Дифференциальные уравнения второго порядка с сингулярными коээфициентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

САДРИЕВА Рита Тагнровна

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С СИНГУЛЯРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

01 01 02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

□03070374

Стерлитамак - 2007 г

003070374

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений ГОУ ВПО «Башкирский государственный университет»

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор Султанаев Яудат Талгатович

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор Мукминов Фарит Хамзаевич, доктор физико-математических наук, доцент Фазуллин Зиганур Юсупович

Ведущая организация

Московский государственный университет им М В Ломоносова

Защита состоится 29 мая 2007 г в 16 часов 00 минут на заседании диссертационного совета К-212 315 01 при Стерлитамакской государственной педагогической академии по адресу 453103, г Стерлитамак, пр Ленина, 37, ауд 312

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Стерлитамакской государственной педагогической академии

Автореферат разослан «_»_2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета д ф - м н .профессор __ Кризский В Н

Общая характеристика диссертации

Актуальность темы. Асимптотические методы применяются во многих областях математики, в том числе дифференциальных уравнениях, математической физике, квантовой механике и т д

Большой вклад в развитие асимптотических методов для решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений внесли М А Наймарк, И М Рапопорт и М В Федорюк

В различных физических задачах, таких как теория атомных столкновений, распространения радиоволн в анизотропной среде и т д, основное место занимает изучение систем с гамильтонианом

Н (х,р) = р2Е„ + к2 А(х)у,

где к — большой параметр

Приведем необходимые в дальнейшем определения Рассмотрим систему из п уравнений на интервале 1 = [а, Ь\ (конечном или бесконечном)

Г?у(х) = к2 А(х)у, (1)

где /) = <£с, к— большой параметр

Обозначим через Х1 (х), 1 <] <п, собственные значения матрицы А (х)

Определение 1. Точка х0 является точкой поворота системы (1), если уравнение

си*|л27-А;2Л(;с0)| = 0 {к Ф 0)

имеет кратный корень Т е , точка х0 является точкой поворота системы (1) тогда и только тогда, когда матрица А(х0) имеет кратное или нулевое собственное значение

Определение 2. Особая точка х = + <х> называется однородной особой точкой системы (1), если

А, (*)

11П1 = с к * 0,1, да

Як (х)

при любых], к

Другими словами, существует функция с/ (х) такая, что при всех у

(х —* +°°)> с] * 0, с; Фск (у Ф к),

т е собственные значения матрицы А (х) имеют одинаковый порядок роста при х —* -1 оо и асимптотически некратные Теорема 1 ( Рапопорт И М , теорема 1 6) Система дифференциальных уравнений

¿Уп "

—~ = + у + ./=1,2, 1,

ш ' к--1

= + £ с„,+/(1* (/)л, я = 1,2, ,т, I > »0 > О,

Л ■ ■■ ■■ сПр+к„ч(1)1 '--1 е ¿(»о, оо), I = 1,2, , 1р, ] = 1,2,., 1Ч, р = 1,2, <7 = 1,2, ,/я, яр =/0+/, + +/м, /0 =0, /!+/2+ +1т=п имеет н частных решения вида

I

= ППч Ч,„р+1 ехр (»)<//,

<о

» = 1,2, ,1Р,] = 1,2, /> = 1,2, ,/и, 9 = 1,2, ,т, где 'ПпГ1Ч,пр^1 00 " функции, непрерывные в замкнутом интервале [/о, оо], и

при у < г, = и

Ппр+],пр^) = 0 при ) > /, 77„9+Л„р+,(со) = 0 при р,

при том условии, если функции (¡), д 1, 2, , т удовлетворяют следующим требованиям

1) у/ч (I) е Ь (¡о, !]), <7 = 1,2, ,т при любом конечном (¡,

2) сПр+1 е ¿(/0,со),» = 1,2, ,1р, у = 1,2, ,1д,

р = 1,2, ,т, с] = 1,2, ,т ,

3) существует такое достаточно большое Т0, что при I > Т0 ни одна из

функций Ке м>ч (!) - К с XV р (() + -—- не меняет знака

Если какая-либо из функций Яе (/) - Яе м'р (») + ^ ^ при 1 <] <1Ч - 1

неположительна и в то же время несуммируема в интервале (То, то после умножения на »эта функция становится строго отрицательной при 1>Т0

Пусть матрица А(х) - матрица «-го порядка, имеющая специальный

вид

А(х) =

2)х2 0) 4.-2 (*)

Д«-2)х2<» °

Здесь Л2(х) - матрица второго порядка,

4

А1(х) О О Л„_2(х)

Ао(х) + Я(х)

А„_2(х) - матрица порядка (п~2) *(п-2),

элементы матриц Л2ф_2)(х) и А{„_ух2(х) суммируемы на [хп, со)

Идея метода исследования асимптотического поведения решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений заключается в преобразовании заданной системы дифференциальных уравнений к виду, называемому ¿-диагональным

Определение 3. Система дифференциальных уравнений I порядка ОУ = (Л (х) I О (х)) У, рассматриваемая на некотором промежутке (0, <я), называется ¿-диагональной, если матрица Л (х) является диагональной, причем ее элементы локально-суммируемы, разности их действительных частей знакопостоянны, а все элементы матрицы £> (х) суммируемые на (0, <х>) функции.

Однако в случае, когда матрица А0 (х) имеет нулевое или кратное собственное значение, заданную систему необходимо приводить не к /--диагональному, а к несколько более общему виду, называемому нами в дальнейшем блочно-диагональным

Хорошо изученным является случай одинакового порядка роста собственных значений матрицы А (х) при х —► + со В этом случае точка х = + оо является однородной особой точкой системы (1) и асимптотика решений при х —* + оо выражается только через линейные характеристики матрицы А (х) (те через собственные значения и собственные векторы)

Основную трудность представляет случай, когда точка х = + оо не является однородной для системы (1)

Широкое применение асимптотические методы получили в теории потенциального рассеяния Теория потенциального рассеяния, являющаяся важнейшей проблемой квантовой механики, лежит в основе описания и интерпретации процессов рассеяния элементарных частиц, ядер, атомов, молекул при высоких и низких энергиях Развитие теории потенциального рассеяния существенным образом опирается на основополагающие исследования советской математической школы, среди которых следует особенно отметить работы Л Д Фадцеева, И М 1 ельфанда, Б М Левитана, В М Марченко и многих других

В квантовой механике существуют, грубо говоря, всего лишь две задачи прямая и обратная Прямая задача — это нахождение волновой функции как решения уравнения Шредишера при заданном потенциале взаимодействия Обратная же задача заключается в восстановлении потенциала по данным рассеяния, извлекаемым из эксперимента

Первым серьезным исследованием, в котором ставилась цель не проведения конкретных численных расчетов для ядерной физики, а

изучение общей теории матрицы рассеяния можно назвать статью Иоста В ней впервые были введены так называемые функции Иоста, сыгравшие основную роль во всем дальнейшем развитии теории Далее свойства функций Иоста обсуждались в работах Баргмана, затем начался быстрый рост числа работ, посвященных рассматриваемой проблеме Большой вклад в дальнейшее развитие теории внесли Мандельстам, Мартин, Боукок, Бланкебеклер, Шарап и Фубини, Альфаро и Редже В работах этих авторов рассматриваются по большей части потенциалы, представимые в виде суперпозиции потенциалов Юкавы, имеющие некоторое правильное поведение (так называемые юкавские потенциалы)

Альфаро и Редже рассматривали потенциалы, удовлетворяющие следующим условиям

1) V(x) почти всюду непрерывна,

СО

2) J|*4*)j<fc = Щс) <<п, О О,

С

а

3) Jx|F(x)|cbc = N(a) < со, а > О

о

При этом сна могут принимать произвольные значения (с, а> 0)

Потенциалы, для которых выполняются эти условия, будем называть регулярными, а не удовлетворяющие им - сингулярными

Условия 2) и 3) являются слишком жесткими, они означают, что потенциал должен иметь некоторое правильное поведение в нуле и на бесконечности Эти условия не выполняются, например, для кулоновского

е2

потенциала V(x) ---и потенциала с непроницаемой сердцевиной Хотя

х

именно эти два потенциала наиболее широко используются в феноменологической теории атомных и ядерных процессов Теория рассеяния для чисто кулоновского потенциала теперь хорошо разработана, и обратная задач? тоже решена Также хорошо изучен случай для потенциалов, являющихся суммой регулярного и кулоновского Любопытно, что исторически именно сингулярные потенциалы были изучены первыми в связи с задачей распространения волн вокруг Земли В этой задаче V(x) — по существу потенциал с непроницаемой сердцевиной, т е V(x) оо для х < R, где R - радиус Земли В книге Сабатье и Шадана рассмотрены короткодействующие потенциалы, сингулярные вблизи начала координат и осциллирующие таким образом, что если ввести функцию

W(r) = -\v{t)dt,

то она будет удовлетворять условиям- W(г) е l) (0, по), Jim rfV(r) = О

г—>0

Т е, хотя потенциал может быть весьма сингулярным в начале координат, он осциллирует там достаточно быстро, чтобы функция W(r) была «хорошей»

Цель работы. В настоящей работе исследуется система (1) в двух случаях

1) матрица А0 (х) имеет одно собственное значение, равное 0, остальные собственные значения имеют одинаковый порядок роста при х —* + оо,

2) матрица А0 (х) имеет кратное собственное значение, кратность его равна 2, остальные собственные значения имеют одинаковый порядок роста при х —* + оо

Также в работе рассматривается уравнение для парциальных волн, играющее существенную роль в теории потенциального рассеяния и выясняется асимптотическое поведение решений этого уравнения и их аналитические свойства

Мы исследуем уравнение для парциальных волн с потенциалом V (х), для которого кроме условий 1) и 3), выполняется следующее

оо

4) J V(x) dx сходится условно,

5) \А(х)\ =

jj

¡т

dt

< а(х) , где а(х) — убывающая функция,

6) Ja(i) dt е i) (0, оо)

Научная новизна Основные результаты диссертации являются новыми

В работе установлено асимптотическое поведение решений уравнения для парциальных волн и рассмотрены их аналитические свойства Также построены асимптотические формулы для решений системы дифференциальных уравнений второго порядка в вырожденном случае

Методика исследования. В работе применяются методы асимптотической теории дифференциальных и интегральных уравнений и общей теории матрицы рассеяния

Практическая и теоретическая ценность. Диссертация носит теоретический характер Полученные результаты и методы исследования представляют научный интерес и могут быть использованы для дальнейшей разработки асимптотической теории диффренциальных уравнений

Апробация диссертации. Основные результаты диссертации докладывались автором на семинарах кафедры дифференциальных уравнений БашГУ (под руководством д ф -м н , профессора Султанаева Я Т ), кафедры математического анализа БашГУ (под руководством д ф -м н, профессора Муртазина XX), научном семинаре Института механики УНЦ РАН (под руководством д ф -м н, профессора Хабирова С. В ), научном семинаре кафедры математического анализа СГПА (под руководством д ф -м н , профессора Сабитова КБ)

Публикации Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора, список которых приводится в конце автореферата Работа [5] выполнена в соавторстве с научным руководителем, которому принадлежат постановки научных задач и идеи доказательств.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит го введения, двух глав по два и три параграфа соответственно и списка литературы, содержащего 47 наименований Общий объем работы — 91 страница

Основное содержание диссертации Во введении показана актуальность темы исследования, изложена суть поставленной научной задачи и краткое содержание работы Также представлены основные результаты, вынесенные на защиту

Первая глава диссертации посвящена исследованию системы дифференциальных уравнений, имеющеи широкое применение в математической физике

Первый параграф этой главы диссертации посвящен изучению асимптотического поведения решений системы (1) в случае, когда одно из собственных значений матрицы А0 (х) является кратным, кратность его равна 2, остальные собственные значения имеют одинаковый порядок роста при х —> + со, т е удовлетворяют определению 2

Обозначим кратное собственное значение Л\ (х) = Я2 М = ¿(х)

Сведем систему (1) к системе первого порядка Для этого введем рассмотрение вектор-столбец У(х, к) и матрицу В(х)

В(х) =

В4(х) 4)(х)

К(7п-4)УЛ(х) В2п-\(х)

Л

в,(х)

О

о

В7„-л(х)

Г ° В4х(2П-4)(Х)^

+

В,

('2л-4>4

(х) О

= В0(х)+В(х),

где

Г(х,к) =

У\{х,к)

к ]Пу{(х,к)

Уп(х>к) к-1Оу„(х,к)

ад =

О

1

О о

ап(х) 0 ап(х) О 0 0 0 1

^4х(2п-4)(х) "

13 V

В2п~4(Х)

О /и_ 2 4,-2 (*) °

' В(2п-4м(х) -

агг(х)

0 0 °1

<*1п(х) 0 0

0 0 0

• а2п(х) 0

0 0 0 0

0 0 0 0

аЪ1(х) 0 аЪ2(х) 0

«41 (х) 0 а42(х) 0

ап\(х) 0 "„2(х)

Тогда система (1) эквивалентна уравнению.

ВУ ^кВ(х) V (2)

Легко проверить, что собственные значения матрицы В0(х) есть функции вида

р^(х) = ±л1 Л^х), 1 <]<п

Таким образом, матрица В0(х) имеет 2п собственных значений, среди которых 2 кратных собственных значения, кратность каждого равна 2

Чтобы привести систему (2) к блочно-диагональному виду, необходимо провести ряд замен Осуществим преобразование У(х ,к) = Т(х) 7.(х, к), где матрица Т(х) находится из матричного уравнения

Г'(х) В(х) Т(х) = Л(х)

и имеет следующий вид

Т(х) = Г™ ° 1 I О Т2{х))

Матрицы Г/ (х) и Т2 (х) определяются следующим образом В качестве матрицы Т2 (х) берется матрица

ад т0 о)

Т2(х) -

7'0(х)4/2(х)

-Т0ЮЛЪ'2(Х)

здесь Т0 (х) - матрица, приводящая матрицу А„.2 (х) к диагональному

виду

Матрица Т1 (х) приводит матрицу В^(х) к жордановой форме и находится из матричього уравнения

Т,-'(х) В/х) Т,(х) = Л,(х) Здесь введены следующие обозначения

Лх(х)

V

( Л!1

Л{х) О

Л2(*) =

О

А(х) =

Л(х). О

Мх)

о

Л(х) =

О

Л2(х)

'4к(х) О

где

О

-лД^У

А

1/2

(х) = dшg(л|Ai(x), ,^Я„{х)}

Ш.

, Хп(х) - собственные значения матрицы Л„_2 (х) В результате преобразования получим следующую систему

В2(х, к) = (к Л(х) - Г'(х) ПТ(х)) г (х, к) Перепишем эту систему в виде

В7.(х, к) =

кЛ,(х)

О кЛ2 (х)

О '] ( Ф,(х) Ф2(х,к)

г(х, к) -

{Фъ(х,к) Ф4(х)

7(х, к)

Здесь Ф,(х) = Т{\х)ОТх{х), Ф2(х,к) = кт^(х)пы2п^)(х)т7(х), Ф3 (х, к) = кТ21 (*)В(2„-4)х4 (х)7] (х), Ф4 (х) = Т~ [ (Х) ОТ2 (х) Осуществим второе преобразование

О >

К2(х,к);

2(х,к) о

¥(х,к),

где Кх(х,к) ■■

Г 12+к~1С,(х) О

О

/2 + к~1С2(х),

Матрица (¡¡(х) определена следующим образом

g„(x) = OlgIJ(x) = {-lyl—^, \<и<2 2л]Л(х)

С2(х) = -Сх(х)

К2(х,к) = I + к-хС(х), (С(х)\ =

(1-ди){т21РТ2(х)\

М,(*) = .Мп+1 -2О) = -л/Ч+2<»>''У = 1, ,п-2

После этого преобразования получим систему

О К(х, к) ■■

Ч(*>*>

2)х2

'М^хД) М2{х,к) М,(х,к) МА(х,к))

^2х(и-2) ^

Л2{х,к)

У(х,к)

К(хД)

Здесь Л](х, к) =

/

ч О

Л2 (*, = (х) - ^^С^-1 (х)ВТ2 (х)), Л/, (х, А:) = К[1 (х, Л)Ф, {х)Кх (х, к) + (х, к)ИК1 (х, А), М2 (х, к) = К,"' О, к)Ф2 (х, /с)К2 (х, А),

М3(хД) = К]](х,к)Ф3(х,к)Кл(х,к),

М4(х,к) = К2\х,к)Ф4(х)К2(х,к) + К21{х,к)ОК2(х,к)

Далее доказывается ряд вспомогательных лемм Основным результатом этого параграфа является теорема 1 2, которая дает асимптотические формулы для 2п линейно-независимых решений системы (2) Оказывается, что асимптотические формулы для 2п — 2 решений определяюцытся поведением собственных чисел Л3(х), , Лп (х) и имеют вид, аналогичный известным формулам М В Федорюка Асимптотическое поведение оставшихся двух решений зависит от поведения собственных чисел Лх (х) и Л2 (х) 1 полученные для них асимптотические формулы являются новыми

Пусть для элементов матрицы А2(х) выполняется

ап(х) = а(х)(\ + а(х)), а]2{х) = а{х), а22(х) = а(х)(-\ + а(х)), ап(х) = -а(х)

Обозначим

к) = к^Цх), //24 (х, к) = -к-у]Л(х),

Д(х,А) = к,[Цх)-{r2\x)DT2{x)\t,

Д,+,(*Д) = -к-М,(х) - {T2~1(x)DT2{x)l+l n+l,l,j = 3, ,п

Теорема 1.2. Предположим, что выполнены следующие условия

1) А(х) еС2(1),

2) На отрезке I нет точек поворота матрицы А„.2(х) (т е матрица

А„_2(х) не имеет кратных или нулевых собственных значений),

3) Существует функция q (х) такая, что при всехj

¿■j(x)~Cjq(x) (х-»+оо), Cj Фск О *к),3 <j<n

Эту асимптотику можно два раза дифференцировать

з

\Dq{x)\q{x)\~2 -> 0 (х -> +оо), -III

|qr(x)p2 Г2Ч (x)DT2 (JC) -> О (х -> +оо),

4) Функции

Re(pJ (х,к)), (х,к)± д(хД)), Ке(//,(х,к) ± р,(хД)) + А,

1<_/,/ < и,г = 1,2 «е меняют знак при х е1 Если какая-либо из функций

Ке(£,(хД)-й(хД)) + -^А 1<д</у-1, 1<р</,,

где — кратность корня (л:), неположительна и в то же время

несуммируема в интервале (Хя, оо), то после умножения на х эта функция становится строго отрицательной при х >Х0,

5) jiJ (х, к) е ¿(х0, X,) при любом конечном х,,

6) х^^^,х^ х(м2{х,к)Х,{мъ{х,к))р еДхо.оо), а (х) а (х) а (х)

1 < / < 4, 1 < у < 2и-4

Тогда система (2) имеет 2п линейно-независимых решений таких, что при х —> со справедливы следующие асимптотические формулы

_yf (х,к) к х- ______ехр|.

>>2 (хД) ~ ±T7=L=exp[±/t

У; (х, к) = u>; (х, *)(/, (х) + к~\р) (х, А», 3 < j < п, х <= I, к > к0 > 1 |pj (х, < const,

и'; (х, к) = -7=L= ехр|+А- fШГ)Л - \j] {x)Df (х)], 4/Л, (х) J J

f/x), fj(x) — правые и левые собственные векторы матргщы А„^(х) соответственно [И] Пример В качестве матрицы Л2 (к) можно рассмотреть матрицу f ?

,м Р (

2 О) = 2 ,,

р (x)-p(x)J

р~(х) + р(х) р(х) 1 в

, р(х) — х , а > 1

Асимптотические формулы для решений, соответствующих кратным корням, имеют вид

ехрь

у?(х,к)*х 2

У2

(х,к)*±х~2 ехр|±*

Во втором параграфе главы 1 мы рассматриваем ту же систему (1), но здесь матрица А0 (х) имеет нулевое собственное значение

После ряда преобразований система (1) сводится к новой системе, к которой мы можем применить теорему Рапо'порта Обозначим

И\,2 (*> *) = -(г,-1 (х)ОТх(х)),,,/73 4(х, к) = ±кл1Л2(х) -(т{л (х)ОТ1 (х))„,

р,(х,к) = к-Щх)-{т{\х)ОТ2{х)\,

Д,+|(*,А) = -к [Л^(х) -(т2\х)ОТ2(х))п+, = 3, ,п

Я,(х)- собственные числа матрицы А(х)

В качестве матрицы Т2 (х) берется матрица

Г ВД Т0 (х)

2 |,7Ь(х)4/2(Х) -70(Х)А](1/2(Х здесь Т0 (х) — матрица, приводящая матрицу Лп_2 (х) к диагональному

виду,

АЪ12(х) = с1^Л3(х), ^Л„(Х)}

Матрица Г; (х) приводит матрицу В4(х) к жордановой форме, находится из матричного уравнения

Т,-'(х) В4(х) Т,(х) = А,(х),

Лх(х) =

О

1 О

о о

о о о о

Щх) о

о

Предположим, что выполнены следующие условия 1) Для элементов матрицы А2(х) выполняется

ац(х)а22(х) -= а,2(х)а2,(х) Тогда собственные числа матрицы А2(х) имеют следующий вид Х,(х) - 0, Л2(х) ^ а(х) = а,,(х) + а22(х)

2) А(х) е С?('I),

3) На отрезке I нет точек поворота матрицы А„_:(х) (т е матрица Л„. 2(х) не имеет кратных или нулевых собственных значений),

4) Существует функция ц (х) такая, что при всех у

Х}(х) ~ с//(х) (х -» +00), с , * 0, су Ф ск (у * £), 5 <у < и

Эту асимптотику можно два раза дифференцировать

з

~> о (х ->+оо),

1

, -1

к(*)|"2Р2' (х)ОТ2(х) ~> 0 (х -> +00),

5) Функции

(х, к)), Re(/ÍJ (х, к) ± Д (х, к)), Нс(/7, (х,к) ± /7, (х, *)) + -, 1 < у, / < п

не меняют знак при хе1 Если какая-либо из функций

Ке(/у/(х,А)-//,(хД)) +

ч-р

1 <у,/<и, 1<9</у-1, 1 <р<1,,

где /, — кратность корня (х), неположительна и в то же время

несуммируема в интервале (Х„, со), то после умножения на х эта функция становится строго отрицательной при х >Х„ 6) // (х, к) 6 ¿(х0, х1) при любом конечном

Н\ «22 00 та22(х) «[,(*) а"(Х)

° .¡а{хУ1а(хУ I ' 1 ' 3 ~~'«2~(х)' 1 Л Я2(х) аЦх) а2(х)

хРц(х,к),(М3(х,к)\1 е ¿(х0,оо), 1 < / < 4,1 < у < 2«-4, а(х) —» 0 при х —* оо

<с

а\х) а[2(х) <с, а"п{х)

а{х) — а12(х) — С1 а{х) а(х)

Основной теоремой этого параграфа является следующая теорема Теорема 1.4 Пусть выполнены условия 1) — 7) Тогда система (2) имеет 2п линейно-независимых решений таких, что при г —> <эт справедливы следующие асимптотические формулы

an(x) au(x)

exp[± к ул2 (t)dt\

yj (X, k) = wj (X, k)(fj (x) + k~l<pj (x, *)), 3 < j < n, x e I, к > k0 >1 |qrj (x, < const,

wf (X, k) = -=L= exp[±A jjA/fi.dt - \f] (x)Df , (x)],

f Aj (x) * •

f/x), j')(x) — правые и левые собственные векторы матрицы А„,2(х) соответственно [11]

Пример. В качестве матрицы Ар (х) можно рассмотреть следующие

1 Л2(х) =

(е2х-е~х ех

л -3 Г —X

vl-e е j

Л1 (х) — 0, Л2(х) = е

2х

В данном случае будем иметь

yt+ (х, k) ~ хе~х, у{ (х, к) ~ е"

У 2 (хД)«±ехр

±кех ~-х 1

2 Л2(х) = Здесь получим

fx2a-x-

г-Г~а

хЪа-ха~г х~г

,Л,(х) = 0, Лз(х) = х2а,а >\,y>Q,a + y>\

У? (*,к) ~ х'<3ауГ(*, к) * х~^а+г\

\kk^tadt\

у2 (х, к) и +х 2 ехр

Во второй главе нашей диссертации мы рассматриваем уравнение для парциальных волн и выясняем асимптотическое поведение решений этого уравнения и их аналитические свойства Рассмотрим уравнение для парциальных волн

у/"(х) +

к1 — ¿Lnl/Л. — К(х)

V(x) = О,

(3)

четное относительно Л

В первом параграфе главы 2 мы исследуем уравнение (3) с граничными условиями при х - О

Для доказательства существования решения <р (I, к,х) и его аналитичности по X мы рассматриваем два интегральных уравнения

р(ЛД,х) = хя+1/2

д<р(Л,к,х) = л+1/2 дЯ

2Л\

\Х (х^

1пх-

2 л;

2Л2 о }

г-

^[к2 -Г(£)]<р{Л,к,£)с1£,

1п—<р(Л,к,<!;) + х

д<?(Л,к,& дЛ

Вводя формальные итерационные разложения для этих уравнений, мы доказываем их сходимость Результат сформулирован в виде теоремы: Теорема 2.1. Функция <р (I, к, х) является целой функцией 1с в каждой ограниченной области комплексной к? - плоскости и аналитической функцией Я в области Яе Л = /л>0

Во втором параграфе исследуется уравнение (3) с граничными условиями при х = °о Здесь рассматриваются следующие интегральные уравнения

/(Л,к,х) = /0(Л,к,х) +

\[В(Л,к,х,у)

д/(Л,к,у) , дВ(Л,к,х,у)

ду

ду

/(Л,к,у)]А(у) (1у,

д/{Л,к,х) д/о (Л, к, х)

дх

дх

А(х)ЯЛ,к,х) +

^[дв(л,к,х,у)ЭАЛЛу) + о>в(л,к,х,у) шл>ушу)

х дх ду дх ду

Где [Я Л,к,х)]пх>й =МЛХх)=[^2 е~('',ПХЛ+Ш)Нл) (>"), И,<2> - функция Ганкеля II рода,

В(Л,к,х,у) = ~~[МЛ,к,у)/0(Л-к,х) - /0(Л,к,х)/0(Л,-к,у)], 2 к

А(у) = ¡V(t) dt

Далее снова вводятся в рассмотрение формальные итерационные ряды и с помощью ряда оценок по индукции доказываются оценки сверху для этих рядов

?

с\ \ *

\f{Ä,k,x)\<Y}fÄKk,x)\<

17-П

са{х) ja(y)dy

сЩх

>1+1/2

„ п=0

2\k\ + l)

■\a(y)dy

tv

со

I

п~0 f

\k\"ri>

<

с\к\х 1 + \к\х

-I//I+1/2

еЬх ехр

2\к\ +1

-cfa(y)dy

ехр| щф)}а(у)с/у

Для ряда, составленного из производных, получена более грубая оценка

df(Ä,k,x')

дх

»-о

а/„(яд,х)

Ох

<|*

с]Л|л

1 t-

>|+1/2

/

„А*

ехр

v V f

2\к\ +1 ПГ'

afx) Г с "г Y 2Ш + 100, (2\к\ + \ »

+ -¡rr-ехр т-тö(x) Ja(v)c/y 1 + с-Цгр- Ja(y)dyехр с Ja{y)dy

и > л ii * v п х )jj

Таким образом, справедлива Теорема 2.2. Функция f (X, к, х) является целой функцией X и аналитической функцией к в области Ъ < О

В последнем параграфе первой главы рассматриваются примеры потенциалов, удовлетворяющих нашим условиям 1), 3) и 4) — 6)

1 V(x) = Su7 ех ,

2 V{x)=xaSmxß,a>0,ß>a + 2

Затем мы вводим в рассмотрение функцию Иоста и S-матрицу

ял,к) = /имЩ^-Щ^-<р(ЯЛх\

дх

дх

1S

ад*) -/Н

/(Л,-к) Г(Л-к)

где 5 (X, к) называется сдвигом фазы

Основная теорема этого параграфа формулируется следующим образом

Теорема 2.5. Функция f (к, к), рассматриваемая как функция двух переменных А и к, является аналитической в прямом произведении областей 1тк<0иКел>0

Свойства Б (Я, к) непосредственно следуют из свойств/(к, к)

Публикации по теме диссертации

1 Исламова Р Т Асимптотика решений системы дифференциальных уравнений второго порядка в вырожденном случае// Вестник БашГУ - 2002 - №2 -С 19-22

2 Исламова Р. Т Исследование уравнения Шредингера с потенциалом У(х) = 8ш(ехр(х)) // Вестник БашГУ - 2003 - № 3 -С 11-15

3 Исламова Р Т Асимптотика решений системы дифференциальных уравнений второго порядка в вырожденном случае// Сборник материалов республиканской научно-практической конференции молодых ученых Тез докл - Уфа, 2004 - С 94-95

4 Исламова Р Т Исследование уравнения для парциальных волн с потенциалом У(х) - х" 5ш(х(|) // Вестник БашГУ - 2004 - № 1 - С 6 - 9

5 Султанаев Я Т, Исламова Р Т Исследование уравнения для парциальных волн с быстро осциллирующим потенциалом// Матем заметки -2006 - Т 79 - 2 - С 288 - 293

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Султанаеву Я Т за пооановку задачи, постоянное внимание и поддержку в работе

Садрисва Рига Тагировна

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С СИНГУЛЯРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Лицензия на издательскую деятельность ЛР№ 021319 от 05 01 99 г

Подписано в печать 23 04 2007 г Бумага офсетная Формат 60x84/16 Гарнитура Times Отпечатано на ризографе Уел печ л 1,15 Уч-изд л 1,26 Тираж 100 экз Заказ 220

Редакционно-издamельский центр Башкирского государственного университета 450074, РБ, г Уфа, ул Фрунзе, 32

Отпечатано на множительном участке Башкирского государственного университета 450074, РБ, г Уфа, уч Фрунзе, 32

Введение

Глава 1. Асимптотика решений системы дифференциальных уравнений второго порядка в вырожденном случае

1.1 Асимптотика решений системы дифференциальных уравнений в случае кратных собственных значений

1.2 Асимптотические формулы для решений системы п дифференциальных уравнений второго порядка в случае нулевого собственного значения

Глава 2. Исследование уравнения для парциальных волн с быстро осциллирующим потенциалом

2.1 Решения уравнения для парциальных волн с граничными условиями при х =

2.2 Решения уравнения для парциальных волн с граничными условиями при х ~ со

2.3 Примеры. Функция Иоста и Б-матрица 81 Литература

Асимптотические методы применяются во многих областях математики, в том числе дифференциальных уравнениях, математической физике, квантовой механике и т.д.

Вопрос об асимптотическом поведении решений обыкновенных дифференциальных уравнений, начиная с конца XIX века, служит предметом многочисленных исследований. Различные результаты этих исследований изложены в работах [6, 10,11,14,22,27,29 - 32,34, 36 - 38,43].

В различных физических задачах, таких как теория атомных столкновений, распространения радиоволн в анизотропной среде и т. д., основное место занимает изучение систем с гамильтонианом

Н (х,р) = р2Еп + к2 А (х), где к - большой параметр.

Приведем необходимые в дальнейшем определения.

Рассмотрим систему из п уравнений на интервале / =■ [а, Ь] (конечном или бесконечном):

Оу(х) = к2 А(х)у, (0.1) где О = (I/(к, к-большой параметр.

Обозначим через X,- (х), 1 <}<п, собственные значения матрицы А (х).

Определение 1. Точка Хо является точкой поворота системы (0.1), если уравнение с1е1|Л2/-Л:2Дх0)| = 0 {к* 0) имеет кратный корень.

Т. е., точка хо является точкой поворота системы (0.1) тогда и только тогда, когда матрица А(хо) имеет кратное или нулевое собственное значение.

Определение 2. Особая точка х = + со называется однородной особой точкой системы (0.1), если

Л Ах) lim —— = с.к Ф 0,1, оо при любых j, к х-*+К Лк (х)

Другими словами, существует функция q (х) такая, что при всех j Äj.(x) * cfq{x) (х -> +оо), сj Ф 0, Cj ф ск (J Ф к), т. е. собственные значения матрицы А (х) имеют одинаковый порядок роста при х —* + со и асимптотически некратные.

Ранее И. М. Рапопортом [27] была установлена следующая теорема для случая кратных собственных значений системы дифференциальных уравнений первого порядка.

Теорема 0.1. Система дифференциальных уравнений dyn +/ " j— = w4 (O^V,+ -V^1 + ZA+Л* (Ол, j = 1,2,.»,/, -1, dt k=\ dyn +/ «

-r-^jWV.+IV.^'^' q = \,2,.,m, />/„>0, dt e Д'о»00). ' = U= l,2,.,/9, p = \,2,.-,m-, q = \,2,-,m; np =l0+ll+. + lpl; 10 = 0; /, +/2 +. + lm= n имеет n частных решения вида: t y«q<, = ^ w< (t)tH exp \wp (t)dt, o = 1,2,.,/,; у = 1,2,.,/,; /> = 1,2,.,/и; ^r = l,2,.,m, где т]П11Ч,„г11(х) - функции, непрерывные в интервале [1о, °о), и

71 Я/1+/Л+(.И = при ; < /, ППр+,,„„+,(*>) = ^ »7«,И = 0 при./ > /, ® ПРИ Я* Р> при том условии, если функции (I), </ = 1, 2, ., т удовлетворяют следующим требованиям:

1) \\'ч (() 6 Ь (Iо, 1\), q = 1, 2, .,т при любом конечном //;

2) существует такое достаточно большое Т(), что при I > То ни одна из функций

Ле (/) - Яе р (I) + не меняет знака.

3) Если какая-либо из функций Яе(/) -Ие(() + -—- при / <}<1ц-1 неположительна и в то же время несуммируема в интервале (Го, ос), то после умножения на / эта функция становится строго отрицательной при / >7«. Большой вклад в развитие асимптотических методов для решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений внесли М. А. Наймарк 123], И. М. Рапопорт [27] и М. В. Федорюк [36 - 38].

Идея метода исследования асимптотического поведения решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений заключается в преобразовании заданной системы дифференциальных уравнений к виду, называемому ¿-диагональным.

Определение 3. Система дифференциальных уравнений I порядка

ОУ = (Л (х) + О (х)) У, рассматриваемая на некотором промежутке (О, со), называется Л-диагональпой, если матрица Л (х) является диагональной, причем ее элементы локально-суммируемы, разности их действительных частей знакопостоянны, а все элементы матрицы О (х) суммируемые на (0, со) функции.

Однако в случае, когда матрица А (х) имеет нулевое или кратное собственное значение, заданную систему необходимо приводить не к ¿-диагональному, а к несколько более общему виду, называемому нами в дальнейшем блочно-диагональным.

Хорошо изученным является случай одинакового порядка роста собственных значений матрицы А (х) при х —* + оо [11]. В этом случае точка д; = + оо является однородной особой точкой системы (0.1) и асимптотика решений при х —* + оо выражается только через линейные характеристики матрицы А (х) (т. е. через собственные значения и собственные векторы).

Основную трудность представляет случай, когда точка х = + оо не является однородной для системы (0.1).

Пусть матрица А(х) - матрица п-го порядка, имеющая специальный вид:

А2 (X) ^2х(п-2) (Х)

А(х) =

Г ~ /Л п ^ ( О А2х(п2)(х

А2(х) О о А„2(х) + и

2х(«-2) <

Д-2>х2(*) О А0(х) + А(х).

Здесь Аг(х) - матрица второго порядка, Ап-2(х) - матрица (п-2)-го порядка, элементы матриц и А(„.2)Х2(х) суммируемы на [хо, оо).

Наша работа посвящена исследованию системы (0.1) в двух случаях, которые ранее не рассматривались:

1. матрица Ао (х) имеет одно собственное значение, равное 0; остальные собственные значения имеют одинаковый порядок роста при х—* + со;

2. матрица Ао (х) имеет кратное собственное значение, кратность его равна 2; остальные собственные значения имеют одинаковый порядок роста при

Далее кратко изложено содержание диссертации с сопутствующими разъяснениями.

Первый параграф первой главы диссертации посвящен изучению асимптотического поведения решений системы (0.1) в случае, когда матрица А о (х) имеет одно кратное собственное значение, кратность его равна 2; остальные собственные значения имеют одинаковый порядок роста при х —* + да, т.е. удовлетворяют определению 2.

Обозначим кратное собственное значение Л, (х) = Л2 (х) = Л(х).

Сведем систему (0.1) к системе первого порядка. Для этого введем в рассмотрение вектор-столбец У(х, к) и матрицу В(х): х —* + 00.

В(х) = г ад К.(2^/х))(В4(х) о ^ Г о ВЫ2„4/х) я2„>; I IО в1п,(х)) Iя о В0(х) + В(х),

У{х,к) =

УЛх>к) кк~хОуп{х,к) где

В4(х) = О 1 О О4! аи(х) 0 ап(х) О

0 0 0 1 а2](х) 0 а22(х) 0

4х(2я-4)(Х) ~

0 0 . 0 0.0 а,3(х) а14(х).а1п(х) 0.0

0 0 . 0 0.0 а23(х) «24(х). а2„(х) 0.0

Въ^ЬУ О

Ап.2{х) О

В,

С2я-4>4 х) = 0 О О аАХ(х)

О О О О ап(х) а42(х)

О О О

Я\(Х) 0 ап2(Х) О

Тогда система (0.1) эквивалентна уравнению:

ВУ = кВ(х) У. (0.2)

Легко проверить, что собственные значения матрицы Во(х) есть функции вида: = \<]<п.

Таким образом, матрица Во(х) имеет 2п собственных значений, среди которых 2 кратных собственных значения, кратность каждого равна 2.

Чтобы привести систему (0.2) к блочно-диагональному виду, необходимо провести ряд замен. Осуществим преобразование У(х ,к) - Т(х) '¿(х, к), где матрица Т(х) находится из матричного уравнения:

Г'(х) В(х) Т(х) - А(х) и имеет следующий вид:

Т(х) = х) О

ЭД,

Матрицы Г/ (х) и Т2 (х) определяются следующим образом.

В качестве матрицы Т2 (х) берется матрица Т2(х) = Т0(х) Т0(х)

Т0(х)Л0 (х) -Г0(х)<2(х) здесь То (х) - матрица, приводящая матрицу А„2 (х) к диагональному виду.

Матрица 7/ (х) приводит матрицу В4(х) к жордаиовой форме и находится из матричного уравнения:

Т,-'(х) ад Т,(х) = Л,(х). Здесь введены следующие обозначения:

А/х) =

Л(х) О

Л(х) = I

Л(х)

Шх) О Л(х) = О

Ш; где щ о

-урод

А2(х) = о о -АГ(х)

Хз(х).Х„(х) - собственные значения матрицы А„.2 (х).

В результате преобразования получим следующую систему:

1Щх, к) = (к Л(х) - Г'(х) ОТ(х)) г (х, к). Перепишем систему (0.3) в виде:

1У1(х, к) = кА] (х) О О кЛ2 (х) г(х, к)

Ф/х) Ф2(х,к)) Ф3(х,к) ФА(х)

2(х, к).

Здесь Ф,{х) = Т;\х)ОТх{х), Ф2(х,к) = кТ;\х)В442пМТ2(х)

Ф3(х,к) = кТ2-\х)В,211,х4(х)Т1(х), Ф4(х) = Т;1(х)ОТ2(х)

0.3)

Осуществим второе преобразование:

2(х,к) =

Кх(х,к) О О

К2(х,к)

У(х,к), где К/х,к) =

2+Г'ед О О

2 +к''с2(х

Матрица 0\(х) определена следующим образом:

8„(х) = ()>8 „(х) = {-\У—гг=, 1 ^ 1,1 ^

2л]~Л(х)

С2(х) = -О/х). = О) = -л/Л+2(х)=

К2(х,к) = 1 + к'^(х), {С(х)\ =

После этого преобразования получим систему:

Ж(хД) = о, и-2)х2

Л2(х,к)

У(х,к)~

А/,(хД) М2(х,к) М3(х,к) М4(х,к)

Г(хД).

Здесь Л, (л; к) = кЛ(х) I О кЛ{х)

Л2 (х, к) = кл2 (х) - сИсцг(Т;' (х)ОТ2 (х)),

Л/, (х, к) = К,-' (*. (х) А, (х, *) + К;1 (х, к)ВК, (хД),

М2(х,к) = ЛГ, (х,к)Ф2(х,к)К2(х,к),

М}(х,к) = К1\х,к)Фъ{х,к)К^х,к),

МА (х, А) = А2~' (х, Л:)Ф4 (х) А2 (х, Л) + £(х, *)£>А2 (х, А).

Далее доказывается ряд вспомогательных лемм. Основным результатом этого параграфа является теорема 1.2, которая дает асимптотические формулы для 2п линейно-независимых решений системы (0.2). Оказывается, что асимптотические формулы для 2п - 2 решений определяются поведением собственных чисел Л}(х),.,Лп(х) и имеют вид, аналогичный известным формулам М. В. Федорюка. Асимптотическое поведение оставшихся двух решений зависит от поведения собственных чисел Л1 (х) и Х2 (х), полученные для них асимптотические формулы являются новыми.

Пусть для элементов матрицы А2(х) выполняется: ап(х) =а(х)(\ + а(х)); а12(х) = а(х); а21(х) = а(х)(-1 + а(х)); ап(х) = -а(х).

Замечание. Такой вид коэффициентов матрицы А2(х) используется для удобства и наглядности вычислений. Все теоремы, относящиеся к этому случаю, остаются справедливыми и в случае, когда матрица А2(х) имеет произвольный вид. Обозначим: з (х, к) = к^А(х), //2 4 (х, к) = -к^Щх),

Д(х,к) = кЩх) - (Т2] (х)ОТ2 (х)1, /}я+, (х. к) = -кЩ^)-(т2\х)ОТ2(х))п+1п+1, = 3,.,и.

Теорема \,2. Предположим, что выполнены следующие условия:

1) А(х)еС2(1);

2) На отрезке 1нет точек поворота матрицы Ап.2(х) (т. е. матрица А„.2(х) не имеет кратных или нулевых собственных значений);

3) Существует функция ц (х) такая, что при всех/

Х) (х)» с/](х) (х -» +оо), с} ф 0, с} ф ск и * к), 3 <) < п. Пусть эту асимптотику можно два раза дифференцировать.

Од(х)\\д(хр -> О (х -> +со),

-п д(х)\~2р2~1(х)ОТ2(х) -»О {х -> +оо);

4) Функции х,к)), I(х,£)±/7,(х,Л)),Яе(Д.(х,к)±Д.(х,Л)) + -, 1 <./',/< я,г = 1,2 не меняют знак при хе1. Если какая-либо из функций

Яе(Я(хД)-Д(хД)) + -^^, 1<},1<п, 1<^</(.-1, \<р<1„ гдеЬх кратность корня (х), неположительна при х > 0 и в то же время несуммируема в интервале (Хд, со), то после умножения на х эта функция становится строго отрицательной при х >Хо;

5) Д,. (х, к) е 1(х0, х,) при любом конечном X/;

6) х^ хЩ^,х^ х{М2(х,к)\ХМ,(*,*)) е1(х0,со), а (х) а (х) а (х) 1

1 < / < 4,1 < ]<2п- 4. Тогда система (0.2) имеет 2п линейно-независимых решений таких, что при х —+ оо справедливы следующие асимптотические формулы: уНх,к)« х—-схр

Щх) уг(х,к) ~ ±-=!==гехр Щх) к]л[Щс1( к)л[Щек у){х,к) = м<;(хДХ/,(х) + Г>;(хД)), 3<./<п, х е I, к > к0 >\ ^ (х, к)| < сот/, и' = -7==ехр[±*{^ЛДОЛ - ¡^МО/Д*)), уЯД-х) х), / /х) - правые и левые собственные векторы матрицы Л„2(х) соответственно [11].

Пример. В качестве матрицы А2 (х) можно рассмотреть матрицу:

Л2(х)

V (*) + />(*) .р(х) л -р(х) р2(х)-р(х) р{х) = ха,а> 1.

Асимптотические формулы для решений, соответствующих кратным корням, имеют вид: I — У\{х,к)*х2 ехр у1(х,к)« ±х 2 ехр к]Гек ±к\1\П

В параграфе 1.2 мы рассматриваем систему (0.1), состоящую из п уравнений, матрица Ло (х) имеет одно собственное значение, равное 0; остальные собственные значения имеют одинаковый порядок роста при х —* + оо.

После ряда преобразований система (0.1) сводится к новой системе, к которой мы можем применить теорему Рапопорта. Обозначим:

7,2 (х, к) = -(Г,-1 (х)йГ1 (х)),,, (х, к) = ±кЩх) - (Г,"1 {х)№\ (х))п, Д (*Д) = кЩх) - (г;1 (х)ОТ2 (х)1, /7„+, (х, *) = -^д/ад - (г;1 (х) 0Т2 (д)Ц,

Л&)- собственные числа матрицы Л^х,).

В качестве матрицы 7'? берется матрица

ВД = ад 7'0(х)

1/2 , здесь То (х) - матрица, приводящая матрицу Лп.2 (х) к диаг ональному виду,

4/2(х) = diag(л|Лi(x),.,л|Лn(x)} Матрица Г/ (х) приводит матрицу В4(х) к жордановой форме, находится из матричного уравнения:

ТГ(х) В4(х) Т,(х) = А,(х),

Л/х)

О 1 О

0 0 о

О О (х)

0 0 о о о о

Предположим, что выполнены следующие условия:

1) Для элементов матрицы А2(х) выполняется: ац(х)а22(х) = а!2(х)а21(х). Тогда собственные числа матрицы А2(х) имеют следующий вид:

А/(х) = 0, Л 2(х) = а(х) = ац(х) + х);

2) А(х) € С2(I);

3) 11а отрезке / нет точек поворота матрицы Ап.2(х) (т. е. матрица А„.2(х) не имеет кратных или пулевых собственных значений);

4) Существует функция q (х) такая, что при всех/ к} (х)* с//(х) (х -> +оо), с у * 0, с} * ск (у Ф к), 3 <;' < п.

Пусть эту асимптотику можно два раза дифференцировать. з

Щ(х)\\д(х)\'2 -»0 (х -> +оо), д(х)\~Лт;\х)ВТ2(х) ->0 (дг-> +оо);

5) Функции

11е(/7. (х, к)), , (х, к) ± Д. (х, £)), Ке(Д (х, /с)± Д (хД)) + -, 1 < у, / < п не меняют знак при х в/. Если какая-либо из функций

Ке(Д(хД)-Д(хД)) + -^А !</',/<я, 1<^</,-1, 1<р</„ где /у кратность корня Д (х), неположительна при х > 0 и в то же время несуммируема в интервале (Хо, ос), то после умножения на х эта функция становится строго отрицательной при х >Хо;

6) ДДхД) € Ь(х0,х{) при любом конечномх/;

7) л/ФО л/Ф) а1(х) а1(х) аНх)а(х)

1 < / < 4,1 < ] <2п- 4; а(х) —» 0 при х —► оо. а(х) а[ 2(х) а12(х) с, а{х) с, а(х) с.

Основной теоремой этого параграфа является следующая: Теорема 1.4. Пусть выполнены условия 1) - 7). Тогда система (0.2) имеет 2п линейно-независимых решений таких, что при х —> да справедливы следующие асимптотические формулы: аи(х) yl{x,k)~± г———ехр а,,(х) к)4Щ(И у){х,к) = з<j<п, х е /, к > к0 > 1 <р* (х, к)| < const,

И'7 (X, к) = -=L= ехр[±к ]Ш)с1( - }/; (х)П/) (х)], уЛДх) f/x), fj(x) - правые и левые собственные векторы матрицы Ап.2(х) соответственно [11].

Пример. В качестве матрицы /Ь (х) можно рассмотреть следующие:

1.400 = fe2x-ex <?хЛ \-е~3х е~х Л1(х) = 0;А2(х) = е2х.

В данном случае будем иметь: yf (х,к) « хе х, у~ (х, к) *е~х, k\e'dt—х дг„ 2

2. Л2(х) = алл

3« ar-r -у л л л у Л,(х) = 0; Л2(х) = х2",ог > > 0,ог + у > 1

Здесь получим: у1(х,к)»±х 2 ехр к\ГЛ

Во второй главе нашей диссертации мы рассматриваем уравнение для парциальных волн, играющее существенную роль в теории потенциального рассеяния и выясняем асимптотическое поведение решений этого уравнения и их аналитические свойства.

Теория потенциального рассеяния, являющаяся важнейшей проблемой квантовой механики, лежит в основе описания и интерпретации процессов рассеяния элементарных частиц, ядер, атомов, молекул при высоких и низких энергиях. Развитие теории потенциального рассеяния существенным образом опирается на основополагающие исследования советской математической школы, среди которых следует особенно отметить работы Л. Д. Фаддеева [35], И. М. Гельфанда, Б. М. Левитана [17], В. М. Марченко [21] и многих других.

В квантовой механике существуют, грубо говоря, всего лишь две задачи: прямая и обратная. Прямая задача - это нахождение волновой функции как решения уравнения Шредингера при заданном потенциале взаимодействия. Волновой функцией определяются все наблюдаемые свойства исследуемой системы. Обратная же задача заключается в восстановлении потенциала но данным рассеяния, извлекаемым из эксперимента.

С появлением уравнения Шредингера необычайно расширилось физическое содержание математических понятий, связанных со спектрами дифференциальных уравнений с заданными граничными условиями. Уравнениями этого типа, которые раньше применялись только для анализа механических колебаний, теперь стало возможным пользоваться и для описания атомов и молекул.

Первым серьезным исследованием, в котором ставилась цель не проведения конкретных численных расчетов для ядерной физики, а изучение общей теории матрицы рассеяния можно назвать статью Поста [13]. В ней впервые были введены так называемые функции Поста, сыгравшие основную роль во всем дальнейшем развитии теории. Далее свойства функций Поста обсуждались в работах Баргмана [2, 3], затем начался быстрый рост числа работ, посвященных рассматриваемой проблеме. В 1957 г. Кури установил аналитические свойства полной амплитуды рассеяния. Результаты Кури были затем вновь получены в 1958-59 г.г. более изящными способами рядом других авторов. Большой вклад в дальнейшее развитие теории внесли Мандельстам [19], Мартин [20], Боукок [4], Бланксбеклер, Шараи и Фубини, Альфаро и Редже [7]. В работах этих авторов рассматриваются по большей части потенциалы, представимые в виде суперпозиции потенциалов Юкавы, имеющие некоторое правильное поведение (так называемые юкавские потенциалы). По сути дела, эти потенциалы являются преобразованием Лапласа некоторой (обобщенной) функции, их особенностью является то, что они могут быть определены для комплексных х.

В [7] рассматриваются потенциалы, удовлетворяющие следующим условиям:

1) У(х) непрерывна, 00

2) \\У(х)\к = М(с) < оо, с>0, С а

3) |*|Г(х)Цх; = ЛГ(а)<оо, а> 0. о

При этом сна могут принимать произвольные значения (с, а > 0).

Потенциалы, для которых выполняются эти условия, будем называть регулярными, а не удовлетворяющие им - сингулярными.

Условия 2) и 3) являются слишком жесткими, они означают, что потенциал должен иметь некоторое правильное поведение в нуле и на бесконечности. Эти е2 условия не выполняются, например, для кулоновского потенциала У(х) =--и х потенциала с непроницаемой сердцевиной. Хотя именно эти два потенциала наиболее широко используются в феноменологической теории атомных и ядерных процессов. Теория рассеяния для чисто кулоновского потенциала теперь хорошо разработана, и обратная задача тоже решена. Также хорошо изучен случай для потенциалов, являющихся суммой регулярного и кулоновского. Нрсдацци и Редже [26] сумели исследовать ситуацию для потенциала У(х), ведущего при х —* 0 как

-г + ^г. Лимич и Жакшич рассмотрели более широкий класс потенциалов,

X X аналитических при х = Яе г > 0.

Любопытно, что исторически именно сингулярные потенциалы были изучены первыми в связи с задачей распространения волн вокруг Земли. В этой задаче У(х) -но существу потенциал с непроницаемой сердцевиной, т. е. У(х) = со для х < Я, где Я - радиус Земли. В книге Сабатье и Шадана [42] рассмотрены короткодействующие-потенциалы, сингулярные вблизи начала координат и осциллирующие таким образом, что если ввести функцию со

У(г) = -\У(1)с11, то она будет удовлетворять условиям: IV(г) е I' (0,оо), \\mrlV(г) = 0. г-»о

Т. е., хотя потенциал может быть весьма сингулярным в начале координат, он осциллирует там достаточно быстро, чтобы функция \У(г) была «хорошей». Например,

W(r) = r'ae'//rSin 1Л ехрч г j а< 1.

Мы же исследуем уравнение для парциальных волн с потенциалом V (х), для которого кроме условий 1) и 3), выполняется следующее: со

4) ¡У(х) dx сходится условно,

5) |Д*)| = jj

V(t) dt а(х), где а(х) - убывающая функция,

6) Ja(/) dt € L'(0,oo).

Рассмотрим уравнение для парциальных волн: dx х

0.5)

Для удобства дальнейшего исследования этого уравнения вместо / введем число Я = 1+1/2, после чего (0.5) перепишется в виде:

V(x) = 0,

0.6) четное относительно Д.

В первом параграфе главы 2 мы исследуем уравнение (0.6) с граничными условиями при х = 0.

Для доказательства существования решения <р (X,к,х) и его аналитичности по X мы рассматриваем два интегральных уравнения: р(Л,к,х) = хл+т I чЯ / дср(Л,к,х) дл

2 Л2 1 к2-V®]

2Л V х +

V

У д<р(Л,к,£)

1п ^-(р(Л,к,4) + х л 'х1 х) дЛ

4?.

Вводя формальные итерационные разложения для этих уравнений, мы доказываем их сходимость. Результат сформулирован в виде теоремы:

Теорема 2.1. Функция <р (к, к, х) является целой функцией к2 в каждой ограниченной области комплексной к2 - плоскости и аналитической функцией X в области Яе X = ц > 0.

Во втором параграфе исследуется уравнение (0.6) с граничными условиями при х = да. Здесь рассматриваются следующие интегральные уравнения: ДЛ,к,х) = /0(Л,к,х) + с!у, (0.7) ду ду д/(Л,к,х) 8/„(Л,к,х) А(х)ДЛ,к,х) + да

11 дх дх дВ(Л,к,х,у) 8/(Л,к,У) д2В(Л,к,х,у) дх

- + ду дх ду

Где [/(Л.Д,х)],.(^)=0 ~ /0(Л,к,х) =

Лкх^

ДЛ,к,у)]А(у)с1у.

-(-/2)<Л+|/2)7/(2

0.8) ч ^ /

Н\(2> - функция Ганкеля II рода,

В(Л,к,х,у) = —[/0(Я,к,у)/0(Л,-к,х)-/0(Л,к,х)/0(Л-к,, 2к

А(У) = ]у(оа.

Далее снова вводятся в рассмотрение формальные итерационные ряды и с помощью ряда оценок по индукции доказываются оценки сверху для этих рядов: алхх)\<^\ШкА< с\к\х я-0 ч1+|фу

А^ п=0

2\к\ + \л М , I

Ас^а(у)с1у п\ I п=0 У са{х)^а{у)(1у п\ чНФу

-|//|+1/2 еЬх ехр с^а{у)(1у ехр \а{у)с1у

Н ^ ) 4*1

Для ряда, составленного из производных, получена более грубая оценка: д/(Л,к,х) дх X п-О д/п(Л,к,х) дх и с\к\х^'2 Г '

1 + \к\х ехр

2\к\ + \ ТГ а{у)йу а(х) + -г-г1ехр и чи

-Лх)\а(у¥у

2 Ш + 1Ю, + ]а(у)с1уехр

1*1 ^

2Ш + 1 1

VI—с И и а(у)с1у

Таким образом, справедлива

Теорема 2.2. Функция / (2, к, х) является целой функцией I и аналитической функцией к в области Ъ=1т к < 0.

В последнем параграфе второй главы рассматриваются примеры потенциалов, удовлетворяющих нашим условиям 1), 3) и 4) - 6):

1. У(х) = Япех;

2. У(х) = х"Яп х",а>0,р>сс + 2.

Затем мы вводим в рассмотрение функцию Поста и Б-матрицу:

ДЯ,к)^1¥(/,(р) = ПЯ,к,х) д(р{Я,к,х) д/(Я,к,х) р(Л,к,х),

АЛ,к) СЧЧ) = Р{Х,к) = е21вц, (Я,-к) Р(Я-к)

- е

2 ¡вил) где 6 (X, к) называется сдвигом фазы.

Основная теорема этого параграфа формулируется следующим образом: Теорема 2.5. Функция/(X, к), рассматриваемая как функция двух переменных X и к, является апачитической в прямом произведении областей 1т к < 0 и Ке X > 0.

Свойства 5 (X, к) непосредственно следуют из свойств/(X, к). Диссертация состоит из настоящего введения, двух глав, разбитых на 2 и 3 параграфа соответственно и списка литературы из 47 названий. Каждый параграф диссертации содержит двойную нумерацию, в которой первый номер указывает на номер главы, а второй - на номер леммы или теоремы в этом параграфе. Аналогичным образом нумеруются в диссертации формулы.

В диссертации используются стандартные обозначения. Символом с, с индексами или без, обозначаются положительные постоянные, конкретные значения которых безразличны. Для обозначения единичной матрицы используется буква /, для нулевой матрицы буква О.

В заключение автор выражает глубокую благодарность доктору физико-математических наук, профессору Султанаеву Я. Т. за постановку задачи, постоянное внимание и поддержку в работе.

1. Агранович 3. С., Марченко В. А. Обратная задача рассеяния. - Харьков, 1960.

2. Bargmann V. Phys. Rev. 75,301, 1949.

3. Bargmann V. Proc. Nat. Acad. Sei. USA, 1952. - 38, 961.

4. Bowcock J. Martin A., Nuovo Cimento. 14,516,1959.

5. Ватсон Г. II. Теория бесселевых функций. M.: Наука, 1951.- Том III.- Часть 2.

6. Вазов В. Асимптотические разложения решений ОДУ. М.: Мир, 1968.

7. В. де Альфаро, Т. Редже. Потенциальное рассеяние. М.: Мир, 1966.

8. Винер II. Интеграл Фурье и некоторые его приложения. М.: ИЛ, 1963.

9. Гинзбург В. Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. М.: Физматгиз, 1960.Ю.Гусаров Л. А. О стремлении к нулю решений линейного дифференциального уравнения второго порядка// ДАН СССР. 1950. - № 1.

10. Жданова Г. В., Федорюк М. В. Асимптотическая теория систем и задача о рассеянии// Труды Московского математического общества. 1977. - 34. - С. 213-242.

11. Зоммерфельд А. Дифференциальные уравнения в частных производных физики. -М.:ИЛ, 1950.

12. Jost R. Helv. Phys. Acta. 20, 256, 1947.

13. Коддингтон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1958.

14. Khuri N. N. Phys. Rev. 107, 1148,1957.

15. Лаке П., Филипс Р. Теория рассеяния. М.:Мир, 1971.

16. Левитан Б. M. , Саргсян И. С. Введение в спектральную теорию. М.: Наука, 1970.

17. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965.

18. Мандельстам С. Новый метод в теории сильных взаимодействий. М.: ИЛ, 1960.

19. Martin A. Nuovo Cimento. 31,1229, 1964.

20. Марченко В. А. Труды Московского математического общества. 1, 327, 1952.

21. Муртазин X. X., Султанаев Я. Т. К формулам распределения собственных чисел неполуограниченного оператора Штурма-Лиувилля// Матем. заметки. -1980. Т. 28,- №4.-С. 545-553.

22. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969.

23. Ныотон Р. Теория рассеяния волн и частиц. М.: Мир, 1969.

24. Петровкий И. Г. Лекции по теории интегральных уравнений. М.: Гостехиздат, 1948.

25. Predazzi Е., Regge Т. Nuovo Cimento. 24, 518,1962.

26. Рапопорт И. М. О некоторых асимптотических методах в теории дифференциальных уравнений. Киев: Издательство АН УССР, 1954.

27. Смирнов В. И. Курс высшей математики. М.: Наука, 1951. - Т. 3. - Часть 2.

28. Султанаев Я. Т. Асимптотика спектра сингулярных дифференциальных операторов в неопределенном случае// Вестник Московского университета.Сер. матем., мех. 1975. - № 3. - С. 21 - 30.

29. Султанаев Я. Т. Асимптотика спектра обыкновенных дифференциальных опрераторов в вырожденном случае// Дифференциальные уравнения. 1992. - Т. 18, №10.-С. 1694-1702.

30. Султанаев Я. Т. Асимптотика решений обыкновенных дифференциальных уравнений в вырожденном случае// Труды семинара им. И. Г. Петровского. -1988. Т. 13.-С. 36-55.

31. Султанаев Я. Т. Асимптотика дискретного спектра одномерных дифференциальных опреаторов//Дифференциальные уравнения. 1974. -Т. 10. -№ 11.-С. 2010-2020.

32. Султанаев Я. Т., Исламова Р. Т. Исследование уравнения для парциальных волн с быстро осциллирующим потенциалом// Матем. заметки. 2006. - Т. 79. -2,-С. 288-293.

33. Тихонов А. II. О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметр// Матем. сборник. 1950. - Т. 27 (69). - 2.

34. Фаддеев JI. Д. Успехи математических наук. 1959. -Т. 14, II. - 57. - С. 57 - 62.

35. Федорюк М. В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1983.

36. Федорюк М. В. Асимптотические методы в теории линейных обыкновенных дифференциальных уравнений// Матем. Сборник. 1969. - Т. 79 (121). - № 4 (8).-С. 477-516.

37. Федорюк М. В. Асимптотические методы в теории одномерных сингулярных дифференциальных операторов// Труды Московского математического общества. 1966.- Т. 15. - С. 296 - 345.

38. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Паука, 1969.

39. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.

40. Уиттекер Е. Т., Ватсон Г. Н. Курс современного анализа. М.: Наука, 1963.

41. Шадан К., Сабатье П. Обратные задачи в квантовой теории рассеяния. М.: Мир, 1980.

42. Якубович В. А. Об асимптотическом поведении решений дифференциальных уравнений// ДАН СССР. 1948. - № 5.

43. Исламова Р. Т. Асимптотика решений системы дифференциальных уравнений второго порядка в вырожденном случае// Вестник БашГУ. 2002. - № 2. - С. 19 -22.

44. Исламова Р. Т. Асимптотика решений системы дифференциальных уравнений второго порядка в вырожденном случае// Сборник материалов республиканской научно-практической конференции молодых ученых: Тез. докл. Уфа, 2004. - С. 94-95.

45. Исламова Р. Т. Исследование уравнения Шредингера с потенциалом V(x) = Sin(exp(x))// Вестник БашГУ. 2003. - № 1. - С. 11 - 15.

46. Исламова Р. Т. Исследование уравнения для парциальных воли с потенциалом V(x) = ха Sin(xp)// Вестник БашГУ. 2004. - № 1. - С. 6 - 9.