Дифференциальный метод оценки некоторых типов финансовых инструментов

Муравей, Дмитрий Леонидович

Дифференциальный метод оценки некоторых типов финансовых инструментов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Муравей, Дмитрий Леонидович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2012 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.09 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Дифференциальный метод оценки некоторых типов финансовых инструментов»

Автореферат диссертации на тему "Дифференциальный метод оценки некоторых типов финансовых инструментов"

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

На правах рукописи

МУРАВЕЙ ДМИТРИЙ ЛЕОНИДОВИЧ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ МЕТОД ОЦЕНКИ НЕКОТОРЫХ ТИПОВ ФИНАНСОВЫХ ИНСТРУМЕНТОВ

Специальность 01.01.09 — дискретная математика и математическая кибернетика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 7 2012

Москва - 2012 г.

005043593

Работа выполнена в Федеральном государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова, факультет Вычислительной математики и кибернетики, кафедра Исследования операций.

Научный руководитель: кандидат физико-математических

наук, доцент

Морозов Владимир Викторович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор Михайлов Игорь Ефимович;

доктор физико-математических

наук, профессор

Ушаков Владимир Георгиевич.

Ведущая организация: Федеральное государственное

бюджетное учреждение науки Институт системного анализа Российской академии наук

Защита диссертации состоится 30 мая 2012 г. в 11 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 501.001.44 в Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, 2-й учебный корпус, факультет ВМК, аудитория 685. Желающие присутствовать на заседании диссертационного совета должны сообщить об этом за два дня по тел. 939-30-10 (для оформления заявки на пропуск).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМК МГУ. С текстом автореферата можно ознакомиться" на официальном сайте ВМК МГУ http://cs.msu.ru в разделе «Наука» — «Работа диссертационных советов» - «Д 501.001.44».

Автореферат разослан «28» апреля 2012 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета,

профессор Jkpv"^ Н.П. Трифонов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

1 Аркин В.И., Сластников А.Д. Ожидание инвестиций и налоговые льготы // Препринт WP/97/033, М.: ЦЭМИ РАН, 1997.

2 Виленский ПЛ., Лившиц В.Н., Смоляк С.А. Оценка эффективности инвестиционных проектов. М.: Дело, 2008.

3 Vasicek О. An equiliblium characterization of the term structure // Journal of Financial Economics. 1977. V. 5 P. 177-188.

4 Cox J.C., Ingersoll J.E., Jr., Ross S.A. A theory of the term structure of interest rates // Econometrica. 1985. V. 53. № 2 P.385-407.

5 Black F., Karasinsky P. Bond and option pricing when short rates are lognormal // Financial analysts Journal. 1991. №4. P. 52-59.

6 Constantinides G.M., Ingersoll J.E. Optimal bond pricing with personal taxes // Journal of Financial Economics. 1984. V. 13. P. 299-235.

7 Ширяев AM. Основы стохастической финансовой математики Т.1Д.2 II Фазис, 1998.

8 Gerber H.U., Shiu E.S.W. Pricing lookback options and dynamic guarantees 11 North American Actuarial Journal. 2003. V.7. N.l. P. 48-66.

9 Broadie M., Detemple J. The valuation of American Options on Multiple Assets I I Mathematical finance. 1997. Vol.7. No.3. 241-286.

другие занимались исследованиями американских и европейских опционов на несколько активов. В рамках модели Блэка - Шоулса нахождение стоимости ценной бумаги сводится к вычислению математического ожидания платежа по этой бумаге. Весомый вклад в развитие методов их вычислений внесли Колмогоров, Гирсанов", Ширяев, Аркин, Сластников12, Башелье, Ито13 и другие. Существует два подхода к вычислению математического ожидания: мартингальный и дифференциальный. Мартингальный подход основывается на построении специального мартингала, позволяющего посчитать искомое математическое ожидание. Данный подход подробно описан в работах Гер-бера, Шиу14, Ширяева и других авторов. С его помощью получены оценки для отдельных видов опционов. Дифференциальный подход более общий и заключается в постановке краевой задачи для уравнения в частных производных, решением которого является искомое математическое ожидание. Развитием этого подхода занимались Колмогоров, Феллер, Бютглер", Кокс, Ингерсолл, Росс, Блэк, Шоулс и другие. В данной диссертационной работе для получения оценок стоимости указанных выше ценных бумаг предлагается применение дифференциального метода на базе общего подхода теории исследования операций. Аппарат данного метода опирается на работы Ильина, Калашникова, Олейник, Жиро, Фикеры, Паламодова, Миранды, Хёрман-дера.

Цели исследований. Получение аналитических оценок стоимости ценных бумаг и построение соответствующих им решающих правил. Представление полученных оценок в виде, позволяющем применять численные методы.

Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми. В диссертации подробно исследован дифференциальный метод - его дальнейшее развитие (для двумерных задач) и применение позволило получить ранее

10 Margrabe W. The value of option to exchange one asset for another // Journal of Finance. 1978. V. 33. P. 177-186.

" Гирсанов И.В. О преобразовании одного класса случайных процессов с помощью абсолютно непрерывной замены меры // Теория вероятностей и её применения. 1960. T.5. №3. С. 314-330.

12 Аркин В.И., Сластников А.Д. вариационный подход к задачам оптимальной остановки диффузионных процессов // Теория вероятностей и её применения. 2008. Т. 53. В. 3. С. 516-533.

13 ¡to К. On stochastic differential equations 11 Memoirs of the American mathematical society. 1951. V. 4. P. 1-89.

14 Gerber H.U., Shlu E.S.W. Martingale approach to pricing American options // ASTIN Bulletin. 1994. V. 42. P. 195-200.

15 Buttler H.-J. Pricing callable bonds by means of Green's function // Mathematical Finance. 1996. V. 6. № 1. P. 53-88.

неизвестные оценки стоимости ряда классических типов ценных бумаг. В том числе получены нижние оценки стоимости и соответствующие им решающие правила для бесконечных американских опционов на два актива (как для альтернативного опциона, так и для опциона Марграбе), оценка облигации с переменной процентной ставкой модели Ингерсолла — Константи-нидиса. В качестве демонстрации возможностей данного метода были найдена оценка стоимости опциона "Lookback" (ранее полученная мартингальным подходом Гербером и Шиу8) и оценка стоимости облигации с переменной процентной ставкой модели Кокса - Ингерсолла - Росса (ранее полученная методом автомодельных замен Бютглером15). Так же в процессе исследований была решена задача поиска распределения времени первого достижения прямоугольной границы двумерным гауссовским процессом, что позволило предложить новый класс решающих правил.

Методика исследований. В работе используются методы теории исследования операций, теории вероятностей, действительного и комплексного анализа, теории дифференциальных уравнений в частных производных, операционного исчисления, теории функций и функционального анализа, специальных функций и методы оптимизации.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Её результаты могут быть использованы в качестве анализа принятия решений при управлении финансовым портфелем и при оценке инвестиционных проектов. Также результаты работы могут быть использованы для дальнейшего исследования аналогичных задач.

Апробация. Результаты работы докладывались на конференциях Ломоносовские чтения в 2008 и 2009 годах, VI международной конференции по исследованию операций ORM 2010, и Тихоновских чтениях в МГУ в 2010 и 2011 годах.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы работах [16], из которых [1], [4-6] - в рецензируемых журналах из списка ВАК.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, включающих в себя в совокупности 16 параграфов, и списка литературы. Полный объём диссертации составляет 178 страниц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведены постановки исследуемых задач, приложения рассматриваемых типов задач, обоснована актуальность исследования, описана методика исследования, коротко изложено содержание диссертационной работы, отражена научная новизна работы, сформулированы основные положения, выносимые на защиту, и приведена информация об апробации результатов.

Первая глава посвящена построению нижней оценки бесконечного американского альтернативного опциона на два актива. В §1 приводится определение данной ценной бумаги, экономическая модель и постановка задачи.

Бесконечный американский альтернативный опцион на два актива представляет собой ценную бумагу, держатель которой имеет право её предъявления в любой момент времени с целью получения актива, имеющего наибольшую стоимость.

Рассматривается модель финансового рынка Блэка-Шоулса, где банковская процентная ставка г не зависит от времени а стоимости активов 5Д/), ( = 1,2, удовлетворяют уравнениям геометрического броуновского движения: = +<*,&,(')). где ст, >0 - волатильности активов, а 2,(0 -стандартные винеровские процессы с коэффициентом корреляции р, |р|<1. Пусть 8, >0 - интенсивности выплаты дивидендов. Дополнительно потребуем условие риск-нейтральности для участников рынка г = а(+5„ / = 1,2, что означает равенство доходности инвестора по депозитному вкладу и средней доходности каждого актива, включая дивиденды. Предположим, что получаемые по активу дивиденды немедленно реинвестируются, то есть на них покупаются новые акции такого же типа. Платёж по опциону в момент времени / определяется функцией /(5", (0, (')) = тах (5, (0 - -К,, где К, - цена опциона при покупке /-го актива. Обозначим через 5, =5,(0), / = 1,2, начальные стоимости активов. Тогда стоимость опциона С(5,,52) может быть определена как верхняя грань средних приведённых платежей, взятая по всем решающим правилам предъявления Г'(марковским моментам относительно фильтрации Р, =<т{(2,(5),г2М), о<*</}):

С(51,52) = 5ир£[ехр(-гГ)/й(Г),52(Г'))]

Построение нижней оценки производится на основе следующего класса пороговых решающих правил Т : опцион предъявляется только в том случае, 5 (1)

когда процесс /?(') = —— впервые достигает либо верхней границы с,, либо

(О

нижней границы с2. Константы с, и сг удовлетворяют ограничениям

О < с, < — < с,. йг

Исходя из этого, нижняя оценка стоимости опциона равна

А наилучшую нижнюю оценку стоимости можно определить как

F(S¡,S2) = supF(S¡,Sг,c¡,c2),

с1>с2

где супремум ищется по всем с,,с2, определяющим правило ТСХ1. Использование формулы Ито13 и уравнения Беллмана16 позволяет получить следующую краевую задачу для интересующей нас стоимости ^(5,,52,срс2):

+ + рст.а^Лл +а,ЗД. +<х2ад. = О,

0<с, < —1-<с.. . ¡¡2

(1)

При заменах

* =-—-У =-!-^- ' р(51>^.сРс2) = « У(х,у)

уравнение (1) перейдёт в уравнение (2) - общее эллиптическое уравнение с постоянными коэффициентами в бесконечной прямой полосе П' с шириной полосы /.

п'={^о<ж<+оо,0<у<1}, / = -1п^-

2 с2 •

Таким образом, получим следующую краевую задачу:

16 Беллман Р. Динамическое программирование. М.: ИЛ, 1960.

„ */ -, ¿V = <тX +2р<зр2У„ +а,Кт +сс2К -гУ = 0, (х,у) е П',

ле

V и= (^-^г"*) ^е(-оо,-Нх>), где Стра^а^а^р.г - константы, определяемые по коэффициентам уравнения (1), про которые известно, ЧТО (¡¡,62,г>0, |р| < 1.

В §2 строятся потенциалы $(х-х0,у) и Р,'(х-х„у) определяемые следующим образом:

Р/'(х-ху,у) = 11тР/\(х-хгу), у = 0, 1, (3)

где ¡¿с(х-х0,у) и Р,'х(х-х,,у) являются обобщёнными решениями следующих краевых задач:

К.

(4)

Н, и= о.

1Р1 = О,

К. и=°. (5)

К, и=

Функция Хевисайда 0(х-х,) определяется следующим образом:

Г1, х—х1 >0

0(х-*,) = .Г ' . / = 1,2. |0, х-х,<0

Интересующие потенциалы 1^(х-хй,у) и Р^(х-х„у) найдены в виде быстрос-ходящихся рядов.

В §3 исследуются классы существования и единственности следующей краевой задачи:

ьи = а,2и; + 2р<?,с+а2г(/; +а,их +а2Цу-Ш = 0, (х,у)еП', и1у,,=Ф(х),х е (-<»,+«).

(6)

Доказана следующая теорема:

Теорема 1. Ограниченное на бесконечности решение краевой задачи (6) в классах граничных функций М1 существует, единственно и имеет вид:

и= ¡(¡'{х^^х-х^уУЬ:.-^ ¡ф(х,)С,(х~х„у)11х„ ф(х),<р(х)еМ,, (7)

где О0(х-х.,у) = ——-, й.(х-х,,у) = ——-, а класс М определяется

дх дх

следующим образом (С'°-класс функций, первая производная которых удовлетворяет условию Гёльдера с показателем а ):

<р еМ1 Оф(дг) бС(-°о,+оо), Э!х :

Ф_(х),х<х,

Ф (*)=, ... _

|фДХ),Х > X,

|ф(х)|+|Ф:(Ф|Ф;(Ф|Ф;(Х)|+|Ф;(Х)|<

В §4 приводится решение задачи (2) для интересующей оценки стоимости опциона. Непосредственно проверяется, что граничные функции в (2) принадлежат классуМ1. Применяя теорему 1 и вычисляя обе свёртки (7), получаем

У(х,у) = У0(х,у)+У,(х,у):

К(х,у) =

«?;«•" у

-ню

л/^О-Р

к 5ш (^А)ехр (р - К:у/72-Х +

И(к)(Ш-р)(вд-р+1)

ед(вд+р)(яда+р-1)

ч 4,й,р=^)еч> (р -щ^ыо--')]

,1„ А-х+^уХ), Vе! СТ2

¿М ^ Леш V_

-—^ — |ехр

т{т+р)(ад+р-1)

К'(х,у) =

+К (*.}■).

1 Ч с

I р®|

л/С1 СТ2

.А (/-у)

'«г

, Из

/ —

з",2 4а%4

(1-Р>, , с?? <т\2

... ч <*1Р<*2

г <х22 (1-Р . а, а,рсх2

где

2(1-р у°1 ст2 ' 2(1-р2)оД аг с

§5 посвящен поиску ^= 5ир/7(5',,5'2,с,,с2), который ищется численно. В рамках данного параграфа приведена серия вычислительных экспериментов с различными начальными данными. Оптимизация велась в пакете МаШсас! методом сеточных вычислений и методом Нельдера — Мида. Результаты экспериментов отражены в следующей таблице:

а. Р с, г 1 1тг гл/е»

10 7 0.2 0.1 0.5 2.9 0.4 8.871 9.013

3 2 0.2 0.1 -0.5 9.3 0.1 2.580 2.675

22 7 0.1 0.1 0 3.16 1.2 18.992 19.082

Другие исходные параметры равны: 5, =82 =0.01, г = 0.05, X, =3, К2 = 2.

- нижняя оценка, а верхняя оценка, полученная Морозовым и Хиж-няком1

* %»

.17

Основные результаты главы опубликованы в работах [I], [2], [3], [4].

Вторая глава посвящена построению нижней оценки бесконечного американского опциона Марграбе. В §1 приводится определение данной ценной бумаги, экономическая модель и постановка задачи.

Бесконечный американский опцион Марграбе представляет собой ценную бумагу, держатель которой имеет право её предъявления в любой момент времени с целью обмена одного актива на другой. Модель активов и рынка такая же, как и в первой главе. Платёж по опциону в момент времени / определяется функцией: /(5,(0,5'2(0) = (5'1(0-5'2(0-^)+, где К - цена исполнения. Построение нижней оценки производится на основе следующего класса пороговых решающих правил Тс: опцион предъявляется только в том случае,

С (

когда процесс />(<) = —— впервые достигает границы с. Исходя из этого, оценка стоимости опциона равна

а его наилучшую нижнюю оценку стоимости можно определить как

где супремум ищется по всем с, определяющим правило Тс. По аналогии с первой главой, использование формулы Ито и уравнения Беллмана позволяет получить следующую краевую задачу для стоимости /г(5'1,5'2,с):

При заменах

1п.£+1п.У2 1п - 1п .V, + 1п с

17 Морозов В.В., Хижняк К.В. Верхняя оценка стоимости бесконечного американского альтернативного опциона на два актива // Прикладная математика и информатика - 2011. №39, -С. 98-107.

уравнение (8) перейдёт в общее эллиптическое уравнение с постоянными коэффициентами В бесконечной полуплоскости П~ ={дгб(-оо,-но),у>0};

IV = 6-VI + 2рарХ, +<*1К +«1^, +«2К= 0. (х<у) е П".

V Ц=(с"2-с-"2-Ке-\, х е (-со.+сс).

(9)

где сГ|,ст2,а,,а2,р,г - константы, определяемые по коэффициентам уравнения (8), про которые известно, что ст,,ст2,г> 0, |р|<1.

В §2 строятся потенциал Р"(х-х„,у) определяемый следующим обра-

= Пт Р" (х-х„,у),

(10)

где Р"(х-ха,у) является обобщённым решением следующей краевой задачи:

(И)

1Р" =0,

ги= 0.

При этом потенциал Р"(х-х0,у) находится в виде быстросходящегося интеграла.

В §3 исследуются классы существования и единственности следующей краевой задачи:

IV = + 2ра ,ст2К„ +а22К„ +а,К +а гУу-гУ = (1, П,=о=Ф«>

V 1,ч.= 0, *б(-°о,+оо).

(12)

По аналогии с первой главой можно показать, что решение краевой задачи (11) в классе граничных функций М1 представляется в виде

^УфООС-СХ-ЛГО.УЖ. <Р«еЛ/\

(13)

где С(х-х0,у) = ЗР ^ х"у\ а класс М1 определяется в первой главе.

дх

В §4 приводится решение задачи (9) для интересующей стоимости опциона. Непосредственно проверяется, что граничные функции в (9) принадлежат классу М1. Вычисляя свёртку (13), получаем ответ:

(сш-с-"г)— —\___—1,.- ' т-^ак *„(*,}')> О,

У } (л/РТяТ + 1-р)

У(х,у) =

, +=0

1/2 еТ + у1Ь2 +Х2 )*„(*,у)]

¡0(х,у)< О,

где

а.2 +4а,/" +

ст"; (а, ра2 V (1-р2)^а, о2 )

»¡у

Г(*,^) = (сш-с-"1)емгехр

1, А" р^ ] ^ р I--

1 ' [ К 4а' <?,' ¿1 ¿1

Последний параграф второй главы посвящен поиску ) = 5ир (.У,, ^, с), который ищется методами численной оптимизации. В

рамках данного параграфа приведена серия вычислительных экспериментов с различными начальными данными. Оптимизация велась методом сеточных вычислений с использованием пакета МаЛсас!, результаты которых с начальными данными 8, =52 = 0.01, г = 0.05, К = 3 отображены в следующей таблице:

Р с Р 11™ /г

12 7 0.2 0.1 0.5 4.2 5.717 5.773

22 7 0.2 0.1 -0.5 7.5 14.718 14.764

3 3 0.1 0.1 0.9 1.75 0.229 0.269

Flm и F^ - нижняя и верхняя оценка соответственно.

Третья глава посвящена оценкам некоторых европейских обязательств и другим приложениям дифференциального метода.

Первый параграф посвящен стоимости европейского опциона "Lookback". Опцион "Lookback" представляет собой ценную бумагу, держатель которой имеет право её предъявления в фиксированный момент времени Тс целью получения платежа, который равен S(T)-m(T), где S (Г) — стоимость актива на момент времени Г, а т(Т) = min0SJSr Sit). В рамках стандартной модели рынка Блэка- Шоулса была получена стоимость данной бумаги:

C{S, m,l) = Цс"""0 (S(T) - т(Г))]

как решение уравнения теплопроводности со смешанным граничным условием. Искомая стоимость была ранее получена Гербером13 с использованием мартингального подхода. В данном параграфе показано, что использование преобразования Лапласа при решении краевой задачи позволяет представить стоимость опциона в виде определённого интеграла, который выражается через функцию распределения времени первого достижения процессом броуновского движения заданного уровня.

Второй и третий параграфы посвящены оценкам облигации с переменной процентной ставки. Рассмотрены две модели процентной ставки: модель Кокса - Ингерсолла - Росса и модель Ингерсолла - Константинидиса. Для модели процентной ставки r(t) Кокса - Ингерсолла - Росса, удовлетворяющей уравнению

dr(t) = (а-$r(t))dt +yr2(t)dWt, а, ß, y>0,

где W, — стандартный винеровский процесс, была поставлена и решена краевая задача для уравнения теплопроводности, решением которой является стоимость облигации с номиналом единица и датой погашения Т :

F(t) = E

еХР(~|Г(Т)Л)

Стоимость F(t) ранее была получена Бютглером23 использованием метода автомодельных замен. Во втором параграфе данной главы продемонстрирован другой метод получения этого результата, который заключается в постановке и решении краевой задачи для стоимости F(t):

y ri; + f; (a - ß г) - rF =-F,,

F(r,T) = 1, 0<r< -h», F(+»,r) = 0, 0<t<T.

Решение этого уравнения основывается на введении и использовании системы полиномов Лагерра и биортогональной к ней системы.

В третьем параграфе найдена стоимость облигации с переменной процентной ставкой r(t) Ингерсолла-Константинидиса, удовлетворяющей урав-

нению dr(t) = Р гг (0 dW,.

Для интересующей стоимости бьша так же поставлена и решена следующая краевая задача

—r3F —rF = —F-, 2

F (г, Г) = 1, 0 < г < F(0,/) = 1, 0 <t<T, F(+oo,t) = 0, 0 <t<T.

В рамках параграфа описано два способа получения решения: использование преобразования Лапласа и метод автомодельных замен. Получены два представления решения:

" J г' UT' ).

где 7„(ж) - функция Бесселя, а Мк1 (х) - функция Уитгекера.

Последний параграф главы посвящен задаче поиска распределения времени первого достижения двумерным гауссовским процессом прямоугольной границы. Рассматривается двумерный гауссовский процесс (Х(г),У(0), то есть Х(0=(7,2,(0, 1,(0=ст222(0, где г,(1) и г2(0 - стандартные ви-неровские процессы с коэффициентом корреляции р, что означает (¿,(0аЬ2(0= р<й. Обозначим за Тху - время первого достижения либо процес-

сом ХЦ) уровня х, либо процессом Г (О уровня у. Используя уравнение Колмогорова-Чепмена, можно показать, что функция распределения случайной величины Тху

в(х,у,0 = Р{Т,у <t) = ¡g(x,y,1)dт

удовлетворяет следующей краевой задаче:

-рс,а,О =в„

^ & ^ УУ г 1 2 « /'

■ в(0,у,1) = С(х,0,1) = 1

в(_х,у, 0) = 0.

Найдено решение этой задачи

е'<

= 1--!К+1(Ф -а))| ^а^Ил,

к -2а м ^ О

где

/1-р уЬ1х*+а?у2-2рар,ху

1га=.——, г = -—£-, —.

\1 + Р а,а2Л/2(1-р2)

и найдена плотность распределения

где /„ - модифицированная функция Бесселя. Рассмотрены приложения полученных результатов, в частности, использование полученного распределения для оценки бесконечного американского альтернативного опциона на два актива.

Основные результаты данной главы опубликованы в [5], [6].

РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Разработан метод построения нижней оценки стоимости бесконечного американского альтернативного опциона на два актива.

те V. . , . .ч

у, 0 = —л——-<*))

2. Разработан метод построения нижней оценки стоимости бесконечного американского опциона Марграбе.

3. Найдена стоимость облигации с переменной процентной ставкой модели Ингерсолла - Константинидиса.

4. Найдена плотность распределения времени первого достижения двумерным гауссовским процессом прямоугольной границы, что позволило расширить класс решающих правил.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Морозов В.В., Муравей Д.Л. Нижняя оценка стоимости бесконечного американского альтернативного опциона на два актива // Прикладная математика и информатика. 2010. №36. С. 99-106.

Переиздание: Morozov V. V., Muravey D.L. A lower bound on the value of an infinite American call option on two assets// Computational Mathematics and Modeling. 2012. V. 23. №1. P. 79-87.

2. Морозов В.В., Муравей Д.Л. Построение нижней оценки стоимости бесконечного американского альтернативного опциона на два актива // Научная конференция Тихоновские чтения. 2009. С. 55-57.

3. Морозов В.В. Муравей Д.Л. Нижняя оценка стоимости бесконечного американского альтернативного опциона на два актива // VI Московская международная конференция по исследованию операций. 2010. С. 60-61.

4. Муравей Д.Л. Использование дифференциального метода для построения нижней оценки стоимости бесконечного американского альтернативного опциона на два актива // Вестник Тверского государственного университета. Серия Прикладная математика. Выпуск 1 (24). 2012. С. 127-136.

5. Морозов В.В., Муравей Д.Л. Стоимость опциона "Lookback" как решение краевой задачи для уравнения теплопроводности // Прикладная математика и информатика. 2008. № 28. С. 66-73.

Переиздание: Morozov V. V., Muravey D.L. The price of a lookback option as the solution of a boundary - value problem for the heat equation // Computational Mathematics and Modeling. 2009. V. 20. №1. P. 65-70.

6. Муравей Д.Л. Метод расчёта коэффициента дисконтирования при переменной процентной ставке // Динамика неоднородных систем - 2008. Т.2. №2. С. 244-248.

Подписано в печать: 27.04.12

Объем: 1,5 усл.п.л. Тираж: 100 экз. Заказ № 7450 Отпечатано в типографии «Реглет» 119526, г. Москва, Проспект Вернадского д.39 (495) 363-78-90; www.reglet.ru

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Муравей, Дмитрий Леонидович, Москва

61 12-1/808

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

На правах рукописи

МУРАВЕЙ ДМИТРИЙ ЛЕОНИДОВИЧ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ МЕТОД ОЦЕНКИ НЕКОТОРЫХ ТИПОВ ФИНАНСОВЫХ ИНСТРУМЕНТОВ

Специальность 01.01.09 - дискретная математика и математическая

кибернетика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель к.ф.-м. н. Морозов В.В.

Москва-2012

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение......................................................................................3

Глава 1. Нижняя оценка стоимости бесконечного американского альтернативного опциона на два актива.

§1. Постановка задачи...................................................................13

§2. Эллиптическое уравнение в бесконечной полосе. Потенциалы и

Функция Грина...........................................................................20

§3. Класс ограниченных граничных функций М0..............................31

§4. Классы кусочно-гладких граничных функций Мх.........................60

§5. Нижняя оценка стоимости бесконечного американского альтернативного опциона на два актива......................................................84

§6. Вычислительные эксперименты................................................89

Глава 2. Нижняя оценка стоимости бесконечного американского опциона Марграбе.

§1 Постановка задачи...................................................................90

§2 Эллиптическое уравнение в бесконечной полуплоскости. Потенциалы и Функция Грина....................................................................93

§3. Класс ограниченных граничных функций М0.............................101

§4. Классы кусочно-гладких граничных функций М1........................124

§5. Нижняя оценка стоимости бесконечного американского опциона

Марграбе..................................................................................135

§6. Вычислительные эксперименты...............................................139

Глава 3. Оценка некоторых европейских обязательств и другие приложения дифференциального метода.

§1. Стоимость опциона "Lookback".................................................140

§2. Стоимость облигации с переменной процентной ставкой модели Кокса - Ингерсолла - Росса................................................................150

§3. Стоимость облигации с переменной процентной ставкой модели Ингерсолла - Константинидиса.........................................................153

§4. О задаче времени первого достижения двумерным гауссовским процессом прямоугольной границы....................................................163

Список Литературы

174

Введение.

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. В связи с динамичным развитием финансового инструментария и возрастанием биржевых операций исследование математических моделей стоимости ценных бумаг и задач принятия решений при их покупке или продаже становится всё более актуальным. Исследование подобного рода задач было начато Башелье[1], Блэком, Шоуллзом [2], Мерто-ном [3], Хестоном [4] и другими. С описанными выше моделями так же тесно связаны задачи оценки инвестиционных проектов, что отражено в работах Диксита, Пиндика[5], МакДональда, Сигела[6], Виленского, Лифшица, Смо-ляка[7] и других авторов. В диссертации изучаются несколько типов ценных бумаг: бесконечные американские опционы на два актива, опцион "Lookback" и облигации с переменной процентной ставкой. Особое внимание уделяется методам построения оценок стоимости указанных выше ценных бумаг. Задачи оценки опционов и других ценных бумаг изучались в течение длительного времени. В рамках теории финансового рынка Блэка-Шоуллза исследовалось большое количество ценных бумаг. Исследованием европейских опционов занимались Блэк, Шоуллз и другие. Модели облигаций с переменными процентными ставками рассматривались Васичеком [8], Коксом, Ингерсоллом, Россом [9], Блэком, Карасинским [10], Константинидисом [11] и другими. Стоимости некоторых экзотических опционов, а также опционов с однородными обязательствами были получены Ширяевым [12], Гербером, Шиу [13] и другими. Броуди, Детемпл [14], Марграбе [15], Ким [16], Джонсон [17] и другие занимались исследованиями американских и европейских опционов на несколько активов. В рамках описанной выше модели рынка, нахождение стоимости ценной бумаги сводится к вычислению математического ожидания платежа по ценной бумаге. Весомый вклад в развитие методов их вычислений внесли Колмогоров [18], Гирсанов [19], Ширяев, Баше-лье, Ито[20] и другие. Существует два подхода к вычислению математического ожидания: мартингальный и дифференциальный. Мартингальный подход основывается на построении специального мартингала, позволяющего посчитать искомое математическое ожидание. Данный подход подробно описан в работах Гербера, Шиу [21] и Ширяева. Дифференциальный подход заключается в постановке краевой задачи для уравнения в частных производных, решением которого является искомое математическое ожидание. Развитием этого подхода занимались Колмогоров, Феллер[22], Бюттлер [23], Кокс, Ингерсолл, Росс, Блэк, Шоуллз и другие. Основная проблематика данной работы - применение дифференциального метода для получения оценок стоимостей опционов и облигаций. В свою очередь, аппарат данного метода опирается на работы Ильина, Калашникова, Олейник [24], Жиро[25], Фике-ры[26], Паламодова [27], Миранды [28], Хёрмандера [29]. Цели исследований. Исследование методов, позволяющих получать оценки стоимостей ценных бумаг. Представление полученных оценок в виде, позволяющем применять численные методы.

Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми. В диссертации подробно исследован дифференциальный метод, применение которого позволило получить ранее неизвестные оценки стоимости ряда ценных бумаг. В частности, получены нижние оценки стоимости для бесконечных американских опционов на два актива (альтернативный опцион, опцион Марграбе), оценка облигации с переменной процентной ставкой модели Ингерсолла-Константимидиса. В качестве демонстрации данного метода были найдена оценка стоимости опциона "ЬоокЬаск"(ранее была получена мар-тингальным подходом Гербером и Шиу[13]) и оценка стоимости облигации с переменной процентной ставкой модели Кокса-Ингерсолла-Росса( ранне была получена методом автомодельных замен Бюттлером[23]). Так же в процессе исследований была решена задача поиска распределения времени первого достижения прямоугольной границы двумерным гауссовским процессом.

Методика исследований. В работе используются методы теории вероятностей, действительного и комплексного анализа, теории дифференциальных уравнений в частных производных, операционного исчисления, теории функций и функционального анализа, специальных функций и методы численной оптимизации.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Её результаты могут быть использованы в качестве анализа принятия решений на биржевых торгах и при оценках инвестиционных проектов. Также результаты работы могут быть использованы для дальнейшего исследования некоторых вероятностных распределений в задачах финансовой математики.

Апробация. Результаты работы докладывались на конференциях Ломоносовские чтения в 2008, 2009 и 2010 годах, V международной конференции по исследованию операций СЖМ 2010, и Тихоновских чтениях в МГУ в 2010 и 2011 годах.

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в рецензируемых работах, список которых приведён в конце автореферата. Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, включающих в себя в совокупности 16 параграфов и списка литературы. Полный объём диссертации составляет 178 страниц.

Основное содержание работы.

Рассматривается модель финансового рынка Блэка-Шоулса[2], где банковская процентная ставка г не зависит от времени t, а стоимости активов S:(t), z' = l,2 удовлетворяют уравнениям геометрического броуновского движения: dSt(t) - St{tiyafa + aldzi(t)), где cr >0 - волатильности активов, a z,(i)>0 -стандартные винеровские процессы с коэффициентом корреляции р, \р\<\. Пусть St > 0 - интенсивности выплаты дивидендов. Так же дополнительно потребуем условие риск - нейтральности рынка г = щ+5п г = 1,2, что означает равенство доходности инвестора по депозитному вкладу и- средней доходности каждого актива, включая дивиденды. Предположим, что получаемые по активу дивиденды немедленно реинвестируются, то есть на них покупаются новые акции такого же типа. Платёж по опциону в момент времени t определяется функцией /(5, ((), S2(/)) = max(Sj(t) - Kf)+, где К, - цена исполнения опциона при покупке г - го актива. Обозначим через Si =£,.(0), г = 1,2 - начальные стоимости активов. Тогда стоимость опциона C(SX,S^) может быть определена как верхняя грань средних приведённых платежей, взятая по всем решающим правилам предъявления Т' (марковским моментам):

С (S,, S2) = sup Е Гехр {-гГ) f(S, (Г), S2 (Г))],

Построение нижней оценки производится на основе следующего класса пороговых решающих правил Т : опцион предъявляется только в том случае,

когда процесс p(t) = впервые достигает либо верхней границы с,, либо

ЗД)

нижней границы с2. Константы с, и с2 удовлетворяют ограничениям

О < с, < — < с,.

Исходя из этого, нижняя оценка стоимости опциона равна

А наилучшую нижнюю оценку стоимости можно определить как

F(S1,S2) = supF(Sl,S2,cl,c2) г

где супремум ищется по всем cvc2, определяющим правило Т Использование формулы Ито и уравнения Беллмана[30] позволяет получить следующую краевую задачу для интересующей нас стоимости F(SvS2,cvc2):

уОД* + ра^^ +а.=

Р(8х,82,сх,с2)- (5) -Кх)+, Бх = с^, F(S1,S2,c1,c2) = (52 -К2)+, 51 = с25'2,

0<с2 < —<сг

(0.1)

При заменах

х =-!-у =

2 . 2

уравнение (0.1) перейдёт в уравнение (0.2) - общее эллиптическое уравнение с постоянными коэффициентами в бесконечной прямой полосе П' с шириной полосы /.

1 с

п'={-оо<х<+оо,0<у<1}, / = -

2 с2

Таким образом, получим следующую краевую задачу:

ЬУ = агхГхх+ 2ро,ауху + &*Г„ + ахГх + а2К - гУ = 0, (х, 7) е п<,

12 т г"

У\у,0=

■ К2е~

,хе(-оо,+оо),

(0.2)

где &х,а2,ссх,а2,р,г - константы, определяемые по коэффициентам уравнения (0.1), про которые известно, что &х,а2,Р> 0, < 1.

В §2 строятся потенциалы Р('(х-х0,у) и Рх(х-х,,у) определяемые следующим образом:

Р'{х-хру) = ШР1{х-хру), ; = 0, 1, (0.3)

где Ръе{х-ха,у) и Е(х—хх,у) являются обобщёнными решениями следующих

краевых задач:

К: = 0>

Р' I =е

Р1 I =0

(0.4)

ЬР1=0,

(0.5)

11^=0

е-^Щх-ь).

Функция Хевисайда <9(х-х() определяется следующим образом:

Г1, х-х. >0 в{х-х1) = \ / = 1,2.

[0, < 0

Интересующие потенциалы Р^(х-х0,у) и Р10(х-хх,у) найдены в виде быстрос-ходящихся рядов.

В §3 исследуются классы существования и единственности следующей краевой задачи:

</е/

Ш = а^ихх+ ЪроАК + + + -?и = 0,(х,у)е п'

1У1у=0=<р(х),хе(-со,+со), (0.6)

и\у=1=ф(х), хе(-со,+со).

Доказана следующая теорема:

Теорема 1.4. Ограниченное на бесконечности решение краевой задачи (0.2) в классах граничных функций М1 существует, единственно и имеет вид:

+оо +оо

С/ = | (р(ха )б0 (х - х0, + | ^ (х - х1, , <р(х), ф(х) еМ{, (0.7)

—00 —00

. дР'(х-х0,у) . дР,'(х-х,,у) лЛ

где С0(х-х0,_у) = ——-0}(х-х,,у) = —;—а класс М определяется

<Эх

дх

следующим образом (С1,а -класс функций, первая производная которых удовлетворяет условию Гёльдера с показателем а):

\(р_(х),Х< X, 1<р'+(х),х>х, <р'_ (х), <р+ (х) е С1а (-со, +00),

<реМ1 (р(х)еС(-оо,+оо), 3!х :

<р\х) = -

\(р{х)\+ <р_(х) + <р'+(х) + (р_ (х) + <р\(х)

< +00.

В §4 приводится решение задачи (0.2) для интересующей оценки стоимости опциона. Непосредственно проверяется, что граничные функции в (0.2) принадлежат классу Мх. Применяя теорему 1 и вычисляя обе свёртки (0.7), получаем

Г(х,у) = Г0(х,у) + У1(х,у):

Го(х*У) =

ла1е

7^(1 -р2)г-

1 к=1

+оо А^т! |ехр

сг,

т(т-р)(т-р+1)

,1п К2^с~1-х+^±у> О,

+оо ]ехр

(р + ЩЫк^-х + ^у

7^(1 -рг)12а\ Щ)(к(к)+р}(к(к) + р-1)

1пК2^Г2-х+^у<0. сг,

щ (у-1)

яч/с.<х,е

(1 -рУ2^

+С0 '

-Е-

¿=1

&5т

jexp

{р-Щ

т(т-р)(к(к)-р+\)

л/с, ¿г2

Я".

2_ р-^ехр

(}-у)кк\

(р+т)

л/с,

т{т+р)(к{к)+р-1)

, К, р(7,

1п —т== — х + у <0.

"2 6*

эк

{1-у),

г а.

-ТТ +

4 а

--е

л 5/г

0-у)

}_V

г а2

л 2 ~ 2 л 3

сг, сг, сг,

«2 4а,4

5/г

М<т,2 4<т,4

(1-/9 )о-,- а, »2

О", О".

<?хР<Хг

-з

^>0 =

«2.У 2 а-?

¿■/г

У*

г а1

— + 2„

°2 4<т4

Г а1

+ —Ц

- — е

аг Vе!)

як

у<Ы+

а2

(1 -рг)&\

ах охраг

СГ, СГ,

¿■/г

ал 2 N А 2

1 °1ра2 ? ¿1

где

т=

2(1 -Р2)^

ах ^ Ра\аг

р2)а227г2к2 _

Р )г+ /2 2-, Р

ра2 ах

<7,

1 У

§5 посвящен поиску ^(51,5,2) = 8ир^(51,5'2,с1,с2)5 который ищется мето-

сьс 2

дами численной оптимизации. В рамках данного параграфа приведена серия вычислительных экспериментов с различными начальными данными. Оптимизация велась в пакете МаЛсаё методом сеточных вычислений.

Основные результаты главы опубликованы в работах [31],[32],[33],[34].

Бесконечный американский опцион Марграбе представляет собой ценную бумагу, предъявитель которой имеет право её предъявления в любой момент времени с целью обмена одного актива на другой. Модель активов и рынка такая же как в первой главе. Платёж по опциону в момент времени ( определяется функцией: = где К- цена исполне-

ния. Построение нижней оценки производится на основе следующего класса пороговых решающих правил Тс: опцион предъявляется только в том случае,

х= 2, у= 2 . 1-, Ц81,52,с) = еГ(х,у),

когда процесс = впервые достигает границы с. Исходя из этого,

5"2(0

стоимость опциона равна

его нижнюю оценку стоимости можно определить как

где супремум ищется по всем с, определяющих правило Тс, По аналогии с первой главой, использование формулы Ито и уравнения Беллмана позволяет получить следующую краевую задачу для стоимости 7?(5,],5'2,с):

уОД* +а.= 0, 5', <с$2, (()_8)

При заменах

1п ¿>, + 1п Б2 1п52 -1п£, +1пс 2 ' У" 2

уравнение (0.8) перейдёт в общее эллиптическое уравнение с постоянными коэффициентами в бесконечной полуплоскости П00 = {х е(-оо,+оо),_у > о]:

IV = -рг = °> (*>у)е (0.9)

У\м = (ст-с-1/2-Ке-х)+, хе(-оо,+оо).

где &х,а2,ах,а2,р,г - константы, определяемые по коэффициентам (0.8), про которые известно, что ах, <т2, г > 0, \р\ < 1.

В §2 строятся потенциал Рсо(х-х0,у) определяемый следующим образом:

Р00 (х-х0, у) = Нш р; (х-х0,у), (0.10)

где Р™(х-х0,у) является обобщённым решением следующей краевой задачи:

ьр; = 0,

Р;\у,о=е-ф-хМх-хй1 (0.11)

. к и= о.

При этом потенциал Рх(х-х^,у) находится в виде быстросходящегося интеграла.

В §3 исследуются классы существования и единственности следующей краевой задачи:

г - , ,. „ „ „ ЬГ = аХ+ 2р^а2¥ху + ¿¡Ууу + а,¥х + а2Уу -г¥ = 0,

У\у._й=<р(х), (х,у)еП", (0.12)

у 1^и«=0, хе(-оо,+оо).

По аналогии с первой главой можно показать, что решение краевой задачи (0.11) в классе граничных функций М1 представляется в виде

-t-w

U = J^(x0)Gco(x-x0,y)c/x0, (p{x) e M1,

(0.13)

где G^x-x,,,;;):

dPx{x-x0,y) dx

, а класс Mx определяется в первой главе.

В §4 приводится решение задачи (0.9) для интересующей стоимости опциона. Непосредственно проверяется, что граничные функции в (0.9) принадлежат классу Мх. Применяя теорему 2 и вычисляя свёртку (0.13) получа-

ем ответ:

V(x,y) =

{су2-с~у1)е

а-гУ 2 а?

+00 1

Я sin (&хсг2 л/l -р2уЯ) ехр ((3 - \jb2+A2 ) s0 (х, у)

я J 4ъ2+Я2 (yjb2 +Л2-/?)(л/ь2+Я2 +1-/3

йЯ, s0(x,y)>0,

(с1,2-с-ту

а2У 2а\

+00 J

Я sin | cjj <т21 у Я j ехр ^ + ^1ь2~+~Я2уо(х,у)

Я I ^}ъ2 + Я2 (л!ъ2 + А2 +р\(^Ъ2+Я2 -1 + J3 D

+V\x,y\

s0(x,y)<0,

где

j0(x,j;) = ln

(,cm-cv2)

р<?х ,2 __1_

Л У5 V ~ . AlAl,, /Ч?ч

СТ2 4а]су\{\-р-)

л2

А Л 9 л

а, + 4сг, г + —

чЛ

О 'Pi

а, ра2 v(j1 ст2 ,

а2у

Г(х^) = (с1/2-с-1/2)е 2^ехр

а2 г

-(с1/2-с-1/2)е ^V^Reexp

Л Л. 2 А 2 /f Л 2 \ Л Л А Л.

г а2 <тх{1-р ) ах Р<ухос2

а2 4 а2

+ -

Последний параграф главы посвящен поиску F(S'l,S,2) = supF(S,l,S'2,c),

который ищется методами численной оптимизации. В рамках данного параграфа приведена серия вычислительных экспериментов с различными начальными данными. Оптимизация велась методом сеточных вычислений с использованием пакета МаШсаё.

Результаты данной главы опубликованы в [35].

Третья глава посвящена оценки некоторых европейских обязательств и другим приложениям дифференциального метода.

Первый параграф посвящён стоимости европейского опциона "Lookback". Опцион "Lookback" представляет собой ценную бумагу, держатель которой имеет право её предъявления в фиксированный момент времени

Т с целью получения платежа, который равен (S(T)-m(T))+, где S(T) - стоимость актива на момент времени Т, a m(T) = minÙÊÎ£?. S(t). В рамках стандартной модели рынка Блэка - Шоулса была получена стоимость данной бумаги:

C(S, m, t) = Це'™ (,S(T) - m(T))+ ] как решение уравнения теплопроводности со смешанным граничным условием. Искомая стоимость была ранее получена Гербером[13] с использованием мартингального подхода. В данном параграфе показано, что использование преобразования Лапласа при решении краевой задачи позволяет представить стоимость опциона в виде определённого интеграла, который выражается через функцию распределения времени первого достижени�