Начальные краевые задачи для уравнений движения жидкости Джеффри-Олдройта, их модификаций и t-аппроксимаций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

* ' • .^Ч

, На правше рукописи

УДК 517.940

ЕМЕЛЬЯНОВА Диава Владимировна

Начальные краевые задачи для уравнений ■ движения жидкости Джеффри-ОлдроЙта , их Модификаций И ¿-аппроксимаций

01.01.02. - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

* • . *

диссертации на соискание ученой степени *

кандидата физико-мктематйческих наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1994

Работа выполнена в Санкт-Петербургском морском техническом Университете. 1 .'<

Научный руководитель - дадгаор фюико-математическцж вау*,

профессор А. Д. ОСКОЛКОВ

Официальные оппоненты:

доктор физфсо-маФЫ&тнцеских наук Н. Г. КУЗНЕЦОВ

кандидат физико-математическйх иаук К. П. ИВАНОВ

Ведущая организация:

НИИ математики и механики им. Чеботарева при Казанском государственном университете

Защита состоится "...^£^1994 г. в ...(.{.. час. на заседании специализированного совета К 063-67.49 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Санкт-Петербургском государственном Университете по адресу 198904, Петродворец, Библиотечная пл., 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. М. Горького СПГУ (Университетская набережная д.7/9) ,

Автореферат разослан 1994 г.

Ученый секретарь специализированного совета.

кандидат физ.-матем.наук, доцент А. И. ШепеляцыМ

ОБШАЯ ХАРАКТЕРIiСТИКА РАБОТЫ

Актуальтгость темы. Хороню известно, что начально-краевые задачи для уравнений Напье-Стокса на протяжении многих лет изучались многими выдающимися математиками и механиками. Наиболее полные и законченные математически строгие результаты по гидродинамике вязкой несжимаемой жидкости получены п работах О. А. Ладыженской. С середины 50-х годоц, когда Г. Джеффри.и Л. Олдройтом были предложены новые реологиче-' ¿б'обшаю'гдйё'реологические соотношения Иыо-

'¿•Ьйа,' ¿кШпУкаШ'Ьеой&одимосЬь получении таких же результатов и для уравнений д V i !;к с hVi'/i' и a f Д ко с. т с i i Л ж е ф ф р i г- О л д р о й та.

Изучение различных' начальио-краепых задач (п работе исследуется задача прилипания и' проскальзывания), а именно, исследование разрешимости и устойчивости pcmcniiii, является весьма* яктуальным, отпечает потребностям приложении, и позволяет построить строгие математические модели для течений жидкосл и Джеффри-Олдройта, а тал иг, с обосновывает возможность применения численных методов решения этих задач.

Пель р л боты исследовать разрешимость и целом на полуоси IV двумерных начально-краепых задач дли уравнении движения жид г остей Джсффри-Олдропта, их модификаций и е- аппроксимации, а также, модификации и е-аппрокснмаций трехмерных задач.

Провести изучение устойчивости решений этих задач при . t —► со.

Метод исследовании. -В работе используются функциональные методы- математической физикн^и гидродинамики, предложенные О. А. Ладыженской.

Научная новизна. D диссертации получены следующие основные результаты:

1. Разрешимость п целом двумерной начально-краевой задачи с проскальзыванием для уравнении движения жидкости Джеффри-Олдройта.

2. Разрешимость п целом трехмерных начально-краевых задач для регуляризопанных в смысле О. А. Ладыженской уравнении движения жидкости Джеффри-Олдройта.

5. Разрешимость и целом двумерных возмущенных начально-краевых задач для уравнений движения жидкости Джеффри-. Олдройта. . -

4. Разрешимость в целом трехмерных возмущенных задач . для регул>1ризованных в смысле О. А. Ладыженской уравнений Джефф'ритОлдройта. .

5. Исследована устойчивость решений начально-краевых задач для уравнений движения жидкостей Джеффри-Олдройта и их ре-гуляризаций в смысле О. А, Ладыженской при i—* оо.

Перечислешые результаты являются новыми.

Практическая ценность. Результаты диссертации могут быть использованы в гидродинамике алзких несжимаемых неныотонов-ских жидкостей.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на 6-ом Всесоюзном семинаре по нелинейным задачам математической физики (Ленинград, ЛОМИ им. В. А. Стеклова, в 1989 г.), на заседаниях Сибирского математического Общества, посвященных 90-летюо акад.М. А. Лаврентьева (Новосибирск, институт математики СО АН СССР, 1990 г.) и на ежегодных научно-технических конференциях С.-Петербургского Морского Техшгаеского Университета в 1987-1993 г.г.

Публикации. Основные результаты диссертации изложены d'работах [1-5]

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит га введения и пяти глав и содержит 92 страницы машинописного текста. Список литературы включает 84 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении описаны основные задачи и результаты работы, показана актуальность темы и преведен краткий обзор литературы по данной теме.

В главе 1 приводятся необходимые для юложения основного материала сведения из теории функциональных пространств С. Л. Соболева и их соленоидалыгых подпространств, основные неравенства для операторов Лапласа и Стокса и некоторые формулы Грина, связанные со следующими условиями проскальзывания:

V„|an = 0, iotV^en = 0, <ея+,

где V„ = V • п - нормальная компонента скорости на границе ¿Ш, П С Я»,

и Kn|en = 0, (rotK х п)|ео =

=-(iOt V X п)г|он - t€fi+

lAr (rot Г х п), - касатслымл компонента иекюра (fot Г х /»), для О С Л3-

Л£Дзэ.е,2 излагается теория разрешимости в целом на полуоси R* начально-краевых задач с условием прилипание и с усяоан-

ем проскальзывания иа гладкой границе Ой 6 С2 для двумерных уравнений движения жидкостей Джеффри-Олдройта при различных предположениях о свободном члене /.

Основные результаты главы содержатся в двух теоремах. . Введем пространства солено гадальных функций:

J(S2) s {V 6 L\Q) : div V = 0, V„|an = 0}

о 5

. Jl(íl) S {V G Hl(Sï) : div V = 0}

J^tystf^fljn}1^)-для задачи прилипания , а

- J№)^{V ef{l(Q):divV = 0},

~{ve П\П) Л J¿(Í2), (rot V х n)|an = 0} c

для задачи проскальзывания, где H* - векторное пространство Соболева функций из ¿¡¡(il), такое, что Vn — V • n|sn = 0

Теорема 2.1. Пусть выполнены условия:

Íícили J&ayjjtzMQ™)-

Тогда обе илиалчю-краеоие задачи (с пршппинисм « проскалъзива-пиш) имеют éduucmeetiuoc решение (V,p), обладающее следующими свойствами

V*Vt G .

Vx, Vzt, V„ G L2{Qoo)\ Vp € L2(Qco).

Для доказательства этой теоремы необходимо получить следующую априорную оценку:

• 11%; ^11с(п+,ь,сп)) + Гг, 14«, vyiU- + ||Vp||i)Qw <

• (1)

если же свободный член берется из другого пространства, а именно: /,/« G ¿г(П)), где ¿ЭДЛ*, - банахово пространство, представляющее собою 'подпространство ¿2 joc(/2+, £;•(£))), для элементов которого конечна норма

!l/lti¿</i-í,ia(ñ)i = s«P / 11/Н!,(пИг * '

f . , *. * * íH" J

тогда справедлива -

fi

Теорема 2.2. Пусть еыполп&пи условия

п С IÎ\ дп е с2, Vois) € /(Й) или J2n{ù)\ fJteSi(R+-,L2(C2)).

Тогда по-прежнему V~,Vt G €'(/£+;Z2(iî)), a Vp С

52(Л+;Хг(^))- И доказывается априорная оценка

\\V*> + il^-ь Vrxijlj^+jisifi» + <

< СГа.зС?/-1. е-1,jer1,ïlVqili.0.ll/.Vi№

Априорные оценки (i), (2) получаются из следующих ypauiieuiili, справедлииых при V7 € Я'1';

(Li.V) = (J.V), »=1,3

(If. Êl\ \ôtL" dl )

■ (Л, Vi), i =1,3

(¿э,ДУ) = (/, AV), [L3,ïot2V) = (/,iot3\0.

где

¿1 (К+ ViVïk - I/ДV-ßbU + Vp = /„

I

div V = 0, — -I- aU — V, U = j e~°^Vdr (3)

о

L-î(V,U)- спроектированная на подпространство соленоидалызых функций ота ¡ум система ураиненшг

DV • ■ ■ /

L2(VrC/) -3 ~ + P{\\Vlk) - vbV - ßäU = Si

LUI

div V = 0, -,~4-oU-V, (4)

di » .

F s P« -оператор opvoionaju.uoio просктироишшл ¿г(П) lia

о

J(O): И, л случае задачи с проскальзыванием, ДУ = graddiv V — lot'i/ и

¿а(И, и,р)щ ~7 + VkVXK + umi*U + Vp s t,

ov m

du

div v - o, + = V (S)

j ai

В главе 3 показьгаастсл, что результаты » целом иа полуоси началыю-краепых задач с условием прилипания и условием про-скальзывапня иа гладкой границе Ш справедливы для трехмерных модифицированных п смысле О. А. Ладыженской уравнений дпижешш жидкостей Лжеффри-Олдройта,

Если о системах (3), (4), (5) в качестве вязкости и взять некоторую нелинейную вязкость:

V з »о + ЫШЦа (6)

то можно получить результаты, апиа.логичные полученным и теоремах 2.1 и 2.2, но уже п трехмерном случае, £2 С В?. Доказываются оценки аналогичные (1) и (2), но с правыми частями, зависящими от нопых постоянны:: • .

Сз., з СзлК-1,^1,«-1^-1,^!!^!©.!!/./«!!^») (Пс

Сз.2 = Й,||У0|©, ||/,Л|иа(л+1£1(п)) (2')

оти оцешш получаются из уравнении

(£5,ДК) = (/,ДУ)

.(¿б,гс12У)=(/,го12П • « ' '

где ¿4,1;, ¿6 - системы уравнении (3), (4), (5) с вязкостью V из (6). '

В глапе 4 излагается теория разрешимости в целом иа полуоси Л+ начально-краевых задач с условием проскальзывания на гладкой границе ЗГ2 £ С2 для введенных е-аппроксимацией Темама-Ладыженской для двумерных уравнений движения жидкостей Лжеффри-Олдройта:

■-Ц Vе (Ну Vх - 0А(/С - £ йгас1 <Ну Vе = /; ^7)

Ьв(У, и', И") = ~~ - 1/Д Г + УкеУх\ + ¿¡у V1- :

сп I

I/ П\\г'

-/?ДУГ - р 8га<1 (Ну IV" = /. —- = V1, '(.V

ЫУ, Vе, IVе) = ~ - иАУ + те + Г-

-/?Д С/* - ~ Игас! СИУ И" = /, + = Vе, (9) £ ос

которые получаются из системы (3) и с одним из следующих уравнений соответственно

ере + и «Ну V* = 0, £ > О

ер\ + и (Ну Vе = 0, £ > О-

+ Кг = О, с,7 > 0.

И показывается, что при £ —* 0 и К0£ —- И) и решения

этих возмущенных задач сходятся к изученному и главе 2 решению (V, р) начально-краевой задачи с проскальзыванием для уравнений движения жидкостей Джеффри-Олдройта. Основные результаты главы содержатся в трех теоремах:

Теорема 4.1. Пусть выполнены условия

йсл2,сйес2,к0'(г)е/„2(П) « ||ЦЛ1$ ^Сь

V£.>0f /,Д€£а(д со). (Ю)

Тогда начально-краевая задача с проскальзыванием для системы (7) имеет едипствешюе решение Vе, такое, что >

Ц* € С(Я+; ¿,(П)), 1& € Шоо), (И)

и справедлива оценка:

* (12)

Если £ 0 и Щг) сходится к 1/0(х) 6 ^(П) слабо в /¿(П), то справедливы предельные переходи: 51

К?.. К', ~ Уг„ V,, и ¿3«?»),

• о ПЛ+;Х,(П))

- I <3!у V1 - а Я1(«)).

где (р) - решение со свойств*;кг< теоремы 2.1,

а

Теорема 4.2. говорит о том, что если выполнена условия (10), то тогда иачалто-крпеоая задача с проскальзыванием для системы. (8) имеет тахясе единственное решете Vе из класса (11).

Априорная оценка для доказательства этой теоремы имеет несколько отличный от (12) вид, а предельные переходы, кроме последнего (в этой теореме — £ ¿¡V Ш* —» в £2(Е+;Л1(Г1)), аналогичны (13).

Следующая теорема доказывается в условиях (10), только свободный член предполагается из другого класса, а именно /, /< 6 Ьг(0)). В этих предположениях теорема 4.3 говорит о том, что начально-краевая задача с проскальзыванием имеет единственное решение Vе со следующими свойствами:

п если е —0 и Уд сходится к 6 ^п(^) слабо а ¿¿(О), то

справедливы предельные переходы

-Ии 52(Л+;£3(^)) _1 ¿¡у IVе — р(®,*) в 5Ь(Я+; Ь2(«)),

.•де (У,р) из теоремы 2.2.

В главе 5 показывается, что результаты главы 4 справедливы для начально-краевой задачи с условием проскальзывания на гладкой границе <9П для введенных ¿-аппроксимаций Темама-Ладыженсхой длл трехмерных регуллрлзаций и смысле О. А. Ладыженской уравнений движения Джеффри-Олдройта.

Основные результаты содержатся в трех теоремах, аналогнчт пых Т.4.1-4.3, вязкость берется, как и о главе 3 о виде (б), й С И2, а свободные члены предполагаются из классов ¿з({?«>) |.5г(Д+;£а(Я)).

В глапе б строится теории устойчивости при I — оо решений начально-краевых задач с условием прилипания и условием нроскальзынанил дли уравнений диижения жидкостей Джеффри-Олдройта и показано, чт« на усгойчипость 9Ш* задач и ina.i v гичных задач р,ля регуляризованны« в смысле О. А»Лз^ЫжеисиоП уравнений движения жидкостей Джеффри О/гдройта, безусловно устойчивых 8 челом на любыл конечном интервале времени СО, Т] не влияют возмущения бесконечно малой сгрукгуТ.«г. устойчивость ео всех этих вщ&чгх, как ига аналогичных задала* для Уравнений Нэвьб-Стокса, определяется устойчивость*» низших мод. ,

Как известно, решение (V,?/) начально-краевой задачи с условием прилипания, или проскальзывания называется экспоненциально устойчивым в пространстве если существуют числа 6,и>,/1 > 0 такие, что для каждого возмущения (IV,5) решения удовлетворяющего возмущенному уравнению

д\У 61

дБ

1/ДЖ+ ЧГкЧГвк + - ДД5 + V? = 0, <1пг IV = О,

о, У*€Д+, (14)

или, соответственно, возмущенному уравнешао

~ + мо^И' + ИЬ-И"«* + V» И^ + /?гоЬ25 + V? = О,

(Л-

<Цу 17 = 0, ^ + = г У/о6/г+, (15)

начальным условиям

(Г/(«о),5.(<о)) € £а(С), !|И'ао),5х(<о)1Ь < (56)

и краевыг.1 условиям с прилипанием, или с проскальзыванием соответственно, справедлива оценка:

1ТО, ЗДМ* = (\Мт1 + тть1'2 <

^ (17)

или, соответственно, оценка

УО'о- (18)

Как и для уравнений Навье-Стокса, для уравнений движения жидкостей Джеффри-Олдройта справделив следующий принцимп линеаризации (первый метод Ляпунова):

Теорема 0.1. Решение (У,[/) начально-краевой с прилипанием для системы (3) и начально-краевой задачи с проскальзыванием для системы (5) из классов (1) или (2) соответственно в области Я С Й2 с границей 80. € С2 экспоискциолию устойчиво » ^(Й) при Ь —* оо тогда и только тогда,- когда существуют числа и, Л > 0 такие, что любое решение (IV,5) линеаризованного возмущенного уравнения

д& - - дУ

~ - VV? + Ук1¥Хк + - 0А.Ч н- Х'ч - !).

от дхк

IV = 0, + = IV (10)

пли, соответственно, уравнения

íl\V '

~ -Ь Vicftv -f- V¡.WXk -I- WbVBk .i- proí'S -!- VJ O,

al

div W =0, —- -f aS = (20)

í

'ла лиосш интервале [¿э,оо) и при люб см (íVo>£ob) = (ПЛ S,-¡\<~t,; ■'.-. 7/2(Q) удовлетворяет неравенству

Vio е л1'. (21)

В диссертации теоремй'бЛ доказывается с i;o';ohi!..o иод пода, разработшшого для уравнений Наяье-Стокса Д'-.<. ХеЙзу»»см н Р. Раннахсром и основанного на иаЛдеано.м н;.::; пстрп:Л5!? "ib-mu обобщении окспоиенциалылоЦ усхо":.*пшостл йзрксЛ

иачальио-краевоЛ задачи для ураоиеюШ Навъе-Стскса, ко'гс:5'о<з оказывается справедливым « для ypa:uic-nr?n дчшгсптщ wyrot.- i?? Джеффрн-Оядройта. Именно, справедлива

Теорема 0.2. Решение {VJJ), указании« й т.О.Х задач в области П С R2 с границей ОП £ С" оке потенциально устойчиво тогда и только тогда, когда существуют ««ясли 5,7 >/ 0 такие, чтэ хз-■усдое аоилцщаше (17,5) paxatux ('/', U), удавлепмерхтцее начальному условию (16), удовлетворяет ncpaaeucmo'j

\\W(t0 -i-Т)\ S,(b-!• T)\\'i $ J|¡H'(¿o); Sa(to)|!3l Ví0 s R h. (p)

ДеЛстшпелыш, (22) следует из оценки (17) при У = w"11п(2>1).

!Ь теоремы 6.1, как n d случае уравнений Навьо-Стокса; и уравнений магнитной гидродииамшш, нытекают следующие результаты об эксионешшальпой устойнпиости о £з(И) стационарного п периодического по t <= !i+ с периодом Т р ешеш'.й, (Y, V) 'систем (3) -■! (5) уравнений движения жидкостей Джеффри^О.лдроЛта, удовлетворяющих краевым условиям (23) и (24)

1) условие прилипании

f ¡»а - 0, У¡зп = 0.16 Я*, П С П С Я3 (23)

'_') услоаяе проскальзывания

К1ол - 0, fot Чад. - 0, i € R+, Ü С ft2

(24)

Теорема 0.3. Стационарное решение У(х) ($), (33) « задачи

о

(5), (24) из класса 72(П) или класса ^(Я) ахспоиеициально устойчиво в при I оо тогда и только тогда, когда спектр {А*} стационарной линеаризованной спектральной задачи

-1-'Аи + Укихы + Vк УЯк + V? = А и, МУХГ = 0, «Л= V -V ра'1, (25)

плюс краевое условие (23) или (24) лежит в левой полуплоскости: ЯеА* < 0, & = 1,2,...

Теорема 6.4. Периодическое по / £ с периодом Т решение У(Х^) системы (3) или (5), удовлетворяющее краевому условию (23) или (24), из класса (1) или класса (2), с периодическим по I с периодом Т свободным членом ./(х,/) : /,/, С />/» £ 5з(Я+; ¿г(П)) вкспонепциально устойчиво в £з(П) тогда и тол ¡ко тогда, когда спектр {Л*} операторе монодромии линеаризованного возмущённого уравнении (19) иди (29) ври краевом условии

(23) или (21) лежит внутри единичного круга: |А*| ^ 1, & = 1,2.....

Как к для уравнений Иавье-Схокса,, поведение решений возмущенные уравнений (14), (15) при красные условиях (23) и (24) соответственно, при * —♦ со полностью определяется поведением иг ортопроешиёй 1'/,5) иа подпространство врап(сь... ,с#), натянутое на паркое N собственные функций спектральной задачи для оператора Стокса

= " = 0 * (26) с краевым условием (23) или (24), с числом Nt удовлетворяющим

А имегаю, справедлива

Теорема 6.5. Пусть П С /£2, (К, II) - решение задач (3), (23) или (5),

(24) с начальними условиями

VI,=0 = К0(г), (/¡1=о = 0, из класса (1) или ',(£}),..

М = '1|%1и..(Л+ ;г,3(а)) " N ~ удовлетворяет

Ац+1>С&-х)М3.. - - (27)

Тогда для решения^,в) возмущённого уравнение-': ¡¡¡или (15) спра-

ведлива оценка:

^ е-11^(0)111 + <%1С.М2 •

IO.il

•ЬСд1 • С, • Л/3бир||Рлг1У|$. . 1И

'В эавершешхе доказывается Теорема 6.6 аналогичная теореме в.б для трехмерного случая, О С Л3 для регуляризовашплх в смысле О. А. Ладыженской уравнений движения жидкости Джеффри-ОлдроНта.

основное содержание диссертации отражено в'пувликациях:

1. Емельянова Л. В., Осколков А. П. О разрешимости основной начально-краевой задачи для уравнения доиохеипя жидкости Ол-

дройта порядка Ь = 1,2,____— Тр. Леннлгр. Кораблестр. 1ш-тз

(1087), 85-90.

' 2. Емельянова Л. В. Исследование устойчивости решений ураа-нений движения жидкости Олдройта. — Тр. Леиингр. Кораблестр. 1ш-та (1990), 34-38.

3. Емальянова Л. В. Пачал1но~краесая задача с пр оскалине ание.и дм уравнений движения жидкостей Джеффри-Олдройта а ил е-аппроксямаций.— Сб. паута, тр. СПб морского технического университета (1993).

4. Осколков А. П., Емельянова Л. В. Некоторые нелокальные проблема для двумерных уравнений движения жидкостей Ол дройта. — Зол.паучн. семин. ЛОМИ 109 (1991), 10Ы21.

5. Осколков А. П., Емельянова Д. В., Шадиев Р. Л. Некоторые нелокальные проблема для модифицировании! а eMur.it О. Л. Ладпженской уравнений движений жидкостей ОлОройтп. Ирсприит ЛОМИ 1М-91, Л. (1991), 04 с.