Полное двумерное уравнение гравитационно-гироскопических волн: фундаментальное решение, динамические потенциалы и некоторые начально-краевые задачи тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Р Г Б ОД

11 мл&а вс

вокии государственный университет имени М. В. Ломоносова

Физический факультет

На правах рукописи УДК 517.958:532.5

Аллахвердиев Хатаи Балабей оглы

ПОЛНОЕ ДВУМЕРНОЕ УРАВНЕНИЕ ГРАВИТАЦИОННО-ГИРОСКОПИЧЕСКИХ ВОЛН: ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ, ДИНАМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ И НЕКОТОРЫЕ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

Специальность 01.01.03 — математическая физика,

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 1996

9Ш ЛИ I I АО 9-и

Работа выполнена на кафедре математики физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.

Научные руководители:

доктор физико-математических наук, профессор Свешников А.Г.

кандидат физико-математических наук Плетнер Ю.Д.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Секерж-3енькович С.Я. доктор физико-математических наук, профессор Шишмарев И.А.

Ведущая организация: Московский государственный строительный университет

Защита диссертации состоится _ 1996 г. в

V с>© I

I ¡3 часов на заседании Специализированного совета отделения экспериментальной и теоретической физики физического факультета МГУ К 053.05.18 но адресу: 117899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, физический факультет, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослал «2-1» ф^^^У г

Ученый секретарь специализированного совета

доктор физико-математических наук Поляков П.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящей работе рассматривается неклассическое нестационарное дифференциальное уравнение четвертого порядка, описывающее двумерные нестационарные внутренние волны в "небуссинесковых" (т.е. силыюстратифицированных) вращающихся жидкостях. Исследование представляет значительный интерес как с прикладной, так и с теоретической точек зрения, с одной стороны в силу практических приложений рассматриваемых задач к проблемам геофизики, а с другой — в силу актуальности математических исследований уравнений составного типа. Конечно, детальное описание волнового процесса в этих жидкостях требует достаточно развитых математических моделей, весьма сложных, нелинейных, многопараметрических, изучение которых эффективно лишь при помощи численных методов. Однако очень часто первоначальное качественное представление об изучаемом круге явлений можно получить и на основе более простых линейных моделей и аналитических методов исследования. Это характерно для задач динамики стратифицированных жидкостей. Даже в рамках линейных моделей их математические постановки весьма своеобразны и приводят к нестандартным начально-краевым задачам. Это определяет, наряду с нетривиальными физическими следствиями, и самостоятельный математический интерес к этим проблемам.

Под стратифицированной жидкостью принято понимать жидкость, физические характеристики которой в невозмущешшм состоянии меняются от точки к точке, в частности, меняются вдоль некоторого направления. Из геофизики известно, что наиболее часто встречающаяся в природе стратификация — плотностная. Используемая в данной работе модель описывает малые движения идеальной несжимаемой враща-

ющейся жидкости, экспоненциально стратифицированной по плотности вдоль направления действия силы тяжести.

Конечно, требование экспоненциальной стратификации существенно,упрощает рассуждения, поскольку в этом случае уравнение в частных производных:, описывающее движения такой жидкости, оказывается с постоянными коэффициентами. Вместе с тем, с точки зрения математической сложности, это обстоятельство компенсируется достаточно высоким порядком рассматриваемого здесь уравнения. Целью работы является выявление различных физических эффектов, возникающих в динамике рассматриваемых жидкостей. Для этого было получено явное представление фундаментального решения двумерного уравнения гравитационно-гироскопических волн и на его основе построены явные решения некоторых начально-краевых задач и изучены их свойства.

Возможность такого подхода позволяет отнести рассматриваемый круг проблем к числу задач интенсивно развивающейся в настоящее время математической теории стратифицированных жидкостей.

Научная новизна. Работа является дальнейшим развитием исследований, выполненных С.А. Габовым, А.Г. Свешниковым и Ю.Д. Плетнером (физический факультет МГУ, кафедра математики). На основе выдвинутых ими идей и методов впервые в рамках строго математического подхода исследованы нестационарные начально-краевые задачи для полного двумерного уравнения гравитационно-гироскопических волн без приближения Буссинеска.

Практическая ценность. Изучение задач, разрешимых в явном виде, играет важную роль в исследовании любой математической модели физических явлений. Это обусловлено, с одной стороны, тем, что эти задачи являются своего рода "эталонами", позволяющими глубже понять суть изучаемой модели, а также проводить сравнение и оцен-

ку эффективности различных асимптотических и приближенных методов, в частности, ■численных; с другой стороны, свойства явных решений могут быть изучены в некоторой степени полностью, что позволяет выявить ряд нетривиальных эффектов, ускользающих при более общем рассмотрении.

Полученные здесь результаты могут быть применены для решения задач геофизики, связанных с изучением движений стратифицированных вращающихся жидкостей.

Апробация работы. Результаты работы неоднократно докладывались на семинаре кафедры математики физического факультета МГУ, а также на семинаре по линейным и нелинейным уравнениям факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1--3].

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и четырех глав, содержит 113 страниц текста. Список цитируемой литературы включает 67 работ.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении выделен круг вопросов, охваченный диссертацией, дан обзор литературы по теме диссертации. Кратко излагается основное содержание глав диссертации.

Первая глава посвящена построению фундаментального решения двумерного уравнения гравиталшонно-гироскопических волн, которое можно записать в виде д2

Си= —2 [Л2и - 02и\ + и1иХ1Х1 + а2 (иХ2Х2 - /32и) = 0, (1)

и изучению его свойств. Здесь (3 — параметр стратификации, и>1 = 2 ¡Зд — квадрат частоты Вяйсяля—Б рента, ее — параметр Кориолиса (удвоенная частота вращения).

В § 1.1 дается краткое изложение вывода уравнения (1) из основной векторной системы уравнений гидродинамики в предположениях несжимаемости и невязкости стратифицированной жидкости, находящейся в состоянии равномерного вращения вокруг вертикальной оси. Приводятся также соответствующие граничные условия для уравнения (1).

В § 1.2 вводится в рассмотрение функция

cr-{'ioo

= J ¿*К0[р\х\<1(х,р)]с(р)<1р, а> О, (2)

сг — гоо

где

Ф,Р) = {р2 +Ъ2(х)) ^ (р2+^р, Ь(х) = {а2х1+и%х22)* \x\~\ с(р)=[(р2+а2)(р2

Ко(х) — функция Макдональда нулевого порядка, и приводятся вспомогательные результаты, на основе которых доказываются следующие леммы.

Лемма 1. Фуикц-ия при х ф 0 удовлетворяет в классичес-

ком смысле уравнению (1), т.е. Сш — 0 и, кроме того, при х ф О

Лемма 2. Для имеет место равенство

где wo(x,t) — фундаментальное решение двумерного оператора гравитационно-гироскопических волн в приближении Вуссинеска

д2

£ви = т^Дги + ^о "ini + а?иХ2Х 2 = О, а для w\(x, t) справедливы оценки

к = 0,1,2;

Dkt Dg. D%. т(х, t) <i A(t) ln ■ N2-"-*, p, g = 0,1,2;

P + q ^ 2;

О < < R, R > 0, A(t) — непрерывная функция.

На основе результатов лет! 1 и 2 выводится аналог третьей формулы Грина для оператора С и доказывается

Теорема 1. Если и (ос,4) — достаточно гладкая функция и Г = € то имеет место формула:

t

-5и(х,г) = - ! Jгл£и<1у(1т+ ! и(у, ^-^—ги^х - у,0)с!Гу-о п г У

- ! Юь(х - у^)~(у,0) ¿Ту+ I ю(х - у,г)~-щ(у^)<1Гу + г 4 г у

t

+ ^ J [гу]Уг- дТубл - J и>(х — у,€)Ьо [и4(?/,0)] ¿у—

о г п

-J[г«(у,0)] йу, а

(3)

где Ьои = Д2« — (32и,

1, х 6 О, * = { I х 6 Г,

О, х £

а черезNTíV обозначен следующий оператор на Г :

N™ e ^ +l{ei-Wi+ (е2'nj/) (3а)

В § 1.3 рассматривается функция

£(x,t) = e(t)w(x,t), (4)

где $(/,) — функция Хевисайда, равная единице при t ^ 0 и нулю при t < О, w(x,t) определена формулой (2), и доказывается

Теорема 2. Функция £(а:,t) является фундаментальным решением оператора С уравнения (1).

В этом же параграфе получено новое представление для функции £(x,t):

t UlQ

£(x,t) = -— i T(t-r) í Jo (ß\x\g(x, z)) sin zrdzdr-

2jr J J !K\

o b(x) (5)

-±-K0(ß\x\) T{t),

где

i шо

T(t) = í Jo Mf - t)) Jo(ar) íír = - / • S'm ßt du,

J ^-pVP2-«2

На основе представления (5) доказывается

Теорема 3. Для фундаментального решения (4) оператора £ (1) справедливы следующие оценки:

1) lim £(x,t) = 0, Vx ф О,

у t—>оо v '

2) ^ОКсг^оОЗД + сз, где постоянные cj и сг яе зависят от х и t.

Кроме того, в § 1.3 доказывается, что функция £{х, /,) является быс-троубывающей вместе со своими производными при |з;| —> -f оо:

х > 0, t > 0; с\, С2 > 0;

D^Dl.Dl.S^t^cye^Ka^, ¿ = 0,1,2; р,д = 0,1,2;

В главе 2 строится явное решение задачи Коши для двумерного уравнения гравитационно-гироскопических волн (1) и, кроме того, обсуждается вопрос о поведении решения задачи Коши при больших временах и о его выходе на режим установившихся колебаний.

В § 2.1 дается постановка задачи Коши для уравнения (1) и вводятся следующие классы функций. Для функции и(х} t). определенной в области М2 х [0, оо) и принадлежащей классу функций

, будем говорить, что u(x. t) G M"l,fc, если при любом t ^ 0 и |а;| —+оо справедлива оценка

Dl£%. Dg. u(i,/)| ^c(t)e£W,

где I ^ к, p -f q ^ rn. = 1,2, c(i) — непрерывная неотрицательная функция, своя для каждой u(г, t). Аналогично определяется класс функций М"г для функций переменной х.

С учетом сказанного вьппе формулировка задачи Коши звучит следующим образом.

Задача Коши. Найти функщпо и(х, t) 6 М2'2, е £ 0. ^, удовлетворяющую в К2 при t > 0 в классическом смысле уравнению q1

— [А2и - 02и] + vluXlXl + а2 ~(32и) = f(x, t) (6)

и начальным условиям

и(х, 0) = и0(х), щ{х, 0) = ui(i).

Кроме того, в этом параграфе на основе формулы (3) из § 1.2 доказывается

Теорема 4. Если функции щ(х), и\(х) £ М^, a f(x,t) £ при 7 < е < J, то классическое решение задачи Коши существует, единственно и дается формулой t

u(x,t) = J J £(x-y,t-T)f(y,T)dydr + j E(x -y,t)L0 ["i(i/)] dy+

0 R2 R2

+ j Dt£(x - y, t)L0 My)] dy, L0[u] = Д2u - ß2и.

R2

(7)

В § 2.2 рассматривается поведение решения задачи Коши при больших временах как с неоднородными начальными условиями и финитной по времени правой частью, так и с однородными начальными дашпями и правой частью, не зависящей от времени. В первом случае на основе результатов § 1.3 главы 1 доказано, что справедлива

Теорема 5. Пусть в задаче Коши щ(х), щ(х) £ С^ (IR2) и финитны, f{x,t) £ С [[0, оо ):С<П (Ж2)} и также финитна. Тогда имеет место стабилизация решения к нулю:

lim u(x,t) = 0 VzeM2.

t—»ТОО

Во втором случае, т.е. когда tio(z) = щ(х) — 0 и j{x, t) = f(x) £ Cq00^ (Ж.2), доказывается теорема, согласно которой при больших временах происходит стабилизация решения задачи Коши и выход его на

стационарный режим. Функция V{x) — lim и(х, t) принадлежит клас-

t—yoo

су С^ (R2) и удовлетворяет в классическом смысле уравнению

^oUricc! + О!2 (UX2X2 - ß2и) - fix).

§ 2.3 посвящен рассмотрению задачи Бш, когда функция f(x, t), стоящая в правой части уравнения (6), зависит от времени гармонически, т.е. f(x,t) = тi(t)j(x)e~iut, где f(x) 6 C^oo)(R2), ш > 0, а ■q(t) £ Cq [0, оо) и является функцией переходного режима, вполне

произвольной при меньшем некоторого Ту 0, и равной тождественно единице при I > Т.

Показало, что при приведенных выше условиях относительно функции /(х, 2) и при и; ф с^о, о- для решения и(х, ¿) при больших временах существует предельная амплитуда, определяемая формулой

V(x) = lim u(я, i)eiü,t

4 ' t-*oo

и удовлетворяюшая в классическом смысле уравнению установившихся колебаний

+ - ß2v = 2 1 2 /От), X е 1R2.

Таким образом, при и> ф wo, а доказано существование режима установившихся колебаний в задаче причем более интересным и сложным оказался "гиперболический" случай и g [ min (а, шо), max (а, w0) ], когда уравнение установившихся колебаний является гиперболическим и корректная постановка соответствующей задачи для предельной амплитуды вызывает затруднения. Рассмотрение нестационарной начально-краевой задачи позволило в рамках строгой математической постановки изучить "гиперболический" режим установившихся колебаний. Приш = ojq, а режима установившихся колебаний, по-видимому, не существует.

В третьей главе строятся динамические потенциалы для двумерного уравнения гравиталионно-гироскопических волн (1) и на их основе исследуется классическая разрешимость внешней и внутренней начально-краевых задач с граничными условиями первого рода.

В § 3.1 вводится используемый в дальнейшем класс функций

г(2)

[0,со);С<°>(Г)] = Iv(x,t)€CW [[0,оо);С<°>(Г)] ;

v(xi 0) = 0) = 0 >

Пусть Г — замкнутая кривая класса А*-1''1), ограничивающая область Q С R2. На этой кривой вводятся в рассмотрение следующие потенциалы:

A[v]{x,t) = ¿У v(y,t)~-K0 (ß\x - у|) dTy, г У

t

B[v](x,i)~ J J i/(yyT)NTtVw(x — y,t — т) dTydr,

О г

t

V[v](x, t)~ J J v{y, r)w(x -y,t-r) dVydr,

о г

где v(x,t) € Cf ] [[0,oo); С^(Г)], оператор iVr,?; определен формулой (За), функция w(x, t) определена формулой (2).

Для введенных выше потенциалов доказываются следующие предельные формулы:

lim =

Lim ß[t/](2li) = B[i/](a,i), r-»xerw

где i) — прямое значение потенциала В[и](х, t) на Г;

t

lim Nt,xV[v](z,t)= Nt^w(x-y,t-T)dVydT-г-+1бГЙ) J J

О Г

г

где v(x,t) £ с£2) [[0,oo);Ci°>(r)] . Здесь "+" и "-" обозначают предельные значения в точке х € Г при стремлении к ней по нормали изнутри и извне области Ü соответственно.

В § 3.2 рассматриваются внутренняя и внешняя начально-краевые задачи с граничными условиями первого рода для уравнения (1) в ограниченной области с достаточно гладкой границей.

Путем непосредственной проверки показано, что динамический потенциал и линейная комбинация П[и](х, £) — Л[(/](:с, С) всюду вне Г при t > 0 удовлетворяют уравнению (1), а также однородным начальным условиям:

и(х, 0) = щ(х, 0) = 0 Ух е О.

(8)

Функцию и(х, I) будем называть регулярной на бесконечности, если при )а;| —> +оо имеют место оценки

дк

дгк

Чи

Ак{1)

к - 0.1,2,

(9)

и А^) — непрерывные при £ > 0 функции.

Задача Д+. Найти функциго и(х, удовлетворяющую в классическом смысле при 1 > 0 в области П уравнению (1), начальным условиям (8) и граничному условию

«ч-ОМ)

жег 1зег

Задача Д-. Найти функцию и(х, I), определенную при х £ П = Е2 \ А и I ^ 0, регулярную на бесконечности и удовлетворяющую в классическом смысле при t > 0 в области П уравнению (1), нулевым начальным условиям (8) и граничному условию

хег

V« >0.

Отметим, что граничные условия в задачах можно интерпретировать как задание давления на кривой Г.

Используя результаты предыдущего параграфа, мы доказываем следующую теорему.

Теорема 6. ЕслиТ G А^ u<p(x,t) 6 Q,2) [[0,оо);С<°)(Г)], то задачи JV~ иД.~ разрешимы в классическом смысле, причем решение задачи Д^ имеет, вид:

где потенциалы B[i/](a;,i) и A[v\{x,t) определены в предыдущем параграфе.

Для доказательства единственности решений рассмотренных задач получено и использовано энергетическое тождество для уравнения (1).

Четвертая глава посвящена изучению разрешимости одной внешней начально-краевой задачи для двумерного уравнения гравитационно-гироскопических волн (1).

В § 4.1 рассматривается постановка задачи:

Задача IV. Найти при t ^ 0 в области R2 \ Г непрерывную функцию и{х. /,), удовлетворяющую в области М2 \ Г при t ^ 0 в классическом смысле уравнению (1), начальным условиям (8) и краевому условию

и|г = /(*, 0|г-

Кроме того, функция и(х, t) должна удовлетворять условиям регулярности на бесконечности (9), а также следующим условиям в окрестности кощевых точек кривой Г:

|Vu|

92 v

= 0{rj ), (10)

где гх,2 — расстояния до концов отрезка Г. Здесь Г = |(а:1,€

М2; х\ = 2:1(5), = ^2(5), в б [0,—незамкнутая кривая конечной длины. В дальнейшем предполагается, что Г € А(2>ь).

Отметим, что условия (10) означают отсутствие сосредоточенных внешних источников в окрестности концевых точек кривой Г.

Кроме того, в этом параграфе вводятся некоторые необходимые для дальнейшего классы функций:

^ (к*); |у(я) - у(0)|*|у(*)- е С(°'Л>(Г)} ,

О, Т; С?'к)(Г)

2

О, Г; С7[0,М(Г)

2

Здесь |у(з) - 2/(0) |, |- у(1)\ — расстояния от точки у (в) € Г до концов отрезка Г.

В § 4.2 вводится в рассмотрение следующий потенциал:

1У[»]{х,г)=- I К0ф\х-у\) К», О' г

г

- 11 К™ (х-у,1-т)р(у,т)(1Ту(1т,

(11)

о г

где

э+гоо

<'(^0=2^ / е?*К*0{х,р)<1р, а> 0,

<т—гоо

К$(х,р)=1Со^Мфт.р)] - Ко[0\х\]; <Пх, р) определена в (2). С учетом результатов главы 1 доказывается

Лемма 3. Если £ С^

0, Г; С<°А)(Г)

то потенциал

ТУ^]^, непрерывен всюду в К2 \ Г, вне Г удовлетворяет в классическом смысле уравнению (1), начальным условиям (8), а такмсе условиям регулярности (9) и условиям (10) в окрестности концов кривой Г.

Учитывая свойства функции Ко (|х|) для решения задачи получаем следующее интегральное уравнение:

4) -I- В[и]{8, «) + С[и](а, *) + К[и]{а, - /(«,<), (12)

где символами А, В, С, К обозначены следующие интегральные операторы:

= !\ii\s — о\и(а^) <1а, О

|Я-СТ|

6а,

I

СМ(М) = - У |/(<т, 0С(в, с) <1а,

С(я,<г) = АО(/3|Х(5) - УИ1) ¡ф) - УИ1,

4 г

/{"[^(з, £) = — J J т)К(в, — г) йайт,

(13а) (136) (13в)

(13г)

о о

к(8,о,г- т)=к^(х(з) - г/И,* - т).

Кроме того, в этом параграфе вводятся следующие банаховы пространства:

Я (Г) = е С<°'">(Г); ЦКЮИн(г) = шах

я*(г) = е с^н\ту, ||К»)||я.(г) -

КО!'С«'

зе[о,г]

= тах

вир |1/(я)с?(«) С^с£ ¿€[0,1]

где

с^ = вир

ж-1/(01

г I II

c„d = sup 1-У -, d(s) = y/s(l-s),

Я2(Г)= 6i2(p,r);

1

1К*2(г) = /p(°>2(')d*, p(s) = ^(s), 0 < y < 2 , о '

и приводятся некоторые вспомогательные результаты, согласно которым уравнение (12) принимает вид:

i/(s, t) + A-xB[V){s, t) + А~гС[и\{з, t) + A~lK[v\(st t) = А^Ща, t),

(14)

где

Л-'I/Ife I) = Vl/1(». О + л^Ч/Км),

i

В § 4.3 рассматривается разрешимость задачи W". Решение уравне-1шя (14) ищется в виде ряда

оо к=О

где

iAfc>(M) + A-^fî + CJti/^ii,«) = t), к = 1,2,... ,

и доказывается

Теорема 7. При любой функции ¡{в, 4) £ С(02) [0,Т; С(1'а>(Г)] уравнение (14) имеет единственное решение

!/,(*,«) еС<2) [о, Г; С(ЛЛ)(Г) .

I 2

Кроме того, в этом параграфе с учетом результатов § 4.2 доказываются следующие теоремы.

Теорема 8. При любой функции ¡{в, г) £ О,Т; (^'^(Г) решение задачи Ш существует и дается формулой (11), в которой

функция и(э^) £ С^ О,Т; С^'^^Г) является решением инте-

I 2

гралъпого уравнения (14).

Теорема 9. Построенное решение задачи \¥ является единственным.

i

В § 4.4 приводится короткий вывод решения уравнения г

ln|s — <r\v(o,t)do — f(s,i)

о

и доказывается ограниченность оператора vif1 [/](.s, t) в Яг(Г). Это необходимо для математического обоснования полученных в § 4.3 результатов.

Резюмируем кратко новые научные результаты, полученные в настоящей работе.

1. Построено фундаментальное решение полного двумерного уравнения гравитационно-гироскопических волн и изучены его свойства. Рассмотрены вопросы, связанные с поведением фундаментального решения при больших временах и при —> оо, что представляет самостоятельный интерес, так как дозволяет изучить структуру гравитационно-гироскопических волн, возбуждаемых точечным источником мгновенного действия. Кроме того, получено еще одно представление фундаментального решения.

2. Построено явное решение задачи Коши для полного двумерного уравнения гравитационно-гироскопических волн. Исследовано поведение решения при больших, временах. Показано, что при финитных начальных условиях и финитном по времени возбуждении для задачи Коши имеет место стабилизация решения к нулю:

lim «(s,t)=0 Viel2.

i-v+oo

Установлено также, что при возбуждении вида f(x, t) = f(x) решение задачи Коши стабилизируется и выходит на стационарный режим. В случае, когда возбуждение зависит от времени гармонически, т.е. /(х, i) = ?7(i)/(a;)e~ta't, для решений задачи Коши при больших временах существует предельная амплитуда

V(x) = lim u(x,t)eiuJt,

t—>сю

т.е. для задачи Коши существует режим установившихся колебаний. Предельная амплитуда V(x) при ш ф удовлетворяет в классическом смысле уравнению установившихся колебаний, которое получается из исходного уравнения заменой каждой частной производной но времени t множителем (—iu>).

3. Построены динамические потенциалы для полного двумерного уравнения гравитационно-гироскопических волн. С их помощью изучена классическая разрешимость внешней и внутренней начально-краевых задач с граничными условиями первого рода.

4. Изучена классическая разрешимость внешней начально-краевой задачи для полного двумерного уравнения гравитациошго-пгроскопи-ческих волн, описывающей возбуждение гравитационно-гироскопических волн колеблющимся криволинейным отрезком. По своему математическому содержанию эта задача является обобщением классической задачи Лаврентьева-Седова-Келдыша для уравнения Лапласа на случай уравнения гравитационно-гироскопических волн.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Аллахвердиев Х.Б. Фундаментальное решение и основные начально-краевые задачи для двумерного уравнения гравитационно-гироскопических волн. — Ren. ВИНИТИ, № 4811-В-91, 1991.

2. Аллахвердиев Х.Б., Елетнер Ю.Д. Фундаментальное решение двумерного оператора гравитационно-гироскопических волп и некоторые начально-краевые задачи// Докл. АН. — 1993. — 330, № 5. — С. 562-564

3. Аллахвердиев Х.Б., Плетнер Ю.Д. Двумерное уравнение грани-тационно-шроскопических волн// Ж. вычисл. матем. и мат. физики. — 1996. — 36, № 2. — С. 109-116