремалями функционала дл¡и . Кроме длины у кривой в д. -мерном (псевдо)римановом пространстве существуют другие важные инварианты - ее кривизны Фре-не. С кинематической точки зрения -ю кривизну можно трактовать как угловуа скорость поворота соприкасающейся плоскости

я.-ого порядка. С этими инвариантами мы связыве. м' функционалы интегральных кривкэ/:, которые называем функционалами поворота. На ..лх основе мы вгодим вариационное обобщение геодезических кривых - сг'-бодные и изопериметрические экстремали поворота, а так-яе ..овый тип отображений - поворотно-геодезические и спин-геодезические отображения. Введенные отображения не сохраняг" экстремальных свойств всех геодезических кривых дчя их образов, а придают км качественно новые свойства, сохранил ¡я, возможно, дая отдель ых кривых, т.о., второе направление исследования содержит разработку вариационного аналога проблемы Бельтрами-Левк-Чивиты для (псевдо)римечовых пространств.

На основании сказанного можно утверждать, что актуальность проблематики продиктована потребностью общетеоретического исследования л логикой развитие дифференциальной геометрия отображений обобщенных пространств.

Цель работы.

I. Изучение уплощающих свойств дай скицируемых отображений аффинносвязных и (псевдо)римановкх пространств ( р-гео-. дезических отображений ).

". Разработка вариационного аналога геодезических кривых и геодезических отображений ' поворотно-геодезичесих отображений ).

Работа выполнена в соответств. с глянсже НИР Одесского госуниверситета при разработке госбгадаетнэЯ темы "Да^еренцируемае отображения обобщенных геометри ;ескж •ростринстэ" ( Приказ

Министерства образования Украины '*78 1191-03-21, регистрационный номер Ч-ЧНЛГИ 0I9I0037434 ).

Научная новизна работы. В работе впервые предпринято систематическое исследование уплощающих свойств дифференцируемых ото-братенгЧ ( диффеоморфизмов, погружений, "чфинитезимальних преобразований ) аффданосвязных пространств без кручения, iia этом пути выделены новые геометрические типы отображений и изучены юс групповые свойства. В случае диффеоморфизмов они оказались тесно связанными с различными аффинорнкми и контактными структурами многообразий, Опираясь на тм ие структуры, осуществлено конструктивное пс троение пироких классов аффинных свяэностсй пространств, допускающих р -геодезические отображения. Оказалось возможны»/ с единой точки зрения инто-рпретировать ряд различных направлений теории отображений многообразий и их касательных пасслоеклй. Здесь в рамках теории р -геодезических отображений обнаружены новые днффзр«нциально-геоиетрические свойства лифтов геометрических объектов базы в касательное расслоения высших порядков. Эти свойства позволяют из всякой проективной груг ы базы строить группы я-гечДеаиЧ'.сяих преобразований, причем - гпобальных, если исходная базисне>. груша действует глобально. Аналогичным образом, шфиг.ятезимальна : р -геодезические преобразования базы дячт возможность строить ее р -геодезические погружения в касательное гасс >ение.

¡'.-звзротно-геодезические отображения ( короче, поворотные ) являются принципиально новым направлением в теории дифференцируемых отобращений. При его разработке найдены новые дифференци-в.\|.-:;;>-гоомотрические объекты (пс.адо)риманоьых простремте - так •лазиваемып свободные и из orериметрические экстремали поворота.

поверхностях евкли-ового пространства £s показаны их экстремальны. свойства, а в случае hofc хности вращения - обобщена .классическая теорема 1'лерэ и установлена разрешимость двухточечной Kt/;JB ¡й задачи о существовании. Исчерпывающим образом иссле-, д-jpftK»• поротные диффеоморфизмы поверхностей, где обнаружено, чт )■ oî:;; яблкттся деленным аналогом стереографической проекции fit) случай ï■ р'/и&вольных поверхностей вращения. Особо выделен случай с.-еци-чль.-'ьж. отображений, названных спин-геодезическими, ( короче, спин-отобрагеиипми ) и ¡¡оказана целесообразность их .изучения для приложений v •••раветации; '• Введенв' рассмотрение hobl'!1 тип и!:фи'!итезималы1ых .¡¡рео.бразовгний и деформаций поверхностей

- б -

б £л , названных поворотни/и, которые подробно'изучены в

оруном случае.

1,г-.утичоск".я значимость работы. В заключительной главе сдельно рьссмогр1 ы вопросы приложений теории /»-геодезический и поворот ;ых отображений. Здесь мы обнаруживаем специфичес-гуг, связь р -геодезических чривых с параллельным переносом в cvt.-c.-i ¿егмк-Узл;:ера , который используется в тетрадном форма-аи:-!.'с об-сй гсзгии относительности. Показано, что изопериметри-чос: ¡'.^ эп-трит.ли поворота с постоянной первой кривизной Орене в грйьигецизниьэс полях описывают траектории спин-частиц постоянной массы. такие частиц найдены законы сохранения.

Как уу; отмечалзсь, первоначальный интерес к иссле; ванию пг-бломы Т.¿еЕЯ-ЧиБита о геодезическом отоб; акеяии л. -мерных • 5импь• еых пространств был в основном огределен со впжным прик-лпдньз.' ас:-., ктом, связанны.- с изучением динамических траекторий умп'жссггх систем с п. степенями свобода. Впоследствии эта проб;.-'.'а оказчльсь »а»! ой *и для псевдоримакових пространств с точки зрения моделирования гравитавко. .;ых полей, в которых понятие гегдс-гичиской кривой как экстремали ({унициокала дшш или деЯств!!л - одно из ц€-нтгаль,".х при геометризации релятивистской динемики частиц. Гписоясь на ебнрру^.еннуп связь изог.сри-.'етричес-ких экстремалей полнота с) сгин-частицаки,• мч мог.ем придать приклад-гс содержание спин-диэдеомэг^иэмяу. Так, в приложениях сг.к!*.-ди^«смэр5кзм;з к грьеитяаилшьаг полям можем сказать, что оти дк'/уомор^игмы диот матем.-тииесгиЯ аппарат введения нов^х : олей, е которых, все Т{ мкторки сг ободках движений пробны частиц исход-:-.го п':."-: становятся траекториями '«Еноускоре-ккых по поступательному дзкхенкч частиц с с: редегеннкм спиновым движением. Последнее др/»ание определено тензором спи-'п в виде гростогл бивектора мог.ет интерпретироваться как ьряпеиие сопркк&спкпейся плоскости траектории. Со т-кг стороны, сгин-повегхн сти ( т.е. . поюрхности, получение спин-ног? у№:ио:/ в' соответствую:-«. г-севдо-риманово пространство) обладают т-Г: особенность«), ч->у гедезичес-кио в см;.-еле вьутригкей метрики погзрхности явля-тся с точка зрения в:-:е::пс-го п^б^дате-ля вьтьук-- занг.кми. спю^раекторияма.' и-ми в прост; анствс егмакугьной теории относительности ( "!рострп;стни ..'.ипковскоГл ) л'-кельк; описаны все спи:!-поверхности.

,-лл и.-;*»китезиме яыаяс :• овоготно-кок<?мних яо$ор.мппий ука-.зйна их связь с т?орио2'т>} тостчнюяс об^лоче". ¡«ли новорхность допускает а льнуо'::оьорVгно-г:•*ормную дф^исция, то

она монет быть рассмотрена как срздишал поверхность оболочки, которая находится в напряженном равновесии с нулевой поверхностной нагрузкой и перерезываюгой силой, с>.йпада*г,ой с лоз^рлчшм конциркулярным векторные полей.

Материалы диссертации были использованы автором при чтении спецкурса "Геометрия многообразий и их отображений" ка »'еханико-«атематическом факультете Одесского гссунивсрсигета, а так»е -в цикле лекций в Черновицком госуниверситето.

Методика исследования. В основном в работа используется классический аппарат ?ензс. логэ анализа. При рассмотрении геометрической интерпретации основных уравнений р -геодезических отображений использованы идеи и методы алгебраической геометрии и топологии. Аппарат теории лифтов из многообразия з каса 'льные расслоения существен о п4 лаенен при изучения индуцированных отображений ка касательных расслоениях. Методы вариационного исчисления для задач с выевши производными нами ;;с ользованы для изучения свободных и нзолериметрических экстремалей поворота в (псевдо)римановых пространствах. Рассуждения носят, как правило, лекальный характер, хотя некоторые результаты получены "в цело:.-".

Апгобащ:я результатов работы. Результаты исследований докладывались по we выполнения работы на оледгетих математн-чесгих собраниях: У1-1Х Всесоюзное геометрические конференции, Всесоюзная научная конферв.щия по неевклидовой геометрии " 150 лет геометрии Лобачевского" ( Казань, Iе-76 г. ), Всесоюзные школы "Оптимальное управление. Геометрия и анализ" ( Кемерово, 1986, 19вд гг. ), Республиканская школа "Топологическая алгебра" ( Тирасполь, ISóS ), 11&ц5юнальная конференции по геометрии и топологии ( Тирговюте - Румыния, К86 г. ), Международный коллоквиум по дифференциальной геометрии ( Эгер - Венгрия, Ii-ЗЭ г. ), Всесоюзная "'зометр»ыеская с;кола ( Черновцы, I9tí3 г. ), Всесоюзное совещание молодых ученых, посвященное 80-летии Н.В.Ьфгаова ( п. Абрау-Дорсо, I9v0 г. ), Международная научная конференция "Лобачевский и современная геометрия ( Казань, 1992 г. ), паучно-ме-трдагческая конференция по математике, посвященная 200-летию со дня рождения ¡¡.¡¡.Лобачевского ( Одесса, 1992 г. ), Международный коллокв:,/м "Яи-Лобачевский", посвященный 150-летия Софуса Ли и гОО-ле^ига ¡¡.И.Лобачевского ( Тарту - Эст* ¡ия, I99¿ г. ), Лобачевские чтения ( Москва, 1^92 г. ), геометрические семинары Одес-

< coro университета ( рук. проф. iJ.С.Сижков ), Бухарестского университета ( рук. акад. Г.Вргшчян;' и проф. Г.Телеман ), Тшшпоарского университет-. Румыния ( рук.проф. Д.Папук ), Ясского университета. Румыния ( рук. проф. Р.Мирон ), Черновицкого университета ( рук. до»$. В.С.Собчук ), Киевского ули-ерситета ( рук. проф. В.Я.Михайловский ), ! .занского унивс i-счтета ( рук. проф. 4..М.Норден, прой>. А.Ii.Широков ), .'¡осковс-кого университета ( рук. проф. Э.Г.Иозняк ), Ичститута Математики СО PAü ( рук. акад. В.Г.Решетняк ), ФГИМГ An Украи'.'й и Харьковского унюзрситета ( рук. акад. А.В.I1,горелов и -'-кад. AÜBlii Ук^а^;ы А.А.Борисенко ).

Публикаци-т по теме дисдестации. Содержание диссертации отражено в 33 опубликованных работах г втора.'

Структура и обьеу работы. Диссертация содержит 325 страниц машинописного текста и состоит из ¿ведения ( 12 стр.), семи глав ( 73 38 48 43 3? L3 23 ), разбитых на 30 параграфов со сквозной нумерацией и списка литерстурн ( 226 наименований ).

II. СОДЕРЖАНИЕ ДШСЕРТАЦШ

Первая глава диссертации состоит из восг'и параграфов и лосьящена р -геодезически.; кривым и /> -геодезически;/ отображениям пространств аффинной связности без круч-ния.

В первом параграфе ог^едбляются /> -геодезические кривые л изучаются их огчовные свойства.

Рассмотрим пространство аффинной связности 6ei кручения ( М V ) и кривую у.' -*МП' с параметрическими урав-

нениями x*'X£(t) . Коли для некоторого t векторы = r , £ s i «••• i . ■ fc лине:' iu независимы, а вектор

t уке лш.ейно загчсит от них, то говорил), что кривая У имеет в точке Jfft} уплощение /> -ого порядка, Когда кривая имеет ушк ,ение р -ого порядка в каждой точке некоторого промежутка, то говорим, что она является р -геодезии ;ской на этом прдаекутке. Ее ,,ифференциальные уравнения имеют вид

♦ t 1 Г-1 е-1 ,л

в А.*, А.,3

дели ввести в рьсемотрение касс зльный р -вектор? { ... { , то справедлива

Теорба. 1.1. 1 ^ивь.. пространства с а^'зюнс связность» является р -геодезической тольк если ее касательный ^-вектор не равен нулю и рекуррентен вдоль нее.

I теорема обобщает J екуррентнче С" :йства геодезических

кривых.

Параметр t на /»-гео-езической кривой, для которого Л а)-0 , ьазываем и -каноническим параметром.

Теогема 1.2. Для всяко? />-геодезической кривой с; .ествует ее * --? анонкческий параметр.

С точки зрения теории высших кривизн в (псевдо)римгаовсм пространстве ( М*, $ )' р.-геодезическая кривая ( с неизотропными соприкасающимися плоскостями ) имеет первые ¡>-1 кривизны, отличные от ь„ля, а остальные равны тождественному нулю.

.Далее, в §2 определяются /»-геодезические отображения. Отображение /,:Мл—>Ят, п. ¿гл. двух пространств единой СБ..зггаети без кручения называем р -геодезическим отображением, если для кажд -Л геодезической кривой те ппостралства /1*' ее образ - кривая % имеет в каждой точке ; .'.Лишение порядка, не превосходящего р . При этом фиксированное число р берется максимальным из всех порядков уплощолия на ; .азанкых обри-

30х- v „

Пусть X • X )и,л] - локальное представление отоб-

ражения /

Теорема 2.1. Отображение /¡/1л-*Мт' двух гростргнств аффинной связности без кручения ^удьт р -геодезическ м только если

ЛА,.. А, и Л.]

<«■ Ч-Л-о ' .12)

И аналогичная формула при р -I не имеет места.

Здесь Х**\ХА рА X* РА РА

где 47 - смешанная ковариантиаг "гроизводаая в смысле ван дер Вардена-Бортолотти относительно связностзй V • V • Т.о., уравнения ( 2 ) явлтогся основными уравнениями />-геоде-ь^ческих отображений.

Теорема 2.3. Пространство с аффинной се) ностыо без кручения дотекает р геодезический диффеоморфизм на локально аффинное пространство только если оно является локально (**/")-проектив.чы".

Установленная теорема показывает ка^ую роль занимают ( * -р )-проективные пространства В.St.Кагана в теории /»-геодезических отображений.

Р -геодезическое отображение называем <<-каноническим, если -чя всех р -геодезических гпибых У , где ï - геодезическая кривая, канонический параметр на у яв.г тся «(-канонически/ ьа /»у . Получены уравнения, описывающие «(-канонические отобр гения.

ираясь на понятия алгебраической геометрии, в уЗ дано геометрическое описание уравнений ( 2 ).

Цуоть МЛМ"1, некоторое дифференцируемое отображение ( не обязательно /»- ;одезичесюе ). В данной точке и f М1^ рассмотри для фиксированных f ■ 1,2,... m -I алгебраи" ские -мпвества проективн ~о пространства Рп*' над полем Цх

■ < з >

F A Ai •.. А я,

— . -......— составляют однородный базис

идеала алгебраического мнокестьа (F) . 'Очевидно,

что

. (4)

'£схи множество "непусто, то на -основании теоремы о.

ррчло-снии оно однозначно представляется в виде обьед1г:ения проективных мкогообрагч" ( не ргспадзющихся алгебраических множеств >.• При возрастании ç в отих представлениях могут •участвовать существенно новые ( присоединившиеся на очередном . vers ) ! роективкыо многообразия и в итоге поручим

оя)а Vu v-vûi . ( 5 v

il— *« ,

Проективные многообразия «, ... , еходятпз в ;ззлотоние

(5 ), кы называем уплсзлет-г/и пссектявкьки :.гнэгообраггссл1 порядка ч- , псрс.удгн.чнмгг от^бра-ло.чнзу / в точке и

В случао р -геодезичс. /ого отэбргогекия хяатеняг. С 4 ) стабилизируются на я-ом таге:

и идеал

язляется О-главни-» ( поскольку ( 3 ) становится тоадествами в каждой точке окрестности или июгйобрзг;.*!.

Рассмотри геодезичеенуи ривую 1 , проходящую через точку и- в направлении [$] . Тогда ее." : l$j гркпдяэ:.!?? одному кз *, оективкых многообразий ,... , то кривая /»У

имеет в точке х * f(u-) уплачен», порядка <£.

Размерности уплощающих проехтивн'лх нн п-собгазлй, п.рэуден-нше отображением f :

f (</>),.... (j;

названы уплощг^цей проективной характеристикой отображения f з чке и. . Сна описывает алгебраические мощности точек уплощения, которые получает образы геодезических кривых го данному отстранению f

В §4,5 введены . раг-нотреяие слецкальныз геометрические тигч р -геодезическое отобратеккй, названные линейными, квадратичными, и более обзю - полаа„Л1альныха. Так, р -геодезическое отображение имеет соответственно линеГ.ный тип ■м . , f р , если для каждой геодезической ? вдоль „е образа f'i'7 суп'.ест—'ет параллельное голе глоекостей ЕС?) с опорными векторами вида

/,.• Eft) -L("tJ(?1 .... , FVf) ) , 4- E(t) °L Cf.F(f) , ••• , Fl(f) f Z ) ,

fr'-E(t)~L(f, Z,..., Z ) .

f

где 1 - линейная оболочка, P,... - аффинорн низ ; ля ¡¡а Я" . Указанные аффшора векторы

I

-вэктор-отвечаят за

рас -еделение соприкасающихся плоскостей у образов ге^ези-ческих кривых по Р -геодезическое отображению соответегвую-"его линейного типа. 1щр погаси.о определяются квадратичные и полил омиал^ьые отображении. Получены юс основные уравнения, "отс-рые представляют собой системы дифференциальных уравнений на аффиноры , вектора к, и аналогичные ил тензор-

ное по ¡. Отметм, что отдельные разрозненное частные случаи линейных р-геодезическ*..г диффеоморфизмов встречались у различных авторов: Я.Л.Галиро - об обще»'--е субпроективные пространства ( лускают р -геодезичес- е отстранения типа . на аффинные пространства ); Т.Оцукк, Я.Таширо, м'Л1р'°нович - голоморфно-проективные отображени кэлеровых пространств и пространств почти "рэизведек!1я ( есть 2-гео'дезкческие отображения типа ); В.С .Талапин, А.А.СалимоЕ - "И -г он арные отображения ( являются р -геодезическими отобр. .«нияки типа ); БЛ-^ца, ,л.1ьи-гс- '.ош! - С -гол 7орфно-проективкые отображения нормальных почти коктак' ых пространств ( '-сть З-геодээичрские отображения типа

л2 ); С.Ямагучи и ТЛдати - голоморфни-суб^роекткзные пространства ( допускают в невырожденном случае 4-геодезкче кое отображение типа на аффинное пространство ).

В §6 найдены все 2-ге- .езическкэ поверлНос'"И в евклидовом пространстве £3 .

Теорема 6.1. Сре„и гладких поверхностей только сферы допускают 2-геоде...;ческое погружение е евклидово пространство £3 , причем оно чвляется линейным второго типа /х с уплощающей проектртшой характеристит-' с/ « -I.

^ Из этой теоремы вытекает, что соответствующее множес ¿о 2(Р)является пустым и. этот факт имеет наглядное и простое гео-метричес-ое толкование.

Кг поэиц' • /»-геодезических диффеоморфизмов изучены в §?. Как. хзвестно, геодези":-ские диффеоморфизмы обладают групп^ы-ми с-эйствами, т.е. композиции и обрат: э к ним является геодезическими диффеоморфизмами. Однако, р -геодезические диффеоморфизмы в бщем случае такими сь йстваки не обладают. В связи с этим вызывает интерес г -учение тех услоьлй, которые обеспечиваки.- композиции Р, и рл - геодезических диффеоморфизмов определен!.4Л порядок р-геодезичности.

Теорема 7.1. Если один из диффеоморфизмов геодезическим, а второй - р-vec \зз:- :ский, то их композиция таете /»-геодезический диффеоморфизм.

Теорема 7.2. Если fuß -2-геодезические • ффеомор-физмы i -орого линейного tw.-л, то их -ovni зиция f в

общем случае .колется 3-геодезическим диффеоморфизмом третьего линейного типа.. В отдельных с: чаях композиция / может быть 2-геодезическим, или - геодезическим диффеоморфизмом.

Теорема 7.3. Пусть / , ? - 2-геодезические дчфф ,морфиз-мы первого линейного гига, соответствующие аффинорам F , F . ¿ели при этом F и F вместе с единичным аффинором <Г в каждой точке образуют базис некоторой трехме чой унчтаяьной алгебры, то. композиция в обцем невырожденном случае является 3-гео-дезическим диффеоморфизмом первого линейного типа.

Теорема 7.4. Пусть f - 2-геодезическиЙ диффеоморфизм первого ( или второго ) линейного типа, а / - 2-геодезичес:<:ий диффеоморфизм второго ( соответственно - перг го ) линей' го типа, соответствующие "аффинору F и вектору 2 . Если при этом аффинор F и . jktop Z образуют контаклчую структуру общего вида: F2- / <Г+ F + с я Е , F(E)=~>£ , то композиция ? • f о } в общем невырожденном случаи яв^.ется 3-геодезическим диффеоморфизмом второго лилейного типа.

Аналогичные теоремы имеют место для /»-геодезически ком-noi ций линейных и ква; атичных типов при любом р .Т.о., они дэчт возможность строить сирокие классы /»-геодезических диффеоморфизмов через такие же диффеоморфизмы меньсих пор дков.

В свою очер'.дь, пирокие классы пространств, д^.ускатаг.их Р -геодезически» дай. зоморфизмы, мол- ю построить рекуррентным образом, используя пространства декартовой кокпоеиции в с; еле А.П.Пордена. Указанную возможность проиллюстрируем с помощью схемы:

лГ = /ч*' д . ... * йл* П Jj ¿1

Мл = Fi* Я*' ■

- 'Л -* е лг и**

Тет-гг 8.1. Ьсля f:M -»И ( «■=/,....,/> -нетривиально гсодлз::чсские /••"феоморфж.'ы, то на пространствах декартовой ::о?.':-оза;::я кпг-уппроБапны;; д?ф*ес>.'оргазм / является в об-случаг -геодезическим дпЛ.^зог.'орсиз:'первого линейного типа.

/лагопю.ьг: обреза/ кг>г:;о построить ^-геодезические диф-сз:г.'сг;я?иц других лш:с.*. лс и квадратлчтзе тхгов.

^'сгсппппльпгя геонзтрия пространств с £|тинорными и 5:о::тг:"-,;:!-.'и структура:,-и сесьна разнообразна и !1птенсивно разра-*;зтн;зотся с последние десятилетия. В главе ii :.:ы • мдзляом спсцлальгаз линепннз тнпи р -геодезотеекпх диффеоморфизме» (об— лад;.:ог;гх сбо. :тео.\* вог.,;:.'ности ), котарис ассоциировали с такими стгугг'ганп. особая рзль таких да££зсмог?И2:.:ов го отношению к структуре состоит в том, что они сохраняют планерные /»-геоде-зичеенп'.1 крпжз структуры. В тот?е бгс.'я., наличие структурных соо?:.о::.-:ппЛ .ыу.ежорфша ногообраопях позволяет строить широкие класса ггужнкх связностзГ: относительно которых ди^еомор-сип.-.'будс р -г се девическим.

Говор;?.-, что р -гесдезачосгий диКеэмог^изи р обладает сгонстео:.' взаимности, если обратные к нему /*' та /в является р -геодоенчгепим. 1юлуче..и условия вз<"&яоста в о5г;е».: случае, и с^р-улировакы критерии взгигспости да ^-геодезических диф-£■0 ом орфизмов линьй-ых тигоз. Ззл-ети:.:, что лк-:еЯ:.£:.': тип пеэгда облгдгзт свойство:.: взаимности.

Г » » 5

Кривую называем ("Г,...,^, ¿,...,2) - пленарной о

пространстве если

(¿) /Ч¡Г) ♦ •»»д а; А* ¿ю£ * • • • г

пр некоторых функциях /о,... •

Теорема 9.4. Если М* ¡4 л р-геодезический диффе^-( морфты линейного типа ¡г , соответствукчий аффинорам Я

и векторам £',..., г? , и обладающий свойством^ взаимности, то этот диффеоморфизм сохраняет ( Я г ^ Р ,¿,...,2 ) -планарные

<£ -гео.цезиугские кривые г $ (■ р .

- ть -

Пусть / •• м- 3-г?оде&ическиЯ диф*вохорфиз • первого л(г'ейного тиг ., соответст.,уте:ий а^финс^ам Р, Р , которые образуют аффинорную структуру, изоморфную некоторой трех-мер'-,Я ассоциативной -у.шталькой огц ,-бре "ад Я . Аф-

фншгую связность на многообразии '7а с аффинерной струк-

турой ( Р ) называем плакари 4 относительно э-еей структуры, если для нее .г,ри некоторых хоре торах выполняется условия

ск л * < с1

V,.- Г. » лл- У- с^л • Г со,: г. У . т р

Когда все ковектор нулевое, имеем Рч^снарну*» связность. Среди О-плпиарк;«: связиостеЯ слдер.гртся связь ;с-а, сохрак .изие стоук-

ту(,у; V/7 =0, ;Ьс игучали 1 ¡огле автора: ".¡.'.бота, А.?.Уокер, К.Яно, Р.Хит, Т.£уками, А.Фрелихер и др. Для дьу-'ерных алгебр

, изоморфных ал еб| комплексных и .иаойшлс чиезл, кг-иар» ные сьязпост'! найдены ¿».С.Сиыокозк?.:. Связности, со--р ня>:с;;:е аф-ф;шорнь.\: структуры игьтерниодаого гига, немел ".Л.'лручковкч.

Известна класслфп -адия трехмерных ассоциативных унигал:.:!ых алгебр среди которых имеется ги три типа гтазедот и кет., чвэди-кы".алгебр. пг*'я детально изучен дрииодимый случал «>£ о/?.

1!айдены необходимые и доста-гоч..»-» условия существования глагар-коЯ связности без кручения ( теорс-ма 10.1 *, а тглъ.е .л об ос.здстз.ЕЛенле через фиксироьанн^л чссг^уо пл..!?.р;'.уп связность. За счет ::еренор>. коит-ст:^ структуру общего ви.вд

представ! 'Ь с .¡ом.тдао структурах сео^чохакий

, Р(*)-£2 , ее = Лсё.

АЯфа-» уо связность V на многообразии с контактной структурой ( Р £ ) называем глйчпрюЧ относительно этой "лруктуры, ее-и

< ^ *9{2к .

а

)

Аналогичным КУтаэоу ¿ндоляэттся 0-плйнарн: э связности и связности, сохраняющие структуру .

Среди рассх-.-риваем; х контактных структур содержатся'почти контактные структуры в смысле' С.Са^аяи, который ( совместно с

Я.ХатахеяуоП ) на' зл связности юс сохраняющие. Более общие, так называемые t -почт- контактны' структуры, рассмотрены М...ваксимом и А.Км^еком. ','кк также построены связности, сис-рл 'яюпие эти структуры. .1ами в 511 дзтгль::о пг.ссмотргн вопрос о сусеглвовапии планарных связностей на "тгуктуре почти произведения: F*= <f , F(l) » Z и олучены необходимее условия их '.-уществованиг ( терема II.I ). Гл;ап1.чо, что в интегрируе-мс • случ..е они сусествут.

Й»|$ерен^лальн8Я геометрия касательных рг 'слоений весьма JoraTa "азличиыми структурами. Эти р'ссло^яия естественно возникают на всяком гладком многообразии, ^сли на базисном многообразии Мл имеется аффинная связность V , то на его гаса-тельном расслоении первого и второго порядк:. TfAi") , Тг(/1Л) мозгно построить сьязность по"hoi о .-лфта V1 , . Указан-

ный 'свяэ:»с ти ¿анкмают gi?io из центральных мест в теории раг-слоенк..г пространств и их приложений. Б глг^е III мы остругиваем :овьр дафферснцие-ыю-геокетричецгие свС'ства сзязнос-тей , V*' в разках теории f>-геодезических отображений.

Теорема 12.1. Если /•• - нотгивиилы:'-Ч геодезичес-

кий диффеоморфизм, его дифференциал df: Т(МЛ) •'«♦ Т (fl*) на к^сател.ных расслоениях со сеч." ю^тями полных лифтов является 2-геоде>;ическик дкффес-лорфизкок первого лилейного типа, который обладает своЛстеом взс эт/ности.

Теорема 12.3. гсли f: - нетривиальный геодезичес-

кий ди№еом орфизм, соответствуй ийковекг ору со , то ого второй дифференциал на каегтелы^-'х расслоениях гторого горядг.а со связностям.. полною лифта является: 2-г~э^~эическик диффеоморфизмом в »яуче>с, если 'ковектор удовлетворяет условию Vt<; + «о- = 0; 2) 3-ге дезичеекгсл диффеоморфизмом гервиго линейного типа, обладает,им свойством взаимности, в остальных случаях.

Подобные результаты можно получить, гр^дголигоя, что диффеоморфизм / на базах является р -геодзаичесюг'. 'Случьй />= 2 рассмотрен Ф.К.БлагодыроМ.

I. §13 гаг опре.г-ляем янфикитезк,голь1 :ve р -геодеэкческиз преобразования. Пусть г.- х^-х^ t £ Xhfx> - инфгаи.тсзи.'гль-ное преобразование ; лостргпстиэ С М*, v '), усле-кожес яривуё ^

в . Говорим, цхо Г ( кт векторное поле X ) со-

общает геодезической кривой 1 з точке ¿74) уплощение р -то порядка, ес""1

г-*о £ 1 *

где . р - минимальное из е ех возможна с. Преобразование х называем, инфиклтезимальным р-геодезическим преобразованием, если оно для всякой геодезической кривой в любой ее т чке сообщает уплоиение ^-сго горяча, где у.$р , число р - фиксировано и максимяльнг. ■> из всех чисел ^ .

Теорема. 1Г.!. Преобразование х является дафинитезш-ль-ным р -геодезическим только если

1к к, а,;

-л:»•

и аналогичная формула цри р -I не имеет места.

Здесь = ¿х^-/ ~ производная Хл коэффициентов связ-

ности у г в .... • С геометрической '.•очкч зрения.

иифимитеэккальное' ^-геодезическое преобразование бладпет той геометрической особе'-ностьи, что главные приближения всех геодезических кривых является локально ^-геодезическими кривым!*

1 Ь р . ]и6г,я калоничесп,й параметр кривой Я является :'а указанных сш:е глашкх приближениях л -каноническим параметром, то преобразование называется * -канокпческ.м. Как и б случае р -геодезических -отображений, виде: лвтея специальные геохетричео- ае типв'тфю.атезикал*чых /»-геодеаичаеких преобразований. Получек их уравнения, записаны условия каноничности.'

И' §14 изучены />' -геодезические, преобразоь ная кясательных расслоений и :х груша, индуцированные геодезичесими преобра-зов?-нияуи базисного .пространства.'

Теог-е'/а 14.1. ¡¿ели вектор X порождает ьл-риг.чальное геодезическое преобразозекие ~ пространства с аффинной связностью без кручения (М*-, V ), то ка касательном расслог'ии первого горядьа Т(Ма) со связчост.ыо полного лифта ф1, С-лифт Л" логотдает Й-каноническое икфинитезда-ельчое 2-геодезичесчое преобразован::.} V' первого линейного типа.

Аналогий'м образом ( теорема 14.2 ) , I-лифт X2 • порождав т инфкнитезимальное 2-геодеэическое преобразование Z1 пор-BOi'O линейного типа. 2сли к тому же соответствующий ковекгср

L Cj ~ ^ ) абсолютно параллельный; Vco = \ то % 1 ( также как и Z" ) является абсолютно каноническим.

Теорема 14.3. Есл" Сг - локальная ( не- аффинная ) г-параметрическая группа Хи i зодеэическгас г реобразований пространства ( V ), соответствующая операторам Х* , то е ТСМ*) со связност.д полного лифта v1 операторы X* пор .ждают ъ -параметрическую группу (г* еффиннеяс ч ¡¡-геодезических конечных преобразований первого линейного типа у зта группа индуцирована Съ.

Коли действует глобально ка , то и £гь ( инду-

цированная группа ) также действует глобально на Г (М . Эра теорема впервые дала возможность обнаружить существование глобальных 2-геоцезических пр -оорузований.

Теогема .14.4."ели вектор А порогдает нетривиальное я-фиштезкка" ьно-з геодезическое преобразование г пространства без кА учения > М \ V ) и со - соответстзутиЯ «у чове^зр, то на касательном расслоении второго порядил со связ-

ность» полного лшрта :

1) O-..лфт Х° порождает инфинитегимал: v: .-е 2-кедзндагас'. ч-

2-геодезическое гпеобразоваяиз f* пергсг. .т::ч'?Я/мго типа;

2) I-лифт Xх порождает лфиигезююлкх-. З-канонип. скос

3-геодезкческсо преобразование Z1 перчого линейного ?иг.а Ю" абсолютно каноничес:«г;е 2-геодезическое -.зовенхо г> случ а абсолютной параллельности ковегогора си ;

3) II-лифт л* орондает инфиитеьима.ть;• :>;• З-геод-.-сйчаск^е преобразование первого линейного т;:::<"- пли г"сола»«!'. канокическср 2-геодвзическое преобразоь;;:;'.; е случн.о слэт-ной параллельности кое лягора «о . Цели к@ va> * о , но

Ъгы =0 , то является абсолют»i> шюмиодким ?-гоо-

дезичесим преобр зовакяем.

Аноло. гакнм образом ( теорема 14.5 ), осли 6-t - груш... ."и ( ко аффинная ; геодезических преобразований ир этранства I М", 7 ), то на Ti(fin') со связностью операторы Л/

орождачт г -параметрическую г4уппу С-^ , "остодаую из f/фиь..ых, 2-геодезкческих и З-i ,одезичеоких коне'лых преобр^зо-

ваний первого линейного ти::а и эта гру. га ин.цуцироьача В случае тобалы'зг де' твпя (г*, , гругг ч С п~ тагсяе глобально действует на Тх (М*) . Т.о , ш получаем возможность строить примеры глобальных 3-геодезических прообразе-чний и их групп.

ьели X • векторное поле на многообразии Л?"', то соответствие х-г является сечэнчем рх : Т(МК) касательного ра- плоения. ]."ак установлено К.Яно, для того, чтобы сечение Ъд было геодезическим погружением относительно связности полного лк^а на Т(М*) , изо' одну о и достаточно, чтобы X порождал чфинитезиуальнсо аффинное преобразование: V = 0. Опираясь на теорию р -геодезических погружений и преобразований, нами получен критерий />-геодезич:!ости сече!..,л р>^ .

Теорема .3.1. Дня того, чтобы сечение касательного расслоения Т(МЛ) , определенное векторным ...элем X базы (М* V ), было р-геодезическим погруже 1ем по отношению Vх , необходи-« ид зтаточно, чтобы X порождало в ин^инетезималь' -.е

р -геодезическое / -каноническое преобр .зованкэ, или, возможно, ( р -1)-геодеэичег-'ое не ( Р -1)-каноиическос преобразование.

'Изученные намл в рамках теории /»-геопзр^чеегте отображен: вопросы касательных "чсслоекий могут быть поставлены для более обипос расс-оенл.Л и связностей. В частности, иг- обцих расслоениях рассматривались проектируемые связности, которые облад л те" свс ством, что их геодг нческио проектируются в геодезические кривые спроектированной связности. Ьа этом пути Б.Н.Шапухов обобщил классическую задачу о геодезическом отображении на .лучай геодезической субмерсии и изучил геодезические прос ^ки расслоений. I-.-¿смотрение пр акции, при ::от^_.ой геодезические кривые расслоения проенч-^гуются в ^.-геодез.лсские кривк г ( , ес-

тествешым образом приводит нас к - понятию р-геодезической проекции расслоения. На наш взгляд такая постановка вопроса представляет определенный интерес для дифференциальной геометрии расслоений и б^/ь предметом отельных и-следований.

jj'.-'p:-, ТУ посвягеиа вариационному обобщению геодезических :»т;:г<!'х (р.Сг'ВДан.озьэс пространств, основа;«'-лу на функционалах поворота в Си] ' J А+ ■ Здесь k* - кривизны йрене.

Н §15 определены к изучены свобода® ( без,> _лов;ше 5 экст-ре'-'плп поворота ( C3ii ) первого и второго порядка ( стационарное кгйеко вариационной х. дачи etctu** $Сг2: с фиксированными го.'.'Ц'й.'И ). К дсгуетя/ьм гривки вариационной задача относим не-изотро-чыс гладкие кривые класса С***г и не икевдсс точек

глртд^а Л , т.е. £ > 0. Геодезические кривые усло-ыг.'Ся ксзквать тр;:Е::альньп.'и зкстрек&кяки поворота. Лагранжиан

¿н. говэгст Jp зависит от высоких производных. iia множен-. ве дзг:' ткмис ;:рк иску вэз;.'о:*.но. применить стснда) гный ме- ' тод сйлора-^аграика, котэрий.дазт 'в результате дк^ференциаль-кые уравнения СЗП S 6i = 0. ''зрение этих усаьнений показывает, что в ("севко)?:г.'&нсвж прост-'чистое постоянной кривизны КФ О

?. ) всякая нетривиальная С&П первого порядка является 3-гео-дезическс' кривой.• Б плоском пространстве Д» 0 ( 2 ) вся- -' коя догусгимая 2-ге ;дезическ^я кривая является Cell первого по-' рядга ( тот^;:.?- lo.I ). В дру/ерных (псеадс ^нманчвше прост-' ¡•пиствкх зньког.остокккой ~уссовой кривизны не существует негр. ■ . вкалншх С2П первого порядка ( r~orr-vr, \5.2 ).

Рассмотренные ва.~нью .чгс?м*г' случаи показывая®, что нетри-риальнке СЫ. первого порядка когут вообще отсутствовать или что их ручки довольно iroffiiBO. Указанное обстоятельство подсказывает для функционалов поворота 'постановят других ( условных ) ционнк:* задгч,' ¡поющих гео-.-еткическ^е содержание привогяп;их к уке?ьвеыг> «ог;чостй пучка экстремален. 'Гак в 'даль::с&:ем об-гаса«.'ся к изопериготрическим задачам: e#tn*K в Li] , ос.у:

=fi - ««it. ; e*twH &L*l , если C[t]*e-'«4t. и ffiJ » Зд'-ь ¿hi - фуькцйсч.ал.длкш. Доказана ( ле-'va об изоиеримет-рической гос:-ояйкзй, §Т? ), что если криэая i есть допустимый изоге-г к.:страческий экстрему»/ поворота первого порядка, то Существует госгйпнкзд С , такая, что S6i *С ¡¿i = 0. Допус-. тимие гривке, удовлетворявшие этому. дифференциальному уравнению, »и аегквао:« дзогератетрическихи' эг.стреувляки поворота первого гс-гядга ( lei: - I ). Акалогичнкм образом, дифференциальный уравнения Сх$6с *Z П{ = С определяют изопериметрические экстпексля поворота второго порядка ( :ТЗП - 2 ).

Теорема 17.1. Допустимая /ривая двумерною шменозого пространства является Sii-I с изопзгиметрической постоянной

с только когда вдоль нее гауссова Kpi.. ;зна пгостранства пропорциональна ( с этой постоянной ) кривизна кривой: .

Ос.-^бо га наделяем ,-Ш с постоянными -• "нвизнами. Так для IPU-I при £ теми'. их х лвренцкальнне уравнен»;: приобретают вид

\k(i) = Я к - е ^ (c-i,)^ , e-tl .

j ^ i ^

Кривые, удовлетворяющие этому уравнению, гаяквае:' ппнн-яризой ( о происхождении терминологии см.последгаь главу ).

В §18 .¿Sil ра' чготрены на поверхностях евклидового пр.от-ранства Е* - На ИЭ1! •» зафиксируем две точки X» , , находящиеся на удалении С . Обозначим чех A-¡ (oc»tx,, С) -множество всех гладких дуг одинаковой длины i без

самопересечений и перегибов, шею..х ка фиксированных концах Х„, Xi одинаковые направления с ï и не пересекающих внутри геодезическую дугу X0xi ,

Теоуека 18.2. . lia поверхности в евклидовом пространстве Е3 всякая ¡©11 г для достаточно малых длин I на множестве допустил ix дуг Aj(X,lXu t ) доставляв- ( абсолютно:^ ) повороту OI*] :

1) ли». , если К > 0;

2) тлх , если К < 0;

3) секу«-. , еСли К = 0.

На основании этой теоремы можем утверждать, что КШ >1?. поверхностях в Е3 вепут себя как поверхностнее упругио струны, защемленные по донкой длине на фиксированных концах. Отметим такяе, что кривые, удовлетворяющие уравнения è.=C^ « ранее вс оечалиов в роботах А.Иуаь, -ре, В.Блгаже, -З.^индйнга, 11.¡¡ада при репении различных геометрически и прикладных задач.

Теорема 19.1. Вдоль fcli на поверхности вращения ( К * 0 ), удовлетворяющей уравнению 4 = с К , имеет место равенство ijùteJs i С Icuifl *ci , ty* «» - угол между 'Б11 и меридианом, у - угол между касатель )й к'меридиану и координатной плоскостью Оху , г -радиус, С1 - ccust.

Эта теорема является аналогом классической теорема Клеро для геодезических кривых на поверхностях впагения. С ti-. пс-•0!ДЫ0 найдены уравнения >311 : гвад^атурах, а такие доказана

Тепгема 19.2. Через достаточно близкие точки Х0 , яс, на поверхности вращения ( К * 0 ), определенной меридианом -f(i), в областях, где t'(z) 4 о , * <*> проходяг ровно две не-тривиа. лкко /¡ЭП, соответствующие одной и то?1 же длине.

ГлавУ посвящена ьариационному обобщению геодезических от 'ранений, основагаому на CS1! и. 311 в (псевяо)римановых пространствах.

Отображение / •• М к М двух (лсевдо)римановых

■пространств . зываем н^воротно-геодезичеспим ( короче, "оворот-нкм ), если вследствие р^о каг.дая геодезическая у из f1n net ходит в кригу» S° г , --отор„.., является ujli или 101). Если гг. ■ кривы« J<>$ являются сгии-к; шыг/и, то / называй < ян-Геодез'веским ( короче, сп:тн-отсбратением ). В римановых прост-р. ютвах спинтогображши». являются пово^ тными. Если пространство тлеет постоянную кривизну, то поворотные и епкн-отобратения являются 2-геодезкческими или 3-геодезжески..:и отображениями. При неко-ирых гред1оло»ен1'"х аналутичеекоз хс-актера выведены оси с шз ypr.Bi;eH'W спин-отображений ( аналитич г-кого тчпа ).

Поворотные и спй"-отображения являются с-сьма широка вариационным обобщением геодезических отображений, поэтому представляет интерес выделение таких отображений, которые обладают до. элнителькыми геометрическими свойствами. В §21 рас-скотр - ы условия, при кс~ч>рых поворотные и спин-диффеоморфизмы обладают свойство« конформности.

Л*

Теогеуа 21.1, i нфорклый диффеоморфизм ? - е 9- является спы-диффгокорфизмом. ( аналитического типа ) только в том случае, ее л;: он является специальным конциркулярньм диффеоморфизмам , для которог ■

Vj Сс = С. С. - (С, е% сЛ ) 9у , с,, Cj - canst ■, <v *7eerm

Если / -ешк-конфорк. ;й, то из этой Тсорелш следует, что f'1 такта спин-конформн! .

Теорема 21.2. Всякий конформный ; ¡[феоморфизм на пространствах Яйнитейна рвляр^ся спин-диффеоморфизмом.

Последняя теорема выделяет особую рол:, пространств Эйнштейна в теории сшш-диффеомор_измов, что важно для их приложений в гравитации ( см. гл.УП ).

Теорема 2"_3. Если •/■ - изотропный'спин-конформный диффеоморфизм, то он является поворотным диффеоморфизмом и для каждой г дезической кривой t ее образ J«g является G3II.

Конформный диффеоморфизм называем квазиконциркулярт,чм, если фу! .'ция конформности о удоьлетворяР'"' условию

Vyb = <}(«) er£6j +i(c)

при некоторых функциях fy , Ъ . При = квазиконцирку-лярный диффег-'орфизм является конциркулярным ( в смысле К.Яно ). В общем случае для функций , 1 имеют место равенства

d , г£ = fy г - р , где р -некоторые

инварианты.

Теопема 21.4. Г ли квазиконциркулярпый диф. зог/орфмзм удовлетворяет условии

fic-{fi(*f-i) -ct (4te--x)-(i-t)[f4tetz(f-2)] } с. t

то он является поворотным.

Последняя теорема -'силивает теорему 21 Л. Па их основании найдены в специальных почти-г.олугеодезических координатах метрики пространств, допускающих спин-конформные и ¡юг ротные квгзико;;циркуляр!ша диффеоморфизмы.

.¡зве~тно, "то колерово пространство можно превратить в комплексное многообразие и ввести комплексные геидеэи^еск^з и 'комплексное геодезическое отображение. Его вещественная реали-згция называется голоморфно-проективным отображением и впервые рассм.'^ршг Т.Оцуки и й.Ташро.

нами установлена

Teor- '-a 22.1. Голог/ор^яо-лрооктивный дг^.йкорфиан кэле-ревых грстрагств является спян-дрффеоморфизко'г только если эти пространства агеют постоянные голоморфше кривизны.

Т.о., эта тьореуа выделяет геог.-етричоскуа ецифику големорсно-проективпых диффеоморфизмов на пространствах постоянной голоморфной кривиз;' . ■ ' •

Ион эротике диффеоморфизмы на поверхностях в исчерпы-выгств* -браком изучены в 523.;Здесь:т. «учены их основные уравнения i Tcor.qva £3.1 ) , из которых вытекает, что вся чй поворотный дг$Лсохорфязх f »аяяо представить .кохпоаицией f*fr*Jf геод=зкческог ;i специального конформного диффеоморфизма•

fc . ' оке того, поворотные диффеоморфизмы допускаят только поверхности, которые локально изометричиы поверхностям вращения. ..айдсны метрики таких поверхностей, конструктивно определен канонический' говоротне-конфорж л| диффеоморфизм поверхностей вращения, "оторый обобщает классическую стереографическую проекцию.

В гл^ге У1 определены и кэуче: : новые геометрические типы ».фикздезимальнше преобразований и деформаций на поверхностях в Е3 , названные поворотными.'.

¿нфлнитезимадьное локальное преобр зование X поверхности называем поворотно-геодезическим ( короче, поворотным ) преобразованием поверхности, если для каждой геодезической У в соотЕетству-отей окрестности для ее образов « t£ выпол-

нено условие

. л*

(im --— * С К у

i-*0 £

где' С -постоянная, зависящая в общем случае от у

Т.о., поворотное ггвобразование перевода, всякую геодезическую кривую У в кроту» у t , главное приближение которой является .EU.

Т-эог-е.-а 24.1. Для того, чтобы ипфинитезимальное Преобразование Z било-поворотным в некоторой координатной области поверхности е Е , где К Ф Oj необходимо и достаточно, чтобы в этой области существовало г.олй симметричного тензора CLgj ,

Теорема 24.2. Лфеыгсзьмальнза конформное преобразование* ловегхности будет поворотлау тольк« в том случае, к .гда с„-от-ветстеуюаря функции копформлсст'и у»: д ¡юг ч?дает

ко;щирк; '¡яркое векторное поле, "•довлетворязгез уравнения

^ А = £ Ус К; +(с- г) К ц , С

Векторное т-пе, удовлетворяющее последние уравнения ми напеваем повопотню», Показано, что они могут сусествовать только на поверхностях, локально изометричных поверхностям врагжния, а при стандартном вложении поверхности впадения в £3 геометрически описаны все икфинитезимпльные Поворотно-конформные преобразования. Доказано, что поверхности постоякн-З г-уссовой кривизны /С Ф О допускают обзтие инфиките-щмальные говороткы преобразования, соответствующие вектору смехени.., который находится единственным образом при задании начальных данных как решение некоторой смеаанноГ системы типа Ь'оии ( теорема 25.1 ).

В §26 акалс 'ич- ым образом огределенн и изучены инфинате-зимальные поворотные деформации поверхностей в £! . Поверхности, которые допускают только гривна* ,ные инфшитезимальные поворотные деформации (т.е. геодезические деформации ) естественно нарывать жестумя в таком класс0 деформаций. Как установлено В.Д.<£е знгсо, свалсиды в целом допускают инфинитсзималькые конформные деформации, ес-и (функция конформности у.- =Л у £ принадлежит классу (Е) на расширенной плоскости £

соппяг.еннкх изометрических координат. В на. ем случае справедлива

юопема 26.3. ивалоиды вращения в целом являются жесткими относительно икфинитеглнаяььых по"орот:ю-.{онформных деформацн".

¿оказ..т«льство э ой теоремы опирается на применение теоремы Грина к ловор-ч/олдг концаркуляряому векторному поло.

За чютительная глава 111 росе .цена вопросам приложений />-геодгзических к^ ;вых, экстремалей поворота, /(-геодезических

такое, что

/А ± У 1к С4*~К {С ¿К>

и поворотных отображений в динамике частиц I гвитационного поля и механике тонкостенных оболочек.

Сопоставлп.. известные в т^орет..ческой физике уравнения ■траекторий спин-частиц гравитационного поля ( уравнения Иапа-петру Иаттиссона ) с уравнениями ИЗИ-1.получаем

Предложение 27.1. В пространствах Эйнштейна времениподобные траекто; ::и спин-частиц постоянной массы покоя т с тензором спина - >' И) , ««А .имеют' постоянную пер-'

вую кривизну Френе к1 и являются "'ЭГ1-1 (спкн-кривыми ), для которых с С^А^'1 .

Аналогичное предложение имеет место для ИЭ11-2 с постоянными кривизнами А1, . • '

Среди условий физического характера, которм- -подчиняют тенз:р спина известно условие V« я о .В общей теории

относительности важную роль играет задача о математическом моделировании различных движений. Введенные нами спин-отображения так~е могут быть использов<~ш в русле указанной задачи. Уа предыдущих результатов вытекают такие предложения:

Предложение 27.3. Конформные диффеоморфизмы пространств Эйнштейна I по необходимост! являющиеся спин-диф..ооморфиз:.!£ми ) сохраь.лт спш-кр зые, удовлетворяющие условию (50).

Предложение 27.4. Голоморфно-проективные спии-диффеомор-физмы кэлеровьк 1.^остранств ( являющиеся по необходимости эйнштейновыми пространствами постоянной голоморфной кривизны ) сохраняют спин-кривые, удовлетворяющие условии .

Учитывая обнаружеН1^по связь спил-частиц с ЗЭИ.нами с §28 изучены законы сохранения "для''спин-траекторий, порожденных ЯЭП-1. Зд^оь определено понятие инвариантности лагранжь.-ча с высокими производными относительно одаопараметрической группы сдвигов, доказана лемма о законе сохранения и

Теорема 28.1. О^опараметрическими группами- инвариантности лагранжиана поворота,гпивых (псевдо)риманова пространства являются движения о'о'ого пространства и только они. '

Опираясь на'-этот"результат,записан искомый закон сохранения, который тем самым определен через векторы Киллинга,соответствующего (псевдо)риманового пространства.

В £23 ош:саны все спин-траектории и спин-гиперповерхности в пространстве-времени специальная теории относительности.

Рассматривая основную систему равновесия тонкостенной оболочки и основные уравнения инфинитезимальных новоротно-хонфору-иых деформаций поверхностей в £* , получаем

Предложение ЗОЛ. Если поверхность в Е* допускает ккфннитезималънув поЕоротно-конформную деформацию, то она мсхет быть рассмотрена как срединная поверхность тонкостенной оболочки, которая находится в напряженном равновесии с:

- нулевой поверхностной нагрузкой;

- перерезывающей силой, совпадающей с поворотным конциркулярным векторным полем поверхности;

- тензором усилий

- тензором моментов сил таким, что

наконец, найден аналог характеристического уравнения Вейнгартена с помощью которого в принципе можно о.-ыскать все векторы вращения инфинитезимальных поворотно-конформных деформаций.

III. СПИСОК РАБОТ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Лейко С.Г. Ркманова геометрия. Учебное пособие.-Одесса: ОГУ.-Ь85.-75 с.

2. - Три-геодеэич екие отображения пространств аффинной

связности// Укр.геом.сб.-1976.-19.-С.90-99 ( FS Математика.-I977.-2A7S3 ).

3. -, Николеску Л. {NüoSttcu L. ) cA<LMf>s

I t

(f,<-i-i*icteztstific<.i //Ann, Tfru'vezs. Ьис-мхе^Ъс .-

"атс/. -IV3I.-T.30.-С. 13-22 ( РЖ Математика.-1982.-4А66Б ).

А /"» 1 *** 1 $

4- -- -iouifes ( F,...t F t X.....X)-cata.dreu-itCf,ueiH

Ann. UTuVe« . Sucuiutt . Mat. - 1985.-T.34.-C.30-39.

Сис\.<-оъ{. Тс^о^с^е-Ьис^щИ - 1939.-С.131-136.

6. -линейные /»-геодезические диффеоморфизмы касательных рьсслоени" высших порядков и степеней// Тр.геом.семинара Казанского университета.-1962.-14.-С.34-46.

7. --— Специальные /»-геодезические отображения пространств

аффинной связности// А ем. Ио^^.риге <уре 1932— Т.2?, .'ЯО.-С. 1003-1026.

3. - у0-геодезические отображении пространств аффинной

связности// ¿¿н+к./нле с! ^.-1933.-Т.23,.'Я. -С.3-27.

9. -линейные /»-геодезические диффеоморфизмы многообразий с ьффинной связностьс// <!эв. вузов. Математика.-1933.-' 5.-С. 30-63.

10. --Топология Зарисскзго и инварианты преобразований

аффинной связности// Сб. Топологическая алгебра.-Кишинев: Ь-тиинца.-1933.-С.41-42.

11 .- Закзны сохранения для спин-траекторий, порожденных изо-

гериметричесгкми экстремалями г^?эрота// Гравитация и теория относительности—Казанский ун-т.-IV33.-26.-С.117-124.

12 .- Поворотные диффеоморфизмы на поверхностях эвклидового

пространства// Кат.эв!. тки.-Ш.0.-Т.4?,*ЛЗ.-С.52-57.

13 .-Вариационные задачи дая функционалов поворота и

сгин-отображения псевдориуаковых :ространств// «1зв.вузов. Математика—1990—10.~С.9-17. { Р£ ¡.'.атематика—1991 —9Б674).

14 .- /-'-геодезические преобразования и их группы в к?~а-

тельнкх расслоениях, индуцированные геодезическими греоб-' рез^ваниями базисного многообразия//Узь. вузов. Математика. -19-?.-2.С.62-71. ( гл Математика-19-.3—2А604 ).

15. -Экстремали функционалов пзвэргга кривых псевдоркма-

кое-2 пространства и траекторий спин-частиц в гравитационных голях// Докл.Российской А».-1992.-Т.326, !>М.-С.659-664.

( Р£ кчтематика—19.3—6А630 ).

15, - ¡юьоротные преобразования поверхностей// Укр.геом.

сб.-1993.-36.

.17. .. ■ Р-геодезические сечения касательного расслоения// йзв.вузов.Ь'.атематика.-1994.-л/3 .-С. - .

13. - ¡^финитезимальные поворотные преобразования и деформации поверхностей евклидового пространства// Докл. Российской Ап—1994—Т. . .С. - '

Э,——, Мосяндэ В.А. Экстремали поворота 2-го пор.-.дка в римановом пространстве и траектории спин-частиц в гравитационно« поле// Гравитация и теория относительности. Казанский ун-т.-вып.-1992.-^.72-30.

SO.-,Синюков Н.С. К обобщению почти геодезических отображений пространств аффинной связности// б-я Всес.геом.конф. Тезисы.-Вильнюс.-197Ь.-С.137.

21. —-,-Об одном типе три-геодезических отображений//

Всес.научк.конф. по неевклидовой геометрии "150 лет' геометрии Лобачевского". Тезисы.-Казань.-К76.-С. 117.

22.- -Линейные три-геод-зические отображения пространств

аффинной связности, обладающие свойстьом взаимности// Деп. ВИНИГИ.-1976.-.'Г'3176-76.-32 с. ( F& Геодезия и аэросъемка.-1977.-I. 1.52.221 ).

£3.——Линейные 2-геод зические погружения многообразия в его касательное расслоение// 7-я Всес.геом.кокф. Тезисы.-'Минск.-КТО.

24 .-/'-экс.ремалн и /> -экстремальные отображения// 8-я

Всес.няучн.кокф. по современные проблемам геометрии. Тезисы.-Одесса: ОГУ—I9S4.-C.&.■

«5.--Поворотные отображения римановкх пространств и ¡с? приложения// Бсес.ккэла "Оптимальное управление. Геометрия и анализ". Тезисы.-"емерово.-1986.-С.92.

25 .--0 cmiH-KOHipjpwHtnc дафф: орфизмах пс-звдоркманэвнх

пространств// 9-я Всес..',соу.к,ж$. .'Тезисы.-Кюинзв.-1933.'

27.-Теорема существования э'^тремалей поворота на поверхностях в £s и поворотные диффеоморфизмы// Есес.школа "Оптимальное управление. Геометрия и анализ". Тезисы.-Кемерово. -К 83. -С. 52.

23 .- Sfc*. - cU-fj он ike. psc.u.da li'C».«^^

л CoPfop.en. ^Лг UcfjL. . Au^-iai-

20-26, 1989,- Ef-Съ. .-19ЭЭ .-C.3I-32.

2S.-Бесконечно малые поворотные деформации поверхностей//

Всес.совещание молодых ученых. II.Абрау-Дюрсо.-Тезисы.-Ростов-на-Дону.-Rt0.-C.54.

30.- Свободные и изопериметрическке экстремали поворота

кривых псевдоримаксва пространства. Сгин-диффеоморфизмы и их приложения// Дпфференциально-геометричесхие структуры на ! чогосбразкях и ¡~ приложения. Всесиюзн.геом.школа.

Черновицкий ун-т. Черновцы, 1991// Чеп. ВЖИГИ.-1991.-'Í562-B9I.-СЛ7I-176. ( FK катоматика.-1991.; 8Д635

31 .-, Аль X; син 0. О поворотно-конформных диффеомор

физмах// Деп .Укр .НИИЛИ.-1991. -'652-У tó I .-18 с.

32 .-,-поворотные квазиког,циркулярные диффеоморфизмы римановых пространств// Деп. Укр.НИЙ/ГИ.-Кг'Л. "»138о-У ь91.-21 с.

33 .- 1зопериметричн1 екстремпл! повороту пз говерх-

нях в £*// ¡.аучно-метод. онф.по математике, посвяго. 200-летию со дня ро...д. н. Л. Лобачевского. Тезисы.-Одесса: 0IY.-I992.-4.I.-C.75-76.

34.——— Об о,дном обобщении теоремы Ujiepo// ¡¿er, • т&рэдие научн.кокф. "Лобачевский и современная геометрия" Тезисы .-Казань.-199?.-Ч.I,-С.50 ( FS Математика.-1193.-ЗА52Э ).

АН0ТАЦ1Я

1ейко С.Г. Диференц}альна геометрхя узргадьнено-ге..рэичннх в!до5ре*ень кноговад!э i Ix дотичн-лх ро?,:~рувань. Дпсегглцгя на здобуття вченого стуг^.,я доктора ф1эико-м?тематичиюс наук го снецтольнос i 01.01.04 - Геометрхя i то: лих in, Ф Т í !i Т ím. B.l.BepKÍna HAK", Харкхв, 1995.

Р-геодезичнг крив i i -геодезичн! вгдображешя на псегдзр1мг.нс вих просторах с узагальнелня геодезичних ;:рив:зс i геодозпчннх в1д ;бгг жунь на баз! ooopiT кривин Фреп . лналогтчно, екстремал: 'овороту i поворот :о-геодезиг:н1 воображения - Тх уэаггяьпошш на базх варх. цгй-ноТ TeopiT. Вивчен1 ochobhí рхвняння таких хпдзбражень ( bírpobíbío для дифеоиорф!?"1в, занурень, ¿нфЬйтезимальгих перетворень * деформо-ц1й ). Ризуль^ти мають фундаментальней характер для диференц1альпо! геометргГ вгдображекь просторов а аффгнними зв'язка^и i ix дотичних розпаруваш . Знейденг засто^ування цих результат: п в'динемхцх cníh-частинок i .^еханщ1 пружних оболонок.

¡лючовг слова: ъгдображення, многовиди, афЫннх ер'язки; pivaHOBÍ простори, дотичзп розпарувакня, /г-геодезичн: кривт, зкетре-^•pлi йун.кц!онал1в повороту.

-Jl-

ANNOTATION

Lviko S.O. Differential geometry of gci.;rali~id gcodcsic mappings jnto manifolds and its tangent bundles. Doctoral disser'ation for physics ind mathematics sciences of specialty 01.01.04 - Gee netiy and T jj ology, FTINT by BJ.VerkinNANlt, Kharkov, 1995

P-gcodesic curves and p-gcodesic mapping? onto pseudo-Riemanni-n spaces are generality from gcodesic curves and g»odesic mappings on the base of the theory Frenet cu.'vatures. By analogy, extremals of rotation and rotaiy-gc >desic mappings are generality on the base of variation theory. Principal equations were studied for these mappings (respective for diffe^moiphnnis, immersions, infi itesimal transformations and deformations). Results has fundamental character for differe itial geometry of mappings onto spac i with afFLie connections and its tangent bundles. Applications of these resuhs into dynamic of spin-particle? and elastic she!'* is obtained.

Keywords: mappings, manifolds, afiine connections, Riemanniai. spaces, tangent bundles, p-geodesic curves, extremals of functional of rotation.

Шл. »о .-руку 10.12.91 Формат 6'>2*8-1 Ilnnip

лрук № 3. Лрук офссгшш. Тираж 400

Лминка онерптивно! iio.iirparJ>i*i ОД"