Исследование начально-краевых задач для математических моделей движения упругих сред Кельвина-Фойгта и их обобщений

Турбин, Михаил Вячеславович

Исследование начально-краевых задач для математических моделей движения упругих сред Кельвина-Фойгта и их обобщений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Турбин, Михаил Вячеславович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Воронеж МЕСТО ЗАЩИТЫ

2006 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Исследование начально-краевых задач для математических моделей движения упругих сред Кельвина-Фойгта и их обобщений»

Автореферат диссертации на тему "Исследование начально-краевых задач для математических моделей движения упругих сред Кельвина-Фойгта и их обобщений"

на правах рукописи

ТУРБИН МИХАИЛ ВЯЧЕСЛАВОВИЧ

Исследование начально-краевых задач для математических моделей

движения упругих сред Кельвина-Фойгта и их обобщений

01.01.02 — дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 2006

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор Звягин Виктор Григорьевич Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Фурсиков Андрей Владимирович доктор физико-математических наук, профессор Орлов Владимир Петрович Ведущая организация - Российский университет дружбы народов (факультет физико-математических и естественных наук).

Защита состоится "5"декабря 2006 г. в 15.40 на заседании диссерта-ционого совета К 212.038.05 в Воронежском государственном университете, 394006, г. Воронеж, Университетская пл., 1.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан

Л ноября 2006г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Смагин В.В.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Изучение движения жидкости с давних времен является источником большого числа задач в математике. При попытках изучения даже самых простых математических моделей движения жидкости возникает большое число проблем, многие из которых не решены и по сей день.

Исторически первой научной работой в этом направлении видимо является трактат Архимеда "О плавающих телах", в котором впервые вводится понятие давления как основной характеристики взаимодействия частиц жидкости и используется предположение о несжимаемости жидкости. На основе этих двух механистических предпосылок начала развиваться гидростатика, для развития которой был использован существовавший на тот момент математический аппарат геометрии Евклида. Собственно создание гидродинамики (науки о движении жидкости) связано с именами Галилео Галилея, Гюйгенса, Блеза Паскаля и Исаака Ньютона и было обусловлено созданием основ дифференциального и интегрального исчисления. Дальнейшее развитие гидродинамики связано с именами Леонарда Эйлера, Даниила Бернулли, Лагранжа, Пуассона, Людвига Прандтля, Коши, Навье, Стокса, Сен-Венана, Пуазейля, Осборна Рейнольдса и многих других. Именно этими учеными был существенно развит существовавший на тот момент математический аппарат и была собственно создана классическая гидродинамика. Для того чтобы характеризовать физическое поведение жидкости ими были получены различные системы дифференциальных уравнений, которым должны удовлетворять скорость и давление жидкости как функции координат и времени.

Движение несжимаемой жидкости с постоянной плотностью р = const, заполняющей ограниченную область П С Ж", п — 2,3, на промежутке времени [О, Т], Т > 0 описывается системой уравнений в форме Коши (здесь и далее используется соглашение о суммировании по повторяющимся индексам):

{D д \

р(+ )+giadp = Biv a+ pf, (x,t) efix [О, Г], (1)

div v = 0, (i.tjefix [О, Т], (2)

где v(x,t) — вектор скорости частицы в точке х в момент времени t и vi, ■.. vn — компоненты v\ р = р(х, t) — давление жидкости в точке х в момент времени t; / = f(x, t) — плотность внешних сил (их также

называют объемными), действующих на жидкость. Через Diver обо-

( " д<щ А да2, » дапД

значен вектор I V , ,• • •, ^ —— , координаты которого

\i=i ох, J=1 dxj dXj J

являются дивергенцией строк матрицы а — (cri}-(x)), где а — девиатор

тензора напряжений, trcr — 0.

Без ограничения общности будем считать в дальнейшем плотность р равной единице.

Введение в уравнение (1) девиатора тензора напряжений и имеет целью учёт реакций, возникающих в жидкости в процессе её движения. Система (1),(2) описывает течение всех видов жидкости, но при этом она содержит девиатор тензора напряжений, который явно не выражен через неизвестные этой системы. Чтобы выразить девиатор тензора напряжений через неизвестные системы (1),(2), как правило, используют соотношения между девиатором тензора напряжений и тензором скоростей деформаций £ = (£y)Ij=i, £ц = £ц (г») =

5 (fxj" + lit) и их производными. Устанавливая связь между девиатором тензора напряжений и тензором скоростей деформаций и их производными, мы тем самым устанавливаем тип жидкости. Такое соотношение называют определяющим или реологическим соотношением. Необходимо отметить, что эти соотношения относятся к разряду гипотез, которые должны подтверждаться для конкретных жидкостей экспериментальными данными.

Простейшим примером определяющего соотношения, отвечающим идеальной несжимаемой жидкости, является уравнение а = 0. Движение идеальной несжимаемой жидкости описывается уравнениями Эйлера.

В течение последних полутора столетий основным объектом исследования математиков в области гидродинамики является модель ньютоновской жидкости. Её реологическое соотношение имеет вид: а — 2v£, где v — кинематический коэффициент вязкости. Подставляя это соотношение в (1),(2), получаем хорошо известную систему уравнений Навье-Стокса. Эта система уравнений описывает течение при умеренных скоростях большинства встречающихся на практике вязких несжимаемых жидкостей.

нуль, а спадают по некоторому закону, то есть имеет место релаксация напряжений; а также жидкости, в которых после снятия напряжений движение не прекращается мгновенно, а затухает по некоторому закону, то есть имеет место запаздывание деформации; и те жидкости, в которых имеют место оба этих эффекта. Впервые модели таких жидкостей были предложены в XIX веке Дж. Максвеллом, В. Кельвином и В. Фойгтом и были развиты в середине XX века в значительной степени благодаря работам Дж. Г. Олдройта. Впоследствии на основе этих работ были построены различные модели, описывающие движение таких "неньютоновских" сред как эмульсии и суспензии одной ньютоновской жидкости в другой, сильно разбавленные суспензии твердых частиц в ньютоновской жидкости, слабоконцентрированные водные полимерные растворы.

Как уже отмечалось ранее, в течении последних полутора столетий в основном изучались различные начально-краевые задачи для классических систем уравнений гидродинамики — системы уравнений Эйлера и системы уравнений Навье-Стокса. Наиболее известными являются работы Ж. Лере, Ю. Шаудера, С.Л. Соболева, O.A. Ладыженской, Р. Темама, Ж.-Л. Лионса, В.А. Солонникова, A.B. Фурсикова. В этих работах были предложены различные функциональные методы решения начально-краевых задач гидродинамики. Одним из этих методов является переход к обобщенной постановке задачи, при которой исходное уравнение заменяется уравнением в некотором пространстве функционалов. Решение такой задачи называют обобщенным решением. Отметим, что любое классическое решение всегда является обобщенным решением, обратное же верно не всегда.

Важно отметить, что "неньютоновские" среды не столь подробно изучены с точки зрения математических постановок задач. Однако, в последнее время данный класс задач широко изучается и в этом направлении имеется большое число работ таких авторов, как O.A. Ладыженская, В.Г. Литвинов, А.П. Осколков, H.A. Каразеева, В.В. Шелюхин, П.Е. Соболевский, Ю.А. Агранович, К. Гильопе, Ж. Со, М. Ренарди, П.-Л. Лионе, Н. Масмуди, В.П. Орлов, В.Г. Звягин, В.Т. Дмитриенко, Д.А. Воротников и многих других.

Целью работы является исследование вопросов существования, единственности и некоторых свойств решений начально-краевых задач для математических моделей движения упругих сред Кельвина-Фойгта и их обобщений.

Методика исследований. Использовались идеи и методы совре-

" менного нелинейного анализа и теории дифференциальных уравнений в частных производных, в частности, методы теории нелинейных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, аппроксима-ционно-топологический метод исследования задач гидродинамики, разработанный В.Г. Звягиным и В.Т. Дмитриенко, методы теории топологической степени, априорных оценок и др.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Среди них можно выделить следующие наиболее важные:

1. Доказаны существование и единственность слабого решения начально-краевой задачи для системы уравнений Осколкова.

2. Предложены две корректные постановки начально-краевых задач для систем уравнений движения сред, описываемых обобщенной моделью Кельвина-Фойгта произвольного порядка. В каждой из постановок доказаны существование и единственность слабого решения.

3. Доказано существование слабого решения начально-краевой задачи для системы уравнений, описывающей движение слабо концентрированных водных полимерных растворов.

Теоретическая и практическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты применяются при ис- . следовании различных течений вязкоупругих жидкостей и сред.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на "Зимней школе по механике сплошных сред (трина- ■ дцатой), Школе молодых ученых по механике сплошных сред" (Пермь, 2003), Воронежских зимних математических школах (2004,2005), "Зимней школе по механике сплошных сред (четырнадцатой)" (Пермь, 2005), международной математической школе-семинаре "Математическое моделирование и биомеханика в современном университете" (Абрау-Дюрсо, 2005), международной научной конференции "Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения" (Воронеж, 2005), международном математическом конгрессе по приложениям математики "International Congress on the Applications of Mathematics - ICAM 2006" (Сантьяго, Чили, 2006), семинаре в математическом институте имени В.А. Стеклова (2006), семинаре под руководством профессора A.B. Фурсикова (МГУ, 2006), семинаре под руководством профессора A.J1. Скубачевского (РУДН, 2006).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[11].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на четырнадцать пунктов, и списка лите-

ратуры, включающего 64 источника. Общий объём диссертации 116 страниц.

Краткое содержание работы

Во введении приводятся краткие исторические и библиографические сведения о предмете исследования, кратко характеризуется тема работы, её цели и задачи. Дано общее описание изучаемых проблем, основные направления и методы исследования.'Характеризуются полученные в диссертации результаты.

Нумерация приводимых ниже определений и теорем совпадает с их нумерацией в диссертации.

В первой главе рассматривается одна система, возникающая в теории неньютоновских жидкостей. А именно, в ограниченной области Г2 С Ж", п = 2,3 с локально-липшицевой границей 80,, на промежутке времени [О, Т],Т > 0 изучается система уравнений:

J Ь(з,г)Ау(з)с1з+ о

+ 5га<3р = /, (х, 0 е«х [О, Г], (3)

сЦу г? = 0, (1,()£Йх[0,Г]. (4)

В данной системе ~ константы, рг > 0; функция Ь € ¿оо((0 ,Т)х (О ,Т)).

Система (3),(4) носит название системы уравнений Осколкова или интегродифференциальной системы Кельвина-Фойгта. Система уравнений, описывающая движение жидкости Кельвина-Фойгта изучается во второй главе. Там будет показано, что при определённых условиях она может быть сведена к системе (3),(4).

Для системы (3),(4) рассматривается начально-краевая задача с начальным условием

*>|г=о(я) = а(х), г 6 О, (5)

и граничным условием

= 0. (6)

Для начально-краевой задачи (3)-(6) ранее было известно существование и единственность сильного решения в областях с гладкой границей. Слабая разрешимости данной задачи, а также представляющий

ду . дю ■ дАу

большой интерес вопрос единственности слабого решения ранее не были изучены.

Первая глава состоит из четырех пунктов. В первом пункте ставится начально-краевая задача (3)-(6).

Во втором пункте вводятся основные обозначения, ставится задача

0 слабых решениях начально-краевой задачи (3)-(6) и формулируются основные результаты главы о существовании и единственности слабого решения задачи (3)-(6) (теорема 1.2.1) и о классах слабых решений в зависимости от данных задачи (теорема 1.2.2).

Пусть V = {г> : V € С$°{П)п, ей™ = 0}.

Символами Н и V обозначаются замыкания V по норме пространств 1/2(0)" и ТУ^О)" соответственно.

Через V* мы обозначим пространство сопряженное к пространству V, а через {/, V) — действие функционала / € V* на элемент и £ V.

Следуя Р. Темаму, будем отождествлять пространство Н и его сопряженное пространство Н*. Поэтому имеем вложение

V С Я = Н* С V*.

Обозначим через

УГр={о: V 6 С([0,Т],У), и'бЬр(0,Г;К)},1<р<оо, ' пространство с нормой:

1МК = |М|с«0,ПУ) + 1И1х,(0,Т;У)-

Символом Уи : и = («1,..., и„), уз = (<¿>1,..., <рп) будем обозначать покомпонентное умножение матриц, определяемое равенством дщ

V« : = —- ■ —.

ОХ] ОХ]

Предполагается, что / € Ьр(0, Г; У*), 1 < р < оо, а € V. Определение 1.2.1. Слабым решением задачи (3)-(6) называется функция V £ Игр, удовлетворяющая для любого \р 6 V и почти всех

1 € (0,Т) равенству

J■~^pdx + р,2 J ^^ '■ ^ ^х + р.1 ^ Vv : йх—

п п сг

~ / аХ + /1йз :Ъ<Р<1х= (/, <р) (7)

п по

и началъполщ условию

у(0) = а.

Теорема 1.2.1 При любых / е Ьр(0,Т;У*), 1 ^ р < са,а е V существует единственное слабое решение v 6 задачи (3)-(6).

Теорема 1.2.2 Если к е СА([0,Т] х [0,Т]),/ 6 Сй([0,Т], V ), где к — 0,1, 2,..то слабое решение задачи (3)-(6) принадлежит пространству С*+1([0, Т], V).

В третьем пункте вводятся операторные уравнения эквивалентные задаче о слабых решениях и исследуются свойства операторов из этих операторных уравнений.

В четвертом пункте получена априорная оценка для слабых решений начально-краевой задачи (З)-(б) (теорема 1.4.1).

В пятом пункте доказывается существование (теорема 1.5.1) и единственность (теорема 1.5.2) слабого решения начально-краевой задачи

В шестом пункте доказывается теорема о классах слабых решений задачи (3)-(6) в зависимости от данных задачи (теорема 1.2.2).

Во второй главе исследуются две начально-краевые задачи для сред, удовлетворяющих обобщенной математической модели Кельвина-Фойгта произвольного порядка. Система уравнений, описывающая движение этого класса линейных вязкоупругих сред в ограниченной области О С К", п = 2,3 с локально-липшицевой границей д£1, на промежутке времени [0,Т],Г > 0 имеет вид:

Здесь коэффициенты А,- — времена релаксации, V — кинематический коэффициент вязкости, а щ — времена запаздывания (ретардации), Ь = 1,2,____Исходя из физического смысла задачи предпола-

гается, что > 0 и что корни многочлена <Э(р) = 1 +

вещественны, отрицательны и различны.

Отметим, что в работах А.П. Осколкова 1982 и 1987 годов уже рассматривались начально-краевые задачи для системы уравнений (9)-(11). В этих работах изучаемая начально-краевая задача сводилась к

(3)-(6).

Я»1 Л11

аь/у = 0, (1,{)еОх[0,Т);

(9) (10)

«=1

некоторой другой задаче и доказывалось существование решения этой новой задачи при любых начальных данных. При этом в указанных работах не проверялось, что полученное решение начально-краевой задачи будет удовлетворять исходным начальным условиям на а, £ и их производные. Однако, отметим, что начальные условия должны удовлетворять (9), иначе решение с такими начальными условиями также не будет ему удовлетворять. Также важно отметить, что ранее для данной модели изучались только сильные решения и в гладких областях. Нами же были исследованы вопросы существования и единственности слабых решений в областях с негладкой, а только локально-липшицевой границей.

Вторая глава состоит из четырех пунктов. В первом пункте производится описание уравнений для сред, удовлетворяющих обобщенной модели Кельвина-Фойгта произвольного порядка.

Во втором пункте вводятся обозначения, используемые в данной главе. ;

В дополнение к введенным ранее обозначениям будем обозначать через М(п) пространство матриц п х п со скалярным произведением

[А, В)М(п) — А: В = АцВ^.

Мц(п) — подпространство симметричных матриц из М(п).

В третьем пункте для системы уравнений (9)-(11) предлагаются две постановки начально-краевых задач и формулируются основные результаты главы о существовании и единственности слабого решения каждой из поставленных задач (теоремы 2.3.1 и 2.3.2).

Первая постановка: для системы (9)-(11) рассмотрим начально-краевую задачу с начальными условиями

— ^(х) = щ(х), 1ей,» = 0,Ь; (12)

|?и,(а:) = :веП>*" = 0.£-1 (13)

и граничным условием

«|вПх[0Д1 (14)

г =

_Предполагается, что / € С£([0, Т], V*), а* € V, Ь5 е Ь2(П, М8(п)),

Определение 2.3.1 Слабым решением началъно-крае>. (9)-(14) называется пара функций

v € См([0,Т\,У),ае Сь([0,Т), Ь2(П,Ма{п))),

удовлетворяющая для любого <р е V и всех Ь € [О, Г] равенствам

/ди /* ^ /»

<рйх - I ¿X = - j . (15)

п п п

ы начальным условиям (12),(13).

Первым из основных результатов главы является следующая теорема

_Теорема 2.3.1 При / е Сьф,Т\, V") исц € У, ^ 6 Ь2(П, М3(п)), £ =

1 ,Ь, з — 1,11—1, удовлетворяющих следующей системе согласования:

/а1<р(1х-/(ао){(ао);^(1х = - / Ь0 : + </|4=0, </>) , а п п

/а2(рс1х-/ ((сч){(ао^ + (аоМаОу) =

ь-1 д

/а£<рс1х-/22 Ср(атМак-тЬ-5% ¿х =

П П т=0

(17)

существует единственное слабое решение начально-краевой задачи (9)-(14).

Замечание Система (17) является и необходимым условием существования слабого решения начально-краевой задачи (9)-(14), то есть если слабое решение существует, то функции / 6 С£([О, Т], V*) и а.1 Е V, Ъ] е ¿2(О, Ма(п)), г = 1, Ь, 3 = 1, Ь — 1 обязательно удовлетворяют (17).

Вторая постановка Рассмотрим для системы (9)-(11) начально-краевую задачу с начальными условиями (13):

(®) = Ь*(х). х £ Г2, г = 0, £ — 1;

и Ь=а (х) = ао(г), (18)

^граничным условием (14):

г,|апх[о,т] = 0.

Как в первой постановке предполагается, что / € С£([0, Г], V*), а0 € V, Ь{ 6 Ь2(П, М8(п)), г = 0,Ь-1.

Определение 2.3.2 Слабым решением начально-краевой задачи (9)-(11),(13),(18),(14) называется пара функций

v е Сь+1([0, Г], V), а € Сх([0, Т], Ь2(П, М,(п))),

удовлетворяющая для любого <р £ V и всех t £ [0, Г] равенствам (15),(16) и начальным условиям (13),(18).

- Вторым из основных результатов является следующая теорема

Теорема 2.3.2 При правой части / 6 Сь([0, Т], V*) и начальных условиях а о 6 V, Е 1/2({2, М3(п)), г = 0,£ — 1 таких, что решение ' ^ ~ следующей системы

П £1

о. 4 '

< .........

I-1 £ спШи^и^

п П т=1

п 4

п 4 '

(19)

принадлежит V, существует единственное слабое решение начально-краевой задачи (9)-(11),(13),(18),(14).

Замечание Существование решения = 1, Ь) систе-

мы (19) является и необходимым условием существования слабого решения начально-краевой задачи (9)-(11),(13),(18),(14), то есть если слабое решение существует, то система (19) имеет единственное решение (а* е V, & = 1, Ь).

В четвертом пункте доказывается теорема 2.3.2 и приводится замечание по поводу доказательства теоремы 2.3.1.

В третьей главе исследуется исследуется слабая разрешимость начально-краевой задачи для системы уравнений, описывающей движение слабых водных растворов полимеров в ограниченной области Г2 С К", тг = 2, 3 с локально-липшицевой границей на промежутке времени [О, Т].

Определяющее соотношение для этой модели имеет вид

а = Ъ/ (г + > ^ и> (20)

Здесь v — кинематический коэффициент вязкости, а ус — время запаздывания. Коэффициент ус называют также временем релаксации деформаций. Выражение ^ ~ §{ + обозначает полную (субстанциональную) производную по времени. Соотношение (20) отличается от ньютоновского определяющего соотношения наличием добавочного члена учитывающего релаксационные свойства жидкости. В случае очень слабых релаксационных свойств жидкости (при ус близких к нулю), а также в случае установившегося характера движения жидкости, когда полная производная по времени от тензора скоростей деформаций равна нулю, добавочный член пропадает. В случае турбулентного режима и при неустановившемся ламинарном режиме движения жидкости добавочный член будет отличен от нуля и должен играть значительную роль.

Начально-краевая задача, описывающая движение слабых водных полимерных растворов имеет вид:

Эу А дь ЗДи _. ( д£(~, .

т ~'+ ^"*аГ -Г1ьГ 1 +

к )

+ 5гас1 р = /, а: е П, * е [0,Т]; (21)

. с!1Уг; = 0, а: € Г2, < е [0, Т]; (22)

и(х,0) = а,(ж), х £ П; (23)

и|аггх[о,г] = 0. (24)

Отметим, что в ряде работ А.П. Осколкова и его сотрудников данная начально-краевая задача изучалась при условии замены полной производной на частную производную что соответствует модели движения жидкости Фойгта и существенно сужает класс описываемых сред. Различные линеаризации данной начально-краевой задачи изучались в работах А.П. Осколкова 1972 и 1973 годов. Однако, позднее им же в работе 1975 года было замечено, что доказательства в этих

работах содержат ошибки и, следовательно, полученные результаты являются неверными. Одна из линеаризаций для данной начально-краевой задачи была изучена им при граничных условиях проскальзывания в работе 1994 года. O.A. Ладыженская в своей работе 2000 года отмечает, что методы, использованные А.П. Осколковым для изучения различных линеаризаций начально-краевой задачи (21)-(24) в уже упомянутых работах, являются ошибочными и вопрос о существовании решений данной начально-краевой задачи оставался открытым.

Отличие нашего подхода состоит в том, что для доказательства разрешимости нами используется модифицированный метод введения искусственной вязкости, а также аппроксимационно-топологический подход.

Третья глава состоит из четырех пунктов. В первом пункте производится описание модели и постановка начально-краевой задачи, описывающей движение слабоконцентрированных водных полимерных растворов.

Во втором пункте вводятся основные обозначения, вводится определение слабого решения начально-краевой задачи и формулируется основной результат — теорема существования слабого решения (теорема 3.2.1).

В дополнение к обозначениям введенным ранее будут использоваться следующие обозначения.

X — замыкание V по норме пространства W|(ii)n.

Через X* мы обозначим пространство сопряженное к пространству X, а через (ft, v) — действие функционала h 6 X* на элемент v 6 X.

Обозначим через Z образ пространства X при действии оператора (I — лгД), то есть пространство Z — (I — хА)Х. Отметим, что Z является подпространством V, но не совпадает со всем V.

Введём далее пространство

= Ьте(0,Т; V), v' е L2(Q,T-Z*)}

с нормой:

IMIs, = IMl£oo(0,r;V) + IMUs(0,T;Z-).

Предполагается, что / G Ьг(0,Т; V*), а, £ V.

Определение 3.2.1 Слабым решением начально-краевой задачи (21)-(24) называется функция v 6 Ei, удовлетворяющая для любого

<р 6 X и почти всех t 6 (О, Т) равенству

({I - лгД)^, ~ У ¿х + и I Уи : йх~

п % п

УС Г дvi д2ср< , УС Г ду, д2ч>4 , ., . . ч

(25)

п п

и начальному условию

и(0)=о». (26)

Основным результатом этой главы является следующая теорема:

Теорема 3.2.1 Для любых / 6 ¿г(0,Т;У*),о, е V начально-краевая задача (21)-(24) имеет хотя бы одно слабое решение и, € Е\.

В третьем пункте вводится начально-краевая задача с малым параметром, аппроксимирующая исходную и доказывается существование слабого решения этой задачи.

В четвертом пункте приводится доказательство теоремы 3.2.1, а именно показывается, что из последовательности решений аппрокси-мационной задачи можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к решению исходной начально-краевой задачи при стремлении параметра аппроксимации к нулю.

Публикации автора по теме диссертации

1. Турбин М.В. Исследование математической модели движения жидкости Фойгта / М.В. Турбин. // Вестник ВГУ. Серия физика, математика. - 2003. - №1: - с.169-181.

2. Турбин М.В. Исследование математической модели движения жидкости Фойгта / М.В. Турбин. // Зимняя школа по механике сплошных сред (тринадцатая). Школа молодых учёных по механике сплошных сред. Тезисы докладов. - Екатеринбург: УрО РАН. - 2003. - С. 331.

3. Турбин М.В. Исследование математической модели движения слабых водных растворов полимеров / М.В. Турбин. // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Материалы конференции. - Воронеж: ВГУ. - 2005. - С. 231-232.

4. Турбин М.В. Исследование математической модели движения слабо концентрированных водных полимерных растворов /М.В. Турбин. // Топологические и вариационные методы нелинейного анализа

"и" йх приложения. Материалы международной научной конференции ТВМНА-2005. - Воронеж. - 2005. - С. 104-105.

5. Турбин М.В. Исследование обобщенной математической модели движения жидкости Кельвина-Фойгта / М.В. Турбин. // Вестник ВГУ. Серия физика, математика. - 2004. - №1. - С. 163-179.

6. Турбин М.В. Исследование обобщенной математической модели движения жидкости Кельвина-Фойгта / М.В. Турбин. // Воронежская зимняя математическая школа - 2004. - Воронеж:ВорГУ. - 2004. - С. 107-109.

7. Турбин М.В. О корректной постановке начально-краевых задач для обобщенной модели Кельвина-Фойгта / М.В. Турбин. // Известия Вузов. Серия Математика. - 2006. - №3. - С. 50-58.

8. Турбин М.В. О корректных постановках начально-краевых задач для обобщенной модели движения жидкости Кельвина-Фойгта / М.В. Турбин. // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Труды Международной школы-семинара, пос. Абрау-Дюрсо, 23-27 мая 2005 г. - Ростов-на-Дону. - 2005. - С. 55-56.

9. Турбин М.В. О корректной постановке начально-краевых задач для обобщенной модели Кельвина-Фойгта / М.В. Турбин. // Зимняя школа по механике сплошных сред (четырнадцатая). Тезисы докладов. - Екатеринбург: УрО РАН. - 2005. - С. 294.

10. Turbin M.V. Research of mathematical model of low concentrated aqueous polymer solutions / M.V. Turbin // International Congress on the Applications of Mathematics - ICAM 2006, March 13-17, 2006, Santiago, Chile. Abstracts. - Santiago. - 2006. - P. 1-2.

11. Turbin M.V. Research of a mathematical model of low-concentrated aqueous polymer solutions / M.V. Turbin // Abstract and Applied Analysis, 2006. - V. 2006. - P. 1-27.

Подписано в печать 30.10.2006. Формат 60x84/16. Усл. п. л. 1,0. Тираж 100. Заказ 858. Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета. 394000, г. Воронеж, Университетская площадь, 1, ком.43, тел.208-853.

Отпечатано в лаборатории оперативной печати ИПЦ ВГУ .— - -............

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Турбин, Михаил Вячеславович

Введение

1 Существование и единственность слабого решения для одной модельной системы в теории неньютоновских жидкостей

1.1 Интегродифференциальная сисюма А.П. Осколкова

1.2 Обозначения, постановка задачи о слабых решениях и основной результат главы.

1.3 Операторные уравнения эквивалентные задаче о слабых решениях и исследование свойств операторов из этих уравнений.

1.4 Априорная оценка.

1.5 Доказательство теоремы 1.2.1.

1.5.1 Теорема существования слабого решения модельной задачи.

1.5.2 Теорема единственности решения.

1.6 Доказательство теоремы 1.2.2.

2 Две корректных постановки начально-краевых задач для обобщенной модели Кельвина-Фойгта. Существование и единственность слабого решения в каждой из постановок

2.1 Об обобщенной модели Кельвина-Фойпа.

2.2 Обозначения, исиользуемые в данной главе.

2.3 Две корректных постановки начально-краевых задач и формулировка основных результатов.

2.3.1 Первая постановка.

2.3.2 Вторая постановка.

2.4 Доказательство теоремы 2.3.2.

3 Слабая разрешимость начально-краевой задачи для системы уравнений, описывающей движение слабых водных растворов полимеров

3.1 Об одной модели движения слабо концентрированных водных расI воров полимеров.

3.2 Обозначения, постановка задачи о слабых решениях и основной результат главы.

3.3 Аиироксимационная задача.

3.3.1 Операторная трактовка аппроксимационной задачи

3.3.2 Априорная оценка.

3.3.3 Теорема существования решений аппроксимаци-онной задачи.

3.4 Доказательство теоремы 3.2.1.

Введение диссертация по математике, на тему "Исследование начально-краевых задач для математических моделей движения упругих сред Кельвина-Фойгта и их обобщений"

Изучение движения жидкости с давних времен является источником большого числа задач в математике. При попытках изучения даже самых простых математических моделей движения жидкосги возникает большое число проблем, многие из коюрых не решены и по сей день.

Исторически первой научной работой в этом направлении видимо является трактат Архимеда "О плавающих челах", в ко юром впервые вводится понятие давления как основной характеристики взаимодействия частиц жидкое!и и используется предположение о несжимаемости жидкости. На основе этих двух механистических предпосылок начала развиваться гидростатика, для развития которой был использован существовавший на тот момент математический аппарат геометрии Евклида. Собственно создание гидродинамики (науки о движении жидкости) связано с именами Галилео Галилея, Гюйгенса, Блеза Паскаля и Исаака Ныоюна и было обусловлено созданием основ дифференциального и интегрального исчисления. Дальнейшее развитие гидродинамики связано с именами Леонарда Эйлера, Даниила Бернулли, Лагранжа, Пуассона, Людвига Прандтля, Коши, Навье, Стокса, Сен-Венана, Пуазейля, Осборна Рейнольдса и многих других. Именно этими учеными был существенно развит существовавший на тот момент математический аппарат и была собственно создана классическая гидродинамика. Для того чтобы характеризовать физическое поведение жидкости ими были получены различные системы дифференциальных уравнений, которым должны удовлетворять скорость и давление жидкости как функции координат и времени.

Движение несжимаемой жидкости с постоянной плогностыо р = const, заполняющей ограниченную область О, С R", п = 2,3, на проме-жугке времени [О,Т], Т > 0 описывается сис1емой уравнений в форме Коши [12|,[57] (здесь и далее используеюя соглашение о суммировании по покоряющимся индексам): dv dv \ Vl^x) + gmdp = Diva + Pf> 0 € fi х [О ,Т], (0.0.1) div v = 0, (х, t) 6 П х [0,Т], (0.0.2) где v(x,t) — вектор скорости часгицы в точке х в момент времени t и v\,.vn — компоненты v, р = р(х, t) — давление жидкости в точке х в момент времени t; f = f(x,t) плотность внешних сил (их также называют обьемными), действующих на жидкость. Через Divtr обо/ A daij " да2] " дапЛ значен вектор > -тг? У, тг> • • • > X, , координаты которого \j=i dxj J=l дх3 J=1 дх} J являются дивергенцией строк матрицы а = (<jtJ(x)), где и — девиатор тензора напряжений, tr<7 = 0. Полный тензор напряжений в несжимаемой жидкости Т = —рЕ + а, Е — единичный тензор.

Без ограничения общности будем считать в дальнейшем плотность р равной единице.

Введение в уравнение (0.0.1) девиатора тензора напряжений а имеет целью учёт реакций, возникающих в жидкости в процессе её движения. Сисхема (0.0.1),(0.0.2) описывает течение всех видов жидкости, но при эюм она содержит девиатор тензора напряжений, который явно не выражен через неизвестные эюй системы. Чтобы выразить девиатор тензора напряжений через неизвестные сис1емы (0.0.1),(0.0.2), как правило, используют соотношении между девиатором тензора напряжений и тензором скоростей деформаций £ = {£ij)™J=l, £г} = £tJ{v) = \ {дх' и их производными. Устанавливая связь между девиачором тензора напряжений и тензором скороеiей деформаций и их производными, мы тем самым устанавливаем тип жидкости. Такое со-огношение называют определяющим или реологическим соотношением. Необходимо отметить, что эти соотношения относятся к разряду гипотез, которые должны подтверждаться для конкретных жидкостей экспериментальными данными.

В течение последних полутора сюлетий основным объектом исследования математиков в области гидродинамики является модель ньютоновской жидкости. Её реологическое соотношение имеет вид: а = 2v£, (0.0.5) где у - кинематический коэффициент вязкости. Подставляя это соотношение в (0.0.1),(0.0.2) получаем хорошо известную систему уравнений Навье-Стокса: dv dv

-г/Ди + gradp = f, (x,t) в Q x [0,T], divu = 0, (x,t) G Q x [О, Т].

0.0.G)

0.0.7)

9ia сислема уравнений описывает течение при умеренных скоростях большинства встречающихся на практике вязких несжимаемых жидкое I ей.

Однако, уже в середине XIX века стали известны такие вязкие несжимаемые жидкости, которые не подчиняются ньютоновскому определяющему соотношению. Они получили название "неныотоновские жидкости". Таковыми являются, например, жидкости, в которых после прекращения движения напряжения не обращаются мгновенно в нуль, а спадают по некоторому закону, то есть имеет место релаксация напряжений. А также жидкости, в которых после снятия напряжений движение не прекращается мгновенно, а затухает по некоторому закону, то есть имеет место запаздывание деформации. И также те жидкости, в которых имеют место оба этих эффекта. Впервые модели таких жидкое 1 ей были предложены в XIX веке Дж. Максвеллом [40],[41], В. Кельвином и В. Фойгтом [6] и были развиты в середине XX века в значительной степени благодаря работам Дж. Г. Олдройта [26],[61]. Данные модели учитывают предысторию течения жидкости.

На основе моделей жидкостей Максвелла, Кельвина-Фойпа и Олдройта впоследствии была построена феноменологическая теория линейных вязкоупругих жидкос1ей с конечным числом числом дискретно распределённых времен релаксации и времен запаздывания [7],[56], [57]. Такое название получили жидкости, реологическое соотношение которых имеет вид: (0.0.8)

Здесь Аг — времена релаксации, и — кинематический коэффициент вязкости, а коэффициенты нг — времена запаздывания (ретардации). Числа M,N — натуральные. В основе теории линейных вязкоупругих жидкое гей лежит предположение — принцип суперпозиции J1. Больц-мана — о том, чю все воздействия на среду независимы и аддитивны, а реакции среды на внешние воздействия линейны. К таким жидкостям относятся эмульсии и суспензии одной ньютоновской жидкости в другой, сильно разбавленные суспензии твердых частиц в ньююновской жидкости, некоторые полимерные растворы [7].

Ещё одним классом пенькионовских жидкое i ей являются слабоконцентрированные водные полимерные растворы. В таких растворах наряду с вязкими необходимо учитывать также и упругие свойства. Напряжения в таких полимерных paciворах зависят как от истории деформирования, так йот мгновенного значения скорости деформации, причём проявление вязкостных свойств в поведении материала связано с влиянием растворителя и в случае низкой концентрации полимера этот вклад не являйся пренебрежимо малым. Это подтверждается экспериментальными исследованиями paci воров полиэтиленоксида и полиакриламида [1] и растворов полиакриламида и гуаровой смолы [2] На основе этих исследований в работе [39] было предложено следующее реологическое соотношение:

Здесь v — кинематический коэффициент вязкосчи, ах — время за

0.0.9) наздывания. Коэффициент к называют также временем релаксации деформаций. Выражение ^ = Jj+^z^ обозначает полную (субстанциональную) производную по времени. Соотношение (0.0.9) отличается от ньютоновского определяющего соотношения (0.0.5) наличием добавочного члена учитывающего релаксационные свойства жидкости. В случае очень слабых релаксационных свойств жидкости (при к близких к нулю), а также в случае установившегося характера движения жидкости, когда полная производная по времени от тензора скоростей деформаций равна нулю, добавочный член пропадает. Однако, в случае турбулентного режима и при неустановившемся ламинарном режиме движения жидкости добавочный член будет отличен от нуля и должен играть значительную роль.

Как уже отмечалось ранее, в течении последних полутора столетий в основном изучались различные начально-краевые задачи для классических систем уравнений гидродинамики — системы уравнений Эйлера (0.0.3),(0.0.4) и системы уравнений Навье-Стокса (0.0.6),(0.0.7). Наиболее известными являются работы Ж. Jlepe, К). Шаудера, C.J1. Соболева [43], О.А. Ладыженской [21|, Р. Темама [45], Ж.-Л. Лионса. В этих работах были предложены различные функциональные мстоды решения начально-краевых задач гидродинамики. Для всех этих мею-дов характерен переход к обобщенной постановке задачи, при ко юрой исходное уравнение заменяется уравнением в некоюром пространстве функционалов. Решение такой задачи называют обобщенным решением. Обобщенные решения подразделяются на сильные и слабые решения в зависимости от их гладкости. Отметим, что любое классическое решение всегда являстся обобщенным решением, обратное же верно нс всегда. Переход от классической пос1ановки задачи к обобщенной обычно обусловлен тем, что существование и единственность обобщенного решения доказываются намного проще.

Основу функциональных методов составляют априорные оценки решений. Данные оценки зачастую доказываю 1ся для точных решений и тогда существование решения показывается с помощью различных теорем о неподвижной точке или теории топологической степени. Однако, оценка не всегда доказывается для самих решений, скажем в широко распространенных меюде Галёркина-Фаэдо и меюде конечных разностей априорная оценка получается для Галёркинских или соответственно конечно-разностных приближений, а после уже показывается, что эти приближения сходятся к решению задачи. В последнее время достаточно широко развивается анпроксимационно-топологический подход к решению такого рода задач [14]. В данном случае априорная оценка устанавливается для решений некоторой задачи, аппроксимирующей исходную. После чего на основе Э1их оценок при помощи теории топологической степени устанавливается разрешимость этой ап-проксимационной задачи и показывается, что полученное решение сходится в каком-либо смысле к решению исходной задачи. Также стоит отметить, что очень важной деталью во всех этих методах являются различные теоремы вложения функциональных пространств.

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию вопросов существования, единственности и некоторых свойств решений начально-краевых задач, описывающих движение вязкоупругих сред Кельвина-Фойгта, их обобщений, а также различных несжимаемых сред близких к жидкостям.

Приведем обзор содержания диссертции по главам. В первой главе рассматривался одна модельная сис1ема в теории неньююновских жидкостей. А именно в ограниченной области f} С Шп, п = 2,3 с локально-липшицевой границей дП, на промежутке времени [0,Т],Т > 0 изучается система уравнений: t л f; / а / \ i - ni&v + vt— - - / h{s, t)Av(b) ds + gradp =

1 о /, (x,t) G ft x [0,T], (0.0.10) d\vv = 0, (x,t) e ft x [0,T]. (0.0.11)

В данной сис1еме — констнты, Ц2 > 0; функция h € Z/oo((0,T) x

0 ,T)).

Сис1ему (0.0.10),(0.0.11) иногда называют системой уравнений Ос-колкова или инхегродифференциальной системой Кельвина-Фойгта. Изучению модели движения жидкости Кельвина-Фойгта посвящена вторая глава данной диссертации. Изучаемая же в первой главе система уравнений (0.0.10),(0.0.11) является для неё модельной.

Для системы (0.0.10),(0.0.И) рассматриваем начально-краевая задача с начальным условием v\t=о (ж)=а(ж), zEft, (0.0.12) и граничным условием v\eax[o ,г] = 0. (0.0.13)

В работах [27] и [28] уже изучалась начально-краевая задача (0.0.10)-(0.0.13). В них было доказано существование и единственность сильного решения этой задачи в облас1ях с гладкой границей. Слабая разрешимости данной задами, а также представляющий большой интерес вопрос единственности слабого решения ранее не были изучены. В данной диссер]ации получены теоремы существования и единственности слабых решений в областях с негладкой, а только локально-липшицевой границей.

Первая глава состоит из четырех пунктов. В первом пункте ставится начально-краевая задача для данной системы уравнений.

Во втором пункте вводятся основные обозначения, используемые в данной главе, ставится задача о слабых решениях начально-краевой задачи (0.0.10)-(0.0.13) и формулируются основные результаты главы (теоремы 1.2.1 и 1.2.2).

В четвертом пункте получена априорная оценка для слабых решений начально-краевой задачи (0.0.10)-(().0.13).

В пятом пункте доказывается существование и единственность слабого решения начально-краевой задачи (0.0.10)-(0.0.13) (теорема 1.2.1).

В шестом пункте доказывается теорема о классах слабых решений задачи (1.1.1) - (1.1.4) в зависимости от данных задачи (теорема 1.2.2).

Во второй главе исследую 1ся уравнения движения для сред, удовлетворяющих обобщенной математической модели Кельвина-Фойгта. Система уравнений, описывающая движение эюго класса линейных вязкоупругих сред в ограниченной области Q С К", п = 2,3 с локально-липшицевой границей 8Q, на промежутке времени [0, Т],Т > 0 имеет вид: dv dv dt+Vld^ + gradp = Div a + £ &1°'Tl' (°-0-14) div v = 0, (x,t) £ ft x [0,T];

0.0.15)

L <9г \ f L+l д <9гг / \ ^ 1<9гг г=1 / \ г=1

0.0.16)

Исходя из физического смысла задачи будем предполагать следующее условие на коэффициенты (0.0.16): >cl+i,Xl > 0.

Для системы уравнений (0.0.14)-(0.0.16) предлагаются две постановки начально-краевых задач. Первая постановка: для сисюмы (0.0.14)-(0.0.16) рассмотрим начально-краевую задачу с начальными условиями dtl д1а t=о ж) = аг(х), х £ П, г = 0, L; dtl t=о ж) = Ьг(х), х £ ft, i = 0, L — 1

0.0.17) (0.0.18) и граничным условием опх[о,П = (0.0.19)

Предполагается, чю / 6 Сь({0,Т],У*),аг £V,bj £ L2(Q,Ms(n)), i =

0,L;j = 0,L-l.

Вторая постановка Рассмотрим для системы (0.0.14)-(0.0.16) начально-краевую задачу с начальными условиями (0.0.18): д1а дР t=о ж) = Ьг(х), х £ ft, i = 0, L — 1; и |<=о = а0(ж), х £ ft;

0.0.20) и граничным условием (0.0.19): v\dllx[(),T} = 0.

Мы предполагаем, что / 6 С/у([0,Т], К*),а0 6 V, 6 L2(ft,Afe(n)), г = 0, L — 1.

Отметим, что в работах [27) и [28] уже рассматривались начально-краевые задачи для системы уравнений (0.0.14)-(0.0.16). В данных работах начально-краевая задача (0.0.14)-(0.0.19) сводилась к некоторой другой задаче и доказывалось существование решения этой новой задачи при любых начальных данных. При эюм в указанных работх не проверяется, что полученное решение начально-краевой задачи будет удовлетворять начальным условиям на a, S и их производные. Однако, отметим, чю начальные условия должны удовлетворять системе уравнений (0.0.14),(0.0.15), иначе решение с такими начальными условиями также не будет ему удовлетворять. Также важно отметить, что ранее для данной модели изучались только сильные решения и в гладких областях. Нами же получены теоремы существования и единственности слабых решений в облапях с негладкой, а только локально-липшицевой границей.

Вторая глава состоит из четырех пунктов. В первом пункте производится описание уравнений для сред, удовлетворяющих обобщенной модели Кельвина-Фойгга.

Во втором пункте вводятся основные обозначения, используемые в данной главе.

В третьем пункте производятся постановки начально-краевых задач и формулируются основные результаты главы о существовании и единственности слабого решения начальной задачи (0.0.14)-(0.0.19) теорема 2.3.1) и о существовании и единственности слабого решения начальной задачи (0 0.14)-(0.0.16),(0.0.18),(0.0.20),(0.0.19) (теорема 2.3.2).

В четвертом пункте на основе теорем 1.2.1 и 1.2.2 из первой главы доказывается теорема 2.3.2.

В третьей главе исследуе:ся исследуется слабая разрешимость начально-краевой задачи для сисчемы уравнений, описывающей движение слабых водных растворов полимеров в ограниченной области Q С К", п = 2,3 с локалыю-липшицевой границей на промежутке времени [0,Т]. Соответствующее определяющее соотношение имеет вид

Если в соотношении (0.0.9) заменить полную производную по t на частную, то полученная модель носит название модели движения жидкости Фойпа [6].

Начально-краевая задача, описывающая движение слабых водных полимерных растворов имеет вид:

Отметим, чю в ряде работ (например, [27],[30],[36]) начально-крае

0.0.9): gradp = f, a-efl,te[0,T]; (0.0.21) divi> = 0, x 6 fl, t e [0,T]; v(x, 0) = а*(ж), x G.Q-, И<9Пх[0 ,т] = 0.

0.0.22) (0.0.23) (0.0.24) вая задача изучалась при условии замены полной производной на частную производную чю соответствует модели движения жидкости Фойгта и существенно сужает класс описываемых сред. Различные линеаризации данной начально-краевой задачи изучались в работах А.П. Осколкова [30],[38]. Однако, позднее им же в [31] было замечено, в доказательствах этих работх есть ошибки и, следовательно, полученные результаты являются неверными. Одна из линеаризаций для данной начально-краевой задачи была изучена им при граничных условиях проскальзывания в рабою [29]. О.А. Ладыженская в своей pa6oie [22] ошечаег, что меюд введения вспомогательной вязкости, предложенный ей в [21], и использованный А.П. Осколковым для изучения линеаризаций начально-краевой задачи (0.0.21)-(0.0.24) в уже упомянутых pa6oiax [27],[28], является ошибочным и вопрос о существовании решений данной начально-краевой задачи оставался открытым.

Для доказательства разрешимости нами используется модифицированный метод введения искусственной вязкости, а также аипроксима-ционно-топологический подход к исследованию задач гидродинамики, который описан в [14] на примере сисхемы Навье-Стокса.

Третья глава состоит из четырех пунктов. В первом пункте производится описание модели и ставится начально-краевая задача.

Во втором пункте вводятся основные обозначения, вводится определение слабого решения начально-краевой задачи, описывающей движение слабоконцснтрированных водных полимерных растворов и формулируется теорема существования слабого решения (теорема 3.2.1).

В третьем пункте вводится начально-краевая задача с малым пара-MeipoM, аппроксимирующая исходную и доказывался существование слабого решения этой задачи.

Суммируя вышеизложенное, отметим, что в диссертции получены следующие новые результаты:

1. Доказаны существование и единственность слабого решения начально-краевой задачи для одной модельной системы в теории неньютоновских жидкостей.

3. Доказано существование слабого решения начально-краевой задачи для системы уравнений, описывающей движение слабоконцентрированных водных полимерных растворов.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на "Зимней школе по механике сплошных сред (тринадцатой), Школе молодых ученых по механике сплошных сред" (Пермь, 2003), Воронежских зимних математических школах (2004,2005), "Зимней школе по механике сплошных сред (четырнадцатой)" (Пермь, 2005), международной математической школе-семинаре "Матема1ическое моделирование и биомеханика в современном университете" (Абрау-Дюрсо, 2005), международной научной конференции "Топологические и вариационные меюды нелинейного анализа и их приложения" (Воронеж, 2005), международном математическом конгрессе по приложениям математики "International Congress on the Applications of Mathematics - ICAM 200G" (Сантьяго, Чили, 200G); семинаре в математическом институте имени В.А. Стеклова (2006); семинаре под руководством профессора А.В. Фурсикова (МГУ, 2006); семинаре под руководством профессора A.JI. Скубачевского (РУДН, 2006).

Исследования, включенные в настоящую диссертацию, поддержаны грантом РФФИ N 04-01-00081, грантом ур.04.01.014 "Университеты России", а также грантом для молодых участников проекта VZ-010 "Волновые процессы в неоднородных и нелинейных средах" Минобразования РФ и CRDF (США).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [47]-[55],[63],[64].

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Турбин, Михаил Вячеславович, Воронеж

1. Амфилохиев В.Б. Точения полимерных растворов при наличии конвективных ускорений / В.Б. Амфилохиев, Я.И. Войткунский, Н.П. Мазаева, Я.С. Ходорковский // Труды Ленинградского ордена Ленина кораблестроительного института. - 1975. - вып.96. -С. 3-9.

2. Амфилохиев В.Б. Экспериментальные данные о ламинарно-турбулентном переходе при течении полимерных растворов в трубах/ В.Б. Амфилохиев, В.А. Павловский // Труды Ленинградского ордена Ленина кораблестроительного института. 1976. -вып.104. - С. 3-5.

3. Астарита Дж. Основы гидромеханики непыогоновских жидкостей / Дж. Астарита, Дж. Маруччи. М.: Мир, 1978. - 309 с.

4. Беккенбах Э. Неравенства / Э. Беккенбах, Р. Беллман. М.: Мир, 1965. - 276 с.

5. Берд Р. Байрон Удивит ел ьные полимерные жидкости / Р. Байрон Берд, Чарлз Ф. Kepincc // Физика за рубежом. 1986. Серия А (исследования). 1986. - С. 29-51.

6. Бетчов Р. Вопросы гидродинамической устойчивости / Р. Бегчов, В. Криминале. М.: Мир, 1971. - 350 с.

7. Виноградов Г.В. Реология полимеров / Г.В. Виноградов, А.Я. Малкин. М.: "Химия", 1977. - 438 с.

8. Войткунский Я.И. Уравнения движения жидкости с учеюм ее релаксационных свойств / Я.И. Войхкунский, В.Б. Амфилохиев, В.А. Павловский // Труды Ленинградскою ордена Ленина кораблестроительного института. 1970. - вып.69. - С. 19-26.

9. Гарновска В. О некоторых двумерных вырождающихся квазилинейных уравнениях, возникающих в теории неныотоновских жид-кос1ей / В. Гарновска, А П. Осколков // Труды Ленинградского ордена Ленина кораблестроительного института. 1974. - вып.91.- С. 81-87.

10. Гаевский X. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения / X. Гаевский, К. Грегер, К. Заха-риас. М.: Мир, 1978.- 336 с.

11. Гилбарг Д. Эллиптические дифференциальные ураснения с частными производными второго порядка / Д. Гилбарг, Н. Трудингер.- М.: Наука, 1989.- 464 с.

12. Гольдипейн Р.В. Механика сплошных сред / Р.В. Гольдштейн, В.А. Городцов 4.1: Основы и классические модели жидкостей. -М.: Наука. Физматлит, 2000. 256 с.

13. Дюво Г. Неравенства в механике и физике / Г. Дюво, Ж.-Л. Лионе.- М.: Наука, 1980. 382 с.

14. Звягин В.Г. Апнроксимационно-топологический подход к исследованию задач гидродинамики. Система Навье-Сюкса / В.Г. Звягин, В.Т. Дмитриенко. -М.УРСС, 2004. 112 с

15. Иосида К. Функциональный анализ / К. Иосида. М.: Мир, 19G7.- 624 с.

16. Каразеева Н.А. О динамических системах, порождаемых начально-краевыми задачами для уравнений движения линейных вязкоупругих жидкостей/ Н.А. Каразеева, А.А. Ко1сиолис, А.П. Осколков. // Тр. МИАН СССР. 1988. - т.179. - С.126-164.

17. Кириллов А.А. Теоремы и задачи функционального анализа / А.А. Кириллов, А.Д. Гвишиани. М.: Наука, 1979. - 384 с.

18. Ко:сиолис А.А. О разрешимости фундаментальной начально-краевой задачи для уравнений движения жидкости Олдройда / А.А. Котсиолис, А.П. Осколков // Зап научн. сем. ЛОМИ.- 1986.Т. 150, № 6.- С. 48-52.

19. Красносельский М.А. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций / М.А. Красносельский, П.П. Забрейко, Е.И. Пустылышк, П.Е. Соболевский. М.: Наука, 1966. - 499 с.

20. Лаврентьев М.А Методы теории функций комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. М.: Наука, 1987. - 688 с .

21. Ладыженская О А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости / О.А. Ладыженская. М.: ГИФМЛ, 1961.- 204 с.

22. Ладыженская О.А. О погрешностях в двух моих публикациях по уравнениям Навье-Сюкса и их исправлениях / О.А. Ладыженская // Записки научных семинаров ПОМИ. 2000. - т.271. - С. 151-155.

23. Лионе Ж.-Л. Некоторые меюды решения нелинейных краевых задач / Ж.-Л. Лионе. М.: Мир, 1972. - 587с.

24. Лионе Ж.-Л. Неоднородные граничные задачи и их приложения / Ж.-Л. Лионе, Э. Маджепес.- М.: Мир, 1971. 371 с.

25. Литвинов В.Г. Движение пелинейно-вя жой жидкости / В.Г. Литвинов.- М.: Наука, 1982. 376 с.

26. Олдройд Дж.Г. Неньютоновское течение жидкостей и твердых тел / Дж.Г. Олдройд// Реология: теория и приложения. М., 1962.-с. 757-793.

27. Осколков А.П. К теории нестационарных течений жидкоеiей Кельвина Фойпа / А.П. Осколков. // Записки научных семинаров ЛОМИ. - 1982. - т. 115. - С. 191-202.

28. Осколков А.П. Начально-краевые задачи для уравнений движений жидкостей Кельвина Фойпа и жидкоеiей Олдройта / А.П. Осколков. // Труды МИАН СССР. - 1987. - т.179. - С. 126-164.

29. Осколков А.П. Начально-краевые задачи с краевым условием проскальзывания для модифицированных уравнений Навье-Стокса / А.П. Осколков. // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1994. -т.213. - С. 93-115.

30. Осколков А.П. О единственности и разрешимости в целом краевых задач для уравнений движения водных растворов полимеровА.П. Осколков. // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1973. -т.38. - С. 98-136.

31. Осколков А.П. О некоторых квазилинейных системах, встречающихся при изучении движения вязких жидкостей / А.П. Осколков. // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1975. - т.52. - С. 128-157.

32. Осколков А.П. О некоюрых модельных нестационарных системах в теории неньююновских жидкостей / А.П. Осколков. // Труды МИАН СССР. 1975. - т. 127. - С. 32-57.

33. Осколков А.П. О некоюрых модельных нестационарных системах в теории неньютоновских жидкостей. II / А.П. Осколков. // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1979. - т.84. - С. 185-210.

34. Осколков А.П. О некоторых модельных нестационарных системах в теории неныоюновских жидкостей. III / А.П. Осколков. // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1980. - т.96. - С. 205-232.

35. Осколков А.П. О некоюрых модельных нестационарных системах в теории неныотоновских жидкостей. IV / А.П. Осколков. // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1981. - т. 110. - С. 141-162.

36. Осколков А.П. О некоторых нестационарных линейных и квазилинейных системах, встречающихся при изучении движения вязких жидкостей / А.П. Осколков. // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1976.-т 59.-С. 133-177.

37. Осколков А.П. О нестационарных течениях вязко-упругих жидкостей / А.П. Осколков. // Труды МИАН СССР. 1982. - т.159. - С. 103-131.

38. Осколков А.П. О разрешимости в целом первой краевой задачи для одной квазилинейной сисчемы третьего порядка, встречающейся при изучении движения вязкой жидкости / А.П. Осколков. // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1972. - т.27. - С. 145-160.

39. Павловский ВАК вопросу о теоретическом описании слабых водных растворов полимеров / В.А. Павловский. // ДАН COOP. -1971. т.200., М - С.809-812.

40. Рейнер М. Реология / М. Рейнер. М.: Физматгиз, 1965. - 224 с.

41. Рейнер М. Десять лекций по теоретической реологии / М. Рейнер. М.: Гопехиздат, 1947. - 134 с.

42. Ректорис К. Вариационные меюды в ма1ема!ической физике и технике / К. Ректорис. М.: Мир, 1985. - 590 с.

43. Соболев СЛ. Некоюрые применения функционального анализа в математической физике / СЛ. Соболев. Л.: Издательство Ленинградского государственного универси1е!а имени А.А. Жданова, 1950. - 251 с.

44. Соболевский П.Е. Об уравнениях параболического типа в банаховом пространстве / П.Е. Соболевский// Тр. Моск. Мат. Общ.-1961.- Т. 10.- С. 297-350.

45. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса / Р. Темам.- М.: Мир, 1981. -408 с.

46. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред / К. Трусделл. М.: Мир, 1975. -592 с.

47. Турбин М.В. Исследование математической модели движения жидкости Фойпа / М.В. Турбин. // Вестник ВГУ. Серия физика, махемахика. 2003. - М. - с.169-181.

48. Турбин М.В. Исследование махематической модели движения жидкости Фойгта / М.В. Турбин. // Зимняя школа по механике сплошных сред (тринадцахая) Школа молодых учёных по механике сплошных сред. Тезисы докладов. Екахеринбург: УрО РАН.- 2003. С. 331.

49. Турбин М.В. Исследование математической модели движения слабых водных растворов полимеров / М.В. Турбин. // Современные мех оды теории функций и смежные проблемы. Материалы конференции. Воронеж: ВГУ. - 2005. - С. 231-232.

50. Турбин М.В. Исследование обобщенной магматической модели движения жидкости Кельвина-Фойгта / М.В. Турбин. // Вестник ВГУ. Серия физика, математика. 2004. - М. - С. 103-179.

51. Турбин М.В. Исследование обобхценной математической модели движения жидкости Кельвина-Фойгха / М.В. Турбин. // Воронежская зимняя математическая школа 2004. Воронеж:ВорГУ.- 2004. С. 107-109.

52. Турбин М.В. О корректной постановке начально-краевых задач для обобщенной модели Кельвина-Фойпа / М.В. Турбин. // Известия Вузов. Серия Математика. 2006. - N°3. - С. 50-58.

53. Турбин М.В. О корректной постановке начально-краевых задач для обобщенной модели Кельвина-Фойгта / М.В. Турбин. // Зимняя школа по механике сплошных сред (четырнадцатая). Тезисы докладов. Екатеринбург: УрО РАН. - 2005. - С. 294.

54. Уилкиисон У.Л. Неньютоновские жидкости / У.Л. Уилкинсон.-М.: Мир, 1964. -216с.

55. Фрейденталь А. Математические теории неупругой сплошной среды / А. Фрейдешаль, X. Гейрингер. М.: Физматгиз, 1962. - 432с.

56. Dmitrienko V.T. The topological degree method for equations of the Navier-Stokes type / V.T. Dmitrienko, V.G. Zvyagin // Abstract and Applied Analysis.- 1997.- V.l/2.- P. 1-45.

57. Dunn J.E. Fluids of differential type: critical review and thermodynamic analysis / J.E. Dunn, K.R. Rajagopal // Int. J. Engng. Sci. 1995. - V.33. - No. 5. - P. 689-729.

58. Lloyd N.G. Degree theory / N.G. Lloyd. Cambridge: Cambridge University Press, 1978. - 171p.

59. Oldroyd J.G. On the formation of iheologieal equations of state / J.G. Oldioyd // Pioe. R. Soe. Lond. 1950. - A200. - P. 523-541.

60. Simon J. Compact sets in the space 1/(0, T',B) / J. Simon // Ann. Mat. Рига Appl. 1987. - V. 146. - P. 65-96.

61. Turbin M.V. Research of mathematical model of low concentrated aqueous polymer solutions / M.V. Turbin // International Congress on the Applications of Mathematics ICAM 2006, March 13-17, 2006, Santiago, Chile. Abstracts. - Santiago. - 2006. - P. 1-2.

62. Turbin M.V. Research of a mathematical model of low-concentrated aqueous polymer solutions / M.V. Turbin // Abstract and Applied Analysis, 2006. V. 2006. - P. 1-27.