Дифференциальные свойства и критерии голоморфности комплексных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Академия наук Украины Институт математики

На правах рукописи

АЛЕКУЛОВ Згпуяат Ононоизч

дакжтапщлыш свойства и шшет голк.юргиости КСШШЕКСНЖ ФУНКЦИЯ

01.01.01 - математический анализ

Автореферат

дассертащта на соискание ученой стеггета кандидата фазгасо-математэтескиг паук

Киев - 1992

Работа выполнена в отделе Топологических методов анализа Института математики АН Украины.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор ТРОХИМЧУК О.Ю.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор ТАМРАЗОВ П.М., кандидат физико-математических, наук, САФОНОВ В.М.

Ведущая организация:

Киевский Университет им. Т.Г. Шевченко.

Защита состоится " 199 £ т. в ?^часов

на заседании специализированнбго совёта Д 016.50.01 при Институте математики АН Украины по адресу: Киев 4, ул. Репина, 3.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке институте.

¿отог-яферат разослан

■Й?» ¿^¿[/1? 199 ¿-г.

Ученый секретарь "гсциоет^зированного совета

Гусак Д.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

AljrJja^bHOCmbjRexu. Являясь одним из основных разделов анализе! дифференциальные свойства функций и множеств вот уже несколько столетий притягивают к себе внимание математиков. Считается, что по-настоящему серьезные исследования дифференциальных свойств функции начинаются с работ А. Лебега и А. Данжуа. Исследования били продолжена и существенно развиты в работах H.H.Лузина,В.В.Степанова,А.Я.Хинчина.С.Сакса и других математиков. Следует отметить важные идеи Хинчзша, которые привели его к теперь уже общепринятому определению асимптотического предела, асимптотической производной и т.д. (приведшие, например, к существенному обобщению интеграла Данжуа).

Настоящая работа является одним из продвижений в етой области.

Цель работ. Изучение связности графиков производных множеств функций, получение новых критериев дифференцируемости и голоморфности комплексных функций.

в работе используются топологические и функциональные свойства внутренних отображений, известные методы теория функций как действительного, так и комплексного переменного.

Нщ/чмая_»обузнд. Все результаты, изложенные в диссертации, являются новыми. Получены:

- условия связности графика производных множеств в случае вещественных фушигий шюгих переменных и в случав комплексных функций одного переменного;

- новые критерии дифференцируемости комплексных лнппящевых функций и голоморфности функций о прямолинейными множествами моногенности;

- полная характеристика множеств моногенности на множестве на первой категории в случае, когда они нигде не плотны.

Результаты диссертации докладывались на "Нйшвродахй матенатичнШ конфервнцН, присвяченВ! 100 - р!тш з дня нвродаэиня 0.Банаха (г.Львов, 1992), во Всесоюзных математи-Тлческих школах "Комплексный анализ" (Кацивели, 1990) и "Теория потенциалов", (Кацивели, 1991), па семинарах по "Топологическим

методам анализа" Института иатеыагики АН Украины.

Пивлшсщиц. По теме диссертации опубликовано 4 работы. Объел тойот Диссертационная работа состоит из введения и трех глав.

Содержание работы

Во введении дается краткий обзор исследований по теме диссертация.

Первая глава посвящена изучения связности графика производных множеств.

В первом параграфе приводятся известные факты о связности подобных множеств, когда / задана на сегменте [а,Ь], в доказывается следующая

Теорела 1.1. Пусть 0= «"и /:£>—функция 1-класса Бара,

такая, что /(&и)с}(0) для любого открытого шара £М), где бсС. Тогда график отображения / связен в кп'т .

Схема ее доказательства используется в дальнейших теоремах настоящей главы.

Во втором параграфе вводятся множества

л

е>0

где

/(х1.... .... ,хп)-/(х1.... ,хп)

,0<|ах41<Е

которые называются множествами частных производных чисел по

переменной функции /:!>-»«,, ХИКП в точке л>(Г(,...,Гп); Ш(1),

вообще говоря , состоит из двух компонент: множества

• (11 ® правых (т.е. при Дг.>0) и М"1 'левых (при Дх.<0) частных произ-

/(1 *

водных чисел. Соответствие осуществляет многозначное

V

х

отображение области й в к, обозначим ее через срг. Отметим,

что ф^р обладает множеством всюду второй категории в О точек полунепрерывной» сверху.

Теорвла 1.2. Пуоть /:0->К(, 0=Кт - непрерывная функция и пуоть а каядой точке &Ф множество Я(х1>связно. Тогда график многозначного отображения

Т.в.1Уф={(X,хеИ, еоть связное подмножество игп+'.

Из последней теоремы вытекает

Следствие. Пусть /:0—>ж'.Сык"- непрерывная функция, облада-щая конечными частными производными ¿>//<*г( в каядой точке даД, тогда множество

1М(х, £))-связно.

В теореме 1.2 единственным условием овязности цнояества является связность множеств И^3 в каждой точке области определения функции Известно, что множество моногенности ТОг(/) (которое совпадает о множеством производных чисел) комплексной функции / всегда является связным ыножеотвом, поэтому естественно было ожидать связности графика производных мнояеств и в втом случае. Но оказывается, что вто не так. Был построен приыер(см.ст.С.В.Горленко я сб. "Некоторые вопроси современной теории функций" II. 1976) непрерывной функции }(г), для которой соединение 2уоИ2(/)=с2 связно, но расстояние р(2^0Иг(/) ,ГО0(/) )>0.

Те« не менее, во второй параграфа при дополнительном условии доказывается следующая

Теорема 1.3. Пусть / - непрерывная п к-даффэренцирумая функция в области О комплексной плоскости с. Тогда график многозначного отойраггания

т.¡2-» та г л V-----'

т.е. Ъф ■={(2,С):Л<ьО,С«В2(/)} есть связное подмнояество С (г,С). В ее доказательстве используетая я существенно дополняется конструкция знаменитой теоремы Стоилова о простой дуге.

В втсы ее параграфе доказывается И свойство более "сильной" ейязностя при тех ве условиях теоремы 1.3.

Теорела 1.4. Пусть / - непрерывная и R-дифференцируемая

функция в области BdC, zQ- произвольная точка D. Тогда для

произвольной точки (/) существует последовательность

z0

(zn},n=1,2,...,такая,что и расстояние

р(В„ ,С>—0 при П-*оо . zn

Во второй главе получены новые критерии дифференцируеиости функции комплексного переменного в одной отдельно взятой точке.

Известно , что если непрерывная функция f:D—><Rl, ZteR* обладает частными производными в области D и в некотолой точке ее они непрерывны, то / дифференцируема в втой точке. Имеются много различных обобщений и усилений етого весьма полезного утверждения. Например, нетрудно показать, что для лишпщевой функции / (вещественной или комплекснозначной) существование пределов ее частных производных в некоторой точке по точкам дифференцируеиости такта приводит к дпфференцируемости в такой точке; при отом наперед о существовании частных производных в ней ничего не предполагается. К сокалешпо, в общем случае ото утверждение неверно: если взять, например, произвольную сингулярную монотонную функцию <р(х), ie[a,b]<dR4, взять точку xQ, где ф' {XQ)-+oa, и положить J{Z)~ -f(x+ly)=<р(х), то в точках z=xQ+iy ваше последнее утверждение не имеет места.

В нашем случае дифференцируемооть комплексной функции f в точке дает дифференциал . Оказывается, что

для дифференцируемости комплексной функции J достаточно существования лишь одного предела Ilm fg, либо Ilm /-, конечно вто доказывается в случае, когда функция лзшшщева, зато пределы Ilm Ilm J- можно гокгмать как acutmamiSOSUS.

В первом параграфе главы приводятся интегральные оценки, вывод которых потребовал весьма тонких рассуждений.

Рассмотрим в области D комплексной плоскости С функцию / , удовлетворяющую уоловию Липшица:

для произвольных г^Ь. Пусть —>0 при г—*гд асимптотически. Это означает, что существует измеримое в смысле (двумерной) меры Лебега множество Ч(г0),имещие г0в качестве точки плотности, вдоль которой имеет обычный предел при г Введем обозначения:

Иез(КгпЦ) Кеа(Кг\0)

--- =1-0(г), --- «3(г),

Ыеа{Кг) Меа(Кг)

в наших условиях 0(г)—Ю, при Г—»0.

Теореш 2.1. Пусть /еЫр(О), Д=с и /- —»0 асилтошчесии,

при г—»2ф. Тогда справедлива оценка

Г(г0+Ю-Лг0) 1

гп

/(ОЧС

(С-20)2

< Е(г)яг(г,пнга12(г,п).,

гда е(г)-аир еэз|/-|, 11,, Нконстанты, зависящие от г и Л.

Во второй параграфе главы доказывается основная Теорела.2.2. Пусть £ьс и —<0 асшттотжески,

при Тогда / моногенна в точке г0.

Доказывается, что при втои имеет место следущая формула:

1 Г /Ю^С / (г0)=1епг--

г%1 1 (С-2-) 2 0

В третьей параграфе приводятся следствия и приложения осношгой теоремы.

Георела 2.3. Пусть и в некоторой точке г^Т) суще-

ствует асимптотический предел при 2—*20 либо производной либо /-. Тогда / дифференцируема в точке 20, причем соответствующий коэффициент дшйерепцяала с?/-/ й2+/н£з равен этому предельному

значении. Второй коэффициент при егом находим по формулам

1 [" /{C)dC

2 0 r-*o Zicl J it-z0)2

либо

1 Г /«)dc

/„(z.)= Ztm - n„j ■■ I-

2 0 r^o ^^ J (ï- z0)

2

o'

Задача о структуре множеств моногенности 5Ле на множеатве всюду второй категории до конца не решена.

Основная теорема позволяет описать Kz в одной частном случав. Именно, справедлива следующая

Теорела 2.3. Пусть /ellp(D) и на множестве Есд не первой категории множества моногенности 3Rz (/) нигде на плотны. Тогда в £, исключая многество первой категории, Ш2(/) являются либо окрукноотями либо точками, а сама функция / дифференцируемой.

Как правило, всякое продвижение в теории дифференциальны! свойств комплексных функций обычно приводит к новым критериям голоморфности таких функций. Не является исключением из етого правила и настоящая работа.

йгЕеетнад гипотеза о голоморфности функци и комплексного переменного гласит: для того, чтобы Е5цряршшая функция / была голоморфной s своей области определения, необходим и достаточно, чтобы мноаество моногенности Blç(/) в каждой • точке втой области не было ни полной плоскостью, ни полной окрукноотью. Известно также, что ета гипотеза в определенном смысле сводится к случаю, когда множества моногенности являются подмножествами прямых линий на плоскости« йто? случай был исследован "в работах W.M. Тара, C.B. Горлйнко и различными

г

методами Сило доказано, что если множество моногенности непрерывной функции в области определения ее является подмножеством прямых Р- плоскости, то такая функция является голоморфной. При атом под Р- плоскостью понимается расширенная комплексная плоскость с топологией замкнутого круга (где бесконечно удаленная точка рассматривается как граничная "окружность" бесконечно удаленных точек (оо,а):(Kas2x). Справедливости гипотезы в случае, когда множества моногенности Kz(/) являются подоножествами прямых расширенной комплексной плоскости с обычной сферической топологией, и посвящена третья глава.

В первом параграфе главы приводятся известные вспомогательные утверждения. Приведем некоторые из них. *

Лелла I. Пусть U=/(z) - непрерывная в области функция.

Если в каждой точке 2 множества Е не первой категории в D множества моногеннооти Кг(/) на содержат точку С=0, то найдется подобласть dQc:D, в которой f(z) однолистна.

Jlexta 2. Пусть ttf=/(2) -непрерывная в области Dec функ^цд и Р-соверпеннов инокество в области д. Если для каждого zsP ¥lzif) не содержат точку то найдется порция PQ множества Р, на которой /(Z) однолистна.

Лелт 3. Пусть W*f{2) - непрерывная в области D функция. Если из mEGHSGISS 5 первой категорий 5 D иКОлЗСУва К„{/) ограничены ( т.е. принадлежат некоторому фиксированному кругу плоскости С), то найдется подобласть ct0<=D, в которой /(2) удовлетворяет уоловнв Липшица.

Лелт 4. Если для непрерывной в области D функции !«=/(£) множества моногенности ограничены в точках совершенного инокества Р, то найдется порция PQcP, на которой функция /(2) удовлетворяет условии Липшица.

С помогав зспомогательншс утверждений, приведенных в первом параграфе, ао втором параграфе главы доказывается следующий вариант вышеуказанной гипотезы:

Теорела 3.10. Пусть аt»/(z) - непрерывная в области Дьс функция. Если для каздой точки Z&D, исклвчая не Солее чем счетное их множество, множество моногенности 5П (/) является подмножеством

прямой расширенной комплексной плоскости со сферической топологией на ней, и при той не выроадается в бесконечно удаленную точку С=°о, то /(г) голоморфна в области 2).

Отметим, что при ее доказательстве существенно используется основная теорема второй главы.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих

работах:

1. Аликулов Э.О. О связности производных множеств//Всесовпал математическая школа "Теория потенциала" Кацивели, 26 шпия-3 июля 1991г.: Тез. докл. Киев, 1991.-С.4.

2. Трохимчук Ю.Ю., Аликулов е.О. Об одном условии

дифференцируемости плоских отображений/Д11Ю1ар0Д!ГО I МБТ8-матичноП конферанцП, присвячено! I00-pi44D народкешя О.Банаха, JIbBiB 6-8 травня 19Э2р.: Тез.докл.Львов, 1992.-о.74.

3. Аликулов Э.О. Некоторые дифференциальные свойства комплексных функций. - Киев, 1992. -HT о. - (Препр. / АН Украины. Ин-т математики; 92.24).

4. Аликулов Э.О., Горленко C.B. Об аналитичности функций о прямолинейными множествами моногенности. - Киев, 1992.11 о. - (Препр./ АН Украины. Ин-т математика; 92.29).