Динамические потенциалы и их приложения к решению внешних начально-краевых задач для двумерного уравнения внутренних гравитационных волн в стратифицированной жидкости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

Л Физический факультет

I

На правах рукописи УДК 517.958:532.5

Корпусов Максим Олегович

ДИНАМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К РЕШЕНИЮ ВНЕШНИХ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ДВУМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ВНУТРЕННИХ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН В СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ.

Специальность 01.01.03- математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 199S

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

Физический факультет

На правах рукописи УДК 517.958:532.5

Корпусов Максим Олегович

ДИНАМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К РЕШЕНИЮ ВНЕШНИХ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ДВУМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ВНУТРЕННИХ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН В СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ.

Специальность 01.01.03- математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1998

Работа выполнена на кафедре математики физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.

Научные руководители; доктор физико-математических наук, профессор А.Г. СВЕШНИКОВ, кандидат физико-математических наук, доцент Ю.Д. ПЛЕТНЕР Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор И.А. ШИШМАРЁВ кандидат физико-математических наук,

И.К. ШИНГАРЁВА Ведущая организация: Институт прикладной математики РАН им. М.В. Келдыша

Защита диссертации состоится « 21 » _1998 г.

8 С° часов на заседании Диссертационного Совета К 053.05.18 при Московском Государственном Университете имени М.В. Ломоносова по адресу:

117234, Москва, Ленинские горы, МГУ, физический факультет, ауд. № С ФА

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан « »_1998 г.

Ученый секретарь Диссертационного Совета К 053.05.18 доктор физико-математических наук

Поляков П А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы Настоящая работа посвящена исследованию начально-краевых задач для уравнения составного типа, описывающего нестационарные двумерные внутренние волны в «небуссинеековых» (т.е. сильно стратифицированных ) жидкостях.

Интерес к проблемам динамики стратифицированных жидкостей обусловлен как практическими потребностями, так и большим теоретическим содержанием возникающих здесь проблем. Конечно, детальное описание волнового процесса в этих жидкостях требует достаточно развитых математических моделей, весьма сложных, нелинейных, многопараметрических, изучение которых эффективно лишь при помощи численных методов. Однако, очень часто первоначальное качественное представление об изучаемом круге явлений можно получить и на основе более простых линейных моделей и аналитических методов исследования.

Это характерно для задач динамики стратифицированных жидкостей. Даже в рамках линейных моделей их математические постановки весьма своеобразны и приводят к нестандартным начально-краевым задачам. Это определяет наряду с нетривиальными физическими следствиями и самостоятельный математический интерес к этим проблемам. Кроме того, изучение задач, разрешимых в явном виде, играет важную роль в исследовании любой математической модели физических явлений. Это обусловлено тем, что эти задачи являются своего рода «эталонами», позволяющими глубже понять суть изучаемой модели, а так же проводить сравнение и опенку эффективности различных асимптотических и приближенных методов, в частности, численных.

Целью данной работы является, во-первых, построение динамического углового потенциала для уравнения двумерных внутренних волн.

Во-вторых, исследование первой и второй начально-краевых задач о возбуждении колебаний при задании различных краевых режимов на двустороннем криволинейном отрезке в стратифицированной жидкости.

Причём исследование второй начально-краевой задачи потребовало сформулировать «естественное» физическое условие, гарантирующее единственность поставленной математической задачи. Поскольку вторая начально-краевая задача ставится для функции тока с краевым условием для касательной производной функции тока на границе, то, исследуя данную начально-краевую задачу, мы одновременно исследуем и первую начально-краевую задачу для потенциальной функции.

В-третьих, обобщение полученных результатов на случай системы непересекающихся криволинейных отрезков в стратифицированной жидкости.

В-четвёртых, исследование асимптотического поведения фундаментального решения оператора двумерных внутренних волн при I —> +со и при |х] —> +оо и доказательство существования «квазифронта».

Состояние вопроса. В настоящее время существует два основных подхода к изучению задач динамики стратифицированных жидкостей: первый из них связан с редукцией на основе потенциальной функции или функции тока (в двумерном случае) основной векторной системы уравнений гидродинамики к одному скалярному уравнению с последующим изучением начально-краевых задач для этого уравнения, второй опирается на непосредственное рассмотрение векторной системы уравнений. Первый подход развит в работах С.А. Габова, А.Г. Свешникова. Второй подход используется в работах В. Н. Масленниковой , Н. Д. Копачевского и их учеников.

Наиболее изученным является случай малых колебаний идеальной несжимаемой стратифицированной жидкости, динамика которой описывается уравнением

где со0 — частота Вейсяля-Брента, а — удвоенная частота вращения жидкости относительно выбранной осн Ох3, ß— параметр стратификации. Это уравнение называется уравнением гравитационно-гироскопических волн.

Уравнение (!) является неклассическим уравнением математической физики и относится к уравнениям составного типа. По-видимому, история строгих исследований уравнений типа (1) восходит к работе СЛ. Соболева, в которой было выведено уравнение малых колебаний в однородной

вращающейся жидкости

■f. ■ •

— А ,U + a2Uxx =0, (2)

получившее в дальнейшем название ((уравнения Соболева». Для него было построено фундаментальное решение и изучена задача Кошм. Исследования начально-краевых задач уравнения (2), начатые Соболевым, были продолжены P.A. Александряном, Т.И. Зеленяком , В Н. Масленниковой и целым рядом других авторов.

В случае невращающейся жидкости (« = 0) и двумерных колебаний, т.е. независящих от одной из пространственных переменных (для определённости от х2, уравнение (1) принимает вид

~[Д г(/-/?и]+а>20(/хл=0 (3)

Уравнение (3) носит название уравнения внутренних г равитационных волн.

Обращаясь к обзору результатов относительно уравнения (3), следует остановится на важном частном случае - уравнении внутренних гравитационных волн в приближении Буссинеска. С физической точки зрения приближение Буссинеска означает предположение о слабой стратификации жидкости. Формально уравнения в приближении буссинеска могут быть получены из уравнений (1), (3), если положит!, величину ß = Q. Случай приближения Буссинеска в определённом смысле можно считать изученным

полностью. Целый ряд авторов как у нас в стране, так и за рубежом рассматривали в своих работах вопросы, связанные с изучением частных случаев уравнений (I), (3) приближения Буссинеска и основных начально-краевых задач для него. Систематическое исследование задач динамики идеальной стратифицированной жидкости в приближении Буссинеска можно найти в монографиях С. А. Габова и А Г. Свешникова. Среди последних работ в этой области следует отметить работы 1!. А. Боровикова, С Т. Симакова, где рассматривается случай переменной частоты Вяйсяля-Брента й)0 = сун(х,).

Одним из наиболее плодотворных методов исследования граничных задач является метод потенциалов. Применение этого метода к изучению уравнений типа Соболева потребовало построения так называемых динамических потенциалов, которые являются аналогами класических объёмного потенциала и потенциалов простого и двойного слоя. Динамические потенциалы для уравнения Соболева были построены и изучены Б. В. Капитоновым и В. В. Сказкой. Теория динамических потенциалов для уравнений гравитационно-гироскопических волн приближения Буссинеска была развита С. А. Габовым и А . Г. Свешниковым. Следует отметить, что С.А. Габовым были построены динамические логарифмический и угловой потенциалы - аналоги соответствующих потенциалов для уравнения Лапласа. Полученные результаты были эффективно использованы для доказательства классической разрешимости начально-краевых задач для уравнений (1), (3) в приближении Буссинеска. Дальнейшее развитие теория динамических потенциалов для уравнения (1) в приближении Буссинеска получила в работах С. А. Габова и Ю. Д. Плсгнера Приложениями теории динамических потенциалов к краевым задачам в многосвязных областях для классических уравнений и некоторых уравнений составного типа посвящены работы П. А. Крутицкого.

Изучению начально-краевых задач для полных уравнений составного типа посвящены работы Ю. Д. Пяетнера, где было построено фундаментальное решение для общего уравнения «псевдоэллиптического» типа:

^P^D^D^D + cQiDM^» 3 W

¡.M

здесь x e R", / e R1, alf —действительные постоянные, с — произвольная комплексная постоянная, l'j(Dt), 0(Dt) -дифференциальные полиномы с постоянными коэффициентами, причём rv{t) = tl + liliZ),Q(i) = i' + Q(i)Jz N, а произвольные полиномы степени меньшей / Кроме того, исходя из связанной с двумерными уравнениями составного типа в приближении Буссинеска системы, аналогичной системе Коши-Римана, построен новый класс обобщенных аналитических функций. Также были построены динамические потенциалы для трёхмерных и двумерных уравнений составного типа, возникающих в гидродинамике и плазмодинаМике. Отметим также работы А. Г. Свешникова, X. Аллахвердиева, А. В. Красножон, посвященные начально-краевым задачам для полных уравнений составного типа. Среди зарубежных исследований отметим работу Appleby J. С., Grighton D. G.

Практическая ценность. Полученные результаты представляют как прикладной, так и математический интерес Они могут быть применены для решения задач геофизики, связанных с изучением движений идеальной несжимаемой стратифицированной жидкости.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинаре кафедры математики физического факультета МГУ, на научном семинаре под руководством доктора физико-математических наук профессора И. А. Шишмарёва, на международной конференции «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования», 23-27 марта 1998 г., Москва.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-3].

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и четырёх глав, содержит 97 страниц текста. Список цитируемой литературы включает 64 работы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении выделен круг вопросов, определённый темой диссертации, дан обзор литературы, связанной с изучением движений вращающихся и стратифицированных жидкостей. Кратко излагается постановка решаемых задач и формулируются полученные результаты их исследования.

Глава первая посвящена постановке начально-краевых задач о возбуждении внутренних волн при задании краевого режима на системе непересекающихся отрезков в стратифицированной жидкости и доказательству единственности решений поставленных задач. Глава состоит из четырёх параграфов. В §1.1 даётся краткий вывод постановки второй начально-краевой задачи для системы уравнений

¿У <?р

' = и,

(5)

д11дхъ дгдхх

Ро(*з)

-+ <у„

д^дх, 0 дх]

*Р =0,

д1дхг

где у/{х,1) —функция тока, р{х,1) —динамическое давление в жидкости В §1.2 вводятся используемые в дальнейшем классы функций:

С<2,[[0,+«>); С(,"Л)(Г)] = О еСС2)[[0,+«5);С^>(П], 0) = <р,Ш = о), С,,,-'[(0,+а));С,"")(Г)]= еС(2)[[0,+да);С1О-">(Г)],^(5,0) = = о),

где через Г —обозначена совокупность непересекающихся криволинейных

N

отрезков Г = , естественным образом параметризованная, т.е. в качестве выступает длина дуги

х • г„ = {(*|.*з) еЛ2:*, = .т,и),.х2 = е.[а„,Ь„]),п =

Кроме того, определяется класс гладкости Л .

Функция Ц) = X),/) удовлетворяет условиям гладкости Л, если

Функции \//(хх,х3,1), и

^к = 0,2; / = 1,3;/ = 1,3^ непрерывны по (лГрД'з,/) в каждой замкнутой

области х [0, Г] (/? > е(0,£'Д 7'> 0), где О/,- область, полученная удалением из круга Л'(0. М) радиуса /? с центром в точке х = 0 котурл Г ч 27*/ кругов Л7/, радиусов £ с центрами в концевых точках отрезков Гя.

Далее, исходя из естественного с физической точки зрения требования однозначности динамического давления р(х^) при л еИ2 \Г, из системы уравнений (5) получены дополнительные условия на функцию тока Ц/(х.{):

где 1Ч„ з О? —+ о)1 соэСп^ё,) —, ра{х3) = Аехр{-2Дх,}, дпх дхх

Л > 0, Р > 0, пг — нормаль в точке х = х(5) € Гп, ёх~ орт оси О.х,. Исключая давление р(х,1) из системы уравнений (5), получаем уравнение двумерных внутренних гравитационных волн в дивергентном виде

о;

с.у, а:г, ) ох3 ^ ох,

2 д ( ду

+ | = () (7)

Причем справедлива следуюшая

Теорема 1 Для функций ц/ = ц/(хх,хг,1) и /; = /;( л,..V,, С). удовлетворяющих условиям гладкости А, система уравнений (5) в (А' + I) - связной области И2 \ I" эквивалентна следующим условиям (6)-(7)

В конце формулируется математическая постановка второй начально-краевой задачи для функции тока:

Задача Ид;. Найти при />0 в области И2 \ Г непрерывную функцию

Ц/ = , ■ удовлетворяющую граничным условиям

=3 е ^ ^=^ - (8)

(функции (.4,I) однозначно определяются заданием нормальной компоненты скорости в жидкости) и определить С-^ (/) (п — 1, Л') так, чтобы функция у/ — ^/(.х,, 0 удовлетворяла при 1>0 в классическом

смысле уравнению (7) в области Я2 \ Г, нулевым начальным условиям , условиям регулярности на бесконечности и в окрестности концевых точек криволинейных отрезков Гп , п — 1, N причём таким образом, чтобы были выполнены условия (б).

В §1.3 приведена эквивалентная формулировка второй начально-краевой задачи для потенциальной функции:

Задача Пд.. Найти непрерывную в области Я2 \ Г функцию Ф(л(, ,/), удовлетворяющую в классическом смысле уравнению (8), второму краевому условию на границе Г

ЯаФ|г± = /± (9)

нулевым начальным условиям , кроме того, условиям регулярности в окрестности концевых точек криволинейных отрезков Гя , п = 1, N . а также условиям регулярности при |х| —> +со.

В §1.3 доказана теорема единственност и решений задач и Пл,:

Теорема 2. Решение задач Од, и Пу единственно а классе фун/а/ий, удовлетворяющих условиям гладкости А, при дополнительном условии для задачи 1>л, С„+(0 =С„(/). и= КЛ/.

Причем доказательство теоремы единственности для задачи существенно опирается на условия (6).

Во-второй главе изучается классическая разрешимость задач О, и П,-начально-краевых задач о возбуждении внутренних волн при задании распределения нормальной компоненты скорости на одном криволинейном отрезке в стратифицированной жидкости.

С этой целью в §2.1 строится угловой динамический потенциал для двумерного уравнения внутренних гравитационных волн (7):

I I /

Г[у](х, () = ехр{/?х3}(/с1$<р(х, /) - Л с/$с1ту(.<;, (-г)х

X [¿^(0)5111(^(0)) +

о

//I - г)/ с/о- дср[^ а) у(о-), г)),

да

(10)

где

?(х,у(а),1) = £- [ фе

х[р|х-у(<г)|

X (<Р)

р1 +Х2(<р)

р2 + хЧ<р)х

р- + (01

К,

0\х-у(а)\\

р2+хг(<р) р2 + (ОI ;

I'р(х,я) - ядро гармонического углового потенциала, причем /

= V/ > 0.

(П)

00

о

о

о

Динамический угловой потенциал (10) строился исходя из динамического потенциала ('[^(х,/), являющегося аналогом логарифмического потенциала для уравнения Лапласа и имеющего в нашем случае вид

У[м\(х,1) = ехр{ \ Ж//(Л,01п(/% - *(*)|) +

'' 1

¡¡Жс/гр^,/- г)-|соз(й>0г) - С05(х(<р)г)] -

о о Г

(12)

00

а+пс

= £ \ Лре"

1 V р +О>0

+ 1п

р2+хЧт

рг+а>1

Для динамических потенциалов (10) и (12) доказываются ряд свойств, вытекающих из их структуры.

В § 2.2 с помощью введённых в §2.1 динамических потенциалов (10) и (12) начально-краевая задача сводится к задаче для интегрального уравнения:

Задача Р,. Найти в классе С(02)^[0,+со); С^1[0, решение

интегрального уравнения

К[/У](5,/) = ^(5,/) + С0(0 (13)

с правой частью Р(х,I) в Сд2)|[0,+оо); С1,0"'1'[0, и определить функцию

С0(!) еС},~'|0,+со) так, чтобы было выполнено следующее дополнительное условие:

I I I

[<аЬ//(5./)ехр{-/?х3(у)} = -Р[с1зх[(5)ыу{-Рхг{8)}[с{ау<,а,1) (14) 1> о о

где Ксг,/) = - а)^{о)00*)4-[^(от, 0 " е~Рх>(а) Р (^')],

ОСУ1 1

о

= \ «ж;, ф,/) бС^([0,оо);С(ОЛ,|0,/|). мри л<л.

.¿4

(I ь

В §2.3 рассматривается вспомогательное интегральное уравнение:

^ф,/)еС12>([0,сю);С(и'[0,/]) (15)

которое выписывается в эквивалентном виде

Ц/>](5,0 + в[//](5,о + сс/>К-у./) + = К*,/), (16)

&*,<) = ехр{-/?х,(5))я($,0 , еС(02)([0,«);С(1-Я)[0,П),

где символами Ь, В. С, Е обозначены следующие интегральные операторы:

I

о

I

В(а,сг) = -1п 1)3

СЦи\{з.1) = ]С,{з.а)11{ст,1)с1сг, 1

»

<х) а К0(Дт(л) - у(а)|) + 1п(Дф) -Мет»), / /

Е|/}](.у./) = | ]" /;(л.гг./ - г)/}(сг,г)с/сг</г,

и-IX

К,

рг + хг(<р)

V р2 +- «о2

!Л

Далее доказываются ряд вспомогательных утверждений относительно свойств интегральных операторов L,B,G,E. В конце §2.3 с учётом полученных результатов доказывается теорема

Теорема 3. Для любой функции g(s, í) еС<,2)([0,Г];С<и>(О) уравнение (16) имеет единственное решение /x£l(s,f) eCto2>|[0,T};C(,"',') j . при h с? (О, miп{0.5, Л }|.

Кроме того, для одного важного для дальнейшего случая, когда g(M) = g,(s)g0(í), где gl(5)eC(M)[0,/l, g0(/) eCjftO.oo), доказано, что решение интегрального уравнения (16) имеет вид

/ia(s,t) ^ (a(s)nQ(s,t)*)s„(0, (17)

a(s)= (i f ^'(B +¡G)j:,L"lfe ](*)•"

V .. .. / (18)

где Ü(s,i) eC(0)([0,<x));C^A)[0,/]), /г е(0,тю{03,Л}].

В §2.4 доказывается разрешимость задачи Р,. При этом используется представление (17) для решения интегрального уравнения (16). Причём если g(s, I) = /0 (/ ) схр {-Дг3 (.у)} cCf(|0,iffi); СЫ>(П) справедлива

следующая лемма:

: : i '

Лемма 1 Л/0 = |"б/сга((т)ехр{-Дгз(о-)} ^ 0, (19)

о

где a(s)-определена формулой (17).

Далее вводятся некоторые обозначения: /

Н(/) = JüföQ(ö-,/)exp{-y®f,(cr)}. (20)

■О

M,,(t) = jdap, (er,/)exp{-ßx3(er», (21)

о

/ CT

Л/ДО = /?Jc/o-.x;(ö-)exp{->ac3(cr)}{cfcv(s,i)- (22)

о 0

где функция fi(cr,/) определена в (18), K-M) определена формулой (14), функция //,.(сх,/) — решение уравнения (15) с правой частью равной функции F(s,t) из правой части уравнения (13). Решение задачи Р( ищется в виде

/i(s,t) = /jj..(s,t) +

+ [(//„(.v)I + Q(s,l) *Хмо] + Е(0 *у\мЛ0 - МАО]

где использованы введённые в формулах (20)-(22) обозначения.

Далее показывается, что (23) удовлетворяет всем условиям задачи Р(, причём

C„(0 = go(0 = (M0I + S(0*)"1(^(0-M,.(0), (24)

где М0,Е(0, Mv[t), MF(t) определены в (20)-(23).

Суммируя все результаты, формулируется следующая теорема Теорема 4 . Решение задачи D, существует и единственно для любых

граничных функций Ft (s,t) е С',2)([0,+°о); C(U!fO,/]), h e (0, min {0.5, Л}).

удовлетворяющих условиям согласования:

F,(0,t) = F.{0,O-fr,{sJ) = F.(s.t). (25)

В §2.5 доказывается разрешимость задачи Г^ (см § 1.3 ). Решение задачи П, ищется в следующем виде

Ф(х,/) = V\M](x,l)+T[v]{x,t), (26)

ф,/) eC<2,([0,«);C((IA)|0,/]), )dsv(s,t) = О,

о

где динамические потенциалы V[fJ.\(x,t) и 7[у](л',/ ) определены формулами (126) и (12а) соответственно. Дальше исследование проводится аналогично исследованию задачи D,. Причём справедлива следующая теорема:

Теорема 5 . Решение задачи П, существует и единственно для любых граничных: функций f±{s,t) е С<21 ([0,+оо);Cw'f[0,/]) , А б(0,min{0.5,Л}),

ГеЯ.. . .

В главе 3 результаты полученные для задачи Dj в гл. 2, обобщаются на случай N непересекающихся отрезков, что приводит к задаче DN.

Так в §3.1 на основе динамических потенциалов V{/ü\(s,t) и 7Xv](i,0' введённых во второй главе, исходная начально-краевая задача Dw сводится к интегральному уравнению с N дополнительными условиями на криволинейных отрезках Гп , п = 1, N .

В §3.2 на основе « А' - мерног о» аналога леммы 1 доказывается теорема.

Теорема 6. Решение задачи I) jY существует и единственно для любых граничных функций Fl (s.i) е С"|[0,+оо); С(,Я>(П] при дополнительных условиях согласования Ft(a„,i)= F(a„,0.F(M)= F.(b„,tln=lN, причём

ММ) еС(о2Ч[0,+«);С^'ЧПe(0,mm{X, А}).

В четвёртой главе получено интегральное представление фундаментального решения оператора двумерных инутренних гравитационных волн, на основе которого исследуется асимптотическое поведение фудаментального решения при больших временах.

В § 4.1. получено Фурье-представлсние для фундаментального решения оператора двумерных внутренних гравитационных волн:

Е(х,0 = --- Кв(]д))}</гЛ„(г)1 <1иСХ?^'ХХ' х

2тг

2 л-:

V-!

V/*

(27)

где

Выражение (27) для Е(х,1) для удобства можно представить в виде:

Е(х, 0 = Е0 (х, () + Е, (х, 0 + Е,(х. Г) + Е, (х, 0+Е4(х,1)+ Е5(х, 0, (28)

¿71

ЫйЭМ ^р2 + 1 ,

¿я •.'•;»/) .¿¿г + I '

Е4(Х./) =

2 л 0(0

\)1.гэш\ ^¡р" + 1 II

Ли

ехр{//4л-|}

2-7- + 1

-1

¿К +1 I

1. у£уе[Л,Ца)-Л.],Г->.+оо;

ы

2. / = — е[Е(а) + Я,+оо),|д:(—+оо,

где функция 3(х,1) = |д-|Л/А'+3, <р2к(У) —сумма 2М первых слагаемых в разложении функции Кесселя нулевого порядка .1 (;(>') при больших значениях аргумента, /V € N .

\х I

В §4.2 в предположениях Ы>£>0 и а(х) г е [¿>, I - ¿>]

1*1

рассматривается асимптотическое поведение каждого из слагаемых выражения (36). При этом оказывается необходимым рассмотреть два случая

и

м (

где Л > О, Да) г , 0 < Е(а) < 1, еШ -¿1, 5> 0.

VI + За2(х)

В конце § 4.2 анализируются полученные асимптотические формулы. При этом показывается наличие двумерного «квазифронта», распространяющегося

т/

со скоростью л(а) 2 —=====.

VI+ 3 а\х)

Сказанное завершает изложение содержания работы.

Резюмируем кратко новые научные результаты, полученные в настоящей

работе.

1. Получено интегральное условие, имеющее физический смысл однозначности динамического давления в жидкости и являющееся достаточным условием единственности классического решения начально-краевой задачи с касательной производной для полного уравнения двумерных внутренних волн вне разрезов на плоскости

2 Построен угловой динамическим потенциал для уравнения двумерных внутренних гравитационных волн. С помощью динамических потенциалов построено решение задачи о возбуждении внутренних волн вне системы двусторонних криволинейных отрезков в стратифицированной жидкости в том случае, когда на криволинейных отрезках задано изменение нормальной компоненты скорости.

3 Исследована асимптотика фундаментального решения оператора двумерных внутренних волн при больших временах. Показано, что в несжимаемой стратифицированной жидкости нестационарные двумерные волны от точечного источника обладают гравитационным фронтом, имеющим вид квазифронта.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах

1. Корпусов М.О., Плетнер Ю.Д., Свешников А.Г. О разрешимости одной начально-краевой задачи для уравнения внутренних волн// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1997. Т. 37, N5, С. 617-620

2. Корпусов М.О., Плетнер Ю.Д., Свешников А.Г. К задаче о колебаниях двустороннего отрезка в стратифицированной жидкости// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1997. Т. 37, N8, С. 968-974

3 Корпусов М.О, Плетнер Ю.Д., Свешников А.Г. Нестационарные волны в стратифицированной жидкости, возбуждаемые изменением нормальной компоненты скорости на криволинейном отрезке// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1997. Т. 37, N9, С. 11 12-1 (21

Подписано в печать 24.03.98 г. усл. печ-х лист. 1.25 тир. 100 экз отпечатано в фото множительной мастерской Геологического ф-та МГУ. Заказ № 31