Динамика и устойчивость быстровращающегося ротора с плавающей втулкой

Нгуен Ван Тханг

Динамика и устойчивость быстровращающегося ротора с плавающей втулкой тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

Нгуен Ван Тханг АВТОР

кандидата технических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Санкт-Петербург МЕСТО ЗАЩИТЫ

2012 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.06 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Динамика и устойчивость быстровращающегося ротора с плавающей втулкой»

Автореферат диссертации на тему "Динамика и устойчивость быстровращающегося ротора с плавающей втулкой"

На правах рукописи

ои

Нгуен Ван Тханг

ДИНАМИКА И УСТОЙЧИВОСТЬ БЫСТРОВРАЩАЮЩЕГОСЯ РОТОРА С ПЛАВАЮЩЕЙ ВТУЛКОЙ

Специальность 01.02.06 - динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

1 3 ДЕК 2012

Санкт-Петербург - 2012

005057364

Работа выполнена на кафедре «Физика и математическое моделирование в механике» Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет».

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Арсеньев Дмитрий Германович Официальные оппоненты: Блехман Илья Израилевич

доктор физико-математических наук, профессор, Институт проблем машиноведения Российской академии наук (ИПМаш РАН), заслуженный деятель науки Российской Федерации

Суханов Александр Алексеевич кандидат технических наук, доцент, ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет»

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский национальный

исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики» Защита состоится 'Ч°> "^Уй^ Л 2012г. часов на заседании диссертационного совета Д212.229.13 при ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет» по адресу: 195251, Санкт-Петербург, ул. Политехническая, д. 29; ГЛ■ ^АЦие; си^ . $

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет»

Автореферат разослан - « ^ » ИОЬд^Я 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор технических наук, профессор

Б.С.ГРИГОРЬЕВ

1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Объект исследования и актуальность темы. Радиальные (опорные) подшипники скольжения с гидродинамической смазкой обладают рядом существенных преимуществ перед подшипниками качения. Они могут воспринимать значительные нагрузки, имеют большой срок службы, могут работать при больших скоростях вращения, имеют низкое сопротивление вращения, плавность и бесшумность работы по сравнению с другими видами подшипников. Однако наиболее серьезной и частой причиной, вызывающей потерю ротором устойчивости и появление самовозбуждения, является действие смазочного слоя в подшипниках скольжения. В настоящее время особенно часто наблюдаются эти явления в связи с увеличением скоростей вращения роторов и уменьшением их веса. В первую очередь это относится к высокоскоростным компрессорам, турбодетандерам и газовым турбинам.

В рамках классической теории подшипника рассматривается вращающийся вал (ротор) внутри гнезда, которое фиксировано в пространстве. Зазор между ротором и гнездом заполнен несжимаемым маслом. В данной диссертации исследуется более сложный случай упорного подшипника скольжения с втулкой, который состоит из трех частей: а) фиксированный цилиндр (корпус подшипника), б) вращающийся плавающий вал (ротор) и в) плавающий цилиндр (втулка), свободно вращающийся в зазоре между корпусом и ротором. Все зазоры между ними заполнены несжимаемым маслом.

Целыо диссертационном работы является исследование устойчивости движения ротора в подшипнике скольжения и приближенный анализ его автоколебаний. Основная трудность задачи заключается в том, что необходимо установить аналитическую зависимость сил и моментов, действующих на ротор, от положения ротора и втулки в зазорах. С этой целыо необходимо исследовать течение масла в зазоре, для чего необходимо произвести обобщение теории гидродинамической смазки на случай значительных центробежных сил. Учет центробежных сил обязателен ввиду высокой скорости вращения ротора. Анализ

устойчивости симметричного вала, вращающегося в двух одинаковых цилиндрических подшипниках скольжения, приводится к решению нелинейной системы дифференциальных уравнений 4 порядка.

Для достижения цели были решены следующие основные задачи:

Составлены уравнения движения смазки в тонком смазочном слое подшипников скольжения с учетом центробежных сил.

Проведено обобщение уравнения Рейнольдса на случай значительных центробежных сил.

Получены явные выражения для функции распределения давления в зазоре из обобщенного уравнения Рейнольдса.

Определены силы, действующие на ротор и на втулку в подшипниках скольжения с плавающей втулкой.

На основе полученных выражений для сил реакции получены положения равновесия ротора и втулки.

Получены явные выражения для моментов, действующих на ротор и на втулку в подшипниках скольжения. Из условия равенства моментов, определена скорость вращения втулки в зазоре между корпусом подшипника и ротором. Это позволило определить силы, действующие на ротор и втулку, так как они зависят от угловой скорости вращения втулки.

В первом приближении исследована устойчивость положения равновесия центра ротора в подшипнике. Проведен анализ влияния структуры сил, а также определена амплитуда и частота автоколебаний ротора вокруг положения равновесия.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1) составлены уравнения динамики смазки на случай значительных

центробежных сил и найдено распределение давления в зазоре;

2) получены явные выражения для сил, действующих на ротор и также

выражения для сил, действующих на втулку со стороны масла. В результате

получено множество равновесных положений центров ротора и втулки в смазочном слое;

3) разработан аналитический метод определения угловой скорости вращения втулки н получено явное выражение для угловой скорости;

4) проведено исследование устойчивости положения равновесия центра шипа в подшипнике, заполненном маслом, с учетом центробежных сил и гидродинамики смазки с помощью метода Пуанкаре линеаризации нелинейной системы уравнений движения центра шнпа;

5) получены аналитические выражения для параметров автоколебаний ротора. Показано, что траектория автоколебаний центра шипа является окружностью или эллипсом в зависимости от параметров системы. Частота автоколебаний центра шипа оказывается равной или чуть меньше половины суммы угловых скоростей ротора и втулки.

Практическая значимость работы заключается в предсказании критических зон возникновения автоколебаний, а также величины и частоты предельных циклов автоколебаний быстровращающихся роторов в подшипниках скольжения, что дает возможность рассчитывать нх ресурс. Это позволяет обеспечить безопасное функционирование современных двигателей внутреннего сгорания, газовых турбин и турбокомпрессоров, а также объектов нефтегазовой промышленности, авиации, химической промышленности. Разработанные расчетные методики позволяют проводить конструирование и расчет подобных машин и вспомогательных агрегатов. Появляется возможность систематизировать и аппроксимировать экспериментальные данные и результаты испытаний, проводить диагностику и контроль действующих промышленных объектов.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1) Сформулирована и решена задача течения жидкости в зазоре подшипника скольжения с учетом центробежных сил жидкости.

2) Произведено обобщение уравнения Рейнольдса на случай значительных центробежных сил. Получено обобщенное уравнение Рейнольдса в случае короткого подшипника.

3) Решено обобщенное уравнение Рейнольдса и получены явные выражения для распределения давления в зазоре.

4) Разработан аналитический метод нахождения явных выражений для сил, действующих на ротор и плавающую втулку.

5) Получены линии равновесных положений центра ротора и втулки в смазочном слое.

6) Получено аналитическое выражение для угловой скорости вращения втулки в зазоре между ротором и корпусом.

7) Проведено исследование устойчивости положения равновесия центра шипа в подшипнике, заполненном маслом, с учетом центробежных сил и гидродинамики смазки.

8) Показано, что траектория автоколебаний центра шипа является окружностью или эллипсом в зависимости от характеристик системы. Получены аналитические выражения для параметров автоколебаний ротора. Апробация работы. Результаты научных исследования опубликованы в 7

печатных работах и докладывались на ряде конференций различного уровня: Международная школа - конференция "Актуальные проблемы механики" (АРМ), Санкт-Петербург (2008, 2010, 2011, 2012); Неделя науки ФГБОУ ВПО «СПбГПУ». Всероссийская межвузовская научно-техническая конференция, Санкт-Петербург (2008, 2010, 2011); Научно-практическая конференция "Научные исследования и инновационная деятельность", Санкт-Петербург (2009); семинар Института Проблем Машиноведения РАН, Санкт-Петербург (2011, 2012).

Публикации. Основные положения диссертации опубликованы в 7 печатных работах по теме диссертации, из них 3 статей в издании, входящем в перечень ВАК [1, 2, 3], 2 статьи в сборниках трудов конференций [6, 7] и 2 тезиса докладов [4, 5].

Структура и объем диссертации. Содержание диссертации изложено на 106 страницах текста, текст содержит 27 рисунков. Работа состоит из введения, 4 глав, заключения и списка литературы.

2. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Работа состоит из четырех глав.

Во введении обоснована актуальность выбранной темы диссертации, сформулирована ее цель и основные направления исследований. Проведен обзор литературных данных, приведены сведения о колебаниях роторов в подшипниках скольжения.

Рис. 1. Графики компонент скорости смазки в зазоре у = егн + е у + е.и': а - компонента ; б - компонента И'О")

В результате численного расчета получено, что в зазоре подшипника существует несколько течений: течение смазки вокруг вращающейся оси ротора является круговым течением Куэтта, а течение смазки вдоль образующих линий является течением Пуазейля (рис. 1).

0,0ХЮ

м/с -2,» 10 <

Далее в первой главе исследуется поле распределения давления. Получено уравнение распределения давления в зазоре, которое является обобщением уравнение Рейнольдса с учетом центробежных сил в цилиндрической системе координатах:

.3 л2г> ,„з

6 йг2 6 (Л.+й,)^

д2Р, | 3 дР, а/г, <Эср2 /г, 5ф 5ф

Л.+Тг,

~дк , дк 2—1 + (со. +со,)— 81 У 1 2;<Эф

(1)

Здесь давление во внутреннем зазоре - р, = [р—с/г + /г, -щирина зазора.

В рамках теории короткого подшипника получены явные выражения для распределения давления в зазоре через его кинематические параметры. В последнем параграфе проводятся численные исследования распределения давления в зазоре для некоторых кинематических положений ротора в подшипнике скольжения (рис. 2, 3).

Па

6. ■ ш*-

Єї

раа.

г, х ш* •

Р1| .Па

т.у^ҐҐ-

/ б.кІО4-

/ 5, х 104 •

/ 4, X 10* -

/ З.Х104-

/ 2.ХІ04-

/ 1.x 104"

-ода

-о,ш

0,01 ода _ 0,03 2, М

рис. 2. График распределения давления в зазоре в поперечном сечении х = 0

Рис. 3. График распределения давления вдоль подшипника на линии 0, = Зл/2

Во второй главе рассматриваются силы, действующие на ротор и на втулку в подшипниках скольжения, т. е. принимается, что подшипник состоит из трех частей (абсолютно твердых тел): фиксированный цилиндр (гнездо), плавающий вал (ротор), вращающийся со скоростью С0| и плавающий цилиндр (втулка),

вращающийся с угловой скоростью со2. Зазоры между твердыми телами заполнены несжимаемым маслом (рис. 4).

Для получения сил реакции от смазочного слоя на ротор и на втулку необходимо определить границы смазочного слоя в подшипнике скольжения. Принята гипотеза Зоммерфельда о границах смазочного слоя, т. е. принято, что смазочный слой окружает весь ротор. Имея в распоряжении решение из теории короткого подшипника, получены выражения для сил, действующих на ротор и втулку со стороны смазочного слоя, путем интегрирования определена функции распределения давления по поверхности ротора и по поверхности втулки. После получения выражений сил реакции, последовательно исследуются распределение положений равновесия центра ротора в подшипнике и распределение положений равновесия центра втулки, вращающейся и плавающей в смазочном слое в зазоре между корпусом подшипника и ротором.

В результате этой главы получены явные выражения для сил, действующих на ротор:

4-1

Рис. 4. Схематическое представление упорных подшипников скольжения с тремя цилиндрами: I - плавающий ротор; 2 -плавающяя втулка (кольцо); 3 -фиксированный цилиндр (корпус подшипника); 4 - несжимаемое масло (4-1

внутреннее поле, 4-2 - внешнее поле);

(0|, 0)2 - угловые скорости вращения элементов 1 и 2 , соответственно

(О. +С0

К =-гЩМ £| У=-Щь)

со, +со2

+ со2

где

М)'

к = =

(3)

І21

80 70

б)

.........

Рис. 5. Сравнение полученных по формуле (3) расчетных результатов (кривые 1) с данными Тондла (кривые 2), рассчитаными при ¿/Д, а 1 (короткий подшипник) без учета течения вдоль

подшипника:«-7] (є,), б - Т2 (є,)

Так как 7Т(є,) >0 и 7Дє,) -»сопри є, ->!(/ = 1,2) (рис. 5), то из (2) следует, что сила

їгіР, действующая на ротор со стороны смазочного слоя, может достигать больших значений. Кривые 1 и кривые 2 не совсем совпадают из-за того, что Тондл принимал, что давление одинаково вдоль оси Ог, т. е. в его работе не производился учет течения вдоль подшипника.

Множество равновесных положений центра ротора в полярной системе координат, связанной с центром втулки, т. е. в подвижных осях, является горизонтальным отрезком е^ є[0, і], у^ =Зл/2, где е*, у* - соответственно относительный эксцентриситет центра ротора и угол положения центра ротора в полярной системе координат (рис. 6). Также найдено множество равновесных положений центра втулки в полярной системе координат, связанной с центром корпуса подшипника, являщееся горизонтальным отрезком є\ є [0,1], у* =3/г/2, где

є2> її ~ соответственно относительный эксцентриситет центра втулки и угол, определяющий положение центра втулки в полярной системе координат (рис. 7).

Рис. 6. Система втулка-ротор, на которой показано множество равновесных положений центра ротора (отрезок ОгМ)

Рис. 7. Система втулка-корпус подшипника на которой показано множество положений центра втулки (отрезок ОМ)

В главе III исследуются моменты, действующие на ротор и на втулку в подшипниках скольжения. Интегрированием компонент тензора напряжений по поверхности зазора получены явные выражения для моментов, действующих как на ротор, так и на втулку подшипника. За область интегрирования принята область, где гидродинамическое давление положительно. Главной целью настоящей главы является определение скорости вращения втулки в зазоре между корпусом подшипника и ротором. Данная проблема является важной для определения сил, действующих на ротор и втулку, так как они зависят от угловой скорости вращения втулки. Угловая скорость вращения втулки в подшипнике скольжения получена в рамках теории короткого подшипника из условия равенства моментов, действующих на втулку со стороны масла извне и изнутри. До сих пор скорость вращения втулки определялась только экспериментальным методом.

В главе получены выражения для угловой скорости втулки в явном виде:

со

2/ = со,

хл

Д, я

я2+//2*(02),

с/0,

Л,

Я,

с/9,

где Л,, Я2 - соответственно радиус ротора и втулки, а Ъ\ (0,) =ИМ (1 - г.* соя 0,) и (^2)= (1—е2С03©2) " ширины внутреннего и внешнего полей смазки в случае, когда центры ротора и втулки находятся в положении равновесия.

С02 /С0[

Рис. 8. Графики зависимости отношения угловых скоростей втулки и ротора со2/со, от относительного эксцентриситета втулки е' при разных значениях положения равновесия ротора в подшипнике скольжения е^: 0(/); 0,2(2); 0,5(3); 0,7(4); 0,9(5)

Численный расчет показал, что угловая скорость вращения втулки в подшипнике скольжения может меняться в достаточно широких пределах (рис. 8). Из анализа данных этого графика можно сделать следующие выводы:

1. Вопреки общепринятым представлениям угловая скорость втулки не всегда равна половине угловой скорости ротора, а только в частных случаях. Эти частные случаи реализуются при малых е*, е^ , для которых со2/со, «0,5 или немного меньше.

2. Угловая скорость втулки значительно меньше половины угловой скорости ротора (<о2 я(0,/3) при е* —»0,8^ -И .

3. Угловая скорость втулки пропорциональна эксцентриситету ротора е*(илие*) и обратно пропорциональна своему эксцентриситету е*(штне^). При 0,5<е*<1, е^—>0 угловая скорость втулки даже превышает половину угловой скорости ротора (кривая 5, на рис. 8).

ё, — у^е, =—— сову,--!—А-7; (е,)——--есо? (соэсо/созу. +8тсо.г5ту.);

",„ '«А, со,+со,

у,е,= — эту,---—кТ2{г^) ——--1 + (сое со,/эту,-эт со/сое у.

К '»Ли

2У,

(5)

где е = у, - безразмерное расстояние последнего от центра шипа. / "и

С помощью метода Пуанкаре линеаризована нелинейная система уравнений движения. С помощью критерия Рауса-Гурвица показано, что положение равновесия движения шипа в подшипнике скольжения неустойчиво в первом приближении.

уравнений. Исследование показывает, что положение равновесия движения шипа в подшипнике скольжения, находящегося под действием произвольных неконсервативных сил Г* = -Рц, где вектор обобщенной координаты 4 = (<-„,ум)7 и кососимметричная матрица Р:

и линейных диссипативных сил Р = -£,(], всегда неустойчиво независимо от членов высшего порядка.

В последней части этой главы рассматриваются автоколебания ротора около положений равновесия в системе «втулка-ротор». В результате проведенного исследования положения равновесия шипа показано, что они неустойчивы, причем траектория автоколебания в одном случае есть окружность, а в другом эллипс. Формулы для радиуса окружности (амплитуда автоколебания) и эллиптичности получены в аналитическом виде. Показано, что частота автоколебания шипа равна или чуть меньше половины суммы угловых скоростей ротора и втулки.

В заключении сформулированы основные результаты работы. 1. Для современных машин с большими скоростями вращения валов, вообще говоря, нельзя пренебрегать силами инерции (в этом случае центробежными силами) жидкости в уравнениях движения смазки. С учетом центробежных сил жидкости глобальное давление в зазоре является функцией от радиуса, в противоположность классической теории короткого подшипника, где это давление является функцией только от центрального угла. В работе было получено уравнение распределения давления в зазоре, т. е. было проведено обобщение уравнения Рейнольдса на случай значительных центробежных сил. Согласно теории короткого пошипника были получены явные выражения для распределения давления в зазоре. Анализ показал, что в зазоре подшипника

Р = -Рт

(6)

существует несколько типов течений: течением смазки вокруг вращающего оси ротора является круговое течение Куэтта, тогда как течение смазки вдоль образующих линий является течением Пуазейля.

2. Согласно гипотезе Зоммерфельда о границах смазочного слоя, т. е. в предположении, что смазочный слой окружает весь ротор, находятся явные выражения для сил, действующих на ротор и так же выражения для сил, действующих на втулку со стороны масла извне и изнутри. Проекция сил, действующих на ротор со стороны смазочного слоя, на линии центров втулки и ротора равна нулю в положении равновесия для центра ротора. В результате получено, что множество равновесных положений центра ротора в смазочном слое есть горизонтальный отрезок, проходящий через центр втулки. Относительный эксцентриситет центра ротора относительно центра втулки в положении равновесия пропорционален массе ротора. Для случая, в котором центр ротора находится в положении равновесия относительно втулки, проведен аналогичный анализ для втулки. В результате получается, что множество равновесных положений центра втулки тоже является горизонтальным отрезком, проходящим через центр корпуса подшипника. Относительный эксцентриситет центра втулки в положении равновесия также пропорционален массе втулки.

3. Формула для угловой скорости вращения втулки в подшипнике скольжения получена в рамках теории короткого подшипника из условия равенства моментов, действующих на втулку со стороны масла извне и изнутри. Численный расчет показал, что угловая скорость вращения втулки в подшипнике скольжения может меняться в достаточно широких пределах, она равна или чуть меньше половины угловой скорости ротора только в частных случаях, а именно когда с*, е* малы. В общем случае угловая скорость втулки пропорциональна эксцентриситету ротора относительно втулки е'(илиє') и обратно пропорциональна своему эксцентриситету относительно корпуса подшипника ^(илиє^).

.4. При исследовании устойчивости положения равновесия шипа в подшипнике, заполненном маслом, с учетом центробежных сил и гидродинамики смазки был использован метод Пуанкаре для линеаризации системы уравнений движения шипа. Было показано, что положение равновесия движения шипа в подшипнике скольжения неустойчиво в первом приближении.

При анализе влияния структуры сил на устойчивость движения шипа, вращающегося в гидродинамической среде было получено, что положение равновесия движения шипа, находящегося под действием неконсервативных сил и линейных диссипативных сил, всегда неустойчиво независимо от членов высшего порядка, т. е. оно неустойчиво в большом. При этом неустойчивость равновесного положения непосредственно ведет к возникновению автоколебаний ротора. 5. При рассмотрении автоколебаний ротора было получено, что траектория автоколебаний центра шипа в одном случае есть окружность, а в другом эллипс. Формулы для радиуса окружности (амплитуда автоколебаний) и эллиптичности получены в явном виде. Частота автоколебаний центра шипа равна полусумме угловых скоростей ротора и втулки в том случае, когда траектория автоколебаний центра шипа является эллипсом, и она равна или чуть меньше полусуммы угловых скоростей ротора и втулки в случае, когда траектория автоколебаний центра шипа является окружностью.

Основные положения работы отражены в публикациях: В изданиях из перечня ВАК:

1. Нгуен Ван Тханг. Силы и моменты, действующие на ротор в упорном подшипнике скольжения, с учетом гидродинамики смазки и центробежных сил [Текст] / В.Т. Нгуен // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки- 2011.-№ 1(116).-С. 116-122.

2. Нгуен Ван Тханг. Определение скорости вращения втулки в упорном подшипнике скольжения с учетом гидродинамики смазки и центробежных сил [Текст] / В.Т. Нгуен, Д. Г. Арсеньев, А.К. Беляев // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки.- 2012.-№ 2(146).- С. 156-163.

3. Нгуен Ван Тханг. Устойчивость движения шипа в подшипнике скольжения и его автоколебания с учетом гидродинамики смазки и центробежных сил [Текст] / В.Т. Нгуен, Д. Г. Арсеньев, А.К. Беляев // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки - 2012.-№ 3(153).- С. 143-153.

В прочих изданиях:

4. Нгуен Ван Тханг. Исследование действий сил и моментов на быстровращающийся плавающий ротор в упорном подшипнике скольжения [Текст] / В.Т. Нгуен, А. К. Беляев // Научные исследования и инновационная деятельность : материалы науч.-практ. Конф. - СПб.: Изд-во Политехи. Ун-та - 2009. -С. 234-235.

5. Нгуен Ван Тханг. Определение скорости вращения втулки в упорном подшипнике скольжения с учетом гидродинамики смазки и центробежных сил [Текст] / В.Т. Нгуен, Д. Г. Арсеньев, А.К. Беляев // XL Неделя науки СПбГПУ, Материалы международной научно-практической конференции. СПб.: Изд-во Политех, ун-та. -2011- С 298-299.

6. Belyaev, А.К. Forces and moments acting on the rapidly rotating floating bearing [Text] / A.K. Belyaev, M. Krommer, H. Irschik, Nguyen Van Thang // Proc. of XXXVI Summer School- Conference "Advanced Problems in Mechanics". St. Petersburg, 2008.-P. 104-111.

7. Nguyen Van Thang. Distribution of the equilibrium positions of a shaft and defining the angular speed of the ring in a floating ring bearing [Text] / V.T. Nguyen, D.G. Arseniev, A.K. Belyaev // Proc. of XL Summer School- Conference "Advanced Problems in Mechanics". St. Petersburg, 2012,- P. 378-385.

Подписано в печать 22.10.2012. Формат 60x84/16. Печать цифровая. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100. Заказ 9865Ь.

Отпечатано с готового оригинал-макета, предоставленного автором, в типографии Издательства Политехнического университета. 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29. Тел.: (812) 550-40-14 Тел./факс: (812) 297-57-76

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата технических наук, Нгуен Ван Тханг

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ СМАЗКИ. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДАВЛЕНИЯ В ЗАЗОРЕ ДЛЯ КОРОТКОГО

ПОДШИПНИКА

§1.1. Скорость и давление смазки в зазоре упорных подшипников скольжения.

§1.2. Течение в зазоре.

§1.3. Уравнение неразрывности и уравнение Рейнольдса для случая значительных центробежных сил.

§ 1.4. Теория короткого подшипника и распределения давления в зазоре для короткого подшипника.

§ 1.5. Определение ширины зазора и распределение давления в зазоре для короткого подшипника.

§ 1.6. Некоторые численные анализы распределения давления в зазоре для короткого подшипника.

ГЛАВА II. СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА РОТОР И НА ВТУЛКУ В ПОДШИПНИКЕ СКОЛЬЖЕНИЯ

§2.1. Определение границы смазочного слоя.

§2.2. Силы, действующие на ротор и распределение положений равновесия центра ротора в смазочном слое.

§2.3. Силы, действующие на втулку в зазоре между корпусом подшипника и ротором.

§2.4. Распределение положений равновесия центра втулки в смазочном слое в зазоре между корпусом подшипника и ротором.

ГЛАВА III. МОМЕНТЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА РОТОР И НА ВТУЛКУ В ПОДШИПНИКЕ СКОЛЬЖЕНИЯ

§3.1. Моменты, действующие на ротор в подшипнике скольжения.

§3.2. Моменты, действующие на втулку в подшипнике скольжения.

§3.3. Определение постоянной скорости вращения втулки в подшипнике скольжения.

§3.4. Численный анализ определения скорости вращения втулки в подшипнике скольжения.

ГЛАВА IV. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ ШИПА В ПОДШИПНИКЕ СКОЛЬЖЕНИЯ

§4.1. Исследование устойчивости положения равновесия шипа.

§4.2. Влияние структуры сил на устойчивость движения шипа, вращающегося в гидродинамической среде.

§4.3. Приближенный анализ автоколебаний ротора

Введение диссертация по механике, на тему "Динамика и устойчивость быстровращающегося ротора с плавающей втулкой"

Радиальные (опорные) подшипники скольжения с гидродинамической смазкой, обладают рядом существенных преимуществ перед подшипниками качения. Они могут воспринимать значительные нагрузки, имеют большой срок службы, могут работать при больших скоростях вращения, имеют низкое сопротивление вращения, плавность и бесшумность работы по сравнению с другими видами подшипников. Однако наиболее серьезной и частой причиной, вызывающей потерю ротором устойчивости и появление самовозбуждения, является действие смазочного слоя в подшипниках скольжения. В настоящее время особенно часто наблюдаются эти явления в связи с увеличением скоростей вращения роторов и уменьшением их веса. В первую очередь это относится к высокоскоростным компрессорам, турбодетандерам и газовым турбинам.

Опасность объясняется тем, что интенсивность автоколебаний роторов в этом случае велика, так как амплитуды могут превышать зазоры в подшипниках, что приводит к разрушению трущихся поверхностей и выводу машин из строя. Проблемам самовозбуждения роторов стали уделять большое внимание, поскольку участились случаи возникновения самовозбуждения. Это связано как с увеличением скорости вращения турбомашин и генераторов, так и с понижением их первой критической скорости. Поэтому изучение явлений, вызывающих неустойчивую работу роторов под влиянием масляного слоя подшипников скольжения, относится к одной из важных задач машиностроения.

В рамках классической теории короткого подшипника рассматривается твёрдый вращающийся вал (ротор) внутри гнезда, которое фиксировано в пространстве. Зазор между твёрдыми телами заполнен несжимаемым маслом. В данной работе исследуется более сложный случай упорного подшипника скольжения с втулкой, который состоит из трех частей: а) фиксированный цилиндр (корпус подшипника), б) плавающий цилиндр (втулка), свободно вращающийся с угловой скоростью со2 в зазоре между корпусом и ротором, и в) плавающий вал (ротор), вращающийся со скоростью соь Зазоры между твёрдыми телами заполнены несжимаемым маслом. Эта модель подшипника скольжения впервые предложили Shaw и Macks [40] в 1949 году, но до сих пор еще нет достаточно полного понимания устойчивости этой модели и механизма самовозбуждения колебаний, вызываемых масляным слоем.

Основная трудность задачи заключается в том, что необходимо установить аналитическую зависимость сил и моментов, действующих на ротор, от положения ротора в зазоре. С этой целью необходимо исследовать течение масла в зазоре, для чего необходимо произвести обобщение теории гидродинамической смазки на случай значительных центробежных сил. Анализ устойчивости простейшего симметричного вала, вращающегося в двух одинаковых цилиндрических подшипниках скольжения, приводится к решению нелинейной системы дифференциальных уравнений 4 порядка.

Попытка решения задачи в нелинейной подстановке подшипника с втулкой была предпринята всего лишь в нескольких работах: С. Holt [33], С. Li [37], М. Tanaka [41], A. Boyaci [26].

В этих работах были проведены численные анализы течения масла в зазоре, но не были проведены аналитические исследования устойчивости ротора и его автоколебаний, вызываемых масляным слоем. -Частоты и амплитуды автоколебания ротора могут зависеть от некоторых динамических и геометрических параметров подшипников и их частей. Для увеличения скорости вращения турбомашин и генераторов необходимо узнать какие параметры контролируют устойчивость и автоколебания ротора в подшипниках скольжения с втулкой.

В классической теории смазки были предприняты попытки решения задачи в нелинейной подстановке для случая подшипников скольжения без втулки в зазоре между корпусом и ротором: J. Haiton [31], А. Тондл [22], F. Orbek [39], G. Capriz [28] и некоторых других. В этих работах анализируется вихревое движение ротора, но во всех этих работах используется обычное уравнение для течения масла в зазоре (т.е. уравнение Рейнольдса) без учета центробежных сил. Однако сильные упрощения задачи не позволяли определить амплитуду и другие характерные особенности самовозбуждающихся колебаний.

Гораздо большее количество работ посвящено рассмотрению задачи в линейной подстановке и главным образом устойчивости равновесных состояний ротора в подшипниках скольжения: A. Cameron [27], G.F. Boecker [25], A.C. Hagg [30], C.A. Чернавский [23], M.B. Коровчинский [8], А.Г. Бургвиц [3], Y. Hori [34], А.И. Воробьев [5], Э.Л. Позняк, В.И. Олимпиев [14, 18, 19], А.Т. Полецкий [20] и многие другие. В большинстве указанных работ по критериям Рауса - Гурвица или другим способом определяются границы устойчивой работы роторов. Согласно классической теории смазки равновесное положение таких роторов неустойчиво, что обычно, хотя и не всегда [6], наблюдается на практике. Один из возможных путей уточнения теории восходит к А.Г. Бургвицу и связан с учётом локальных сил инерции масляной плёнки [2, 4, 14, 16, 18, 20], которые, как следует из теории, оказывают стабилизирующее действие на движение ротора. Получили распространение два подхода для учёта этих сил. Согласно Э.Л. Позняку [18] гидродинамическую реакцию можно определять как сумму двух составляющих: 1) квазистатической и 2) существенно динамической, обусловленной действием локальных сил инерции. Более сложный и физически менее прозрачный, но математически более строгий способ решения задачи был предложен А.Г. Бургвицем и Г.А. Завьяловым [2], которые, основываясь на работах А.Т. Полецкого [20], выражали сомнения в правомерности подхода Э.Л. Позняка. Оказалось, однако, что непримиримого противоречия между двумя этими подходами нет и что в целом ряде случаев способ Э.Л. Позняка не менее безупречен, чем способ А.Г. Бургвица и Г.А. Завьялова.

С практикой результаты этих работ часто не согласуются. Имеются машины, успешно работающих в неустойчивой зоне без сколько — нибудь существенных признаков колебаний, вызванных масляным слоем. И наоборот, есть экспериментальные данные, указывающие на возникновение автоколебаний там, где по теории они должны отсутствовать. Отметим, что опубликовано сравнительно немного работ, содержащих достаточно полные экспериментальные исследования автоколебаний ротора на масляном слое в подшипниках скольжения без втулки: В. [38], А. Тондл [22], А. Hagg

30], С.П. Максимов [10], а также В.И. Олимпиев, Э.Л. Позняк. В работе С.П. Максимова выполнен анализ многих моделей валов, вращающихся в двух одинаковых цилиндрических подшипниках скольжения.

Согласно аргументации [1, 3, 10] основную роль в инерционном воздействии масляной плёнки на ротор играют линейные (локальные) силы, а конвективные (нелинейные) слагаемые могут быть отброшены. В работе М.Е. Подольского [17] использован подход Э.Л. Позняка, распространённый на различные модели подшипников и на общий случай учёта инерционных сил, и показано, что влияние конвективного ускорения на устойчивость более значительно, чем это предполагалось ранее.

Настоящая работа содержит аналитическое и численное исследование самовозбуждающихся колебаний роторов в подшипниках скольжения с втулкой, состоящих из трех твердых частей. Зазоры между абсолютно твердыми телами заполнены несжимаемым маслом.

В настоящей работе рассматривается распределение давления в двух зазорах, аналитическое исследование вычисления скорости вращения втулки и устойчивости положений равновесия движения ротора. Так же рассматриваются автоколебания жесткого и гибкого роторов, аналитически отыскиваются амплитуды и частоты их периодических движений с учетом гидродинамики смазки и центробежных сил. Отдельно будет исследован случай короткого подшипника.

Работа состоит из четырех главы.

В главе I составлены уравнения движения смазки в тонком смазочном слое подшипников скольжения с двумя вращающимися цилиндрами. Проведено исследование течения смазки в зазоре с учетом центробежных сил. В результате численного расчета получено, что в зазоре подшипника существует несколько течений: течением смазки вокруг вращающего оси ротора является круговое течение Куэтта, а течение смазки вдоль образующих линий является течением Пуазейля.

Далее в первой главе исследуется поле распределения давления. С помощью достаточно сложных математических преобразований составляется уравнение распределения давления в зазоре, т. е. уравнение Рейнольдса с учетом центробежных сил. Согласно теории короткого пошипника получаются явные выражения распределения давления в зазоре через его кинематические параметры. В последнем параграфе проводятся численные исследования распределения давления в зазоре для некоторых кинематических положений ротора в подшипнике скольжения.

Во второй главе рассматриваются силы, действующие на ротор и на втулку в подшипниках скольжения с втулкой, т. е. принимается, что подшипники состоят из трех абсолютно твердых частей: фиксированный цилиндр (гнездо); плавающий цилиндр (втулка), вращающийся с угловой скоростью сй2 и плавающий вал (ротор), вращающийся со скоростью СО]. Зазоры между твердыми телами заполнены несжимаемым маслом. Для получения сил реакции от смазочного слоя на ротор и на втулку необходимо определить границы смазочного слоя в подшипнике скольжения. В этой работе принята гипотеза Зоммерфельда о границах смозочного слоя, т. е. смазочный слой окружает весь ротор. Имея в распоряжении решение из теории короткого подшипника, можно получить выражения для сил, действующих на ротор и втулку со стороны смазочного слоя, путем интегрирования определить функции распределения давления по поверхности ротора и по поверхности втулки. После получения выражений сил реакции, последовательно исследуются распределение положений равновесия центра ротора в подшипнике и распределение положений равновесия центра втулки, вращающейся и плавающей в смазочном слое в зазоре между корпусом подшипника и ротором.

В результате в этой главе находятся явные выражения для сил, действующих на ротор, а так же выражения для сил, действующих на втулку со стороны масла извне и изнутри. Множество равновесных положений центра ротора в полярной системе координат, связанной с центром втулки, т. е. в подвижных осях, является горизонтальным отрезком е* е[0,1], у! = Зя/2, где

Е*> y| ~ соответственно относительный эксцентриситет центра ротора и угол определения положения центра ротора в этой полярной системе координат. Также найдено множество равновесных положений центра втулки в полярной системе координат, связанной с центром корпуса подшипника, являщееся горизонтальным отрезком е* е[0,1], у* =Ъж]2, где у* - соответственно относительный эксцентриситет центра втулки и угол, определяющий положение центра втулки в этой полярной системе координат.

В главе III исследуются моменты, действующие на ротор и на втулку в подшипниках скольжения с втулкой. Интегрированием компонент тензора напряжений по поверхности зазора получены явные выражения для моментов, действующих как на ротор, так и на втулку подшипника. Автор считает, что областью интегрирования является область, где гидродинамическое давление положительно. Главной целью настоящей главы является определение скорости вращения втулки в зазоре между корпусом подшипника и ротором. Данная проблема является важной для определения сил, действующих на ротор и втулку, так как они зависят от угловой скорости вращения втулки. Угловая скорость вращения втулки в подшипнике скольжения получена в рамках теории короткого подшипника из условия равенства моментов,

- недействующих на втулку со стороны масла извне и изнутри. До сих пор скорость вращения втулки определялась только экспериментальным методом.

В результате получаются выражения для определения угловой скорости втулки в явном виде. Численный расчет показал, что угловая скорость вращения втулки в подшипнике скольжения может меняться в достаточно широких пределах.

В последней, четвертой главе, излагается исследование устойчивости положения равновесия шипа в подшипнике, заполненном маслом, с учетом центробежных сил и гидродинамики смазки, а также автоколебания около положения равновесия в случае как жесткого так и гибкого вала. Объектом исследования является валом с определенной массой, вращающийся в двух одинаковых подшипниках скольжения с втулкой. Сначала для простоты не учитывается влияние внешнего поля смазки и рассматривается система «втулка-ротор». С помощью метода Пуанкаре линеаризована система уравнений движения. Здесь, однако, более сложный случай, поэтому приходится воспользоваться методами, дающими только приближенное решение. С помощью критерия Рауса-Гурвица показано, что положение равновесия движения шипа в подшипнике скольжения неустойчиво в первом приближении.

Далее в главе IV исследуется влияние структуры сил на устойчивость движения шипа, вращающегося в гидродинамической среде. Известно, что уравнения первого приближения во многих случаях дают верный ответ на вопрос об устойчивости движения, но очень часто заключение, которое можно получить из этих приближенных уравнений, не имеет ничего общего с решением исходных уравнений. Исследование показывает, что положение равновесия движения шипа в подшипнике скольжения, находящегося под действием произвольных неконсервативных сил и линейных диссипативных сил, всегда неустойчиво независимо от членов высшего порядка.

-11В последней части этой главы рассматриваются самовозбуждающиеся колебания ротора около положений равновесия в системе «втулка-ротор». В результате проведенного исследования положения равновесия шипа показано, что они неустойчивы, причем траектория автоколебания в одном случае есть окружность, а в другом эллипс. Формулы для радиуса окружности (амплитуда автоколебания) и эллиптичности получаются в аналитическом виде. Частота автоколебания шипа равна или чуть меньше половины суммы угловых скоростей ротора и втулки. Предполагается, что исследование устойчивости движения втулки в общем случае с учетом влияния внутреннего и внешнего полей смазки может быть проведено по аналогии.

Заключение диссертации по теме "Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключение работы отметим следующее.

1. Для современных машин с большими скоростями вращения валов, вообще говоря, нельзя пренебрегать силами инерции (в этом случае есть центробежными силами) жидкости в уравнениях движения смазки. Другими словами с учетом центробежных сил жидкости (см. уравнение (1.15)) глобальное давление в зазоре является функцией от радиуса г, в противополжность классической теории короткого подшипника, где это давление является функцией только от центрального угла Ф. В работе было получено достаточно сложное уравнение распределения давления в зазоре, т. е. было проведено обобщение уравнения Рейнольдса на случай значительных центробежных сил. Согласно теории короткого пошипника были получены явные выражения для распределения давления в зазоре. С помощью этого анализа было получено, что в зазоре подшипника существует несколько типов течений: течением смазки вокруг вращающего оси ротора является круговое течение Куэтта, тогда как течение смазки вдоль образующих линий является течением Пуазейля.

2. Согласно гипотезе Зоммерфельда о границах смазочного слоя, т. е. в предположении, что смазочный слой окружает весь ротор, находятся явные выражения для сил, действующих на ротор и так же выражения для сил, действующих на втулку со стороны масла извне и изнутри. Отметим, что проекция сил, действующих на ротор от смазочного слоя, на линии центров втулки и ротора равна нулю в положении равновесия для центра ротора, т. е. ^(е|,у|) = 0. В результате получено, что множество равновесных положений центра ротора в смазочном слое есть горизонтальный отрезок, проходящий через центр втулки. Относительный эксцентриситет центра ротора относительно центра втулки в положении равновесия s| е [0,1] пропоционален массе ротора. Для случая, в котором центр ротора находится в положении равновесия относительно втулки, проведен аналогичный анализ для втулки. В результате получается, что множество равновесных положений центра втулки тоже является горизонтальным отрезком, проходящим через центр корпуса подшипника. Относительный эксцентриситет центра втулки в положении равновесия г2 е [0,1] пропоционален массе втулки.

3. Втулка свободно вращается в зазоре между ротором и корпусом подшипника. Формула для угловой скорости вращения втулки в подшипнике скольжения получена в рамках теории короткого подшипника из условия равенства моментов, действующих на втулку со стороны масла извне и изнутри. Формула (3.21) показывает, что момент , действующий со стороны внутреннего поля смазки на втулку положителен, т. е. этот момент является причиной вращения втулки, а момент *М2 , действующий со стороны внешнего поля смазки на втулку отрицателен, т.е. этот момент тормозит вращение втулки. В данной диссертации получено выражение для угловой скорости втулки в явном виде. Численный расчет показал, что угловая скорость вращения втулки в подшипнике скольжения может меняться в достаточно широких пределах, она равна или чуть меньше половины угловой скорости ротора только в частных случаях, а именно когда £*2 малы. В общем случае угловая скорость втулки пропорциональна эксцентриситету ротора относительно втулки (или ) и обратно пропорциональна своему эксцентриситету относительно корпуса подшипника ^(илие^).

4. При исследовании устойчивости положения равновесия шипа в подшипнике, заполненном маслом, с учетом центробежных сил и гидродинамики смазки был использован метод Пуанкаре для линеаризации системы уравнений движения шипа. Здесь, однако, более сложный случай, поэтому был проведен приближенный анализ устойчивости. Было показано, что положение равновесия движения шипа в подшипнике скольжения неустойчиво в первом приближении.

5. При рассмотрении самовозбуждающихся колебаний ротора удалось значительно упростить их уравнения движения и воспользоваться для составления выражений сил реакции масляного слоя на шип уравнениями теории гидродинамической смазки для случая значительных центробежных сил. В результате исследования было получено, что траектория автоколебаний центра шипа в одном случае есть окружность, а в другом эллипс. Формулы для радиуса окружности (амплитуда автоколебаний) и эллиптичности были получены в явном виде. Частота автоколебаний центра шипа равна полусумме угловых скоростей ротора и втулки в том случае, когда траектория автоколебаний центра шипа является эллипсом, и она равна или чуть меньше полусуммы угловых скоростей ротора и втулки в случае, когда траектория автоколебаний центра шипа является окружностью.

Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю доктору технических наук, профессору Дмитрию Германовичу Арсеньеву за научное руководство и постоянный интерес к работе, доктору физико-математических наук, профессору Александру Константиновичу Беляеву за оказанную помощь при проведении работы и полезные дискуссии.

-102

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата технических наук, Нгуен Ван Тханг, Санкт-Петербург

1. Бургвиц, А.Г. К теории колебаний высокооборотных легконагруженных валов на масляной пленке Text. / А.Г. Бургвиц, Завьялов Г.А. // Сб.: Современные проблемы теории машин и механизмов. М.: Наука, 1965. -С. 287-296.

2. Бургвиц, А.Г. О влиянии сил инерции смазочного слоя на устойчивость движения шипа конечной длины Text. / А.Г. Бургвиц, Г.А. Завьялов // Машиностроение.- 1963.- №12. С. 38-49.

3. Бургвиц, А.Г. Устойчивость движения валов в подшипниках жидкостного трения Текст. / А.Г Гургвиц, Г.А. Завьянлов- М.: Мошиностроение, 1964.- 145 с.

4. Бургвиц, А.Г. Устойчивость движения шипа в подшипнике при неустановившемся движении смазки Text. / А.Г. Бургвиц // Труды семинара по теории машин и механизмов. М.: АН СССР, 1957.- вып. 67-С. 30-45.

5. Воробьев А.И. Устойчивости гибкого ротора на масляной пленке Text. / А.И. Воробьев, И.М. Насонкин // Сб. научно исследовательских робот студентов ЛПИ, 1958.- вып.1. - С. 122-135.

6. Диментберга, Ф.М. Вибрации в технике. Том 3. Колебания машин, конструкций и их элементов Text. : Справочник в 6-ти т. / Ф.М. Диментберга, К.С. Колесникова.- М.: Машиностроение, 1980. 544 с.

7. Зоммерфельд, А. К. Гидродинамической теории смазки Text. / А.К. Зоммерфельд. Сб. Гидродинамическая теория смазки. Классики естествознания, 1934. — С.363-448.

8. Коровчинский, М.В. Теоретические основы работы подшипников скольжения Текст. / М.В. Коровчинский —М.: Машгиз, 1959.-405 с.

9. Меркни, Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения Текст. / Д.Р. Меркин М.: Наука, 1976.- 320 с.

10. Олимпиев, В.И. Об устойчивости вертикального ротора на подшипниках скольжения Text. / В.И. Олимпиев // Механика и машиностроение. М.: АН СССР, 1963.- №2. - С. 146-148.

11. Пештн, Ю.В. Проектирование подшипников скольжения с газовой смазкой Текст. / Ю.В. Пешти. -М.: МВТУ-Баумана, 1973.-171 с.

12. Позняк, Э.Л. Колебания роторов на упруго массовых опорах с учетом динамических свойств масляной пленки Text. / Э.Л. Позняк // Механика и машиностроение. - М.: АН СССР, I960.- №4. - С. 134-152.

13. Тодер, И.А. Расчет предельных режимов работы подшипника жидкостного трения Text. / И.А. Тодер, Г.М. Розлер //Сб.:Развитие гидродинамической теории смазки.-М.: Наука.-1970. С. 68-88.

14. Тондл, А. Динамика роторов турбогенераторов Текст. / А. Тондл Л.: Энергия, 1971.-390 с.

15. Чернявский, С. А. Подшипники скольжения Text. / С. А. Чернавский. М.: Машгиз, 1963.- 244 с.

16. Belyaev, А.К. Forces and moments acting on the rapidly rotating floating bearing Text. / A.K. Belyaev, Nguyen Van Thang // 36th International Summer School Conference АРМ' 2008. Repino, Saint Petersburg, Russia.- P. 104111.

17. Boecker, G.F. Investigation of translatory fluid whirl in vertical machines Text. / G.F. Boecker, B. Sternlicht // Transactions of ASME. -1956.- №3. P. 138-155.

18. Capriz, G. On the vibrations of shafts rotating on lubricated bearings Text. / G. Capriz // Annali di Matematica Рига ed Applicata-1960.- Vol.3. P. 223-248.

19. Dubois, G.B. Analytical derivation and experimental evaluation of short-bearing approximation for full journal bearing Text. / G.B. Dubois, F.W. Ocvirk // Cornell Univ. Report.-1953.-No. 1157.-P.119-127.

20. Hagg, A.C. The influence of oil firm, journal bearings on the stability of the rotor machines Text. / A.C. Hagg // J. Applied Mechanics. -1946.- №3. - P. 211-220.

21. Halton, J.H. Elliptical whirl of floated journal bearings Text. / J.H. Halton //Proc. Cambrige. Philos. Conference, 1957. P. 119-127.

22. Hatakenaka, K. A theoretical analysis of floating bush journal bearing with axial oil film ruptures being considered Text. / K. Hatakenaka, M. Tanaka, K. Suzuki // Journal of tribology.- 2002.- Vol. 124(3).- P. 494-505.

23. Holt, C. Test response and nonlinear analysis of a turbocharger supported on floating ring bearings Text. / C. Holt, L. San Andres, S. Sahay, P. Tang //ASME J. Vib. Acoust-2005.- No. 127. P. 107 -115.

24. Hori, Y. A theory of oil whip Text. / Y. Hori // J. Applied Mechanics. -1959,-№2.-P. 189-198.

25. Hummel, Ch. Kritische drehzahlen als folge der nachgiebigkeit des schmiermittels im lager Text. / Ch. Hummel // VDI-Verlag, Berlin. -1926.-P.287.

26. Lang, O.R. Gleitlager Текст. / O.R. Lang, W. Steinhilper- Berlin: Springer Verlag, 1978.-P. 253.

27. Li, C.H. Dynamics of rotor bearing systems supported by floating ring bearings Text. / C.H. Li // ASME J. Lubr. Technol.-1982.- No. 104. P.469 -477.

28. Newkirk B.L. Varieties of shaft disturbances due to fluid films in journal bearings Text. / B.L. Newkirk // Transactions of ASME. -1956.- Vol.78. P. 985-988.

29. Orbeck, F. Theory of oil whip for vertical rotors supported by plain journal bearing Text. / F. Orbeck //Transactions of ASME. -1958.- №7. P. 14971502.

30. Shaw, M.C. Analysis and lubrication of bearings Text. / M.C. Shaw, E.F. Macks. McGraw Hill Book Co, 1949. -P. 618.

31. Tanaka, M. Stability characteristics of floating bush bearings Text. / M. Tanaka, Y. Hori // ASME J. Lubr. Technol.-1972.- No. 3. P.248 -259.