Диффузия квазичастиц в неидеальных кристаллах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ДИФФУЗИЯ КВАЗИЧАСТИЦ В ТВЕРДЫХ РАСТВОРАХ

Не3-Не4.

§ I. Коэффициент диффузии квазичастиц

§ 2. Столкновение квазичастиц в решеточном пространстве

§ 3. Каноническое преобразование гамильтониана (I.I)

§ 4. Коэффициент квантовой диффузии примесей Не3 в твердом Не4.

ГЛАВА П. КЁАЗИЧАСТИЦЫ В КВАНТОВЫХ КРИСТАЛЛАХ.

§ I. Связанные состояния квазичастиц в квантовых кристаллах.

§ 2. Бозе-конденсация связанных состояний квазичастиц в квантовых кристаллах

§ 3. "Сверхподвижность" связанных состояний квазичастиц в квантовом кристалле

§ 4. Упорядочение водорода в металле

ГЛАВА Ш. КВАЗИЧАСТИЦЫ В ДВУМЕРНЫХ КВАНТОВЫХ КРИСТАЛЛАХ.

§ I. Монослои изотопов гелия на графитовой подложке

§ 2. Рассеяние квазичастиц в двумерном решеточном пространстве

§ 3. Особенности поведения коэффициента диффузии вакансионов

§ 4. Связанные состояния квазичастиц в двумерных квантовых кристаллах

§ 5. Термодинамика двумерного квантового кристалла

§ 6. Диффузия, индуцируемая вакансионами в двумерных квантовых кристаллах

Около 15 лет назад в основополагающей работе А.Ф.Андреева и И.М.Лифшица [I] было показано, что кристаллы гелия вследствие большой величины амплитуды нулевых колебаний атомов обладают уникальными свойствами, что позволяет рассматривать их как новое состояние вещества. Количественной характеристикой относительной величины нулевых колебаний атомов в твердых телах является параметр де-Бура л = / , , ш где т - масса атома, 1/с - характерная энергия взаимодействия, су - межатомное расстояние.

Из выражения (I) видно, что А тем больше, чем меньше масса атома и чем слабее взаимодействие между ними. Для большинства кристаллов / , однако для кристаллов, образованных из атомов благородных газов этот параметр довольно велик (квантовые кристаллы). Так, для Не^ А = 0,49, для Не^ А = 0,43, для А = 0,07 и т.д., откуда следует, что наиболее ярко выраженными квантовыми кристаллами являются кристаллы изотопов гелия, для которых А ~ / . Это говорит об их сильной ангармоничности даже при абсолютном нуле. Описанная ситуация эквивалентна учету тождественности атомов, образующих кристалл, что, в свою очередь, может привести к туннельному движению атомных частиц. Таким образом, сильный ангармонизм приводит к тому, что число узлов решетки оказывается больше числа атомов.

Эффекты сильной ангармоничности квантовых кристаллов особенно отчетливо наблюдаются в поведении примесей и дефектов, которые из-за туннелирования делокализуются, превращаясь в своеобразные квазичастицы-дефектоны, характеризуемые квазиимпульсом К и энергетической зоной ширины А , пропорциональной вероятности тунне-лирования: А— еэср(- . Следует отметить, что ширина зоны значительно меньше всех других энергетических характеристик квантового кристалла, благодаря чему динамика дефектов весьма своеобразна [2]. Итак, в квантовых кристаллах возможен принципиально новый вид движения атомных частиц - квантовая диффузия.

Количественной экспериментально важной характеристикой подвижности дефектонов в квантовых кристаллах является коэффициент диффузии, который очень чувствителен к концентрации дефектов и как функция температуры имеет немонотонное поведение. Наиболее удобным с экспериментальной точки зрения объектом для наблюдения квантовой диффузии и измерения коэффициента диффузии является твердый квантовый раствор Не^-Не^. В настоящее время существует хорошо известный метод таких измерений, основанный на применении импульсного ЯМР [3].

Квантовая диффузия экспериментально была обнаружена Григорьевым, Есельсоном, Михеевым и Шульманом [4] (Харьков) и Ричардсом, Поуном, Вайдомом [5](Сассекс, Англия). о

Рассмотрим характерные черты квантовой диффузии примесей Не в твердом Не^.

В области низких температур и малых концентраций примесей, когда процессами примесон-фононного рассеяния можно пренебречь, и система примесонов представляет собой разреженный газ, основным механизмом диффузии примесонов является их взаимное рассеяние. Воспользовавшись известной газокинетической формулой, получим для КД следующее выражение [I, 2, 6] ш- где б* - сечение взаимного рассеяния примесонов.

Итак, КД не зависит от температуры и обратно пропорционален концентрации (рис.1 и ОблЛ на рис.2).

Газовое приближение верно, когда среднее расстояние между примесонами намного больше радиуса их взаимодействия, что соответствует значениям концентрации ос^к/с/ , которые экспериментально ненаблюдаемы. С другой стороны, эксперимент показывает, что КД примерно обратно пропорционален концентрации в более широкой области /¿? /¿? , когда среднее расстояние между примесонами меньше радиуса взаимодействия и система примесонов не является газом [4,5]. Это противоречие между теорией и экспериментом было разрешено Андреевым [2], объяснившим экспериментальные данные в этой области концентраций специфической диффузией примесонов под действием силы взаимодействия, причем а Vо где \/0 - характерная энергия взаимодействия.

Таким образом, концентрационная зависимость сильновзаимодействующих примесонов несколько иная.

3 4

Диффузия примесей Не в твердом Не в области не малых концентраций рассматривалась в работе [7]. Хотя этот подход представляет собой альтернативу описания диффузии на языке примесонов (модель взаимодействия), концентрационная зависимость КД совпадает с (3).

Недавно Михеевым с сотрудниками было проведено исследование концентрационной зависимости КД примесонов в области . р

Было обнаружено, что при ссо =4*10 происходит сильная локалио л зация атомов Не в ГПУ фазе Не [8], причем вблизи хс КД имеет следующий вид [9] оо-сс^ . (4)

Делокализация примесей в этих условиях происходит в результате

- б

•Рис Л 3

Концентрационная зависимость КД примесей Не в ГПУ кристаллах Не^ с молярным объемом 21 см^ при 7*"-^ . Сплошная кривая взята из работы Ричардса [5], а пунктирная - из работы Григорьева и др. [4].

Рис.2

3 4

Температурная зависимость Щ1 примесей Не в твердом Не . Пунктирная кривая соответствует температурной зависимости КД в условиях сильной локализации примесей [10]. квантовой диффузии, стимулированной фононами [9] (рис.2) где (9 - дебаевская температура.

Это явление теоретически было предсказано в работе Кагана [10] и развито в работе Кагана и Максимова [II]. вышением температуры становятся существенными процессы рассеяния примесонов на фононах, что приводит к уменьшению длины свободного пробега, а, следовательно, к уменьшению КД [I, 2, 12, 13, 14, 15, 16] (обл.П на рис.2)

Отметим, что в работе Кагана и Клингера [17] показывается, что температурная зависимость (6) сохраняется вплоть до высоких температур, когда длина свободного пробега примесона меньше межатомного расстояния (режим динамического разрушения зоны). Таким образом, экспериментальные результаты в широких областях температур и концентраций удается объяснить на языке примесона как дело-кализованного примесного атома.

Основные результаты, описанные выше, были получены также в рамках туннельно-прыжкового приближения в работах Слюсарева и Стржемечного и др. [18, 19, 20]. На важную роль взаимодействия о между примесями Не и возможную деформацию квантового кристалла в процессах диффузии обращалось внимание в работе Гургенишвили, Нерсесяна и Харадзе [21].

При высоких температурах вместо квантовой диффузии более существенную роль начинает играть термоактивационная диффузия, экспоненциально возрастающая с повышением температуры (обл.Ш на рис.2). Наличие в кристалле делокализованных вакансий - ваканси

В условиях отсутствия сильной локализации (УО ^Х^/О )с по

6) онов [22] может привести к диффузии примесных атомов или к спиновой диффузии [2, 23, 21, 25], что является следствием следующего своеобразного процесса рассеяния. Перемещаясь в кристалле, вакан-сион может занять ближайший к примесному атому узел решетки. Затем вакансион может перейти на узел, занятый либо атомом матрицы, либо примесным атомом. Из-за большой разницы ширин энергетических зон вакансиона и примесона ( А ~ /К , А *X ) можно пренег Г^ бречь собственным туннелированием примеси и рассматривать этот процесс как рассеяние вакансиона на локализованной примеси, причем первый процесс рассеяния является упругим, а второй - "неупругим" из-за смешения "мишени" - примесного атома [2], Этот механизм рассеяния приводит также к спиновой диффузии в спиново-поля-ризованных квантовых кристаллах (рассеяние вакансиона на перевернутом спине). Эта задача рассмотрена в работе Пирадашвили [26], где построена теория рассеяния для модели Хаббарда с почти наполовину заполненной зоной, и найдены температурная и концентрационная зависимости коэффициента спиновой диффузии. Экспериментально спиновая диффузия рассматривалась в работах [23, 24].

Кроме изотопических примесей в квантовые кристаллы можно контролируемым образом вводить ионы. КД ионов может быть вычислен из экспериментально измеряемой подвижности во внешнем электрическом поле. Эти измерения проводились Шальниковым [27] и Кешише-вым и др. [28, 29]. Эти измерения показали, что как энергии активации, так и КД для ионов, совпадают с соответствующими величинами, измеренными для примесонов Не , что говорит о вакансион-ном механизме переноса. Теоретически этот вопрос исследован в работе Андреева и Мейеровича [30] и Мейеровича [31], где показано, что вакансионный перенос ионов определяется рассеянием длинноволновых вакансионов на ионах. Кроме этого, с ростом электрического поля, начиная с некоторого значения, в энергетическом спектре вакансионов появляются дискретные отрицательные уровни, соответствующие связанным состояниям вакансион-ион. Таким образом, при низких температурах и в сильных полях вакансионный перенос ионов осуществляется движением именно таких комплексов ион-вакансий.

Энергетический спектр квантового кристалла не исчерпывается рассмотренными квазичастицами. В работах [2, 32] показано, что в квантовых кристаллах возможно существование связанных состояний квазичастиц. Их уникальной особенностью является то, что они участвуют в когерентном движении, но лишь вдоль определенных осей и плоскостей симметрии, являясь, таким образом, одно- или двумерными квазичастицами в объеме трехмерного кристалла. Детальный анализ всех возможных типов связанных состояний квазичастиц проведен в работе Мейеровича [33]. В работе [34] показано, что пары примесных атомов, являющиеся ближайшими соседями, ведут себя как двумерные квазичастицы. Впервые эта мысль была высказана Ричард-сом и др. [36] в связи с экспериментальными данными о зависимости времени спин-решеточной релаксации от частоты ЯМР для при

Я 4 месей Не в ГПУ-кристаллах Не , при этом наблюдались резонансные аномалии на частотах 1,5 и 3,0 Мгц.

Таким образом, эффект делокализации атомных частиц в квантовых кристаллах обуславливает существование явлений в значительной степени отличающих их от классических твердых тел (А / ). Отметим важный случай, когда эффект делокализации существенен лишь для части составляющих кристалл атомных частиц. Примером тому служит система примесей водорода в решетках некоторых металлов (ниобий, цирконий, ванадий и т.д.). Малость массы атомов водорода и сравнительная слабость их взаимодействия с атомами матрицы приводит к их делокализации, в то время, как сами атомы матрицы ведут себя классическим образом [37, 38].

При исследовании явлений, связанных с делокализацией атомных частиц в квантовых кристаллах, чрезвычайно важен учет того обстоятельства, что две квазичастицы не могут одновременно находиться в одном узле решетки. Таким образом, между квазичастицами в одном узле решетки действует сильное отталкивательное взаимодействие, которое можно аппроксимировать потенциалом "непроницаемости"

• (7) где - $ -символ Кронекера, /Р , К' - дискретные векторы

7\ у К узлов решетки, - характерная энергия взаимодействия. Дально-действующее притяжение между квазичастицами чрезвычайно мало, поэтому с достаточной степенью точности можно считать, что взаимное рассеяние квазичастиц происходит как на потенциале (7). Соответствующая задача рассеяния решена в работе И.М.Лифшица и Г.А.Варданяна [39].

Настоящая работа посвящена исследованию некоторых особенностей квантовой диффузии примесей и дефектов в твердом гелии и связанных с ней явлений. Диссертация состоит из введения и трех глав.

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

1. С помощью формулы Кубо вычислен коэффициент диффузии вза

3 4 имодействующих примесонов Не в твердом Не в области температур

3 -2

Т -< /А? и концентраций /О когда основным механизмом диффузии примесонов является их взаимное рассеяние. Показано, что диффузия происходит по двум параллельным каналам35: за счет

3 4 обмена местами атомов Не и Не и за счет взаимного рассеяния примесонов Не^ (столкновительная диффузия). В свою очередь, стол-кновительная диффузия происходит по параллельным каналам, число которых определяется видом двухпримесонных изоэнергетических поверхностей.

2. Получено выражение для коэффициента диффузии примесонов. Учет того обстоятельства, что классификация двух примесонных состояний в решеточном пространстве кристалла проводится по квазиимпульсу центра тяжести, позволяет получить концентрационную зависимость коэффициента столкновительной диффузии. В узкой области О ^Т ^ Лр ( А - ширина примесонной зоны) возможна температурная зависимость коэффициента диффузии, обусловленная определенными процессами рассеяния примесонов в решеточном пространстве. В области Г А коэффициент диффузии выходит на плато (экспериментально хорошо изученное низкотемпературное плато).

3. В квантовых кристаллах - как трехмерных, так и двумерных -возможно образование связанных состояний квазичастиц вблизи некоторых точек в пространстве квазиимпульсов или при определенных к Каналы диффузии назовем параллельными, если обратный коэффици-. ент диффузии равен суше обратных парциальных коэффициентов диффузии.

- из значениях внешнего давления, и при отталкивательном характере взаимодействия между ними.

Энергия связи, как правило, является экспоненциально малой по константе взаимодействия величиной. Радиус связанных состояний может быть порядка нескольких межатомных расстояний.

Оценка коэффициента диффузии связанных состояний показывает, что вблизи определенных значений внешнего давления возможна их сверхподвижность, обусловленная движением образующих ее квазичастиц по кристаллографически эквивалентным узлам решетки.

4. Бозе конденсация связанных состояний приводит к появлению в системе голдстоуновских возбуждений с резко анизотропной скоростью звука (зависящей от внешнего давления). Показано, что сверхподвижными являются возбуждения фононного типа. Предсказание сверхподвижности связанных состояний стимулирует постановку экспериментов по поиску свертекучих квантовых кристаллов.

5. В водородсодержащих металлах V группы предложен механизм образования водородного квантового кристалла с конденсатом кубической структуры. Это обуславливает появление двух ветвей голдстоуновских возбуждений. Найдены условие устойчивости этих ветвей, скорости звуковых возбуждений и энергия основного состояния системы.

6. Найдена зависимость коэффициента диффузии квазичастиц от плотности покрытия в £7) -квантовых кристаллах. Показано, что при определенных значениях плотности покрытия коэффициент диффузии претерпевает аномальные провалы, обусловленные подавлением туннельных процессов при переходах в фазы соответственно 27) -классического твердого тела (полностью заполненный монослой) и 277 -газа. Результаты качественно совпадают с результатами измерений времен релаксации ЯМР в ВТ? -квантовых кристаллах [70,

7. Показано, что при низких температурах вклад взаимодействующих квазичастиц в теплоемкость -квантового кристалла имеет экспоненциальный характер, обусловленный конечностью энергии рождения квазичастицы. В области теплоемкость имеет аномальное поведение, обусловленное фазовыми переходами с подавлением туннельных процессов. Такое поведение теплоемкости наблюдалось в экспериментах Бретца и др. [69].

8. Температурная зависимость коэффициента вакансионной дифо л фузии в твердых растворах Не -Не имеет термоактивационный характер независимо от размерности квантового кристалла. Температурная зависимость предэкспоненциального множителя зависит от размерности квантового кристалла и определяется видом амплитуды неупругого рассеяния вакансиона на локализованной примеси (перевернутом спине).

Диссертационная работа выполнена в Ереванском политехническом институте.

Автор считает своим приятным долгом выразить глубокую благодарность своему научному руководителю, доцентку кафедры Общей физики ЕГУ Г.А.Варданяну за руководство работой, а также члену-корреспонденту АН СССР А^Ф.Андрееву и члену-корреспонденту АН СССР Л.П.Питаевскому за обсуждение рассмотренных в данной работе задач и полезные советы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Андреев А.Ф., Лифшиц И.М. Квантовая теория дефектов в кристаллах. - ЖЭТФ, 1969, т.56, с.2057-2068.

2. Андреев А.Ф. Диффузия в квантовых кристаллах. УФН, 1976, т.118, с.251-271.

3. G-z/уег Р. J? -, Pzc/z&sctson Р. С., Z¿x/z¿? L. //. Pxczfo/zorzä ¿ и Quan¿um Cz^¿a¿s. Pev- Moc/.Phys., /9?/, p. 538-600.

4. Григорьев B.H., Есельсон Б.Н., Михеев В.А. Квантовая диффузия примесей Не3 в твердом Не4. Письма в ЖЭТФ, 1973, т.17,с.25-28.

5. Pzc/z¿yz¿/s №6т. , Pape J., Wzobm J7. ¿"{/¿с/ексе/ог Jsofápic 3mp¿/zz¿ons in. &e¿¿z/?rz ¿-Pfcyg. ' Péy.^íí. , Voe. ZP, р.

6. Wic/Om , Pickazoft Pf. G. P/zewz/ о/ X?z//z/£¿m W¿¿k P?pp£¿caZ¿o?z й? Soäc/ //eftum. Pkys. Pev /7, /97Р, ve¿7, p. S/W7. //г/жд W., //.ß., öz/z/егР.Р. Czys-tatß -P/zz/s. Pev. b, /ptt, vaf. //, p. 337¿f-359z .

7. Михеев В.А., Майданов В.А., Михин Н.П. Обнаружение явления3 4локализации примесей Не в кристаллах Не . ФНТ, 1982, т.8,с.1000-1004.

8. Михеев В.А., Михин Н.П., Майданов В.А. Квантовая диффузия в твердых растворах изотопов гелия в условиях сильной локализации атомов Не3. ФНТ, 1983, т.9, с.901-912.

9. Каган Ю., Максимов Л.А. Квантовая диффузия в нерегулярных кристаллах. ЖЭТФ, 1983, т.84, с.792-810.11. tfa^c/fz V. M. V¿//z/s¿on z/7 Czysf&fs.-Jn Delecte ¿rz Jnst/élcy¿¿rzg, Czystafs". Beziin, ¿/e¿c/e£3ezp, A/evi/ YesA-, Зре/крег Vezfap, /&<$/, р.

10. Михеев В.А., Есельсон Б.Н., Григорьев В.Н., Михин Н.П. Обнаружение рассеяния примесонов на фононах в твердом гелии. -ФНТ, 1977, т.З, с.385-388.

11. Есельсон Б.Н., Михеев В.А., Григорьев В.Н., Михин Н.П. Квано лтовая диффузия примесонов Не в твердом Не . НЭП, 1978, т.74, с.2311-2319.

12. Пушкарев Д.И. Микроскопическая квантовая теория дефектов при низких температурах. ЖЭТФ, 1970, т.59, с.1755-1764.

13. Пушкарев Д.И. Кинетика дефектонов в квантовых кристаллах. -ФНТ, 1975, с.586.

14. Каган Ю.,. Максимов JI.A. Теория переноса частиц в предельно узких зонах. ЖЭ1Ф, 1973, т.65, с.622-632.17 • fáparz Yu., Шкрег //.У. Tfzeozy о/вг/ап/итк m/fasiorz o/J/farvs ¿fz Cey&éafs. Тог/гп. Phys. С; vo¿. p. 279/-280?.

15. Слюсарев B.A., Стржемечный M.A., Бурахович И.А. Квантовая3 4диффузия Не в твердом Не . I. Роль анизотропичности взаимодействия примесей. ФНТ, 1977, т.З, с.1229-1242.

16. Слюсарев В.А., Стржемечный М.А., Бурахович И.А. Квантоваяо лдиффузия Не в твердом Не . П. Туннельно-прыжковое приближение. ФНТ, 1978, т.4, с.698-705.

17. Анцыгина Т.Н., Слюсарев В.А., Стржемечный М.А. О пределах применимости туннельно-прыжкового приближения в проблеме квантовой диффузии. ФНТ, 1983, т.9, с.200-203.

18. Гургенишвили Г.Е., Нерсесян А.А., Харадзе Г.А. Квантовая диффузия в деформированных кристаллах. Письма в ЖЭТФ,1974, т.19, с.628-630.

19. Минеев В.П. 0 вакансиях в квантовых кристаллах. ЖЭТФ,1972, т.63, с.1822-1829.

20. Григорьев В.Н., Есельсон Б.Н., Михеев В.А. Особенности спиновой диффузии в ОЦК фазе концентрированных твердых растворов Не3-Не4. ФНТ, 1975, т.1, с.1318-1320.

21. Есельсон Б.Н., Михеев В.А., Григорьев В.Н. Спиновая диффузия в твердом Не3. ФНТ, 1976, т.2, с.1229-1231.

22. Yamaßkiio У. Vzffi/sion о//Уе5 J/rzp^zfces in So&c/ Нел.-1о1/гп.Р/гу$. Soc. Jap., vof. 37, p.

23. Пирадашвили И.Н. Кинетические явления в модели Хаббарда. -ЖЭТФ, 1983, т.84, с.124-137.

24. Шальников А.И. О движении зарядов в твердом гелии. ЖЭТФ, 1964, т.47, с.1727-1731.

25. Кешишев К.О., Межов-Деглин Л.П., Шальников А.И. Подвижность носителей зарядов в кристаллах Не. Письма в ЖЭТФ, 1970, т.12, с.234-236.

26. Кешишев К.О., Шальников А.И. Измерение подвижностей носителей заряда в кристаллическом гелии. ФНТ, 1975, т.1, с.590.

27. Андреев А.Ф., Мейерович А.Э. Теория переноса зарядов и примесных атомов в квантовых кристаллах. ЖЭТФ, 1974, т.67,с.1559-1567.

28. Мейерович А.Э. Вакансионная подвижность ионов в квантовых кристаллах. ЖЭТФ, 1975, т.68, с.1477-1485.

29. Андреев А.Ф. Об элементарных возбуждениях в квантовых кристаллах. ЖЭТФ, 1975, т.68, с.2341-2348.

30. Мейерович А.Э. Бинарные квазичастицы в квантовых кристаллах. ЖЭТФ, 1975, т.69, с.1323-1337.

31. A/z/ff/я W.Z Возможное связанное состояние двух волн вакансий в кристаллическом Не4. ¿Т-/&, Peeszw Pzegs, New УогР, ¿опс/оп, /9?4, р./20-/24.

32. Сакко Дж., Уайдом А. Квантовая подвижность примесных атомово д

33. Не в твердом Не . В сб.: Квантовые жидкости и кристаллы. /Под ред.А.С.Боровика-Романова. М.: Мир, 1979, с.243-248.

34. Pickazc/s А/.&., Smit/z Т. //., Tofte Р. S., Mz/t£in М. 7". Phy/s. Pev. ¿e/t., /ffFf, vof. 34, /?. /&4&-/Я48.

35. Максимов Е.Г., Панкратов O.A. Водород в металлах. УФН, 1975, T.II6, с.385-412.

36. Соменков В.А., Шильштейн С.Ж. Фазовые превращения в гидридах переходных металлов. ФНТ, 1975, т.1, с.651-659.

37. Лифшиц И.М., Варданян Г.А. Квантовая теория неидеальных решеточных систем. ДАН Арм.ССР, 1974, т. УШ, с.80-85.

38. Питаевский Л.П. Слабосвязанные состояния возбуждений в кристалле. ЖЭТФ, 1976, т.70, с.738-749.

39. Андерсон Ф. Локальные моменты и локализованные состояния. -УФН, 1979, т.127, с.19-39.

40. Эфрос А.Л. Локализация электронов в неупорядоченных системах. УФН, 1978, т.126, с.41-65.

41. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. М.: Наука, 1974, с.138-139.

42. Гюйе Р. Физика квантовых кристаллов. В сб.: Квантовые криС' таллы. /Под ред.С.В.Вонсовского. М.: Мир, 1975, с.34.

43. Есельсон Б.Н., Григорьев В.Н., Иванцов В.Г., Рудавский Э.Я., Саникидзе Д.Г., Сербии И.А. Растворы квантовых жидкостей

44. He3-He4. M.: Наука, 1973, с.303.

45. Кубо Р. Статистическая механика необратимых процессов. В сб.: Вопросы квантовой теории необратимых процессов. /Под ред.В.Л.Бонч-Бруевича. М.: ИЛ, 1961, с.39-72.

46. Аксенов З.Л., Юшанхай В.Ю. Квантовая диффузия у/^-мезонов в кристаллах. Препринт ОИЯИ PI7-80-32I, 1980.

47. Косевич А.М. Физическая механика реальных кристаллов. Киев: Наукова думка, 1982, с.131.

48. Лифшиц И.М., Азбель М.Я., Каганов М.И. Электронная теория металлов. М. : Наука, 1971, с.94-98.о

49. Варданян Г.А., Саакян A.C. О квантовой диффузии примесей Не в твердом Не4. ФТТ, 1983, т.25, с.239-245.

50. Vaac/cynî&fz &.J7., SahcyA-ian Л S. On Tempezafi/ze Яереггс/енсе о/ ¿he CoWtgtorz Юг//ш1оп Coef/zciené. --P/zyjs. ¿ett. /№3, /о. 305-30?.

51. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. 4.2, М.: Наука, 1976, с.172-184.

52. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика, 4.1, М.: Наука, 1978, с.215.

53. Фукс Б.А., Шабат Б.В. Функции комплексного переменного. -М.: Наука, 1964, с.309-313.

54. Агранович В.М., Галанин М.Д. Перенос энергии электронного возбуждения в конденсированных средах. М.: Наука, 1978, с.191-194.

55. Варданян Г.А., Саакян A.C. О столкновительной диффузии в квантовых кристаллах. ФТТ, 1981, т.23, с.2881-2884.

56. Бейтмен Г., Эрдейн А. Высшие транцендентные функции, т.2.1. М.: Наука, 1974, с.35.

57. Варданян Г.А., Саакян A.C. Сверхподвижность связанных приме-сонов в квантовых кристаллах. Изв. АН Арм.ССР, 1983, т.18, с.156-161.

58. Боголюбов H.H. К теории сверхтекучести. Изв. АН СССР, сер. физ., 1947, т.II, с.77-90.

59. Хуанг К. Статистическая механика. М.: Мир, 196 , с.450-479.

60. Халатников И.М. Теория сверхтекучести. М.: Наука, 1971, с.33-37.

61. Семенков В.А., Землянов М.Г., Кост Н.Е., Чернокленов H.A., Чертков A.A. Изучение упорядочения внедренных атомов в твердых растворах водорода в металлах группы. ДАН СССР, 1968, т.181, с.56-59.

62. Водород в металлах. /Под ред. Г.Алефельда и И.Фелькля. М.: Мир, 1981, с.470.

63. Минеев В.П. Теория раствора двух почти идеальных бозе-газов. ЖЭТФ, 1974, т.67, с.263-272.

64. Варданян Г.А., Саакян A.C. Фазовый переход в растворе водород-металл. ФТТ, 1983, т.25, с.1490-1494.

65. Возяков В.И. Метод приближенного вторичного квантования в теории квантового кристалла. ТМФ, 1977, т.33, с.136-143.

66. Дэш Дж.Г. Различные фазы двумерных квантовых кристаллов -адсорбированных мономолекулярных пленок. ФНТ, 1975, т.1, с.839.

67. Доунт Дж.Г., Хэгде С.Г. Исследование свойств субмонослойных пленок гелия с помощью ЯМР. ФНТ, 1975, т.1, с.840.

68. Bzetz М. , Das/z Т. О., MzncA-ezncW D. С., McLean О.,

69. Vzfcáes O.S. Phases of Pe5акс/Pe* Afozzofapez tfafeoz

70. Secf Ofz B&3afp£as?e Огг'е/zéec/ ¿rzop/z¿¿e. РРуя. Pev. J?: , /983, voe. 8, p- /ó~<39- /¿РЗО.

71. Coman 8. Р., Pic/tazc/s AS. Û., Tozzzsozz Д. á., A/z/WtK W.T. £г/ак-tz/m TunrzePif?^ i/t Pe3/Vûrzafzyç/ezsP/zys.7?ev. ¿e?¿.,vof. 38, p, S68.o

72. Ричарде M.Г., Оуэрс-Брэдли Дж.Р. Монослои Не на графите: двумерный квантовый кристалл. В сб.: Квантовые жидкости и кристаллы. /Под ред. А.С.Боровика-Романова. М.: Мир, 1979, с.298-309.

73. Бретц М. Обзор свойств моноатомных пленок гелия. В сб.: Квантовые жидкости и кристаллы. /Под ред. А.С.Боровика-Рома-нова. М.: Мир, 1979, с.284-297.

74. Лифшиц И.М. Рассеяние коротких упругих волн в кристаллической решетке. ЖЭТФ, 1948, т.18, с.293-300.

75. Бремерман Г. Распределения, комплексные переменные и преобразования Фурье. М.: Мир, 1968, с.

76. Бейтмен Г., Зрдейн А. Высшие трансцендентные функции, т.З. -М.: Наука, 1967, с.23-26.

77. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. М.: Наука, 1978, с.81.

78. Березинский В.Л. Разрушение дальнего порядка в одномерных и двумерных системах с непрерывной группой симметрии. ЖЭТФ, 1970, т.59, с.907-915.

79. Бейтмен Г., Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции, т.1. -М.: Наука, 1973, с.144.

80. Vczzc/azzzcyaz C¿?zz¿~zz¿z/¿íoaz to ¿he ûzy.$ta£ Ргее

81. Лифшиц И.М. Об одной задаче теории возмущений, связанной с квантовой статистикой. УМН, 1952, т.7, с.170-180.

82. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971, с.496.

83. Канторович JI.B., Крылов В.И. Приближенные методы высшего ана' лиза. М.-Л., 1949.

84. Анисимова О.П., Варданян Г.А., Седракян Д.М., Саакян A.C.о

85. О макроскопических квазичастицах в квантовом кристалле Не -Не4. ФНТ, 1983, т.9, с.777.о

86. Буишвили JI.JI., Тугуши А.И. Спиновая диффузия в твердом Не . ■ Письма в ШЭТФ, 1977, т.26, с.86-89.