Дифференциальные свойства действительных и комплексных функций и критерий голоморфности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РГ6 од

2 О СЕ!!

Акадышк паук Укрвшш Институт катеиатист

V' - '

На правах рукописи

И'-ЧУРЛДСЗ Даря ДурдаеЕИч

дяффшзпешышг свойства деястшгшыш й ксииекмшй фушсш'П (Т КРИТКРКП го/юмпрстосги!

01.01 ли - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени КПНДИДЯТП фйатг.0--МтРМПТП4еС'РИХ НЯУК

Киев

Работа кашноао в отдела топшюгичвспза мэтодов шалхз* Института математик»; ЛН Укртши.

Научный руковсетто.-ъ:

доктор ©гашсо-мэтеуатических наук, профессор ТРОХШЧУК Ю.Ю.

0.1 ¿¡тяалышз отгонит;:

доктор фпзтю-мэтэматичэскях пая«

20РКП Н.Б. рандидзт '<5язико-математичэских наук ГОГЛЕШО С.В.

¡•Х'луй-аг. оргашлацял! КвовстаЛ государственный универ^ит?'

т. Т.Г. Шевченко.

вшита состоится *Л1 » 199 В г. в /Учасз

па госэдзшщ спецаалазкровашюго совета Л GIC.G0.01 при Институте »штемзтаьц ЛИ Украави по адресу:

252601, Кией-4, ГОП. ул. Терещгнковская, 3.

С диссертацией коино озячкокитюя в библиотеке Института. Автореферат резоолчи _

УчэшгЗ секретарь _ ( )

"пгютялияярорэнногс совета ^ у . Гус?к Л.к

OS&W ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность г.еды. Дифференциальные свойства функций исследуются на протяжении долгих лот и, несмотря на это,не теряет своей актуальности. Основным толчком в развитии этой теорий явилось появление в свет работ А. Лебега и А. Данжуа. В книге А. Лебега "Интегрирование а отыскание примитивных функций" автор строит нэ только новый интеграл, но и дает первые основы теории дифференциальных свойств функций. Дальнейшее развитие эта теория получила в работах H.H. Лузина. В.В. Степанова, А.Я. Хинчина, С. Сакса и других ученых.

Следует отметать идеи В.В. Степанова и А.Я. йгачина, которые привела к теперь уже общепринятому определена» асимптотического предала» асимптотической производной и т.д. (при?'1 стае, например, и и существенному обобаени^ интеграла Данауа).

Исследования, свяэенные с дифференциальными свойствами произвольного множества в евклидовом пространстве к™ сала начата Г. Бу.та-ганоя и продолжены А.Н. Колмог ровым, И.Я. Верченко и О. Роке и др.

Настоящая работа продолжает эти исследования. [(ель работы. Изучение структуры контингента-: гранке непрерывной функции как в отдельной точке, на произвольном кногэстве, тая и на множестве второй категории} получение новых критериев ДйМерея-цируемости действительных й голоморфности комплексных функций.

06у?2Я, ¿mgörna. В работе используются топологические я функциональные свойства отображений, известные методы теории функций как действительного, так и комплексного переменного.

Научная нос^эна. Все результаты, пзлояенпае в диссртсцгот, являются новыми. Получены: ;

- характеристики структуры контиягенши гренка произвольной непрерывной Функция многих переменных:

хррпктеристкки структуры контянгевцгл произвольного т -мтюгиобрадяя, лежащего в на мяотлвстве второй кат? ории;

а •

- категорий! аналог теоремы В.В. Степанова о ' . дкЗфэронцируеыостЕ функции многих переменках;

- повив критерии голоморфности функции.

¿■ШК^ЗЧив^-ЕОйО^• Результаты диссертации докладывались во -Есесоюной математической школа "Теория потенциала" (Кацивели, 1991), на IX международной козфгранции по топологии и е- приложениям (Киев. !992), бо Всесоюзной математической школа "3 сучасних патань тоорП Фушэд13 та тополог!!" (Кацавел!, ХвЭ'3 р.), на научно- практической коифоронцаа "Яифференцаашше уравнения и их щшогеная" (Ашгабат, 1833), таш> на сашшарах отдела "Топологических ыэтодоз ¿аялпза" Кнстигута математики ¿11 Укркпш (под руководством проф. й.Ю. Трозшмчука).

НиОлтеаци... Основные результате дассзртецаи опубликована с рьЗотк (1-61.

ОбоОА диссешти. .^ссертацаошая работа состоит из введешш я ч^х глав л составляет страниц машинописи.

рсСотн

Во введении дается краткий обзор результатов, ■ связанна* ■ тематикой диссертации, и приводятся хронологическая акнотяютя подученных результатов.

Первая глава пссветзиа ¿зучбнкю структуры контингеншя как произвольного кноааства так и произвольного многообразия в к*1'''. В первом параграфе рассматриваются проблем углубленного изучения гг.ректэристил! КОНТИНГ0НЦИИ произвольного многие тез овклидового пространства к*1*', в частности, контингент® графика произвольной непрерывной функции u=/(x), жп.

Вводится следу гдеэ определение.

Определение ГЛ.Г.

Континуум К па цилиндре ' »р ' (и на S™, когда К нэ содэржг

бесконечно удаления. т '.ек too) назовем регулярных, если каздая образуйся едлтадра (полдоридган сферы) пересекает его по свяс...ому кнотастзу.

Точка 10=(ф0,й) щшвдра прзнадлэяят цилиндрической

котггянгенции грзфзка Г, есла найдется последовательность точек л^еГ такихj что:

1) последовательность лучей сходится к некоторому лучу

Tcsnf'; прл этой:

а) I но параллэлзп оси ш; тогда пересечение Tncf над лучом <ро обозначь.? через й ;

б) если I параллелен осп си, то w есть явсоботвэппнэ точки

too т Сп над лучом фо;

луч (fwp является полукясательнсй для последователя'"■ста.

точек пп А.. ' к

S

Pbowtbo все." твгапс ?оч9к пвзоэем Ht'-'iктчшнге" •

цией графика Г в точке Ад и обозначим ее через contg^AQ. Доказывается следующая Теорем 1.1.1.

Цилиндрическая контингвшдая графика непрерывной функции и=/(х), xeDc Rn В каждой точке АеГс кт+', ГД9 Г-график функции fix), есть регулярный континуум! и наоборот, для всякого регулярного континуума К на 0е найдется непрерывная функция и=/(х), граф» которой в некоторой его точке имеет цилиндрическую контиг. :нцшо, совпадающую с этим континуумом.

В доказательстве этой теорема используется следующая Лелла 1.1.1.

Пусть P(tp) и Q(<p) полунепрерывны, соответственно, сверху и ллзу функции на Sm~' , причем Р(ф)ХЗ(ф) для всех .

Тогда множество точек

есть регулярный континуум на цилиндре (Г = Во втором параграфе рассматривается особенности структуры кон-тингенщш графика липшицввой функции и доказывается следующая Теореда 1.2.1.

Е-ли функция и=/(х), где jt« R*1, лигшицева с липшицввой константой I, то контингенция графика Гс ' этой функции ограничена лигг-шицевыми краями Р(ф) и Q(<p) с той же константой , что и для fix).

Кроме того, доказав аналог классической теоремы Бэра для много значнэго отображения «if+contgjx (®:x-»conig®T). Теорела L2.B.

Существует множество Е'сЕ всюду второй категории точек полунзпрв-равностй сверху отображения 4tx+cornig?,x,

По изучению структуры mmmrmmt произвольного и-многообразия доказана еледакцая теорела l,S.3t

Для произвольного morwopssm Г1*«- вв mam ствч второй кягчм рии сферическая контйнгенш''- будет лишь йвук типов:

1) полная сфера S-,

2) цэнтрально-симмвтгриинй гфчтескю» пояс ч я*,ума гферпргки &ч пуклаш краями.

s

В третьем параграфе этой г лазы приведена различные- ирзслэри. Кроме того, с помощью приведенных теорем дано другое доказательство известного узерздения о том, что мнсеэстзо моногенности для /(2), имеющей производную в некотором нагграв лекни, имеет:

n.(/)=(-4UB)\Ini (Ж1В), где Л и В-некоторне круги.

Если в теории лебегова интеграла основным понятием является цэра, в частности, множества полной меры, то для дафферзшг*алыш свойств оказалась ближе кэ так мера, нак категория. Например, известно, что существование часа.^х производных функций многих верэ-мвнаых даже почти всюду не обеспечивает диффэревдируемости ее хотя бн в одной точка. О другой стороны существование таких производных на множестве не первой категории (пусть даже меры нуль) означает, что в некоторой подобласти функция будет даже ляпшицевой, а значит, и дифференцируемой почти всюду в этой области.

0 этом плане H.H. Лузин поставил следующую задачу: "Существует ли Ф(2), имг'зщая fix) своей производной в точках множества второй категории (хотя бы а меры пуль)?" Решение этого вопроса принадлежит E.U. ландасу. Здесь доказана, с целью уточнения формулировки его решения, следующая

Теоре'л Я. 1.1.

Для того, чтобы fix) сила производной некоторой непрерывной функций на MHoseom второй категории, необходимо и достаточно, «оба на некотором кноявства 2 второй яэ категории, ограничение /|й было кепроршш. При этом, если такая fix) задана, то функцию 3U) могло предполагать Ж7-функциэй.

Йдась сущвствэнэим отличиям от репения В.м. Л9"дпса являйт^ to, что примитивную ®(.г) мошо построить как /СчЬ (дают».

Определение 2,1.1. Скажем, что некоторое свойство Р вдае1? место почти во-пду на что еёсike EcD(fc к*1) б юяшеорнол <wacr.<&» если оно илтол?»лятоя кг.я в«'«» точек х*Ё, исключая» возможно, его поямйгч»«'ггьо wis-*» j'o-wcpM (ottoCHTöJftfio De к").

Во втором тфагр»!*. доказывается 1сч1»гор"»« maror «.nev teofw?M4 P.B. КОТОрВР f UnfW!

Теорем 2.2.1.

Для того, чтобы / была дифференцируема почти всюду на Есрс к*1 в категорией смысле, необходимо и достаточно, чтобы почти вевду на Б (в катэгорнок кэ сшслв) существовали производные функции / вдоль и линейно независимых напр влений.

В третьем параграфе этой главы для изучения .лффэрвнциальнше свойств функций вводится новая ферма контингещщи. Берем конкретное направление <ро и соберем все производнне числа по этом;, направлении. Обозначим наибольшее и наименьшее из них через б(сро) и Р(ФС), соответственно. Каждому фвэ"1"' соответсвует отрезок [<2(ф),Р(ф)1. в частности,точка. Здесь, вообще говоря, функции <3(ф) и Р(<р) не являются полунепрерывными. Объединяя эти отрэзки но ф (здесь множество значений ф континуально), получим

оок^А = и„_,сд(ф),Р(ф)]. фея™ '

Отличие ее от обычной контингента! заключается В том, что здесь множество производных чисел по направлению не заполняется за счет соседних направлений. Именно поэтому, в этом случав 0(ф) и Р(ф) не являются полунепрерывными, и в общем случае соШв^А даже не связна (см. -еллу 1.1.1.).

Легко видеть, что со'м^А с обычной контингенцией совпадает

лиаь в том случае когда функции 0(ф) и Р(<р) полунепрерывны, в противном случае при этом, вообще говоря, первая неплотна во второй.

Доказана слздугаая Теорела 2.3.1.

Пусть /:1мя' ,;>г -непрерывная функция. пусть -множество всех точек, в которых сшв^А, содержит по крайней мэре два неполная гтолушрцдиепа. Тогда мнояеетво Ё четь ютогэство ткла ¿'0 и почти па-. аду па Е функция / всЕ»Я1тотичоскй'"да4феронцйруема. При этом, если Гп<г««!,т.в.г-Н9 первой категории, то на ШЕ существует всюду влот-открытое киохвет»'"' 0. на котором функция f дкффор^ннирурмя

,гт Бспду в Обвг»»«» 'ЯДЫСЛЧ.

япп даотчадлр^г'Г' ■ "луппя лхотгог-те «л«ду*та« результат:

Гесрэ.т 2.3.2.

Пусть EcD-KHOîSCTBO всех точек, в которых COÍUgjU, ДеГ, СОДер^ЭТ наполню полуиэродиаЕЫ вдоль п Л'аюйно нззавискса направлений. Тогда глсг.9стзо Е есть гдшпество типа Р0,причем, если IntE¿0 '(другими cr.0B£!."a,EcD-iia первой категория), то на IntE существует всюду плот псе открпсэ шкжество 0, на котором функция / дифференцируема почти войду в ойц'шом с;лыслэ.

Известная гипотеза о голошрЮости функции комплексного пере-изкасго гаодт дм того, чтоби непрерывная Функция } Сила голомор$-Еой з своей области определения, необходимо » достаточно, чтоса мпо íscíDO гоногепЕоста П„(/) з каждой точке этсй области не било ни ползой плоскостью, на полной округлостью. Известно танке, что эта гипотеза в определенном сшслэ сводится к случаи, когда шкжестпа .'■ояогенностп являются подлюзествачи прямы* лкнай на плоскости. За m случай сил расспотрэн в роботах U.U. Тара, C.B. Горлаяко.Э.О /ишу• лова.

Третья глава дассартацпя посвяпана доказательству следуй«/-: Солее обдеП теорема, которая схзативзет все прэклиэ результаты.

Тс-орэ^а г 1,1.

Пусть /:&»c-KñíipspunH03 отооракзнкв, и пусть для каждой точки «б ласти исндючая ко болзэ чей счетное их кногзство, кнездетво мояо гэпаосп: îî (/)' является нигде нэ шготнкм континуумом, не явлотгсрмсй пс-ласЯ опругиоотоа. Тогде футяшл /(г) является чяядач'ичйпго» «

•TPPTÎt Р.

Освдвэиэ тщокашт дасертацйй опубйшовааы в сладещвх рвботахг

». йщдхзЗов М.М. Твореу о ксйтингештк пшерповерхноотай евкли-дового проо?ранс1ва//У8р. мат. журя.-1892.-44, 1 .-0.1484-1490. ИлжураОов Д.Д* Катвгорнай теорема о континтвшдаях гиперповерхностей евклидовом простраяетва//У£ф. мат. «ура.-1993.-45, ®3.-0.378-383.

3 ИллуроОов Д.Д.Категорная теорема о существовании примитивной фуккщш//Тоз. докл. IX Международной конференции по топологии . г ее приложениям, Киев, 12-16 окт, 1952 г.-Киев, 1992.- С -.19. * Иллурадав Д.£. О даф&эрбввдальных сво®отвах действительных функций. -Киев , 18&с-.-1В о.-(Препр./АН Украины Ин-тютекатшт} 93.ЕЗ). ■с. и.щ/рдбсв Д.А. КатегораыЙ аналог теоремы В.В. Степанова /Лр. наутн.-врякт, кокф. "ДгНерэнцвчльшэ уравнения к ш пршгойе-нияи,Айгаб«т. и-14 мая 1993 г.- Ашгабат, 19аЗгЧ.2.- с . 93. Н-Щродов 2М, Об одном критерии голоморфюсти фушшш.-К,и«в. 'Г'9Э. -10 о.-'Пр««р./АН Укртпт, Ий-т мятемят«ти} 93.Я8>.

Полп. в печ. 14-С-93- Формат 60x94/16. Бумага тга. Сфо.- яэчйть Усл. rm. л. 0,69. Усл. пр.-отт. 0,69. Уч.-изд. л. 0,4. Шрэя 100"экз. Згн.<?£? Бэсплптао.

Подготовлено и отпечатаю в Шститутэ метемзтиют ¿Ш Уярсгеш 2P?çnt Ки"? i, ГСП, ул. Тег?Щ9НК0РСймг 3. •