Динамика разномодульной изотропной упругой среды при ударных воздействиях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

ДУДКО Ольга Владимировна

ДИНАМИКА РАЗНОМОДУЛЬНОЙ ИЗОТРОПНОЙ УПРУГОЙ СРЕДЫ ПРИ УДАРНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Владивосток 1998

Работа выполнена в Институте автоматики и процессов управления ДВО РАН

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Вурепин Анатолий Александрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Олейников Александр Иванович, кандидат физико-математических наук Лебедева Наталья Федоровна

Ведущая, организация: Тихоокеанский океанологический

институт ДВО РАН, г. Владивосток .

Защита состоится " ^ " О/СТ^Ж^ 1998 года в ^ часов на заседании диссертационного совета Д 002.06.07 в Институте автоматики н процессов управления ДВО РАН ио адресу: 690041, г. Владивосток, ул. Радио, 5, аудитория 510.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке йнотитута .автоматики и процессов управления ДВО РАН'.

Автореферат разослан " ШсТ^'Ь/Х^ 1998 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета ¿У' ■ Л

кандвдат физико-математических наук ^ /¿/{/(л М.А.Гузев

f

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одам га основополагающих допущений классических моделей мехлнпкп деформируемого твердого тела, таких как теория упругости, теория идеальной пластичности, теория вязкоупругости, является гипотеза о нормальной изотропии деформируемых материалов. Согласно этему допущению, зависимость напряжений от деформаций а окрсстссстя спободпого состояния, оказывается аналитической. Более того, напряжения, отличающиеся только знаком, вызывают деформации, таклео отличающиеся только знаком. Данные постулкрусгше услозпя являются результатом идеализация реалыпгх саойстз деформируемых сред. Они позволяют упростить не только построение определяющих соотношений теории, во я методк решения соотазтствугощЕх краевых задач. Однако существуют материалы, дли которых такие условия принципиально неприемлемы. К&прпнер, Ез^отсвленпые из различных грунтовых фрзЕгрй образцы иогут выдерживать значительные сжимающие патрули: л практически пэ сопротивляться растягивающим усилиям.

Отказ от гипотезы нормально-пзотроппого поседения материалов в процессе пх дефррмаровшшя приводит к кзклассическнм моделям упругих сред, по-разному сопротнвлжощихся растяжению и сжатию.. В настоящее время построги ряд таких моделей при разных вводных предположениях. Разнообразие здесь диктуется направленностью создаваемых матгматпчеехпх моделей для описания разлнчпых процессов дефермирошшяя я разных свойств материалов. Ими могут являться процессы в порошковой металлургии, эффекты сейсмической анязотропнп п проявление подобных эффектов в акустодаагностлхе, комнозгтаых материалах пли микроразрушенных горных передах. Изучение свойств систем диф7 ферещщальных.ураЕиеннй, следующих из подобных некласспче-ских модельных соотношений, представляется актуальной задачей. Сингулярность в реакции на направление воздействия, отраженная й таких моделях, вносит новые качественные особенности в свойства модельных уравнений; выводящие за рамки классической математической физики.

Настоящая диссертация посвящена язучетт. особенностей постановок, краевых задач об ударных явгружевиях материалов с

микронарушениями, по-разному сопротивляющихся сжатию и растяжению. В качестве модельных зависимостей выбраны соотношения мотели разномодульной изотропной упругой среды, предложенные В.П. Мясникобыы (1981 г.) и обобщенные А.И. Олейниковым (1992г.). Формирование поверхностей разрывов деформаций.в нестационарных услозлях вагружения является неотъемлемой по сташвочпой частью краевых задач теории и диктуется свойствами системы нелинейных уравнений, следующей из соотношений вы' бранной модели. Поэтому вышеизложенное позволяет сделать вывод об актуальности выбранного направления исследований.

Цель работы. В нестационарных задачах дцшамики деформируемых сред часть граничных условий следует задавать на передних фронтах распространяющихся в среде деформаций. Если такими фронтальными поверхностями являются 'поверхности разрывов деформаций, то вследствие модельной нелинейности их положение в каждый момент времени зависит от характера воздействия и, следовательно, от искомого решения. Поэтому изначальные сведения об условиях существования различных типов поверхностей разрывов помогают осуществить' постановки соответствующих краевых задач. Только на такой основе возможно получение их обобщенного решения.

Целью представляемой диссертации является изучение условий существования и закономерностей распространения различных ти-пор поверхностей разрывов деформаций (ударных волн) в сплошных средах, упругие свойства которых могут соответствовать модели Мясникова-Олейникова.

..Научная новизна диссертации состоит в следующем:

- для модели среды Мясникова-Олейникова выписана система уравнений в разрывах, описывающая закономерности распространения поверхностей разрывов деформаций (ударных волн);

- как следствия разрешимости такой системы, выписаны условия существования различных типов ударных волн;

- вычислены скорости распространения возможных типов поверхностей разрывов деформаций в зависимости от их интенсивно-стей и предварительного деформированного состояния среды;

- показано, что в случае плоских одномерных ударных волн такие поверхности разрывов приобретают отчетливый механический смысл, так что первая из них несет в среду ударные деформации изменения объема, а две другие - деформации изменения формы,

причем одна из них изменяет только интенсивность сдвига, а другая - только его направленность;

- из законов термодинамики получены ограничения на допустимые разрывы на ударных волнах в вида неравенств, связывающих компоненты волнового вектора разрывов и упругие модули материала;

- используя полученные данные о свойствах поверхностей разрывов деформаций, поставлены и решены новые краевые задачи дийамики разномодулышх упругих материалов при ударных воздействиях: об ударном нагруженип предварительно напряженного массива, о движении нагрузки со сверхсейсмической скоростью по плоской грапице, о соударении двух разкомодульпых упругих тел с плоскими границами;

- с целью выбора конкретной волны волновой картины, посредством которой ударное возмущепие распространяется в среду, проведен ряд вычислительных экспериментов по выяснению характера волновых фронтов (ударная или простая волна) и очередности их распространения в зависимости от параметров задач и свойств среды (значений упругих постоянпих).

Достоверность полученных результатов заключается в следующем: при моделирований процесса распространения ударных возмущений используются классические подходы адиабатического приближения для изотропной упругой срйаы, результаты чйслен-ных экспериментов соответствуют пояучегашм пре;зде теоретическим выводам, полученные результаты в предельном случае сводятся к известным соотношениям классической теории упругости.

Применение и практическая ценность работы. Как правило, исследование процессов, протекающих а зэшгей коре, оценка сейсмической и вулканической опасности, ргсчегы шрывных и бурильных работ.и т.д. сводятся к решезнго нестационарных краевых задач, динамического деформирования материалоз с микропару-шепиями сплошности. Изучение' свойств поверхностей разрывов деформаций в нелинейных упругих средах с неклассическими свойствами (не одинаковым сопротивлением растяжению я сжатию) являются неотъемлемой частыо таких задач,. а найденные условия существования и закономерности распространения различных типов ударных соли в разносопротивляющнхся средах позволяют осуществить их корректную постглмгху и разработать методику

б

их решения. Кроме самостоятельного значения, решения автомодельных задач динамики среды, построенные в диссертации для модели МяснншЕа-Олгйншссва, могут служить в качестве тестовых при создапаи специальных численных методов отыскания решений обобщенных динамических задач и при отлансивашш численных расчетных схем.

Апробация. Отдельные результаты реферируемой работы докладывались п обсу:эдались на Всероссийской математической школе-семинаре пм.. академика Е.В. Эолотова (г. Владивосток, 1097, 1993 гг.), мездушродяой канферещдш "Second International Student's Congress oi'the Asia-Paciflc Region Countries" (г. Владивосток, 1997 г.), паучЕО-тезашконференциях Дальневосточного государственного технзчсскрго университета (г. Владивосток, 1994-1997 гг.), региональной научно-технической конференции "Молодежь н научао-техшческий прогресс" (г. Владивосток, 1998г.), семинаре, по кегашейпой динамике Тихоокеанского океанологического института ДВО РАН (г. Владивосток, мал 1998 г.), семи-царах кафедры математического моделирования и информатики и. кафедры прикладной математики ДВГТУ, па заседаниях лаборатории 'механики дефоргхаруемого твердого тела ПАПУ ДВО РАН.

Работа в целом догладывалась па семинаре в ИАПУ ДВО РАН под руководством академика В.П. Мяспикоза и па кафэдре математического кодоляроганшх п информатики ДВГТУ.

Публикации по работе. До теме диссертации опубликовано 8 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заклрэчешш ц сшгска лвтературы (134 наименования). Общий объем работы - 136 страниц, в том числе 29 рисунков, включенных в текст.'

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Виедгппз в работу содержит краткий обзор литературы, посвященной проблемам моделирования нелинейных нестационарных процессов деформирования упругих сред. Основное внимание уделено моделированию материалов, упругие свойства которых не одинаковы при растикешш и сжатии. Существенный вклад в развитие данного подхода внесли отечественные ученые С.А. Амбарцумяк, В.В. Болотин, Г.В. Бригадиров, В.В. Дудукаленко, A.A. Золочев-ский, AT. Куликовский, В.А. Ляховский, В.П. Маслов, Н.М. Мат-

ченко, В.А. Минаев, В.Н. Москаленко, П.П. Мосолов, В.П. Мясников, А.И. Олешшхов, В.М. Панферов, A.A. Пехуровсхая, А.Н. Ста-врогин, JI.A. Толсконпиков, Г.Ф. 'Филатов, С.П. Хсрошу'п, A.B. Чи-гарев, И.Ю. Цвелодуб, Т.Д. Шермергор п др.; нелинейные эффекты при ударных нагружепиях упругих тел изучались A.A. Бурениным, Г.И. Быковцезым, М.А. Грипфельдси, А.Г. Куликовским, В.В. Ладыгиным, Э.В. Ленским, В.А. Ляховским, В.П. Масловым, П.П. Мосоловым, А.П. Наумкнпым, Л.А. Пекуровской, В.Е. Рагозиной, Ю:А. Россихиным, Е.И. Свешнпкозой, В.К. Топалэ, Е.М. Черных, А.Д. Чернышовым, A.B. Чигаревым, А.П. Чугайнопой, В.А. Шару-дой, Ю.К. Эпгельбрехтом, Y. Benvensste, D. Bland, Т.С.Т. Ting, Z. Wesolovski, T.W. Wrigt, Li Yogchi и др.

После обзора литературы во введении обозначено место представляемой диссертации в общем объеме научных результатов в области динамики деформируемого тела.

В первой главе'получены исходные уравнения* модели разно-модульной упругой среды при ее дппсшическом деформировапин. Описаны соотношения па поверхностях сильных разрывов, указаны условия существования п скорости распространения различных типов плоских ударных боли в материалах, подверженных одномерной или плоской деформации.

Система уравнений, описывающая дпяаюттеское деформирование упругой срэды, записана з прямоугольной декартовой системе координат в переменных Эйлера:

р QW

ViJJ = Р (*< + VW), 0Ц = — ggj ißhj - 2auj),

• 2ац = tiij + ujti - UkjUkj, vj = «j -f UijVj,

/ а о \ i/a

p = po [1 - 2h + 2If - 2h-j/? + 4lib - |/SJ , (1)

• W = + ßh- »h>/h + «^ + + • ■■ ■•,

/1 = 0,4, /2 = оцан, h — где Vi, Qij, Oy - компоненты вектора перемещений, вектора скорости перемещений точек среды, тензора дэформацкй Альмаиса п тензора напряжений Кошн соответственно; р, Aj - плотность среды в текущем и свободном состоянии; топкой обозначена частная производная функции по времени, латинским индексом после запятой

- частная производная функции по соответствующей пространственной переменной Xjj Д, I2, J3 - главные инварианты тензора деформаций -Альманси; ¿у - символ Кронекера.

Функция упругого потенциала изотропной среды W(Ii%Ii,h) в системе (1) определяет Механические свойства деформируемого материала. Вид этой функции, предложенный В.П. Мясниковым и впоследствии -обобщенный А.И. Олейниковым путем разложения W в ряд по сферическим функциях.:, соответствует математической модели сплошной изотропной упругой среды, по-разному сопротивляющейся растяжению и сжатию. В формуле для вычисления W коэффициенты А, ц - адиабатические параметры Ламе, v, a, ß -упругие модули, характеризующие наличие микродефектоз в материале (или, если рассматриваются горные породы, степень их разрушенности).

Для исследования процесса распространения' ударных возмущений по материалам, с описанными разномодульными упругими свойствами в первой главе рассматривается возможность возникновения в них поверхностей разрывов деформаций £(i) (ударных волн). На каждой особой Движущейся поверхности х,- = Xi{yi,y2',t) обязаны выполняться динамические и кинематические условия совместности разрывов:

[P(W " О)] = 0, Ыч = p+(v}vj -■ (/] = ~G[fjh + {/,.] = [fj]m + g°ß{f)M (2)

dz-

Xiß~Wß 9°ßeßy=i-°' 0aß ~ = 1,2),

где квадратными скобками обозначен скачек функции на поверхности разрывов: [m] = т+ — т~, т+, т" — значения функции соответственно перся и сразу за фронтом поверхности разрывов; Si - прострапственпые координаты точки, ур - криволи-' нейные поверхностные коордашаты; gaß, ~ Компоненты ковари-антного и контравариантного метрических тензоров поверхности Si = j/2,.')> движущейся со скоростью G в направлении своей единичной положительной нормали v с компонентами 6 - дельта-производная по времени; 6% - символ Кронекера.

Еще одно ограничение па возможные разрывы на ударной волне E(i) накладывает второй закон термодинамики, согласно которому производство энтропии па ударной волне обязано подчиняться

условию [S] = S+ — S~ < 0. Следствием этого неравенства является термодинамическое условие совместности разрывов

- ¿Р^Ч" - <?)ММ - ¿(«fa - G)[W] 2 0. (3)

Аналогичные неравенства были получены Г.Я. Галиным, Е.М. Черных, А.Д. Чернывзовым. В газовой динамике аналогом условия

(3) является теорема Цемплена о термодинамической невозможности ударных волн расширения. Выполнение неравенства (3) на ударных волнах, введенных при решении какой-либо краевой задачи, является критерием корректности постановки и полученных результатов.

Условия совместности (2) и определяющие соотношения модели (1) позволяют записать систему уравнений в разрывах на ударной волне £(£), не зависящую от криволинейных поверхностных координат:

' (А - рЮ)т + Ву + Df = О,

^ (С - p+G)y + (рут + п,-,-7 -}- тпцу2)щц = 0, ^

(рцт + п,-у7 = О,

. ihih = i> мт = о,

где ецt, - тензор символов Левп-Чевиты. Введенные в системе (4) обозначения следуют из соотношений

[«,j] = (m + 72=TßTß, fii = y-1TßXi,0, -

где г, r^ - нормальная п касательные к S(f) составляющие волнового вектора разрывов; щ - компоненты единичного касательного к поверхности E(t) вектора Д, который вместе с нормалью О определяет положение плоскости поляризации волны Е (<). Скалярные коэффициенты Л, В, С, D и тензоры ру, пу, ту в (4) определяются предварительным деформированным состоянием, движением среды перед волной н интетснвпостямп г, 7. "При известных предг варитздъных деформациях, движении точек среды перед разрывом (и/) и известной геометрии волны (компонентах ц) соотношения

(4) являются системой пяти нелинейных алгебраических уравнений относительно шести неизвестных G, т, 7, цъ Цз. Условия разрешимости полученной системы при различных значениях г, 7 дают ус;. ;вня существования возможных типов ударных воли.

Четвертый параграф первой гпавы посвящен изучению плоских ударных волн в случае одномерного движения точек среды, когда

щ — (» = 1,2,3). .Система уравнений в разрывах (4) при

условии одномерного деформированного состояния принимает вид:

(А + 2/* — Т — р+СР)т - (и^! - т")[Г] = 0,

в- р+О1) 7Ма - - 7№)[в] = 0, (5)

> - в - р+(3*)7№ - - 7№)[в] = 0, где

(¡у— а~ 0)(2 + 39) + (у — ЗД/2)92 Т.-к ¿(1 + 0)* ; '

к1> + а-20 + (у+ 30/2)0 (у^+Кх)2 2 ' 2«д)'" ;

Условие разрешимости такой системы записывается в форме

- 0, . (6)

откуда следует, что плоскости разрывов деформаций в одномерном случае существуют при выполнении лишь двух условий.

а)' Ударная волна поворота (нейтральная ударная волна или, следуя терминологии ДШленда, водна круговой поляризации). Положим, что условно (6) выполняется за счет обращения в ноль второго сомножителя: [б] = 0. Согласно (5), это оказывается возможным только в случае

["2.1+4'.] = °. г = 0. (7)

Соотношения (7) обращают в тождество первое уравнение системы (5), поскольку при их выполнении [Г] = 0, а из второго и третьего уравнений (5) следует

<? = <*{1-/г1в}1/2. . — (В)

Согласно (8), скорость волны поворота полностью определяется предварительными деформациями и на зависит от характера движения среды за плоскостью разрывов. Однако, для такой ударной волны оказывается невозможным определить ее поляризацию, т.к. компоненты вектора ¡л — {0, щ, ¿13} могут быть вычислены

только из условий на нагружаемой границе деформируемого тела. Волна поворота изменяет направленность предварительных сдвиговых деформаций, не меняя при этом их интенсивности.

б) Плоскопояяризованные ударные волны. Пусть теперь равенство (6) выполняется за счет обращения в ноль первого сомножи-

теля №Чзл ~ ®)> тогДа

Плоскости разрывов, для которых выполняется (9), не могут изменять направленность предварительного сдвига, а мешпот только его интенсивность. Попозхенпз плоскостей поляризации таких ударных волн (значения «з, полностью задаются предварительными сдвиговыми деформациями (и£г, и^).

Если за счет выбора системы коорданаг в (5) пэлояшть ~ О (а, следовательно, я ^з = 0), то нолучезшад система уравнений

(л+гм-г^оЧт-^-тН^во,

допускает два возможных решеппя..

Если считать, что иа Е(1) известно г, то га первого уравнения (10) можно получить

С = = (И)

Поперечный к волне разрыв 7 исключается пз (11) при помощи второго уравнения системы (10). Ударная волна, скорость которой вычисляется соотношением (11), называется квазипродольпой, т.к. па ней продольный разрыв г пря наличии сдвиговых деформаций сопровождается поперечным разрывом у (7 г). При отсутствии предварительного сдвига (и^ = = 0) такая волна становится "чисто" продольной, на которой 7 = 0.

Второе решение системы (10) мояшо нолучнть, считая на плоскости разрывов деформаций известным значение 7. В этом случае из второго уравнения системы (10) следует

с - * {1 - м-» (в+}1Л, (12)

а первое уравнение системы служит для исключения г из полученного соотношения. Ударная волна со скоростью, вычисляемой зависимостью (12), называется квазшюлеречной" шго волной сдвиговой нагрузки. Цоперечный к- такой волне разрыв у необходимо . сопровождается продольным разрывом г (г 7).

Согласно соотношениям (11), (12), скорости плоскополярпзовап-ных ударных волн (квазипродольпой и квазотгоперечной), в отличие

от волны поворота, зависят не только от предварительного деформированного состояния среды, но и от интенсивности производимого ударного воздействия (т, 7).

Для постановки конкретных краевых задач необходимо заранее зыать соотношение между скоростями возникающих ударных волн. -Несомненно, квазипродольная ударная волна является передним фронтом распространения деформаций изменения объема в среде. Соотношение же между скоростями нейтральной и квазипоперечной ударных волн, несущих в среду деформации изменения формы, указать заведомо не удается. Это. вносит определенные сложности в численное исследование краевых задач, поскольку оказываются возможными две постановки: а) скорость квазипоперечной ударной волны больше скорости волны поворота; б) скорость волны попорота превышает скорость квазипоперечной ударной волны. Реализация одной из двух описанных волновых картин может быть 'установлена только в процессе численного решения конкретной краевой задачи.

Аналогичные исследования существования плоских поверхностей разрывов деформаций в условиях плоского движения точек' среды, когда щ — и^г^гг,^, «2 = изО^ь^г^). из — 0> представлены в пятом параграфе первой главы. В этом случае по среде могут распространяться две плоские ударные волны: квазипродольная и кваздпоперечная. Если в срсдс предварительные сдвиговые деформации удовлетворяют равенству и** + и^д = 0, то квазипродольная ударная волна становится "чисто" продольной (т ф 0, -у = 0). Для существования квазипоперечпой ударной волны в условиях плоского деформированного состояния необходимо выполнение условия и1,1 + ^2,2 ^ 0. В недеформнрованной среде такие ударные волны но распространяются. Возникновение ударной волны поворота в условиях плоского деформированного состояния невозможно, т.к. в этом случае система уравнений в -разрывах (4) не имеет решения при т = 0. Скорости распространения квазппродольнои и квазипо-перечпон ударных волн так же, как и при одномерном движении, определяются предварительными деформациями и интенсивностью ударного воздействия. Явные соотношения" для их вычисления довольно громо" дки и приводятся полностью в реферируемой работе. Отметим только, что при уменьшений влияния нелинейных эффектов (упругие модули V, а, Р —> 0), скорость квазипродольной

13 _

ударной волны стремится к значению с\ = л/(А + 2ft)p~1, а скорость квазипоперечной - к значению cj = \/рр~1, где ci и ci -первая и вторая звуковые скорости в иэдсформпрованной упругой среде.

Вторая глава посвящепа постановкам п решению ряда одномерных краевых задач динамики нелинейной упругой среды. В первом параграфе рассматривается простейшая модельная задача с плоской продольной ударной волной, когда щ = ui(si,i), ыг = из = 0. Система уравнений в разрывах (4) тогда сводится к одному уравнению (при т yt 0, 7 = 0). Скорость движения плоскости разрывов £(t) выражается зависимостью

G={p-1(X + 2fi-2k(v-a-P))}1'2, к — Sign («i,i). (13)

Если параметр к не изменяется во всей деформируемой области, то решение задачи совпадает с результатом лпнейтай-теории упругости. Однако изменение значения к в области деформирования даже в таком простейшем случае приводит к качественным отличиям от классических результатов. Этот факт демонстрируется на примере аналитического решения краевой задачи об отражении плоской продольной волпы от свободной границы разномодульно-го упругого слоя. Одна пз границ упругого слоя, первоначально находящегося в надеформированном состоянии, под воздействием снимающей нагрузки в момент времени t = О.начипает двигаться по.закону х\ — (¡»(i), где ip(t) - известная функдая. Вторая граница ' слоя при этом остается свободной. Граничные возмущения распространяются в среду посредством плоской одномерной полны E(t) со скоростью о = {p_1(A-j-2/i-f 2v — 2а — 2/3)}1'2, которая вычисляется согласно соотношению (13) при к~ -1. Условие отсутствия напряжений (свободная поверхность) на границе слоя приводит к тому, что приходящие па эту границу возмущения отражаются обратно в слой посредством не одной, как в линейной теория упругости, а дйух плоских одномерпых поля Ei(i) п £2(4) со скоростями а л 6 = (А + 2/t — 2v + 2а -f 2ft)}1/2 соответственно, причем а > Ь. Очевидно, что такое соотношение мепду скоростями отраженных волн выполняется, только если а + /3 < v. В работе показано, что решение данной краевой задачи возможно только при выполнения этого неравенства. К такому же ограничению на упругие модуля и, а, р приводит и проверка выполнения второго закона термодинамики на ппбекой одномерной ударной волке. Термодинамическое

условна совместности заставляет сделать вывод о существовании только ударных волн сжатый и термодинамической невозможности скачкообразного перехода из сжатого состояния среды в растянутое. Ограничение, накладываемое на адиабатические постоянные v, а, /3, обязано выполняться и прн постановке других краевых ззд&ч. Если для какого-либо материала данное неравенство не выполняется, то математическая модель разносопротивляющейся упругой среды Мжскпкопа-Олешшкова для описания динамики этого материала непригодна.

Во сторон параграфе приведены основные соотношения нестационарных краевых ^адач прн условия одномерного автомодельного движения точек среды, когда Ui = citw(£), иг = ciis(^), щ = cjfy($), £ = ¡cx(cit)-1.-Показано, что при такса замене переменных следствием определяющих модельных соотношений (1) является однородная система обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающая движения точек среды:

( (к - + + £>з»" = 0.

| hvj" + (Ь5 - + Wf = 0, (14)

[ Ьтхи" + 6s/' + (бе - p4?W' = 0.

Коэффициенты .= ¿¡(£, и/, z1, tf) не приводятся здесь из -за их громоздкости. Система (14) рмеет тривиальное решение ш' const, г? — const, у1 — const, если ее определитель не равен нулю. В зонах тривиального решения искомые функции представляются в 'виде tit = р£ + d, z = gi 4- /, у = s£ + h (р, д, в, d, /, h - произвольные, постоянные интегрирования системы (14), причем согласно вьекеппьш обозначениям р = «i,i, д ~ «гд, s = «зд, d — «i/cj, / vi/ci, к = t's/cj). Определитель системы (14) мохсет обращаться и коль либо прн некоторой значении £ = £* (ударная ванна), либо в целом интервале изменения £ (f~. ^ £ ^ -область простой волны с волнами разрывов ускорений в качестве переднего и заднего фронтов). Таким образом, решение какой-либо одномерной краевой задачи, допускающей автомодельные движения точек среды, заключается в определении безразмерных параметров р, д, s, d, /, h в областях между волновыми фронтами и интегрировании упрощенной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, следующей яз (14), в области простой волны.

В третьем параграфе второй главы описаны постановка и численные результаты решения автомодельной задачи о нормальном

ударе по деформированному полупространству. На плоскую границу разномодульной упругой среды с предварительными деформациями ?4°] 0, Из°| ф 0 с момента времени t — 0 производится такое ударное воздействие, которое приводит движению граничной плоскости с постоянной скоростью по закону Х\ — v\t, v{ > О, :>2 = "з = 0. Запрет дополнительного сдвига и поворота на границе полупространства и наличие в материале ненулевых сдвиговых деформаций приводят к тому, что описанные граничные возмущения распространяются в среду посредство?* только двух плоских-одномерных ударных воли: квазнпродольной Si л квазппопгречяой Ег- Чксленлое решенне этой задачи показывает, что изменение параметров напряженно-деформированного состояния на Бг соотзетствует описанному^ в предыдущей глазе характеру ллоско-поляризованпых ударных воли: наибольший продольный разрыв г достигается на квазнпродольной ударной волне Ej, наибольший поперечный разрыв 7 - па квазипеперептюй ударной волпз Ед. Результаты численных расчетов для даплей задачи представлены з виде диаграмм и графиков зависимостей параметров движения среды и напряженно-деформированного состояния от скорости движения границы V]. Такие графики, показаны для двух различных набер.оэ упругих модулей среды: а) А — 38,7 • 103МПа, fi — 34,8 • 103МПа, v = -4,8- 103МПа, а = -2,3 • 103МПа, ¡3 = -3,3- 103МПа (диабаз); б) А = 4,8 • 103МПа, ц = 4,7- 103МПа, v = 2,1 • 103МПа, а = 1,2 • 103МПа, ,3 = -0,3 • 103МПа (каменная соль). На основании этпх графиков сделан вывод о существовании качественных отличий в решении данной краевой задачи в зависимости от знака ynpyrofo модуля I/. Корректность постанозхп л получегаых решений задачи устанавливалась путем проверка выполнения термодинамического условия совместности разрывов па каэдой ударной волне в процессе получения численных результатов.

В четвертом параграфе второй главы описана постатшвка и решение автомодельной одномерной задачи о косом ударе по деформированному упругому массизу. До пачала ¡ударного воздействия разномодульпое з'прутое полупространство подвержено предварительной одномерной однородной деформации с параметрами и = const < 0, = 0, «зд = const > 0. В момент времени t — 0 на границу этого полупространства начинает действовать дополнительная постоянна однородная сжпмающе-сдвнгающая нагрузка о-]! = const <" 0, <72| = const > 0, Ojj = const > 0 с параметрами

i»i! = const < 0, Uj(1 = const > 0, «зд = const > 0, отличная от начальной и приводящая к дальнейшему сжатию материала. Согласно свойства:.! плоских одномерных ударных волн, описанных в первой главе реферируемой работы, передним фронтом распространения деформаций изменения объема при наличии ненулевого предварительного сдвига является квазипродольная ударная волна Ej. Различие в направленности предварительных и задаваемых па границе полупространства сдвиговых деформаций говорит о'возможности возникновения еще двух плоскостей сильных разрывов - квазипоиеречпой (Е2) и нейтральной (£3) ударных волн, соответствующим образом сдвигающих п скручивающих материал. Соотношение между скоростями этих ударных волн, несущих в среду деформации изменения формы, невозможно определить заранее. Такая неопределенность заставляет считать возможным возникновение двух различных волновых картин при постановке данной краевой задачи.

а) Первая постановка задачи показана на рис.1: вслед за квазипродольной ударной волной Ei движется квазипоперечная ударная волна Ег, последним волновым фронтом является ударная волна поворота Е3.

■ const

Рис.!

Ркс.2

Соотношение между скоростями плоскостей разрывов деформаций в этом случае будет иметь вид С?з < С^г < йу. Все деформируемое полупространство 11 ^ 0 можно считать разбитым волновыми фронтами Е1, Е2, Ез на четыре зоны 0-Ш, в каждой из которых деформации различны и в случае автомодельных движений считаются постоянными. Скачки параметров напряженно-деформированного состояния и движения точек среды на каждой ударной волне {т = 1,2,3) обязаны подчиняться динамическим условиям совместности разрывов (2), записанным для одномерного случая:

¿ = 1,2,3, (15)

и условиям непрерывности перемещений

о

Свойства плоских одномерных ударных поля, описанные в первой главе, позволяют определять часть искомых параметров задачи непосредственно из краевых условий, без применения численных схем. Оставшиеся неизвестные определяются численно из системы нелинейных алгебраических уравнений, составленных нз соотношений (15), (16) на соответствующих плоскостях разрывов.

б) Во второй постановке (рис!2) полагаем, что за гжазапродоль-ной ударной волной £1 распространяется ударим полна поворота £3. Предположим также, что третьим полковым фрсптйм является квазипоперечная ударная волна. Общая схема решения задачи в данной постановке аналогична предыдущему случаю, различие составляет только вид системы нелинейных алгебраических уравнений.

Для выясненшг*условий реализация первой пли второй постановки данной краевой задачи был проаеден ряд вычислительных экспериментов, изменяемыми параметрами которых являлись условия нагружения, величина предварительных деформаций я механические свойства разномодульпого материала (значения А, ¡л, V, а, 0). В результате установлено, что интенсивность граничного ударного воздействия и предварительное деформированное состояние среды практически пе влияет па возникновение той или иной волновой картины. Решающим фактором для реализации первой пли второй постановки задачи оказались значения упругих модулей и, а, /5, характеризующие наличие мшсродефектов в материале. Если эти постоянные подчиняются •.неравенствам и < 0, а + /3 < и, то возникает перзая волновал картййа1'(рис.1). Выполнение условий у > 0, а + /3 < и соответствует второй постановке краевой задачи. Однако, в такую постановку оказывается необходимым внести поправку: численно получаемые результаты на последнем волновом фронте (который по предположепию'явпяется квазипоперечной ударной волной) не удовлетворяют термодинамическому условию совместности разрывов. Поэтому квазипоперечная ударная волна заменяется на простую волну с волнами разрывоз ускорений в качестве переднего и заднего фронтов и на рис.2). Решение в области простой волны определяется .путем интегрирования системы обыкновенных дпфферепциальных уравнений, составленной

из условия равенства нулю оарэдзлЕтеля системы (14) и двух выбранных из этой же системы дифференциальных уравнений второго порядка. Для данной задачи в работе представлены два характерных результата члененных расчетов, отвечающих соответственно первой и второй постановкам. Реализация первой постановки получена при походных параметрах А = 38,7-103МПа, /х = 34,8- 103МПа, V = -4,8 • 103МПа, а = -2,3 • КЯМПа, 0 = -3,3 ■ 103МПа, = -0,05 • 10-3, = 0, = 0,001,. и\л - -0,01, = 0,005, из,1 — 0,005, при этом скорости ударных волн Ех, Ег, Ез приняли значения = 1,0068С1, бг - 0,5664сь (З3 = 0,5663сх (с! — {(А +. 2/Ор-1}1''2). В результате решения задачи во второй постановке, полученной при А = 4,8 ■ 103МПа, р — 4,7 • 103МПа, и = 2,1-103МПа, а = I, г-К^МПа, 0 = -0,3-103МПа, и{°| = -0,006,

4!1 = "зд ~ 0,001, = -0,01, и5д = 0,006, = 0,005, скорости квазипродольной и нейтральной ударных волн приняли значения йг — 1,0424С1, бз = 0,6532с1 соответственно, фронты простой волны двигались со скоростями = 0,6528с1 и С~ = 0,6142сь Результаты расчетов для двух постановок представлены в виде диаграмм распределения параметров деформированного состояния н движения точек среда во всей деформируемой области. На основания этих диаграмм в работе сделан вывод о соответствии численных результатов свойствам плоских одномерных ударных волн, полученным в первой главе. Корректность постановок и получаемых решений задачи в каждом случае проверялась с помощью термодинамического условия совместности разрывов в процессе получения та сланных результатов.

Третья глава реферируемой работы посвящена решению плоских задач, динамитл разшмодульпой упругой среды. В первом параграфе представлены основные соотношения, описывающие такса движение точек среды, когда их = их(ях, х^, <), щ = иг(®1> Х2, *)> «з 0. Показано, что аналогично одномерным движениям в этом случае замена переменных £ = яхДв* — х2), «х = («4 — ®г)/(0> «2 — — гг)д(С) такке позволяет получить кз определяющих модельных соотношений (1) однородную систему обыкновенных дифференциальных уравнений

\ С/" + Од" = 0, ^ J

описывающую движения точек деформируемой среды. Коэффициенты А, В, С. О зависят от /, д, /', д' и полностью приведены в

работе. Тривиальное решеппз /' = coast, </ — const ре.члпзуется в областях, где определитель систему го paren нулю (AD — ВС ф 0). Равенство нулю отсго определителя достигается либо на ударной волпе при некотором значении £ = либо в целом интервале изменения £ € соответствующей зеке прсстоя зол пи. В

областях тривиального решения лскоине функция /, д можпо выразить зависимостями / = — Ь, д — — я, гдз а, Ь, к, я -произвольные постоянные пнтегрпровалня системы (17), причем в соответствии с произведенной заменой а — t¡i,i, Ь = У1.2, к = нг.ь п = ti2,2. Решение конкретной краевой задачи заключается з.спре-делешш значений а, 6, /;, п ¡го псей деформируемой области. Для палученпой системы обыкновенных дкфферешщальпых уравнений (17) в данпом параграфе jpcasaa вид граничных услоЕий, приводящий к автомодельлостя плоских краевых задач.

Соотношения, полученные з первом параграф,^алее в третьей главе используются при решении двух плоских автомодельных задач. Во втором параграфе рассматривается движение посто'гп-ной иагрузхп со сверхсейсмической стхоростыо по границе упругого полупространства, подверженного предварительный плоским однородным деформациям. В- третьем параграфе изучается процесс распространения ударных возмущений при соударении двух разно-модульных упругих тел с плоскими границами, взаимодействие тел на соприкасающихся граппцах происходит согласно закону сухого трения. Такие задачи решались чзелзнпо, результаты их решения представлены з работе в пттде графиков. Для каждой задачи обсузхдаются границы применимости автомодельной постановки, исследуются зависимости получаемых решений от исходных параметров задачи. В задаче о дзия&нпп тагрузта такими параметрами являются скорость движения rs йй$о&свв»ость прилагает,юч на границе иагрузхп. В задаче о соударения параметра!« являются угол ip между грапичнымл плоскостями г-заимо.пейстпующих тел и скорость соударения ^о = {i-'¡n, t,';¡)}. В целях демонстрации влияния лелинейш ix механических своЗсяв разломедульной упругой среды (и, а, /5) па решения оппегшпьтх гадач для ка-кдой из лих представлены графики зависимостей искомых параметров от исходных, соответствующие двум случаям: a) v < 0, а + j3 < v\ б) v > 0, а + $ < v.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Для изотропной упругой среды, по-разному сопротивляющейся растяжению и сжатию (модель Мясникова-Олейникова) согласно геометрическим, кинематическим и динамическим условиям совместности разрывов (следствиям законов сохранения) нолучена система уравнений, связывающая разрывы деформаций, напряжений и скоростей движения точек среды.

2. Прн решении данной системы уравнений вычислены скорости распространения возможных ударных волн в виде зависимостей от предварительных деформаций и интенсивности производимого па среду ударного воздействия.

3. В соответствии с условиями разрешимости выписанной системы уравнений в разрывах получены условия существования различных типов ударных волн, накладывающие ограничения на предварительные деформации и геометрию поверхностей разрывов. В зависимости от вида деформированного состояния для возможных ударных волн указано положение их плоскостей поляризации (если такие существуют).

4. Получены ограничения на возможность существования некоторых талон поверхностей разрывов деформаций ках следствие второго закона термодинамики для необратимого процесса распространения ударной волнн.

5. Показано, что наиболее ясный смысл полученные ограничения приобретают в- случае плоских одномерных ударных волн. В условиях одаомерного деформированного состояния возможно возникновение трех поверхностей разрывов деформаций: ква-зкпродолыюй, квазппоперечЕсй к нейтральной ударных волн. Первая песет а среду основные ударные изменения объемных деформаций; дье другие распространяют в среде деформации изменений формы, причем одна из них ударно изменяет только величину предварительного сдвига, а другая - только его направленность. Квазипродольная к квззшюперечная ударные волны поляризованы в плоскости, положение которой полностью определяется предварительным деформированным состоянием. Нейтральная ударная волна имеет круговую поляризацию, которая может бы.:ь определена только интенсивностью производимого гранично: .-> воздействия.

6. На примере простейших одномерных задач показано, что полученные ограничения (включая термодинамические) на свойства возможных ударных волн удовлетворяют свойствам дифференциальных уравнений модели, допускающей соответствующие обобщённые решения.

7. С целью определения очередности волновых фронтов и их ха-' рактера (ударные или простые воппы) при распространении по

среде ударных граничных возмущений проведена серия вычислительных экспериментов. Установлено, что параметрами, влияющими на возникающую волновую картину, являются упругие постоянные материала. Получены решения модельных краевых задач о нормальном и косом ударах по деформированному полупространству, о взаимодействии ударной волны с. границей среды. В зависимости от упругих свойств разномодульпого материала указаны соответствующие волновые картины, посредством которых распространяются возмущения.

8. Изучены свойства ударных волн при пяосхоп деформации. Получены условия существования ударных волн для случая плоского деформированного состояния среды, вычислены скорости лх распространения. Получены численные решепия р'яда плоских автомодельных задач динамики микроразрушенной среды в рамках модели Мясиикова-Олейнпкова со стационарными простыми и ударными волнами.

ПУБЛИКАЦИИ ПО МАТЕРИАЛАМ ДИССЕРТАЦИИ

1. Дудко О.В. Ударные волны в упругой среде, не одинаково сопротивляющейся растяжению и сжатию // Материалы XXXIV юбилейной научно-технической конференции / Тезисы докладов. - Владивосток: Изд-во ДВГТУ. - 1994. - С. 120-121.

2. Дудко О.В. Одномерное автомодельное ударное деформирование упругого массива при наличии в нем предварительных деформаций и микронарушений // Материалы XXXV научно-технической конференции / Тезисы докладов. - Владивосток: Изд -во ДВГТУ. - 1995. - С. 42-43.

3. Дудко О.В. Об условиях существования ударных волн в средах с микронарушениями // Проблемы естествознания и производства. - Владивосток: Изд-во ДВГТУ. - 1995. - С. 9-13. (Тр. ДВГТУ; Вып.115, сер.5.).

4. Дудко О.В. Автомодельная задача об одномерном ударном на-грукеппн упругого массива с предварительными деформациями к микроаарушениями // Проблемы естествознания и производства. - Владивосток: Изд-во ДВГТУ. - 1996. - С. 17-20. (Тр. ДВГТУ; Вып.117, сер.5.).

5. ВуреппЕ АЛ., Цукко О.В. О распространении ударных возмущенна в- предварительно деформированной разномодульной упругой средо // Прикладные задачи механики деформируемого твердого тела: Сборник научных трудов. - Владивосток: ИМиМ ДВО РАК. - 1897. - С. 20-35.

6. Дудко О.В. О движении постоянной нагрузки по границе разно-модульпого упругого полупространства // Материалы XXXVII научно -технической конференции / Тезисы докладов. - Владивосток: Изд-во ДВГТУ. - 1997. - С. 23-24.

7. Dudi;o O.V., Mantsibora А.А. About one self-model problem of elastic deiornjation o£ media with discontinuities // Abstract of the Sccoad International Student's Congress of the Asia-Pacific Region Countries. - Vladivostok: FESTU. - 1S97. - P. 71-72.

8. Дудйо О.В. Особенности постановок п свойства решений автомодельных задач дзшгыака сред с мнкронарушепнями при ударных воздействиях // Тсзксы докладов Дальневосточной математической школы-сежгдара км. акад. Е.В. Золотова. - Владивосток: "Дальнауха". - 1998. - G.23.

Льчный вклад авторе. Работы [1,2,3,4,6,8] выполнены автором лично. В работе [5] автор участвовала в постановке задачи и выколпияг, все. необходимые численные расчеты. В работе [7] автором проведена постановка зада,чи, получена система разрешающих уравнений, выбраны методы расчетов. Соавтор этой работы участвовал в проаэденыи численных расчетов и представлении их результатов..

/ У/- // - «

г

J

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ДАЛЬНЕВОСТОЧНОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

ИНСТИТУТ АВТОМАТИКИ И ПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЯ

На правах рукописи

ДУДКО Ольга Владимировна

УДК 539.3

ДИНАМИКА РАЗНОМОДУЛЬНОЙ ИЗОТРОПНОЙ УПРУГОЙ СРЕДЫ ПРИ УДАРНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: д.ф.-м.н., профессор А.А. Буренин

Владивосток, 1998

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 4

Глава 1. Условия существования поверхностей сильного разрыва (ударных волн) в разномодульной изотропной упругой среде

§ 1.1. Исходные соотношения модели изотропной упругой

среды...........................

§ 1.2. Ударные волны. Соотношения в разрывах......

§ 1.3. Система уравнений в разрывах на ударной волне, распространяющейся по разномодульной изотропной

упругой среде.......................

§ 1.4. Одномерные плоские ударные волны.........

§ 1.5. Ударные волны в условиях плоской деформации . .

Глава 2. Одномерные задачи динамики разномодульной упругой среды 45

§ 2.1. Одномерные продольные ударные волны..............45

§ 2.2. Основные соотношения. Автомодельные одномерные задачи................................................54

§ 2.3. Нормальный удар по деформированному полупространству ..................................................63

§ 2.4. Косой удар по деформированному упругому массиву 75

§ 2.4.1. Первая постановка................................78

§ 2.4.2. Вторая постановка ..............................83

Глава 3. Плоские автомодельные задачи динамики

разномодульной упругой среды 90 § 3.1. Основные соотношения плоских автомодельных задач 90 § 3.2. Движение постоянной нагрузки со сверхсейсмической скоростью по границе упругого полупространства 98

18

18 22

28 33 39

§ 3.3. Соударение двух разномодульных упругих тел с

плоскими границами...................112

Заключение. Основные результаты 125

Литература 128

ВВЕДЕНИЕ

Механика деформируемых материалов, главным образом, представляется математическими моделями, основанными на гипотезе существования свободного состояния. Данное выделяемое состояние реализуется в способном деформироваться теле при "комнатной" температуре и отсутствии деформаций. Также вводится предположение об отсутствии напряжений в теле при выполнении таких условий. С целью регуляризации определяющих зависимостей далее полагают, что реакция деформируемой среды на воздействие, выводящее из свободного состояния, не зависит от направленности такого воздействия. Иными словами, считается, что такая реакция одинакова при воздействиях, отличающихся только знаком. В этом состоит гипотеза о нормальной изотропии свойств материалов, принимаемая в классической теории упругости, вязко-упругости, классической теории пластичности. Данная гипотеза идеализирует свойства реальных материалов для упрощения модельного математического аппарата. Однако для некоторых из них такое предположение оказывается принципиально неприменимым. В этом случае говорят о материалах, по-разному сопротивляющихся растяжению и сжатию. Данное различие приводит к сингулярной в нуле особенности для свойств среды и, соотвест-венно, к такой же особенности в системе модельных уравнений. Вместе с нелинейностью получаемой системы уравнений наличие сингулярности необходимо вносит новые качественные эффекты в решения соответствующих модельных задач. Иногда оказывается, что только на таком уровне моделирования можно интерпретировать экспериментально наблюдаемые факты. Отклонения от нормально-изотропного поведения характерны для большинства природных и конструкционных материалов. Различие в модуле Юнга при сжатии и растяжении стержня достигает для конструкционных сталей 5%, алюминия - 10%, чугуна - 20% и выше [31,

47, 55, 119]. Особенно значительно это различие проявляется у природных и композитных материалов [22, 30, 46, 91, 93].

Какие же свойства реальных материалов ответственны за макроэффект разномодульности? И природные, и искусственно создаваемые материалы необходимо имеют дефекты либо в виде нарушений сплошности (трещины, каверны), либо в виде существенных нарушений однородности. При деформировании отмеченные дефекты нарушают изотропию прочностных и деформационных свойств среды, что особенно характерно в окрестности свободного состояния (открытие и закрытие каверн и трещин, сингулярная нелинейность контактных свойств между фракциями гетерогенных и композитных материалов). Это заставляет при формулировании модельных зависимостей отказаться от гипотезы нормальной изотропии. Необходимо особо подчеркнуть, что подобное проявление анизотропных свойств природных и искусственных материалов присутствует в области малых деформаций, а, следовательно, не может связываться в процессом накопления необратимых (пластических) деформаций. Иными словами, когда главным предметом исследований оказываются явления, определяемые анизотропией деформационных свойств, тогда можно ограничиться моделированием процесса в рамках упругой среды.

Учесть влияние микронеоднородностей можно на основе вычисления эффективных характеристик (эффективных упругих модулей, параметров повреждаемости и т.п.) прочностных свойств материалов. Отметим посвященные такой классической проблеме работы отечественных ученых Т.Д. Шермергора [110], В.В. Дудукаленко и В.А. Минаева [41], С.П. Хорошуна [101], A.B. Чи-гарева [105], В.В. Болотина и В.М. Москаленко [8], Г.Ф. Филатова [100]. Влияние микроразрушенности материалов в этом случае пытались учесть [45, 83, 84, 125] путем вычисления эффективных прочностных параметров на основе предположений о геометрии разрушенности (ширины раскрытия трещин, контактных особенностей по берегам трещин, ориентации и распределения трещин в

материале и др.). При этом в качестве эталона опять выступает либо упругая сплошная среда в ее классическом линейном варианте [8, 50, 87, 101, 110, 132], либо некоторые нелинейные обобщения классической теории [100, 105]. В [25, 115] предложены модели сред с введением новой тензорной характиристики, называемой повреждаемостью. Однако на таком пути при моделировании эффектов сингулярного поведения в окрестности свободного состояния материала встречаем те же математические трудности, что и в случае модели однородной упругой среды. Поскольку эти эффекты являются предметом интереса настоящей работы, то на анализе работ, посвященных моделированию неоднородных материалов на основе эффективных характеристик, более останавливаться не будем.

Авторы первых работ, посвященных непосредственно моделированию сред с сингулярным поведением в окрестностях свободного состояния [3-5, 109, 120, 124, 129], в качестве основы также используют модель линейного упругого тела. Однако закон Гука изменяется таким образом, что упругим постоянным присваиваются разные значения в зависимости от знака напряжений. Поскольку напряжение является тензорной характеристикой, то возникает неоднозначность выбора инвариантов напряжений, по'знакам которых определяются значения упругих постоянных. Это привело к разнообразию обобщения классической теории на разномодульный случай. Впоследствии [124] было показано, что подобное прямое обобщение линейной упругой модели несовместимо с предполагаемой изотропией среды, т.к. оно оказывается неинвариантным относительно группы вращений и может не удовлетворять некоторым дополнительным условиям на допустимые разрывы упругих постоянных [129]. Так, например, в модели Бригадирова-Матченко [9] значения последних определяются в зависимости от

о = \-Okk-, при этом при сг = 0 оказываются разрывными модуль о

всестороннего сжатия и модуль сдвига одновременно. Однако такое положение не может иметь место, если только принято условие изотропии среды.

Модели разносопротивляющейся упругой среды, предложенные в [28, 59, 66, 82, 94, 97, 102], можно признать в качестве обобщающих ранее цитируемые. Данное обобщение связано с постулированием наличия некоторой произвольной зависимости упругих постоянных от характера деформированного или напряженного состояний. Например, в [82] полагается, что модуль сдвига есть некоторая функция отношения объемной деформации к интенсивности деформаций, а модуль всестороннего сжатия является также некоторой произвольной функцией знака объемной деформации. Введенные в определяющие модельные соотношения функции предлагается определять с помощью экспериментов. Ю.Н. Работнов и Е.В. Ломакин [59] прячут столь же произвольные функции в предложенный ими упругий потенциал. Наличие произвола в моделях, связанного с неопределенностью в выборе подобных функций, делает их свободными от неточностей предыдущих моделей. Однако возражения, аналогичные приведенным выше, могут возникнуть при конкретизации постулируемых зависимостей по данным экспериментов. Следовательно, сложности, связанные с непосредственным обобщением тензорно - линейного закона связи между напряжениями и деформациями на случай раз-носопротивляющихся упругих сред, в цитируемых в настоящем абзаце работах необходимо выступят, но только теперь уже в качестве сложностей конкретизации модельных соотношений.

В модельных зависимостях для разномодульной упругой среды, предложенной A.A. Золоческим [42, 43], предлагается введение потенциала деформаций, зависящего не от вида напряженного состояния, реализуемого в теле при деформировании, а от некоторого эквивалентного. Модель включает в себя три постоянных материала и удовлетворяет требованию изотропии. К недостаткам данной модели следует отнести то обстоятельство, что она в одноосном случае при уменьшении разницы между упругими модулями при растяжении и сжатии не переходит в классическую

модель изотропной упругой среды. Аналогичной особенностью обладает модель, предложенная в [67].

В работах [88, 128] предложены конкретные модели для изотропных упругих сред с разными упругими постоянными при растяжении и сжатии. Механические свойства среды задаются выбранным видом упругого потенциала, в котором постоянные определяются знаком следа тензора напряжений и еще некоторого дополнительного параметра, связанного с видом напряженного состояния (угла вида напряженного состояния [88]). Таким образом, данными модельными зависимостями при решении конкретных задач можно воспользоваться лишь в случае, когда заведомо (до решения задачи) по каким-либо внешним признакам имеется возможность определить необходимые дополнительные параметры вида напряженного состояния. Часто, особенно в нестационарных задачах динамики, это сделать принципиально невозможно. Поэтому данный модельный недостаток следует считать существенным.

В работах [117, 118] на основе статистического анализа случайно распределенной совокупности стационарных щелей, которые закрываются или открываются в зависимости от внутренних усилий, в предположении отсутствия трения между берегами щелей построена континуальная модель материала с микронарушениями. Особенностями такой модели являются: а) разрыв в значениях модуля Юнга в свободном состоянии при одноосном деформировании, б) линейность упругой модели при однопараметрических нагружениях, в) нелинейность модели при сложных путях нагру-жения.

В работе [68] В.П. Мясниковым для моделирования явления разного сопротивления материалов растяжению и сжатию было предложено выбрать в качестве упругого потенциала функцию, неаналитическую в окрестности свободного состояния

I] Зг ■

В данной зависимости е^ - компоненты тензора малых деформаций. Первые два слагаемых в правой части выписанного соотношения определяют классическую упругую среду, а последнее слагаемое является добавкой, связанной с микроразрушенностью материалов и определяющей их сопротивление при сжатии и растяжении. Постоянные Ли// следует отождествить с параметрами Ламе, а введенная новая постоянная материала V становится от-вественной за эффект разномодульности. Построенная на основе такой постулируемой зависимости модель обладает изотропными свойствами, инвариантна относительно группы вращений, удовлетворяет условиям на допустимые разрывы секущих модулей [129],

с ^

значения которых зависят только от одного параметра £ =

у/Т2

Особенности данной модели изучались впоследствие в работах [6062, 69, 78]. Уже отмечалось, что если в приведенной зависимости Ш = 3%) опустить последнее слагаемое, то приходим к клас-

сической теории упругости. При этом обычно получаемое соотношение трактуется в качестве разложения функции V/ = УУ (31,32) в ряд Тейлора относительно свободного состояния. В.П. Мяснико-вым и А.И. Олейниковым [71, 80, 81] было показано, что слагаемые типа последнего в данной зависимости получаются при разложении функции ]У = 32) в ряд относительно свободного состояния по сферическим функциям. При этом первые слагаемые ряда имеют вид:

Л Зъ 3

№ = 21/1 + Р'72 ~ ^^+ + ^^ + ''''

3?, — е^е^е^.

Данная зависимость определяет изотропную упругую среду, обладающую разной реакцией на растяжение и сжатие. Построенную на основе этого соотношения систему уравнений в дальнейшем будем называть моделью Мясникова - Олейникова. А.И. Олейниковым проведена значительная работа [81] по разработке методик определения значений постоянных материала и, а, /5 по

данным экспериментов. Получены значения таких постоянных для достаточно широкого класса природных материалов, экспериментальные данные по которым оказались доступными. Необходимо отметить, что предложенные методики доведены до пользовательских компьютерных программ, позволяющих вычислить постоянные материала по данным эталонных экспериментов.

Свойства системы уравнений, имеющей сингулярную особенность при нулевых значениях искомых функций, применительно как раз к разномодульной упругой среде изучались в [64]. Построена общая теория решений данной системы уравнений, описывающих движение изотропной среды, имеющей различные упругие постоянные при одноосных напряженных состояниях. Изучались условия существования и закономерности распространения возможных одномерных разрывов производной градиента перемещений, то есть проверены некоторые обобщения более ранней работы [63] тех же авторов. В данном простейшем случае рассмотрены задачи о распаде разрыва, об отражении волны сжатия от свободной границы, о разрывах, приводящих к нарушению сплошности, о падении разреженной системы в поле силы тяжести на жесткое основание. Отметим, что в силу одномерности рассмотренных задач и отличия от нуля только одной компоненты перемещения все изучаемые разрывы в [63-65] также имеют лишь одну компоненту, т.е. рассматриваются только продольные составляющие разрывов (продольные ударные волны).

Одним из самых впечатляющих следствий микроразрушенности является анизотропия свойств материалов. Очевидно, что данное явление не может быть описано в моделях, построенных на основе эффективных модулей.

Распространение акустических волн в средах с микронарушениями изучалось в рамках модели Мясникова (а = ¡3 = 0) в [70, 96]. Оказалось, что внесение в исходную модель разносопротивля-емости растяжению и сжатию, не нарушающей изотропию среды, приводит к описанию имеющихся экспериментальных фактов,

связанных с сейсмической анизотропией. Ранее [32-34, 49, 77] данное явление объясняли учетом нелинейностей, приводящих, как известно, к зависимости скоростей распространения волн от предварительных деформаций (напряжений) в среде. Однако анизотропия акустических свойств наступает при малых деформациях. Параметры сейсмической анизотропии, получаемые в результате натурных наблюдений [48, 76, 86, 90, 103, 121], значительно превосходили предсказываемые на основе чисто нелинейных эффектов. Это обстоятельство вызвало к жизни иное моделирование материалов горных массивов, отличное от изотропной упругой среды, основной целью которого становилось описание данного эффекта [76, 92]. В работе [79] А.И. Олейниковым показано, что данное явление может описываться в рамках моделей Мясникова и Мясникова-Олейникова, приведены качественные оценки настоящего эффекта.

Целесообразность использования модели Мясникова для объяснения эффектов сейсмической анизотропии, их качественного и количественного описания была подтверждена исследованиями А.П. Наумкина [72-75], Г.И. Быковцева и А.П. Наумкина [23, 24]. Этими авторами изучались слабые волны в модели Мясникова, в частности, их затухание и изменение геометрии поверхности слабого разрыва в процессе ее распространения. Было показано, что учет различной реакции материала на растяжение и сжатие вместе с нелинейным характером связи напряжений и деформаций, следующей из определяющих соотношений модели Мясникова, необходимо предопределяет различие в скоростях слабых (звуковых) волн в зависимости от вида предварительных деформаций в среде. Поэтому слабые волны по-разному затухают в зависимости от направления распространения. Направлением распро�