Начальные краевые задачи для уравнений движения жидкости Джеффри-Олдройта, их модификаций и е-аппроксимаций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

РГ6 * од

На правах рукописи

}ЦГ /9У/. УДК 517.946

ЕМЕЛЬЯНОВА Диана Владимировна

Начальные краевые задачи для уравиеяий движения жидкости Джеффри-Олдройта, их Модификаций й е-аппроксимаций

01.01.02,- дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ • « » *

диссертации на соискание ученой степени *

кандидата физико-м&тематических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1994

Рабоха выполнена в Санкт-Петербургском морском техническом Университете. 1

Научный руководитель - доктор физико-магематическцж

профессор А. Д. ОСКОЛКОВ .

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Н. Г. КУЗНЕЦОВ

кандидат физдао-математическйх наук К. П. ИВАНОВ

Ведущая организация:

НИИ математики и механики им. Чеботарева при Казанском государственном университете

Защита состоится и.М. 1994 г. в ..(..(.. час.на заседа-

нии специализированного совета К 063.57.49 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Санкт-Петербургском государственном Университете по адресу 198904, Петродворец, Библиотечная пл., 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. М. Горького СПГУ (Университетская набережная д.7/9) ,

Автореферат разослан и.Ш4 г. •

Ученый секретарь .

специализированного совета . ' .

кандидат физ.-матем.наук, доцент А. И. Шепелявый

ОБШЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Хорошо известно, что начально-краевые задачи для уравнений Навье-Стскса на протяжении многих лет изучались многими выдающимися математиками и механиками. Наиболее полные и законченные математически строгие результаты по гидродинамике вязкой несжимаемой жидкости получены п работах О. А. ЛадыжепсиоН, С середины 50-х годов, когда Г. Джеффри и Д. Олдройтом были предложены новые реологиче-аъзв ЪЬбтиЫЬсшп, Абобщагощие реологические соотношения Ныо-й'она,' Оозпйка^'^еоС^бдплюсть'полученил таких нее результатов и для уравнений 'дтЬкишл1 жидкостей Джеффри-Олдройта.

Изучение различйый' Начально-краевых задач (п работе исследуется задача прилипания и проскалызьшаиил), а именно, иссле^ дованне разрешимости и устойчивости решений, является весьма' актуальным, отвечает потребностям приложений, и позволяет построить строгие математические модели длл течений жидкости Джеффри-Олдройта, а та га', с оСоспопынает позмоисность применения численных методоп решения отих задач.

Нель работы исследовать разрешимость в целом на полуоси лвумериых начально-красных задач длл уравнений движения жид костей Джеффри-Олдройта, их дгоднфшеащш и е- аппроксимаций, а также, модификаций и е-агшроксимаций трехмерных задач.

Провести изучение устойчивости решений этих задач при . £ —» со.

Метод исследовании. -В работе используются функциональные методы- математической физики, и гидродинамики, предложенные О. А. Ладыженской. '

4 Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Разрешимость и целом двумерной начально-краевой задачи с проскальзыванием для уравнений движения жидкости Джеффрн-Олдройта.

2. Разрешимость и целом трехмерных начально-краевых задач для регулярмзованйых в смысле О. А, Ладыженской уравнений движения жидкости Джеффри-Олдройга.

3. Разрешимость п целом двумерных возмущенных начально-краевых задач для уравнений движения жидкости Джеффри-, Олдройта. •

4. Разрешимость в целом трехмерных возмущенных задач для регулйри'зованных-и смысле О. А. Ладыженской уравнений ДжеффрИтОлдроКтл. .

5. Исследована устойчивость решений начально-краевых задач для уравнений движения жидкостей Джеффри-Олдройта и их регуляризация в смысле О. А. Ладыженской при i—* оо.

Перечисленные результаты являются новыми.

Практическая ценность. Результаты диссертации могут быть использованы в гидродинамике вязких несжимаемых неныогопов-ских жидкостей.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на 6-ом Всесоюзном семинаре по нелинейным задачам математической физики (Ленинград, ЛОМИ им. В. А. Стеклова, в 1989 г.), на заседаниях Сибирского математического Общества, посвященных 80-летию акад.М. А. Лаврентьева (Новосибирск, институт математики СО АН СССР, 1990 г.) и на ежегодных научно-технических конференциях С.-Петербургского Морского Технического Университета в 1987-1993 г.г.

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в "роботах [1-5]

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит ш вве-• дения и пяти глав и содержит 92 страницы машинописного текста. Список литературы включает 84 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении описаны основные задачи н результаты работы, показана актуальность темы и преведен краткий обзор литературы по данной теме.

В главе 1 приводятся необходимые для изложения основно. га материала сведения из теории функциональных пространств С. Л. Соболева и их соленоидальных подпространств, основные неравенства для операторов Лапласа и Стокса и некоторые формулы Грина, связанные со следующими условиями проскальзывания: .

Vrjlen = 0, TotV]an = 0,

где V„ ss V • о - нормальная компонента скорости на границе Où, ПСД3, *

и V„|en = о, (rot V X п)|ап = =-(iot V х п)тЬл. ~ о, teíi+

где (roll' х я)г - кисатсльнни компонента иекюра (rot V х л), для ÜC/f3.

Mîjjaraercft теория разрешимости в целом на полуоси R* мачально-краееи* задач с условием прилмпани»? и с услови-

ем проскальзывания па гладкой границе Ш 6 С2 для двумерных уравнений движения жидкостей Джеффри-Олдройта при различных предположениях о свободном члене /.

Основные результаты главы содержатся в двух теоремах. . Введем пространства соленоидалыгых функций:

J(Í2) ~ {V е £2(П): div V = 0, V„|an = 0} о,

. J^Ü) ~{Ve Я'(П) : div V = 0}.

J2(íi) = /?2(Г2) П Jj(Í2). для задачи прилипания , а

-J'(fl) = {7€/7¿(I2):divV = 0},

Jl{ü) = {V € Н2(Й) П J¿(fl), (rot V X n)}an =0} С

для задачи проскальзывания, где Я* - векторное пространство Соболева функций из £2(f2), такое, что Vn — V • n¡,?n = 0

Теорема 2.1. Иустъ выполнена условия:

о с я2,.аа е с\ ад .6 3» о« /*(£!);/,/« eMQ^).

Тогда обе пачалто-крссоие задачи (с npu.tunvitvc.it и проскальзыванием) имеют единственное решение (У,р), обладающее следующими саойстоами

, 'Vx,Vc„Vxc<=L2(Qooy, Vp€£2(Qco).

Для Доказательства этой теоремы необходимо получить следующую априорную оценку:

• Г*; + ||v„ vit, vxr\)lQ„ + |¡vpHi(Qt. <

• ^ • (i)

сслн же свободный член берется из другого пространства, а именно: /, /« 6 5а(Я+, ¿2(0)), где Si{R+, Lz(Sl)) - банахово пространство, представляющее собою яодцрас^рансгпо Ь210с(Я+> L'¿((1)), для элементов которого конечна норма

тогда справедлива. *

Теорема 2.2. Пусть выполнены условия

П С R\ 8Q е С2, V0{x) е /(Q) ил« /¿(Î2);

Тогда по-прежнему 14, К, G С'(Л+;12(0)), а V*,, Vp Ç SslR* Ls(ù)). И доказывается априорная оценка

Априорные оценки (1), (2) получаются из следующих уравнений, справедливых при Vi е Л+ ;

(LbV) = (/,n <«1,3 (l3,rotaV) = (/,rol3V)1

где

<9V

( К, I/, p) s + И - -p&U + Vp = /„

«

. , div V = 0, ~~ -I- aJ7 к К, U = j e-a^-rWdT (3)

о

£2(V,0)- спроектированная на подпространство соленоидалышя функций ота ;::е система ypauiiemiib '

ы\\и) 2 ~ + p(VkVtk)- -p'ùU » /,'

div V = 0, -~*aU=V, (4)

fi t .

f 3 P» -оператор opvoi опального проектирования Lî{Û) ЛЬ

о

J(fi). И, в случае задачи с проскальзыванием, ДУ = graddiv V — ïOt2C/ !î '

ли

La(V, U, ^ + Krot3i/ -!- Vp S t.

divV-O, ^ + ^ = I/

В главе 3 показывается,- что результаты в целом на полуоси Я+ начально-краевых задач с условием прилипания и условием проскальзывания на гладкой грашще 9Q справедливы для трехмерных модифицированных в смысле О. А. Ладыженской уравнений движения жидкостей Джеффри-Олдройта.

Если в системах (3), (4), (5) в качестве вязкости и взять некоторую нелинейную вязкость:

i^a + nllKlli.n (б)

то можно получить результаты, аштлогичные полученным в теоремах 2.1 и 2.2, но уже п трехмерном случае, Q С Ä3. Доказываются оценки аналогичные (I) и (2), но с правыми частями, зависящими от новых постоянных

,1/4.

С3.г s СЫ^^ь'^.аМ&г H/./i|l5,(Äf.ia(n), (2') вти оценки получаются из уравнений

(Lt,V) = (f,V), «=4,0 &*•£)«{*■£)■.' <-<■•

(L5,ÄV) = (f,ÄV)

(le,rot2V) = (f,tot2V), * * ■ ' . ' ^ где ¿4, Lz,Lq - системы уравнений (3), (4), (5) с вязкостью и из (6). '' •

В главе 4 излагается теория разрешимости в целом на полуоси Я+ начально-краевых задач с условием проскальзывания на гладкой грашще 3Q £ С2 для сведенных е-аппроксиманией Темама-Ладыженской для двумерных уравнений движения жидкостей Джеффри-Олдройта:

w ,U')= - +

div Vе - ßAU■ - - graddiv Vе = /; -<7)

2 £

-vAV'+VtV^ + il^div Vе- ;

v d\Vc

-ßAU' - - grad div Wc = f. - = Vе, ■('• ;

jf, « ^

L9(Vs, Vе, W') = ~ - -I- V? V^ + div

—/7ÄC/e - ~ grad div Г/£ = f, + yW = У£, (9)

которые получаются из системы (3) и с од;ш.*л из следующих уравнений соответственно

ер* -f v div V = 0, £>0

epf 4t/div V" =0, f > 0-

e£pi Ve=zQ, c,f>0.

И показывается, что при е —♦ 0 и У0г — Уо в J^(fl) решешш этих возмущенных задач сходятся к изученному d главе 2 решению (V, р) начально-краевой задачи с проскальзыванием для уравнении движения жидкостей Джефф ри-Олдройта. Основные результаты глаоы содержатся в трех теоремах:

Теорема 4.1. Пусть выполнены условия

Ü С я2, dil е с2, v0<(x) е Jf2,(Q) « rag,^,

Vff>0, /,/t6L2(Qco). (10)

Тогда начально-краевая задача с проскальзыванием для системы (7) имеет единственное решение Vе, такое, что »

И5, € С(/г+; Х3(П)), уд е Шоо), (11)

н справедлива оценка:

№, vt\\c(Ii*Mm + \\v?x, v^ül,^ + ¿и div

^А.-ДСг^-1^-1^-1,«,!!/,/.!!?.^) * (12)

Если 'с —» Ö is Vq(x) сходится к Ц>(х) G J^(il) слабо в то

справедливы предельные Переходи:

> Vis

со;,

• Vi.Y!-VatVt и Г(Д+;£а(0))

div —» 0 D n/f+;/.a(0))

- i div V"= - rf ar.tj ß Li<Ft+:Hl(P.)). где(Кр) решенм« со свойствами теоремы 2.1,

Теорема 4.2. говорит о том, что если выполнены условия (10), то тогда пачалмю-яраеоая задача с проскальзыванием для с пет ел tu (8) имеет такзке единственное решение Vе из класса (11).

Априорная оценка для доказательства этой теоремы имеет несколько отлнчный от (12) вид, а предельные переходы, кроме последнего (d этой теореме üiv W — p(x,t) в J/1(f2)), аналогичны (13).

Следующая теорема доказывается в условиях (10), только гш> бодный член предполагается из другого класса, а именно /,/< £ S2(R+]L2(&)). В этих предположениях теорема 4..'? говорит о том, что начально-краевая задача с проскальзыванием имеет единственное решение Vе со следующими свойствами:

V',Vte еС(Н+;Ь2(П)У, v;t,v;Tes2(R4';Hn)),

и если г 0 и Vq сходится к Vo(r) € Jnfä) слабо n то

справедливы предельные переходы

F/«^- VfUV„ в 32(Як,Нй)) div IVе — p(xj) d S2(R+\ Li(il)),

где (V,p) из теоремы 2.2,

В главе 5 показывается, что результаты главы 4 справедливы для начально-краевой задачи с условием проскальзывания на гладкой границе дй для введенных е-аппроксимаций Темама-Ладыженской для трехмерных регуляризации в смысле О. А. Ладыженской уравнений движения Джсффри-Олдройта.

Основные результаты содержатся в трех теоремах, аналогнч-; ??ых т.4,1т4.3, вязкость берется, как и в главе 3 в виде (ß), fi С Я3, з свободные члены предполагаются из классов LziQc») iiSj(/i+;£2(fl)).

В главе (i строится теория устойчивости при t — с» решений начнлыю-краевых задач с условием прилипания it условием гфоскальзинаник дли ураикеиий дшшеяия жидкостей Джеффри-Олдройта и показано, чю на ус?ЫЫноо<ты эти »ада\< н аналогичных задач для регуляризооаним* в смысле О. А» Ладыженской уравнений движение жидкостей Джеффри -Оддройта, йгз^слоет устойчивых е целом на люб ом конечном яитерза^е времени [0, Г] не влияют возмущения бесконечно ма/iott структуры, т.«. устойчивость во всех этил Задача*, пан И ft аналогичных задача* ДЛЯ Уравнений Нэоьь-Стокса, определяется устойчивостью низших мод. ,

Как известно, решение (V, Щ начально-краевой задачи с условием прилипания, или проскальзывания называется экспоненциально устойчивым в пространстве ¿2(П), если существуют числа 6, и;, А > 0 такие, что для каждого возмушешш (1У, 5) решения (V, и), удовлетворяющего возмущенному уравнению

~ - -V- ШкIЧ- УъУГШы - Р&Б + = 0, У7 - О,

^ + (14)

или, соответстпенно, возмущенному уравнению лгу

— + 1/Г012 ^ + И^ь И^ + У^Кх, + /Зго^й + V? = О,

СКУ РГ = 0, ^ + <„, (15)

начальным условиям

(ИЧ<«,),ЗД)) е Ь2(П), < 6, (16)

и краевым условиям с прилипанием, или с проскальзыванием соответственно, справедлива оценка:

над, з а\щт1+/»шои5)|/а с

или, соответствешю, оценка

цич<), ¿.(011а + ЛИ

(18)

Как и для уравнений Навье-Стокса, для уравнений движения жидкостей ДжеффригОлдройта справделив следующий принцимп линеаризации (первый метод Ляпунова):

Теорема 6.1. Решение (У,11) начально-краевой с прилипанием для системы (3) и чачалъно-краееой задачи с проскальзыванием для системы (5) из классов (1) или (2) соответственно в области П С Я2 с границей ЙП 6 С2 экспоненциально устойчиво о £г(П) при < —► оо тогда и только тогда,-когда существуют числа и>,Л > 0 такие, что любое решение (IV", 5) линеаризованного возмущенного уравнения

Ш - - - дУ

-г^ - /?ДЯ -)• V,/. =-- О,

«ЦуЙ^О, IV (19)

или, соответственно, уравнения ... г

~ + vroñV + + WbV„, •{- /7rot35 + V| = О,

í/t

<liv }V = O, ~ + aS~V/, (20)

>

на люоом интервале [ío»co) « яр» любом (iPb.So») = (IF, &)|t~t0 € удовлетворяет неравенству

11^(0.5.(011%^^.ll^o.áS.llae-^-'^, Vf„ G Л+. (21)

Б диссертации teopejr.1 6Л докпзы!;.veicn с помощью подхода, разработашюго длд уравнений Навье-Стокса ,П:ч. Хейвудол и Р. Р.ишахером н основанного на найденном тли ."пгр:?:.пальнем обобщении скспсненцпальцоП устойчивости решений павшей начально-краевой задачи для уравнений Новье-Схокса, Koiqp.'o'e оказывается справедливым и для уравнений движений í^vt.íoctíí! Дпхффри-Оядройта. Именно, справедлива

Теорема 0.2. Решение (V,U), указанный о т.0.1 оадач а области П С R2 с границей DQ £ С" гхсчоиенциалшо устойчиво тогда а только тогда, когда существуют час ja 5,7 > 0 глаг.ис, что sanado е аохиущеине (IV,S) рег;'спи:г (V, U), удоолшаоряющее наналь-пому услоот» (36), удовлетворяет неравенству

|¡r/(í0 -I-Т); St(h •!• Т)||з < ||IV({0); S,(íb)||j, Ví„ <3 Л+. (22)

Действительно, (22) следует из оценки (17) при У = ta"11п(2Л).

Из теоремы G.1, как и о случае уравнений Ншзье-Стоксан уравнений магнитной гидродинамики, вытекают следующие результаты об окспонёшлиальшй устойчивости о ¿з(П) стационарного и периодического по t 6 /í+ с периодом Т решений (У,У) систем (3) и (5) уравнений движении жидкостей Джеффрц-Олдройта, удовлетворяющих краевым условиям (23) и (24)

1) условие прилипания

f|«i = = 0,t€ « С Яа, П С Я3 (23)

2) условиелроскальзивания

= 0, №tV|эл ~0,teR+,ÜC Я1

(24)

Теорема 6.3. Стационарное решение задачи {$), (23) « задачи о

(5), (24) из класса J'(&) или класса }) экспоненциально устойчиво в при t —♦ оо тогда и только тогда, когда спектр {A¿} стационарной линеаризованной спектральной задачи

-^AU-^Vtl/Si^UkVXh + Vq = XU, divX/ = 0, i/* = i/(25)

плюс краевое условие (23) или (24) лежит о лез ой полуплоскости: ReAi < О, А-= 1,2,...

Теорема 6.4. Периодическое по t € R* с периодом Т решение V(X,t) системп (3) иди (5), удовлетворяющее краевому условию (23) или (24), из класса (1) или класса (2), с периодическим по t с периодом Т свсбодним членом f(z,1) : J,ft CE L¡(R+;£.г(0)), «ли í¡ít 6 52(Л+;Хз(й)) экспоненциально устойчиво е Lj(Ü) тогда и только тогда, когда спектр {А*} оператора монодромии линеаризованного вохиущенного уравнения (19) или (20) при краевом условии

(23) или (24) лежит внутри единичного круга: |А*| ^ 1, fc = 1,2,....

Как и для уравнений Иавье-Стокса, поведение решений возмущенных уравнений (14), (15) при краевых условиях (23) и (24) соответственно, при t <-*■ со полностью определяется поведением их ортопроекциёй P//(W,S) на подпространство epan(oi,... ,ам), натянутое на первое N собствешшх функций спектральной задачи для оператора. Стокса

—ДФ + V? = АФ, diví' = О ' (26)

с краевым условием (23) или (24), с числом N, удовлетворяющим (27). ч

А именно, справедлива

Теорема 6.5. Пусть Й С Я2, (V, U) - решение задач (3), (23) или (5),

(24) с начальными условиями

n=o = Vb(*), tf|t=o = 0, я-€П из класса (1) или ((В), .

м и N уд о.п лет но-ряст

A/V-и > p,(f_1)M2. • " - (27)

Тогда для решения (W, S) возмущенного ураёиенп 11}' или (15) спра-

ведльоа оценка:

< в"* {0^(0)111 + С^ЪМ' ■ 8ир||^1У|||}4-

11*1

В завершение доказывается Теорема 6.0 аналогичная теореме 6.5 для трехмерного случая, П С Л3 для регуляризовашшх в смысле О. А. Ладыженской уравнений двгокешш жидкости Джефф ри-Олдройта.

основное содержание диссертации отражено в'пувликациях:

1. Емельянова Д. В., Осколков А. П. О разрешимости основной начально-краевой задачи для уравнения движения жидкости Ол-

дройта порядка Ь = 1,2,____— Тр. Лениягр. Кораблестр. 1Ш-та

(1987), 85-90.

' 2. Емельянова Л. В. Исследование устойчивости решений уравнений движения жидкости Олдройта. — Тр. Леяикгр. Кораблестр. ин-та (1990), 34-38.

3. Емальяиова Д. В. Началио-краесая задача с проскальзыванием для уравнений движения жидкостей Дясеффри-Олдройта в их е-аппроксимаций. — Сб. иаучп. тр. СПб морского технического университета (1993).

4. Осколков А. П., Емельянова Л. В. Некоторые нелокальные проблемы для/ двумерных уравнений движения жидкостей О а дройта. — Зал.иаучи. семии. ЛОМИ 169 (1991), 101-121.

б. Осколков А. II., Емельянова Д. В., Шадиев Р. Л. Некоторые. нелокальные проблемы для модифицирована иг о ышс.а' О. А: Ладыженской уравнений движения жидкостей ОлОроймь. Пргщпшг ЛОМИ 1М-91, Л. (1091), 64 с.

\

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. В настоящей работе рассматривается уравнение составного типа, описывающее нестационарные внутренние волны в "нобус-синесковых" (т.е. скльностратиДицированных) вращающихся жидкостях. Интерес к пройлеыам динамики стратифицированных жидкостей обусловлен к»л практическими потребностями, так и большим теоретический содержанием возникающих здесь задач. Конечно, детальное описание волнового процесса в этих евдкостях требует достаточно развитых ыатеиатических иоде-лзй, весьгла слюашх, налниоЯлых, иноголарааэтряческих, изучение которых эффективно лишь при поиощи численных гэтодов. Однако, очень часто первоначальное качественное представление об изучавши круге явлений иоано получить я на основе Солее простых линейшх моделей я аналитических истодов исследования. Это характерно для зада! динажша стратифицированных жидкостей. Дате в рамках линейных иэделей ах иатенатачес-кав постановки весша своеобразна и приводят к нестандарты пячальао-краевыа задачам. Это определяет наряду с ветравиальнимз фазагшснакя следствиями и самостоятельный математикескаЗ интерес к этим яроблеж*.

Под стратифицированной гядкостьв принято поникать гдссостъ. фвзи-чвсквв характерястка которой в аэвозцущрнзш состоянии мешштся от точка к точке, в частности, меняется вдоль аьЕотсрого аалргвденжя. Из геофазика известно, что наиболее часто встречягцдяся в природа стратификация - шзотдаствая. 3&л|,жжьзу&йая в дгдаоЗ ргЛслгв модель шааякзет валаз двтгеенаа весггзаеша врацащейся эвдвоста, эксаюненциаяш» стрэ-сгфщаровашзоИ ш озота&стц вдоль напрЕЫвядя д&1стваа сгиа ткввста.

Кошчпо. тробоваппз зхсаэзвнцдальша стргшфвсгаци сущесгоеааэ упрочйе* рэссудгзггпи. посаэлыху в зтоа едпаэ дэгаввяга в часша юрэ-взводзых, опяашапзев дат низ давоЗ аадзсхта. оказывается с шстон!-ню81 яоаЗФадЕЕзтггга. йагсте с тел» с точка щжшя эоттагатач&ЕЕсй сдет-

ности это обстоятельство компенсируется достаточно высоким порядком рассматриваемого здесь уравнения. Целью работы является выявление различных физическит эффектов, возникавших в динамике рассматриваемых жидкостей. Для этого было получено явное представление фундаментального решения уравнения гравитационно-гироскопических волн и на его основе построены явные решения некоторых начально-краевых задач и изучены их свойства.

Возможность такого подхода позволяет отнести рассматриваемый круг проблем к числу задач интенсивно развивающейся в настоящее время математической теории стратифицированных жидкостей.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА.. Работа является дальнейшим развитием исследований, выполненнных O.A. Габовым, А.Г. Свешниковым и Ю.Д. Плетнером (физический факультет ИГУ, кафедра математики). На основе выдвинутых ими идей и методов в диссертации впервые в рамках строго математического подхода исследованы нестационарные начально-краевые задачи для полного уравнения гравитационно-гироскопических волн без приближения Буссинвс-ка.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Изучение задач, разрешимых в явном виде, играет вахпуп роль в исследовании лвбой математической модели физических явлений. Это обусловлено, с одной стороны, тем, что эти задачи являются своего рода "эталонами". позволяющими глубже понять суть изучаемой модели, а также проводить сравнение и оценку эффективности различных асимптотических и приближенных методов, в частности, численных; с другой стороны, свойства явных решений могут быть изучены в некоторой степени полностью, что позволяет выявить ряд нетривиальных физических эффектов, ускользающих при более, общем рассмотрении.

Полученные здесь результаты могут быть' пршеяеяи для решения задач геофизики, связанных с изучением движений стратифицированных вращающихся кидкостей.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результата работа неоднократно докладывались нг-семинаре кафедрн математики физического факультета МГУ, а такгэ на Второй Всосовзной конференции "Проблемы стратифицированных течений" (Г. Канев, 1991 г.).

Основные результата диссертации опубликованы в работах [1-4].

СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения и четырех глав, содержит 107 страниц твкста, из которых 3 страницы составляют рясункя. Список цитируемой литературы включает'58 работ.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении выделен круг вопросов, охваченных диссертацией, дан обзор литературы по тега диссертации. Кратко излагается основное содержание глав диссертации.

Пврвая глава посвящена построению фундаментального решения уравнения гравитащюнно-гироскотгческих волн, которое в безразмерных переменных можно записать в виде

ьи 3 IА и - и| + + е'Чи _ - И| = О, (1 )

*t2

[v - U] + + - U) =

е = сш)~1 * 1,

и изучению его свойств.

В 5 1.1 дается краткое изложение вывода уравнения (1) из основной векторной системы уравнений гидродинамики в предположениях несжимаемости и невязкости стратифицированной вращающейся яидкости. Приводятся так ate соответствующие граннчнне условия основных начально-краевых задач для уравнения (1).

В 5 1.2 вводятся используевдэ в дальнейшем классы функций: c¿2)to,®) э |tp(t)«Cf21JO,®)s <р(0) = <ft(0) -о} И

C¿2>[tO,®)5 Cta)(D)] л {u(x,t)eC(3>[[o,¿)| C(al(D)];

u<x,o) = vit(i,o) = о| ,

где DdK3 - открытая область, и приводятся вспомогательные результаты, шз основе которых доказывается следу идея лемма.

Ломма 1. функция 0[<p](r,t), определенная формулой

а[ф](х,1) = [R(x)*]-1e-ft(;">(t) « У (-1)" ----- q>(t)

feo . n! .

для любой функции <p(t)«c¿2)[0,®), принадлежит классу <c¿2)[[o,«>); с(т) (кэ\о)] и при |хI^O удовлетворяет в классическом смысле уравнению (1).

Здесь'под R(x)* понимается свзрточный по времени оператор, дейст-вуиций ш формуле:

R(x)* <p(t> '« |х| [3(t)»] [3(B(x)t)»]_1 cpít),

3(bt)»<p{t) = (E - bJ,(bt)») (p(t), b > 0, ■ где e - единичный оператор, J, (С) - функция Бесселя первого порядка, символ « означает свертку ш времени, а

В 8 1.3 строится фундаментальное решение уравнения (1): tKx.t) = - 0(t) w(x,t), где 0(t) -г функция Хевисайда, равная единице при tsO и нули при t<0, а функция w(x,t) опредляется равенством

W(x,t) ш JL[)R(x)»]-1e-6cx,*aint. (2)

4Х

Для функции n(x,t) доказываются следущие двмии, которие покогавт лучше представить структуру фундаментального решения w(x.t):

Локмя 2. функция w(x,t) при зр*0 удовлетворяет в классическом смысле уравдант) гравитационно-гироскопичвских волн хи = 0, причем

w(x.o) = о. w.(x.o) = .

1 4*1*1

Ломка 3. Для *¡(x,t) шюет кесто равенство

w(X.t) = WQ(x,t) + W.J (x,t).

где

w-.(x,t) = j- [RU)»]~1 sint , u 4% .

а для w1(x,t) справедливы оценки

at*

w,(x.t)

0tk

«»X,

W1(x.t)

w,(x.t)

0(t)

< B(t> w

w

X = 0,1.2; i.J = 1.2,3; при feo, |x|sa, a>0; A(t),B(t),c(t) - непрерывные неотрицательные функции.

Лемма 4. Для функции *0(х, t) справедливо представление w0(x,t) = 3(t)«v0(x,t),

тда ' .

b(z)t

T0(x.t) = -1--L- J- f 4* b2(x) |x| j

J0(C) dC .

3(1)» - сверточный по времени оператор, определенный в $ 1.2, ^0(С) -функция Бесселя нулевого порядка.

Необходимо отметить также, что функция ▼ (х,1;) является сингулярным решением уравнения гравитационно-гироскопических волн в приближении Буссинеска

0г 2

А_и + л_и -I- е и = 0 .

^г 3 2 *з*з Кроме того, в этом параграфе выводится некоторый аналог третьей формулы Грина и доказывается

Теорема 1. Если « ас1,ь> и функция и(х,1;) достаточно гладкая и такая, что и(х,о) = 1^(х,0) = о, то

OU(x,t)

j | w bU dydX + |

w bU dydX + I U(y,t) — У| dT_ -

O n

ony 4it|x-y| 7

<3)

?

и V* - * н^и

о Г

где 0=0 при ж-П, 0=1/2 при х«г и 0=1 при хеО, а через и^ обозначен

ьгадупцнй оператор на Г: 2

N. и - + ££_ оов(п ,х.) + оов(п + (3 )

+ ег оов(п ,х_).

В } 1.4 дается вывод двух интегральных представление фундаментального решения Я(хЛ), отличшп от (2). Доказывается Теорема 2. функция нредставима в вида

w(x.t)

-f-h 4*г |х| J (ц"

Bin

4«?W J (Цг+Вг)1/2(Цг+1)1/г

Г г г 11/г

[У 4 Б 1 t I цг + 1 J

<зц

|х|-1Г(х,t).

(4)

»<*> - № + €/гК+ 4+ <Г

Здесь в всюду в дальнейшем предполагается, что 1« и ш1п{1,е} s В(х) s max£l,e>. Для функция IMx.t), определенной формулой (4) дня лхбыххек3. таких, что |х|гО>о в t20, имеют место оценки:

, Jt лт , -|x|/2+C-(1-Be)1/2t

I £L s [со(х) + tc,(x)] e 8

,-1/2

Ut*

~ -iX- S [c0(x) + t01U) + t C3<x>3 e

k = 0,1,2; l.J « 1,2,3; 0£>0; c^x) - неотрицательные функции переменной x, конечные при каждом |х|*0.

В этом хв параграфе рассматривается вопрос о характере поведения функции w(x,t) в про дельта случая! |х|*о и t-o. Устанавливается спра-

гадливость следувдих утверждений: а), пр х = (о,о.х3> и tso

1 -1*з!

w(x,t) = —!- в eint,

4*|Хз|

б). При t-0

t

W(x,t) = —в (1 + fl(x.i)). 4«|х|

гдв |0(x,t)| i ot2 и о нв зависит от х и t, f

В). w(x,t) = _l_r3(t)*l_,f3(B(x)t)»lalnt - 1-еInt + w2(x,t) 4*|x|L J L J 4x 2

И Wg(X,t)-»0 при |x|-0.

При поаощя закэнн переквшой из форму ли (4) получено ещэ одно продстаогэнЕэ функции w(x.t)

- —l- f ) xpPt. e-1Ptldp.

4^I|xf J <p2 - B2)1'2 (1 - p2),/2 L . J

b (5)

Необходимо опта тать, что формула (5) справедлива как в случае 1>е, когда esB(x)<i, так и в случае 1<е, когда е>в(х)>1. В последнем случав на® лешь ешть в виду, что

И'/г ,: (тТ-

1 р рв(1.В> р 1 Оордул! (4) в (5) являются векоиана представленаяет дат ®уи-дакзнташюго решвшхя п будут использованы шпга для изучения ШБвдэнйя пря большг врзгзэпах функция fl(x.t) п решения задачи Козз.

В главе 2 пс ела дуется всгаяттотичесхое поводе иге фуцдауэнтаяънэго решения уравнения граватацшнш-гяроскопичеагах воли (1) пря t-»+» а

|Х| »4«.

В 5 2.1 проводятся анализ аехзштотичвеках формул, получениях с пмюдью методов типе стационарной фазы я перевале, которая показывает, что т сталкиваемся с явлением квази^роята, состоящего из эксгоненця-

елью малого "предвестника" в области |x|>o(e)t и следующего за ним в области |x|<c(e)t "шлейфа" осцилляций, в котором присутствуют "быстрые" осцилляции и "медленные", затухающие при t-+®. Величина

С(е) = (1-В2) max f ц (1 + р2Г3/2(цг + В2)-172"! 2г

3 (1-В2) (1+ЗВ2Г1/2 является по своему смыслу безразмерной скоростью распространения квазифронта и могет быть приближенно задана формулой С(е) « (1-е2)в1пг6, где в - угол между ортом ©3 и вектором х. Тем самым, как и в случае стратифицированной жидкости без вращения, поверхность квазифронта |х|= = с(e)t оказывается весьма далекой от сферической. Кроме того, наличие вращения замедляет распространенна квазиДюнта.

Для получения более детального представления о характере и форме о того квазифронта в 5 2.2 приведены результаты численного исследования.

В третьей главе строится явное решение задачи Коши для уравнения гравитационно-гироскопичеких волн (1 ) и, кроме того, обсувдается вопрос о поведении решения задачи Коши при больших временах и о его выходе на ре гам установившихся колебаний.

В 5 3.1 дается постановка задачи Коши для уравнения (1 ) и вводятся следующие классы функций. Для функции v(x,t), определенной в области е3х[о,®) и пршадлвващей классу функций ctk)[[o,»)s cím)(R3)]. будем говорить, что v(x,t)e¡Hg'k, если при лвбом teo и |х|~+® справедлива оценка

К *c(t) вв,х1,

где 15b; p+q s и; i.j = 1,2,3s C(t) - непрерывная положительная функция. своя для каздой v(x,t), в х>х® о/вх. Аналогично определяется класс функций Ид для функций переменной х.

С учетом сказанного ваше формулировка задачи Коши звучит слэдуюъ

щнм образом:

Задача Кош. Найти функции Щх.Ю, определенную'при (хД) « ж3* х[0,оо), принадлегвщуи классу ¡м^*2 при д*?[0,1/2) и удовлетворяющую в классическом смысле уравнении

iD.i- Л_и - и + ли + e2fu - ul = i(x,t) '

¿t2 I 3 J 2 . I «Л J

(6).

и начальным условиям . .

и<х,0) = ^(х), иг(х,0) = и,(х).

' Кроме того, в этом параграфе на основе формулы (З).из 5 1.3 гл. 1 доказывается .

Теорема, 2. Если ^(х),^ (х)сш^ и функция при 0£б<1/г,

то классическое решение задачи Копи существует, единственно и дается' формулой

U(x,t) = - j | w(x-y.t-x) f(y.t) dyctt

- | n(x-y.t)|,

n(x-y.t) Лзи/у) - U, (y)

dy

I

at

dy.

R R

В 5 3.2 расскатривается поведение решения задачи Кош при больших временах как с неоднородными начальными условиями и финитной по времени правой часты), так и с однородными начальными данными и правой частью, не зависящей от времени.

В первом случав показано, что для любого компакта как3 справедлива оценка решения задачи Кошп при временах t>T а зирр f(x,t)

. . : t

|U(x,t)| 5 С(К) t-,/2 , где ctK) - константа, зависящая от Компакта К, а также от функций

ио(х). U1(х) и r(x,t).

Теорема 2 доказана в предположениях, что и0(х),и, (х) « с^0"' ) и

функция i(x,t)ec(0) [№,»); cc®'cr3>] и финитна по времени.

Во-втором случае, т.е. случае, когда U^xHU, (х)=0 и f(x.tjsttx)««:^00' (R3), доказывается теорема, согласно которой при больших временах происходит стабилизация решения задачи Коша и выход его на стационарный режим, причем справедлива оценка скорости сходимости |u(s,t) - v((x)| s с t"1/2.

Функция v(x) a liniU(x.t) принадиэшт классу сШ(К3) и удовлетворя-

t-MO

6v £ кл£ccirjeckg« сшслд урабшшш

V * ~ ») =

§ 3.3 посвящен рассмотрению общей задачи Кщ, когда функция f(x,t), стоящая в правой части уравнения (6), зависит от времени гармонически, т.е. f(x,t)sT}(t)i(x)e~1U)t, где f (xM^V3). u>0, а T](t)ec^2)[o,e) в являэтся функцией переходного рехима, вполнв произвольной при t, каньшеи некоторого т>о, в равной тоздествешо единице при t>T.

Показано, что при приведенных вше условиях относительно функции f(x,t) и при ш «* 1,е для решения U(x,t) ори больших временах существует предельная амплитуда, определяемая формулой

'V(x) в lim U(x,t)elwt

и удовлетворяпдая в классическом сшсле уравнении установившихся колебавший

d-c^UgV + (е - т] = f(x).

Таким образом, при ш * 1,е доказано существование режима установившихся колебаний в задаче Кц, причем более интересным и сжяным оказался "гиперболический" случай ше(е,1). когда уравнение установившихся колебаний является гиперболическим и корректная постановка соот-вотствупцрй задач? для продольной амплитуда внзиваат за тру дао шт. Рвссшгренио нестационарной начально-краевой задачи шзволило в рамках

строгой математической постановки изучить "гиперболический" режим

установившихся колебаний. •

В 5 3.4 доказывается существование локально суммируемой мажоранты

для разрешающего ядра ЫщСх.Ю задачи к^, определенного в виде

t

^(х^) = | 4(1,1-1) в1ыт <11,

о '

где для функции п(х,1;) используется представление (5). Эта мажорантная

оценка необходима для обоснования существования режима: установившихся колебаний, рассматриваемого в 5 3.3. , • .

В четвертой главе строятся динамические потенциалы для уравнения гравнтацкоино-гироскопичеаетх волн (1) я нсслэдуется на их основе классическая разрешшость внешней п внутренней задач Дирихле.

5 4.1 посвящен построению и изучении динамических потенциалов. Пусть Г - замкнутая поверхность класса Ап ,Ь), ограничивающая : область Ос®3. На этой "поверхности вводятся в рассштрениэ следующие поверхностные потенциалы: ' - .

_ I I

АДОСхД) = Г — е" ЛГ ,

4* |х-у| Г

ъ

о Г

ГМСхД) У(у,1) У(ж-у,1;-<1) ЛГуЛХ ,.

о Г 1-1

~ т(хД) = [Зи>*] ' *(хД) а (Е - &и)«Мх,1;),.

ГД8 у(х^) «с'г,[|0.»): с(0)(Г)}ё оператор определен (з').

Отметим, что потенциал А[о>] является хороио изученным- потопцяплом двойного .слоя для уравнения Гельмгольца, зависящим от времени как от

параметра.

Путем непосредственной проверки показано, что динамический потенциал и линейная комбинация А[г>] (х.Ю + в[у](хд) всюду виэ Г при бесконечно дифференцируемы по х и удовлетворяют в классическом смысле уравнению хи = о.

Для введенных выше потенциалов доказывается

'^еорома 3. Если v(x,t) е «¿г)[Ю.ю);сСО)(Г)] и то

=.± -ЬбШ* уил) + вМСх^), (8а)

2

= ± [с - 3(1)«) + (86)

йп^ 4ЧС|х-у|

t

+ f Г f(y,t) N. V U-y.t-t) dT «к + [ v(y,t) — 6 dT

J j ** y J вп 4ЧС1х-зг1 y

о Г Г

где сверточный по времени оператор s(t)* определен в § 1.2 гла- вы 1. Правые части формул (8) принадлежат классу «¿2,[[0,оо); <с(0>(Г)]. Здесь индексами "+" и "-н обозначены предельные значения в точке хеГ при стремлении к ней но нормали изнутри и извне области О соответственно.

В 5 4.2 рассматриваются внутренняя и внешняя задачи Дирихле для уравнения (1) в ограниченной области с достаточно гладкой границей:

Задача Д4. Найти, функцию U(x,t), удовлетворяющую в классическом смысле при t>0 в области О уравнению (1). начальным условиям 'О(х.О) = Ut(x,0) = О VxeQ

и граничному условию

U+(x,t)JX6r = <Mx,t)|xeP vteo.

Задача Д". Найти функцию U(x,t), определенную при xeQ~siR3\fl и teO, регулярную на бесконечности и удовлетворяющую в классическом смысле при t>o в области Q" уравнению (1), нулевым начальным условиям и граничному условию:

и_(х,П|хеГ « <|>(x,t)jxer v t>0.

Используя результаты предыдущего параграфа, доказывается

Теорема 4. Если ф(хД) с£г'[[0,оо); «С0)(Г)], то задачи Д+ и Д" разрешит,и в классическом смысле, причем решение задач Д± ишот вид:

1Г(1Д) = А.М(хД) 4 в(Х1(х,1;), где потенциалы а[у](хд) и в(г>](х,1;) определены в предыдущем параграфе.

Для доказательства единственности решений рассмотренных задач получено энергетическое равенство ДОЯ уравнения (1).

Резюмируем кратко ноше научные результата, полученные в настоящей работе.

1. Построено фундаментальное решение полного уравнения гравитационно-гироскопических волн и изучены его свойства. Кроме того, для него голученн два шггвгралышх представления, необходимых для дальнейших исследований.

. 2. Показано, что в ввсгшаевдй стратифицированной вращащейся гадкости нестационарные волны от точечного источника мгновенного дей-* ствия обладапт гравитацпоннш! фронтом, ешвдпгл вид квазпфронта. Кроме, того, вращение ■ обусловливает ноше особенности волн: в отличии от случая стратпфзцированвой падкости без 'вращения рпшей$"„осцплляций ньгает вид суперпозиция "быстрых" п "медленных" осцялляций, а такте ' заотдляет распространение квазнфронта.

3. Построено явное репгешгэ задачи Копи для полного уравнения гравптациопно-гироскошиосках волн. Исследовано поведение решения при больших временах. Показано, что при ненулевых начальных условиях- и ?яшгшот1 по врегзанз возбуаденш для решения задачи Коии справедлива оценка

|И(х.1;)| С(К) \~%/г для точек лпбого кокпакта Кск3. Установлено та кто, что при возбуждении вида ££хД)=г(х) решение задача Кош стабилизируется и выходит па стационарный реакм. В общем случае, когда возбуждение зависит от про-' мени гармонически, т.е. *(хД)гТ)(Ъ)£(х)е~1ыЧ, для решения задачи Коти

при больших временах существует предельная амплитуда

. 'У(х) а limU<x.t)eiut, . t-»00

т.е. для задачи Каши существует режим установившихся колебаний. Предельная амплитуда v(x) при ш *л ,е удовлетворяет в классическом смысле уравнению установившихся колебаний, которое получается аз исходного уравнения загяоной каадой частной производной по времени t иноките-лец (—1ш).

4. Построены динамические потенциалы для уравнения гравитационно-гпроскопичэских волн. С их 'помощью изучена классическая разресшшсть внешней и внутре.ннэй задач Дирихле.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. (Гуадукова A.B. фундаментальное решение уравнения гравитационно-гироскопических волн и разрешимость внутренней н внешней задач Дарих-

. ле //2. внчисл. матем. и матом. физ. 1991. Т.31, Я 10. С.1544-1551.

2. Сундукова A.B. Фундаментальное решение уравнения гравитационно-гироскопических волн и явное решение задачи Коши //Материалы 2 Всесоюзной конференции "Проблема стратш1ицарованных течений". Канев. 1991. Т.1. С.72-73."

3. KpacHozoH A.B., Плетнар Ю.Д. О поведении при t-»<» решения задачи Коши для уравнения гравлтащонно-гироскопических волн //И. вачисл. матем. и матем. фзз. »994. Т.34, & 1. 0.78-87.

4. Краснохон A.B., Плоттр Ю.Д., Соловьев H.A. О распространении квазифронта в стратифицированной вращавдейся аздкоста //1. внчисл. ка-тем. и матем. фаз. 1994. Т.34, & 2. С.310-315.