Управляемые системы и дифференциальные включения с производными в среднем на многообразиях

Желтикова, Ольга Олеговна

Управляемые системы и дифференциальные включения с производными в среднем на многообразиях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Желтикова, Ольга Олеговна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Воронеж МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Управляемые системы и дифференциальные включения с производными в среднем на многообразиях»

Автореферат диссертации на тему "Управляемые системы и дифференциальные включения с производными в среднем на многообразиях"

На правах рукописи

Желтикова Ольга Олеговна

Управляемые системы и дифференциальные включения с производными в среднем на многообразиях

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

21 'П 2013

005539507

Воронеж - 2013

005539507

Работа выполнена в Воронежском государственном университете Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Гликлих Юрий Евгеньевич. Официальные оппоненты: Каменский Михаил Игоревич, доктор физико-математических наук, Воронежский государственный университет, кафедра функционального анализа и операторных уравнений, заведущий.

Соболев Владимир Андреевич, доктор физико-математических наук, Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева (национальный исследовательский университет), кафедра технической кибернетики, профессор.

Ведущая организация: Самарский государственный университет

Защита состоится 10 декабря 2013 года в 14 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, Воронеж, Университетская пл. 1, ауд. 335.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета

Автореферат разослан " 6" ноября 2013 года Ученый секретарь диссертационного совета

Гликлих Юрий Евгеньевич

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Понятие производных в среднем было введено Э.Нельсоном в 60-х годах XX века для нужд построенной им стохастической механики (вариант квантовой механики). Уравнение движения в этой теории (так называемое уравнение Ныотопа-Нельсона) было первым примером уравнений с производными в среднем. Позже было показано, что в терминах уравнений с производными в среднем описываются и другие задачи математической физики, экономики и др. (см., например, работы Ф.Гуэрры, Л.М. Морато, Д. Дорн, Т. Заставняка, Ю.Е. Гликлиха, С .Фари-нелли, Ю.Хе и др.). В работах Ю.Е. Гликлиха уравнения с производными в среднем начали изучаться как отдельный класс стохастических дифференциальных уравнений.

Нужно отметить, что классические производные в среднем по Нельсону дают информацию только о сносе стохастического процесса. Решения таких уравнений предполагались процессами Ито диффузионного тина (или даже марковскими диффузионными процессами) с известным диффузионным членом. В работах С.В.Азариной и Ю.Е.Гликлиха была построена другая производная в среднем, связанная с коэффициентом диффузии и являющаяся модификацией классических производных но Нельсону. Это позволило корректно поставить задачу о нахождении процесса но его производным в среднем.

Начиная с работ Э.Д. Конвея, П. Кри, Ж.П. Обена и Дж. Да Прато и до настоящего времени во всем мире активно развивается теория стохастических дифференциальных включений (см., например, статьи М. Ки-селевича, М. Михты и Е. Мотыля и др.). Дифференциальные включения с производными в среднем, которые были описаны в работах С.В.Азариной и Ю.Е.Гликлиха, являются более широким классом включений. Они естественным образом возникают в приложениях и к ним могут быть сведены обычные стохастические дифференциальные включения.

В работах К.Д. Элворти, Я.И. Белонольской и Ю.Л. Далецкого, Ю.Е. Гликлиха и др. изучались стохастические дифференциальные уравнения на многообразиях. Стохастические дифференциальные уравнения и вклю-

чения в терминах производных в среднем на многообразиях исследовались в работах C.B. Азариной и Ю.Е. Гликлиха.

Вопросы оптимального стохастического управления рассматривались в основном в векторных пространствах (см., например, работы Н.В. Крылова, П.Е. Клоедена и Е. Платена). Оптимальное управление системами, заданными в терминах производных в среднем, а также заданными посредством дифференциальных включений с производными в среднем, ранее не рассматривалось ни в векторных пространствах, ни на многообразиях.

Отметим работы (см., например, работы С.З. Немета, К. Удриште, Ч.Ли, Ю. Лю, В.В. Обуховского, Дж.Яо, Д.Ванга, Б.Мордуховича и др.), в которых задачи пестохастической оптимизации рассматривались на гладких многообразиях, однако из-за наличия технических трудностей, только на так называемых адамаровых римановых многообразиях - некомпактных многообразиях постоянной отрицательной кривизны. Напомним, что из теорем Топоногова следует, что все такие многообразия гомеоморфны векторным пространствам. Это обстоятельство резко сужает общность построенных теорий. Таким образом, встал вопрос о расширении класса задач оптимального управления на многообразиях.

Цель работы. Целыо данной работы является исследование задач нестохастической оптимизации па неадамаровых многообразиях, нахождение условий существования оптимальных решений включений с производными в среднем как в линейных пространствах, так и на многообразиях (в частности, с использованием построенного аппарата для нестохастической оптимизации на неадамаровых многообразиях), и изучение стохастических управляемых систем с обратной связью с использованием включений с производными в среднем.

Научная новизна. Все результаты, включенные в диссертацию, являются новыми. Наиболее значимые из них перечислены в следующем ниже списке.

1. Введена концепция допустимых множеств, с помощью которой удается исследовать некоторые задачи нестохастической оптимизации на неадамаровых многообразиях.

2. Введено понятие совершенного решения для дифференциальных включений с производными в среднем. Доказана теорема существования оптимального решения на линейных пространствах, т.е. решения, которое минимизирует некоторый функционал качества. Получены обобщения этих утверждений на случай дифференциальных включений с производными в среднем справа на гладких конечномерных многообразиях.

3. В терминах производных в среднем справа описаны управляемые системы с обратной связью. Доказана теорема о существовании измеримого сечения управления, реализующего оптимальное решение включения как траекторию управляемой системы.

4. Описаны и исследованы дифференциальные включения типа геометрического броуновского движения с производными в среднем. Для данных включений получены теоремы существования решения, которое минимизирует некоторый функционал качества.

5. Получены утверждения о существовании оптимальных решений для включений с производными в среднем на допустимых множествах в многообразиях.

Методы исследования. В работе использованы методы функционального анализа, теории многозначных отображений и дифференциальных включений, современного глобального анализа, стохастического анализа.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Разработанные в ней методы и полученные результаты важны для исследования задач оптимизации.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на V Международной конференции "Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования" (Воронеж, 2012 г.), в Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения - XXIV": "Современные методы теории краевых задач" (2013 г.), на Крымской международной математической конференции КММК-2013, на семинарах и научных сессиях ВГУ.

Публикации по теме диссертации. Результаты диссертации опубликованы в 10 работах [1] - [10]. Работы [4] - [6] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ. Из совместных работ [1], [4] - [6] в диссертацию включены результаты, принадлежащие лично автору.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, разбитых на 11 параграфов (некоторые из них разбиты на под-параграфы), и списка литературы, содержащего 61 наименование. Общий объём работы составляет 106 страниц текста.

Краткое содержание диссертации.

Во введении дается краткий обзор работ, близких к теме диссертации, и излагаются основные результаты диссертации.

Первая глава работы носит вспомогательный характер и содержит необходимые сведения из теории дифференциальных включений, стохастического и глобального анализа. В частности, даются определение классической производной в среднем по Нельсону.

Рассмотрим случайный процесс £(£) со значениями в М", заданный на вероятностном пространстве (П, Т, Р). Обозначим через Е\ условное математическое ожидание относительно <т-подалгебры ст-алгебры Т, порожденной прообразами борелевских множеств при отображении £(£) : П —> К".

Определение 1.17 Производная в среднем справа £>£(£) процесса £(£) в момент времени Ь есть Ь\-случайная величина вида

где предел предполагается существующим в Р) и ]. 0 означает, что Д£ стремится к 0 и Д£ > 0.

Определение 1.19 Квадратичной производной в среднем справа

процесса £(£) в момент времени £ назовем Т', Р)-случайную величину вида

где (£(£ + — £(£)) рассматривается как вектор-столбец в К", (£(£ + Д£) — £(£))* - сопряженный вектор-строка, предел предполагается существующим в Р) и Д£ | 0 означает, что стремится к О и Д£ > О.

Для процессов на многообразиях производная в среднем справа оказывается корректно определенной только с использованием связностей и зависит от выбора связности. Производную в среднем, построенную но связности Н, мы обозначаем Вп. Квадратичная производная корректно определена без использования связностей.

В первом параграфе второй главы вводится концепция допустимых множеств:

Определение 2.2 Множество А С Л4 называется допустимым, если оно линейно связно и не пересекает множество раздела ехрг. дЫх любой точки х £ А.

В §2.2 рассматриваются вариационные неравенства на неадамаровых многообразиях.

Пусть А С Л4 - замкнутое локально выпуклое множество, а II С А -ограниченное открытое подмножество.

Рассмотрим следующую задачу на полном римановом многообразии (М,д): Найти х* £ 0 и V* £ Ф(ж*), такие что

{у*, Ъ-уЩд > 0 для всех у £ А, 1х-у € Г£.у1 (2.1)

где Тх,у - множество геодезических (7(£)} целиком лежащих в А, таких что 7(0) = х и 7(1) = у.

Использование концепции допустимого множества дает нам возможность доказать вариант теоремы существования решения для данной задачи па допустимых множествах, оспованпой па использовании индекса разрешимости, введенного в работе Ч.Ли, Ю. Лю, В.В. Обуховского и Дж.Яо.

Теорема 2.24 Пусть задано допустимое многозначное векторное поле 5 на замкнутом локально выпуклом допустимом множестве А и пусть и а А является открытым счетным подмножеством, таким что 811 П5о/(!Е, О) = 0. Пусть к тому же задано непрерывное векторное

поле У(х) на ди, такое что оно направлено вовнутрь V во всех точках 811, и для всех А > 0 в каждой точке х € ди выполняется соотношение —ХУ(х) ПН(ж) = 0. Тогда существует решение задачи вариационного исчисления (2.1) внутри II.

В третьей главе рассматриваются включения с производными в среднем справа в линейных пространствах и доказываются теоремы о существовании решения, которое минимизирует некоторый функционал качества и о существовании измеримого сечения управления, реализующего оптимальное решение включения как траекторию управляемой системы.

Рассмотрим многозначные отображения а(£, х) и а(1>, х) из [0;Т] х Ж" в К" и в 3+(п)( где 5+(п) - множество всех положительно определенных симметрических квадратных матриц порядка п), соответственно.

Определение 3.1 Дифференциальным включением с производными в среднем справа будем называть систему вида

Определение 3.1 Будем говорить, что (3.1) имеет решение на [0;Т] с начальным условием £(0) = ха, если существует вероятностное пространство (П, Т, Р) и заданный на нем процесс со значениями в К" такой, что Р-п.н. и для почти всех £ € [0;Т] выполняется (3.1).

Для доказательства дальнейших результатов в §3.1 вводится определение совершенного решения:

Определение 3.2 Совершенным решением включения (3.1) назовем стохастический процесс с непрерывными выборочными траекториями, такой что он является решением в смысле Определения 3.1, и соответствующая ему на пространстве непрерывных кривых мера является слабым пределом мер, образованным решениями последовательности уравнений Ито диффузионного типа с непрерывными коэффициентами.

Теорема 3.4 Пусть а(^ х) - полунепрерывное сверху многозначное отображение из [0; Г] х К" е К" с замкнутыми выпуклыми образами и удовлетворяющее оценке

о2т еа(«М).

(3.1)

||а((,х)||2<Х(1 + ||х||2).

(3-2)

Пусть а(£, х) является полунепрерывным сверху многозначным отображением с замкнутыми выпуклыми образами из [0;Т] х К" в Б+(п) и для каждого а(£, х) е х) выполняется оценка

\ЬгаЦ,х)\< К(1 + \\х\\2) (3.3)

для некоторого К > 0.

Тогда для любой последовательности —> 0, бг > 0, любая пара последовательностей а^,х) и сц{1,х) г^аппроксимаций многозначных отображений а(Ь,х) и ос(1,х), соответственно, порождает совершенное решение включения (3.1) с начальным условием

Пусть / является непрерывной ограниченной функцией с вещественными значениями на М х К". Рассмотрим функционал качества вида

Ш-)) = Е (3.12)

Теорема 3.8 Среди совершенных решений (3.1), построенных в доказательстве теоремы 3.4, существует решение £(£), на котором значение функционала качества 3 минимально.

В §3.2. рассматриваются управляемые системы с обратной связью с производными в среднем справа. Доказана теорема о существовании измеримого сечения управления, реализующего оптимальное решение включения как траекторию управляемой системы.

Будем рассматривать управляемую систему с обратной связью вида

£/!(*,£(*)), _ МШ))еи2(Ш))-

Здесь а : [0, Т] х К" хГ^Гиа: [0, Т] х К" х Мт —> 5+(п) - измеримые по Борелю отображения; М'71 - пространство управляющих параметров; 11\, : [0, Т] х М" -» К(М.т) - мультифупкции обратной связи.

Решением управляемой системы (3.13) назовём пару {£(£), (ы^Иг)}, которая состоит из процесса £(£) и управления (и^иг). Здесь £(£) : [О, Т] —> К." - процесс диффузионного типа, такой что P-ii.ii. удовлетворяет (3.13) почти всюду на [0,Т], а щ,и2 : [О, Т] х М" —> Мт - измеримые но Борелю функции, удовлетворяющие включениям из (3.13) всюду на [О,Г].

Введём многозначные отображения а(Ь,х) = а(4, х, и^^х)) и а(£, х) = а{Ь,х, и^, ж)). От управляемой системы перейдём к ассоциированному с ней дифференциальному включению типа (3.1).

Очевидно, что каждая траектория системы (3.13) является решением включения (3.1). Установим и обратную зависимость (аналог леммы Филиппова) .

Теорема 3.9 Пусть а(£, х) - полунепрерывное сверху многозначное отображение из [0; Г] х Ж" б К" с замкнутыми выпуклыми образами и удовлетворяющее оценке

Пусть a(t, х) является полунепрерывным сверху многозначным отображением с замкнутыми выпуклыми образами из [0;Т] х М" в S+(n) и для каждого a(t,x) £ a(t,x) выполняется оценка

для некоторого К > 0.

Мультиотображения Ui(t,x),U2(t,x) : [О,!1] х Rn —> К(Rm) - полунепрерывны сверху и выполняется включение 3.1 при почти всех t & I.

Тогда существует такие измеримые сечения щ G и щ € Sa2, что выполняется система (3.13) при почти всех t G [0,Т] .

Четвертая глава посвящена исследованию включений типа геометрического броуновского движения, введенных C.B. Азариной и Ю.Е. Глн-клихом. Мы также даем некоторую модификацию конструкции подобных включений.

Рассмотрим следующее обобщение так называемого геометрического броуновского движения: пусть S(t) - процесс, удовлетворяющий системе

а(г,*)||2<Щ1 + И2).

(3.2)

|tra(i,x)| < К{1 + ||х||2)

(3.3)

стохастических дифференциальных уравнений

dS^t) = SV(t, Sl(t),Sn(t))dt + 51(i),..., Sn(t))duP, (4.1)

где uy> - независимые винеровские процессы в R1, которые вместе порождают винеровскнй процесс в Rn, a(t, х) - векторное поле на Rn, A(t, х) -отображение из [О, Т] х R" в пространство линейных операторов L(Rn, R") и через (Aj) обозначена матрица оператора А.

Предположим, что координаты S' решения уравнения (4.1) положительны для всех t. По формуле Ито процесс £(f) = log S(t) = {log Sl(t),..., log Sn(t)} удовлетворяет уравнению:

dC(t) = (a4 - \{A)8ikj¥k)){t,m)dt + (4-2)

поскольку dwl ■ dwj = (здесь <5U - символ Кронекера: 5" = 1. <5U = 0 при i ± j).

Введем следующие обозначения: симметрическую неотрицательно определенную матрицу АА* (где А* - оператор, сопряженный к оператору А) обозначим В\ вектор, составленный из диагональных элементов симметрической матрицы В, обозначим diagB.

Если процесс удовлетворяет (4.2), он также удовлетворяет следующему уравнению с производными в среднем

f DZ{t) + idiagD2№ =a(i, £(*)),

I D,m = в(ш))-

(4.5)

(4.6)

Рассмотрим многозначные отображения а(Ь,х) : [0,Т] х К" В(£, х) : [0,Т] х Мп —> §+(п) и следующее включение

Г /?£(«) +еа(*, £(«)),

которое назовём включением типа геометрического броуновского движения с производными в среднем справа.

Основным результатом главы является следующая теорема существования совершенных решений включения (4.6)

Теорема 4.3 Определим начальное значение £о £ Пусть а(Ь,х) -полунепрерывное сверху многозначное отображение из [0; Г] х К" е К" с замкнутыми выпуклыми образами и пусть для всех а 6 а(£, х) выполнена оценка

||а(«,а:)||2 < ^(1 + ||а:||2). (4.7)

Пусть В(£, х) является полунепрерывным сверху многозначным отображением с замкнутыми выпуклыми образами из [0;Т] х!" в 5'+(гг) и для каждого В(Ь,х) £ В(£,д;) выполняется оценка

\иВ(г,х)\<К(1 + \\х\\) (4.8)

для некоторого К > 0.

Тогда для любой последовательности ег —> 0, > 0, любая пара последовательностей а{(Ь,х) и В^,х) е^аппроксимаций многозначных отображений а(1,х) и В(£,х), соответственно, порождает совершенное решение включения (4.6) с начальным условием £о.

В Теореме 4.8 показывается, что среди совершенных решений, полученных в доказательстве Теоремы 4.3 существует решение, которое минимизирует некоторый функционал качества.

В пятой главе рассматриваются включения с производными в среднем справа на римановых многообразиях. В §5.1 описываются понятие включения с производными в среднем справа для случая многообразий н доказывается теорема о существовании совершенных решений данных включений на компактных многообразиях.

Пусть М - риманово многообразие размерности п. Для заданных многозначного векторного поля а(£, т) и многозначного симметрического неотрицательно определенного (2,0)-тензорпого поля а(£, т) на М рассматривается включение вида:

которое называется дифференциальным включением с производными в среднем на многообразии.

Теорема 5.4 Пусть a(t,m),a(t,m) являются многозначными полунепрерывными сверху, равномерно ограниченными относительно нормы, симметрическим полуположительно определённым (2,0)-тензорным полем и векторным полем на M, соответственно, с замкнутыми выпуклыми значениями.

Тогда для любой последовательности eq —> 0, eq > 0, каждая пара последовательностей aq(t,m) и aq(t,m) eq - аппроксимаций a(t,m) и ct(t,m), соответственно, порождает совершенное решение (5.1) с начальным условием £(0) = гпц.

В Теореме 5.5 показано, что существует решение, которое минимизирует некоторый функционал качества. Далее описывается управляемая система с обратной связью типа (3.13), в которой использована производная в среднем относительно связности. Доказана Теорема 5.6 о существовании измеримого сечения управления, реализующего оптимальное решение включения как траекторию управляемой системы.

В §5.2 предыдущие результаты обобщены на случай некомпактных конечномерных многообразий. Главным результатом параграфа является следующая

Теорема 5.14 Пусть ot(t, m), a(t, m) являются многозначными полунепрерывными сверху, симметрическим неотрицательно определённым (2,0)-тензорным полем и векторным полем на М, соответственно, с замкнутыми выпуклыми значениями. Пусть к тому же для любого компакта К С M множества а([0, Т], К) и а([0, Т], К) являются компактными, и кроме того в каждой точке (t, m) генератор Ла,а из некоторой окрестности V графика Aa,a{t,m) удовлетворяет (5.18) с одной и той же собственной функцией ф.

Тогда для любой последовательности eq —» 0,£q > 0, каждая пара последовательностей aq(t,m) и aq(t,m) eq - аппроксимаций a(t,m) и et(t,m), соответственно, порождает совершенное решение (5.1) с начальным условием £(0) = тоВ §5.3 изучаются оптимальные решения включений с производными в среднем па допустимых множествах в многообразиях. Отличием этой

задачи от предыдущих является то, что в ней возникают иные условия существования оптимальных решений.

Рассмотрим дифференциальное включения вида (5.1) на полном рима-новом многообразии М. Рассмотрим допустимое множество А и произвольную точку 7П в нем. Пусть £(0) = т является произвольным начальным значением. Взяв отображение ехр-1, обратное к экспоненциальному, переведём дифференциальное включение в в область в касательном пространстве ТтМ. Получим новое дифференциальное включение вида

ют € а(£,№) + ^гГш(А, А),

где 1;гГт(А, А) является объектом с координатами Г^«4, а а и а перенесены из аиас помощью отображения ехр-1.

Пусть £(£) - решение дифференциального включения (5.29), а тш - момент 1-ого выхода выборочной траектории £„,(•) па границу допустимого множества. Рассмотрим процесс £(тш Л £), т.е. решение, остановленное на границе допустимого множества (напомним, что тш Л £ = тт(тш, £)).

Теорема 5.18 Пусть а(£, х) - полунепрерывное сверху многозначное отображение из [0; Т\ х О в О с замкнутыми выпуклыми образами и удовлетворяет оценке

||а(Л,яг) + ^гГт(Л, Л)||2 < К{ 1 + ||х||2). (5.30)

Пусть с*(£, х) является полунепрерывным сверху многозначным отображением с замкнутыми выпуклыми образами из [0;Т] х О в 5+(гг) и для каждого а(£, х) £ at.it, х) выполняется оценка

|1га(£,а;)| < К{1 + ||:г||2) (5.31)

для некоторого К > 0.

Тогда для любой последовательности гг —» 0, > 0, любая пара последовательностей а.{(Ь,х) и «¡(£,х) ег-аппроксимаций многозначных отображений а(£, х) и х), соответственно, порождает совершенное решение £(тт Л £) включения (5.29) с начальным условием

Пусть / является непрерывной ограниченной функцией с вещественными значениями на R х R". Для решений включения (5.29) рассмотрим функционал качества вида

Ш-)) = Е [ f(rw Л t, £(tw Л t))dt (5.32)

Теорема 5.19 Среди совершенных решений включения (5.29), построенных в доказательстве теоремы 5.18, существует решение £(tw At), на котором значение функционала качества J минимально.

Публикации автора по теме диссертации.

[1] Mezliova О.О. The concept of admissible sets in optimization problems on non-Hadamard Riemannian manifolds / Y.E. Gliklikh, O.O. Mezhova// Семинар но глобальному и стохастическому анализу. - Воронеж: ВГУ. -2010. - Вып.5 - С. 12 - 36.

[2] Желтикова О.О. Аналог леммы Филиппова для уравнений с производными в среднем с управлением/ Желтикова О.О.// Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования: материалы V международной конференции.- Воронеж: Издательско-полиграфический центр ВГУ. - 2012. - С. 121 - 123.

[3] Желтикова О.О. Существование оптимального управления для систем с производными в среднем на компактном многообразии/ Желтикова О.О.// Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской математической школы Понтрягпнские чтения - XXIV". - Воронеж: Издательско-полиграфический центр ВГУ. - 2013. - С. 80 - 81.

[4] Zheltikova О.О. On existence of optimal solutions for stochastic differential inclusions with mean derivatives / Y.E. Gliklikh, O.O. Zheltikova// Applicable Analysis. - 2012. - D01:10.1080/00036811.2012.753588. - P. 1 - 11.

[5] Желтикова O.O. Optimal solutions for inclusions of geometric brovvnian motion type with mean derivatives/ Ю.Е. Гликлих, O.O. Желтикова// Вестник ЮУрГУ. Серия Математическое моделирование и программирование - 2013. - Т.6. - №3 - С. 38 - 50.

[6] Zheltikova О.О. Stocliastic Equations and Inclusions with Mean Derivatives and Some Applications/ Y.E. Gliklikli, 0.0. Zheltikova// Methology and Computing in Applied Probobility. - 2013. - DOI 10.1007/sl 1009-013-9373-4. - P. 1 - 15.

[7] Желтикова 0.0. Аналог леммы Фнлшшова для стохастических дифференциальных включений с производными в среднем/ Желтикова О.О.// Вестник факультета прикладной математики, информатики и механики. -Воронеж: Издательско-полиграфический центр ВГУ. - 2013. - Вып. 9, ч.1 - С. 121 - 128.

[8] Желтикова О.О. Управляемые системы и стохастические дифференциальные включения с производпыми в среднем справа па компактных многообразиях/ Желтикова О.О.// Вестник факультета прикладной математики, информатики и механики. - Воронеж: Издательско-полиграфический центр ВГУ. - 2013. - Вып. 9, ч.1 - С. 129 - 139.

[9] Желтикова О.О. О некоторых вопросах управления для систем с производными в среднем на некомпактных многообразиях/ Желтикова О.О.// Крымская Международная Математическая Конференция. Сборник тезисов. - 2013. - Т.З - С. 7 - 8.

[10] Желтикова О.О. Исследование вопросов управления для включений с производными в среднем на многообразиях/ Желтикова О.О. // Препринт НИИ математики ВГУ. - 2013. - № 47. - 23 с

Работы [4] - [6] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Мннобрнауки РФ.

Подписано в печать 31.10.13. Формат 60x84 '/16. Усл. печ. л. 0,93. Тираж 100 экз. Заказ 1084.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательско-по л и графического центра Воронежскою государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Желтикова, Ольга Олеговна, Воронеж

ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

на правах рукописи

04201365899

ЖЕЛТИКОВА ОЛЬГА ОЛЕГОВНА

Управляемые системы и дифференциальные включения с производными в среднем на

многообразиях

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и

оптимальное управление

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор Ю.Е. Гликлих

Воронеж - 2013

Оглавление

Введение 4

1 Предварительные сведения 18

1.1 Основные сведения из теории с.д.у...............................18

1.1.1 Случай линейных пространств..........................18

1.1.2 Случай римановых многообразий........................21

1.2 Многозначные отображения......................................22

1.3 Классические производные в среднем..........................24

1.3.1 Производные в среднем в!"............................24

1.3.2 Производные в среднем на многообразии..............26

1.4 Уравнения с производными в среднем справа..................28

2 Нестохастическое управление 31

2.1 Допустимые множества..........................................31

2.2 Индекс разрешимости для вариационных неравенств на римановых многообразиях относительно допустимых множеств 33

2.2.1 Задачи вариационного неравенства с допустимыми многозначными векторными полями....................33

2.2.2 Индекс разрешимости для задач вариационного неравенства ....................................................34

2.2.3 Примеры допустимых многозначных векторных полей

на допустимых множествах и теорем существования . 38

3 Стохастическое оптимальное управление для включений с

производными в среднем в евклидовом пространстве 44

3.1 Существование оптимального решения ........................44

3.2 Стохастический аналог леммы Филиппова ....................54

4 Задачи стохастического управления для включений типа геометрического броуновского движения 59

5 Вопросы стохастической оптимизации на многообразиях 72

5.1 Случай компактных многообразий..............................72

5.2 Теория на некомпактных многообразиях ......................80

5.3 Допустимые множества..........................................97

Литература 100

Введение

Понятие производных в среднем было введено Э.Нельсоном (см. [44], [45], [46]) в 60-х годах XX века для нужд построенной им стохастической механики (вариант квантовой механики). Уравнение движения в этой теории (так называемое уравнение Ньютона-Нельсона) было первым примером уравнений с производными в среднем. Позже было показано, что в терминах уравнений с производными в среднем описываются и другие задачи математической физики, экономики и др. (см., например, работы Ф.Гуэрры, Л.М. Морато, Д. Дорн [24, 25, 34, 35], Т. Заставняка [50, 51] Ю.Е. Гликлиха [28, 30, 31], С .Фаринелли [27], Ю.Хе [36] и др.). В работах Ю.Е. Гликлиха [7, 8] (см. также [31]) уравнения с производными в среднем начали изучаться как отдельный класс стохастических дифференциальных уравнений.

Нужно отметить, что классические производные в среднем по Нельсону дают информацию только о сносе стохастического процесса. Решения таких уравнений предполагались процессами Ито диффузионного типа (или даже марковскими диффузионными процессами) с известным диффузионным членом. Затем в работах С.В.Азариной и Ю.Е.Гликлиха [1], [21] была построена другая производная в среднем, связанная с коэффициентом диффузии и являющаяся модификацией классических производных по Нельсону. Это позволило корректно поставить задачу о нахождении процесса по его производным в среднем.

Начиная с работ Э.Д. Конвея [23], П. Кри [39], Ж.П. Обена и Дж. Да Прато [20] и до настоящего времени во всем мире активно развивается теория стохастических дифференциальных включений (см., например, статьи

M. Киселевича [37], M. Михты и Е. Мотыля [43] и др.). Дифференциальные включения с производными в среднем, которые были описаны в работах С.В.Азариной и Ю.Е.Гликлиха [21], являются более широким классом включений. Они естественным образом возникают в приложениях и к ним могут быть сведены обычные стохастические дифференциальные включения.

В работах К.Д. Элворти [26], Я.И. Белопольской и Ю.Л. Далецкого [13] и др. изучались стохастические дифференциальные уравнения на многообразиях. Стохастические дифференциальные уравнения и включения в терминах производных в среднем на многообразиях исследовались в работах C.B. Азариной и Ю.Е. Гликлиха [9, 22].

Вопросы оптимального стохастического управления рассматривались в основном в векторных пространствах (см., например, работы Н.В. Крылова [40], П.Е. Клоедена и Е. Платена [38]). Оптимальное управление системами, заданными в терминах производных в среднем, а также заданными посредством дифференциальных включений с производными в среднем, ранее не рассматривалось ни в векторных пространствах, ни на многообразиях.

Отметим работы (см., например, работы С.З. Немета [47], К. Удриште [49], Д.Ванга и Б.Мордуховича [41], Ч. Ли, Ю. Лю, В.В. Обуховского и Дж. Яо [42] и др.), в которых задачи нестохастической оптимизации рассматривались на гладких многообразиях, однако из-за наличия технических трудностей, только на так называемых адамаровых римановых многообразиях - некомпактных многообразиях постоянной отрицательной кривизны. Напомним, что из теорем Топоногова следует, что все такие многообразия гомеоморфны векторным пространствам. Это обстоятельство резко сужает общность построенных теорий.

Таким образом, встал вопрос об исследовании более широкого класса задач оптимального управления на многообразиях.

Цель работы. Целью данной работы является исследование задач нестохастической оптимизации на неадамаровых многообразиях, нахождение условий существования оптимальных решений включений с производными в среднем как в линейных пространствах, так и на многообразиях (в частности, с использованием построенного аппарата для нестохастической оптимизации на неадамаровых многообразиях), и изучение стохастических управляемых систем с обратной связью с использованием включений с производными в среднем.

Публикации по теме диссертации. Результаты диссертации опубликованы в 10 работах [52] - [61]. Работы [55] - [57] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ. Из совместных работ [52], [52] - [61] в диссертацию включены результаты, принадлежащие лично автору.

Краткое содержание диссертации.

Рассмотрим случайный процесс £(£) со значениями в Кп, заданный на вероятностном пространстве (О, Т, Р). Обозначим через Е% условное математическое ожидание относительно сг-подалгебры сг-алгебры Т, порожденной прообразами борелевских множеств при отображении £(£) : П —> Мп.

Определение 1.17 Производная в среднем справа £)£(£) процесса £(£) в момент времени 4 есть Ь\-случайная величина вида

где предел предполагается существующим в 1а(Г2, Т, Р) и А£ I 0 означает, что Д£ стремится к 0 и At > 0.

Определение 1.19 Квадратичной производной в среднем справа И2<£(£) процесса £(£) в момент времени Ь назовем Ьх(П, Р)-случайную величину вида

где (£(£ + А£) — £(£)) рассматривается как вектор-столбец в Мп; (£(£ + А£) — £(£))* - сопряженный вектор-строка, предел предполагается существующим в ^(П,^, Р) и At 4- 0 означает, что А£ стремится кО и А* > 0.

Для процессов на многообразиях производная в среднем справа оказывается корректно определенной только с использованием связностей и зависит от выбора связности. Производную в среднем, построенную по связности Л, мы обозначаем Пп. Квадратичная производная корректно определена без использования связностей.

В первом параграфе второй главы вводится концепция допустимых множеств:

Определение 2.2 Множество А С М называется допустимым, если оно линейно связно и не пересекает множество раздела ехрд. дЫх любой точки х е А.

В §2.2 рассматриваются вариационные неравенства на неадамаровых многообразиях.

Пусть А С М - замкнутое локально выпуклое множество, а, и С А -ограниченное открытое подмножество.

Рассмотрим следующую задачу на полном римановом многообразии (М,д): Найти х* ей и V* € Ф(ж*), такие что

<гЛ-Ь*у(0))р > 0 для всех у Е А,-ух.у 6 (2.1)

где - множество геодезических {7^)} целиком лежащих в А, таких что 7(0) = х и 7(1) — у.

Использование концепции допустимого множества дает нам возможность доказать вариант теоремы существования решения для данной задачи на допустимых множествах, основанной на использовании индекса разрешимости, введенного в работе Ч.Ли, Ю. Лю, В.В. Обуховского и Дж.Яо.

Теорема 2.24 Пусть задано допустимое многозначное векторное поле 5 на замкнутом локально выпуклом допустимом множестве А и пусть и С А является открытым стягиваемым подмножеством, таким что 811 ПБо1(Е, 0) = 0. Пусть к тому же задано непрерывное векторное поле У(х) на 811, такое что оно направлено вовнутрь и во всех точках 811, и для всех X > 0 в каждой точке х € д11 выполняется соотношение —ХУ(х) П Н(ж) = 0. Тогда существует решение задачи вариационного исчисления (2.1) внутри и.

В третьей главе рассматриваются включения с производными в среднем справа в линейных пространствах и доказываются теоремы о суще-

ствовании решения, которое минимизирует некоторый функционал качества и о существовании измеримого сечения управления, реализующего оптимальное решение включения как траекторию управляемой системы.

Рассмотрим многозначные отображения а(£, х) и а^,х) из [О;Т] х Еп в К" и в ¿>+(п) (где ¿>+(п) - множество всех положительно определенных симметрических квадратных матриц порядка п), соответственно.

Определение 3.1 Дифференциальным включением с производными в среднем справа будем называть систему вида

Определение 3.1 Будем говорить, что (3.1) имеет решение на [О;Т] с начальным условием £(0) = гго, если существует вероятностное пространство (П, Т, Р) и заданный на нем процесс £(£) со значениями в такой, что Р-п.н. и для почти всех £ € [0;Т] выполняется (3.1).

Для доказательства дальнейших результатов в §3.1 вводится определение совершенного решения:

Теорема 3.4 Пусть х) - полунепрерывное сверху многозначное отображение из [0; Т] х Мп е с замкнутыми выпуклыми образами и удовлетворяющее оценке

Пусть а(£, а;) является полунепрерывным сверху многозначным отображением с замкнутыми выпуклыми образами из [0;Т] х К" в 5+(п) и

€а(£, <£(£)),

(3.1)

Ыг,х)\\2<к(1 + \\х\\2).

(3.2)

(3.3)

для некоторого К > 0.

Тогда для любой последовательности £{ —» 0, £1 > 0, любая пара последовательностей а^,х) и ег-аппроксимаций многозначных отображений а(^,ж) и соответственно, порождает совершенное решение включения (3.1) с начальным условием

Пусть / является непрерывной ограниченной функцией с вещественными значениями на К х К". Рассмотрим функционал качества вида

Теорема 3.8 Среди совершенных решений (3.1), построенных в доказательстве теоремы 3.4, существует решение £(£), на котором значение функционала качества 7 минимально.

Будем рассматривать управляемую систему с обратной связью вида

Здесь а:[0,Т]хГхГ->Гиа: [0, Т]хГх1т^ 5+(п) - измеримые по Борелю отображения; Кта - пространство управляющих параметров; ¿Л, II<2 : [0,Т] х Еп —> К(Шт) - мультифункции обратной связи.

(3.12)

из(и(«)) € смиКО-

(3.13)

Решением управляемой системы (3.13) назовём пару {£(£), (^1,^2)}? которая состоит из процесса £(/;) и управления (иь?^)- Здесь £(£) : [О, Т] —» Кга - процесс диффузионного типа, такой что Р-п.н. удовлетворяет (3.13) почти всюду на [О, Т], а 1*1,142 : [О, Т] х1п-> Мт - измеримые по Борелю функции, удовлетворяющие включениям из (3.13) всюду на [О, Т].

Введём многозначные отображения а(1.,х) = а(£, х, и^, х)) и а^,х) = х, х)). От управляемой системы перейдём к ассоциированному с ней дифференциальному включению типа (3.1).

Теорема 3.9 Пусть а(£, х) - полунепрерывное сверху многозначное отображение из [0; Т] х 1п б с замкнутыми выпуклыми образами и удовлетворяющее оценке

Пусть а(£, ж) является полунепрерывным сверху многозначным отображением с замкнутыми выпуклыми образами из [0;Т] хЕ" б (п) и для каждого а(Ь, х) € с*(£, х) выполняется оценка

для некоторого К > 0.

Мультиотображения Ui(t, х), х) : [0, Т] К(Rm) - полуне-

прерывны сверху и выполняется включение 3.1 при почти всех tel.

Тогда существует такие измеримые сечения щ е S^ и щ е Su2, что выполняется система (3.13) при почти всех t € [0, Т] .

Четвертая глава посвящена исследованию включений типа геометрического броуновского движения, введенных C.B. Азариной и Ю.Е. Гли-клихом. Мы также даем некоторую модификацию конструкции подобных включений.

||а(*,*)||2<7ф-НМ|2).

(3.2)

|tra(t,ar)| < К( 1+ |М|2)

(3.3)

Рассмотрим следующее обобщение так называемого геометрического броуновского движения: пусть S(t) - процесс, удовлетворяющий системе стохастических дифференциальных уравнений

dS\t) = SVfoS^t),... ,Sn{t))dt + ..., Sn(t))dw\ (4.1)

где wi - независимые винеровские процессы в Я1, которые вместе порождают винеровский процесс в Rn, a(t, х) - векторное поле на Rn, A(t, х) -отображение из [О,Т] хЯпв пространство линейных операторов L(Rn, Rn) и через (Aj) обозначена матрица оператора А.

Предположим, что координаты S1 решения уравнения (4.1) положительны для всех t. По формуле Ито процесс £(i) — log/S^i) = {log Sx(t),..., log ¿>п(£)} удовлетворяет уравнению:

d?(t) = (а< - \(A^kAi))(t,mdt + AJ(t,«t))Mf), (4-2)

поскольку dwl • du>i = 5l^dt (здесь - символ Кронекера: 6гг — 1. S1^ = О при i ф j).

Введем следующие обозначения: симметрическую неотрицательно определенную матрицу АА* (где А* - оператор, сопряженный к оператору А) обозначим В; вектор, составленный из диагональных элементов симметрической матрицы В, обозначим diagB.

Если процесс удовлетворяет (4.2), он также удовлетворяет следующему уравнению с производными в среднем

D£(t) + \diagD£(t) = a(t, £(*)),

D2at) = B(t,m)-

Рассмотрим многозначные отображения а(