Дифференциальные уравнения и включения с производными в среднем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

на правах рукописи

АЗАРИНА СВЕТЛАНА ВЛАДИМИРОВНА

Дифференциальные уравнения и включения с производными в среднем

01 01 02 — дифференциальные уравнения Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 2007

ООЗОВВББО

003066550

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор Гликлих Юрий Евгеньевич

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор Белопольская Яна Исаевна

доктор физико-математических наук, профессор Каменский Михаил Игорович

Ведущая организация - Самарский государственный университет

Защита состоится ' 16" октября 2007 г на заседании диссертационного совета К 212 038 05 при Воронежском государственном университете, 394006, г Воронеж, Университетская пл , 1

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета

Автореферат разослан сентября 2007 г

Ученый секретарь

диссертационного совета

Ю Е Гликлих

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Понятие производных в среднем было введено Э Нельсоном в работах 1966, 1967 и 1985 годов для нужд построенной им стохастической механики (вариант квантовой механики) Уравнение движения в этой теории (так называемое уравнение Ньютона-Нельсона) было первым примером уравнений с производными в среднем Затем, например, в работах Ю Е Гликлиха было показано, что в терминах уравнений с производными в среднем также описываются движение вязкой несжимаемой жидкости, а также вихри в ней (например, в работе Хе 2001г) В работах Ю Е Гликлиха также было начато изучение уравнений с производными в среднем как отдельного класса стохастических дифференциальных уравнений

Во всех указанных выше случаях решения уравнений предполагались процессами Ито диффузионного типа (или даже марковскими диффузионными процессами) с известным диффузионным членом, так как классические производные в среднем по Нельсону описывают только снос диффузионного процесса Поэтому возникает задача построения иной производной в среднем, связанной с коэффициентом диффузии, что позволило бы корректно поставить задачу о нахождении процесса по его производным в среднем

К настоящему времени, начиная с работ Э Д Конвея, Ж П Обе-на и Дж Да Прато во всем мире активно развивается теория стохастических дифференциальных включений (см , например, статьи М Киселевича, М Михты и Е Мотыля и литературу в них в специальном выпуске журнала Dynamic Systems and Applications 2007 г) Однако ранее не рассматривались дифференциальные включения с производными в среднем несмотря па то, что они естественным образом возникают в приложениях и к ним могут быть сведены обычные стохастические дифференциальные включения

В связи с заданием сложных физических процессов уравнениями и включениями с производными в среднем отметим уравнение и вклю-

чсние Ланжевена на римановых многообразиях, которые описывают движение механической системы на нелинейном конфигурационном пространстве в случае, когда силовое поле системы подвержено случайным возмущениям (в случае включений - сила существенно разрывна или содержит управляющий параметр) В работах Ю Е Глик-лиха и И В Федоренко, а также Ю Е Гликлиха и А В Обуховского эти уравнения и включения были описаны в интегральной форме, поскольку не был известен дифференциальный вариант этих уравнений и включений, основанный на производных в среднем Во многом по этой причине в работе Ю Е Гликлиха и А В Обуховского 2001г была доказана теорема существования слабого решения включения Ланжевена только в предположении, что диффузионный член этого включения однозначен и непрерывен Так что возникла задача об описании этого включения в терминах производных в среднем и о разрешимости указанного включения в случае многозначной диффузии

Укажем также, что в современных струнных теориях квантовой физики активно используются бесконечномерные многообразия петель Поэтому важной задачей является исследование уравнений с производными в среднем на указанных многообразиях, что дало бы возможность применения в струнных теориях аппарата стохастической механики Нельсона

Цель работы Модификация теории производных в среднем таким образом, чтобы по заданным производным можно было бы найти соответствующий случайный процесс Описание уравнений и включений с производными в среднем справа, слева и с текущими скоростями (симметрическими производными в среднем) как в линейных пространствах, так и на многообразиях, в том числе на бесконечном многообразии петель соболевского класса Н1, и доказательство существования их решений, применении описанных методов исследования к задачам математической физики, в частности, исследование дифференциальных включений Ланжевена с многозначной диффузией на

римаповом многообразии

Методика исследований состоит в использовании идей и методов функционального анализа, современного глобального анализа, стохастического анализа

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми Наиболее важными из них являются следующие

1 На основе модификации одной идеи Э Нельсона построена новая производная в среднем (названная квадратичной), которая для диффузионного процесса описывает его коэффициент диффузии С использованием этой производной и классических производных в среднем по Нельсону описаны и исследованы дифференциальные уравнения и включения с производными в среднем справа, слева и с текущими скоростями (симметрическими производными в среднем)

2 Доказаны теоремы существования решений для дифференциальных уравнений и включений с производными в среднем справа, слева и с текущими скоростями в конечномерных линейных пространствах (для включений - с различными типами непрерывности правых частей, имеющих замкнутые выпуклые значения) Получены обобщения этих утверждений на случай дифференциальных уравнений и включений с производными в среднем справа на гладких конечномерных многообразиях

3 В терминах ковариантных производным в среднем описаны дифференциальные включения второго порядка типа Ланжевена на рима-новых многообразиях и получена терема существования слабых решений для таких включений с многозначными сносом и диффузией

4 Описаны и исследованы дифференциальные уравнения с производными в среднем на бесконечномерном многообразии петель и доказаны теоремы существования их решений

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер Разработанные в работе методы и полученные результаты важны для исследования задач математической физики

Апробация работы Результаты диссертации докладывались на международных школах-семинарах по геометрии и анализу памяти Н В Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2004, 2006), международной научной конференции "Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения" (Воронеж, 2005), Воронежской зимней математической школе С Г Крейпа 2006, на семинаре "Modelling Cellular Systems with Applications to Tumour Growth" (Бедлево, Польша, 2006), на международной школе IX Diffiety School (Санто Стсфано дел Соле, Италия, 2006), на международном семинаре 'Stochastic Analysis, Stochastic Differential Geometry and Applications" (Свонзи, Уэльс, 2007) и на научных сессиях Воронежского государственного университета 2004-2007 годов

Публикации Основные результаты опубликованы в работах [113] Из совместных работ [1, 6, 9, 11, 12] в диссертацию вошли только результаты, полученные лично диссертантом

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, разбитых на 14 параграфов и списка литературы Общий объем работы 114 страниц Библиография содержит 54 наименования

Краткое содержание работы.

Первая глава работы носит вспомогательный характер и содержит необходимые сведения из теории многозначных отображений, стохастического анализа, многообразий петель В частности, даются определения классических производных в среднем по Нельсону

Рассмотрим случайный процесс £(£) со значениями в К", заданный на некотором вероятностном пространстве (О, Т, Р) Обозначим через Еf условное математическое ожидание относительно а-подалгебры ст-алгебры Т, порожденной прообразами борелевских множеств при отображении £(i) Г2 —> Кп

Определение 1.16 Производная в среднем справа D^{t) процесса ^{t)

в момент времени £ есть Ь\-случайная величина вида

где предел предполагается существующим в и АЬ | О

означает, что АЬ стремится к О и АЬ > О

Показано, что для диффузионного процесса £(£) значение £>£(£) равно сносу этого процесса, в который подставлено £(4)

Аналогично вводится понятие производной слева Выраже-

ние + !)*)£(£) называется симметрической производной в среднем или текущей скоростью процесса £(£) В работах Э Нельсона показано, что с физической точки зрения именно текущая скорость является аналогом обычной скорости детерминированных процессов

В первом параграфе второй главы вводится новая производная в среднем следующим образом

Определение 2.1 Квадратичной производной в среднем справа D2i.it) процесса £(£) в момент времени Ь назовем Т, Р)-случай-ную величину вида

где £(£)) рассматривается как вектор-столбец в К", (£(£+

Д<) — £(£))* ~ сопряженный вектор-строка, предел предполагается существующим в Ь^О.,^, Р) и АЬ | 0 означает, что АЬ стремится к 0 и At > О

Показано, что для диффузионного процесса £(£) значение равно

коэффициенту диффузии этого процесса, в который подставлено £(£) Обозначим через 3+(п) множество всех положительно определенных симметрических квадратных матриц порядка п, а через 5+(п) -его замыкание, то есть множество всех неотрицательно определенных симметрических квадратных матриц порядка п

Пусть заданы измеримые по Борелю отображения a(t, х) и a(t, х) из [О, Т] х Мп в Жп и в S+(n), соответственно Систему вида

Dat) = a(t,№), (22)

D2№ =<*&№)

назовем дифференциальным уравнением первого порядка с производными в среднем справа

Пусть для правой части уравнения (2 2) выполнены оценки

tva(t,x) < К( 1 + ||а;||2), ||a(i,ж)|| < К( 1 + ||х||)

При этом условии в §2 2 доказано, что для любого начального условия существует слабое (в смысле теории стохастических дифференциальных уравнений) решение уравнения (2 2), если а непрерывно и положительно определено, а а измеримо по Борелю, или если а С2-гладко и неотрицательно определено, а а непрерывно (см теоремы 2 8 и 2 9) В §2 3 от уравнений мы переходим к включениям с производными в среднем Рассмотрим многозначные отображения a(t,x) и a(t,x) из [О, Т] х К" в 1" и в S+(n), соответственно

Дифференциальным включением с производными в среднем справа будем называть систему вида

I DÇ(t)ea(t,Ç(t)), lD2t(t)ea(t,t(t))

Определение 2.13 Будем говорить, что (2 7) имеет слабое решение на [О, Т] с начальным условием £(0) = xq, если существует вероятностное пространство (Г2, !F, Р) и заданный на нем процесс диффузионного типа £(£) = хо + /04 a(r)dr + /04 A(t)cIw(t) со значениями в Кп такой, что Р-пн DÇ(t) G a(t,Ç(t)) и D2^(t) G a(i,£(i)) при всех t G [0, T]

Для множества В в пространстве К" или в пространстве L(M.n, К") мы

определяем норму стандартной формулой ||В|| = sup ||у|[

уев

В следующем техническом утверждении доказано существование специальной последовательности г-аппроксимаций Теорема 2.12 Пусть Ф полунепрерывное сверху мно-

гозначное отображение с замкнутыми выпуклыми значениями Для любой последовательности ег —> 0 существует последовательность непрерывных ег-аппроксимаций для Ф, которая поточечно сходится к измеримому по Борелю сечению Ф Основным результатом этого параграфа является следующее утверждение

Теорема 2.16 Пусть - полунепрерывное сверху многозначное

отображение из [О, Т] х Ж™ в Ж™ с замкнутыми выпуклыми значениями и удовлетворяет оценке

Пусть а(Ь,х) является полунепрерывным сверху многозначным отображением с замкнутыми выпуклыми значениями из [О, Т] х Ж™ в 5+(п) и для каждого а(Ь,х) € ос(Ь,х) выполняется оценка

для некоторого К > 0 Тогда включение (2 7) имеет слабое решение

В теоремах 2 14 и 2 15 найдены условия существования слабого решения для включений с полунепрерывными снизу и измеримыми коэффициентами в правой части, соответственно Из теоремы 2 16 выводится теорема 2 20 о существовании слабого решения для дифференциальных включений с производными слева

В §2 3 также описано каким образом обычные стохастические дифференциальные включения сводятся к дифференциальным включениям с производными в среднем

Уравнением первого порядка с текущими скоростями называется система вида

||а(^Ж)||2<^(1 + ||х||2)

(2 10)

Ьха{г,х) < К{\ + ||х||2)

(2 11)

(2 20)

В четвертом параграфе второй главы доказана следующая теорема существования решения уравнения (2 20)

Теорема 2.22 Пусть V [0,Т] х Г ^ К" гладко и а Е" —> Б+(п) гладко и автономно (то это отображение определяет риманову метрику а{ , ) на МПу) Предположим также, что выполнены оценки

для некоторого К > 0 Пусть £о - некоторый случайный элемент со значениями в Мп, плотность вероятности ро которого относительно римановой формы объема Ка метрики а( , ) на К" гладкая и нигде не обращается в нуль Тогда для начального условия £(0) = £о уравнение (2 20) имеет слабое решение, определенное на всем интервале г е [0, Т]

Пусть у(Ь,х) и а(Ь,х) - многозначные отображения из [0 ,Т] хГв Кп и 8+(те) соответственно Включением с текущими скоростями мы называем следующую систему

Для включения (2 26) на плоском п-мерном торе Тп следующая теорема существования слабого решения

Теорема 2.25 Пусть v(ж) - автономное равномерно ограниченное многозначное отображение из Р е 1" с замкнутыми выпуклыми значениями Предположим, что существует последовательность положительных чисел ег —> 0 таких, что для любого ег отображение v(a;) имеет гладкую ег-аппроксимацию ьг(х) и все эти аппроксимации имеют равномерно ограниченные первые производные Ц1 с единой константой для всех г

Пусть £о - случайный элемент со значениями в Тп и плотностью вероятности ро относительно евклидовой формы объема М Л дх1 Л

|К*,х)|| <#(1 + 11*11),

(2 21) (2 22)

^а(ж) <#(1 + ||ж||2)

А?т е £(*)),

(2 26)

Л ¿хп на Ж х Тт\ причем ро гладко и нигде не обращается в нуль Тогда для начального условия £(0) = включение

имеет слабое решение, которое определено на всем интервале [0, Т] В третьей главе рассматриваются уравнения и включения с производными в среднем справа на конечномерных римаповых многообразиях В §3 1 описывается модификация понятия квадратичной производной в среднем справа для случая многообразий и исследуются уравнения с производными в среднем справа

Пусть M - риманово многообразие размерности п Рассмотрим векторное поле a(t,m) и симметрическое неотрицательно определенное (2,0)-тензорное поле a(t,m) на M Дифференциальное уравнение с производными в среднем справа на многообразии - это система вида

Доказана теорема существования решения уравнения (3 3) для случая С1-гладких а(Ь, т) и а(Ь, т) на компактном многообразии для любого начального условия и всех £ из промежутка [0, Т]

В §3 2 для заданных многозначного векторного поля а(£, тп) и многозначного симметрического неотрицательно определенного (2, (^-тензорного поля а(Ь,т) па М рассматривается включение вида

которое называется дифференциальным включением с производными в среднем на многообразии

Теорема 3 8 Предположим, что заданные многозначные симметрическое неотрицательно определенное (2,0)-тензорное поле a(t,m)

(2 27)

(3 3)

ВД) €a(i,£(i)),

(3 4)

и векторное поле a(t,m) на многообразии M полунепрерывны сверху, равномерно ограничены по норме и имеют замкнутые выпуклые значения

Тогда для любого начального условия £(0) = £о существует слабое решение включения (3 4) определенное на всем промежутке [0, Г]

В первом параграфе четвёртой главы описаны включения Ланже-вена на римановом многообразии в терминах ковариантных производных в среднем Пусть - процесс на многообразии, пн имеющий С1-гладкие выборочные траектории Обозначим через оператор риманова параллельного переноса вдоль траекторий процесса £( ) из случайной точки £(s) в £(i)

Определение 4.1 Ковариантной производной в среднем справа, которую обозначим DF(i,£(i)); векторного поля Y вдоль процесса на M в момент времени t назовем L1 случайную величину вида

■ВП.Ш)) = Ып + А'» - (4 1)

Aij.0 V / \Т, /

Обозначим AY(t, £(i)) = Tt t+AtY{t + At, £(f + At)) - Y(t, £(i)) Определение 4.3 Квадратичной ковариантной производной поля Y вдоль процесса £(f) в момент времени t назовем L1 случайную величину вида

где символ ® обозначает тензорное произведение Определение 4.5 Включением Ланжевена называется система

( от е F(t,m,m) (42)

\ п2т е A(t,m,m)a*(t,m,m),

edeA(t,Ç(t),W))A*(t,№U<t))= U a a*

aeA(t,№№)

Основным результатом §4 2 является теорема существования слабого решения для (4 2) с многозначным А

Определение 4 9 Будем говорить, что включение (4 2) имеет слабое решение на [О, Т] С Е с начальными условиями £(0) = то, £(0) = С, если существуют вероятностное пространство (fi,^7, Р), определенный на нем стохастический процесс со значениями в М, имеющий п н С1-гладкие выборочные траектории и удовлетворяющий начальным условиям £(0) = то и £(0) = С, винеровский процесс w(t) в Ж™, определенный на (íí, F, Р) и не упреждающий относительно £,(t), однозначное векторное поле f(t,m,X) на М и однозначное (1,1)-тензорное поле a(t,m,X) такие, что (г) для всех t случайный вектор f(t, £(t), £(í)) принадлежит

F(t,m^(t)) р-пн,

(гг) для всех t случайный тензор a(t,£(t),£(t)) принадлежит

A(t,m^(t)) р-пн,

(т) интегралы /0'г0¿/(т,£(т),£(т))с*т и /оГ0,4а(т,£(т),£(т))ск;(т) корректно определены для £(í), w(t), fuá при всех t е [0,Т], (iv) для всех t € [0,Т] Р-n н выполняется (4 2)

Будем говорить, что F и А удовлетворяют условию Ито, если они имеют линейный рост по скоростям, то есть существует G > 0 такое, что имеет место неравенство

\\F(t,m,X)\\ + ||A(í,m,X)|| < ©(1 + ЦХЦ) (4 6)

Теорема 4 11 Предположим, что многозначное поле F(t,m,X) и многозначное (1,1 )-тензорное поле A(t, т, X) полунепрерывны сверху и имеют замкнутые выпуклые значения, а также удовлетворяют условию Ито (4 6) для некоторого 0 Тогда для любых то € М и С € ТтаМ включение Ланжевена имеет слабое решение с начальными условиями £(0) = то, £(0) = С, определенное при всех t £ [0, оо)

В главе 5 рассматриваются многообразия соболевских петель М. на компактном римановом многообразии М - множество Ях-гладких отображений единичной окружности S1 в М Пусть £(í) - случайный процесс на вероятностном пространстве (fí, Т, Р) со значениями в ЛА

В §5 1 доказана теорема 5 8 существования решений уравнения Ито в форме Белопольской-Даяецкого на М., коэффициенты которого порождены С^-гладкими векторным полем и полем линейных операторов на М, имеющими локально липшицевы производные Отметим, что в работе [30] было доказано утверждение о разрешимости стохастического дифференциального уравнения на многообразии петель в форме Стратоновича Однако для использования аппарата производных в среднем необходимо, чтобы уравнение было задано в форме Ито В рассматриваемом случае коэффициенты уравнения на Л4 не являются гладкими и перейти от формы Ито к форме Стратоновича невозможно Поэтому возникает необходимость доказать разрешимость уравнений в форме Ито, что ранее не было сделано

Теорема 5 8 является основой для доказательства разрешимости уравнения с производными в среднем на Л4 в §5 2

Пусть а(Ь,х) - векторное поле на Л4, а а(Ь,х) - симметрическое (2,0)-тензорное поле на Л4, порожденные векторным полем а(Ь,х) и симметрическим положительно определенным (2,0)-тензорным нолем а(Ь, х) на М, соответственно Рассмотрим на Л4 следующее уравнение в производных в среднем

Основным результатом этого параграфа является следующая теорема Теорема 5.14 Предположим, что векторное поле а{Ь,х) - непрерывно по Ь, С1 -гладкое по х и имеет локально липшицевы производные, тензорное поле а(£, х) - непрерывно по I, Сг-гладкое по х, а также в каждой карте а симметрично и положительно определено Тогда уравнение (5 7) имеет единственное сильное решение для любого начального условия £(0) = £о € М, определенное почти для всех £ из промежутка [0,Т]

Публикации автора по теме диссертации

1 Азарина С В Об уравнениях Ито на многообразии петель / С В Азарина, Ю Е Гликлих // Труды математического факультета ВГУ - 2004 - №8 - С 25-39

2 Азарина С В Об уравнениях Ито на многообразии соболевских петель / С В Азарина // Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н В Ефимова - Ростов-на-Дону Изд-во ООО "ЦВВР", 2004 - С 245-247

3 Азарина С В Исследование обыкновенных дифференциальных уравнений на многообразии петель / С В Азарина // Семинар по глобальному и стохастическому анализу - Воронеж ВГУ - 2005 - Выи 1 - С 3-11

4 Азарина С В О дифференциальных уравнениях второго порядка на многообразии петель / С В Азарина // Материалы международной научной конференции Топологические и вариационные методы нелинейного анализа - Воронеж ВГУ, 2005 - С 13-14

5 Азарина С В О дифференциальных включениях в производных в среднем / С В Азарина // Воронежская зимняя математическая школа С Г Крейна 2006 - Воронеж ВГУ, 2006 - С 4

6 Азарина С В Дифференциальные уравнения и включения с производными в среднем справа в Rn / С В Азарина, Ю Е Гликлих // Вестник ВГУ Серия Физика, Математика - 2006 - №2 - С 138-146

7 Азарина С В Исследование дифференциальных включений с производными в среднем / С В Азарина // Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н В Ефимова - Ростов-на-Дону Изд-во ООО "ЦВВР", 2006 - С 213-215

8 Азарина С В Описание стохастических дифференциальных включений посредством дифференциальных включений с производными в среднем / С В Азарина // Физико-математическое моделирование систем материалы III международного семинара ГОУВПО "Воронежский государственный технический университет" - 2006 -

4 2 - С 133-139

9 Azarma S V Differential Inclusions with Mean Derivatives /

5 V Azarma, Yu E Gliklikh // Dynamic Systems and Applications - 2007

- Vol 16 - No 1 -P 49-72

10 Азарина С В Дифференциальные включения с производными в среднем на многообразиях / С В Азарина // XIX Международная летняя школа-семипар по современным проблемам теоретической и математической физики Волга-2007 Тезисы докладов - Казань, 2007

- С 12

11 Азарина С В Включения типа Ланжевена на римановом многообразии в терминах производных в среднем / С В Азарина, Ю Е Гли-клих, А В Обуховский // Препринт НИИ Математики ВГУ - 2007 -№23 - 16 с

12 Азарина С В Ковариантные производные в среднем на рима-новых многообразиях и интегральные операторы с параллельным переносом / С В Азарина, Ю Е Гликлих // Семинар по глобальному и стохастическому анализу, ВГУ, 2007 - Вып 2 - С 4-10

13 Азарина С В Стохастические дифференциальные уравнения с производынми в среднем на многообразии петель / С В Азарина // Труды математического факультета ВГУ - 2007 - №11 - С 3-9

Работа [6] опубликована в издании, соответствующем списку ВАК РФ

Подписано в печать 05 09 07 Формат 60x84 '/|6 Уел печ л 0,93 Тираж 100 экз Заказ 1825

Отпечатано с готового оригинала-макета в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета 394000, Воронеж, ул Пушкинская, 3

Введение

1 Предварительные сведения

1.1 Основныеедения из теориид.у.

1.1.1 Случай линейных пространств.

1.1.2 Случай римановых многообразий.

1.2 Описание уравнений Ланжевена.

1.3 Многозначные отображения.

1.4 Многообразие соболевских петель.

1.5 Классические производные в среднем.

1.5.1 Производные в среднем в!".

1.5.2 Производные в среднем на многообразии.

2 Уравнения и включения с производными в среднем в евклидовом пространстве

2.1 Квадратичная производная в среднем.

2.2 Уравнения с производными в среднем справа.

2.3 Включения с производными в среднем справа.

2.4 Уравнения и включения с текущими скоростями.

3 Уравнения и включения с производными в среднем на римановом многообразии

3.1 Уравнения с производными в среднем справа.

3.2 Включения с производными в среднем справа.

4 Включения Ланжевена

4.1 Описание включения Ланжевена в терминах ковариантных производных в среднем.

4.2 Теорема существования решения включения Ланжевена с многозначным диффузионным членом.

5 Уравнения на многообразии петель

5.1 Существование решения уравнения Ито.

5.2 Уравнение с производными в среднем справа.

Понятие производных в среднем было введено Э.Нельсоном (см. [1], [2], [3]) для нужд построенной им стохастической механики (вариант квантовой механики). Уравнение движения в этой теории (так называемое уравнение Ньютона-Нельсона) было первым примером уравнений с производными в среднем. Затем было показано, что в терминах уравнений с производными в среднем описывается движение вязкой несжимаемой жидкости (см., например, [4, 5, б]), а также вихри в ней (см., например, [7]). В работах Ю.Е. Гликлиха [8, 9] (см. также [6]) было начато изучение уравнений с производными в среднем как отдельного класса стохастических дифференциальных уравнений.

Во всех указанных выше случаях решения уравнений предполагались процессами Ито диффузионного типа (или даже марковскими диффузионными процессами) с известным диффузионным членом, так как классические производные в среднем по Нельсону описывают только снос диффузионного процесса. Поэтому возникает задача построения иной производной в среднем, связанной с коэффициентом диффузии, что позволило бы корректно поставить задачу о нахождении процесса по его производным в среднем.

Начиная с работ Э.Д. Конвея [10], Ж.П. Обена и Дж. Да Прато [11] и до настоящего времени во всем мире активно развивается теория стохастических дифференциальных включений (см., например, статьи М. Киселевича, М. Михты и Е. Мотыля и литературу в них в специальном выпуске журнала Dynamic Systems and Applications 2007 г., [12, 13]). Однако ранее не рассматривались дифференциальные включения с производными в среднем, несмотря на то, что они естественным образом возникают в приложениях и к ним могут быть сведены обычные стохастические дифференциальные включения.

В связи с заданием сложных физических процессов уравнениями и включениями с производными в среднем, отметим уравнение и включение Ланжевена на римановых многообразиях, которые описывают движение механической системы на нелинейном конфигурационном пространстве в случае, когда силовое поле системы подвержено случайным возмущениям (в случае включений - сила существенно разрывна или содержит управляющий параметр). В работах [14, 15, 16] эти уравнения и включения были описаны в интегральной форме, поскольку не был известен дифференциальный вариант этих уравнений и включений, основанный на производных в среднем. Во многом по этой причине в работе [16] была доказана теорема существования слабого решения включения Ланжевена только в предположении, что диффузионный член этого включения однозначен и непрерывен. Так что возникла задача об описании этого включения в терминах производных в среднем и о разрешимости указанного включения в случае многозначной диффузии.

Укажем также, что в современных струнных теориях квантовой физики активно используются бесконечномерные многообразия петель. Поэтому важной задачей является исследование уравнений с производными в среднем на указанных многообразиях, что дало бы возможность применения в струнных теориях аппарата стохастической механики Нельсона.

Цель работы. Модификация теории производных в среднем таким образом, чтобы по заданным производным можно было бы найти соответствующий случайный процесс. Описание уравнений и включений с производными в среднем справа, слева и с текущими скоростями (симметрическими производными в среднем) как в линейных пространствах, так и на многообразиях, в том числе на бесконечном многообразии петель соболевского класса Я1, и доказательство существования их решений; применении описанных методов исследования к задачам математической физики, в частности, исследование дифференциальных включений Ланжевена с многозначной диффузией на римановом многообразии.

Методика исследований состоит в использовании идей и методов функционального анализа, современного глобального анализа, стохастического анализа.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Наиболее важными из них являются следующие:

1. На основе модификации одной идеи Э. Нельсона построена новая производная в среднем (названная квадратичной), которая для диффузионного процесса описывает его коэффициент диффузии. С использованием этой производной и классических производных в среднем по Нельсону описаны и исследованы дифференциальные уравнения и включения с производными в среднем справа, слева и с текущими скоростями (симметрическими производными в среднем).

2. Доказаны теоремы существования решений для дифференциальных уравнений и включений с производными в среднем справа, слева и с текущими скоростями в конечномерных линейных пространствах (для включений - с различными типами непрерывности правых частей, имеющих выпуклые значения). Получены обобщения этих утверждений на случай дифференциальных уравнений и включений с производными в среднем справа на гладких конечномерных многообразиях.

3. В терминах ковариантных производным в среднем описаны дифференциальные включения второго порядка типа Ланжевена на рима-новых многообразиях и получена теорема существования слабых решений для таких включений с многозначными сносом и диффузией.

4. Описаны и исследованы дифференциальные уравнения с производными в среднем на бесконечномерном многообразии петель и доказаны теоремы существования их решений.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Разработанные в ней методы и полученные результаты важны для исследования задач математической физики.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на международных школах-семинарах по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2004, 2006); международной научной конференции "Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения" (Воронеж, 2005); Воронежской зимней математической школе С.Г.Крейна 2006; на семинаре "Modelling Cellular Systems with Applications to Tumour Growth" (Бедлево, Польша, 2006); на международной школе "IX Diffiety School" (Санто Стефано дел Соле, Италия, 2006); на международном семинаре "Stochastic Analysis, Stochastic Differential Geometry and Applications" (Свонзи, Уэльс, 2007) и на научных сессиях Воронежского государственного университета 2004-2007 годов.

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [17]-[29]. Из совместных работ [17, 22, 25, 27, 28] в диссертацию вошли только результаты, полученные лично диссертантом.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, разбитых на 14 параграфов, и списка литературы. Общий объём работы - 114 страниц. Библиография содержит 54 наименования.

1. Nelson, Е. Derivation of the Schrodinger equation from Newtonian mechanics / E. Nelson // Phys. Reviews. - 1966.- Vol. 150. - №4.- P. 1079-1085.

2. Nelson, E. Dynamical theory of Brownian motion / E. Nelson. -Princeton: Princeton University Press. 1967.- 142 p.

3. Nelson, E. Quantum fluctuations / E. Nelson. Princeton: Princeton University Press, - 1985.- 147 p.

4. Гликлих, Ю.Е. Глобальный и стохастический анализ в задачах математической физики / Ю.Е. Гликлих.- М.: Комкнига, 2005.416 с.

5. Gliklikh, Yu.E. Ordinary and Stochastic Differential Geometry as a Tool for Mathematical Physics / Yu.E. Gliklikh. Dordrecht: Kluwer. - 1996.- 205 p.

6. Gliklikh, Yu.E. Global Analysis in Mathematical Physics. Geometric and Stochastic Methods / Yu.E. Gliklikh. New York: Springer-Verlag, 1997.- 229 p.

7. He, X. A probabilistic method for Navier-Stokes vorticies / X. He // J. Appl. Probab. 2001. - P. 1059-1066.

8. Гликлих, Ю.Е. Стохастические уравнения в производных в среднем и их приложения. I / Ю.Е. Гликлих // Известия РАЕН, Серия МММИУ.- 1997.- Т. 1, №4.- С. 26-52.

9. Гликлих, Ю.Е. Стохастические уравнения в производных в среднем и их приложения. II / Ю.Е. Гликлих // Известия РАЕН, Серия МММИУ.- 2000.- Т. 4, №4.- С. 17-36.

10. Conway, E.D. Stochastic equations with discontinuous drift / E.D. Conway // Trans. Amer. Math. Soc.- 1971.- vol. 157, №1.- P. 235-245.

11. Aubin J.P. Stochastic viability and invariance /J.P. Aubin, G. Da Prato // Annali Scuola Normale Superiore di Pisa. 1990.- Vol. 17.-P. 595-613.

12. Kisielewicz, M.L. (Backward Stochastic Differential Inclusions / M.L. Kisielewicz // Dynamic Systems and Applications. 2007. -Vol.16.- №1.- P. 121-139.

13. Michta, M. Set Valued Stratonovich Integral and Stratonovich Type Stochastic Inclusion / M. Michta, J. Motyl // Dynamic Systems and Applications. 2007. - Vol.16.- №1.- P. 141-154.

14. Гликлих, Ю.Е. О геометризации одного класса механических систем со случайными возмущениями силы / Ю.Е. Гликлих, И.В. Федоренко. Воронеж: Воронежск. гос. ун-т, 1980. - Деп. в ВИНИТИ 21.10.80, №4481.- 10 с.

15. Гликлих, Ю.Е. Об уравнениях геометрической механики со случайными силовыми полями / Ю.Е. Гликлих, И.В. Федоренко //Приближенные методы исследования дифференциальных уравнений и их приложения. Куйбышев: КГУ, 1981. - С. 64-72.

16. Gliklikh, Yu.E. Stochastic differential inclusions of Langevin type on Riemannian manifolds / Yu.E. Gliklikh, A.V. Obukhovskii // Discussiones Mathematicae. Differential Inclusions, Control and Optimization.- 2001.- V. 21, №2.- P. 173-190.

17. Азарина, С.В. Об уравнениях Ито на многообразии петель / С.В. Азарина, Ю.Е. Гликлих // Труды математического факультета ВГУ. 2004. - №8. - С. 25-39.

18. Азарина, С.В. Об уравнениях Ито на многообразии соболевских петель / С.В. Азарина // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова.-Ростов-на-Дону: Изд-во ООО "ЦВВР", 2004.- С.3-11.

19. Азарина, С.В. Исследование обыкновенных дифференциальных уравнений на многообразии петель / С.В. Азарина // Семинар по глобальному и стохастическому анализу.-Воронеж: ВГУ, 2005.-Вып.1.-С.З-11.

20. Азарина, С.В. О дифференциальных уравнениях второго порядка на многообразии петель / С.В. Азарина // Материалы международной научной конференции Топологические и вариационные методы нелинейного анализа.- Воронеж: ВГУ, 2005.- С. 13-14.

21. Азарина, С.В. О дифференциальных включениях в производных в среднем / С.В. Азарина // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна 2006.- Воронеж: ВГУ, 2006.- С.4. .

22. Азарина, С.В. Дифференциальные уравнения и включения с производными в среднем справа в Rn / С.В. Азарина, Ю.Е. Гликлих // Вестник ВГУ. Серия Физика, Математика.- 2006.- №2.- С. 138146.

23. Азарина, С.В. Исследование дифференциальных включений с производынми в среднем / С.В. Азарина // Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова.-Ростов-на-Дону: Изд-во ООО "ЦВВР", 2006.-С.213-215.

24. Azarina, S.V. Differential Inclusions with Mean Derivatives / S.V. Azarina, Yu.E. Gliklikh // Dynamic Systems and Applications.-2007.-Vol.16.- №1.- P. 49-72.

25. Азарина, С.В. Включения типа Ланжевена на римановом многообразии в терминах производных в среднем / С.В. Азарина,Ю.Б. Гликлих, А.В. Обуховский // Препринт НИИ Математики ВГУ.-2007.- №23,-16 с. .

26. Азарина, С.В. Ковариантные производные в среднем на римано-вых многообразиях и интегральные операторы с параллельным переносом / С.В. Азарина, Ю.Е. Гликлих // Семинар по глобальному и стохастическому анализу.- Воронеж: ВГУ, 2007.- Вып.2-С. 4-10.

27. Азарина, С.В. Стохастические дифференциальные уравнения с производынми в среднем на многообразии петель / С.В. Азарина // Труды математического факультета ВГУ.- 2007.- №11.- С.3-9.

28. Brzezniak, Z. Stochastic differential equations on Banach manifolds / Z. Brzezniak, K.D. Elworthy // Methods of functional analysis and topology.-2000.- Vol. 6.- №1.- P. 43-84.

29. Гихман, И.И. Теория случайных процессов. В 3 т. T.III / И.И. Гих-ман, А.В. Скороход. М.: Физматлит, 1975. - 496 с.

30. Борисович, Ю.Г. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений / Ю.Г. Борисович, Б.Д. Гельман, А.Д. Мышкис, Обуховский В.В.-М.: КомКнига, 2005.-216 с.

31. Клингенберг, В. Лекции о замкнутых геодезических / В. Клин-генберг. Пер. с англ. М.:Мир, 1982. - 416 с.

32. Далецкий, Ю.Л. Стохастические уравнения и дифференциальная геометрия / Ю.Л. Далецкий, Я.И. Белопольская. Киев: Выща Школа, 1989. - 296 с.

33. Gliklikh, Yu.E. Riemannian parallel translation in non-linear mechanics / Yu.E. Gliklikh // Lect. Notes Math. 1984. - Vol. 1108.-P. 128-151.

34. Бишоп, P.JI. Геометрия многообразий / Р.Л. Бишоп, Р.Дж. Криттенден.- М.: Мир, 1967.-336 с.

35. Партасарати, К. Введение в теорию вероятностей и теорию меры / К. Партасарати.- М.: Мир, 1988.- 343 с.

36. Шутц, Б. Геометрические методы математической физики / Б. Шутц.- М.: Мир, 1984.- 303 с.

37. Желобенко, Д.П. Компактные группы Ли и их представления / Д.П. Желобенко. М.: Физматлит, 1970 - 554 с.

38. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. М.: Физматлит, 1967. - 575 с.

39. Островский, A.M. Решение уравнений и систем уравнений / A.M. Островский.- М.: Изд-во Иностранной литературы, 1963219 с.

40. Фрейдлин, М.И. О факторизации неотрицательно определенных матриц / М.И. Фрейдлин // Теория вероятностей и ее применения.- 1968.- Т. 13, №2.- С. 375-378.

41. Гельман, Б.Д. Непрерывные аппроксимации многозначных отображений и неподвижные точки / Б.Д. Гельман // Математические заметки. 2005. - Вып. 78. - №2.- С. 212-222.

42. Aubin, J.-P. Differential Inclusions. Set-valued maps and viabiity theory / J.-P. Aubin, A. Cellina. Berlin et al.: Springer-Verlag, 1984.- 350 p.

43. Крылов, M.B. Уравляемые процессы диффузионного типа / М.В. Крылов. М.: Физматлит, 1977. - 400 с.

44. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа/ А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин.- М.: Наука, 1968 496с.

45. Гихман, И.И. Теория случайных процессов. В 3 т. T.I / И.И. Гих-ман, А.В. Скороход.- М.: Физматлит, 1971. 664 с.

46. Ширяев, А.Н. Вероятность / А.Н. Ширяев. М.: Физматлит, 1989.- 640 с.

47. Pollard, D. Convergence of stochastic processes / D. Pollard.- Berlin ect.: Springer-Verlag, 1984.- 215 p.

48. Треногин В.А. Функциональный анализ / В.А. Треногин.- М.: Физматлит, 1980.- 495 с.

49. Канторович, JI.B. Функциональный анализ / JI.B. Канторович, Г.П. Акилов. М.: Физматлит, 1977.- 744 с.

50. Биллингсли, П. Сходимость вероятностных мер / П. Биллингсли.- М.: Физматлит, 1977. 351 с.

51. Nash, J. The Imbedding Problem for Rimannian Manifolds / J. Nash // The Annals of Mathematics. 1956. - Vol.63. - №1. - P. 20-63.

52. Гликлих, Ю.Е. О стохастических дифференциальных уравнениях Ито на бесконечных произведениях римановых многообразий / Ю.Е. Гликлих, JI.A. Морозова // Известия РАЕН, 1998.- Т. 2.-№1.- С. 71-79.