Динамические задачи теории упругости для сред с плоско-параллельными неоднородностями тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение.

1. Задачи о вибрации упругих сред с неоднородностями.

1.1 Постановка задач. Определение «вирусов вибропрочности».

1.2 Сведение краевых задач к системам интегральных уравнений.

1.3 Построение решения однородной задачи о системе трещин в упругом пространстве.

1.4 Построение решения однородной задачи о системе трещин в упругом полупространстве.

1.5 Построение решения однородной задачи о системе трещин в упругом слое.

1.6 Упругое пространство, содержащее систему чередующихся трещин и включений.

2. Задачи о трещинах при наличии внешних воздействий.

2.1 Пространственный случай.

2.2 Упругое полупространство.

2.3 Неоднородная задача для слоя.

2.4 Нахождение перемещений в произвольной внутренней точке среды.

3. Исследование свойств ядер интегральных уравнений.

3.10 некоторых методах решения систем интегральных уравнений.

3.2 Численные исследования свойств интегральных уравнений.

3.3 Асимптотические свойства ядер интегральных уравнений.

4. Простейшие «вирусы вибропрочности» и локализация волнового процесса.

4.1 Случай трещин в форме плоскостей.

4.2 Исследование локализации волнового процесса простейшим «вирусом вибропрочности» в виде системы трещин в форме плоскостей.

4.3 Случай полу ограниченных трещин.

4.4 Условия локализации волнового процесса простейшим «вирусом вибропрочности» в виде системы полуограниченных трещин.

Вопросы локализации волновых процессов неоднородностями в различных средах - деформируемых, электромагнитных, акустических -исследовались в связи с острыми потребностями инженерной практики. Используемые в радиотехнике конденсаторы служат примерами локализаторов волнового процесса и энергии. Особенностью этих устройств является разделение токопроводящих электродов тонкими прослойками диэлектрика. Поданное на электроды переменное высокочастотное электрическое напряжение удерживает переменное электромагнитное поле, если по толщине диэлектрика укладывается целое число электромагнитных волн (полуволн). Металлический корпус, в который погружается конденсатор, превращает это устройство в закрытый резонатор. При отсутствии такого корпуса эффективность его снижается, так как это уже открытый резонатор, имеющий большие потери энергии в связи с частичным излучением энергии на бесконечность. Открытые резонаторы являются значительно более сложными для расчетов, так как требуется решение также внешней задачи о распространении электромагнитных волн. Конденсатор можно рассматривать как сплошной диэлектрический материал, пронизанный неоднородностями -токопроводящими пластинами - электродами. Именно они являются главной причиной локализации электромагнитного процесса в диэлектрической среде. Приведенный пример с конденсатором, работающим на электромагнитных волнах, в равной мере применим к любой волнопроводящей среде, в которой могут быть неоднородности, в том числе и в деформируемом теле.

Наряду с этажно параллельно расположенными неоднородностями, приводящими к локализации волнового процесса, расположение неоднородностей в одной плоскости так же приводит к локализации волнового процесса. Именно это явилось основой научного открытия В.А. Бабешко, И.И.Воровича, И.Ф. Образцова «Явление высокочастотного резонанса в полуограниченных телах с неоднородностями» [19, 69]. В указанных работах этот факт установлен даже всего лишь для одной неоднородности - жесткого включения, штампа или полости - трещины.

В случае совокупности трещин при расположении неоднородностей в одной плоскости параллельно это свойство было замечено вначале экспериментально, затем построена элементарная теория тем более точная, чем больше параллельных неоднородностей. На этом принципе в акустоэлектронике построены резонаторы и генераторы акустических поверхностных волн.

В теории объемных интегральных схем на полупроводниковых кристаллах - элементной базе ЭВМ последнего поколения, важную роль играют полосковые линии передач - плоские включения, проводящие СВЧ колебания. Экспериментально для расчета их функциональных возможностей был установлен «принцип Олинера» [70, 71], свидетельствовавший, что основная энергия, передаваемая полосковой линией, концентрируется в окрестности самой полоски. Позднее этот факт был обоснован теоретически. Это также пример локализации вибрационного процесса. Средой является полупроводниковый кристалл, неоднородностью - полосковая линия.

Явление локализации волнового процесса установлено также в случае колебания жидкости [16, 19, 20, 32, 33]. В общем случае факт локализации волнового процесса в любой волнопроводящей среде может быть всегда установлен при подходящем подборе параметров среды, неоднородностей и частот.

Таким образом, явление локализации волнового процесса является, можно сказать, постоянной категорией, присущей волнопроводящим природным явлениям при некоторых условиях. В то же время строгой, систематизирующей эти явления теории, нет. В работах [7, 9, 11-14] предпринимаются шаги по систематизации типов неоднородностей, локализующих волновой процесс, которые названы «вирусами вибропрочности». При этом учтена аналогия, состоящая в том, что совокупности неоднородностей (как полостей, так и включений) подобно биологическим или компьютерным вирусам, при вибрации обнаруживают себя лишь при выполнении определенных условий, оставаясь, как правило, незаметными в обычных ситуациях. Необходимость введения именно классификации продиктована спецификой или способами локализации волнового процесса - могут быть этажные плоские параллельные неоднородности, неоднородности, расположенные в одной плоскости, а также совокупности неоднородностей могут иметь более сложной положение в пространстве. Выяснение возможностей и путей, посредством которых осуществляется локализация, является одной из задач теории вирусов вибропрочности. Следует отметить, что их действие остается в силе и в статическом случае, т.е. при частоте равной нулю.

В проблемах механики деформируемого твердого тела наряду с исследованием свойств материалов, содержащих неоднородности, в том числе и композитов, имеется ряд проблем, где вопросы размещения неоднородностей не могут быть разрешены искусственно, так как это имеет природный характер. К числу таких задач относится проблема состояния литосферной плиты, содержащей множественные трещины в виде разломов, в том числе и параллельных, включений и иных неоднородностей. Их расположение, размеры, параметры, характеризующие геометрические свойства неоднородностей, могут быть самыми разнообразными, не отвечающими каким-то строгим закономерностям. При этом масштабные характеристики также могут иметь большой разброс - от малых, до пронизывающих толщу Земной коры.

Тем не менее, можно выделить определенные закономерности, в том числе и с учетом блочного строения литосферы, выдвинутой М.А. Садовским [81-84]. На рис.19 (Приложение А) приводятся фотографии строения литосферной плиты, полученные американскими геофизиками. Выделяются параллельные структуры-разломы, свойственные данной зоне плиты. Известно, что именно зоны разломов являются основными носителями сейсмичности -областями подготовки землетрясений. В связи с этим особенности разрушения таких зон являются наиболее важными проблемами, без которых невозможно получить полную картину о концентрации напряжений в литосферной плите и выделить, таким образом, наиболее слабые звенья, предрасположенные к разрушению.

Исследованию концентрации напряжений в окрестности отдельной трещины посвящено огромное количество работ, выполненных в широком диапазоне постановок задач и применительно к материалам, как хрупким, так и пластическим. Это работы Дж. Райса [101-103], Г.П. Черепанова [92-95], Н.Ф.Морозова [64-67], В. М. Александрова [1-6], Б.И. Сметанина, [86-88] Р.В.Гольдштейна [46-48], Е.В. Глушкова и Н.В. Глушковой [43-44] и других [53-56, 97-100, 104]. В то же время, случаи совокупностей трещин до сих пор изучены слабо. Здесь можно назвать работы В.М. Александрова, В. 3. Партона [72-75 ] и др. Как правило, в этих работах исследование сводилось к анализу состояния отдельной трещины из совокупности и не приводило к критерию для множества.

Работа посвящена исследованию линейно деформируемых упругих сред, содержащих плоские, параллельно-ориентированные полости-трещины. В зависимости от характера их распределения таким механическим объектам присвоено название вирусов вибропрочности.

В работе поставлены краевые задачи для вирусов вибропрочности, построены все необходимые соотношения, приводящие к системам интегральных уравнений для случая любого ограниченного числа этажно расположенных полостей-трещин. Исследуются пространства функций, в которых отыскивается решение, и развиваются методы, позволяющие описать условия локализации волнового процесса вирусом вибропрочности.

В связи с новизной поставленных задач изучаются простейшие вирусы вибропрочности - в виде неограниченных и полуограниченных этажно расположенных неоднородностей, т.е. типа конденсаторов.

Метод факторизации матриц-функций оказывается обязательным элементом для построения условий локализации вибропроцесса.

Приводятся примеры для различных случаев вирусов вибропрочности, демонстрируются конкретные результаты расчетов.

Выявлено влияние на локализацию некоторых факторов - расстояния между трещинами, заглубления системы трещин в случае полупространства, расстояния системы трещин от верхней и нижней границ слоя, расстояния между трещиной и включением в случае вируса вибропрочности смешанного типа.

В первой главе дается постановка задач о вибрации упругой среды, содержащей систему внутренних плоских, параллельно-ориентированных неоднородностей. В качестве неоднородностей рассматриваются трещины, берега которых нагружены. Излагается общая схема сведения краевых задач к решению системы операторных уравнений, эквивалентной системе интегральных уравнений первого рода. Система операторных уравнений выписывается в виде, разрешенном относительно вектора скачков перемещений на берегах трещин в случае, когда в качестве упругой среды рассматривается пространство, относительно вектора, первая компонента которого является перемещением на границе, а остальные - скачками перемещений на берегах трещин в случае полупространства и относительно вектора, первой и последней компонентой которого являются перемещения на границе, а остальные -скачками перемещений, в случае упругого слоя.

Во второй главе рассматриваются общие представления решений задач о вибрациях упругих сред, содержащих систему плоских полостей-трещин при наличии внешних воздействий. В качестве упругой среды рассматриваются пространство, полупространство и слой. Система операторных уравнений выписывается в виде, разрешенном относительно вектора скачков перемещений в первый раз и второй раз в виде, разрешенном относительно сумм перемещений на берегах трещин, что позволяет определить перемещения в среде.

Третья глава посвящена исследованию свойств ядер интегральных уравнений, знание которых необходимо как для их решения, так и для получения условий локализации волнового процесса «вирусами вибропрочности».

В четвертой главе исследуются условия локализации волнового процесса простейшими «вирусами вибропрочности».

Настоящая работа вошла как составная часть в полный комплекс исследовательских работ по грантам РФФИ (99-01-00787), р2000Юг (00-0196024, 00-01-096019), Российско-американский проект КЕС-004 «Научно-образовательный эколого-аналитический центр (НОЦ) системных исследований, математического моделирования и геоэкологической безопасности Юга России» по программе «Фундаментальные исследования и высшее образование» (ВКНЕ) (СЛОГ) Министерства образования РФ, выполняемого в КубГУ, РГУ и ТТУ, ЦФП «Интеграция», проект А 0017, проект В 0121.

На защиту выносятся:

1. Новая постановка задач и новый метод исследования линейно-деформируемых тел с неоднородностями;

2. Исследование новых механических объектов - «вирусов вибропрочности»;

3. Разработка методов построения условий, при которых «вирус вибропрочности» локализует волновой процесс, в своей окрестности.

Основные результаты работы можно сформулировать следующим образом:

1. Предложен новый метод исследования линейно-деформируемых тел с неоднородностями;

2. Проведено исследование новых механических объектов - «вирусов вибропрочности», сформулированы краевые задачи, в строго математической постановке;

3. Построены матрично-функциональные соотношения, приводящие к системам интегральных уравнений для случая произвольного числа этажно расположенных полостей-трещин и включений;

4. Определены условия, при которых «вирус вибропрочности» локализует волновой процесс, построены соответствующие соотношения;

5. На основе численного исследования свойств ядер систем интегральных уравнений выявлено влияние на локализацию волнового процесса некоторых" факторов - расстояния по вертикали между трещинами, заглубления системы трещин в случае полупространства, расстояния системы трещин от верхней и нижней границ слоя, расстояния между трещиной и включением в случае «вируса вибропрочности» смешанного типа.

Перспективным направлением дальнейших исследований является определение условий локализации волнового процесса «вирусами вибропрочности» класса 2 более сложного строения, а также «вирусами» смешанного типа. Исследования такого рода позволят вплотную подойти к формулировке критериев разрушения для материалов со скрытыми труднообнаруживаемыми дефектами.

Полученные в диссертации результаты были использованы в ряде научно-технических отчетов Кубанского государственного университета.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Александров В.М. Асимптотические методы в контактных задачах теории упругости. - ПММ, 1968, т.32, в.4

2. Александров В.М. К решению некоторых контактных задач теории упругости // ПММ. 1963. - Т.27, вып.5.

3. Александров В.М., Коваленко Е.В. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями. М.: Наука. 1986. 336 с.

4. Александров В.М., Мхитарян С.М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками. М.: Наука. 1983. 488 с.

5. Александров В.М., Ромалис Б.Л. Контактные задачи в машиностроении. М.: Машиностроение. 1986. 176 с.

6. Александров В.М., Сметанин Б.И., Соболь Б.В. Тонкие концентраторы напряжений в упругих телах. М.: Наука, 1993. 244 с.

7. Бабешко В.А. «Вирусы» вибропрочности // Известия вузов. Сев. Кавк. регион. 1994. Спец. выпуск. С.90-91.

8. Бабешко В.А. Обобщенный метод факторизации в пространственных динамических смешанных задачах теории упругости. М.: Наука, 1984, 256 с.

9. Бабешко В.А. Поведение деформируемых сред с множеством неоднородностей // Современные проблемы механики сплошной среды: Тр. V Международной конф. Ростов н/Д, 2000.

10. Бабешко В.А. Среды с неоднородностями (случай совокупностей включений и трещин) // Известия РАН. Механика твердого тела.- 2000.-№3.-С.5-9.

11. Бабешко В.А. Тела с неоднородностями // Доклады РАН, 2000. Т. 373, №2, с. 191-193.

12. Бабешко В.А. Теория «вирусов» вибропрочности для совокупности включений // Известия вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. Науки. 2000. №2. С.108-114.

13. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Зинченко Ж.Ф. Динамика неоднородных линейно-упругих сред. М.: Наука, 1989.- 344с.

14. Бабешко В.А., Бабешко О.М., Собисевич А.Л. Исследование поведения вязкой жидкости при вибровоздействии. // Доклады РАН. 1994. №1. С. 7880.

15. Бабешко В.А., Бужан В.В. «Вирусы» вибропрочности в упругих твердых телах // Вестник южно-российского отделения международной академии наук высшей школы. «Природа. Общество. Человек». Естественные науки, Краснодар, 2002, №1 (14), с. 5-8.

16. Бабешко В.А., Ворович И.И., Образцов И.Ф. Явление высокочастотного резонанса в полуограниченных телах с неоднородностями. // Известия АН СССР, Механика твердого тела. 1990. №3. С.74-83

17. Бабешко В.А., Золотарев A.A., Иванов A.A., Ткачев Г.В. Исследование волновых полей в слое жидкости и упругого полупространства, возбуждаемых придонным источником колебаний. //Прикладная математика и техническая физика. 1984, №4, С.49-51.

18. Бабешко В.А., Золотарев A.A., Ткачев Г.В. Распространение акустических возмущений в слое жидкости, обусловленных сейсмическими источниками. //Ростов н/Д, 1983. Деп. В ВИНИТИ, №631-83.

19. Бабешко В.А., Павлова A.B. К исследованию особенностей локализации волновых полей при наличии плоских неоднородностей произвольной в плане формы. // Математическое моделирование и компьютерные технологии: Тез. докл. Всерос. симпоз. Кисловодск, 1997.

20. Бабешко В.А., Павлова A.B., Ратнер C.B. К задаче о вибрации упругого полупространства с совокупностью внутренних трещин // Известия вузов. Сев.-Кав. Регион. Естественные науки.2002, №3, с.36-38.

21. Бабешко В.А., Павлова A.B., Ратнер C.B., Р. Вильяме (США). Задачи о вибрации упругого полупространства, содержащего систему внутренних полостей.// Доклады РАН, 2002, Т. 386, №1

22. Бабешко В.А., Павлова A.B., Ратнер C.B., Р. Вильяме (США). К решению задачи о вибрации упругого тела, содержащего систему внутренних полостей. // Доклады РАН, 2002. Т. 382, №5, с. 625-628.

23. Бабешко В.А., БужанВ.В., Павлова A.B., Ратнер C.B. Локализация вибрационного процесса в упругом твердом теле «вирусом»вибропрочности. // Тез. докл. VII Междун. Конф. «Современные проблемы механики сплошной среды», Ростов н/Д, 2001, Т.1, С.19-22.

24. Бабешко В.А., Павлова A.B., РатнерС.В. К вопросу о локализации волнового процесса в упругих телах «вирусами вибропрочности». // Тез. докл. VIII Междун. Конф. «Современные проблемы механики сплошной среды», Ростов н/Д, 2002.

25. Бабешко В.А., Сыромятников П.В. К проблеме исследования локализации волновых процессов в электроупругих средах. // Доклады РАН. 1995. Т.345. №4. С.475-478.

26. Бабешко В.А., Смирнова A.B., Чепиль М.В. К проблеме вибрации объема жидкости на упругой среде. // Краснодар, 1990. 7 с. Деп в ВИНИТИ 31.10.90, №5595-В90.

27. Бабешко В.А., Смирнова A.B., Чепиль М.В. К решению задач о колебаниях вибрирующего объема жидкости и упругого полупространства. // Тез. Докл. Всесоюз. Конф. По механике деформируемого твердого тела. Горький, 1989

28. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений. М.: Наука, 1970.

29. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977,305 с.

30. Ворович И.И. Резонансные свойства упругой неоднородной полосы. // Доклады АН СССР, 1979, Т.245. №5. С.1076-1079.

31. Ворович И.И. Спектральные свойства краевой задачи теории упругости для неоднородной полосы // Доклады АН СССР, 1979, Т.245. №4. С.817-820.

32. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974.

33. Ворович И.И., Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассический областей. М.: Наука, 1967. - 575 с.

34. Ворович И.И., Бабешко В.А., Пряхина О.Д. Динамика массивных тел и резонансные явления в деформируемых средах. М.: Научный мир, 1999.

35. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967

36. Глушко А.И. Об одном подходе к разрушению горных пород // Изв. АН СССР. МТТ. 1988. №3. С.130-135.

37. Глушков Е.В., Глушкова Н.В. Резонансные частоты рассеяния упругих волн пространственными трещинами // Прикладная математика и механика. 1998, т. 62., вып. 5, С. 866-870.

38. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Ехлаков A.B. Математическая модель ультразвуковой дефектоскопии пространственных трещин // Прикладная математика и механика. 2002, т.66, вып. 1, с.147-151

39. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Шапарь Е.М. Дифракция упругих волн на наклонной трещине, выходящей на поверхность. Тез. Докл. Международной конференции «Разрушение и мониторинг свойств металлов» //Екатеринбург, 16-19 мая2001 г., С.95

40. Гольдштейн Р.В. Волны Релея и резонансные явления в упругих телах // Прикладная математика и механика, 1965, Т. 29, №3, С.516-525

41. Гольдштейн Р.В. О поверхностных волнах в соединенных упругих материалах и их связи с распространением трещин по линии соединения // Прикладная математика и механика, 1967, Т.31, Вып. 3. с.468-475.

42. Гольдштейн Р.В. Поверхностные волны и резонансные явления в упругих телах // Соросовский Образовательный Журнал, 1996, №11, С. 123-127

43. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Системы интегральных уравнений на полупрямой с ядрами, зависящими от разности аргументов. УМН, 1958, т.13, в.2

44. Гохберг И.Ц., Фельдман И.А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения. М.: Наука, 1971

45. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М., «Наука», 1971.

46. Исследование моделей сейсмических воздействий на разнородно застроенные поверхности. Отчет о НИР (заключительный) / Кубанскийгосударственный университет (КубГУ); Руководитель В.А. Бабешко.- № ГР 01.200.1 19373, инв. № 0220.02 02406. Краснодар, 2001.

47. Каплицкий М.А., Каплицкий В.М. Нестационарное распространение конечныхх трещин продольного сдвига. // Труды VII Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды». Ростов-на-Дону, 2001. Т.2, С. 82-87.

48. Каплицкий М.А. Энергетический метод в теории хрупкого разрушения. // Деп. в ВИНИТИ, 511-В966 1996.

49. Костров Б.В. Неустановившееся распространение трещины продольного сдвига. // ПММ, 1966. Т. 30. Вып.6.

50. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1977.

51. Крейн М.Г. Интегральные уравнения на полупрямой с ядром, зависящим от разности аргументов. УМН, 1958, т. 13, в.5

52. Купрадзе В.Д. Методы теории потенциала в теории упругости. М.: Физматгиз, 1963, 472 с.

53. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973.

54. Лапо-Данилевский И.А. Теория функций от матриц и систем линейных дифференциальных уравнений. -М.: ОНТИ, 1934.

55. Ляв А. Математическая теория упругости. М.: ОНТИ, 1935, 674 с.

56. Морозов В.В. О коммутативных матрицах. Уч. Зап. Казанского университета, 1952, т. 1112, кн.9

57. Морозов Н.Ф., Зегжда С.А., Семенов Б.Н. О «балочном» подходе в задачах распространения трещин // МТТ, 1999, №3, С. 114-120

58. Морозов Н.Ф., Петров Ю.В. Динамическая вязкость разрушения в задачах инициирования роста трещин// Изв. АН СССР. МТТ. -1990.-№6 С. 108-111

59. Морозов Н.Ф., Петров Ю.В., Уткин A.A. О направлении роста трещины в условиях ассиметричного ударного воздействия // Докл. Акад. Наук. -1996. Т.351. №6. - С.763-765.

60. Морозов Н.Ф., Петров Ю.В., Уткин A.A. О разрушении у вершины трещины при ударном нагружении // ФХММ. 1988. - №4. - С.75-77

61. Нобл Б. Метод Виннера-Хопфа. Ил, 1962

62. Образцов И.Ф., Бабешко В.А. О некоторых особенностях колебания полуограниченных областей // ДАН СССР. 1989. Т.305, №2, с. 306-310.

63. Олинер А. Волноводы для поверхностных акустических волн.// ТИИЭР, 1976, т. 54, №5

64. Олинер А. Поверхностные акустические волны. М.: Мир, 1981.

65. Партон В. 3., Борисковский В. Г., Динамика хрупкого разрушения, Машиностроение, М., 1988.

66. Партон В. 3., Кудрявцев Б. А. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. М., 1988.

67. Партон В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости. М.: Наука, 1978.

68. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. М.: Наука, 1981

69. Попов Г.Я. Вдавливание полубесконечного штампа в упругое полупространство- Теоретическая и прикладная математика-Львов-1958, №1.

70. Попов Г.Я. Контактные задачи для линейно-деформируемого основания. Киев.; Одесса: Вища школа, 1982. 168 с.

71. Проблема деформируемого тела с множественными дефектами. Отчет о НИР (заключительный) / Кубанский государственный университет (КубГУ); Руководитель В.А. Бабешко.- № ГР 01.00.00 07287, инв. № 0220.02 02403. Краснодар, 2001.

72. Разработка теоретических основ оптимального вибровоздейсвия на трещиносодержащие зоны. Отчет о НИР (заключительный) / Кубанский государственный университет (КубГУ); Руководитель В.А. Бабешко.- № ГР 01.99.00 09279, инв. № 0220.02 02407. Краснодар, 2001.

73. Садовский М.А., Болховитинов Л.Г., Писаренко В.Ф. Деформирование геофизической среды и сейсмический процесс. -М.: Наука, 1987.

74. Садовский М.М., Писаренко В.Ф., Родионов В.Н. От сеймологии к гидромеханике: О модели геофизической среды // Вестн. АН СССР, 1983. №1. С.82-88.

75. Садовский М.А., Болховитинов Л.Г., Писаренко В.Ф. О свойстве дискретности горных пород//Изв. АН СССР. Физика Земли. 1982. №12. С.3-18.

76. Садовский М.А. О моделях геофизической среды и сейсмического процесса//Прогноз землетрясений. Душанбе, 1984, №4. С.268-273.

77. Сеймов В.Д. Динамические контактные задачи. Киев: Наукова Думка, 1976, 284 с.

78. Сметанин Б.И. Две щели в полосе конечной толщины. ПММ,1968,т.32, №6.

79. Сметанин Б.И. Задача о растяжении упругого пространства, содержащего плоскую кольцевую щель. ПММ, 1968, т.32, вып.З.

80. Сметанин Б.И. Некоторые задачи о щелях в упругом клине и слое. МТТ, 1968. №2.

81. Справочник по специальным функциям.- М.: Наука, 1979.

82. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989.

83. Чеботарев Г.Н. К решению в замкнутой форме краевой задачи Римана для системы пар функций. Уч. зап. Казанского университета, 1956, т. 116, кн.4.

84. Черепанов Г.П. Механика разрушения композиционных материалов. М.: Наука, 1983.-296 с.

85. Черепанов Г.П. О росте трещин при циклическом нагружении. ПМТФ, 1968, №6, с.64-75

86. Черепанов Г.П. Распространение трещин в сплошной среде. // ПММ, 1967, т.31, вып. 3, с.476-488.

87. Черепанов Г.П., Механика разрушения многослойных оболочек. Теория трещин расслаивания. ПММ, 1983, т.47, вып.5.

88. V.A. Babeshko, R. Williams // Proceedings of the First Seismologist of the BSEC Member States 2000. Krasnodar, 2001.P.29-34.

89. Folias E.S. On the three-dimensional theory of cracked plates // Journal of Applied Mech. 1975. V. -42. № 3. P. 663-674.

90. Jamamoto J., Sumi Y. Stress intensity for three-dimensional elastostatic problems under mode I loading // International Journal of Fracture. 1980. V. -16. № 4. P. 335-348.

91. Lemaitre J. A course on Damage Mechanics. Springer Verlag, 1992.

92. Rao M.N.B. Three-dimensional stress problem of finite thick plate with a through-crack under tension //Advances Fracture Research: Proc. 6th Intern. Conf. Fract. New Delhi, 1984 Oxford, ets.: Pergamon Press. 1984. V.-2.P.963-970

93. Rice J.R. A path independent integral and the approximate analysis of strain concentration by notches and cracks. J. Appl. Mech., 1968, vol. 35, №2, p.379

94. Rice, J. R., The localization of plastic deformation, Theoretical and applied mechanics, Proceedings of the 14th IUTAM Congress, Delft, 439-471, 1976.

95. Рис. 1. Две трещины в пространстве; расстояние между ними изменяется как к = -- синяя линия, к = — - розовая3 3линия, к = к желтая линия.1. Ю Ю СМ Ю (О ю1. О о' <4 о'о о о о1. Атг 5 71

96. Рис.2. Две трещины в пространстве; расстояние между ними го меняется как к — - синяя линия, к = — - розовая линия, А = 2п- голубая линия:.1. О.ООЕ+ОО0,10,20,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,80,91,112 1,311# I >л

97. Рис. 5. Одна трещина в полупространстве. Заглубление от границы полупространства п = - синяя линия, п = —— розовая линия , к - ж- желтая линия.1 ОСС <07в С0С<0«5я** ой лхсов1ССЮВ1. ФОМ-00 1о0,10,2 0,30,40,5 0,6 0,7 0,8 0,91,1 1,2 1,3 1,4

98. Рис. 6. Две трещины в полупространстве; расстояние между трещинами и заглубление от границы полупространствап 2пизменяется как п = — синяя линия, п =--розовая линия, п = я- зеленая линия.3 30,70,80,91,11,21,31,4

99. Рис.7. Три трещины в пространстве. Расстояние между трещинами изменяется как Л = линия, А к - желтая линия.ясиняя линия, п = 32яг--- розовая1.00Е-07 9.00Е-08 8.00Е-08 7.00Е-08 6.00Е-08 5.00Е-08 4.00Е-08 3.00Е-08 2.00Е-08 1.00Е-08 О.ООЕ+ОО

100. О 0,1 0 2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

101. О 0,1 0,2 0,3 0 4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

102. Рис. 12. Одна трещина в упругом слое. Расстояние от нижней границы слоя —. растет как Н ~ - синяя линия, п = —- - желтая линия, Н-п- голубая линия.расстояние от верхней границы слояи) ю

103. О 0,1 0 2 0,3 0,4 0,5 0 6 0,7 0,8 0,91,1 1,21,3

104. Рис. 13. Одна трещина в упругом слое. Расстояния о г верхней и нижней границ растет как /г = у синяя -и.и2л" ип =—- розовая линия, п = л желтая линия.3.00Е-102.00Е-101.00Е-101. О.ООЕ+ООК0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,91,1 1,2 1,3 1,4

105. Рис. 14. Две трещины в упругом слое. Расстояния от верхней и нижней границ растет как к — - синяя линия,2я /Тп =--розовая линия, п = к~ желтая линия, расстояние между трещинами остается постоянным Л = —.3 3

106. Рис. 15. Антиплоская задача. Гри трещины в пространстве; расстояние между первой и второй меняется как й = —-2ясиняя линия, И = — розовая линия:, Ъ = п- желтая линия., расстояние между второй и третьей остается постоянным1. ОЛ О"

107. Рис. 16. Антиплоская задача. Три трещины в пространстве; расстояние между второй и третьей трещинами меняется якак л — — синяя линия, к = — розовая линия, к-п- желтая линия, расстояние между первой и второй остаетсятпостоянным п = — .

108. Рис. 17. Зависимость модуля определителя |В0в~+1 -В2+1о01 от безразмерного параметра /3 при 6 =0.3. Угол ^> = 0- синяя линия, угол ф — розовая линия, д> = ~-- желтая линия.

109. Рис. 18. Усиление осцил ляции модуля определителя при увеличении количества грешин. 1=2 синяя линия; Ь=3 -- розовая линия; 1=4 - желтая линия.

110. Рис.19 Фрагменты литосферной плиты (территория США), полученные американскими геофизиками. Выделенные участки содержат «вирусы вибропрочности».