Динамическая устойчивость несимметричных роторов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

С'ашд-Петербургский государственный университет

На правах рукописи УДК 534.4

ШНЕЕРСОН Юрий Борисович

ДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ НЕСИММЕТРИЧНЫХ РОТОРОВ

(01.03.04 — иешпа деформируемого твердого -тела)

Автореферат диссертации на сойсшшяе учеяой степени хлидидлта фязшсо-математж^есках наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1903

Работа выполнена на кафедре теоретической и прикладной механики Салкт- Петербургского государственного университета.

Научный руководитель •

доктор физико-математических наук, профессор . Товстик Петр Евгеньевич;

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор ; Меркни Давид Рашильевич;

Л

-Кандидат технических наук, доцент • ; Клочков Борис Федорович.

^ Ведущая организация: кафедра теоретической мехаяхкн Самст-Пстербу скоп, геитческого университета. ■ . ' ;

Защита состоится ^¿-КёЪ&^Я 1993 г. в У час. на ми

I гош специализированного совете К 063.S7.13 по присуждению учецой с пени кандидата фпзико-ыатеыатических наук в Санкт-Петербургской уиив< ситеге во адресу: 198904, Саикт-Петербург, Петродворец, Библиотечная п д-2. ; :

С диссертацией можно ознакомиться • библиотеке СПбГУ (С.-Петер<5у| Университетская наб., д. 7/9).

Автореферат разослан '

КМ&рЯ 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета, доцент

МАНарб

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В большинстве изделий современного машиностроения важнейшими алементами являются вращающиеся (роторные) детали и конструкции. Эти элементы могут Сыть источниками сильных вибраций, которые мешают нормальной работе оборудования и могут, в ряде случаев, привести к его полному разрушению. Из трех возможных видов колебаний вращающегося вала (продольных, крутильных и поиеречных), наиболее опасными (по крайней мере, на стационарных режимах), оказываются поперечные колебания, а также связанная с.ними динамическая неустойчивость стацио-. парного вращения. В данной работе из многих возможных причля возникновения динамической неустойчивости и поперечных колебаний валов и роторов исследуется лишь'одна группа таких причин — анизотропия упругих н (или) инерционных характеристик вращающихся элементов (с учетом того, что опоры могут также быть анизотропно-упругими). Указанные виды анизотропии могут вызываться различными факторами (например, для двухполюсных электрогенераторов анизотропия практически неизбежна из-ла необходимости иметь пазы для размещения обмоток). На практике анизотропия упругих и инерционных свойств в большей или меньшей степени имеет место всегда, что связано с наличием технологических каназок, шпоночных отверстий и т.д., а также неполной осесимметричностью прикрепления вала к подвижным элементам подшипниковых опор. Анизотропия упругих свойств вала может появиться и после изготовления, в процессе функционирования роторной машины, из-за возникновения поперечной трещины. Таким образом, Важной задачей становится определение влияния анизотропии подвижных и неподвижных частей конструкции на динамику вала (ротора), а также оценка опасности »тих факторов с точки зрения возможности возникновения динамической неустойчивости и колебаний большой амплитуды. Выбор круга задач, решаемых в работе, объясняется тем, что они, несмотря на большую практическую важность, недостаточно изучены, особенно при одновременном наличии подвижной и неподвижной анизотропии. Недостаточная изученность, в свок> очередь, вызвана математическими трудностями, а. именно необходимостью исследования дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, которыми описываются упомянутые механические системы.

Главная цель работы-проведение подробного количественного и качественного исследования вышеупомянутых задач, получение в явной форме выражения для границ областей динамической устойчивости (неустойчивости) И других характеристик динамического поведения вала (ротора), исследование влияния различных параметров и выработка необходимых практических рекомендаций по обеспечению нормального функционирования несимметричных роторных конструкций, а также по своевременному обнаружению! поперечных трещин во ер сдающихся валах.

Основным методом исследования является асимптотический метод нескольких масштабов Г ранее он не использовался в задачах динамики рото-

роя). Метод модифицирован для применения к дифференциальным уравнениям с комплексными переменными, что резко сокращает выкладки (уменьшается количество неизвестных и отпадает необходимость в тригонометри: чсских преобразованиях). Кроме того, для численной проверки полученных результатов используется предлагаемый автором метод, созданный на основе известиих методов численного иследования устойчивости систем уравнений с Периодическими коэффициентами, но имеющий меред ними ряд преимуществ.

Научная новизна.

- 1. Впервые в явном виде получены решения ряда актуальных задач дина-> мики роторов :

— задача, о дина^(ической устойчивости анизотропно-упругого невесомого зала (с прикрепленной к нему сосредоточенной массой) в ани-

• зотропных упругодемпферных опорах;

; — ладана о динамической устойчивости стационарного вращения анизотропно-упругого вала с произвольно распределенными по его длин жесткостними и инерционными характеристиками при произвольном количестве к расположении анизотропных упру го демпфе рных опор;

— задача о аинщ.мчсской устойчивости »¿симметричного твердого Т«н . . (рстора), расположенного на анизотропно-упругом валу, вращающемся с достоянной углоьой скоростью в анизотропных упругих опорах (при наличии демпфирования);- .

-- задача о влиянии поперечной трещины на динамику горизонтального упругого вала при его стационарном вращении.

Для «тих эа^ач наедены выражения, определяющие границы областей динамической устойчивости, скорости изменения ьмплитуды колебаний к другие динамические характеристики; подробно проанализировано вли якие различных параметров.

2. Обоснован и продемонстрирован <>£щий подход к исследованию систем

. линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами с помощью известного асимптотического метода нескодь них малдатаОпл. Преимущества »того подхода особенно велики в йаибо-дее сложных задач;«: не требуется никоих априорных предположений о хпр&ктерг решений; получеемые решения пригодны как для простых,' так и для кратных параметрических резонансов; метод применим к исследованию параметрического резонанси в гироскопических систем;«, при наличии параметрического возбуждения с несколькими частотами и фазами и в других С1учяяш.

3. Разработан метод чиспеиного исследования устойчивости систем уравнений с периодическими ковффициентами, особенно вффекгицныП при

тех значениях параметров, при которых другие методы могут приводит! к ошибочным выводам из-за накопления погрешностей.

Практическая ценность. В работе проведено количественное и качествснног исследование влияния анизотропии подвижных н неподвижных частей конструкции на динамику вала (ротора), а также оценка опасности antx факторов с точки зрения возможности возникновения динамической неустойчивости и колебаний большой амплитуды. На практике это позволяет обеспечить нормальную работу машины, а в случае необходимости изменить параметры системы в нужную сторону (явная форма полученных результатов позволяет легко определить направление и величину этих изменений). Кроме того, проведенное в работе теоретическое исследование динамики валов с поперечными трещинами позволяет своевременно диагностировать появление трещины по динамическим характеристикам вращающегося вала, измеренным непосредственно при функционировании системы. .

Апробация работы. Результаты работы неоднократно докладывались на заседаниях и семинарах кафедры теоретической и прикладной механики Санкт-Петербургского госукиверситета (1991, 1.992, 1993 гг.). Они использованы также при подготовке сборника по асимптотическим методам в механике (Asymptotic Methods in Mechanics), изданного AMS в 1993 юду.

Публикации. Основное содержание работы отражено в статьях [1—3].

Структура и объем работы. Работа состоит из четырех глав (первая из которых является вводной) и заключения. Каждая из глав разбита на разделы, которые, в свою очередь, состоят из подразделов. Глава 1 содержит общие сведения о рассматриваемых задачах и существующих методах их решения, краткое содержание работы и ее сравнение с работами других авторов. В главе 2 исследуется динамическая устойчивость анизотропно-упругого вала в анизотропных упругодеыпферных опорах. Глава 3 посвящена изучению динамической устойчивости несимметричного твердого тела (ротора) иа анизотропно-упругом валу, вращающемся в анизотропных упругодемпферных опорах. Наконец, в главе 4 рассматривается динамика горизонтального вала -после, возникновения в нем поперечной трещины. Заключение содержит перечисление основных результатов и выводов работы. Общий объем работы составляет 138 листов. Работа содержит 16 рисунков, список литературы включает 150 наименований. » '■ • » к !

Содержание работы :,

Глава 1 "Введгниг" представляет собой описание предмета, цели и методов исследования. Она также содержит сравнение работы с исследованиями других авторов (сравниваются как методы, так и результаты). Обсуждаемые работы можно разделить на четыре группы. К первой группе относятся Монографии ч статьи по теории линейных дифференциальных уравнений с

; периодическими коэффициентами, динамике валов и роторов, теории устс , чивости движения, асимптотическим методам; ко второй, третьей и четье;)г . груплам относятся работы, тематика которых непосредственно связана с с , держанием глав 2, 3 и 4 (соптвотстиечко). Авторы цитируемых работ порв группы: Болотин, Шмидт, Якубовичи Сгаржинский, Hsu, Vamainoto (урявь ния с периодическими коэффициентами); Лиментберг, Тондл, Кельзон (дин мика патов и роторов); Болотин, Мерки») (теория устойчивости движеяш Боголюбов и Мигроиольский, Найфэ, Журавлев и Климов (асимптотичсск: методы). Ко ьторой группе относятся работы следующих авторов: Тонд Цырлнн, Blrck, Foofe, Iwatsiibo, Kotido, Müller, Ola, Smith и др.; авторы раб. третьей группы — Диментберг, Anlayfio, l-Vohrib, Arnold, Haft, Drosens, Cranda Ota, Yainawolo и др.; Четвертой группы — Diir, Gascli, Grahivwski, Henry, Imai Isliida, Li Ch.-.nghc, Muyes. Nelson, ichmied, 'Jamura, Wen, Ziebnrth и др.

Глава 2, посвященная исследованию динамической устойчивости анчз трогто- упругого вала в »низотропных упругодемпферных опорах, открыв ется разделом 2.1, содержащим постановку задачи и вывод исходных уравн 1 Witt. Рассмотрим механическую систему, состоящую из невесомого ynpyrpi ■ ьала и присоединенной к нту материальной точки массы т, расположи ной и <средние пила.■ Вал опирается по краям на упругодемпферные onopi . Обозначим суммарный коэффициент жесткости етих двух опор в одном гла! ном Han ¡«тлении через «t, а в другом - через sj. Пал имеет также треть (упругодемлферную) опору, расположенную между первыми двумя (в сер. дине вала). Будем считать, что третья опора имеет те ж».: главные иаправл! лия жесткости, а се коэффициенты жесткости в этих »исправлениях равны c¡ t¡ cootpi -ictiicHjIo. Коаффициент демпфирования считаем одинаковы!.! во act •чапраплениях и равным г (демпфирование 'предполагается малым, поэтом ясимметрил демпфируют!« свойств является величиной второго порядка я; лости. и ею можно прп'е.брочь). Коэффициенты жесткости вала в двух'сг 1лагных направлениях, придающихся эыесте г. палом, обозначим через А| и J соответственно. Угловая скорость вращения вал.ч постоянна и равна ш. С;, д1М сч.чтать, что ма^созый эксцентриситет отсутствует (»то предположен« не ограничивает общиоеть исследования на устойчивость, т.к. экецентрио тет может входить л|':шь в правую часть уравнений движения, а устойчи .восч'ь определяется только однородными уравнениями). Кроме того, буде! рассматривать только симметричные относительно середины пролети, двнж<; ния сада (касоскммитрпчные дпижения оиисыьаютсл независимой системо! уравнений и ряссматрип«1К>ус.л в главе 3). Уудем предполагать, что вели чины (с»-Г))/(с, + cj). (X, - Х1)/( А, •+ Aj), (S2- »i)/(»j ■+ ¿j) мчли по сралнению единицей. Введе»« обозначения: и = (А. - .\|)/(А| + Aj),i> = (сг - C|)/(rt -f-Cj) ги (м - »i)/(i| + Si).A = (А, Ц A,)/2,c = (с, + fjJ/2,s = (л, f ч)/2,¡> = AJ/(A + .») С учетом предлоложенкП о малости коэффициентов демпфировании, подриж иой и неподвижной анизотропии имеем: и < i, v < 1, ie С l,r/y/(c + pjm < 1 Обозначал )¡ = тлх{г/ v'|r + ;>)'», и, и,!«} . Очевидно, что fi < I. Тогда можн< ааписать- г =. цП, и ¡iU. v = /iV, ir - ¿U", причем ьяеденные величины V, Г

VK, a также R/y/(c + p)m являются величинами порядка /Д т.е. порядка единицы. Введем обозначение г = * + «'» (i — мнимая единица; г и у — смещений материальной точки в двух взаимно перпендикулярных неподвижных направлениях, совпадающих с главными направлениями жесткости опор). Уравнение движения в комплексной форме имеет «ид:

тг + ^Ш+(с + р)гЧ /j(Vc+»y/3)2 + /i(i/>VA)?exp(-2/wi) = 0 (1)

(черта над выражением означает комплексное сопряжение). Для удобства дальнейших рассуждений приведем (1) ь безразмерному виду. Введем обозначения: ш„ = \J (с +■ p)JJn, т = = ùi/uicR' = ЩуДс+р)т, Г - (Ус+ ИУЛ)/(р+<0, Л = i/pV[A(c+p)l,rt = tiR- =.r/v^Ti)m,-f = „Г = (vc+u.p3/i)/(?+ с),S — /<Д = ирЧ[\(с + р)]. Теперь уравнение (1) можно представить в более простом, удобном для анализа виде:

d'à di ' + i + + « 0. (2)

Введенные параметры о, в, 1,6 выражаются через исходные параметры механической системы. При »том о характеризует демпфирование, fi — угловую скорость вращения вала, у — неподвижную анизотропию, £ — подвижную анизотропию. Повтому анализ расположения зон устойчивости и неустойчивости целесообразно проводить в пространстве параметров о, в, 7, S. Такой выбор параметров является, по-видимому оптимальным, т.к. он позволяет максимально упростить запись условий устой'швости и неустойчивости. Отметим только, что вместо параметра $ иногда удобно рассматривать парь-метр 0=/9-l = (w-ui0)/u!„.

В разделе 2.2 проведено подробное исследование уравнения (2) и получены основные результаты, связанные с устойчивостью его решений. Для вывода условий устойчивости используем метод нескольких масштабов. Указанный метод позволяет получить приближенное решение задачи в явном виде для разных случаев, не требуя каких-либо дополнительных предположений (кроме уже сделанного предположения о малости параметров a, S). Представим безразмерную угловую скорость в виде ряда по степеням малого параметра fi: . ■ ,

? = А{1 + + , ./'" (Я)

Будем исследовать устойчивость при тех значениях 0, которые близки к Л», т.е. представляются в виде (3). Поскольку значение можно выбрать прЛ-юволыю, представлении (3) не ограничивает общность исследования.

Введем новую независимую переменную

г" = г(1 + рЛ+ (4)

Будем искать решение урлвнения (2) в виде

z = г,. (г,, т,,г„..,) +(г,,, n.Tj,...) + ... , « (5)

где тв = г*, г, и fir', та м /i'r" и т.д. Для того, чтобы ряд (5)'действительно являлся раяномерным асимптотическим представлением какого-либо решения уравнения (2), нужно наложить на функции г„, ... дополнительные условия. В частности, для Первого приближения нужно потребовать, чтобы отношение

1— стремилось к нулю при ц -* 0, причем р одномерно по всем т, удовлетворяла

ющим соотношению | цт |< const при некоторой заранее выбранной константе const. Бели указанное требование выполнено, то при малых /1 устойчивость решений уравнения (2) определяется поведением (при достаточно больших значениях г) функции здюрял в первом приближении является решением уравнения (2). Будем искать фуккикю г„,.подставляя ряд (5) в уравнение (2) и приравнивая члены при одинаковых степенях (¡. Из уравнения для членов порядка, ц' получим

г, я Л(г,,т2,...)схр(»тй) + ;3(г1,г5,...)ехр(-1гс) , (6)

где Л и fi — некоторые функции, не зависящие от -г,. Ясно, что .юаедсиие функций А II Ч при росте т| определяет устойчивость или неустойчивость нулевого .(л значит, и любого другого) решения уравнения (2). Если существует *отя бы одно решение с неограниченно возрастающими при росте т{ значениями Д )< О, то имеет место неустойчивость, в противном случае — устойчивость. Функции Ли В можно определить из сформулированных выше дополгттсльяи'х условий, накладываемых на члчны ряда (5). Эти условия сводятся.к систем« cGiiKiioBCHHUx дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами четвертого порядка, которая яри А <= 1 имеет ввд

(А, \ / -о 2^ + «' 0 7 \ / Л* Л, _ -W+ 6 -а 7 0 Аг О, ~ 0 -т -Н Ох

/ \. -."» 0 / V В>

где А г» At + »Л,, Я - Jfi f ilh Лля случая. Д, / I уравнения имеют аналогичный вид — с той лишь разницей, что в чих следует положить (5 = 0. Таким образом, при у'гловь'х скоростях npau't mm, дапеких от w„, пал с анн-.здтропними упругим» свойствами »»едет себя (с точки зрения устойчивости) Точно y&k же, к!» идеально ссссимметричный вал. Хорошо извес.ло, что дииаикчесьая устойчивость последнего оСесгечеиа при любых угловых скоростях (независимо от того, являются ли оиуры также осесимметриччыми). Можно, впрочем, к непосредственно убедиться, что при 6 = 0 система (7) всегда устойчива Отсюда вытекает важный вывол: динамическая неустойчивость рноеммркваемой механической системы возможна (хотя и не обязательно настукает) лишь при угловых скоростях, которые близки к критической скорости w„ соответствующей сжеимметричмай системы, т.е. отличаются от Я'.-с не более чем ил величину порядка /«. В дальнейшем Суд«.! рассматривать только »тот нетривиальный случий. т.е будем предполагать,

что Д, = 1 и и = ы0(1 4 мА). При атом Ф = (и - = /<Pi. Применяя к

системе (7) критерий Рауса-Гурвица, получим условия устойчивости в виде

16ф* +4ф\2а7-2^ -i1) + (<», + 73-<»i)(Q:+11+«'',V> 0 ' (8) i ' +11) - (й1 - - <53 + 4«2) > 0 \ (0)

Устойчивость имеет место при одновременном выполнении обоих неравенств (8) и (9). Если же хотя бы одно из них не выполняется, то система неустойчива. Анализ приведенных неравенств показывает, что в зависимости от соотношений между параметрами а,. 7 и 6 система может им^ть три, два, один или ни одного интервала неустойчивости. Обозначим q\ = а1 -f 7г — аб,

Vj = -2а» + Ь2 + = 6* + V*' - 1.6<*V, Я* = --г/ггттт;-i»

= - 27J - 6oJ). ?e = min{4i,?3}, ?7 = max{<74,./5), q» ~ <tr - b + yfö

V'i = V57-Ty?3, vi>2 = |/>з = VsT-V^' V'« = max{i/i,,V'j}- Тогда возможны следующие случаи. • ; ■

1. Интервалы неустойчивости отсутствуют (система устойчива при всех угловых скоростях), если одновременно выполняются неравенства> О, qe < 0, ?г < 0. '. ,

2. Система имеет один интервал неустойчивости и„(1 — ф\) < ц> < ы0(1 + ф*) в следующих случаях: а) при q\ < 0; б) при одновременном выполнении условий qi > 0, qe < 0. fr > 0; в) при'одновременном выполнении условий

. > 0, ?в > 0, 9в >0. . I

3. Система имеет два интервала неустойчивости и>„{1 - V'i) < и; < и;0(1 - ф3),

+ < w < +V>i) при одновременном выполнении условий >0, ' 9» > 0, 41 < О-

4. Система имеет три интервала неустойчивости w„(l ~ф\) <ш < и>«,(1 — ^з), 14.(1 ~Фз) <ш < w»(l + фз), ш<>(1 + Фз) <и>< u>„(l + 0i) при одновременном выполнении условий 9» > 0, 9« > 0, Чт > 0, 9« < 0.

Перечисленные случаи' охватывают все возможные комбинации знаков величия 9i, 9и, 9г и 9g. Поэтому алгоритм определения количества интервалов неустойчивости и их границ при данных числовых значениях параметров а,'; 7, S можно сформулировать следующим образом: а)вычислить значения ве-, личин 9i, 9«, 97 и 9я; б)в зависимости от знаков етих величия определить, какой из четырех перечисленных случаев имеет место, т.е. сколько суще-,, етвует интервалов неустойчивости (0, 1,2 или 3); я)если имеются интервалы неустойчивости, вычислить их границы в сответствии с вышеприведенными неравенствами.

Условия, при которых динамическая устойчивость стационарного вращения вала обеспечена при любой угловой скорости, будем называть условиями "всережимной" устойчивости. Очевидно, что требуемые условия являются условиячи отсутствия у системы интервалов неустойчивости. Выше ояи

Ü

сформулированы в виде совокупности неравенств q\ > 0, <jo < 0, <¡t < 0. Одкакс •ти условия удается записать в более удойной форме, при которой хорошо виден характер зависмости от параметров и, 7 и <5; а)если0 < 6/« < 1, то "все-режимнпя" устойчивость всегда обеспсчскя (т.е. интервалы неустойчивости всегда отсутствуют), независимо от значения параметра 7; б)если i < 6/а < V5 -1, то интервалы неустойчивости отсутствуют лишь при 7 > у/а(6 — о); в)еслц у/5— 1 < tja < Э, то интервалы неустойчивости отсутствуют лишь при 7 > 6J/(2-/iа1 — б'); г)если 1 < 6/ог < со, то "всережимная" устойчивость невозможна ни при каком значении параметра 7, т.е. всегда существует хотя 5ы один мяТервал неустойчивости.

Do многих случаях интерес представляет не только выяснение факта устойчивости или неустойчивости стационарного вращения вала при некоторых конкретных значениях параметров системы, но и определение скорости затухания колебаний (в случае устойчивости) или скорости их возбуждения (в случае неустойчивости). Определение ятих величин важно для понимания того, несколько далеко система находится от границы устойчивости при за-данньгх значениях угловой скорости, коэффициентов анизотропии (подвижной и неподвижной) « демпфировали*. Этим вопросам посвящен раздел 2.3. Выражения для мультипликаторов jравнений (1> илч (2) совпадают и имеют вид íj =■!, 2, 3, 4):

Р(Л = -.-•xpl^'-o)], (10)

где

Л.1'1 = ±\f-bt±)firX, (П)

причем bj = + 2-»' •• ¿г)/1. К = (4tl'1 - 71)1 - Aip^í*. Поскольку интерес представляют, в п< рвую очередь, не сами мультипликаторы, а их модули. чалит^М выражения для их вычисления:

IУ'11 = гхр[1(Пс|Д^>) -о)). (12)

При »Том в качестве запаса устойчивости мояэд принять величину

« 35 -ГГ-ТГТ,- • • 03)

Если все мультипликаторы По иоду i п меимие единицы, го запас устойчивости в соответствии с формулоЯ ¡13) оказывается больше единицы, т.е. система устойчива, ilpir в том гранкцп устойчивости тем ближе, чем меньше величина ir maca я, D противном случае (i.о при г, < I) имеет место неустойчивость. В рад л еле 2.3 сформулированы также условия, позволяющие путем изменении чярчмегров »!'• только добиться устойчивеи-тч стационарного вращения вала, но и обеспечить ее с некоторым заранее ?ii;iiiiiiiijm запасом.

Раздел 2.4 поезящои рассмотрению важной математической особенности рассматриваемых уравнений с периодическими коэффициентами — возможности возникновения простых, комбинационных и кратных параметрических резонансов. Это явление особенно ярко проявляется при малом демпфировании а<т). Если при втом 1 3> Л, то имеется три интервала неустойчивости, ширина каждого из которых приблизительно равна и»„$/2 (средний интервал неустойчивости соответствует комбинационному резонансу, а два крайних интервала — простым резонаксам). Границы втиг трех интервалов можно было бы определить с помощью многих известных методов исследования уравнений с периодическими коэффициентами. Оказывается, однако, что при невыполнении условия. 7 ~> 6 независимое нахождение каждого из трех интервалов неустойчивости и их последующее объединение (для получения окончательных границ зоны неустойчивости) может привести к ошибочным результатам, т.ч. к получению вдвое более узкого, по сравнению с правильным решением, суммарного интервала неустойчивости. В частности, при 6 3» 7 на Самом деле имегтея один интервал неустойчивости, ширина которого приблизительно ровна и„6, а не шс6/2 (этот интервал соответствует кратному параметрическому резонансу). В разд.2.4 подробно проанализированы чти (на перпый взгляд, парадоксальные) выводы и показаны преимущества используемого в работе подхода, который автоматически дает правильные результаты для самых различных соотношений между параметрами.

Раздел 2.5 поевлщем анализу влияния различных параметров на устойчивость. Сформулировамгые в нем высоты иллюстрируются соответствующими рисункаш!, которые дозволяют также наглядно представить связь между простыми и кратными параметрическими резонансами. В разделе 2.6 описывается алгоритм предлагаемого численного метода, исследования устойчивости систем уравнений с периодическими коэффициентами и обосновываются преимущества »того метода. В разделе. 2.7, завершающем главу 2, показана возможность непосредственного применения полученных в ней результатов к анизотропно-упругим валам с произвольно распределенными параметрами при произвольном количестве и расположении несимметричных упругих опор. •

В главе 3 исследуется динамическая устойчивость несимметричного твердого тела (ротора) на анизотропном гибком валу, вращающемся я анизотропных упругодемпферных опорах, Предполагается, что тело расположено я» равном расстоянии от двух крайних опор. Кроме того, рассматривается третья »пора, которая также расположена посередине вала, на равном расстоянии от первых двух о тор (как и в главе 2, пераые дае опоры моделируют подшипники, п третья'—■ уплотнения между вращающимися и неподвижными частями конструкции). Наряду с аиизотропией'упругих свойств вала и опор, учитывается анизотропия инерционных своПсга ротора, т.е. все три его главных момента инерции предполагаются различными. Иными словами, ротор не является симметричным относительно оси вращения. Кроме того, рассма-1|)ив(:к>тгя различны'' янриннш прикрепления ротора к валу, Т.е. яапраялп-

вил главных осей инерции ротора. не обязательно совпадают напрааяснш главных осей жесткость вала в точке прикрепления. Углы между этими оci могут быть любыми (не обязательно малыми); их влияние на устойчиво также исследуется в главе 3.

В разд. 3.1 на основании анализа выражений для кинетической и потен альной енергии делается вывод о том, что уравнения движения конструм можно разделить на две группы и исследовать независимо друг от друга первой группе откосятся уравнения, описывающие так называемые цилинд ческие движения, при которых ось вращения ротора сохраняет свое напраа ние в пространстве; уравнения второй описывают конические движения, г которых ротор вращается вокруг неподвижной точки. Далее в главе 3 исс дуются только уравнения для конических движений конструкции, поскол! уравнения для цилиндрических движений (как показано в разд. 3.1) сов дают с уравнениями главы 2 (для получения общей картины нужно обье, нить интервалы неустойчивости, найденные в обеих главах). В разделе уравнения для конических движеий приводятся к виду, удобному для aci птотического анализа. Основное уравнение в комплексной форме имеет в*

+7^ + ^ехр(2»Пт + 2(к)+£(^| + 21П^)ехр(2Шт) = 0, (

. di dT

где ф = фу +Лфг (Фх, Фу - углы поворота ротора относительно неподвижи осей, перпендикулярных недеформированной оси вала). Входящие в урав ние (14) величины á, *ц, 6 я£ являются малыми и допускают введение в coi ветствующие члены малого параметра-. При »том á характеризует суммар» демпфирование во всех трех опорах, у — неподвижную упругую аяизотрот (т.е. суммарную, анизотропию упругих .свойств всех опор'), 6 — подвижн, упругую анизотропию (т.е. анизотропию упругих свойств вала при поворс его среднего поперечного сечения), i — подвижную инерционную анкзот) пню (т.е. .степень отличия ротора от идеально осесимметричиого тела). Г раметр к зависит от угла закрепления ротора на валу и может принимг любые. значёний(нё обязательно малые). Параметр í характеризует влияш так называемого гироскопического аффекта и зависит от степен!' вытяну; сти ротора*вдоль его "приближенной оси симметрии". Бели форма рота близка к очень тонкому диску, то i'tt J. В другом крайнем случае, ког форма рртора близка к сильяо вытянутому цилиндрическому телу (длинно барабану), справедливо соотношение к w 0. В общем случае имеет мес двойное неравенство 0 < к < 1.

В разд. 3.3 проведено исследование устойчивости с помощью метода i скольких масштабов и получены выражения для границ интервалов HeycTt чивости. Эти выражения имеют различную аналитическую форму в завис мости от значения к. В частности, показано, что при к яг 1 (когда ротор бл зок к тонкому диску) динамическая неустойчивость, вызванная асимметри

ротора, невозможна. В разд. 3.4 продемонстрировано, что для простых частных случаев полученные результаты совпадают с известными. Рассуждения из разд. 3.5 показывают, что выражения для границ интервалов неустойчивости, полученные (в разд. 3.3) отдельно для различных диапазонов изменения Ь, "стыкуются" между собой с сохранением непрерывной зависимости от параметров. В разд. 3.0 проанализировано влияние различных параметров на устойчивость и даны некоторые практические рекомендации с целью взаимной нейтрализации двух неблагоприятных (с точки ярения устойчивости) факторов — асимметрии ротора и акизоторопии упругих свойств вала. Наконец, р<<4Д. 3.7, завершающий глазу 3, посвящен определению запаса устойчивости и скорости возрастания (убывания) амплитуды колебаний при конических движениях, а также «вхождению мультипликаторов соответствующих уравнений с периодическими коэффициентами.

Рассмотрим теперь особенности главы 4, в которой исследуется динамика горизонтального вала с поперечной трещиной. Целью главы является .получение явных выражений для границ областей неустойчивости и амплитуд вынужденных колебаний вала, связанных с наличием трещины, поскольку при наличии атих выражений можно, путем постоянного измерения динамических характеристик и их сравнения с теоретическими результатами (относящимися как к поврежденному, так и к неповрежденному валу), обнаружить трещину на. ранней стадии ее развития, до возникновения опасных повреждений. В отличие от глав 2 и 3,, где исследуется только динамическая устойчивость соответствующие конструкций (т.е. изучается лишь общее решение линейных однородных уравнений с периодическими коэффициентами), в главе 4 рассматриваются также вызванные действием силы тяжести вынужденные колебания вала (соответствующие частным решениям неоднородных уравнений), поскольку такое исследование имеет большое практическое значение. Дело я гом, что при диагностировании трещины проведение экспериментов вблизи "неустойчивых" угловых скоростей опасно, поэтому наиболее рёялько измерять дикпмическяе-характеристики для угловых скоростей, соответствующих зоклм устойчивых колебаний , Чтобы не усложнять изложение дополнительными деталями, которые никак не влияют на особенности динамического поведения вала с трещиной, в главе 4 рассматривается простейшая механическая система — невесомый (идеально осесиммсгтричвый до возникновения трещины) горизонтальный в»л с прикрепленной посередине материальной точкой, вращающийся с постоянной угловой, скоростью в двух абсолютно жестких опорах. Однако а случае возникновения трещины движение даже такой простейшей конструкции невозможно описать системой дифференциальных уравнений Л постоянными 'коэффициентами, независимо от выбора системы координат. Это вызвано наличием я сйстсме двух характерных часто г, влияющих на изменение коэффициентов .жесткости вала: главные осп жесткости поворачиваются (относительно неподвижной системы координат) с угловой частотой а трещина "дышит* (раскрывается и вновь закрываете я) с. угловой частотой и.

Разд. 4.1 содержит постановку задачи и вывод исходных уравнений Д1 женил. Уравнение движения (в комплексной форме) получается из (1), eq учесть зависимость главных коэффициентов жесткости вала от времени:

+rf+щщ+MbiiWiej£p{2w0 e _¿m?. u

Будем предполагать, что динамические смещения вала значительно меньц чех« его статический прогиб под действием силы тяжести. В »том случ функции Aj (i) и X¡(/) можно считать периодическими функциями времени 2х

периодом Т = —), не зависящими от динамических перемещений хну. Сл w

доватедьно, их можно разложить в ряд Фурье, С учетом результатов экса

риментов, проведенных рядом авторов, в атом разложении допустимо огр

кичиться только первой гармоникой, поскольку остальные гармоники имек

малую амплитуду. Предположим, что при t — О трещина полностью закрыт

а при í = - она полностью открыта. Тогда можно записать: и

\ /„ > 1 + ,4 1 ~ COSUÍ

Mí) = А»----т ----,

\ l,\ \ 1+c0siuí . 1-c0su.4 Ai[t) » л„---4-Дгв--- ,

где Д0,-Ац, Ajo — иекоторые постоянные величины, причем А„ > А3о > А(

При ето исследуемое уравнение примет вид . g + + + ...

\ +<(2е,,'Пт- е,:°г-е"'0т)5 = ~»a/u¿ . , (П

где А « (2А„ +.АЬ + А= (2А„ - А,, А2о)Д8А),£ (Au - A!o)/(8Á) ,ы» '» \/X/m,fí = ш/ы„,а ~ г/уАт. ■»••.'•.' •

Разд.. 4.2.содержит асимптотический анализуравнеция (17).. В результат такого анализа получается приближенное решение г(г) = íj(r) 4 г2(г), состо ящее из двух, слагаемых. Первое слагаемое z>(r) представляет собой обще решение однородного уравнения и используется в разд.. 4.3 при нахожде нии интервалов неустойчивости (оказывается, что неустойчивость возможн! лишь при о».» ш « w,, ú «s 2b)a/3j где u>e — критическая угловая скорост! неповрежденЯ(?го вала), Второе слагаемое гг(т) является частным решение), неоднородного уравнения и используется в разд. 4.4 для определения ам плитуды и фазы вынужденных колебаний (показано, что »ти колебания но сят специфический характер: их амплитуда пропорциональна силе тяжести причем возбуждаются они .лишь после возникновения'трещины и только пр* угловых Скоростях w, близких к одйому из значений «,•<>, u.'0/2, u'„/3). Наконец в разд. 4.5 на основе полученных результатов дины некоторые практически рекомендации по обнаружению трещины.

В заключении перечислены основные результаты и выводы, полученные в работе.

1. Исследована задача п динамической устойчивости анизотропно-упругого ■ невесомого вала (с прикрепленной к не4лу сосредоточенней массой) в анизотропных упруго демпферных опорах. Задача описывается системой двух обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами, эквивалентных одному уравнению в комплексной форме. Для приближенною нахождения решений итого уравнения использован асимптотический метод нескольких масштабов, ранее не применявшийся в задачах динамики роторсв. С его помощью виервые удалось свести рассматриваемую задачу к системе дифференциальных уравнений четвертого порядка с постоянными коэффициентами. Благодаря втому получены следующие новые результаты:

— показано, что могут существовать три, два, один или ни однего интервала угловых скоростей вращения вала, при которых его стационарное вращение неустойчиво (вти интервалы называются интервалами неустойчивости); они расположены вблизи перзой критической угловой скорости соответствующей изотропной системы с "усредненными" по окружности рала упругими свойствами;

— найдены соотношения между физическими параметрами системы, при которых имеет место каждый из чтих четырех случаев;

— в явной алгебраической форме найдены границы интервалов неустойчивости как функции физических параметров системы;

— определены условия "всережимяой" устойчивости, т.е. получены

» простые соотношения между коэффициентами демпфирования, по- . движной анизотропии (анизотропии вала) и неподвижной анизотропии (анизотропии опор), в случае выполнения которых стационарное вращение вдлл, будет Устойчивым при любой углолой скорости;

••• исследовано влияние каждого параметра на устойчивость (при фиксированных значениях остальных параметров); показано, что увеличение анизотропии вала всегда нежелательно с точки зрения устойчивости, а увеличение анизотропии опор обычно оказывается полезным (если демпфирование не слишком мало);

. — в явном виде получено выражение для скорости затухания (возбуждения) колебаний, Т.е. вслйчины 'относительного изменения за время одного оборота вала амплитуды его свободных поперечных колебаний; ■

— найдены явные пыршкения для! запаса устойчивости (т.е: величины, показывающей насколько далеко, при заданных значениях параметров, система находится от границы устойчивости), а также определены условия, при которых »та величина лежит в заданных пределах.

2. Обоснована применимость всех перечисленных результатов к значитеяьн более общей задаче с динамической устойчивости стационарного вращения анизотропно-упругого вала с произвольно распределенными по его длине жесткостными и инерционными характеристиками при произвольном количестве и расположении анизотропных упругодемпферных опор. Вообще говоря, такая система может иметь бесконечное число интервалов неустойчивости. Однако, в работе впервые показано, что:

— при известных собственных частотах и формах поперечных колебаний невращакмцегося идеально осесимметричного вала (для определения которых имеется большое количество широко известных методов) задача о нахождении каждого интервала неустойчивости сводится к системе двух или четырех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами (при комплексной форме записи число уравнений уменьшается вдвое);

— несколько (от нуля до трех) низших интервалов неустойчивости находятся вблизи первой критической угловой скорости системы с изотропными ("усредненными" по окружности вала) упругими свойствами;

— дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами, из которых могут быть "найдены границы этих низших интервалов неустойчивости, полностью совпадают с подробно исследованными в работе уравнениями для невесомого вала с сосредоточенной мас-

, сой (различие состоит только в том, что коэффициенты уравнений ' теперь выражаются не через сосредоточенные параметры, а через 1 низшие собственные частоты И формы поперечных колебаний неара-щающегося вала); . •

— все перечисленные в пункте -*1 результаты непосредственно сохра-. няют. свою силу и для вала с распределенными параметрами; при

■„ *: - атом всё особенности вала и опор автоматически учитываются в : • собственных Частота* и формах; по ним, в свою очередь, можно ^ ' • -вычислить (с' помощью приведенных в работе формул) Параметры обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, что позволяет сразу воспользоваться вышеперечисленными результатами. ■

3. Исследбвана динамическая устойчивость несимметричного твердого тела • (ротора), расположенного иа анизотропно-упругом валу, вращающемся

с постоянной угловой скоростью в анизотропных упругих опорах (при наличии демпфирования). Рассматриваются различные варианты прикрепления ротора к валу, т.е. главные оси инерции ротора, перпендикулярные оси вращения, не обязательно совпадают г главными осями Жрсткогти вала в точке прикрепления. Задача также описывается уравнениями с Периодическими коэффициентами, однако они имеют более

сложный вид из-за наличия гироскопических членов и параметрических возбуждений с различными фазами. Для такой системы, с помощью упомянутого метода нескольких масштабов, впервые в явном виде решены задачи, аналогичные вышеперечисленным:

— выведены условия устойчивости и неустойчивости;

— найдены количество и границы интерпалов неустойчивости; '

— найдены условия "всережимной" устойчивости;

— вычислена скорость изменения амплитуды колебаний (как в случае устойчивости, так и в случае неустойчивости);

— получены выражения для заляса устойчивости;

— проанализировано влияние различных параметров на устойчивость и выработаны рекомендации по повышению динамической устойчивости.

. Показано, что наибольшее влияние на устойчивость стационарного вращения ротора оказывает так называемый гироскопический эффект, величина которого определяется соотношениями меи:ду тремя главными моментами инерции ротора. В зависимости от втих соотношений полученные асимптотическим методом результаты имеют различную аналитическую форму. Однако в работе .показано, что при непрерывном изменении соотношений Между моментами ^инерции границы областей неустойчивости. вычисленные в Соответствии с найденными выражениями, деформируются непрерывно, т.е. эти выражения "стыкуются" > между собой. Для случая, когда ротор и вал Ьдновременно являются не-осесимметричяыми, даны рекомендации о том, как лучше расположить ; ротор на валу,, чтобы взаимно нейтрализовать влияние втих факторов.

. 'Впервые аналитически решена. задача о влиянии поперечной трещины ил динамическое поведение горизонтального вала при его стационарном вращении. Получены следующие результаты:

— показано, что для не слишком большой трещины интервалы неустойчивости могут содержать лишь угловые скорости, близкие к одному из значений 2и>», к 2и/„/3, где и, — критическая угловая скорость неповрежденного вала; получены явные выражения для границ каждого из эти* грмс интервалов неустойчивости (вти выражения зависят от параметров вала, коэффициента демпфирования и величии, характеризующих рлзмеры трещины);

— показано, что при угловых скоростях вращения и, близких к ц»,*

и и>„/3, амплитудно-частотные характеристики поперечных колебаний впяа существенно изменяются в случал возникновения трещины: при и ни, резко увеличивается амплитуда колебаний с частотойш,

' - ори и sí w0/2 резко увеличивается амплитуда колебаний с частотой 2ai, а при w fts ы„/3 резко увеличивается амплитуда колебаний с частотой 3uj; в явном виде найдены выражения для определения амплитуд и фаз егих колебаний;

— показано, что вышеупомянутые колебания связаны с действием силы тяжести (несмотря на то, что эта сила постоянна как по величине, так и по направлению), т.е.' для вертикально расположенного вала такие колебания невозможны;

— приведен алгоритм практического использования полученных результатов для диагностирования трещины без остановки вращения вала.

6. На примере уравнений, описывающих динамику несимметричных валов и роторов, продемонстрирована эффективность применения метода нескольких масштабов для анализа линейных дифференциальных уравнений и систем уравнений с периодическими коэффициентами, особенно в сложных и недостаточно исследованных другими методами случаях. Показано, что готовыми общими результатами для границ интервалов неустойчивости, приводимыми в литературе по теории уравнений с периодическими коэффициентами, нужно пользоваться с большой осторожностью: если собственные частоты "порождающей" системы уравнений (т.е. системы, в которой опущены члены с периодическими коэффици- • ентами) близки друг к другу, то упомянутые общие результаты могут оказаться неверными. '

6. На основе нескольких известных методов разработан новый численный метод исследования устойчивости тривиального решения системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Преимущество метода состоит в том,, что он не требует каких-либо'итерационных процедур, поэтому количество вычислительных операций заранее изрестно и не зависит от того,'насколько, близка система к границе устойчивости. *■■•,.

Работы, опубликованные bo теме диссертации.'.

1. Шнеерсон Ю.В. Динамическая устойчивость анизотропного гибкого вала в анизотропных упругодемпферных опорах. Вестник ЛГУ, сер.1, вып.2 (N 8). 1991.

2. Шнеерсон Ю.Б. Динамическая устойчивость несимметричного ротора на анизотропном гибком валу в анизотропных упругодемпферных опорах. Вестник СПбГУ, сер.1, вып',2 (N 8). 1992.

3. Shneerson Y.В, Dynamic stability and forc«d vibrations of a horizontal rotor with a cracked shaft. In: Asymptotic Methods in Mechanics, CRM Proceedings and Lecture Notes, Aiwr.Math.Soc., Providence. 1993.