Дифференциальные уравнения на многообразиях (редукция и асимптотические решения) тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукопису

БЄЛКІНА Світлана Рудольфівна

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ НА МНОГОВИДАХ (РЕДУКЦІЯ ТА АСИМПТОТИЧНІ РОЗВ’ЯЗКИ)

01.01.02 - диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-г.іатематиншх наук

Робота виконана в Інституті математики НАН України

Науковий керівник: доктор фіз.-мат. наук ЛОПАТІН О.К.

Офіційні опоненти : доктор фіз.-мат. наук БОЙЧУК О.А.

кандидат фіз.-мат. наук БОРИСЕНКО С-Д. ,

Провідна установа : Київський університет

Захист відбудеться 1996 р. о _____ _ год

на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 01.66.02 при Інституті математики НАН України за адресою:

252601 Київ, МСП, вул. Терещенківська 3.

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці інституту.

Автореферат розісланий і-д ^$____ 1996 року.

Вчений секретар ' '

спеціалізованої ради п ? —— .

доктор фіз.-мат. наук ------„ЛУЧКА А.Ю.

Загальна характеристика роботи Актуальність теми. Методи вивчення нелінійних коливань, такі як груповий аналіз диференціальних рівнянь (задача деком позиції, редукції до задач меншої розмірності), методи теорії збурень (різноманітні варіанти асимптотичних розкладів, осереднення, побудова інтегральних многовидів), методи нормалізації (класичний метод нормальних форм Пуанкаре-Біркгофа та його модифікації, нормалізація Ляпунова-Шмідта) широко застосовуються в сучасній теоретичній та прикладній механіці.

Груповому аналізу, який бере початок з досліджень С.Лі та його учнів, присвячені роботи таких вчених як Ж.В.Блюмен, Д.Д.Кол; Н.Х. Ібрагімов, П. Олвер, Л.В. Овсянніков, В.І.Фущнч, А.Г.НІКІТЇН та інших.

Теорія нелінійних коливань, розроблена М.М.Криловим і М.М.Боголюбовим, поклала початок новому напрямку в математичній фізиці під назвою “нелінійна механіка”. Значний внесок у розвиток теорії нелінійних коливань за останні десятиріччя зробили роботи Ю.О.Митрогіольського, А.М.Самойленка та їх учнів.

Геометричний підхід в теорії нелінійних коливань розглянуто в монографіях Ж.Сандерса, Ф.Верхалста; Ж.Гугенхеймера, Д.Холмса та інших.

Застосування ідей групового аналізу до методів теорії збурень привело до розробки техніки застосування рядів Лі до методу осереднення, яка вивчається в роботах Ж. Хорі, А. Кемела.

Ю.О.Митропольськпй та О.К. Лопатін розробили попий метод асимптотичного аналізу нелінійних динамічних систем, шо

дістав назву методу асимптотичної декомпозиції. Цей метод є розвитком методу осереднення • М.М.Боголюбова1 на основі використання теорії груп неперервних перетворень, що дало можливість розробити техніку нормалізації на групах Лі..

Дисертаційна робота присвячена вивченню питань декомпозиції лінійної частини систем диференціальних рівнянь, що ідейно примикають до робіт О.М.Крилова, О.М. Данілевського, О.К.Ло-патіна, а також дослідженню методу асимптотичної декомпзиції Ю.О. Митропольського та О.К. Лопатіна.

Мета роботи:

- побудоБа конструктивних алгоритмів декомпозиції (приведення) лінійної частини систем звичайних диференціальних рівнянь на підсистеми меншої розмірності;

- знаходження асимптотичних наближень систем нелінійних звичайних диференціальних рівнянь за методом асимптотичної декомпозиції на основі використання простору представлень груп Лі;

- обгрунтування методу асимптотичної декомпозиції.

Загальна методика досліджень. В дисертаційній роботі використовуються методи теорії збурень (метод осереднення та його розвинення - метод асимптотичної декомпозиції), методи теорії диференціальних рівнянь, алгебри (матрична алгебра, теорія скінченновимірних алгебр Лі, елементи теорії неперервних груп та їх представлень), методи функціонального аналізу.

. Наукова новизна результатів дисертаційної роботи полягає в тому, що в ній вперше:

• запропоновано конструктивний алгоритм декомпозиції систем лінійних звичайних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами, застосовувати який можна навіть не маючи інформації про характеристичні числа (узагальнений лінійний мгтэд);

• доведено теорему про кількість блоків на головній діагоналі в дскомЕОЗОваиіЯ мптрипі, отриманій за методом О.М.Данілєвсь-кого при переході до матрипі Фробеніуса. На основі одержаних результатів запропоновано узагальнення методу О.М. Крилова зведення системи диференціальних рівнянь до одного рішшшш високого порядку (метод узагальненого виключення);

» запропоновано внхорксташія формул Ньютона для обчислення слідіз степені» матриці Фробеніуса у методі О.КЛогіатіна декомпозиції по нільпатентній складовій;

® узагальнено метод нормальних координат Б.В. Булгакова на сипздок нелінійних елементарних дільпикіз;

® досліджені коливальні процеси систем нелінійних звичайних диференціальних рівнянь на групах 50(2), Б0(3) з

використанням чгсткогого осереднеїшя на групах за методом ссимптотичної декомпозиції;

» розроблено процедуру переходу ДО Д!>фереї?цізльшіх рівнянь на тіогозздзя в централізованій системі;

» доведено аналог першої теореми М.М. Боголюбова для методу асимптотичної декомпозиції у випадку простору аналітичних та нескінченно диференційованих коефіцієнтів.

З

Теоретична та практична цінність. Дисертаційна робота носиїь теоретичний характер. Всі'одержані результати Є новими. Результати, отримані у першій частині дисертації, можуть бути використані для подальшого розвитку теорії диференціальних рівнянь, алгебри та обчислювальних методів, а результати другої та третьої частин - в теорії асимптотичних методів.

Апробація роботи. Основні положення, та результати, викладені в дисертації, доповідались на семінарах відділу математичної фізики та теорії нелінійних коливань Інституту математики НАН України, а також на міжнародній науковій конференції, присвяченій пам’яті академіка М.П.Кравчука (Київ, 1992) та на науковій конференції ’’Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики-вторые Боголюбовские чтения”(Київ, 1992).

Публікації. Основні результата дисертації опубліковані в роботах [1-7].

Статті 11-3,5} опубліковані у співавторстві з науковим керівником. Результати статті [1] належать обом авторам в однаковій мірі. В роботі [2] О.К. Лопатіну належить алгоритм декомпозиції за нільпотентною складовою. В статтях {3,5]

О.К.Лопатіну належать постановки задач. Решта результатів, опублікованих у співавторстві з О.К.Лопатіним, отримані автором дисертації особисто. '

Структура і об’єм роботи. Дисертаційна робота складається із вступу, трьох розділів, висновку та списку використаної літератури. Дисертація складається з 103 сторінок машинописного тексту.

Зміст роботи

У вступі дається обгрунтування актуальності роботи, формулюється мета дослідження, його теоретична та практична цінність. Проводиться короткий огляд робіт по даній темі, дається опис змісту та результатів дисертації. '

Розділ ' І присвячений розробці конструктивних методів лекомпозиціі систем лінійних звичайних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами.

У § 1.1.1 розглядається задача: звести систему дифференціальних рівнянь у нормальній формі

У = Ау, (1)

де у - п-вимірний вектор, А - постійна матриця розмірності «хя, за допомогою перетворення у—02, де (г^сої^ - матриця розмірності ях«, сИСэЮ, до квазітрикутного (трикутного) вигляду

г = Сг, (2)

де .

ге, С,2 •• С1р\

0 С2 •• С2р

,0 0 .. Ср ,

С/, і - 1 ,р , - блоки розмірностей V,...V , V, +у2+...+г/) -п.

Класифікацію методів декомпозиції можна провести таким чином.

мятпнтії, птп’спхпгуті-ло гмрт^т.» птіїЧтіу о їтг«лГ»*-'.пУм*і*^ г-іїнгіпи»

. ^ ^ ..ишитА «.і1кир«і

Інформація щодо власних чисел та векторів матриці А не потрібна.

Трансценденті методи: використовується інформація про загальний вигляд характеристичного рівняння матриці А та його корені.

Аналітичні методі*: використовується теорія елементарних дільників. ,

Запропоновано критерій про можливість декомпозиції системи (І) до вигляду (2) за допомогою лінійних методів.

Теорема 1.1. Якщо матриця коефіцієнтів А у системі (І) має кратні власні числа, то за допомогою лінійних методів можна виконати перетворення системи (1) до каазітрикутного вигляду (2).

У п. 1.1.2.1 розглядається метод О.М. Данілєвського переходу від матриці А до матриці Ку канонічній формі Фробеніуса

К =

'-а. -а 2 ~а3 • • -а„-і -а,'

1 0 0 . . 0 0

0 1 0 . . 0 0

0 0 1 . . 0 0

о і 0 0 . :. 1 0 ,

(4).

У п. 1.1.2.2 доводиться теорема про кількість блоків, що знаходяться на головній діагоналі ь квазітрикутній матриці С (3) системи (2). ■ Теорема 1.2. Застосування алгоритму О.М.Данілсвського до матриці А розмірності п х п приводить до квазітрикутноїматриці з не менш як 5 блоками на головній діагоналі.*, де і - кількість інваріантних множників матриці, степінь кожного з яких вища за нульовий.

В п.1.1.2.3 результата теореми 1.2 детально розглядаються на прикладах.

В § 1.1.3 описано метод О.КЛопатіна декомпозиції матриці А системи (1) за нільпотентною складовою.

Підрозділ 1.2. присвячений описанню та обгрунтуванню узагальненого лінійного методу.

В § 1.2.1 наведено теорему про конструювання нільпотентної

к=п-т лінійно незалежних позв ’язкія

а(|) =со/|й/,),аД...,дя(,>||,.., а(к) =со/|<з,(<:),д2(Л:),...,а„ системи лінійних алгебраїчних рівнянь Ма — 0, де ІгЕ ігА ... іїАп~х

<*)І|

М--

ІгА іїА2 ... 1гАп

(5)

ЛгАп~1 іїАп ... ГгЛ2(л визначають нільпотентну матрицю Ан =а,В1+....+акВк, де

Вх =а,(,) +а(2')А+...+а(п')Ап-',..., Вк =а}*> +а[к)А+...+а,пк)А,,-\

В § 1.2.2 вивчається застосування методу О.К. Лопатіна декомпозиції за нільпотентною складовою до матриці Фробеніуса^(4). Тут вдається уникнути громіздкої операції обчислення сліду степенів звідної матриці для складання матриці М (5). Вона замінюється простими обчисленнями на основі формул Ньютона. Тепер досить обчислення не більш як я-1 степенів матриці А для побудови нільпотентної матриці В. Якщо через О/ позначити суми <31 - + А/2+....>-+Х!п V = 1,2,3...., де А,', і = і,п,- корені хлрак-

теристичного рівняння Д(А.)=Хп + а(А. +..... .-кх„, тоді формули Ньютона приймуть вигляд ' „

а, +а,СТ/_! +а2с,_2+.........*/а, -0, / =

+аіст»+/-і +«20л+/-2+.*а яст, - 0, / = 0,1,2,3..........

В § 1.2.3 доведено теорему 1.1. Наводиться опис узагальненого лінійного методу: .

1. До матриці А системи (1.1) застосовується метод О.М.Дані-лєвського.

1. Якщо 1<5<*п, тоді з теореми 1.2 випливає, що матриця А може

бути декомпозована. Подальше розщеплення блоків С,, і = І, р, виконується методом декомпозиціі за нільпотентною складовою. Для цього необхідно, щоб матриця М) (5) була виродженою.

3. Якщо 5=7 та є кратні корені, тоді в жордановій нормальній формі матриці А існують нетривіальні жорданові блоки. Матриця А розщіплюється методом декомпозиціі за нільпотентною складовою.

В § 1.2.4 узагальнений лінійний метод розглядається на прикладі матриці Смирнова.

В § 1.3.1 описано ще один лінійний метод - метод узагальненого виключення, що є подальшим розвиненням методу О.М. Крилова розв’язку вікового рівняння, приводячи до еквівалентних перетворень. Таким чином, на відміну від метаду О.М.Крилова, не трапляється ні можливої втрати коренів характеристичного рівняння, ні їх кратності. Доведено еквівалентність початкової та декомпозованої системи. У цьому методі на основі системи (1) будується алгебраїчна система вигляду

У\ = 0\У = Ь У

у,(2> = ахАу- = Ь2у

уМ = я1Лл~ 'у = Ьпу

де Ь/, і - 1,л,- вектор-рядки матриці В, У2>Уз>"--.->Уп * невідомі функції. Система (6) може бути розв’язана відносно невідомих функцій У2>Уі>......>УП’ якщо матриця коефіцієнтів при цих невідо-

мих невироджена. Позначивши цю матрицю /, будемо мати сіеи^О.

Теорема 1.3. (Іеі J — 0 тоді і тільки тоді, коли матриця А системи (1) методом узагальненого виключення зводиться до блочно-трикутного вигляду.

Твердження 1.1. Для того, щоб Леї }=0, достатньо, щоб існувало власне число к0 матриці А, характеристика Вейера якого

має вигляд {к,а,Р..........у}, де к>1. Це означає, що дефект

перетворення А-к0Е, що дорівнює числу елементарних дільників, які відповідають кй, більше за].

В результаті використання методу узагальненого виключення отримується еквівалентна декомпозована система такого вигляду:

• Л"+,/ =/.■>-, -Л*0 •

у(к*\) _ ^]Уі+...+/2 т^у[т) + /2 т^у2 +—+/г^к,2Уі )

УІ'*П в/*іЛ+-+/і^іЛ("> +/,л,*іУі+-+/,^к*7У2)+‘" +

/' / (/)

з,т+к+...+*Уз і

Повернення до системи диференціальних рівнянь першого

порядку виду (2) виконується шляхом заміни : і '

У, ~ Уз ■ £/+!>•••> ,У| — £/+... + »>•••> Уі — £/+... + і+т •

Теорема 1.4. При виконанні умов твердження 1.1, '

застосовуючи алгоритм декомпозиції за методом узагальненого виключення до довільного рядка системи диференціальних рівнянь (1), отримаємо квазітрикутну матрицю виду (3) з не менш як ї блоками на головній діагоналі, де 5 - кількість інваріантних множників матриці степені вище за нульову.

В § 1.3.2 наводяться приклади декомпозиції1 за методом

узагальненого виключення.

В § 1.4.1 дається визначення нормальних координат Б.В.Булгакова.

В § 1.4.2 запропоновано аналітичний метод перетворення системи диференціальних рівнянь

/ф)х = Х( 0. • (7)

де Б- —,/(£)) = +а,01-1+......+а1, ап - постійні

матриці розмірності А х й, х = ||х.......ха||Г_ невідома вектор-функція, х= Цх,,..........................Ха| - неоднорідна складова системи, до нормаль-

них координат Б.В.Булгакова. Відомо, що перетворення системи (7) до нормальних координат можливе для систем з лінійними елементарними дільниками. В цьому параграфі дещо послаблюються умови, накладені на систему : метод нормальних координат Б.В.Булгакова переноситься на системи з нелінійними елементарними дільниками. Більше за те, не потрібне обчислення приєдиа-

ної матриці, спрошено обчислення характеристичних чисел. Необхідно зазначити, що запропонований алгоритм є конструктивним, його використання розглядається на прикладі.

' Н розділ присвячений процедурі нормалізації систем нелінійних диференціальних рівнянь на основі методу асимптотичної декомпозиції.

В § 2.1 описано загальну схему алгоритму асимптотичної декомпозиції та його зв’язок з методом осереднення М.М.Боголюбова.

§ 2.2 присвячений частковому осередненню на основі методу асимптотичної декомпозиції при збуреннях на групі SO(2).

У § 2.2.1 для рівняння Ван-дер-Поля у полярних координатах

l--(sin2<p'~— sin2cp' + — sin4cp')

2 4 ^

= —(1-^—+ cos2(p' + ^—cos4cp') сйч 2 4 Л

на основі нижченаведенного алгоритму знайдена частково осеред-иена на основі метода асимптотичної декомпозиції система. Для її знаходження розглядається оператор U'0, асоційований з системою (8), Uq — U' +zUf. Оператор V'0 перетворюється на основі заміни змінних у вигляді ряду Лі: р' = ехр(є S)р, ер' = ф, де

.2

1!" 2Г

ехр(є5) = 1 + ^^ + ^тіУ2+...;5, = 5,+є5'2+...;

■Уі “У/(Ф.Р)^-, » =

ар

Таким чином, на відміну від методу асимптотичної декомпозиції, перетворення застосовується тільки до змінної, яка

характеризує досддадгвашій миоговвд. В результаті значно скорочується об’єм обчислень, особливо в тих випадках, копи розмірність системи велика.

Згідно формули Кемпбела-Хауедорфа перетворений оператор 1/£ можна представити у вигляді нескінченного раду:

и£ =і/+ені/д)+/;н„.+е^Л]+> (9)

де /*], і = І,®,- відомі на і-му кроці оператори, 5^ - шукані оператори. Якщо визначити оператори 5, як розв’язки рівняння

Іі/д ЇН/*-#*/«)£, * = гр

де проекція оператора /и — на алгебру нейтралізатора є

Ф

середнє на групі 56^2):

І 2п

ЯЛ*“Г- У»

А* • : '•

то оператор и$ набуває вигладу:

«

І!* = и + г(/п~ + рг/п |-)+..+е*(/*. ~ + р^,а —>+■■>

Після виконання обчислень ми приходимо до частково осередненої системи у другому наближенні;

^ = 1 -1 (яп2<р “ у яп2(? + ^ 8ІП 4<р)-

2 2 І 2 п2

---—(-япг2<р + (—— )8Іп2ф8Іп4ф +“8Іп24ф) *

в 2 8- 16

<* 2 8

Проведено порівняння знайденого результату з системою, отриманою на основі методу осереднення Боголюбова-Митропольського.

В § 2.2.2, 2.2.3 розглянуто рівняння Дюфінга та рівняння лінійної системи з затуханням. Отримано відповідні частково осереднені за методом асимптотичної декомпозиції системи. Проведено порівняння отриманих результатів з методом асимптотичної декомпо-зиції з повним осередненним.

В § 2.3 вивчається часткове осереднення на основі методу асимптотичної декомпозиціїнаприклад! системи

~± = х'2-г{х[г -х'г2)

-^**х$-х,'-2б(х{х}+х5хО ,

= -х'2 + єхз(х,'2 + х'22 + х;2 - 2)

нульове Наближення якої має розв’я&к з 50(3).

Після переходу до сферичних координат

Х{ = Р 5ІП0 СОвф, X} =рБІЛв БІПф, Хз = рСОЯв проводиться заміна змінних у вигляді наступного ряду Лі:

р=Є^р,

де 5,(р) = 5'і+є5ї+...+єп'І^„+...; 5, =у,(р,Ф,0)^г, / = 1,2,...

Зр

Тоді, на основі формули Кемпбела-Хаусдорфа, маємо вираз (9),

3 3 3

де Рі - /„ — + /п —- + /з —- - відомі на і -му кроці функції, бр 5ф 50

5, - шукані функції, що визначаються таким чином:

[^5,М£%,Є),У Др,Ч>,0)|г]= уДр,Ф,0)|: И/н -рг/(1)|:,

Зр Зр Зр

де рг}л - проекція /(І на алгебру централізатора.

В операторних рівняннях Цу, (р,<р,0 ) = - рг/,, і = 1,оо, праві

частини та шукані функції у, розкладаються у ряд Фур’є за

основними сферичними функціями /, =|У)'”|и / = 0,1,2,.,.,

який для деякої функції g має вигляд

Е = І Е СрУ?, СГ =2) )еУТ 5Іп0<*к*р .

Ы0т=-1 о 0

В результаті одержуємо:

У(У,о +/іУ а +/2У/2+/зУіз+-) =

= //0 + /і ЬП + /з */2 + /з ЬІЇ+--РГ/п Позначимо рг/п = /,0 + / ргЬп+& ргЬ,2 + /3 ргЬп+...,

тоді ^/ІУл+^ЛУ/2+^/зУ/з+-е = /|(*л- /”А) + Л(&/2 - ^Й/2> + /М, - РгЬп)+...

Якщо ^ - матриці представлення оператора і/ у базисах /,•,

А А і

и /,=/; Э,, тоді

/і ЗіУ/1 + /2 52У(2+/з ^у/3•

= Уі(&,і - ргЬп) + /г(Ьп - ргЬі2)±/г(Ьл - ргЬіг)+...

Задача зводиться до розв'язання систем лінійних алгеС^гших рівнянь: ,

3iY ,i = bn - prbn, D2у n = b,2 - prbl2, 33y /3 = bn - prba.....

де -матриці представлення оператора Uу базисі ft, у - іиука-

пі вектори, by - веьсгорії коефіцієнтів у розкладі функції у ряд

Фур’є за основними сферичними функціями, prffy- - проекції bjj на

алгебру нейтралізатора Щ.

Після перетворень отримаємо систему у першому наближенні:

~т-е(~р(р2 -2)+^-{-6asfpsinO-6«3sO)+-\p(p2 -2}{2cos2psht20 + ct 3 ш зі

2 о2

■fScostp sinO oosO + - (3 cos2 0 -1)} + —= (бл/30 cos Зф sin3 0 +

J 32V30

+ЗбУЗбссв2рзпг0сск0 -^^coscpsiriO(l~5cos2O)-^^coG0(5aB2O -3)))

' ъ 45 ° n/5 ,

dty _ . 2 . . pcos20sinq>

—— = -1 + CtgQ COStp + E(-pS!n0 COS <J) 51Пф - ---------— -

at . sinO

-2p cosrp sinp cosO)

— = simp + E(-p sin2 0 cos9 cos3ф + p cos5 0 cos® -at

-2p sin2 0 sin2 cp сояф cos0 - 2psin0 sin2 9 cos2 в - sinO cos0(p2 - 2)) Тверджєінія 2.1. Якщо у еиразі для проекції

Щ,гг)

рґ bjj CLjjZyt O'jj

(Zy > Zjj*)

(Ьу ,Zj/•) = 0,щo означає, що кожний ]-й вектор коефіцієнтів розкладу

/іі вряд Фур'е за осиленими сферичними функціями, е ортогональним

відповідному базису ^ простору, спряженому до ядра матриці

представлення оператора V, то отримане наближення еквівалентне осередненню правої частини рівняння з похідною по сферичному радіусу,

2 2л я

де середнє береться на групі Б0(3), рг/п = //0 =— | }/„ 5ІП0£©*Ар.

- 4я о о

1ІГ розділ присвячений вивченню асимптотичної близькості розв’язків нелінійних систем диференціальних рівнянь на мвого-видах.

В § 3.1.1 розглядається автономна нелінійна система диференціальних рівнянь виду

~~ =ю(х') + ею(х'), (Ю)

т

де х’ - невідома вектор-функція розмірності п, ю(х'), б(х') - аналітичні вектор-функції, визначені в деякій області Д, Є - малий параметр. Вихідній системі ставиться у відповідність централізована система

~ = и(х)х + ^(т>(х)х + єм+ІЛ(х,є)х, <П)

о/

де Щх) - оператор, асоційований з системою нульового Наближення (10), М(т)(х) = N1(x) + €ІУ2(х)+...+єт ,Лгт(х), #

* 8 ' МЛх)-'Т,К(х)'Г~*у-№’"‘‘> -оператори, отримані в процесі

М

перетворення системи (10) у систему (И) за допомогою аналітичної ,

5<и,(^) = «5'. +Е5,-+...+ст'15' , = і}(х)-^~, у = \,т,

12 у«і 8х] .

й(х,е)- відомий вектор аналітичних функцій, якщо після т кроків визначені коефіцієнти операторів Ич і (V = \,т). .

У загальному вигляді описано перехід до рівнянь на многовидах в централізованій системі.

В § 3.1.2 розглядається перехід у централізованій системі на многовид розмірності п.

В § 3.1.3 розглядається випадок многовиду розмірності к<п.

Остаточно отримано наступні системи:

І. Скорочена централізована система (точна)

~ = £^ет)(у)уІ +гт~*%(е,у)у,, І = ІЖ

1 - " (,2) ^ = иЛУ)Уі +гМ^ІУ)У1 + гт+%(г,У)Уі, і = к + 1,п.

2. Централізована система т-го наближення (наближена)

&

(13)

~ = иЛУ)Уі +є^(у)у„ і. к ♦1 ,я,

де ___

ЛГ,<И)(ЯЛ = Р,{ух,...,ук), і = їк,

7*) - аналітичні функції своїх аргументів.

В § 3.2.1 доведено асимптотичну близькість роз’язків на многовидах (аналог першої теореми М.М. Боголюбова) у випадку простору аналітичних функцій.

В § 3.2.2 задається топологія у просторі нескінченно диференційованих функцій на основі дораджуючої алгебри Лі вихідної диференційованої системи (10) у вигляді злічешюї системи норм:

де Х1,...,Х<} - базис аотейри Чі В, лінійно незалежні лілійні диференціальні оператори з коефіцієнтами з визначеними у замкнутій иідабдгеть т ебшсті Д, «р> - нескінченно диференційована фршкя, довішаний ©исраіор алгебр» діє із простору О,

З НОрМШ? ||®||р. у Ир'ОСТЇр.'ЗГИрМОКУ' 14

Тесремз 312. Норма ||в||' і' |Н|: ( узгоджені

Б § 3.2.3 з& доїтокдаозої введеної у § 3.2.2 норми дсгздться теорема 3.1 мре гжимшотигаку близькість йпетралмшх шюговидїв точної та шбїшжетїої систем р2> та (ІЗ) у просторі нескінченно дггфереігцїйевамш функві# у випадку скінченновимірної

інтервалі [0, ^У] маг місце асимптотична оцінка

<с

шр'оджуючої алгебри Лі В.

Основні результати та спсноскп

1. Запропоновано конструктивний алгоритм декомпозиції систем лінійних звичайних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами, застосовувати який можна навіть не маючи інформації про характеристичні числа (узагальнений лінійний глетод).

2. Доведено теорему про кількість блоків на головній діагоналі в дСпи*<імОЗОімш)і і’їиТрїїіи, отрїїМиїпй за методом О.М.Даншєвсь-кого при переході до матриці Фробеніуса. На основі одержаних результатів запропоновано узагальнення методу О.М. Крилова зведення системи диференціальних рівнянь до одного рівняння високого порядку (метод узагальненого виключення).

3. Запропоновано використання формул Ньютона для обчислення слідів степенів матриці Фробеніуса у методі О.К.Лопатіна декомпозиції по нільпотентній складовій.

4. Узагальнено метод нормальних координат’Б.В. Булгакова на випадок нелінійних елементарних дільників.

5. Досліджені коливальні процеси систем нелінійних звичайних

диференціальних рівнянь на групах 80(2), 80(3) з

використанням часткового осередкешія на групах за методом асимптотичної декомпозиції.

6. Розроблено процедуру переходу до диференціальних рівнянь на мпоговндах в централізованій системі.

7. Доведено аналог першої теореми М.М. Боголюбова для методу асимптотичної декомпозиції у випадку простору аналітичних та нескінченно диференційованих коефіцієнтів.

Основні результати дисертації опубліковані в наступних роботах:

1. Лопатин А.К., Белкина С.Р. К вопросу о нормальных координатах Булгакова// “Асимптотическое интегрирование нелинейных уравнений.”- Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1992.-С.66.

2. Лопатин А.К., Белкина С.Р. Новый критерий декомпозируемости дифференциальной системы к квазитреугольному виду//Докл. АН России,- 1995.-340, № 3.-С.311.

3. Лопатин А.К., Белкина С.Р. Конструктивные методы декомпозиции систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.- Киев, 1992.-18 с.-(Прелр. /НАН Украины. Ин-т математики; 92.35).

4. Белкина С.Р. Нормализация нелинейной дифференциальной системы по методу асимптотической декомпозиции. -Киев, 1995.-19 е.-(Препр. /НАН Украины. Ин-т математики; 95.12). ч

5. Лопатин А.К., Белкина С.Р. Колебательные процессы как возмущенные движения на группах 80(2), БО(3). - Киев, 1996,- 29 с. - (Препр./НАН Украины. Ин-т математики; 96.1).

6. Белкина С.Р. Конструктивные методы декомпозиции систем дифференциальных уравнений высокой размерности//Тез. докл. конф. “Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики-Вторые Боголюбовские чгтения”-Кмев, 1992.- С. 20.

7. Лопатин А.К , Белкина С.Р. К вопросу о конструктивных методах декомпозиции систем дифференциальных уравнений высокой размерности//Тез. міжнар. конф. присвяченої пам'яті акад. М.П.Кравчука, Київ-Луцьк, 22-28 верес. 1992 р.-Киш: 1н-т математики АН України, 1992.-С. 117.

' Диссертация иа соискание ученой степени кандидата физикоматематических наук по специальности 01.01.02 -

дифференциальные уравнения. Институт математики НАН Украины, Киев, 1996.

Защищается диссертация, посвященная исследованию систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений на многообразиях. Построены и обоснованы конструктивные методы декомпозиции линейной части дифференциальной системы на подсистемы меньшей размерности. Исследована модификация метода асимптотической декомпозиции - частичное усреднение систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений на группах 50(2), 50(3). Построены интегральные многообразия по методу асимптотической декомпозиции. Доказана асимптотическая близость решений систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений на многообразиях (Аналог 1-й теоремы Боголюбова) для пространств аналитических и бесконечно дифференцируемых функций.

Thesis for the degree of Doctor of Philosophy in Physics and Mathematics, speciality 01.01.02 - Differential Equations. Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 1996.

This thesis is devoted to the investigation of systems of non-linear differential equations on manifolds. The constructive methods of a differential system linear part decomposition into smaller subsystems were created and substantiated. The asymptotic decomposition method modification - the partial averaging on SO(2), SO(3) groups was investigated. Integral manifolds were constructed on the basis of the asymptotic decomposition method. The asymptotic proximity of the solutions of the systems of non-linear differential equations on the manifolds (the first Bogolubov’s theorem analogue) was proved for the spaces of analytical and infinitely differentiable functions.

Ключові слова : лінійні методи декомпозиції, нормальні

координати, осереднення за Боголюбовим, часткове осереднення, граничний цикл, інтегральний многовид, теорема Боголюбова, асимптотична декомпозиція, алгебра Лі, представлення групи,

(редукция її асимптотические решения)”

Belkina S.R. “Differential equations on manifolds (reduction and asymptotic solutions)”.

спеціальні функції.

ІІідп. до друку йЙ.Оіі.Зб. Формат 60хБ4/1Є. Папір їші. ОІїс. друк. Ум. друк. арк. 1,39. Ум. (їарбо-відб. 1,39. 'Оод.-вкд. арк. 1,0. Тііраік 100 пр. Зам. 49. Безкоштовно.

іЗіддруковано в Інстлїуті математики ІШІ /країни ЖбОї Київ 4, МСП, вуп. ТерещенкІБОЬіи, З