Динамика крупномасштабного гравитационного поля вблизи особой точки в классической и квантовой космологии тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

гГ6 0.4

п НОЯ

J НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЦЕНТР ПО ИЗУЧЕНИЮ СВОЙСТВ ПОВЕРХНОСТИ И ВАКУУМА

На правах рукописи

КИРИЛЛОВ Александр Альбертович

ДИИАМИКА КРУПНОМАСШТАБНОГО ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ ВБЛИЗИ ОСОБОЙ ТОЧКИ В КЛАССИЧЕСКОЙ И КВАНТОВОЙ КОСМОЛОГИИ

Специальность 01.04.02—Теоретическая физика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1993

Работа выполнена в Научно-исследовательском институте прикладной математики и кибернетики при Нижегородском ордена Трудового Красного Знамени государственном университете им. Н. И. Лобачевского.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Шикин Г. Н.,

кандидат физико-математических наук Иващук В. Д.

Ведущая организация — Институт проблем безопасного развития атомной энергетики РАН, г. Москва.

Защита состоится « О » 1993 г. в /о час,

на заседании специализированного совета К 041.07.02 в Научно-исследовательском центре по изучению свойств поверхности и вакуума (НИЦПВ) по адресу: г. Москва, ул. Марии Ульяновой, д. 3, корп. 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НИЦПВ.

9 7 / ,-)

Автореферат разослан « » / ^_1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических наук

Калинин М. И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Каи известно, проблема космологической сингулярности является одной из основных В' современной теоретической физике. Для ее исчерпывавшего анализа необходимо привлечь еще не созданную квантовую теорию гравитации. В отсутствие такой теории особый интерес представляет возможность построения и исследования моделей! которые были бы достаточно сложны, чтобы опйсыпать реальные свойства гравитационного поля вблизи особенности, но, с.другой стороны, достаточно просты, чтобы было возможно их нвантовов описание. Очевидно, что при Построении и отборе +аних моделей принципиальное значение имеет исследование•поведения и свойств гравитационного! поля вблизи особенности в общем неоднородном случав, выполненое еще в рамках классической теории тяготения.

Целью .работы является исследование поведения и статистических свойств крупномасштабного гравитационного поля вблизи особой точки в классической теории тяготения, а тйиже построение и исследование неоднородых нвантэвых моделей на основе классического анализа.

Научную новизну работы составляют следующие результаты, выносимые на защиту:

1.В классической релятипистсной теории тяготения показано, что вблизи особой точки пространственное строение метрических функций приобретает хаотический характер. Исследована динамика и Статистические свойства возникающей структуры в предположении крупномасштабном» гравитационного пол/» (размер горйзоИта Превышает характерный размер неоднородности поля). Кроме того, исследован вопрос о влиянии скалярного поля на поведение и , статистические свойства неоднородностей метрини.

2. В нвкнтовой космологии исследованы динамика я свойства крупномасштабного гравитационного поля вблизи особой точки. Предложена вероятностная интерпретация волновой функции и Ьана классификация ¿остопний гравитационного поля.1

3. На примере одь1ороднь& гравитационного й сналярного полёй исследована процедура третичного квантования , волновой функции

Вселенной и описан процесс нвзнтового "рождения мира из ничего".

Практическая ценность. Результаты

настоящего исследования могут быть использованы нак для описания ранней стации развития Вселенной, так и для изучения различных аспектов квантовой теории гравитации.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на VIII Российской гравитационной ненференции, Пущино, . 1993; на итоговых научных конференциях ННГУ, семинарах кафедры теоретической физики физического факультета ННГУ и на семинарах НИРФИ.

Публикации . Основные результаты, полученные в диссертации/ опубликованы в работах '[1-4].

Структура и 'объем работы. Диссертация состоит из введения и двух глав. Объем работы 59 страниц. Список литературы содержит 35 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Рр введении определяется 'круг изучаемых вопросов, формулируются цели исследования и приводится аннотация полученных результатов.

В главе первоЦ исследуется динамика и статистические свойства крупномасштабного гравитационного поля в классической теории тяготения. Использование предположения о нрупно-масщтабности гравитационного поля позволяет существенно упростить анализ динамики неоднородноетей метрики- В этом случае уравнения Эйнштейна в главном порядке сводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, которые в общих чертах совпадают с аналогичными уравнениями для однородных (IX и VIII типа) моделей. Кан ионестно,; динамика крупномасштабного квазиоднородного гравитационного поля в онрестности сингулярности складывается из чередующихся серий сменяющих друг друга "каанеровсних эпох" (явная конструкция такого решения уравнений 3)нштеИна была получена' В.А.Белинским, Е.М.Лифшцем и И.М,Халатликовым). На отдельной казнеровской эпохе метрика (в главном порядне по 1/t) имеет вид

2

ds2=dt2- (t2sí 1 ¡a * t2S. m ma + t2Sn n n0)dxadxP, a p a p a p

где наэнеровсние вентора i,m,n и показатели sj,sB'sn являются

функциями пространственных координат. Занон смены назнеровсних

режимов определяет отображение назнеровсних эпох (ОНЭ)

Тх (1 ,т,п, s.s ,s ) —» (I',!№ ,п',s'.s',s'). Отметим характерный 1 п п 1 ■ п

свойства этого отображения:

1. В приближении "глубоких осцилляции" формулы преобразования для показателей и амплитуд венторов оказываются локальными (т.е. но зависящими от пространственных производных).

2. ОНЭ обладает свойством стохастичности.

Из второго свойства, в частности, следует/ что при достаточно

длительном действии ОНЭ информация о начальных условиях

"забывается" (неточность в определении, начальных условий

Экспоненциально нарастает с числом прошедших казнеровсНих эр), И

эволюция поля допуснает статистическое описание, не зависящее от

этих условий. Естественно ожидать, что стохастичность ОНЭ вместе

с отмеченным выше свойством локальности должны приводить н

монотонному уменьшению координатного масштаба неоднородности

метрики и, в нонечном счете, н формированию пространственного

хаоса в метрических функциях (отметим, что пространственный

масштаб неоднородности может, тем не менее, оказаться

возрастающим - при учете носйологичесного расширения

пространства). Действительно, автором совместно с А.А.Ночневым

(1987) на примере построенного В,А.Белинским и И-Й.Халатниновым

общего решения со скалярным полем было показано» что при t -* О

действие ОКЭ приводит н дроблению координатного масштаба X

-N

неоднородности назнеровсних показателей Sj (х ■" \д2 , где Я ■ число прошедших назнеровсних эпох,, а Х0 - начальный масштаб неоднородности). При этом на последней (мойотонной) назнеровсной эпохе, которой при наличии скалярного роля оканчивается носмологичесний коллапс, формируется хаотичесное ячеистое строение показателей с универсальными (при достаточно большом W) статистичесними свойствами .

В отсутствие скалярнйго поля, а , также в задаче о космолбгическом расширении, исследовать свойства пространственного распредел4ниИ неоднородностей метрики с помощью отображении оказывается Неудобно. Это в) первую очередь связано с тем, что смона назнеровсних эпох в равлИчных , точках пространства

з

происходит не одновременна, а на некоторой гиперповерхности, ноторая, в общем случае, не является пространстванноподобной. Кроме того, ОНЭ обладает плохими статистическими свойствами (что выражается в отсутствии инвариантной меры; в этом смысле более адекватный оказывается отображение, фанторизованное по назнеровским арам). Оказывается, что для поставленной цели более удобный является нанонический подход, предложенный ранее Мианерон (при исследовании однородной "шххтав1ег" модели) И обобщенный автором на случай неоднородного поля в [1,2].

В разделе 1 первой главы мы кратко приводим гамильтонову формулировку теории тяготения".

В разделе 2 вводится так называемая казнеровская параметризация динамических переменных [1,2]. Каанеровские переменные впервые были предложены Е.М.Лифшицем и И.М.Хапатниновым (1963) при построении обобщенного назнеровскога решения уравнении ' ЭнштеВна, В данном разделе аналогичные переменные вводятся в раинах гамильтонова формализма.

На основе использования казнеровской параметризации в разделе 3 методом Гамильтона-Якоби строится автомодельное решение, которое в различных асимптотиках описывает два важнейших орщих космологических режима " инфляционный (общее решение для которого получено Д.А.Старобинским (1983)) и назнеровский (Е.М.Лифшиц, И.М-Халатников (1963)),

В разделе 4 выводится модельная форма теории в асимптотика

снопь угодно малых времен- Как известно, в случае однородной

модели гравитационное поле можно описать комплексной величиной

г, являющейся характеристики степени анизотропии пространства,

И наноничесни сопряженной ей переменной р, характеризующей

скорость изменения анизотропии [2,4] (эти переменные ярпяютсЯ

Зрталогами мианероаских переменных, описывающих однородное IX

Типа пространство). В случае неоднородного поля величины г и р

- (

становятся функциями пространственных координат. В данном разделе показано, что в сингулярности динамическая система, описывающая неоднородное гравитационное поле, вырождается в полное произведение континуума систем однородного типа'.

В разделе 5 показано, что в Терминах переменных ей р Система однородного типа представляет собой геодезический поток (биллиард) на части плоскости Лобачевского, имеющей неточную

площадь. Как известно, поведение геодезических на многообразии

«

отрицательной кривизны характеризуется экспоненциальной неустойчивостью (при движении вдоль гзодезичесной нормальные отклонения растут не медленнее энспоненты пройденного пути, показатель которой равен-квадратному корню из модуля кривизны)1. Эта неустойчивость приводит к стохастичности соответствующего геодезического потока. Система обладает свойством перемешивания я инвариантной мерой, которая индуцируется мерой Лиувипля.

В разделе 6 рассматривается случай неоднородного попп. Отсутствие влияния пространственных производных на динамику неоднородного поля делает возможным описание пространственного строения динамических функций. Поназано, что функция |г|2Лр1< которая является плотностью АДМ гамильтониана и характеризует снорость изменения объема пространства, в процессе эволюции остается постоянной и тем самым сохраняет свою первичную неоднородность. Остальные динамические функции приобретают характер случайных функций от координат • Динамика роста нводнородностей этих фуннций определяется выражениями вида 1/к = (ЦГ1 " ~ 1/к0е~*х (где Дт ->'<>>, а г связано с

временем нан г ~ 1п\1п(1/Ь)\). При этом статистические свойства кан временного, тан и пространственного поведения этих функций оказываются одинаковыми и характеризуются ' инвариантным

/ „ . 1 <1г г с(3 распределением ф =---- ,- .

* а-\щг)г 2п

В разделе .7 первой главы исследуется влияние скалярного поля на поведение и статистические свойства неоднородностей метрики. В нем поназано, что снапярное попе можго эффективно учесть, заменив временную переменную т на 0. Подобная ¡замена приводит н качественным изменениям в соответствующей динамической системе. В частности, при наличии сналярного поля последней стадией носмологичесного ноллапса является устойчивый назнеровсний режим (что было отмечено уже в работе .В.А.Белиненого и И.М.Халатникова (1972)). При этом поназано, что при определенных ограничениях (малость плотности энергии скалярного поля по сравнению с чисто гравитационной энергией) данная динамическая система все еще обладает стохастическими свойствами.'

В заключительном разделе 8 приведены оценни скористи нарастания неоднородиостеИ в синхронном, времени сН = а

также вычислены некоторые статистические параметры теории. Кроме

того, показано, что мгновенная струнтура гравитационного поля Имеет ячеистое строение.

Вторая глава посвящена изучению квантовой динамики крупномасштабных гравитационных полей вблизи особенности [1,3,4]. Эта глава состоит из двух частей. В первой части расма'тривается случай однородного поля.

В разделе 1.1 рассматривается формальная процедура квантования, при этом для простоты рассматривается случай отсутствия материи. Квантовую динамину однородной ("пихта81ег") модели впервые рассматривал Мизнер. Кан было показано в [4], в окрестности сингулярности эта динамина имеет простое формальное описание. Поскольку система, описывающая динамину однородного, поля, имеет вид биллиарда, заданного на части плоскости Лобачевского, то волновую функцию удобно разложить по собственным функциям оператора Лапласа Д - - (к^+1/4) ¡рп1 V I,. = О (где ЭК - граница биллиарда). Конечность площади

ал

биллиарда приводит н дискретности спектра собственных значений. Таким образом, собственные функции можно классифицировать Дискретным нвантовым числом л = 0,1,2,В базисе собственных функций оператора Лапласа уравнение Уилера- ДеВитта легко интегрируется и таким образом находится общее решение для волновой функции. Построение этого решения осуществляется В разделе 1.2.

В разделе 1.3 исследуется вопрос о построении гильбертова пространства и о вероятностной интерпретации волновой фуннции Вселенной. Как известно, уравнение Уилера-ДеВитта, которому подчиняется волновая функция, имеет структуру уравнения типа Клейна-Гордона (т.е. является гиперболическим дифференциальным уравнением второго порядка). В связи с этим воанинает проблема,, связанная с вероятностной интерпретацией и конструкцией гильбертова пространства. В настоящем разделе для ее решения используется подход, основанный на явном выделении "положительно-частотного" сектора Я* в пространстве Я решений уравнения Уилера-ДеВитта [3]. Для однородного поля окайывается возможным определить стационарные состояния |п>, < которые являются собственными векторами для оператора плотнЬсти АДК Гамильтониана Л ( Л|л> = кд|л> ). Отметим, что эти состояния описывают, вообще говоря, нестационарную геометрию.

В ряппепе 1.4 поняп:;но, что процедура построения

в -

гильбертова пространства в общем случае оказывается неоднозначной, и приведены соображения в пользу проведения процедуры третичного нвантования .

В разделе 1.5 рассматривается случай наличия скалярного

к

поля [4]. В этом случае уравнение Уилера-ДеВитта оказываете^ явно зависящим от времени и однозначно определить лоложительнр-частотные решения ужа нельзя (происходит, как говорят, перемешивание частотностей). В соответствии с этим, неоднозначной является и процедура построения гильбертова пространства Я+. По аналогии с теорией релятивистских частиц данная проблема решается в рамнах третичного нвантования. Корпускулярная интерпретация осуществляется методом

диагонализации гамильтониана. При этом понаэано, что число Вселенных является переменной величиной и описание, относящееся к одному кванту (одной Вселенной), уже не может быть получено в рамнах волновой функции, т.е. чистого состояния. Оно достигается только с помощью матрицы плотности. Выражение для матрицы плотности получено в явном виде и показано, что в случае, ногда плотность энергии скалярного поля мала, спектральная плотность числа "рожденных из ничего" Вселенных имеет планковсний вид. Нроме того, поснольку число возникающих Вселенных может неограниченно возрастать, то в известных пределах можно говорить о том, что выражение для матрицы плотности не зависит от выбора начальных условий.

Во второй части второй главы рассматриваются модели, которые включают нрупномасштабные неоднородности гравитационного поля [3].

В разделе 2.1 рассматривается обобщенная назнеровсная модель. Эта модель хотя и имеет более ограниченый харантер по сравнению с моделью БЛХ, тем не менее рассмотрение ее квантоиой динамини представляет существенный интерес, поскольку для этой модели удается получить решения уранения Уилера-ДеВитта в замннутой аналитической форме и, таким образом, она допускает полное квантоиое описание. Кроме того, для наэнеровсной модели кваэиклассическое приближение оказывается точным, что поэноляет проследить корректность использования выбранной схемы вероятностной интерпретации.

В разделе 2.2 рассматривается модель БЛХ, ноторая в классической теории описывает общий нолебательный режим

приближения н особенности. Для простоты рассматривается случай отсутствия скалярного поля. В этом случае классификация состояний неоднородного гравитационного поля осуществляется с помощью набора целых чисел п(х). Как и в однородном случае, состояния \п(х)> являются стационарными. Кроме того, в этой разделе исследуются статистические свойства неоднородностей поля. В отличие от нлассичесой теории они оказываются существенно зависящими от начальных условий, т.е. от выбора начального нвантового состояния. В частности, дельта норрелированость неоднородностей имеет место только д«я стационарных состояний (или состояний, описываемых стационарной матрицей плотности). Кроме того, в общем случае интенсивность флунтуаций оказывается зависящей ov координат (эта зависимость Пропадает только в нвазиклассическом пределе л —» ю). Разумеется, в основном состоянии ( п(х) - О) гравитационное поле яляется однородным и изотропным, но нестационарным.

В разделе 2.3 приведены заключительные замечания. Отмечается, что при учете материи (сналярного поля) структура Ноля может полностью определяться поляризационными (вакуумными) эффектами. При отом крупномасштабная структура гравитационного поля приобретает однородный и изотропный характер.

Работы, опубликованные по теме диссертации

1.Нириллов A.A.//Общее асимптотическое репение уравнения Уилера-деВитта при наличии космологической постоянной. - В сб .статей: Методы качественной теории и теории бифуркаций, ред. Л.П.Юильников.- Нижний Новгород, 1991, с.115.

¡.Кириллов А.А.//К вопросу о харантере пространственного распределения неоднородностей метрики в общей решении уравнении '3)нштейна вблизи носмологичесной сингулярности. -ЖЭГв 1993 т.103, с.721 .

3.Klrillov A.A.//On quantum properties of larpe-scale irtbomogeneitles of metric in the vicinity of cosmological singularity.- to be published in Int. Jour Mod. Phys.D. r 1993.

4.Кириллов A.A. // О квантовом рождении Вселённой в окрестности космологической сингулярности. - Письма и ЖЭГФ -1992 - т.55, с.540.

в