Динамика кубических кристаллов в модели Ван-дер-Ваальсовских связей

Мачихина, Инна Олеговна

Динамика кубических кристаллов в модели Ван-дер-Ваальсовских связей тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

Мачихина, Инна Олеговна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Брянск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2011 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.07 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Динамика кубических кристаллов в модели Ван-дер-Ваальсовских связей»

Автореферат диссертации на тему "Динамика кубических кристаллов в модели Ван-дер-Ваальсовских связей"

Мачихина Инна Олеговна

Динамика кубических кристаллов в модели Ван-дер-Ваальсовских связей

Специальность 01.04.07 — физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- 5 ОПТ 201,

Москва - 2011

4856782

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Брянский государственный университет им. академика И.Г. Петровского»

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент Холодовский Владимир Евгеньевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Ревинский Антон Федорович

кандидат физико-математических наук Долгушин Денис Михайлович

Ведущая организация:

Институт металлургии и

материаловедения им. А.А. Байкова РАН

Защита состоится октября 2011 г. в И час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.141.17 при ГОУ ВПО «Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана» по адресу: 248600, г. Калуга, ул. Баженова, д. 2, МГТУ им. Н.Э. Баумана, Калужский филиал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГТУ им. Н.Э. Баумана, Калужский филиал по адресу: г. Калуга, ул. Баженова, д. 2.

Автореферат разослан «21» сентября 2011г. /7

Ученый секретарь диссертационного ^^-у

совета, канд. техн. наук, доцент Лу^ / С.А. Лоскутов

Общая характеристика работы

Актуальность. Как известно, динамические процессы, происходящие в веществе, так или иначе, определяются тем, каким образом взаимодействуют между собой отдельные атомы. Поэтому для теоретического исследования свойств вещества возникает необходимость адекватного описания механизма межатомного взаимодействия, позволяющего построить динамическую модель и произвести необходимые расчеты.

В настоящее время существуют два подхода к построению такого описания — первопринципный и полуэмпирический. Первый основан на определении волновых функций электронов в кристалле при условии равновесного состояния системы ионных остовов и последующем решении уравнения Шредингера для системы электронов. После решения уравнения для системы электронов считается, что электронная плотность остается статически распределенной, и рассматривается задача о колебаниях ионных остовов в статически распределенной среде электронной плотности. Однако решение подобной задачи осложняется наличием огромного числа взаимодействующих частиц и практически невозможно без каких-либо упрощений и привлечения эмпирических поправок или свободных параметров. Все это, так или иначе, приводит к исчезновению самой сути первопринципного подхода.

Полуэмпирический подход сохраняет свою актуальность и в настоящее время. Традиционные подходы предполагают задание для каждого вещества функций межатомных взаимодействий или функции распределения электронной плотности в кристалле или в молекуле. И те и другие определяются исследователем из физических соображений, а входящие в них параметры находятся из условий совпадения рассчитанных и экспериментально измеренных физических характеристик исследуемого вещества. В конечном счете, задача сводится к решению уравнения динамики решетки в соответствии с динамической теорией М. Борна. В обоих подходах предполагается, что движение ионных остовов происходит в потенциальной среде, обеспеченной статически распределенной электронной плотностью. Тем самым выпадает из рассмотрения временная зависимость электронной плотности, как реакции на тепловое движение ионных остовов. В результате становится затруднительным определение механизма межатомного взаимодействия, учитывающего временную зависимость электронной плотности, исследование процессов излучения и поглощения отдельно взятого атома, а также определение условий термодинамического равновесия. Возможно, что учет временной зависимости электронной плотности не оказывает существенного влияния на результаты расчетов теплофизических свойств кристаллов ввиду существенной разницы масс электронов и ионных остовов. Однако, при расчете теплофизических свойств электронного газа это

обстоятельство может оказаться весомым. Например, формула Ферми, выражающая электронный вклад в удельную теплоемкость металлов, дает существенное занижение по сравнению с экспериментом. Возможным объяснением такого расхождения является пренебрежение тепловым движением электронного газа. Учет теплового движение электронного газа может оказаться полезным при исследовании процессов излучения, поглощения и теплопередачи в металлах.

Таким образом, становится очевидной актуальность построения динамической модели, в которой был бы определен механизм межатомного взаимодействия, позволяющий описать условия термодинамического равновесия, произвести расчеты теплофизических свойств кристаллов, а также параметров временной зависимости электронной плотности. При определении механизма межатомного взаимодействия важно, чтобы, во-первых, это не приводило к сверхсложным расчетам, а получаемые выводы давали достаточно хорошее совпадение с экспериментом, и, во-вторых, не исключалась возможность расчета параметров модели из первых принципов.

Целью настоящего исследования является изучение теплофизических свойств кубических кристаллов на основе разработанной динамической модели.

Для достижения поставленной цели необходимо решение следующих задач:

• построение динамической модели на основе сил взаимодействия Ван-дер-Ваапьсовского характера;

• подтверждение принципа длинных волн для кристаллов с объемноцентрированной кубической (ОЦК) и гранецентрированной кубической (ГЦК) решетками и расчет силовых констант динамической модели через упругие константы рассматриваемых веществ;

• вывод и расчет дисперсионных соотношений для ОЦК и ГЦК решеток, а также их сравнение с результатами исследований по нейтронному рассеянию;

• расчет плотности распределения фононных спектров кубических кристаллов с ОЦК и ГЦК решетками;

• построение температурных зависимостей тепловой энергии, теплоемкости и среднеквадратичных смещений атомов для выбранных объектов исследования, сравнение полученных результатов с теоретически рассчитанными и экспериментальными данными;

• расчет энергии и теплоемкости теплового движения центров зарядов внешних электронных оболочек атомов металлов с ОЦК и ГЦК решетками;

• вычисление поправки- к теоретическим данным по удельной электронной теплоемкости металлов, обеспечивающей наилучшее приближение к экспериментальным данным.

Объекты исследования. В качестве объектов исследования были выбраны элементы 1 - 5, 8 групп таблицы Д.И. Менделеева, имеющие ОЦК и ГЦК кристаллические решетки: У, Ма, К, V, МЪ, А1, Си, Ад, №, а также инертный газ Аг.

Научная новизна.

В работе впервые получены следующие научные результаты:

1. Разработана динамическая модель, учитывающая временную зависимость электронной плотности.

2. В рамках данной модели рассчитаны важнейшие тепловые свойства моноатомных кубических кристаллов без каких бы то ни было подгоночных параметров.

3. Осуществлен расчет теплового движения электронного газа в металлах.

4. Получены выражения для температурных зависимостей электронного вклада теплового движения центров зарядов внешних электронных оболочек атомов металлов с ОЦК и ГЦК решетками в энергию и теплоемкость.

5. Вычислена поправка к теоретическим данным, полученным из первых принципов, по удельной электронной теплоемкости металлов, согласующаяся с имеющимися экспериментальными данными.

Теоретическая и практическая ценность работы. Разработана методика расчета важных теплофизических свойств кристаллов, исходя из справочных данных по упругим константам, без использования каких-либо подгоночных параметров. Результаты работы могут быть использованы при проведении дальнейших исследований динамики решетки в отсутствии адиабатических условий; также при расчете упругих констант и других параметров инертных газов в твердой фазе на основе теоретических данных, полученных другими исследователями, путем интерполирования их имеющимися формулами. Получение соответствующих параметров для инертных газов экспериментально затруднено.

Основные положения, выносимые на защиту:

1) плотность распределения электронного заряда в кристалле имеет временную зависимость, вызванную колебаниями ионных остовов атомов кристалла. Для отдельно взятого атома это приводит к возникновению дипольного момента, плечо которого зависит от радиальной и тангенциальной составляющих относительных перемещений остова атома с остовами его соседей;

2) атом, рассматриваемый как динамический диполь, излучает электромагнитную энергию; плотность излучаемой энергии равна потоку вектора Умова-Пойнтинга через сферу, радиус которой представляет собой вариационный параметр, названный эффективным радиусом атома; энергия, излучаемая атомом за пределы сферы эффективного радиуса, рассматривается как результат работы силы реакции;

3) при адиабатических условиях на любом временном промежутке средняя энергия, поглощаемая атомом, совпадает со средней энергией, излучаемой им, что возможно лишь, когда кулоновские силы, действующие на атом с учетом его экранизации, уравновешиваются силой реакции на его излучение;

4) в адиабатическом приближении движение остова атома происходит лишь под действием силы внутреннего диполя, наведенного соседними атомами и имеющего квантово-механическую природу.

Личный вклад соискателя: а) разработана математическая модель динамики решетки, использующая механизм диполь — дипольного взаимодействия в адиабатическом приближении; б) произведен расчет дисперсионных кривых и фононных спектров для ряда веществ с ОЦК и ГЦК решетками; в) на основе полученных данных о фононных спектрах рассчитаны температурные зависимости энергии, теплоемкости и среднеквадратичных смещений атомов для ряда веществ с ОЦК и ГЦК решетками; г) впервые разработана математическая модель, описывающая временную зависимость электронной плотности металла; д) произведены расчеты температурных зависимостей электронного вклада в энергию и теплоемкость металлов, вычислена поправка к теоретическим данным по удельной электронной теплоемкости металлов, согласующаяся с имеющимися экспериментальными данными.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на всероссийских научных конференциях студентов-физиков и молодых ученых ВНКСФ-12 (Новосибирск, 2006), ВНКСФ-16 (Волгоград, 2010) и ВНКСФ-17 (Екатеринбург, 2011), 1-м Международном симпозиуме по фундаментальным и прикладным проблемам науки (Челябинск, 2010).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 научные статьи в реферируемых научных изданиях из Перечня ВАК Минобрнауки РФ, 3 тезиса докладов на конференциях, 1 тезис доклада на симпозиуме, 1 депонированная работа, 2 статьи в межвузовских сборниках (всего 11 печатных работ).

Структура и объем диссертации. Диссертация содержит введение, три главы, заключение, 3 приложения, список литературы из 133 наименований, 198 страниц текста, 65 рисунков, 10 таблиц.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность исследования, формулируются цели и задачи диссертационной работы, научная новизна и практическая значимость полученных результатов, основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава представляет собой литературный обзор результатов исследования теплофизических свойств кубических кристаллов с ОЦК и ГЦК решетками. Из анализа литературы следует, что в описанных силовых моделях на основе теории М. Борна расчет теплофизических свойств кубических кристаллов производился с учетом различного числа подгоночных параметров. И ни в одной из них не рассматривалась временная зависимость электронной плотности, как реакции на тепловое движение ионных остовов, и, как следствие, механизм межатомного взаимодействия.

Во второй главе, используя механизм Ван-дер-Ваальсовского взаимодействия, получено уравнение термодинамического равновесия, на основе которого в адиабатическом приближении выведены уравнения динамики ОЦК и ГЦК решеток с учетом сил центрального и нецентрального характера.

Решение полученных уравнений позволяет рассчитывать динамические матрицы для ОЦК и ГЦК решеток, а также получить уравнение, описывающее временную зависимость параметров движения центров зарядов внешних электронных оболочек (ВЭО) атомов кристалла.

В настоящей работе атом кристалла рассматривается как структуризованный объект, состоящий из ионного остова и центра заряда его внешней электронной оболочки (ВЭО). Временная зависимость электронной плотности на атомном уровне представляется изменением положения центра заряда ВЭО атома, вызванным относительными перемещениями его остова с остовами соседних атомов. При этом центр заряда ВЭО атома, являясь средним значением квантовой величины согласно выводам квантовой теории, движется по законам классической механики. Считается, что также по законам классической механики происходит движение ионного остова атома, как достаточно массивной частицы. Таким образом, в результате относительного перемещения остовов атома и его соседей в атоме наводится дипольный момент, что приводит к возникновению сил Ван-дер-Ваальсовского характера. Исходные предпосылки построения такой модели для металлов и инертных газов заключаются в следующем.

1. Количество валентных электронов, находящихся в зоне проводимости, мало по сравнению с количеством тех валентных электронов, которые адиабатически связаны с колеблющимися остовами. Данное предположение анализируется в работах Бровмана, Кагана и Честера.

2. Электронная плотность валентных электронов, связанных с остовом отдельно взятого атома, определяется взаимным расположением последнего с остовами соседних атомов из первой и второй координационных сфер. При этом центр заряда ВЭО атома не обязан совпадать с положением его остова. Тем самым, движение атомов кристалла распадается на две составляющие: тепловое движение остовов атомов и тепловое движение центров зарядов их

ВЭО. Очевидно, что в квантовой модели динамики электронного газа в металлах никак не учитывается тепловое движение центров зарядов ВЭО атомов решетки.

3. Дипольный момент, наводимый в атоме со стороны остовов атомов из первой координационной сферы, зависит не только от радиального, а также и от тангенциального взаимного перемещения остова рассматриваемого атома и остовов его соседей. Присутствие тангенциальной составляющей дипольного момента приводит к возникновению сил нецентрального характера, действующих на остовы, что позволяет объяснить нарушение соотношения Коши в кубических металлах. В работе Бровмана, Кагана это обстоятельство объясняется наличием многоионного взаимодействия.

4. Атомы, рассматриваемые как динамические диполи, излучают электромагнитную энергию. Излучаемую атомом энергию можно рассматривать как результат работы силы реакции на его излучение. В первом приближении, с учетом размеров плеча диполя, сила реакции пропорциональна плечу диполя. В адиабатическом приближении можно считать, что энергия, излучаемая атомом за некоторый временной промежуток, равна энергии, поглощаемой им за счет излучения остальных атомов решетки. Данное условие будет выполнено, когда сила реакции на излучение диполя атома уравновешивает кулоновские силы, действующие на его остов со стороны остальных атомов решетки. Последнее предположение существенно упрощает построение динамической модели.

5. Согласно принципу длинных волн, сформулированному М. Борном, уравнение колебаний остовов атомов решетки в предельном случае сводится к классическому уравнению распространения волн упругих деформаций в кубических кристаллах, что позволяет выразить силовые константы модели через упругие константы рассматриваемого вещества.

6. Расчет электронной плотности (ВЭО) атома и его дипольного момента в зависимости от положений соседних атомов на первой и второй координационных сферах в принципе может быть осуществлен методами квантовой механики.

Все указанные выше предпосылки позволяют построить динамическую модель и произвести необходимые расчеты для объектов исследования.

Во второй и последующих главах используются следующие обозначения: Ч - заряд остова, р = ц114,тс0, а - параметр решетки. Вводится система координат 0,ех,еу,ег, в которой положение каждого узла решетки определено формулой:

= + (1)

где /,У,Л: - натуральные числа. Множество всех наборов £ = (/',у,£), нумерующих атомы решетки, обозначается Л .

Для каждого £ = (/,у'Д)еЛ через А, обозначается атом решетки, положение равновесия которого определяется формулой (1), через П( соответствующий узел, а через и( смещение остова атома из положения равновесия в некоторый момент времени /. Через Б^) обозначается множество мультииндексов, нумерующих атомы решетки, находящиеся на /-ой координационной сфере атома А(, а через - множество

мультииндексов, нумерующих какую-нибудь полусферу /-ой координационной сферы.

Для двух соседних атомов А( и А(, через ь>{{. = и- - и( обозначается

вектор относительного перемещения их остовов. Считается, что это перемещение вызывает изменение степени перекрытия орбиталей внешних электронных оболочек атомов А( и А(., что приводит к возникновению у

них соответствующих дипольных моментов.

В случае ОЦК решетки плечо дипольного момента, р((., наведенного в

атоме А? со стороны атома А(., лежащего на его первой или второй координационной сфере, соответственно определяется формулами:

р(Г=к2г<е((., №„>е№, (3)

где ки, л"|(, к2г - числовые параметры, постоянные для данного кристалла, ет - единичный вектор, указывающий направление от узла й4 к узлу В,,, Г4С = е44- < > ~ радиальная, а т((. - -гй> - тангенциальная

составляющие вектора и>„ = -и>еТ.

В случае ГЦК решетки, учитывая фактор её плотной упаковки и малый порядок симметрии относительно оси вращения в направлении [110], считается, что перекрытие электронных оболочек возможно лишь между атомами, лежащими друг относительно друга на первой координационной сфере. Причем, при тангенциальном относительном перемещении двух соседних атомов степени перекрытия их ВЭО в направлениях [100] и [110] отличаются друг от друга. Соответствующие перемещения обозначаются т'{. и т2;;,. а формула, выражающая плечо дипольного момента р,(., наведенного в атоме А{ со стороны атома А.,, лежащего на его первой координационной сфере имеет вид:

где к1г, кь, кг, - числовые параметры, постоянные для данного кристалла.

Плечо р( полного дипольного момента, наведенного в атоме А( со стороны всех его соседей, вычисляется путем суммирования по всем соседним атомам, в случае ОЦК и ГЦК решеток соответственно

Р( = 5>«' + 2><{" Р( = Ер«'- (5)

ГеИгМ

На внутриатомный диполь атома действует кулоновская сила <2( со

стороны диполей всех остальных атомов решетки, что вызывает некоторое приращение Ар( плеча дипольного момента, так что оно становится равным

Р(= р( + Ар,. Диполь атома А(, излучая электромагнитную энергию,

испытывает на себе также действие силы реакции Я( на его излучение.

Показано, что в первом приближении

где - вариационный параметр, названный эффективным радиусом атома. С учетом всех сил уравнение движения остова атома принимает вид:

М0и( =-ё-Р +я =-£р Адр +11 £еА, (6)

4 а а а

где а - поляризуемость атома, а /¿0 - масса остова атома. Считается, что в состоянии термодинамического равновесия силы, вызванные кулоновским воздействием, уравновешиваются силой реакции, в результате чего уравнение (6) приводится к виду

Д.Й, Л. (7)

С учетом выражений (2) - (4) силовые константы уравнения (7) определяются формулами: сг1г = /Зк]г /а, аи - ркь /а, сг2, = ркгг 1а, а21 = Ркъ / а. Показано, что в континуальном приближении уравнение (7) подобно соответствующему уравнению теории упругости. Это позволяет выразить силовые константы модели через упругие константы рассматриваемых веществ.

В случае ОЦК и ГЦК решеток соответственно справедливы равенства:

а,, =|(С,2 + 2С44), <Г1(=|(С44-С|2), ег2, =^(С„ -С44);

егь. =7(Сц +С|2 +С44), а1г =^(2СМ-Сп),а2, =^(СИ -С12 -С44). 4 4 4

Решение уравнения (7) динамики решетки ищется в виде бегущей волны, поляризованной в направлении некоторого единичного вектора 8 = 8хе* + 8уеу + 8гег > заданной формулой

= (8)

где для заданного £ = (i,j,k) е Л положение узла решетки определяется вектором г, заданным по формуле (1), а временной множитель берется равным и-к - As с к = Л si n(Kr ±cot) (или и, к - Ас. к= A cos (Кг ± at)). В условии цикличности Борна-Кармана волновой вектор принимает вид

К = —(kxex + k е + к,е2), где к,к ,к - целые числа, а интервалы их па

изменения выбираются так, чтобы были учтены все колебательные моды, и ни одна из них не повторялась бы дважды.

В результате подстановки (8) в уравнение (7) задача вычисления координат вектора g и частоты бегущей волны сводится к решению системы из трех уравнений следующего вида:

~ Kgy - bygz = (а0 - /ia>2)gx,

- bzgx + cygy - btgz = (cr0 - /«y2 )gy, (9)

- bygx - bxgy + c2g, /лтг )gz.

Получены выражения для коэффициентов системы (9) через упругие константы рассматриваемых веществ в случае ОЦК и ГЦК решеток. Решение уравнения (7) представляется как наложение отдельных колебательных мод

"i(0= Hgg.mBitKmsin(o}Kj + <pKm), (10)

в которых для каждого волнового вектора К gK т и mKjn, т —1,2,3 - есть решения системы (9), а В( К ,„ = АКт sm(A>f + ц/К т).

Получив представление (10) колебаний остова атома, далее исследуется задача о тепловых колебаниях центров зарядов внешних электронных оболочек атомов решетки. Смещение v, из положения равновесия центра

заряда ВЭО атома А, в некоторый момент времени определяется формулой:

vt=u(~pc (И)

В этой формуле вектор и{ дается выражением (10), а вектор Р(, £е Л,

определенный выше, находится путем решения следующей системы линейных уравнений, полученной из условия термодинамического равновесия:

0/а+ ^Щ + Y^riP? -3<et,,Pt, >ei{.) = ±p{, (12)

ef i'*f 'if U

в которой a = За3 / 8л:, - расстояние между узлами D( и D{,. Показано,

что колебание центра заряда ВЭО атома А, представляется в виде

наложения стоячих волн с определенными амплитудами и направлениями поляризации:

= £(£*.». -dK<m)B4 Km sin(wKiJ + <рКгЯ), (13)

K,m

где вектор dKm находится из системы (12).

Третья глава посвящена исследованию термодинамических свойств кристаллов с ОЦК и ГЦК решетками.

Первоначально система (9) решена для основных кристаллографических направлений волнового вектора, в результате получены дисперсионные соотношения, которые в континуальном приближении совпадают с известными дисперсионными соотношениями для кубических кристаллов из теории упругости. Исходя из значений упругих констант, рассчитаны дисперсионные кривые для ряда элементов 1 - 5, 8 групп таблицы Менделеева, которые хорошо согласуются с результатами исследований по нейтронному рассеянию. Также построены дисперсионные кривые для инертного газа Аг.

На рис. 1-3 приводятся дисперсионные кривые для Al, Na, Аг (исходные данные, для расчета которых взяты из табл. 1) в направлениях [111], [110], [100] для продольной и поперечной поляризаций при температурах 4К, 78К и 0К соответственно. Полученные кривые хорошо согласуются с экспериментальными данными, которые нанесены точками.

Таблица 1.

Атомная масса ц, параметр решетки а, упругие константы С„ элементов с _ОЦК и ГЦК решетками___

Вещество ц, а.е. а, А Т.К Сц.ГПа С,2, ГПа С44, ГПа

Na 22,9897 4,2906 78 8,2 6,8 5,8

300 7,3 6,2 4,26

Al 26,98 4,04959 4 122,6 70,8 30,6

298 107,3 60,9 28,3

Аг 39,948 5,31087 0 4,104 2,152 2,404

40 3,499 1,764 2,104

Рис. 1. Кривые дисперсии фононов в Рис. 2. Кривые дисперсии фононов в Al Na

Рис. 3. Кривые дисперсии фонсжов в Аг

Рис. 4. Фононный спектр Na

Далее, используя разработанную программу на языке Delphi 6, решено характеристическое уравнение системы (9) и рассчитана плотность распределения фононного спектра. На рис. 4-6 приводятся фононные спектры для Na при температуре 78К, для А1 при 298К, для Аг при 40К, исходные данные, для расчета которых взяты из табл. 1.

Рис. 5. Фононный спектр А1

Сравнение полученных

фононных спектров для № и А1 при указанных температурах с данными по фононным спектрам в моделях других авторов, которые нанесены точками, дает хорошее соответствие тех и других кривых.

По фононным спектрам, используя известные формулы, рассчитаны температурные

зависимости энергии, теплоемкости и среднеквадратичных смещений атомов для ряда веществ с кубической решеткой. На рис. 7-10 приводятся температурные зависимости энергии, теплоемкости и среднеквадратичных смещений атомов кристаллов Ыа при температуре 78К, А1 при 4К, Аг при 40К, исходные данные, для расчета которых взяты из табл. 1. Рассчитанные кривые имеют хорошее согласие с теоретическими и экспериментальными данными.

Рис. 6. Фононный спектр Аг

100 200 Т,к 300

Рис. 7. Температурная зависимость

энергии кристалла:--Ыа,----А1,

— - Аг

Дж

"К-моль

100 200 т, К 300 Рис. 8. Температурная зависимость

теплоемкости:------А1,

— - Аг

100 200 т_ к 300 100 200 т, К300 Рис. 9. Среднеквадратичные Рис. 10. Среднеквадратичные смещения атомов в А1 смещения атомов в:------Аг

Также получены формулы, позволяющие рассчитывать тепловую энергию ВЭО атомов кристаллов, и как следствие получить поправку на электронный вклад в теплоемкость металлов.

Произведен расчет температурных зависимостей электронного вклада в теплоемкость кристаллов N8 при температуре 78К и А1 при 298К. Вычисление соответствующих величин производится в зависимости от эффективного радиуса ге1 атома. Вариационный параметр ге/ определяется

таким образом, что соответствующая поправка к теоретическим данным по удельной электронной теплоемкости металлов обеспечивает наилучшее приближение к экспериментальным данным. Вычисленные данные приводятся в табл. 2.

Таблица 2.

Удельная электронная теплоемкость кристалла и эффективный радиус атома для элементов с ОЦК и ГЦК решетками

Урасч ' геГ в

Веще- т, Урасч' мДж/моль-К2 с /эксп ' единицах

ство К мДж/моль-К2 учетом мДж/моль-К2 параметра

поправки решетки

Ыа 78 1,094 1,37 1,38 5/11

А1 298 0,912 1,345 1,35 2/5

Основные результаты

Основные результаты проведенного исследования теплофизических свойств моноатомных кубических кристаллов с ОЦК и ГЦК решетками состоят в следующем.

1. Разработаны физические принципы построения динамической модели с использованием Ван-дер-Ваальсовских связей в условиях адиабатического приближения. Получен общий вид уравнений динамики ОЦК и ГЦК решеток.

2. Описан механизм возникновения внутриатомного диполя, учитывающий как радиальные, так и тангенциальные относительные перемещения ионных остовов соседних атомов.

3. Получены и разработаны методы решения уравнений динамики для решеток указанного типа.

4. Подтвержден принцип М. Борна, согласно которому уравнения динамики решетки в континуальном приближении должны переходить в уравнения распространения волн упругих деформаций в кристалле. Получены соотношения, выражающие силовые коэффициенты динамической модели через упругие константы.

5. Выведены уравнения, позволяющие производить расчеты дисперсионных кривых и фононных спектров кристаллов.

6. На основе данных, включающих в себя: атомную массу, параметр решетки и упругие константы кристалла, и без каких-либо подгоночных параметров рассчитаны дисперсионных кривые, фононные спектры, температурные зависимости энергии, теплоемкости, среднеквадратичных смещений атомов для ряда элементов 1 - 5, 8 групп таблицы Д.И. Менделеева. Для инертного газа Аг использовались данные по упругим константам, приведенные в работе Рейсленда и полученные с использованием потенциала 12-9-6.

7. Исходя из уравнения термодинамического равновесия, получено и решено уравнение движения центров зарядов внешних электронных оболочек атомов кристалла, содержащее вариационный параметр, названный эффективным радиусом атома. Это позволило произвести расчеты энергии и теплоемкости теплового движения центров зарядов ВЭО атомов металлов с ОЦК и ГЦК решетками.

8. Теплоемкость теплового движения центров зарядов ВЭО атомов металлов рассматривалась как поправка к теоретическим данным по удельной электронной теплоемкости. При заданных температурах и определенных значениях эффективного радиуса атома для ряда веществ вычислена поправка к теоретическим данным по удельной электронной теплоемкости, обеспечивающая наилучшее приближение к экспериментальным данным.

Полученные результаты показали хорошее согласие с соответствующими теоретически рассчитанными и экспериментальными данными.

На основе анализа полученных результатов исследования сделаны следующие выводы.

1) В адиабатическом приближении в металлах имеет место временная зависимость распределения электронной плотности, что приводит к возникновению сил Ван-дер-Ваальсовской природы.

2) Кулоновские дальнодействующие силы компенсируются силой реакции на излучение внутриатомного диполя.

3) Реальные силы взаимодействия имеют квантово-механическую природу и возникают, как следствие деформации электронных оболочек при относительном перемещении атомов.

4) При моделировании механизма возникновения внутриатомного диполя необходимо учитывать как радиальное, так и тангенциальное относительное перемещение остовов соседних атомов. В случае учета только радиальной составляющей был бы нарушен принцип длинных волн и, кроме того, выполнялось бы известное соотношение Коши, чего не может быть.

5) Расхождения в теоретических и экспериментальных данных по электронному вкладу в теплоемкость кристаллов объясняются пренебрежением тепловым движением электронного газа.

Разработанная динамическая модель и соответствующая методика расчетов теплофизических свойств кубических кристаллов позволяют получать их важнейшие характеристики, исходя лишь из следующих данных: атомная масса, параметр решетки, упругие константы. Используемые принципы построения динамической модели могут быть применены в случае моноатомных решеток и других типов, таких как, например, алмазо- или графитоподобных.

Публикации по теме диссертации

1. Холодовский В.Е., Сергеева И.О. Поток энергии и сила реакции на излучение подвижного диполя // Вестник БГУ. Естественные и точные науки. 2005. Вып. 12, № 4(273). С. 266-268.

2. Холодовский В.Е., Мачихина И.О., Кульченков Е.А. Дисперсионные соотношения для кубических кристаллических решеток в модели диполь - дипольных взаимодействий // Вестник ЮУрГУ. Математика, физика, химия. 2009. Вып. 12, № 10(143). С. 92-99.

3. Холодовский В.Е., Мачихина И.О. Принцип длинных волн и фононные спектры кубических кристаллических решеток // Вестник ЮУрГУ. Математика. Механика. Физика. 2009. Вып. 1, № 22. С. 97-104.

4. Холодовский В.Е., Мачихина И.О., Кульченков Е.А. Принцип длинных волн и дисперсионные соотношения для кубических кристаллических решеток в модели диполь - дипольных взаимодействий // Известия СамНЦ РАН. Физика и электроника. 2009. Т. И, №5(31). С. 49-55.

5. Холодовский В.Е., Мачихина И.О., Кульченков Е.А. Расчет теплоемкости и среднеквадратичных смещений по фононным спектрам для кристаллов с ОЦК и ГЦК решеткой // Вестник ЮУрГУ. Математика. Механика. Физика. 2010. Вып. 2, № 9. С. 101-109.

6. Холодовский В.Е., Мачихина И.О., Кульченков Е.А. Поправка на электронный вклад в теплоемкость металлов в модели Ван-дер-Ваальсовских взаимодействий // Вестник БГТУ. 2010. № 4. С. 115-123.

7. Сергеева И.О., Холодовский В.Е. О колебаниях линейной цепочки упруго связанных частиц// Сборник тезисов ВНКСФ-12. Новосибирск, 2006. С. 167-168.

8. Мачихина И.О., Холодовский В.Е. О динамике моноатомных кубических решеток в модели Ван-дер-Ваальсовских сил взаимодействия // Сборник тезисов ВНКСФ-16. Волгоград, 2010. С. 129-130.

9. Мачихина И.О. Теплофизические свойства кубических кристаллов в модели Ван-дер-Ваальсовских сил взаимодействия // Фундаментальные и прикладные проблемы науки: Труды 1 Международного симпозиума. Непряхино (Челябинская обл.), 2010. Т. 2. С. 66-73.

10. Мачихина И.О., Холодовский В.Е. Поправка на электронный вклад в теплоемкость металлов // Сборник тезисов ВНКСФ-17. Екатеринбург, 2011. С. 130-131.

11. Мачихина И.О., Холодовский В.Е. Дисперсионные соотношения для кубических кристаллических решеток в модели диполь - дипольных взаимодействий // Деп. рук. ВИНИТИ. 2009. № 22-В. 22 с.

Мачихина Инна Олеговна

Динамика кубических кристаллов в модели Ван-дер-Ваальсовских связей

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 14.09.2011г. Формат бумаги 60x84 1/16. Бумага ксероксная. Печать трафаретная. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 458.

Отпечатано с готового оригинал-макета в ООО «Полиграм-Плюс» г. Брянск, пр. Ленина, 67

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Мачихина, Инна Олеговна

Введение.

Глава 1. Обзор теплофизических свойств кубических кристаллов с ОЦК и ГЦК решетками (литературный обзор).

1.1. Доборновские исследования колебаний линейной цепочки.

1.2. Первые исследования Борна по динамической теории кристаллов и теория теплоемкости Дебая.

1.3. Общая динамическая теория Борна.

1.4. Методы расчета частотных спектров кристаллов.

1.5. Расчеты частотных спектров кристаллов с ОЦК и ГЦК решетками.

1.6. Кривые дисперсии по нейтронографическим данным и данным рентгеноструктурного анализа.

1.7. Электронный вклад в теплоемкость кристаллов.

Выводы к главе 1.

Глава 2. Уравнения динамики атомов кристаллов с ОЦК и ГЦК решетками.

2.1. Общие принципы построения динамической модели.

2.2. Уравнения динамики ионных остовов для ОЦК и ГЦК решеток в модели Ван-дер-Ваальсовских взаимодействий.

2.3. Принцип длинных волн.

2.4. Метод бегущих волн.

2.5. Уравнение динамики центров зарядов внешних электронных оболочек атомов для ОЦК и ГЦК решеток.

Выводы к главе 2.".

Глава 3. Исследование термодинамических свойств кристаллов с ОЦК и ГЦК решетками.

3.1. Дисперсионные соотношения для кристаллов с ОЦК и ГЦК решетками.

3.2. Расчет фононных спектров для кристаллов с ОЦК и ГЦК решетками.

3.3. Расчет энергии и теплоемкости по фононным спектрам для кубических кристаллов с ОЦК и ГЦК решетками.

3.4. Расчет среднеквадратичных смещений атомов по фононным спектрам для кубических кристаллов с ОЦК и ГЦК решетками.

3.5. Поправка на электронный вклад в теплоемкость металлов.

Выводы к главе 3.

Введение диссертация по физике, на тему "Динамика кубических кристаллов в модели Ван-дер-Ваальсовских связей"

Как известно, динамические процессы, происходящие в веществе, так или иначе, определяются тем, каким образом взаимодействуют между собой отдельные атомы. Поэтому для теоретического исследования свойств вещества возникает необходимость адекватного описания механизма межатомного взаимодействия, позволяющего построить динамическую модель и произвести необходимые расчеты.

В настоящее время существуют два подхода к построению такого описания - первопринципный и полуэмпирический. Первый [ 1 -2] основан на определении волновых функций электронов в кристалле при условии равновесного состояния системы ионных остовов и последующем решении уравнения Шредингера для системы электронов. После решения уравнения для системы электронов считается, что электронная плотность остается статически распределенной, и рассматривается задача о колебаниях ионных остовов в статически распределенной среде электронной плотности. Однако решение подобной задачи осложняется наличием огромного числа взаимодействующих частиц и практически невозможно без каких-либо упрощений и привлечения эмпирических поправок или свободных параметров. Таковыми, например, являются одноэлектронное приближение, приближение локализованных атомных орбиталей, приближение почти свободных электронов, ограничения на вид волновых функций и др. Принятие ряда ограничений влечет за собой пусть даже небольшие «искажения» волновых функций электронов. А это, в свою очередь, приводит к расхождению между рассчитанными и экспериментально измеренными величинами тех или иных характеристик кристалла или молекулы. Для того чтобы уменьшить степень расхождения с экспериментом, зачастую приходится вводить эмпирические поправки. Все это, так или иначе, приводит к исчезновению самой сути первопринципного подхода. Поэтому данный подход оказался успешным при описании достаточно простых систем — изолированных атомов, ионов.

Полуэмпирический подход [2] имеет ряд возможностей для своей реализации и, тем самым, сохраняет свою актуальность по сей день. Традиционные подходы предполагают задание для каждого вещества функций межатомных взаимодействий [3 - 4] или функции распределения электронной плотности в кристалле или в молекуле [2]. И те и другие определяются исследователем из физических соображений, а входящие в них параметры находятся из условий совпадения рассчитанных и экспериментально измеренных физических характеристик исследуемого вещества. В конечном счете, задача сводится к решению уравнения динамики решетки в соответствии с динамической теорией М. Борна.

В развитие данных подходов, можно заменить непрерывное распределение электронной плотности дискретным распределением центров зарядов внешних электронных оболочек (ВЭО) атомов. В такой модели необходимо учитывать не только силы взаимодействия между ионными остовами, но и между центрами зарядов электронных оболочек и ионными остовами, а также взаимодействие центров зарядов электронных оболочек между собой. Существование сил, действующих на центры зарядов ВЭО атомов, не может не приводить к их тепловому движению. Тогда согласно классическим представлениям третий закон Ньютона не выполняется. Следовательно, модель закрепленных зарядов приводит к противоречиям.

В обоих подходах предполагается, что движение ионных остовов происходит в потенциальной среде, обеспеченной статически распределенной электронной плотностью. Тем самым выпадает из рассмотрения временная зависимость электронной плотности, как реакции на тепловое движение ионных остовов. В результате становится затруднительным определение механизма межатомного взаимодействия, учитывающего временную зависимость электронной плотности, исследование процессов излучения и поглощения отдельно взятого атома, а также определение условий термодинамического равновесия. Возможно, что учет временной зависимости электронной плотности не оказывает существенного влияния на результаты расчетов теплофизических свойств кристаллов ввиду существенной разницы масс электронов и ионных остовов. Однако, при расчете теплофизических свойств электронного газа это обстоятельство может оказаться весомым. Например, формула Ферми, выражающая электронный вклад в удельную теплоемкость металлов, дает существенное занижение по сравнению с экспериментом. Возможным объяснением такого расхождения является пренебрежение тепловым движением электронного газа. Учет теплового движение электронного газа может оказаться полезным при исследовании процессов излучения, поглощения и теплопередачи в металлах.

В качестве объектов исследования были выбраны элементы 1 - 5, 8 групп таблицы Д.И. Менделеева, имеющие объемноцентрированную кубическую (ОЦК) и гранецентрированную кубическую (ГЦК) кристаллические решетки: 1л, Ыа, К, V, 1ЧЬ, А1, Си, А§, N1, а также инертный газ Аг.

Целью работы является изучение теплофизических свойств кубических кристаллов на основе разработанной динамической модели.

Задачи исследования:

1) построение динамической модели на основе сил взаимодействия Ван-дер-Ваальсовского характера;

2) подтверждение принципа длинных волн для кристаллов с ОЦК и ГЦК решетками и расчет силовых констант динамической модели через упругие константы рассматриваемых веществ;

3) вывод и расчет дисперсионных соотношений для ОЦК и ГЦК решеток, а также их сравнение с результатами исследований по нейтронному рассеянию;

4) расчет плотности распределения фононных спектров кубических кристаллов с ОЦК и ГЦК решетками;

5) построение температурных зависимостей тепловой энергии, теплоемкости и среднеквадратичных смещений атомов для выбранных объектов исследования, сравнение полученных результатов с теоретически рассчитанными и экспериментальными данными;

6) расчет энергии и теплоемкости теплового движения центров зарядов внешних электронных оболочек атомов металлов с ОЦК и ГЦК решетками;

7) вычисление поправки к теоретическим данным по удельной электронной теплоемкости металлов, обеспечивающей наилучшее приближение к экспериментальным данным.

Научная новизна полученных результатов.

1. Разработана динамическая модель, учитывающая временную зависимость электронной плотности.

3. Осуществлен расчет теплового движения электронного газа в металлах.

Результаты работы имеют научную и практическую значимость. Разработана методика расчета важных теплофизических свойств кристаллов, исходя из справочных данных по упругим константам, без использования каких-либо подгоночных параметров. Результаты работы могут быть использованы при проведении дальнейших исследований динамики решетки в отсутствии адиабатических условий; также при расчете упругих констант и других параметров инертных газов в твердой фазе на основе теоретических данных, полученных другими исследователями, путем интерполирования их имеющимися формулами. Получение соответствующих параметров для инертных газов экспериментально затруднено.

Основные положения, выносимые на защиту:

Диссертация содержит введение, три главы, заключение, 3 приложения, список литературы из 133 наименований, 198 страниц текста, 65 рисунков, 10 таблиц.

Заключение диссертации по теме "Физика конденсированного состояния"

3. Получены и разработаны методы решения уравнений динамики для решеток указанного типа.

5. Выведены уравнения, позволяющие производить расчеты дисперсионных кривых и фононных спектров кристаллов.

6. На основе данных, включающих в себя: атомную массу, параметр решетки и упругие константы кристалла, и без каких-либо подгоночных параметров произведены расчеты дисперсионных кривых, фононных спектров, температурных зависимостей энергии, теплоемкости, среднеквадратичных смещений атомов для ряда элементов 1 — 5, 8 групп таблицы Д.И. Менделеева. Для инертного газа Аг использовались данные по упругим константам, приведенные в работе Рейсленда и полученные с использованием потенциала 12-9-6.

8. Теплоемкость теплового движения центров зарядов ВЭО атомов металлов рассматривалась как поправка к теоретическим данным по удельной электронной теплоемкости. При заданных температурах и определенных значениях эффективного радиуса атома для ряда веществ была вычислена поправка к теоретическим данным по удельной электронной теплоемкости, обеспечивающая наилучшее приближение к экспериментальным данным.

На основе анализа полученных результатов исследования сделаны следующие выводы.

2) Кулоновские дальнодействующие силы компенсируются силой реакции на излучение внутриатомного диполя.

Автор выражает глубокую признательность кандидату физико-математических наук, доценту Владимиру Евгеньевичу Холодовскому за предоставление темы диссертации и руководство над ее выполнением.

151

Общие выводы и заключение

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Мачихина, Инна Олеговна, Брянск

1. Саврасов С.Ю., Максимов Е.Г. Расчеты динамики решетка-кристаллов из первых принципов // Успехи физических наук. 199S № 7(165). С. 773-797.

2. Баранов М.А. Сферическая симметрия электронных оболочек атомо^^ и стабильность кристаллов // ЭФТЖ. 2006. Т. 1. С. 34-48.

3. Борн М., Гепперт Майер М. Теория твердого тела. М.: ГИТТХх 1938.417 с.

4. Борн М., Хуан К. Динамическая теория кристаллических решето z^q. М.-.ИЛ, 1958.488 с.

5. Newton I. Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. London: Reo Soc. Pr., 1686.510 c.

6. Thomson W. Baltimore Lectures on Molecular Dynamics and the Wave Theory of Light. London: Cambridge Univ. Pr., 1904. 342 c.

7. Born M., von Karman T. Schwingungen in Raumgittern // Phys. Zs. 19 X о Bd. 13, №8. S. 297-309.

8. Bom M., von Karman T. Schwingungen in Raumgittern // Phys. Zs. 191 3 Bd. 14. S. 15.

9. Борн M. Динамика кристаллической решетки. M.: ИЛ, 1938. 144 с.

10. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. М.: Наука, 1978. 792 q;

11. Ашкрофт Н., Мермин Н. Физика твердого тела: в 2 т. М.: Мир, \ Т. 2. 423 с.

12. Вейсс Р. Физика твердого тела. М.: Атомиздат, 1968. 456 с.

13. Маделунг О. Теория твердого тела. М.: Наука, 1980. 416 с.

14. Займан Дж. Принципы теории твердого тела. М.: Мир, 1974. 470 с.

15. Ал ере Дж. Использование измерений скорости звука «ц^д определения температуры Дебая в твердых телах // Физически акустика. Динамика решетки. М.: Мир, 1968. Т. 3. С. 12-58.

16. Blackman M. The specific heat of solids // Handbuch der Physik. 1955 Bd. 7, teil l.S. 325-381.

17. De Launay J. Lattice dynamics // J. Solid State Physics. 1956. V. 2. P. 219-348.

18. Leibfried G. Gittertheorie der mechanischen und thermischen Eigenschaften der kristalle // Handbuch der Physik. 1955. Bd. 7, teil 1. S. 104-251.

19. Born M., Begbie G.H. Interaction of waves in crystals II Proc. Roy. Soc. London, 1947. V. AI 64. P. 179.

20. Воеводин B.B., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984. 320 с.

21. Ewald P.P. Elektrostatischer Gitterpotentiale und optischer Berchnung HZs. Krist. 1921. Bd. 56. S. 129.

22. Крауфорд Ф. Волны. M.: Наука, 1974. 521с.

23. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теоретическая физика. Теория упругости. М.: Наука, 1987. Т. 7. 248 с.

24. Самсонов Г.В. Справочник. Свойства элементов. Физические свойства. М.: Металлургия, 1976. Ч. 1. 600 с.

25. Акустические кристаллы: Справочник / A.A. Блистанов и др. М.: Наука, 1982. 600 с.

26. Sham L.J. Electronic contribution to lattice dynamics in insulating crystals // Ph. Rev. 1969. V. 188, № 3. P. 1431-1439.

27. Pick R.M., Cohen M.H., Martin R.M. Microscopic theory of force constants in the adiabatic approximation // Phys. Rev. 1970. V. 1. P. 910-920.

28. Рейсленд Дж. Физика фононов. М.: Мир, 1975. 365 с.

29. Мэзон У. Физическая акустика. Динамика решетки. М.: Мир, 1968. Т. 3. 392 с.

30. Труэлл Р., Эльбаум Ч., Чик Б. Ультразвуковые методы в физике твердого тела. М.: Мир, 1972. 308 с.

31. Neighbours J.R., Alers G.A. Elastic constants of Silver and Gold // Phys. Rev. 1958. V. 111,№3.P. 707-712.

32. Vallin J., Mongy M., Salama K. Elastic constants of aluminum // J. Appl. Phys. 1964. V. 35, № 6. P. 1825-1826.

33. Vaks V.G., Zarchentsev E.V., Kravchuc S.P. Temperature dependence of the elastic constants in alkali metals // J. Phys. 1978. V. E8, № 5. P. 725-742.

34. Красильников O.M. Уравнение состояния и упругие постоянные щелочных металлов при отрицательных давлениях // Физ. мет. и металловед. 2007. Вып. 103, № 3. С. 317-321.

35. Марадудин А., Монтролл Э., Вейсс Дж. Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении. М.: Мир, 1965. 383 с.

36. Бровман Е.Г., Каган Ю.М., Холас А. Проблема сжимаемости и нарушения соотношений Коши в металлах // ЖЭТФ. 1969. № 57. С. 16-35.

37. Leibfried G. Zur theorie idealer kristalle // Die Werke der Konferenz. Westfalen, 1958. Bd. 74. S. 43-52.

38. Sarkar S.K., Sengupta S. On completeness of Born-Huang invariance conditions // Indian J. Phys. 1977. V. A51, № 4. P. 273-277.

39. Masao Shimizu. Effects of noncentral force and an electron gas to the Cauchy relation in metals // J. Phys. Soc. Japan. 1962. V. 17, № 3. P. 577-578.

40. Бровман Е.Г., Каган Ю.М. Фононы в непереходных металлах // УФН. 1974. Т. 112, вып. 3. С. 369-427.

41. Бровман Е.Г., Каган Ю.М. О фононном спектре металлов // ЖЭТФ. 1967. Т. 52, №2. С. 557-574.

42. Brovman E.G., Kagan Yu. The role of electrons in phonon spectrum formation in metals //Neutron Inelastic Scattering. 1968. V. 1. P. 3-33.

43. Brovman E.G., Kagan Yu. Phonons in non transition metals // Dynamical properties of solids: Proc. of the int. conf. Amsterdam (North-Holland), 1974. P. 191-297.

44. Косевич A.M. Основы механики кристаллической решетки. М.: Наука, 1972. 280 с.

45. Gupta О.Р., Hemkar М.Р., Kharoo H.L. Crystal equilibrium and lattice dynamics of face-centered cubic metals // Canad. J. Phys. 1978. V. 56, № 4. P. 447-452.

46. Balkanski M. Lattice dynamics // Europhys. News. 1978. V. 9, № 5. P. 9-11.

47. Chester G.V. The theory of the interaction of electrons with lattice vibrations in metals // Adv. Phys. 1961. V. 10. P. 357-400.

48. Займан Дж. Электроны и фононы. Теория явлений переноса в твердых телах. М.: ИЛ, 1962. 488 с.

49. Бетгер X. Принципы динамической теории решетки. М.: Мир, 1986. 392 с.

50. Гусев А.А. Динамика решетки ковалентных кристаллов // Физ. и техн. высок, давлений. 1996. Вып. 6, № 3. С. 11-26.

51. Кацнельсон М.И., Трефилов А.В., Хромов К.Ю. Особенности ангармонических эффектов в динамике решетки ГЦК металлов // Письма в ЖЭТФ. 1999. Вып. 69, № 9-10. С. 649-652.

52. Кацнельсон М.И., Трефилов А.В. Динамика и термодинамика кристаллической решетки. М.: ИздАТ, 2002. 382 с.

53. Холодовский В.Е., Сидоров А.А. Диполь дипольная модель межатомного взаимодействия в кристаллах // Новые идеи, технологии, проекты и инвестиции: Тез. докл. регион, науч.-практ. конф.-ярмарки. Брянск, 1999. Ч. 1. С. 104-106.

54. Холодовский В.Е., Сидоров А.А. Фононный спектр и теплоемкость кристаллов в модели диполь — дипольных взаимодействий // Сборник научных трудов БГПУ. 2000. С. 178-183.

55. Парселл Э. Электричество и магнетизм. М.: Наука, 1983. 416 с.

56. Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики. М.: Наука, 1961. 664 с.

57. Займан Дж. Современная квантовая теория. М.: Мир. 1971. 288 с.

58. Вихман Э. Квантовая физика. М.: Наука, 1976. 407с.

59. Тамм И.Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1989. 504 с.

60. Измайлов С.В. Курс электродинамики. М.: Учпедгиз, 1962. 440 с.

61. Сирота Н.Н., Соколовский Т.Д. Частотные спектры колебаний ионов в кристаллах с кубической решеткой в связи с характером межатомного взаимодействия // Химическая связь в полупроводниках и твердых телах: Мат. конф. Минск, 1965. С. 176-179.

62. Kroll W. On the determination of the elastic spectra of solids from specific heat data // Prog. Theor. Phys. 1952. V. 8. P. 457-460.

63. Dayal В., Srivastava P.L. Phonon spectrum and thermal energy of sodium by Toya s method with a modified interference factor // Proc. Roy. Soc. London, 1963. V. 277. P. 183-191.

64. Toya T. Dynamical properties of solids // J. Res. Inst. Catal. 1958. V. 6, № 161. P. 183.

65. Hultgren R., Desai P.D., Hawkins D.T. Selected values of the thermodynamic prorerties of the elements. Ohio: Amer. Soc. for Metals, 1973. 636 p.

66. Walker С.В. X Ray study of lattice vibrations in aluminum // Phys. Rev. 1956. V. 103, № 3. P. 547-557.

67. Stedman R., Almqvist L., Nilsson G. Phonon frequency distributions and heat capacities of Aluminum and Lead // Phys. Rev. 1967. V. 162, № 3. P. 549-557.

68. Talmi A., Gilat G. Phonon spectrum in Lead by new phenomenological method // Lattice dynamics: Proceedings of the international conference on lattice dynamics. Paris, 1977. C. 52-54.

69. Varshni Y.P., Shucla R.C. Lattice vibrations and Debay temperatures of copper and aluminum // J. Chem. Phys. 1965. V. 43, № 11. P. 3966-3972.

70. Vosco S.H.,. Taylor R., Keech G.H. The influence of the electron ion interaction on the phonon frequencies of simple metals: Na, Al, and Pb // Canad. J. Phys. 1965. V. 43. P. 1187-1247.

71. Sham L.J. A calculation of the phonon frequencies in sodium // Proc. Roy. Soc. London, 1965. V. A283. P. 33-49.

72. Бровман Е.Г. Микроскопическая теория фононного спектра металлов: Автореф. дис. . д-ра физ.-мат. наук. М., 1973. 28 с.

73. Normal models of vibration in Nickel / R.J. Birgeneau et al. // Phys. Rev. 1964. V. 136, № 5A. P. A1359-A1365.

74. Nakagawa Y., Woods A.D.B. Lattice dynamics of niobium // Phys. Rev. Letters. 1963. V. 11, № 6. P. 271-274.

75. Gupta O.P., Hemkar M.P. Crystal equilibrium and lattice dynamics of Vanadium //Nuovo cimento. 1978. V. B45, № 2. P. 255-274.

76. Pracash S. Kohn anomalies and phonon dispersion in transition metals // Lattice dynamics: Proceedings of the international conference on lattice dynamics. Paris, 1977. P. 30-33.

77. Фононные спектры кристаллической решетки V, Cr, Mn, Fe, Co, Ni, Си / H.H. Сирота и др. // Докл. РАН. 2000. Вып. 373, № 6. С. 750-753.

78. Энергия связи, фононные спектры и термодинамические свойства элементов со структурами Аь А2, А3, А4 Al, Си, V, Ti, Mg, Si, Sn / H.H. Сирота и др. // Физ. тверд, тела. 2001. Вып. 43, № 9. С. 1674-1679.

79. Чеботарев JI.B. Фононный спектр и локальные колебания в сильно анизотропных кристаллах // Ж. эксперим. и теор. физ. 1978. Т. 74, №5. С. 1920-1935.

80. Upadhyaya J.C., Dagens L. Resonant model potential and the phonon frequencies in cooper // J. Phys. 1978. V. F8, № 2. P. L21-L24.

81. Van Heugten W.F.W.M. An interatomic potential for cooper from the phonon spectra//Phys. Status solidi. 1978. V. B86, № 1. P. 277-281.

82. Крисько О.В., Силонов В.М., Скоробогатова Т.В. Фононные спектры магния в методе гладкого нелокального модельного потенциала // Вестн. МГУ. 2007. Сер. 3, № 6. С. 43-47.

83. Sinha S.K. Phonons in transition metals // Dynamical properties of solids: Proc. of the int. conf. Amsterdam (North-Holland), 1980. P. 3-90.

84. Рейф Ф. Статистическая физика. M.: Наука, 1976. 348 с.

85. Joshi S.K.,- Hemcar М.Р. Vibrational spectrum and specific heat of potassium //Physica. 1961. V. 27, № 8. P. 793-796.

86. Кириллин B.A., Шейндлин A.E., Чеховский В.Я. Термодинамические свойства ниобия в интервале температур от 0К до температуры плавления 2740К // Теплофизика высоких температур. 1965. Т. 3,' № 6. С. 860-865.

87. Martin Douglas L. Specific heats of coper, silver and gold below 30K // Phys. Rev. 1966. V. 141, № 2. P. 576-582.

88. Егоров Б.Н., Килессо B.C. Комплексное определение теплофизических свойств твердых материалов импульсно-адиабатическим методом // Материалы 3 Всесоюзной теплофизической конференции по свойствам веществ при высоких температурах. Баку, 1968. С. 65-71.

89. Mittal R. Modelling of anomalous thermodynamic properties using lattice dynamic and inelastic neutron scattering // В ARC Newslett. 2006. № 273. P. 88-91.

90. Джеймс Р. Оптические принципы дифракции рентгеновских лучей. М.: ИИЛ, 1950. 572 с.

91. Kumar Mahendra, Hemkar М.Р. Temperature variation of Debye-Waller factors of bcc metals // Acta phys. pol. 1978. V. A53, № 4. P. 543-553.

92. Kharoo H.L., Gupta O.P., Hemkar M.P. Debye-Waller factors of fee metals by modified Cheveau model // Physica. 1978. V. BC94, № 2. P. 212-218.

93. Clare B.C., Robert H., Wallis P.F. Theoretical mean-square displacements for surface atoms in face-centered cubic lattices with applications to Ni //Phys. Rev. 1965. V. 139, № ЗА. P. 860-867.

94. Францевич И.Н. Упругие постоянные металлов и сплавов // Вопросы порошковой металлургии и прочности материалов. Киев: Изд. АН УССР, 1956. Вып. 3. С. 14-21.

95. Троицкая Е.П., Чабаненко В.В., Горбенко Е.Е. Динамика решетки легких кристаллов инертных газов под давлением // Физика твердого тела. 2009. Т. 51, вып. 10. С. 1999-2005.

96. Зароченцев Е.Е., Троицкая Е.П., Чабаненко В.В. Упругие постоянные кристаллов инертных газов под давлением и соотношение Коши // Физика твердого тела. 2004. Т. 46, вып. 2. С. 245-249.

97. Динамика решетки тяжелых кристаллов инертных газов под давлением / Е.П. Троицкая и др. // Физика твердого тела. 2008. Т. 50, вып. 4. С. 696-702.

98. Троицкая Е.П., Чабаненко В.В., Горбенко Е.Е. Фононы и электрон-фононное взаимодействие в кристаллах инертных газов при высоких давлениях // Физика твердого тела. 2007. Т. 49, вып. 11. С. 2055-2062.

99. Зароченцев Е.В., Троицкая Е.П. Уравнение состояния кристаллов инертных газов вблизи металлизиции // Физика твердого тела. 2001. Т. 43, вып. 7. С. 1292-1298.

100. Троицкая Е.П., Чабаненко В.В., Горбенко Е.Е. Неадиабатические эффекты в динамике решетки сжатых кристаллов инертных газов // Физика твердого тела. 2005. Т. 47, вып. 9. С. 1683-1688.

101. Максимов Е.Г., Зиненко В.И., Замкова Н.Г. Расчеты физических свойств ионных кристаллов из первых принципов // УФН. 2004. Т. 174, № 11. С. 1145-1170.

102. Burkel Eberhard. Determination of phonon dispersion curves by means of inelactic X-ray scattering // J. Phys.: Condens. Matter. 2001. V. 13, № 34. P. 7627-7644.

103. Wang Y.R., Overhauser A.W. Lattice dynamics of lithium at low temperature //Phys. Rev. 1986. V. 12. P. 8401-8405.

104. Masatoshi Ono. Lattice dynamics of metallic lithium // Journal of the Physical Society of Japan. 1973. V. 34, № 1. P. 26-35.

105. Sharan В., Kumar Ashok, Neelakandan K. Lattice dynamics of lithium // J. Phys. F: Metal Phys. 1973. V. 3. P. 1308-1312.

106. Ramamurthy V., Singh K.K. On the crossing of dispersion curves of alkali metals in £00. direction // Phys. Status solidi. 1978. V. B85, № 2. P. 761-768.

107. Crystal dynamics of sodium at 90K / A.D.B. Woods et al. // Phys. Rev. 1962. V. 128, №3. P. 1112-1120.

108. Kushwaha S.S., Rajput J.S. Phonon dispersion relations of body-centered-cubic metals // Phys. Rev. 1970. V. 2, № 10. P. 3943-3947.

109. Singh R.S., Gupta H.C., Tripathi B.B. Phonon anomalies in niobium using a model potential approach // Journal of the Physical Society of Japan. 1982. V. 51, № i.p. 111-115.

110. Dispersion relations for phonons in Lead at 80 and 300K / R. Stedman et al. //Phys. Rev. 1967. V. 162, № 3. P. 545-548.

111. Crystal dynamics of Lead. Dispersion curves at 100K / B.N. Brockhouse et al. //Phys. Rev. 1962. V. 128, № 3. P. 1099-1111.

112. Rumyancev A.U., Pushkarev V.V., Zemlyanov M.G. Experimental study non-coupled interionic interaction through electrons conductivity // Proc. Symp. Vienna, 1978. V. 1. P. 293-309.

113. Quong Andrew A., Klein Barry M. Self-consistent-screening calculation of interatomic force constants and phonon dispersion curves from first principles. Application to aluminum // Phys. Rev. 1992. V. B46, № 17. P. 10734-10737.

114. Sosnowski J.J., Kozubowski J. Phonon dispersion relations for cooper single crystal in the 100. direction // Journ. Phys. Chem. Solids. 1962. V. 23. P. 1021-1023.

115. Cribier D., Jacrot В., Saint-James D. Diffusion des par les phonons dans un monocristal // Joum Phys. Rad. 1960. V. 67. P. 67-69.

116. Бедарев C.H., Кузнецов A.B. Расчет фононных спектров для ГЦК кристалла меди и серебра с помощью потенциала основанного на методе внедренного атома // Физ., радиофиз. нов. поколение в науке. 2004. № 4. С. 39-43.

117. Prasad В., Srivastava R.S. Thermal properties and Gruneisen parameters of gold using Toya's first principle approach // Phys. Status solidi. 1978. V. B85, № 2. P. 789-793.

118. Займан Дж. Физика металлов. М.: Мир, 1972. 464 с.

119. Пайерлс Р.Э. Электронная теория металлов. М.: ИЛ, 1947. 96 с.

120. Павлов П.В., Хохлов А.Ф. Физика твердого тела. М.: Высш. шк., 2000. 494 с.

121. Ашкрофт Н., Мермин Н. Физика твердого тела: в 2 т. М.: Мир, 1975. Т. 1.400 с.

122. Filby J.D., Martin Douglas L. The electronic specific heat of silver // Canad. J. Phys. 1962. V. 40, № 6. P. 791-794.

123. Мачихина И.О., Холодовский B.E. О динамике моноатомных кубических решеток в модели Ван-дер-Ваальсовских силвзаимодействия // Сборника тезисов ВНКСФ-16. Волгоград, 2010. С. 129-130.

124. Сергеева И.О., Холодовскигге^зг 33.Е. О колебаниях линейной цепочки упруго связанных части: г; jr // Сборник тезисов ВНКСФ-12. Новосибирск, 2006. С. 167-IL öS.

125. Холодовский В.Е., Мачих^зг=ЕЕз:а И.О., Кульченков Е.А. Поправка на электронный вклад в тепл^оемкость металлов в модели Ван-дер-Ваальсовских взаимодейс^с^изий // Вестник БГТУ. 2010. № 4. С. 115-123.

126. Мачихина И.О., Холодовскпез^й В.Е. Поправка на электронный вклад в теплоемкость металлов // Сборник тезисов ВНКСФ-17. Екатеринбург, 2011. С. 13 О-131.

127. Холодовский В.Е., Мач:^1^^и:на И.О. Принцип длинных волн и фононные спектры кубичес^СЕсих кристаллических решеток // Вестник ЮУрГУ. Математика. МСе^^аника. Физика. 2009. Вып. 1, № 22. С. 97-104.

128. Холодовский В.Е., Ma^ziE3z?cnHa И.О., Кульченков Е.А. Расчет теплоемкости и среднекпвадратичных смещений по фононным спектрам для кристалло:Е=г~ с ОЦК и ГЦК решеткой // Вестник

129. ЮУрГУ. Математика. Механика. Физика. 2010. Вып. 2, № 9. С. 101-109.

130. Холодовский В.Е., Сергеева И.О. Поток энергии и сила реакции на излучение подвижного диполя // Вестник БГУ. Естественные и точные науки. 2005. Вып. 12, № 4(273). С. 266-268.

131. Холодовский В.Е., Мачихина И.О., Кульченков Е.А. Дисперсионные соотношения для кубических кристаллических решеток в модели диполь дипольных взаимодействий // Вестник ЮУрГУ. Математика, физика, химия. 2009. Вып. 12, № 10(143). С. 92-99.