Дифракция электромагнитных волн на конечных структурах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Перечень сокращений.

Введение.

1. ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА.

1.1. Обобщенная система уравнений Максвелла.

1.2. Метод обобщенных функций.

1.3. Волновой потенциал у.

1.3.1. Электродинамические потенциалы.

1.3.2. Векторы Герца.

1.4. Виды волнового потенциала.

1.5. Классификация решений стационарных полей.

1.5.1. Монохроматические поля.

1.5.2. Пространственно-периодические монохроматические поля.

1.5.3. Неоднородные плоские волны.

1.6. Классификация решений нестационарных полей.

1.6.1. Нестационарные поля.

1.6.2. Пространственно-периодические нестационарные поля.

1.6.3. Нестационарные периодические по у, гполя.

2. МЕТОД КРАЕВЫХ ИСТОЧНИКОВ В ЗАДАЧАХ ДИФРАКЦИИ ВОЛН НА КОНЕЧНЫХ ТОНКИХ СТРУКТУРАХ.

2.1. Дифракция на ленте.

2.1.1. Постановка задачи.

2.1.2. Эталонный интеграл и специальная функция.

2.1.3. Решение задачи методом краевых источников.

2.1.4. Расчет резонанса на ленте.

2.2. Дифракция на щели.

2.2.1. Постановка задачи и решение.

2.2.2. Резонанс на щели.

2.3. Обобщение метода Винера-Хопфа-Фока: дифракция волн на полуплоскости с щелью.

2.3.1. Постановка задачи.

2.3.2. Построение решения.

2.3.3. Резонанс на полуплоскости с щелью.

2.4. Дифракция на двух лентах.

2.4.1. Постановка задачи.

2.4.2. Решение задачи.

2.5. Бесконечная решетка.

3. МЕТОД КРАЕВЫХ ИСТОЧНИКОВ В ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧАХ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ДИАФРАГМИРОВАННЫХ ВОЛНОВОДОВ.

3.1. Факторизация цилиндрических функций.

3.2. Цилиндрические электромагнитные поля.

3.2.1. Виды полей в круглых волноводах.

3.2.2. Условие Мейкснера.

3.3. Дифракция магнитной волны на полубесконечном штыре.

3.3.1. Метод сшивания.

3.3.2. Метод ВХФ.

3.3.3. Решение по методу краевых источников.

3.3.4. Дифракция коаксиальной волны.

3.4. Дифракция магнитной волны в круглом волноводе со скачком поперечного сечения.

3.5. Диафрагмированный волновод.

3.5.1. Электрические волны.

3.5.2. Магнитные волны.

3.5.3. Тонкая диафрагма.

3.6. Резонатор с круглыми подводящими волноводами.

3.6.1. Дифракция электрической волны.

3.6.2. Дифракция магнитной волны.

3.7. Резонатор с коаксиальными подводящими волноводами.

3.7.1. Дифракция ТЕМ-волны.

3.7.2. Дифракция Н0 - волны.

3.8. Резонатор с круглыми и коаксиальными подводящими волноводами.

3.8.1. Дифракция волны Е0.

3.8.2. Дифракция волныН0.

3.9. Отрезок штыря.

3.9.1. Дифракция волны Е0.

3.9.2. Дифракция волны Н0.

3.10. Система с тремя разрывами граничных условий.

3.10.1. Сочленение волноводной линии и резонатора с отводящими волноводами.

3.10.2. Полу бесконечный штырь с резонатором в бесконечной волноводной линии.

3.11. Система с четырьмя разрывами граничных условий.

4. МЕТОД ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ СТАЦИОНАРНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ.

4.1. Постановка задач.

4.2. Постановка задач в пространстве обобщенных функций.

4.3. Решение краевой задачи в D6(R ).

4.3.1. Общее решение.

4.3.2. Разделение решения.

4.4. Интегральные представления и граничные интегральные уравнения.

4.4.1. Граничные интегральные уравнения общего вида.

4.4.2. Граничные интегральные уравнения для электрических и магнитных задач.

4.5. Дифракция на диэлектриках.

4.6. Дифракция на замкнутых идеальных проводниках.

4.6.1. граничные интегральные уравнения для замкнутой сверхпроводящей поверхности.

4.6.2. Пространственно-периодические стационарные задачи в цилиндрических областях.

4.6.3. Условие резонанса.

4.7. Дифракция на тонких незамкнутых сверхпроводниках.

Актуальность темы

Исследование электромагнитных процессов нашло широкое применение не только в различных областях радиофизики, радиолокации, радиоастрономии, квантовой, дифракционной, релятивистской электроники, СВЧ-техники, физики плазмы, измерительной техники и зондирования, но и в ядерной физике, акустике, геофизике. В последнее время появляются сведения о программах по космической энергетике, термоядерному синтезу, в которых предполагается использовать чрезвычайно большие мощности электромагнитных волн в диапазоне крайневысоких частот (КВЧ).

В электронике СВЧ /22, 24/ диафрагмированные волноводы выполняют роль замедляющих систем электронного потока со структурой. Они составляют основу конструкции и принципа действия линейного ускорителя, что является одним из интересных научных направлений проблемы коллективного ускорения электронов, ионов и плазменных сгустков /27, 48, 62, 90, 128/.

Электромагнитное излучение релятивистских частиц в неоднородных трактах, обуславливаемое радиационными эффектами, такими как излучение Вавилова-Черенкова, дифракционное (переходное) излучение /12, 13, 38, 110, 141,142, 144, 148/, однозначно связано с энергией их движения. Движущиеся пучки заряженных частиц могут быть применены как источники мощного СВЧ-излучения, лазер на свободных электронах. При этом важной проблемой является создание эффективного устройства ондулятора с использованием плотных релятивистских пучков. Дифракционное излучение может быть использовано при их детектировании в приборах для определения количества заряда или энергии частицы, если одно из них известно.

Конечные и периодические структуры широко используются как в антенно-волноводной технике, например, в качестве антенн бегущей волны, линии передачи на поверхностных волнах, преобразователей поляризации, направленных ответвителей и отражателей /25, 43, 114, 116, 119, 132, 165, 207/, так и в элементах квазиоптических трактов, например, в качестве диафрагменной линии, системы дифракционно связанных открытых резонаторов /17, 18, 23, 32, 34, 36, 78, 107-109, 111-113, 194/. Прежде всего, это задачи распространения радиоволн СВЧ диапазона в диафрагмированных волноведущих системах, например, для круглых магистральных широкополосных линий связи на волне H0i при переходе в диапазон коротких миллиметровых, субмиллиметровых и световых волн.

Особое место среди периодических структур занимают дифракционные решетки /1, 18, 37, 39, 120, 170, 176, 186, 196/. Они применяются как основные элементы оптических, квазиоптических интерферометров и волномеров в измерительной технике, оптике, голографии. Например, в квантовых генераторах одно из зеркал выполняется из металлической решетки, в оптических и квазиоптических трактах они служат как фазовые корректоры из частопериодических решеток. Дифракционные решетки выполняют также роль возбудителей волоконно-оптических линий связи. Исследование электродинамических свойств решеток представляет интерес в связи с использованием их в качестве базовых элементов многих устройств СВЧ. Соединение решеток с диэлектрическими слоями приводит к появлению новых эффектов в интегральных характеристиках рассеянных полей, названных аномалиями /1, 153/, и могут быть использованы при разработке базовых элементов устройств СВЧ, а также при исследовании неоднородных сред способом моделирования их многослойными структурами.

В последние годы большой интерес вызывает микроэлектроника. Дифракционные решетки используются в качестве основных элементов микроэлектронных приборов как полосовые и режекторные фильтры, направленные ответвители. Микрополосковые антенны, изготовляемые по технологии интегральных схем, обеспечивают существенный выигрыш в массогабаритных параметрах и обладают высокими аэродинамическими, механическими и температурными характеристиками.

Регулярные полосково-щелевые линии передачи /53, 58, 59, 66, 67, 69, 96, 97, 100, 104-106, 177/ составляют элементную базу объемных интегральных схем, которые, в свою очередь, являются фундаментом для создания систем сверхбыстрой обработки информации сверх- и крайневысоких частот (КВЧ). Благодаря технологии плоскостных и объемных интегральных схем /46, 47/, были достигнуты серьезные успехи при производстве надежных, малогабаритных и технологических систем сверхбыстрой обработки информации. Однако анализ плоскостных и тем более объемных интегральных схем представляет весьма сложную задачу теории дифракции /101, 116, 120-123/. Проблемы реализации систем математического моделирования и автоматизированного проектирования интегральных схем СВЧ в значительной степени зависят от наличия эффективных вычислительных алгоритмов и программ расчета полосково-щелевых структур СВЧ и КВЧ. Например, в электродинамике полосково-щелевых структур СВЧ широкое распространение получили универсальные и простые в численном осуществлении прямые вариационные (проекционные) методы /9, 39, 49, 92, 123, 124, 161/ решения внутренних задач электродинамики. Общей проблемой таких методов является медленная сходимость, а в ряде случаев отсутствие сходимости приближенных решений к точному.

Применение современных ЭВМ при построении системы автоматизированного проектирования интегральных схем СВЧ и вычислительных методов для решения задач электродинамики составляет новую и быстроразвивающуюся область науки, которая является синтезом методов электродинамики и вычислительной математики. Ее возможности неизмеримо шире возможностей классических методов, поскольку они не ограничены необходимостью применения тех или иных идеализированных схем. Однако они не безграничны, поскольку ограничиваются объемом памяти и быстродействием современных ЭВМ. Поэтому являются актуальными анализ электродинамических задач, поддающихся численному счету, и разработка оптимальных граничных интегральных уравнений.

К настоящему времени в электродинамике накоплен большой опыт в решении краевых задач аналитическими, численно-аналитическими и численными методами. При использовании аналитических методов решение задачи выражается непосредственно через элементарные или специальные функции точно или асимптотически.

При использовании численно-аналитических методов на основе некоторого строгого метода, например, Винера-Хопфа-Фока (ВХФ), краевая задача сводится, как правило, к решению интегральных уравнений либо системы бесконечных линейных алгебраических уравнений. Сюда также можно отнести метод почтиполного обращения.

Численные методы, в отличие от остальных методов, предусматривают минимальную аналитическую обработку задач, которая осуществляется, как правило, на основе таких методов, как метод автономных блоков, конечных разностей /188, 223/, конечных элементов /184/, моментов /54, 193/ и метод сингулярных интегральных уравнений для электромагнитного поля для каждой кусочно-однородной области структуры. По численным методам теории дифракции электромагнитных волн в настоящее время существует обширная литература в виде монографий и статьей, например, /39, 40, 68, 92, 123, 164, 173/ и /56, 59, 85, 178, 183, 190-192, 199-206, 209, 210,211,213/.

Численные методы являются наиболее гибкими и универсальными, поэтому их область применения обычно определяется классом задач, решение которых любыми другими методами затруднительно. К ним относятся, например, задачи волноведущих структур с некоординатными границами и нелинейные задачи. Однако, реализация численных алгоритмов неизбежно связана с большими машинными ресурсами (быстродействие + объем памяти) и утратой, как правило, четкой физической картины явления. Следовательно, регулярные, например, полосковые и щелевые структуры с координатными границами целесообразно рассматривать не с помощью численных, а аналитических методов. Численные методы в квазиоптической области, в общем, малоэффективны и громоздки и не очень физичны, поскольку число типов волн в рассматриваемой области зачастую оказывается чрезмерным даже для современных ЭВМ.

К большой группе асимптотических или приближенных методов относятся следующие нижеперечисленные методы.

Метод геометрической оптики находит широкое применение в коротковолновой области длин волн /80, 167/. Электромагнитная волна считается локально плоской, ее амплитуда и направление слабо меняются на расстояниях порядка длины волны. Метод геометрической оптики применим, когда, например, радиусы кривизны поверхностей раздела велики по сравнению с длиной волны или показатель преломления среды несущественно изменяется на расстояниях порядка длины волны. Однако использование законов геометрической оптики в ряде случаев является малоэффективным, например, в теории параксиальных волновых квазиоптических пучков. Выход состоит в использовании, например, метода фазовой коррекции.

Метод фазовой коррекции нашел широкое применение при расчетах и в квазиоптических системах типа линзовых линий передачи, где линия передачи состоит из ряда длиннофокусных линз, расположенных на одной оси вдоль узкого пучка. Уравнением для поля в линии является уравнение Мандельштама линзовой линии /63/ в виде однородного уравнения Фредгольма второго рода.

Геометрическая теория дифракции Келлера /16, 167/ опирается на физические представления, которые следуют из обобщенного принципа Ферма. Такая теория носит существенно локальный характер, поэтому позволяет опираться на известные строгие решения (рассеяние на кромке и т.д.) и учитывать явление многократной дифракции на теле с несколькими ребрами, что невозможно для теории Кирхгофа. Однако геометрическая теория Келлера математически строго не обоснована, несостоятельна в областях формирования дифракционной картины, например, на границе свет-тень, на поверхности каустики.

Метод краевых волн Уфимцева /158/ свободен от недостатков геометрической теории дифракции и может быть применен в ряде случаев тел, например, с изломами поверхности, несколькими краями. В методе краевых волн Уфимцева наведенные на рассеивающем объекте токи разбиваются на так называемую равномерную часть, которая описывается законами геометрической оптики, и на неравномерную, где включаются локальные токи, возникающие вблизи краев и ребер. Существенное отличие физической теории дифракции от физической оптики заключается в учете именно неравномерной части, которая имеет характер краевых волн и быстро убывает по мере удаления от места возникновения.

Приближенные решения дифракционных задач, полученные методом краевых волн, требуют уточнения и изменения в основном в отношении получения равномерных асимптотических выражений для произвольных углов падения и наблюдения.

Метод параболического уравнения был предложен В.А. Фоком и М.А. Леонтовичем /163/ и применен к решению задач о распространении радиоволн у поверхности Земли. Суть метода заключается в сведении уравнения Гельмгольца к приближенному альтернативному дифференциальному уравнению параболического типа путем выделения некоторого характерного направления быстрейшего изменения поля. В методе параболического уравнения недостатки геометрической теории дифракции устранены в значительной степени, и он является эффективным особенно при решении задач с прямолинейным направлением наибыстрейшего изменения поля, для чего вводится лучевая координата, направленная вдоль геометрических лучей. Поскольку между соседними лучевыми трубками допускается обмен энергии, метод параболического уравнения называют еще методом поперечной диффузии. Обмен энергией эффективен особенно в области границы света и тени. С помощью метода параболических уравнений получены решения самых различных задач теории дифракции /20, 63/, в том числе в виде волновых пучков в анизотропных и диспергирующих средах. В задачах волновых пучков в открытых волноводах и резонаторах метод получил дальнейшее развитие и обоснование в работах /20, 117, 155/.

Метод приближенного разделения переменных (метод Хартри-Фока) /20/ получил широкое распространение в теории открытых волноводов и резонаторов. При этом допускается, что поле сосредоточено в достаточно удаленной от краев зеркал области и кривизна зеркал достаточно мала.

Метод поперечных сечений первоначально был развит для полых металлических волноводов с медленно меняющимися по длине размерами и формой поперечного сечения /174/, а затем обобщен на открытые системы, например, открытый коаксиальный резонатор, построенный на основе волноводов с медленно меняющимися параметрами. Метод поперечных сечений в сочетании с методом приближенного разделения переменных (метод Хартри-Фока) позволяет приближенно определить резонансную частоту колебаний и картины полей.

Метод продольных сечений эффективно применяется, вместо метода поперечных сечений, когда свойства резонансной структуры вдоль заданного направления меняется достаточно быстро /107/. Суть метода заключается в сведении поставленной задачи к решению обыкновенного дифференциального уравнения в некотором продольном сечении. К кругу вопросов, рассматриваемых методом продольных сечений, примыкает и метод параболического уравнения.

Метод возмущений /70/ применим, когда форма поверхности резонатора достаточно близка к резонатору, поля и резонансные частоты которого известны точно или с заданной точностью. Он использовался, например, в работах /23, 43, 62/ по тонкой антенне в цилиндрическом резонаторе.

Вариационные методы /9, 39, 49, 92, 123, 124, 161/ могут оказаться эффективными, несмотря на ряд математических трудностей, нежели метод возмущений, который связан с необходимостью выделения малого параметра. С помощью прямых методов вариационного исчисления, как методы Галеркина и Рица, краевая задача может быть сведена к системе линейных алгебраических уравнений Галеркина-Рица. Главным моментом обоих методов является выбор полной базисной системы функций, поскольку от них зависят точность решения, ее обусловленность, устойчивость схемы, и быстрота сходимости. Построение базисной системы функций, адекватной физической постановке задачи и которая удовлетворяла бы необходимым граничным условиям, является уязвимым местом вариационных методов, так как неудачный выбор базисной системы функций ведет к неустойчивости вычислительного процесса, связанной с плохой обусловленностью систем уравнений. Область применения вариационных методов ограничивается также из-за метода редукции, который обладает слабой скоростью сходимости. Поскольку вариационные (проекционные) методы применяются к интегральным уравнениям первого рода, нахождение решения которых представляет собой некорректно поставленную математическую задачу, они могут привести к неверным физическим результатам (явление относительной сходимости).

Метод частичных областей является весьма универсальным и распространенным подходом к решению краевых задач дифракции. Данный метод примыкает к группе методов точного и приближенного разделения переменных. Использованию метода частичных областей в краевых задачах электродинамики для областей сложной формы посвящены работы Я. Н. Фельда и Г. В. Кисунько, а усовершенствование принадлежит Г. И. Веселову и его школе /30, 31, 87/. Идея метода частичных областей весьма проста. Заданная область разбивается некоторыми условными границами на конечное число частичных областей, причем для каждой из них ортонормированная система собственных функций должна быть известной. Полнота системы собственных функций позволяет представить поле всюду внутри области, включая ее границу. И тогда остается лишь только удовлетворить граничным условиям непрерывности полей на условных границах. Поэтому путем "сшивания" решения для соседних областей, а также в силу свойства ортогональности собственных функций, краевая задача сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно коэффициентов разложений искомого поля по полной системе собственных функций.

Метод минимальных автономных блоков по идеологии близок к методу частичных областей и развит В. В. Никольским /126/. В определенном смысле метод автономных блоков можно считать методом частичных областей для минимальных блоков. Метод минимальных автономных блоков является эффективным и перспективным с вычислительной точки зрения для широкого класса задач теории дифракции и распространения волн.

Метод коллокации или поточечного сшивания (согласования) близко примыкает к методу частичных областей. Результаты, полученные совместно с численным методом Монте-Карло /107/, показали большие возможности данного подхода. Однако отсутствуют обоснованные рекомендации по выбору количества точек коллокации, а также их расположению.

Обобщенный метод собственных колебаний /35/ является одним из эффективных импедансных подходов к задачам открытых резонансных структур. Он аналогичен методу собственных частот, идея которого содержится в работах Д. Гильберта и В. А. Стеклова.

Импедансные подходы основаны на достаточно простом описании сложных структур за счет пренебрежения несущественными деталями и выделения основных эффектов, т. е. на эквивалентных граничных условиях. К ним относятся условия Щукина-Леонтовича, условия Вайнштейна-Сивова, импедансные анизотропные граничные условия резонансного типа, двухсторонние импедансные граничные условия, метод средних краевых условий, граничные условия Владимирского /120, 163/.

Метод частичного обращения оператора получил широкое применение в работах харьковской школы /86, 176/, а также дальнейшее развитие в работах Е. И. Нефёдова и В. А. Неганова /96, 100-102, 105/, где впервые был применен к анализу волноведущих и резонансных полосково-щелевых структур. Идея частичного обращения оператора заключается в выборе оператора обращения, близкого к обратному. Выбор сингулярных интегралов типа Коши /44, 45, 95/ в качестве операторов обращения в двумерных краевых задачах о собственных волнах регулярной линии передачи /106/ дал возможность получить ряд асимптотических формул в аналитическом виде для широкого класса полосковых и щелевых структур. При этом исключена плохая обусловленность интегральных уравнений первого рода. Отмеченные методы пригодны, строго говоря, для широких структур. Однако в ряде случаев они дают удовлетворительные результаты и для относительно нешироких структур.

Метод интегрального уравнения /14, 29, 20, 59, 68, 75-76, 79, 89, 99, 100, 107, 121, 122, 129, 162, 176, 183, 188, 199, 202, 224, 227/ играет центральную роль в изучении краевых задач, связанных с дифракцией волн на телах с конечными размерами. Это обусловлено тем, что математическая постановка задач приводит к уравнениям в неограниченных областях, а переформулировка их в виде граничных интегральных уравнений не только уменьшает размерность задачи, но и позволяет свести ее к задаче на ограниченной поверхности тела.

Общая теория интегральных уравнений для прямых задач дифракции в настоящее время, по-видимому, близка к завершению. Огромный вклад в ее развитие внесли многие известные математики и физики, например, как Н. П. Векуа /28/, А. Зоммерфельд /55/, В. Д. Купрадзе /74/, Р. Курант, Т. Гильберт /77/, С. Г. Михлин /92/, Ф. М. Морс и Г. Фешбах /94/, Н. И. Мусхелешвили /95/, В. А. Фок /163/ и И. Фредгольм /189/. Все известные типы интегральных уравнений широко используются для решения краевых задач, особенно когда линейные размеры малы по сравнению с длиною волны и в квазиоптическом диапазоне длин волн. С вычислительной точки зрения, как и большинство численных методов, интегральные уравнения становятся эффективным орудием, если они используются в сочетании с подходами, построенные на основе различных вариантов теории возмущений и вариационных методов.

К недостаткам приближенных методов и существующих моделей относится и то, что до сих пор не установлены границы их применимости. Например, строгие по постановке и простые в численной реализации вариационные методы решения интегральных уравнений первого рода зачастую бывают недостаточно обоснованными в смысле корректности окончательных численных результатов, оценки точности и устойчивости решений, выбора способа редукции бесконечных рядов в ядрах уравнений и базисных функций. Существуют примеры /31, 39, 211/, когда математически необоснованное усечение рядов в ядрах уравнений приводят к заведомо неправильным физическим результатам. Определение границ применимости эвристических и численных методов исследования может быть осуществлено на основе более строгого электродинамического анализа. Однако это до конца не реализовано.

Итак, в настоящее время строгая электродинамическая теория регулярных полосково-щелевых структур отсутствует. В литературе приводится только их численный расчет. Численные результаты, полученные с помощью вариационных (проекционных) методов, в последнее время наиболее распространенных, требуют проверки на достоверность, поскольку решение представляет собой, как правило, некорректно поставленную математическую задачу. В связи с этим является актуальным роль строгих аналитических методов решения краевых задач полосково-щелевых структур. Получение физически наглядного и математически надежного результата требует использования строгих подходов либо к ключевым структурам, которые допускают строгое решение, либо к редким случаям в математической теории дифракции, когда удается получить аналитическое решение.

Если ключевая задача допускает строгое решение, то полное решение усложненной краевой задачи для нерезонансных структур может быть построено одним из вышеприведенных методов, например, методом почтиполного обращения оператора или на основе эквивалентных граничных условий, применение которых позволяет использовать значительно более простой стандартный аппарат волновой электродинамики. С другой стороны, некоторые составные функциональные элементы (базовые элементы) интегральных схем могут быть рассмотрены как ключевые структуры (например, лента, щель, диэлектрический щелевой волновод и плоский волновод) поскольку создание электродинамических основ проектирования и математического моделирования интегральных схем СВЧ базируется на декомпозиционном принципе.

Строгих аналитических методов для решения дифракционных задач, к сожалению, гораздо меньше. К настоящему времени по существу известны только два подхода. К ним относятся метод ВХФ /21, 81, 82, 127, 163, 167, 229, 230/ и метод задачи Римана-Гильберта /1, 169-172, 175, 176/. Метод ВХФ также называется методом факторизации. Применительно к плоским или цилиндрическим полубесконечным волноводам /208/ они позволяют получить решения в замкнутой форме. Для полубесконечных структур строгой формулировкой краевой задачи является, прежде всего, парные уравнения Вайнштейна или сведение ее к краевой задаче Римана-Гильберта. Следует отметить, что обе эти формулировки по существу являются эквивалентными /21/. Для более сложных краевых задач эти методы играют роль исходных предпосылок при построении приближенных решений.

Круг задач, решаемых в замкнутой форме методом ВХФ, впервые был расширен для конечных структур в работах Уразакова Э. И. /93, 156/ на основе анализа и физического смысла локальных источников, введенных на концах отрезка тонкого круглого волновода. Фактически им был ликвидирован психологический барьер для класса задач, строго решаемых методом факторизации. По-видимому, он заключался в том, что факторизованное ядро, которое в одной из полуплоскостей комплексной переменной по определению является аналитической функцией, соответствует одностороннему преобразованию Фурье, а не интегралу по длине отрезка волновода. Однако плоские конечные структуры с помощью строгого метода ВХФ остались нерассмотренными, хотя, казалось бы, перенос его в другие системы координат логически очевиден.

Таким образом, существуют реальные предпосылки для строгого решения ключевых задач о дифракции волн на конечных структурах методом ВХФ. К таким структурам относятся диафрагмированные круглые волноводы и плоские конечные структуры. Следует отметить, что метод ВХФ одинаково применяется и для задач возбуждения и дифракционного (переходного) излучения движущихся зарядов с постоянной скоростью /12,13, 38, 141, 142, 144/, поскольку он не требует явного вида сторонних источников. Применение данного метода в указанных классах задач - дифракции, возбуждения и дифракционного переходного) излучения - можно найти, например, в работах Уразакова Э. И. /93, 156/. Поэтому диссертационная работа ограничивается рассмотрением только дифракционных задач.

Типичными примерами ключевых задач таких структур являются следующие задачи. Например, ключевая задача о дифракции симметричной волны на полубесконечном штыре в круглом волноводе ранее была рассмотрена в работах /26, 91, 195/, где в последней работе решение линейной исходной задачи сведено к решению системы нелинейных алгебраических уравнений, весьма трудоемкой для численных расчетов. Подобная задача также рассмотрена в работе /37/ с помощью интерполяционного метода факторизации /187/, родственного методу ВХФ, где для решения систем линейных алгебраических уравнений предложен численно-аналитический метод обобщенного сшивания, громоздкость и сложность которого существенно возрастает по мере повышения точности получаемого решения, особенно в многоволновом режиме. Относительно плоских структур ключевой задачей является дифракция электромагнитных волн на ленте или щели. Вообще, она относится к классическим задачам. Хорошо известно, что она допускает строгое решение методом разделения переменных в виде ряда по функциям Матье. Однако его практическое использование становится затруднительным в коротковолновом диапазоне длин волн, из-за плохой сходимости рядов. Коротковолновые асимптотические методы не смогли принести удовлетворительных физических результатов до появления метода краевых волн П. Я. Уфимцева /158/. Далее асимптотические методы были усовершенствованы для скользящих углов и для получения равномерных (по углу) асимптотических формул для любых направлений с соблюдением принципа взаимности. К ним относятся, например, методы самосогласованного поля /133/, Хаскинда-Вайнштейна /166/ и последовательных дифракций /121/, уточняющие метода краевых волн, а также и другие /14, 15, 21, 54, 69, 79, 88, 103, 115, 157-158/. Разумеется, резонансный случай, который является с физической точки зрения более интересным, асимптотические методы не могут охватить полностью.

Как и в микро, так и в макромире /117/ волновые процессы имеют прямые связи с решениями волнового уравнения, которые в настоящее время достаточно изучены и трактуются как волновая функция или потенциал. Хотя потенциал является всего лишь вспомогательной величиной для решения задачи, все физические характеристики волнового процесса определяются, как правило, через него. Тем не менее, нахождение потенциалов и восстановление по ним решения в общем случае являются не менее простой задачей, нежели прямое ее решение.

В настоящее время теория потенциала для решения эллиптических уравнений /50, 180, 185, 214/ математически полностью разработана и является составной частью математической физики. Отметим, что на её основе была создана вся теория стационарной дифракции волн. Разумеется, здесь не являются исключением и электромагнитные волны. Однако теория потенциалов разработана только для класса гладких функций. Как известно реальные поля могут иметь скачки и терпеть разрывы. Поэтому такое несоответствие математического аппарата к объекту исследования влечет за собой сужение класса решений и определенные сложности с операторами на границах, где поля терпят скачки.

При произвольной форме границы волноведугцих структур переход к потенциальной форме представления решений не упрощает, а даже усложняет задачу, поскольку порядок производных искомых функций в уравнении и граничных условиях выше, чем в исходной системе. Эффективным методом решения таких задач является метод граничных интегральных уравнений (МГИУ). Центральным моментом МГИУ является построение фундаментальных решений уравнений Максвелла, среди которых особое значение имеет тензорная функция Грина, так как ее и построенные на ее основе другие тензоры удобно использовать при построении граничных интегральных уравнений в качестве ядер соответствующих интегральных операторов. Функция Грина для монохроматических процессов строилась в /131, 198, 204, 212, 225, 226/.

В настоящее время на достаточно высоком уровне разработан математический аппарат теории обобщенных функций. Следует отметить, что функции Грина в электродинамике были получены не без участия обобщенных функций. Класс обобщенных функций содержит разрывные, скачкообразные функции и сингулярные обобщенные функции, в частности и класс гладких функций. Поэтому необходимо расширение системы уравнений Максвелла на пространство обобщенных функций и построение ее обобщенных решений, а также граничных интегральных уравнений для различных краевых задач.

Цель работы состоит в обобщении метода ВХФ для полосково-щелевых структур и круглых диафрагмированных волноводных систем, а также в разработке МГИУ для краевых задач электродинамики. В частности, ставятся задачи:

- определения фундаментальных и обобщенных решений уравнений Максвелла;

- построения аналитических решений для полосково-щелевых структур и круглых диафрагмированных волноводных систем;

- исследования собственных колебаний полосково-щелевых структур, определения ЭМ полей в диафрагмированных волноводных системах;

- разработка МГИУ для решения краевых задач электродинамики на основе аппарата теории обобщенных функций.

Научная новизна

• Предложен новый универсальный подход к построению фундаментальных решений симметризованных уравнений Максвелла. Для представления напряженностей Е, Н веден новый скалярный волновой потенциал \|/. Дано физическое обоснование лоренцевой калибровки электродинамических потенциалов. Показано, что уравнения Максвелла допускают класс разрывных обобщенных решений, описывающих ударные электромагнитные волны. Получены условия на фронтах ударных волн. Доказано, что ударные ЭМ-волны являются поперечными.

• На основе теории обобщенных функций разработан МГИУ для решения краевых задач в однородных и кусочно-однородных сплошных средах. Получены системы граничных интегральных уравнений на поверхностях раздела сред в случаях, когда они являются идеальными или границами диэлектриков.

• На основе метода ВХФ разработан метод краевых источников для решения ряда краевых задач дифракции волн на плоских конечных структурах. Построены операторы излучения и гашения собственных пространственных гармоник для решений системы сингулярных интегральных уравнений, удовлетворяющих условиям на ребре. Изучено взаимодействие краевых источников. Построены характеристические уравнения и условия резонанса для ряда ключевых задач.

• На основе метода ВХФ разработан метод краевых источников для решения ряда краевых задач дифракции волн в круглых диафрагмированных волноводных системах. Построены операторы излучения и гашения собственных пространственных гармоник для решений системы сингулярных интегральных уравнений, удовлетворяющих условиям на кромках. Изучено взаимодействие краевых источников. Исследованы коэффициенты отражения и трансформации собственных волн (по мощности) в осесимметричных ключевых структурах.

Практическая ценность

Результаты диссертации являются дальнейшим развитием метода ВХФ для решения дифракционных задач на конечных полосково-щелевых структурах. Они могут быть использованы при решении задач возбуждения электромагнитных, акустических и других волновых процессов в направляющих структурах. Разработанные в диссертации методы можно использовать при импедансном подходе для решения задач математического моделирования и автоматизированного проектирования объемных интегральных схем СВЧ и КВЧ.

Работа является составной частью исследований, проведенных в НИИЭТФ КазГУ и в лаборатории вычислительных методов и волновой динамики Института математики МОиН РК:

Метод сингулярных граничных интегральных уравнений в краевых задачах динамики твердых и электромагнитных сред" по программе "Дифференциальные уравнения и краевые задачи математической физики"

- 02.05. (№ гос. per. 0197РК00346, 1997- 1999 г.г.);

Метод граничных интегральных уравнений в краевых задачах динамики сплошных сред" по программе "Провести качественный анализ дифференциальных уравнений и разработать методы решения задач математической физики" (№гос. per. 0100РК00176, 2000-2002 г.г.). Основные положения, выносимые на защиту:

- разработка метода краевых источников на основе метода ВХФ для круглых конечных волноводных структур и изучение на его основе дифракционных процессов в диафрагмированных волноводах;

- разработка метода краевых источников на основе метода ВХФ для плоских волноводных структур и изучение на его основе дифракционных процессов в полосково-щелевых структурах;

- построение фундаментальных и обобщенных решений уравнений Максвелла, описывающие ударные электромагнитные волны;

- разработка МГИУ для решения краевых задач электродинамики на основе аппарата теории обобщенных функций.

Апробация работы

Результаты работы докладывались на следующих конференциях и школах-семинарах: IV Всесоюзная школа-семинар "Теория и математическое моделирование объемных интегральных схем СВЧ и КВЧ", Алма-Ата, 1989; IV НТК "Математическое моделирование и САПР радиоэлектронных и вычислительных систем СВЧ и КВЧ на ОИС", Волгоград, 1991; VI Всесоюзная школа-семинар "Техника, теория, математическое моделирование и САПР систем сверхбыстрой обработки информации на объемных интегральных схемах СВЧ и КВЧ", Москва, 1992; Семинар-совещание "Электродинамика и Техника СВЧ и КВЧ", Москва, 1993; V Международная НТК "Математическое моделирование и САПР систем сверхбыстрой обработки информации на объемных интегральных схемах СВЧ и КВЧ", Москва, 1995; V International Conference of Enhancement and Promtion of Computing Methods for Engineering and Science (EPMESC V), Lisboa, 1995; VIII Международная школа-семинар "Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ", Охотино, 1996; IX Международная школа-семинар "Электродинамика и Техника СВЧ и КВЧ", Самара, 1997; Международная научная конференция "Физика газа, плазмы и жидкости", Алматы, 1999; Международная конференция "Современное состояние и перспективы развития математики в рамках программы" Казахстан в третьем тысячелетии"", Алматы, 2000; Международная НТК "Физика и технические приложения волновых процессов", Самара, 2001.

Основные результаты диссертации вошли в заключительные отчеты по названным темам и опубликованы в научных статьях /3-7, 118, 134-150, 216-222/.

Структура диссертации

Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников. Ее объем составляет 181 страниц машинописного текста и включает 28 рисунков, 2 таблицы, список использованных источников из 230 наименований и одно приложение.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава диссертации является общей, содержащей все необходимые формулы для остальных глав. Здесь методом обобщенных функций построены обобщенные решения уравнений Максвелла для любых заданных источников в однородной, изотропной безграничной среде. С помощью волнового потенциала i|/, вид которого соответствует определенному физическому процессу, проведена классификация обобщенных решений. Для всех практически важных случаев приведены полные выражения полей и тензорной функции Грина. Проведена классификация монохроматических и нестационарных электромагнитных процессов в декартовой системе координат. Решения получены в сверточном виде, что позволяет представлять их в различных формах. Например, оператор набла может находиться как внутри, так же и вне знака интегрирования, тогда как в устоявшихся формулах электродинамики внесение его под знак интеграла не всегда возможно. Полученные формулы позволяют строить решения в случае источников и токов, задаваемых сингулярными обобщенными функциями, построение которых на основе классических методов невозможно или не удовлетворяет требованиям математической строгости.

В первой главе установлена связь волнового потенциала у/ с ранее известными потенциалами, а также между собою. С помощью него показан физический смысл лоренцевской калибровки, которая в классической электродинамике является условием сведения системы уравнений Максвелла к волновому уравнению.

Хотя диссертационная работа в остальных главах ограничена лишь рассмотрением стационарных дифракционных задач, из общего решения обобщенных уравнений Максвелла, в частности, следует и решение в виде ударных электромагнитных волн, которые являются поперечными.

Во второй главе развит метод краевых источников для строгого решения задач дифракции волн на конечных тонких структурах, который основан на методе ВХФ. Ключевая задача о дифракции плоской электромагнитной волны на ленте сведена к системе интегральных уравнений Фредгольма второго рода /138/, которая эффективно решается тремя способами: путем сведения к системе линейных алгебраических уравнений с помощью эталонного интеграла и метода перевала /159/; методом последовательных приближений; численной дискретизации на основе квадратурных формул Гаусса /11/ с применением метода Ватсона. Показано, что решение этой системы на основе метода последовательных приближений /68/ и введенного интегрального оператора дифракции совпадает с ранее известными асимптотическими решениями, полученными по методу краевых волн /157, 158, 166/ и самосогласованного поля /133, 168/. Из названных трёх способов решения системы оптимальным и более точным является первый. Благодаря выбору эталонного интеграла, точность основного вклада интеграла оказывается достаточно высокой. Численно показано, что первая производная искомой функции при разложении её в ряд Тейлора в перевальной точке при взятии интеграла методом перевала не дает существенной поправки к основному вкладу. Например, уже при ка = 1 характеристические уравнения первого и второго приближений практически совпадают. Учет лишь основного вклада интегралов при выводе характеристического уравнения определяет с достаточно хорошей точностью резонансные частоты ленты, которые являются его корнями, а их асимптотическая формула совпадает с ранее известными выражениями /21, 121/, полученными с помощью знаменателя Фредгольма.

При решении задачи о дифракции на щели, в отличие от сопряженной задачи о дифракции на ленте, где поле первичной дифракции получено точно с помощью специальной функции X, соответствующие выражения для средней волновой зоны определены непосредственно через функцию Ханкеля методом перевала. Отражение и экранировка плоской волны, как и в одном, так и в другом способе учитываются автоматически. Таким образом, на примере ключевых задач получены простые соотношения для полей, в том числе и ближнего поля, и резонансных частот, естественным путем уточняющие все ранее полученные формулы для дальнего поля.

На примере задачи о дифракции плоской волны на полуплоскости с щелью обобщен метод ВХФ и продемонстрирован метод краевых источников для строгого решения краевых задач дифракции волн на плоских конечных структурах путем сведения системы сингулярных интегральных уравнений сначала к системе парных интегральных уравнений Вайнштейна, после, с помощью эталонных интегралов, которые выражаются в виде специальных функций, к системе линейных алгебраических уравнений. Приведено окончательное выражение векторного потенциала для определения электромагнитного поля. Как следствие из решения рассмотрен случай резонанса. Он сопоставлен с резонансом на щели и обнаружено, что их характеристики отличаются незначительно, т. е. резонанс на щели для рассматриваемой поляризации падающей волны происходит значительно сильнее, нежели на ленте.

Метод краевых источников, по сути, основывается на взаимодействии краевых источников, расположенных на кромках. Они по построению полностью поглощают все набегающие волны с помощью операторов уничтожения и затем переизлучают их во все стороны в виде цилиндрических волн. В результате чего непосредственно взаимодействуют только близлежащие соседние краевые источники. По-видимому, в этом заключается физическая наглядность и простота данного метода.

Рассмотрена задача о дифракции на бесконечной решетке при любой ширине щели и периоде решетки, в которой достаточно учесть лишь три краевых источника, как и в задаче о полуплоскости с щелью.

Решена задача о дифракции на двух лентах, которая сведена к построению четырех краевых источников.

Следует отметить, что рост количества введенных краевых источников в усложненных задачах в конечном итоге отражается всего лишь на увеличении количества неизвестных в системе алгебраических уравнений.

В третьей главе метод краевых источников применен в осесимметричных задачах электродинамики диафрагмированных волноводов. Рассмотрены ключевые задачи о дифракции волны на штыре и в круглом идеальном волноводе со скачком поперечного сечения. Решения получены с помощью разработанной методики построения краевых источников на базе метода ВХФ в точке разрыва граничного условия. При дифракции волны H0i проведенный расчет коэффициентов отражения и трансформации по мощности с высокой точностью подтверждает сохранение баланса энергии.

Решены задачи о дифракции Н0-волны и Е0-волны на толстой диафрагме внутри идеального круглого бесконечного волновода, путем введения краевых источников на края диафрагмы. Тем же методом отдельно рассмотрена тонкая диафрагма.

Для магнитного и электрического типов падающей волны рассмотрена дифракция в резонаторе с подводящими волноводами, где в качестве любого из них использован круглый полубесконечный волновод или коаксиальная линия. Следует заметить, что ТЕМ-волны, согласно методике Уразакова Э. И. /156/, отнесены к электрическим волнам, поэтому они автоматически учитываются в решении.

Круг задач с двумя разрывами граничных условий замыкается задачей о дифракции волны на открытом резонаторе, состоящего из отрезка штыря, соосно расположенного внутри бесконечного волновода. Найдена продольная составляющая вектора Герца для определения полей внутри резонатора и подводящих волноводов.

Рассмотрены системы с тремя разрывами граничных условий -сочленение бесконечного круглого волновода и резонатора с отводящими волноводами, полубесконечный штырь с резонатором внутри круглого волновода. Найдены решения в виде собственных парциальных гармоник и соответствующая продольная составляющая вектора Герца.

Метод краевых источников также применен и для решения задачи о дифракции волн в волноводной системе с четырьмя разрывами граничных условий. Рассмотрена, к примеру, система из двух бесконтактных поршней. Данный метод, как и во второй главе, позволяет без усложнения строить решения задач с большим количеством краевых источников. При этом их количество определяется возможностью программной реализации решения СЛАУ, где учитываются все бегущие и несколько затухающие волны, поскольку ряды в конечных выражениях имеют экспоненциальную сходимость.

В четвертой главе развит метод обобщенных функций для решения стационарных задач дифракции электромагнитных волн на конечных структурах с произвольно заданной поверхностью Ляпунова. С помощью аппарата обобщенных функций естественным образом введены представления для поверхностных токов, зарядов, поверхностной дивергенции и поверхностного ротора.

В классе обобщенных функций получены общие решения внутренней и внешней задачи электродинамики, когда замкнутая поверхность делит пространство на внутреннюю и внешнюю части. В зависимости от типа источников общее решение представлено в виде суперпозиции двух независимых решений, которые соответствуют магнитному и электрическому типам. Разделение решения на магнитный и электрический типы позволяет рассматривать отдельно более простые задачи. Более того, если один тип решения известен, другой можно формально определить согласно принципу двойственности.

Для замкнутой поверхности Ляпунова в общем случае выведены сингулярные интегральные уравнения относительно поверхностных плотностей наведенных магнитных и электрических токов. В частности, когда на поверхности отсутствуют магнитные или электрические токи и заряды, сингулярные интегральные уравнения получены отдельно как для внутренней, так и для внешней задачи. Полученные формулы содержат ранее известные интегральные уравнения, полученные в работах А. Поджио (Poggio A. J.) и Е. Миллера (Miller Е. К.) /40, с. 185/ и Р. Клейнмана (Kleinman R. Е.) /173, с. 185/.

Составлены граничные интегральные уравнения для замкнутой поверхности Ляпунова при дифракции электромагнитных волн на границе раздела двух сред, а также на идеальной поверхности.

Найдено условие резонанса для замкнутой идеальной поверхности.

В заключении кратко перечисляются основные результаты диссертации.

В приложении с помощью МГИУ рассмотрена дифракция плоской волны на идеальной плоскости.

Заключение

По результатам работы можно сделать следующие выводы.

1. Построены обобщенные решения уравнений Максвелла в однородной, изотропной среде для заданных источников, описываемых сингулярными обобщенными функциями. Решения получены в виде сверток, что позволяет представлять их в различных формах. Для стационарных, нестационарных, пространственно-периодических случаев приведены полные выражения для полей и тензорной функции Грина. Установлено существование разрывных обобщенных решений уравнений Максвелла, описывающие ударные электромагнитные волны. Получены условия на фронтах ударных волн, доказывающие их поперечность.

2. На основе методики Винера-Хопфа-Фока разработан метод краевых источников для решения задач дифракции волн на плоских конечных структурах. Краевые задачи о дифракции плоской волны на плоских конечных структурах сведены к решению системы интегральных уравнений Фредгольма второго рода. С помощью метода перевала и использовании эталонного интеграла построены системы линейных алгебраических уравнений. Для ключевых задач результаты сопоставлены с ранее известными асимптотическими решениями и проведены их уточнения. Этим методом можно рассчитывать характеристики звуковых, сейсмических и др. волн.

3. Построены дифракционные поля плоских конечных структур, получены характеристические уравнения и определены комплексные резонансные частоты плоских полосково-щелевых структур.

4. Разработан метод краевых источников для осесимметричных задач электродинамики для конечных структур с поперечными диафрагмами в круглых цилиндрических системах (диафрагмированных волноводах). Аналитически решены ключевые задачи о дифракции ЭМ волн на штыре и в свободном пространстве и в круглом идеальном волноводе на скачке поперечного сечения, а также задачи о дифракции волн на толстой и тонкой диафрагмах внутри бесконечного круглого волновода. Метод позволяет рассчитывать и возбуждение ЭМ волн в конечных структурах сторонними источниками полей.

5. В аналитическом виде решена задача дифракции волн магнитного и электрического типов в резонаторе с подводящими волноводами. В коаксиальных линиях ТЕМ-волны учтены автоматически. Впервые получены точные формулы для расчета характеристик систем с тремя и четырьмя разрывами граничных условий - сочленение бесконечного круглого волновода и резонатора с отводящими волноводами, полубесконечный штырь с резонатором внутри круглого волновода, система из двух бесконтактных поршней. Математические корректные

163 решения записаны в виде собственных парциальных гармоник для продольных составляющих вектора Герца.

6. На основе введений понятий поверхностной дивергенции и поверхностного ротора предложен способы сведения краевых задач дифракции к системе интегральных уравнений типа свертки относительно поверхностных токов и зарядов в пространстве обобщенных функций.

7. Развит метод обобщенных функций для решения стационарных задач дифракции ЭМ волн на конечных структурах с границами из класса поверхностей Ляпунова. Построены интегральные представления напряженностей электрического и магнитного полей относительно поверхностных плотностей наведенных магнитных и электрических токов, для нахождения которых получены сингулярные граничные интегральные уравнения.

8. С использованием обобщенных функций разработан метод граничных интегральных уравнений применительно к задачам дифракции ЭМ волн в кусочно-однородных средах с границами раздела из класса поверхности Ляпунова. Найдено условие резонанса для любой замкнутой поверхности.

1. Агранович 3. С., Марченко В. А., Шестопалов В. П. Дифракция электромагнитных волн на плоских металлических решетках // ЖТФ.- 1962. Т. 32, № 4. - С. 381-384.

2. Алексеева JI. А. Динамические аналоги формул Грина, Гаусса для решений волнового уравнения R"x t // Дифференциальные уравнения.- 1995.-Т. 31, №11.-С. 1920-1921.

3. Алексеева JI.A., Саутбеков С. С. Метод обобщенных функций при решении стационарных краевых задач для уравнений Максвелла // Журнал вычислительной математики и математической физики -2000. Т. 40, №4. - С. 611-622.

4. Алексеева Л.А., Саутбеков С. С. Обобщенные функции в стационарных краевых задачах электродинамики // Вестник КазГУ: Серия физико-математическая 1999. - №7. - С. 233-238.

5. Алексеева JI.A., Саутбеков С. С. Фундаментальные решения уравнений Максвелла // Дифференциальные уравнения. 1999. - Т. 35, №1,-С. 125-127.

6. Алексеева JI.A., Саутбеков С. С., Тензор Грина нестационарных уравнений Максвелла // Изв. МН и ВО-НАН РК, серия физико-математическая. 1999. - №3, - С. 65-72.

7. Алексеева Л.А., Саутбеков С.С. Обобщенные решения стационарных краевых задач для уравнений Максвелла // Вестник МКТУ (Туркестан) 2001. ч. I - С. 40-45; ч. II - С. 53-57.

8. Андреев Б. Г., Белугин В. М., Кравчук Л. В. Теория электромагнитного поля с круговой симметрией для диафрагмированного резонатора // ЖТФ. 1981. - Т. 51, №1. - С. 4651.

9. Апельцин В. Ф. Высокочастотный асимптотический проекционный метод решения плоских задач рассеяния поля точечного источника на идеально проводящем гладком теле // Радиотехника и электроника. -1999. Т. 44, № 1.с. 37-51.

10. Бабич В. М., Булдырев В. С. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука, 1972. - 456 с.

11. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, 1972. - 295 с.

12. Болотовский Б. М., Воскресенский Г. В. Дифракционное излучение // УФН. 1966. - Т. 88, №2. - С. 209-251.

13. Болотовский Б. М., Воскресенский Г. В. Излучение заряженных частиц в периодических структурах // УФН. 1968. - Т. 94, №3. - С. 377-416.

14. Болтоносов А. И., Сологуб В. Г. Интегральные уравнения Фредгольма второго рода в задаче расчета волн на двух лентах // Вестник ХГУ. 1987. №298. - С. 63-72.

15. Боровиков В. А. Дифракция на многоугольниках и многогранниках. -М.: Наука, 1966.-453 с.

16. Боровиков В. А., Кинбер Б. Е. Геометрическая теория дифракции. -М.: Связь, 1978.-350 с.

17. Ваганов Р. Б., Войтович Н. Н. Нерегулярности лучевода диафрагмированного типа // Радиотехника и электроника. 1966. - Т. 11, №2.-С. 339-342.

18. Вайнштейн J1. А. Дифракция электромагнитных волн на решетке из параллельных проводящих полос // ЖТФ. 1955. - Т. 25, № 5. - С. 848-852.

19. Вайнштейн Л. А. Дифракция электромагнитных и звуковых волн на открытом конце волновода. — М.: Сов. Радио, 1953. 360 с.

20. Вайнштейн JL А. Открытые резонаторы и открытые волноводы. М.: Сов. Радио, 1966.-475 с.

21. Вайнштейн JT. А. Теория дифракции и метод факторизации. М.: Сов. Радио, 1966.-431 с.

22. Вайнштейн JI. А. Теория дифракции; Электроника СВЧ: Сборник. -М.: Радио и связь, 1995. 600 с.

23. Вайнштейн Л. А., Маненков А. Б. Коаксиальные резонаторы // Радиотехника и электроника. 1973. - Т. 18, № 9. - С. 1777-1784.

24. Вайнштейн JI. А., СолнцевВ. А. Лекции по СВЧ-электронике. М.: Сов. Радио, 1973.-400 с.

25. Вайслейб Ю. Б., Кирхейзен Э. Г., Куликов Л. Н. Теория щелевого моста на круглых волноводах // Известия ВУЗов: Радиофизика. -1974. Т.27, №8. - С. 113-118.

26. Вайслейб Ю. В. Дифракция электромагнитных волн на скачкообразном сужении поперечного сечения круглого волновода // Известия ВУЗов: Радиофизика.- 1976.-Т. 19, №8.-С. 1208-1215.

27. Векслер В. И., Саранцев В. П., Бонч-Осмоловский А. Г. и д. р. Коллективное линейное ускорение ионов // Атомная энергия. 1968. -Т. 24, №4.-С. 317-323.

28. Векуа Н. П. Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные задачи. М.: Наука, 1970. - 380 с.

29. Верлань А. Ф., Сизиков В. С. Методы решения интегральных уравнений с программами для ЭВМ. Киев: Наукова думка, 1978. -292 с.

30. Веселов Г. И., Платонов Н. И., Слесарев Е. С. Об учете особенностей электромагнитных полей в методе частичных областей // Радиотехника и электроника. 1980. - Т. 35, № 5. - С. 27-31.31