Теория динамических потенциалов и исследование начально-краевых задач для уравнения составного типа, описывающего ионно-звуковые волны тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 62 50

Альшин Александр Борисович

ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ПОТЕНЦИАЛОВ И ИССЛЕДОВАНИЕ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДА Ч ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СОСТАВНОГО ТИПА, ОПИСЫВАЮЩЕГО ИОННО-ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ.

Специальность 01.01.03 - математическая физика.

АВТОРЕФЕРАТ

диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

МОСКВА -1998

Работа выполнена на кафедре математики физического факультета Московского-Государственного Университета имени М.В.Ломоносова.

Научные руководители : доктор физико-математических наук,

Официальные оппоненты : доктор физико-математических наук,

Ведущая организация : Институт Прикладной Математики РАН

Защита диссертации состоится "Ф'гп^пало. 1998г. в -{Ь часов на заседании Диссертационного Совета К 053.05.18 при Московском Государственном Университете имени М.В .Ломоносова по адресу: г. Москва, Ленинские горы, физический факультет., ЮФ>А.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

профессор А. Г. Свешников, кандидат физико-математических наук, доцент Ю. Д. Плетнер.

профессор Днестровский Ю. Н., доктор физико-математических наук, профессор Захаров Е. В.

им. Келдыша.

Автореферат разослан 'М' _1998г. •

Ученый секретарь Диссертационного Совета К 053.05.18 доктор физико-математических Паук

П. А. Поляков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. Настоящая работа посвящена изучению начально-краевых задач для уравнения ионно-звуковых волн в незамагниченной Плазме, математической моделью которых являются уравнения в частных производных составного типа.

Исследование неклассических дифференциальных уравнений высоких порядков, к которым относятся уравнения составног о типа, ещ? далеко от завершения и представляет самостоятельный теоретический интерес. Прикладное значение рассматриваемых задач обусловлено тем интересом, который представляет в настоящее время исследование нестационарлых волновых процессов в различных средах, среди которых важное место занимают ионно-звуковые волны в плазме.

Целью работы является, во-первых, развитие методов гак называемых динамических потенциалов для уравнений типа Соболева.

Во-вторых, детальное изучение некоторых начально-краевых задач, допускающих построения явных решений, что позволяет выявить тонкие эффекты, ускользающие при общем рассмотрении.

В-третьих, целью работы является изучение волновых процессов в рассматриваемых задачах при больших временах, исследование вопроса существования режима установившихся колебаний.

Состояние вопроса. Линейное уравнение ионно-звуковых волн является неклассическнм дифференциальным уравнением состапного типа. Уравнения такого типа систематически возникают также при рассмотрении математических моделей океана и атмосферы, шитому •литература здесь-очень обширна. Начало тучения дифференциальных уравнений составного пит следует, но-пилимому. о шести к ЗЛ-ч го .там

нашего столетия, когда Адамаром и Жёстрандом были рассмотрены первые модельные уравнения порядка выше второго, имеющие как эллиптические, так и гиперболические (параболические)

« о

характеристики. Однако систематическое исследование уравнений составного типа, связанных с задачами, имеющими конкретное физическое содержание, началось в 50-е годы, когда СЛ.Соболев в своей основополагающей работе "Об одной новой задаче математической физики" привлёк внимание к математическим вопросам динамики вращающейся жидкости. Этими вопросами занимались Р.А.Александрян, С.А.Гальперн, Т.И.Зеленяк, В.Н.Масленникова, С.В.Успенский и другие.

Другим важным классом уравнений составного типа, аналогичных уравнению Соболева, являются уравнения динамики стратифицированной жидкости. Систематическое исследование задач динамики стратифицированной жидкости можно найти в монографиях С.А.Габова и А.Г.Свешникова "Задачи динамики стратифицированных жидкостей", Наука 1986г., "Линейные задачи теории нестационарных внутренних волн Наука 199*0 г.

В 1989 г. С.А.Габон обратил внимание на тот факт, что нестационарные ионно-звуковые волны в незамагниченной плазме' также описываются уравнением типа Соболева. В дальнейшем это уравнение изучалось в работах М.Б.Оразова и Ю.Д.Плетнера.

Одним из наиболее распространённых и эффективных методов исследования граничных задач является метод потенциалов. Теория динамических потенциалов для уравнения гравитационно-, гироскопических волн приближения Буссинеска была развита

С.А.Габовым и А.Г.Свешниковым в указанных выше монографиях. Следует отметить, что С.А. Габовым, были построены динамические логарифмический и угловой потенциалы - аналоги соответствующих потенциалов для уравнения Лапласа. Дальнейшее развитие теория динамических потенциалов получила в работах С.А.Габова и Ю.Д.Плетнера. Применяя введённые для уравнения ионио-звуковых волн потенциалы, автору удалось доказать классическую разрешимость целогофяданачалвно-краевых задач.

'Практическая'Ценность. Полученные результаты представляют как прикладной, так и общематематический интерес. Они могут быть применены для решения задач плазмодинамики, в тех случаях, когда колебания в плазме приближённо можно считать двумерными. Полученные явные решения рассматриваемых задач могут бьпь использованы как эталоны для проверки различных приближённых методов.

Апробация работы. Результаты работы неоднократно докладывались на семинаре кафедры математики физическою факультета МГУ, на научном семинаре под руководством д.ф.-м.н профессора И.А.Шишмарёва, а также на международной конференции "Ломоносов-9б", проходившей в Москве в 1996г.

Основные результаты опубликованы в работах 11]-[4].

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и тр('ч глав, содержит 100 страниц текста. Список цитируемой литературы включает 67 работ.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении выделен круг вопросов, определённый темой диссертации, дан обзор литературы. Кратко излагается постановка задач и формулируются полученные результаты.

Первая глава посвящена изучению поведения фундаментального решения оператора двумерного уравнения ионно-звуковых волн в плазме.

В §1.1 даётся краткое изложение вывода линейного уравнения ионно-звуковых волн в плазме

д2

^-у[Л2и-и] + Д2и = 0, и = и(х,(), х = {х1,хг)еЯ\ * >0 (1)

Показано, что (1) остаётся справедливым не только если функция и имеет смысл динамического отклонения концентрации ионов от среднего значения, но и если и есть потенциал электрического поля.

В §1.2 получено интегральное представление для фундаментального решения оператора Двумерного уравнения ионно-звуковых волн, удобное для получения асимптотики и численного интегрирования:

: ■ <2>

В §1.3 представлены результаты численного исследования структуры фундаментального решения оператора уравнения двумерных ионно-звуковых волн, проводимого при помощи интегрального представления (2). Далее представление (2) используется для получения асимптотики е(|.х),г) при /,)д) -» +», /I = 6, 0 е[5,1 -5), 5 > 0, при этом

интеграл от 0 до разбивается на два: от 0 до а и от а до +« (выбор а не является произвольным) для оценки последнего интеграла оказывается можно воспользоваться асимптотикой функции Бесселя на бесконечности и применить метод стационарной фазы, в первом же интеграле оценка основного члена в асимптотике сводится к вычислению табличного интеграла. Доказана

Теорема 1. Для функции справедливы следующие

асимптотические формулы:

а) если в а|д|// 6[5,1-5],1/2>5>0, то при

б)если е[1 + 8,+=о),то при (-*«>

В конце §1.3 полученные теоретические результаты анализируются в сравнении с результатами, полученными при численном интегрировании формулы (2), при этом в тех областях, где справедлива асимптотическая формула для (2), наблюдается хорошее согласование между ними.

Во второй главе рассмотрена начально-краевая задача для двумерного уравнения ионно-звуковых волн в плазме вне круга с краевым режимом, заданным на границе этого круга, построено ею явное решение, и изучены вопросы о его стабилизации при I -кс и о существовании режима установившихся колебаний.

В §2.1 формулируется математическая постановка первой начально-краевой задачи для уравнения двумерных ионно-звуковых

волн вне круга. *

Задача_О. Найти в области й г0, /2:0 функцию и(х,1),

удовлетворяющую при ]л|>г0, Р>0 в классическом смысле уравнению (1), граничному условию

=Л').

нулевым начальным условиям и условиям на бесконечности.

Построено при помощи преобразования Лапласа явное решение задачи Б:

где г) -функция Макдональда нулевого порядка. Знак * означает вольтерову свертку по переменной 1, а функция определена

формулой:

Получено энергетическое тождество

которое позволяет доказать единственность построенного решения.

В конце параграфа получено удобное интегральное представление для функции Р(г,<):

-У2

«'-1 л ' ^ +1 где С(ц,г) а ^(-/(лгХАГ0(-|цг0))~'.

В §2.1 вначале рассмотрен случай, когда Д1) в граничном условии является финитной функцией, т.е. найдётся такое Т, что /{г) и 0 при 1> Т. Справедлива

Теордма 2. Если /(() финитна, то для решения задачи О имеет место формула

1|шиГ.т,<) = 0.

I-»«,

Далее. был изучен вопрос о существовании режима установившихся колебаний для граничной функции /(*), которая имеет

вид /(/)=п(')ехр(-ко/),б>>0, где г}(/) е Сг[0,со), г)(0) = Т1,(0) = 0-фуикция переходного режима, произвольная при t, меньших некоторого 7>0, и равная единице при (кТ. Говорят, что существует режим установившихся колебаний

если существует придел Пш ®г

/-♦ж

понимаемый в смысле поточечной сходимости по дгеЯ2:|л|£г0. Функция *\х) называется предельной амплитудой. Доказана

Теорема 3. 13 случае, когда граничная функция в задаче Б имеет вид /(0= п(')е*Р(""'саг}''я >0. ю * ' существует режим установившихся колебаний с предельной амплитудой У(х), определённой формулой

-7-—-> I

(Л _ ^ ' '

к^.О-со^.,)

и удовлетворяющей граничному условию

Для резонансного случая со=1 доказана:

Теорема 4. В случае ю=1 для задачи Т> существует режим

удовлетворяющей вырожденному уравнению установившихся колебаний У( х) = 0 , |.х| > ^ и граничному условию У(х) = 1 при |х | = Г0.

Дана физическая интерпретация полученному результату.

Глава 3 посвящена изучению некоторых начально-краевых задач для уравнения двумерных ионно-звуковых волн: задача об ионно-звуковых волнах, возбуждаемых 1раничным режимом на криволинейном отрезке, на двустороннем криволинейном отрезке (когда на обеих сторонах отрезка заданы, вообще говоря, разные граничные режимы), а также задача об ионно-звуковых волнах, возбуждаемых граничными режимами на системе криволинейных отрезков.

В §3.1 дана строгая математическая постановка начально-краевой задачи о двумерных ионно-звуковых волнах возбуждаемых граничным режимом нз криволинейном отрезке:

установившихся колебаний с предельной амплитудой

Задача в. Найти при 1>0 в области 9{2\Г, Г непрерывную

функцию и(х,0, удовлетворяющую при Г>0 в классическом смысле уравнению (1) в области 312\Г, начальным условиям

«(*,()) = ы,(х,0)= О, граничным условиям

условиям регулярности

5 * —г" < М')

д1к - |х| ' д1к

-,£ = 0,1,2 при |л-|Ц.г,2 + х\уг-> оо;

и условиям вблизи концов отрезка Г д 2

14

д!2

-Уа

где Г| 2 -расстояние до концов отрезка Г.

В §3.2 был построен динамический потенпиач простою слоя дня уравнения (1):

Г'|ц](*,/) = |нМЛо(|*- Яо)()(/а + ] ¡»(о,! - х)г{\ г - 'М-ЛЫх, (3) г о г

Показано, что если у(м)бС^|[0,+те);С^[(),/]|, то непрерывен

всюду в 9?г\Г, вне Г удовлетворяет уравнению (1) и чпзсснческом смысле, начальным условиям, а также сформулттровяшп -!М п задаче О условиям регулярности и условиям в окрестности котил* ^рттмп Г.

Поиск решения задачи О с учётом граничного услЪвия приводит к интегральному уравнению:

/(.», г) = у{Ф°++Ну(а>'~

г . ог

Показано, что в классе функций

43)[[0,Ч4°'Л,(Г)|. это

уравнение эквивалентно следующему:

r'4v](J>í)+ L-|Ctv](í,/)+L-ЦvI(í,r)=Гl[/j(.^,í) (4)

где )..В.С,Л -следующие интегральные операторы:

I

о •.''"■'

о - Р- а1

о-

- к [<1ф) + /МО " '

Дегачьное изучение свойств операторов В.. С, I, позволяет /х ^ить, что справедлива:

К'^р.-ма 5. Дня любого <р(л) с И [0,/] уравнение

имеет единственное решение 6 //'[0,/] и имеет место оценка:

М^ф^ПИ^о,,]

где Я^.Ц^) = тЧИ^Ф)!1с(о,1Г<:ф)}

1.

В §3.3 устанавливается справедливость следующих утверждений: Теорема 6. При любой функции /(г,/) е4?)|[0,(«);С<, а)[0,/]] уравнение (4) имеет единственное решение

() б 42>[[0,+оо); ,Л < Ш1,1{а,IД}.

Теорема 7. При любой /(з.<)еС^^О.+шУ,^1 Н>[(М]| решение задачи О существует к даётся формулой (3), я которой 'функция у(5,?) еС5^|[0,+оо);С^'^[0,/|| является решением уравнения ( Г). С использованием энергетического тождества:

доказана единственность классического решения -»ап.ачч О.

Далее результаты §§3.1-3.3 обобщаются ия счу-пй япсюрош/еп; отрезка.

В §3.4 дана строгая математическая постановка «пчп ¡чю-крдсвой задачи о возбуждении двумерных тгонпо-зпуковык »«пи ^п^ньто

! ?

тонким криволинейным отрезком, на разных сторонах которого заданы, вообще говоря, различные граничные режимы.

'Задача \У. Найти при 1>0 в области 312Т непрерывную функцию и(х,1), удовлетворяющую при I >0 в классическом смысле уравнению (1) в области 9?2 \Г, нулевым начальным условиям, граничным условиям н(л:,0) ^ = /*(!,/), 5 е[0,/], условиям согласования

/ (0,?) = / (0, г),/'(/,/) = /(/,г), условиям регулярности и условиям вблизи концов Г.

В §3.5 введён в рассмотрение угловой динамический потенциал

7[у](.г,г)= ¡\(а,1}Щх,а)^о + ]^(а,1~-ср(х,а,х)<1а Ж, (5)

г ог

о ° "з

ссп1

Доказана

Лемма. Пусть V (г,;) еС^([0,+оо); 1р(Г),р > и выполнено условие

[у (л.;У/( - 0, тогда для углового динамического потенциала

г

справедливы предельные формулы, о

где 71[ V ](л,г) прямое значение потенциала на Г.

Для углового динамического потенциала справедлива

Лемма. Пусть v бСо2'|[0,оо);С'°'^(Г)|, .тогда угловой

динамический потенциал ?"[v](jt,f), определённый (5) удовлетворяет уравнению (1) и начальным условиям, условиям регулярности и условиям вблизи концов.

В §3.6 решение задачи W ищется в виде сумы динамических потенциаловF[х,/) и 7|v](jc,/), определённых выражениями (3), (5).

еС<2>([0,оо);С<ОА>(Г)), И,,г)Л = 0 (6)

Из граничных условий, с учётом предельных формул для углового динамического потенциала получаем:

F[|i](v) + f[v}(5,i)T*p (*/) = /*(л,/), откуда

=_:T[v

Далее, изучая гладкость r[v ](j,/), приходим к выводу что для (7) применимы результаты §3.3 для уравнения (4).

Теорема 8. Уравнение (7) имеет единств?нпое' решение

Mi

(j.i) еС02Г[0,ос);сМ(г)1, Г еА*, если /*(,,«) 6q|[(<WY.i."-%)j.

Теорема 9. Задача УУ разрешима при /*(.$,') и

'решение представимо в виде (6).

С использованием энергетического тождества, полученного в §3.3, доказана единственность задачи W.

В заключение главы 3 полученные результаты обобщаются на случай N непересекающихся криволинейных отрезков.

В §3.7 даётся строгая постановка первой начально-краевой задачи для двумерного уравнения нестационарных ионно-звуковых волн в незамагниченной плазме вне системы криволинейных отрезков на плоскости:

1 Задача 5. Найти при »¿О в области З!2\{Г() непрерывную функцию и(.т,/), удовлетворяющую при / > 0 в классическом смысле уравнению (I) в 9!2 \{Г,}, нулевым начальным условиям , краевым условиям ы|Г( = //(•?,') 1 е[0,/(] , условиям регулярности и условиям в

окрестности концов.

§3.8 посвящён сведению задачи Б к системе интегральных уравнений, при этом решение ищется в виде:

•«(*.«) = 2 Ф<К*.0

Г>[м,](Л.г) = /ц;(сМ)*о(|*- + / |р,(о,т)ф-Л(о)1,г- т)</т<Ат (8)

г, Г, О . •

Граничные условия приводят к следующей системе интегральных

уравнений

■ " ''[ и; ](> I К (и;} ( 0-') -= /-М; и =

I* /

! Ь

Показано, что в классе решений е С^2'^0,(Г,)|. система эквивалентна следующей

=ц'М*,1) <•= й (9)

I

где операторы А, В/ С, Ь, вводятся также как в §3.2 с заменой I на /¡.

Изучение этой системы позволило доказать в §3.9 следующие утверждения:

Теорема 10. Система (9) разрешима в классе функций

Теорема П. При любых функции /(м)еС^О.Г.С^'^Г,)! решение задачи в существует и даётся формулой (В), в которой функции являются решением интегральпош уравнения

(9).

С использованием энергетического тождества, полученного в §3.3, доказана единственность решения задачи 8.

Кратко резюмируем полученные в работе новые результаты.

1. Исследована ясншгготика фундаментальною решения оператора уравнения двуиернь[х ионно-звуяовых волн при больших временах. Показано, что двумерные нестационарные ионисмвуксвые волны от мгновенного точечного источник! ячетр? характер "квазифронта".

2. Построены динамический потенциал простого слоя и угловой динамический потенциал для двумерного уравнения вгдатктнукрвызс волн, детально изучены их свойства.

Т7

3. Методом потенциалов эффективно доказана разрешимость ряда начально-краевых задач, описывающих возбуждение ионно-звуковых волн в плазме.

4. Исследована модельная задача о возбуждении ионно-звуковых волн вне круга. Построено явное решение и изучены предельные режимы при оо. Доказано существование режима установившихся колебаний. Получены явные формулы для предельной амплитуды.

Кроме того, изученные задачи могут служить своеобразными «эталонами» для проверки различных приближенных методов решения, в том числе и численных.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Альшин А.Б., Плетнер Ю. Д. Явное решение одной начально-краевой задачи теории ионно-звуковых волн в незамагниченной плазме и её асимптотика.//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1994. т.34. №8-9. С. 1323-1330.

2. Альшин А.Б., Плетнер Ю.Д., Свешников А.Г. Разрешимость одной начально-краевой задачи для уравнения ионно-звуковых волн.//Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1996 т.36,№10 180-189.

3. Альшин А.Б., Плетнер Ю.Д., Свешников А.Г. О разрешимости нестационарного аналога задачи Лаврентьева-Седова-Келдыша для уравнения ионно-звуковых волн.//Ж. вычисл. матем. и матем. физ., .1997, 1.37 №12, с.1520-1525.

4. Альшин А.Б. Нестационарные начально-краевые задачи теории ионно-звуковых волн.// Тез. докл. конф.-н "Ломоносов-96" секи, физика, Москва 1996г.