Динамика релятивистских частиц со спином в поле гравитационного излучения тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Направахрукописи

Курбанова Вероника Рауфовна

Динамика релятивистских частиц со спином в поле гравитационного излучения

01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань - 2004

Работа выполнена на кафедре теории относительности и гравитации Казанского государственного университета им. В.И. Ульянова-Ленина Министерства образования и науки РФ

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

профессор Балакин Александр Борисович

Официальные оппоненты:

— доктор физико-математических наук профессор Мельников Виталий Николаевич

— кандидат физико-математических наук доцент Попов Аркадий Александрович

Ведущая организация: Томский государственный университет

Защита состоится 2004 года в " '' " часов на

заседании диссертационного совета Д212.081.15 в Казанском государственном университете им. В.И. Ульянова-Ленина по адресу: 420008, г.Казань, ул.Кремлевская, д. 18.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. Н.И. Лобачевского Казанского государственного университета.

Автореферат разослан

Ученый секретарь

диссертационного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Гравитационное излучение, теоретическое предсказание существования которого пока не нашло прямого экспериментального подтверждения, является перспективным объектом теоретических исследований. Интерес к гравитационным волнам вызван, во-первых, тем, что пространства-времена плосковолнового типа представляют один из типов физического вакуума, и поэтому гравитационные волны часто используются в качестве фонового поля при решении различных задач как в классической, так и в квантовой теории. Во-вторых, по гравитационному излучению сложных астрофизических объектов можно реконструировать гравитационные поля, создаваемые этими объектами и, следовательно, структуру самих источников излучепия. В-третьих, теоретические исследования взаимодействия гравитационных волн с материальными средами и полями как на самой Земле, так и на всем пути их распространения от источника до земной поверхности чрезвычайно важны для обоспования экспериментов по обнаружению гравитационного излучения. Положительный результат таких экспериментов станет еще одним подтверждением правильности общей теории относительности и откроет новый канал получения информации об удаленных участках Вселенной. На данный момент главным источником информации об объектах за пределами Солнечной системы являются электромагнитные волны различного диапазона. Согласно теоретическим предсказаниям, гравитационное излучение оказывает влияние и на них, изменяя как поляризацию, так и энергию фотонов, причем под воздействием гравитационного излучения энергия начинает зависеть от поляризации фотонов. Такое явление получило названия двойного

лучепреломления, индуцированного кривизной. Оно является примером того, что нестационарные гравитационные поля вообще и поле гравитационного излучения в частности индуцируют неравновесные явления в системах частиц, снимая вырождение по скрытым параметрам взаимодействий, присутствующим в системе изначально. К скрытым параметрам относится и спин. Учет спиновых степеней свободы в динамике частицы в гравитационном поле приводит к неминимальному обобщению уравнений движения частицы, т.е. вовлекает в рассмотрение тензор кривизны, его свертки и производные. Неминимальное описание спин-гравитационного взаимодействия элементарных частиц, вообще говоря, противоречит принципу эквивалентности Эйнштейна. Поэтому экспериментальное исследование поведения элементарных частиц со спином в гравитационно-волновых полях, проведенное на основании теоретических предсказаний, явилось бы одновременно и проверкой принципа эквивалентности. В связи с вышесказанным исследование эволюции частиц со спином в гравитационно-волновом поле является актуальной задачей.

Цель работы

Целью диссертационной работы является исследование динамики релятивистских частиц со спином и их поляризационных свойств в поле нелинейной плоской гравитационной волны (ГВ). Исследование заключается в решении следующих трех задач:

• Найти точные решения модельных уравнений динамики релятивистской частицы со спином и эволюции ее вектора поляризации в поле нелинейной плоской ГВ.

• Построить обобщение теории геодезического отклонения для двух

частиц со спином во внешнем поле и найти точные решения обобщенных уравнений девиации на фоне нелинейной плоской ГВ.

• В рамках кинетической теории на расширенном фазовом пространстве построить одночастичную функцию распределения как решение релятивистского кинетического уравнения, обобщенного на случай частиц со спином во внешнем поле, а также найти ее макроскопические моменты.

Методы исследования

В работе использовались методы общей теории относительности, методы классической теории частиц со спином, методы релятивистской кинетической теории на расширенном фазовом пространстве и теория дифференциальных уравнений.

Объект и предмет исследования

Объектом исследования данной работы являются релятивистские частицы со спином в рамках классической теории гравитации (общей теории относительности). Предметом исследования являются динамика и поляризационные свойства релятивистских частиц со спином, а также систем таких частиц, в поле гравитационного излучения.

Научная новизна

• Найдены точные решения уравнения Баргманна-Мишеля-Телегди (БМТ), описывающего динамику вектора поляризации с учетом аномального магнитного момента, в поле нелинейной плоской ГВ и наследующих ее симметрию электромагнитных полях, представляющих собой (а) плоскую электромагнитную волну (ЭМВ) и (б) продольное магнитное поле (МП).

• В рамках неминимального обобщения эволюционных уравнений найдены точные решения уравнений динамики релятивистской частицы со спином и динамики ее вектора поляризации в поле нелинейной плоской ГВ в отсутствие электромагнитного поля. Предложена и исследована точно интегрируемая 13-мерная кинетическая модель, в которой параметр, описывающий аномальное взаимодействие спина и кривизны, является стохастической переменной.

• Построено обобщение теории геодезического отклонения для двух частиц со спином во внешнем поле. Найдены точные решения обобщенных уравнений девиации для случаев минимального и неминимального воздействия поля ГВ на частицы со спином.

• На основе точных решений уравнений динамики частицы со спином и эволюции ее вектора поляризации в поле ГВ для случаев минимального и неминимального обобщений уравнений эволюции в рамках релятивистской кинетической теории построена сдноча-стичная двенадцатимерная функция распределения. Найдены ее макроскопические моменты, характеризующие динамику системы релятивистских частиц со спином и изменение ее поляризационных свойств.

Научная и практическая ценность

Полученные в диссертации результаты являются развитием теории многочастичных систем с дополнительными внутренними степенями свободы в нестационарных гравитационных полях. Описание явлений, возникающих в системах частиц со спином под воздействием ГВ (двойное лучепреломление, круговое и гиперболического вращение вектора поляризации, зависимость траекторий и их отклонения от спина ча-

б

стиц) может иметь применение при решении проблем, связанных с моделированием экспериментов по обнаружению ГВ и интерпретацией результатов таких экспериментов.

Личный вклад автора

Постановка задачи принадлежит научному руководителю. Нахождение точных решений модельных уравнений проводилось соискателем полностью самостоятельно. Обсуждение полученных результатов и написание статей проводилось совместно с научным руководителем при активном участии соискателя.

Апробация работы

Материалы диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях, семинарах и школах: X-XV Международная летняя школа-семинар по современным проблемам теоретической и математической физики "Волга" (Казань, 1998-2003); Украинско-российская конференция по гравитации, космологии и релятивистской астрофизике (Харьков, Украина, 2000, 2003); Геометризация физики (Казань, 2001); Международная конференция по гравитации и астрофизике стран азиатско-тихоокеанского региона ICGA (Москва, 2001); Аспекты квантовой гравитации (Бад Хоннеф, ФРГ, 2002); Математика гравитации II (Варшава, Польша, 2003); Российско-украинская школа ИТФ-ИТЭФ по теоретической и математической физике (Киев, Украина, 2002, 2003); Пятая российская конференция по атмосферному электричеству (Вла-димир,2003); V Всероссийская Научная Конференция студентов-физиков и молодых ученых ВНКСФ-5 (Екатеринбург; 1999); II зимняя школа по теоретической физике (Дубна, 2004); Итоговая научная студенческая конференция КГУ (1998-2000); Итоговая конференция Республиканского конкурса научных работ среди студентов и аспирантов на со-

искание премии им. Н.И. Лобачевского (Казань, 2002); Научный семинар кафедры теории относительности и гравитации КГУ (2003, 2004).

Публикации

Основные результаты работы опубликованы в 21 печатном труде, из которых 5 статей в международных зарубежных и российских журналах, 2 статьи в сборнике трудов международных конференций, 1 статья в сборнике трудов Российской конференции, 2 статьи в сборниках студенческих конференций и 11 тезисов докладов.

Структура работы

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, трех приложений и списка литературы, содержащего 194 наименования. Объем диссертации - 146 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит описание актуальности проблемы, исследуемой в диссертации, обзор литературы по теме диссертации, формулировку цели и основных задач, а также краткое описание работы.

Первая глава носит справочный характер. В ней дается описание динамики частицы со спином и ее поляризации во внешних электромагнитном и гравитационном полях в рамках классической теории спина и общей теории относительности, кратко обсуждается связь классической и квантовой теории спина. Здесь же приводятся сведения из теории девиации мировых линий и ее обобщение на случай динамики заряженных частиц во внешних гравитационном и электромагнитном полях, дается описание системы частиц с дополнительными степенями свободы в рамках кинетической теории на расширенном фазовом пространстве. Приводится метрика нелинейной плоской ГВ, используемая

в работе в качестве фоновой, и рассматриваются примеры электромагнитных полей, наследующих симметрию гравитационно-волнового поля.

Во второй главе рассматривается эволюция частиц со спином на фоне нелинейной плоской ГВ и электромагнитного поля, наследующего симметрию ГВ. В качестве примеров такого электромагнитного поля используются (а) поле плоской электромагнитной волны (ЭМВ) и (б) продольное магнитное поле.

Раздел 2.1 посвящен интегрированию уравнений динамики индивидуальной частицы со спином и уравнений динамики вектора поляризации.

В пункте 2.1.1 дан вывод уравнений динамики частиц со спином во внешних электромагнитном и гравитационном полях в терминах 4-векторов скорости и поляризации.

В пункте 2.1.2 приведено описание модельных уравнений, являющихся минимальным обобщением уравнений БМТ на случай наличия внешнего гравитационного поля. В этой модели уравнения динамики 4-вектора скорости не зависят от 4-вектора поляризации, поэтому основное внимание при рассмотрении данной модели уделено поляризационным свойствам релятивистских частиц со спином. Найдены точные решения модельных уравнений, описывающих динамику частицы и эволюцию ее вектора поляризации в плосковолновых гравитацион-пом и электромагнитном полях. Решение для 4-вектора поляризации записано в элементарных функциях в двух частных случаях: (а) если аномальный магнитный момент отсутствует и (б) ГВ обладает только одной (первой) поляризацией. Полученные результаты демонстрируют два типа прецессии вектора поляризации в плосковолновых ГВ и элек-

тромагнитном полях. Прецессия первого типа, относящаяся к геодезической прецессии, обусловлена минимальным воздействием поля нелинейной ТВ, обладающей двумя поляризациями, на спин частицы. Частота геодезической прецессии,

ш(и) = 0'{и) йшЬ 27 (и),

где - запаздывающее время, зависит от метрических

функций и .В присутствии ГВ только первой ( | или только второй ( поляризации и прецессия данного

типа исчезает. Частота прецессии второго типа,

пропорциональна величине аномального магнитного момента и зависит как от компоненты 4-вектора потенциала электромагнитного поля Лг(и), так и от метрических функций, описывающих гравитационную волну, /3(и) и Ь(и). Для периодических ГВ и ЭМВ, /4г(и), ¡3(и) и L(u) являются периодическими функциями запаздывающего времени и. Вследствие этого частота дополнительной прецессии есть дво-якопериодическая функция, т.е. она зависит от периодов функций, описывающих как гравитационную, так и электромагнитную волны. В случае отсутствия аномального магнитного момента эта прецессия исчезает. В случае отсутствия гравитационного поля эта прецессия остается, но ее частота уже не является двоякопериодической функцией, а определяется лишь периодом ЭМВ.

В пункте 2.1.3 решены модельные уравнения, описывающие динамику частицы и эволюцию ее вектора поляризации в продольном МП на плосковолновом гравитационном фоне. Как показано в подпункте 2.1.3.2, решения для 4-вектора поляризации выражаются через решения уравнения Хилла, которое в случае периодической гравитационной

волны сводится к уравнению Матье. Из этого факта делается вывод, что прецессия вектора поляризации в продольном МП и поле нелинейной плоской ГВ сопровождается параметрическими осцилляциями, обусловленными гравитационно-волновым полем.

Раздел 2.2 посвящен интегрированию уравнений девиации, обобщенных на случай динамики частицы со спином в электромагнитных и гравитационных полях.

В пункте 2.2.1 построено обобщение теории девиации мировых линий на случай частиц с дополнительной векторной степенью свободы в поле внешних сил. В дополнение к 4-вектору п', ковариантно описывающему относительное отклонение траекторий двух частиц, введен 4-вектор т}', ковариантно описывающий отклонение векторов поляризации двух частиц со спином.

Пупкт 2.2.2 содержит точные решения обобщенных уравнений девиации в плосковолновых гравитационном и электромагнитном полях. В подпункте 2.2.2.2 найдены точные решения для в частном случае ГВ первой поляризации. Показано, что при наличии аномального магнитного момента вектор отклонения поляризации испытывает прецессию с той же частотой , что и сам вектор поляризации.

В пункте 2.2.3 приведены точные решения обобщенных уравнений девиации в продольном МП на плосковолновом гравитационном фоне. В подпункте 2.2.3.2 продемонстрирован параметрический характер эволюции вектора отклонения поляризации , обусловленный зависимостью от вектора отклонения мировых линий , который, согласно изложенному в подпункте 2.2.3.1, выражается через функции Хилла.

В разделе 2.3 в рамках релятивистской кинетической теории на 12-мерном фазовом пространстве, расширенном за счет введения в рас-

смотрение дополнительных спиновых степеней свободы, дано описание системы частиц со спином в поле ГВ и ЭМВ, наследующей симметрию ГВ.

В пункте 2.3.1 приведены решения уравнений эволюции индивидуальной частицы, являющихся характеристиками релятивистского кинетического уравнения.

В пункте 2.3.3 из интегралов движения, полученных в результате решения уравнений эволюции индивидуальной частицы, построено решение релятивистского кинетического уравнения - одночастичная функция распределения.

Пункт 2.3.4 содержит расчет макроскопических моментов функции распределения, описывающих динамические и поляризационные свойства системы.

В пункте 2.3.5 проводится обсуждение поляризационных свойств системы. Рассмотрен случай, когда разность проекций вектора поляризации на два взаимно перпендикулярных направления в плоскости фронта ГВ, являющаяся скалярной величиной, равна нулю в отсутствие ГВ и не равна нулю в поле ГВ, вследствие чего отличие от нуля указанной скалярной величины может рассматриваться как инвариантный критерий прихода ГВ..

Третья глава посвящена эволюции частиц со спином во внешнем поле нелинейной плоской ГВ в отсутствие электромагнитного поля в рамках неминимального обобщения эволюционных уравнений.

В разделе 3.1 приведены модельные уравнения динамики частицы и ее вектора поляризации, в качестве которых рассмотрено неминимальное обобщение уравнений БМТ. В рассмотрение вовлечен тензор

кривизны, и силы, построенные на тензоре кривизны (т.н. "приливные силы"). Динамика частицы в рассматриваемой модели представлена уравнением Матиссона-Папапетру. По аналогии с аномальным магнитным моментом, вводится параметр Q, описывающий аномальное взаимодействия спина с кривизной. Подчеркнуто, что характерным отличием данной модели от предыдущей является взаимозависимость 4-векторов скорости и поляризации, в связи с чем интерес для анализа представляют как поляризационные свойства системы, так и ее динамические характеристики, зависящие от спиновых параметров.

В пункте 3.1.1 выписаны модельные уравнения для массивных частиц со спином в терминах 4-векторов скорости и поляризации.

В пункте 3.1.2 приведены аналогичные уравнения эволюции для безмассовых частиц - фотонов, записанные в терминах волнового вектора и безразмерного вектора поляризации.

Раздел 3.2 посвящен точным решениям модельных уравнений эволюции частицы со спином в поле нелинейной плоской ГВ.

В пункте 3.2.1 система уравнений эволюции сведена к ключевой подсистеме уравнений.

В пункте 3.2.2 найдены точные решения ключевой подсистемы. Эти решения представлены в терминах элементарных функций для случаев отсутствия аномального взаимодействия спина с кривизной и для случая ГВ первой поляризации.

В пункте 3.2.3 показано, что аномальное спин-гравитационное взаимодействие приводит к новому типу эволюции 4-векторов скорости и поляризации, который мы назвали гиперболической прецессией, поскольку зависимость скорости и поляризации от величины аномаль-

ного спин-гравитационного взаимодействия выражается в гиперболических синусах и косинусах.

В пункте 3.2.4 рассматривается модель, в которой параметр, описывающий взаимодействие спина и кривизны, имеет статус стохастической переменной, подчиняющейся Гауссовому распределению с нулевым средним значением. Показано, что в этой модели вклад аномального взаимодействия в изменение компонент 4-векторов скорости и поляризации пропорционален квадрату дисперсии Гауссова распределения.

Пункт 3.2.5 посвящен обсуждению результатов раздела 3.1. В подпункте 3.2.5.3 для случая отсутствия аномального спин-гравитационного взаимодействия частицы, изначально покоящейся в выбранной системе отсчета, приведена явная зависимость энергии частицы £ от поляризационных параметров Ег и в поле ГВ первой поляризации. Эта зависимость имеет следующий вид:

£{и) = тс2 + ^-1 Е\ 4т I

В отсутствие ГВ Ь — 1.,Ь' = а,1И' = 0„ и зависимость энергии от поляризационных параметров исчезает. Аналогичная формула для фотонов, приведенная в подпункте 3.2.5.4, свидетельствует о явлении двойного лучепреломления, индуцированного кривизной пространства-времени, ассоциированного с полем ГВ.

В разделе 3.3 найдены точные решения обобщенных уравнений девиации фотонов в поле нелинейной плоской ГВ первой поляризации. Показано, что в поле ГВ вектор отклонения мировых линий зависит от начальных значений как вектора поляризации, так и вектора отклонения поляризации.

Разделы 3.4 и 3.5 посвящены, соответственно, кинетическому описанию системы массивных частиц со спином и фотонов в поле нелинейной плоской ГВ. Структура этих разделов совпадает со структурой раздела 2.3.

На основе макроскопических моментов одночастичной функции распределения, представленных в пунктах 3.4.4 и 3.5.4, продемонстрирована явная зависимость динамических характеристик системы частиц со спином от поляризационных параметров.

В подпункте 3.5.5.2 для частного случая отсутствия действия приливных сил установлено точное соответствие между электродинамическим описанием фотонов и кинетическим описанием, применявшемся в данной работе.

В Заключении обсуждаются выявленные в ходе исследования особенности динамики частиц со спином и их поляризационные свойства в поле нелинейной плоской ГВ. Сформулированы основные результаты исследования и положения, выносимые на защиту.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации исследовано поведение релятивистских частиц со спином и их поляризационные свойства в поле нелинейной плоской ГВ. Исследование проведено на примере объектов трех типов: индивидуальной частицы, для которой решаются уравнения динамики, пары частиц, для которых введены в рассмотрение и проинтегрированы обобщенные уравнения отклонения, и системы многих частиц со сштном, описание которой строится в рамках релятивистской кинетической теории на расширенном за счет введение в рассмотрение дополнительных спиновых степеней свободы фазовом пространстве.

В качестве базовых моделей используются минимальное и неминимальное обобщения уравнений БМТ, описывающих динамику заряженной частицы и эволюцию вектора поляризации с учетом аномального магнитного момента. При работе в рамках неминимального обобщения мы ограничились случаем, когда электромагнитное поле отсутствует. Это позволяет найти точные решения уравнений эволюции частицы со спином в гравитационном поле, которое входит в уравнение динамики частицы и в уравнение эволюции вектора поляризации в виде метрики, связности и тензора кривизны.

В результате проведенного исследования выявлен характер изменения поляризационных свойств релятивистских частиц со спином и систем таких частиц под воздействием гравитационного излучения. В частности, найдены инвариантные критерии прихода ГВ, основанные на изменении поляризационных свойств релятивистских частиц со спином. Кроме того, в рамках неминимального обобщения найдена и изучена гравитационно-индуцированная зависимость динамики релятивистских частиц со спином и их систем от поляризационных свойств.

Исследование эволюции релятивистских частиц со спином в поле гравитационного излучения имеет дальнейшие перспективы. В качестве базовых уравнений динамики могут быть рассмотрены более сложные неминимальные модели, учитывающие электромагнитное поле. Такие уравнения известны, но решения их в поле нелинейной ГВ пока не найдены. В качестве систем частиц со спином могут быть рассмотрены поляризованные пучки, что даст возможность детально исследовать изменения поляризационных свойств частиц со спином в поле ГВ, которые, очевидно, будут различными для разных типов пучков и их начальной поляризации.

ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. В рамках минимального обобщения модели Баргманна-Мшпеля-Телегди найдены точные решения эволюционных уравнений, описывающие динамику поляризации релятивистской частицы со спином в магнитном поле и поле периодического гравитационного излучения. Показано, что прецессия вектора поляризации сопровождается параметрическими осцилляциями.

2. Найдены точные решения эволюционных уравнений для релятивистской частицы со спином и аномальным магнитным моментом в плосковолновых периодических гравитационном и электромагнитном полях. Показано, что наряду с геодезической прецессией вектор поляризации испытывает индуцированные внешними полями двояко-периодические осцилляции.

3. Найдены точные решения неминимальных уравнений эволюции частицы со спином с учетом аномального взаимодействия спина и кривизны на фоне нелинейной плоской гравитационной волны; показано, что аномальное взаимодействие спина и кривизны порождает новый тип прецессии вектора поляризации, названный гиперболической прецессией.

4. Построено обобщение теории геодезического отклонения для двух частиц со спином во внешнем поле и найдены точные решения обобщенных уравнений девиации па фоне нелинейной плоской гравитационной волны.

5. В рамках обобщенной релятивистской кинетической теории, сформулированной для двенадцатимерной функции распределения, заданной на расширенном фазовом пространстве, найдены и исследованы точные решения эволюционных уравнений и макроскопические сред-

ние величины для систем массивных и безмассовых частиц со спином, который рассматривается как дополнительная векторная степень свободы при усреднении по статистическому ансамблю.

6. Предложена и исследована точно интегрируемая 13-мерная кинетическая модель, в которой параметр, описывающий взаимодействие спина и кривизны, ассоциируемой с полем гравитационного излучения, имеет статус стохастической переменной.

7. Построена точно интегрируемая модель для фотонов в поле гравитационного излучения, описывающая известное в электродинамике явление - двойное лучепреломление, индуцированное кривизной.

ПУБЛИКАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ

Основные результаты работы опубликованы в следующих статьях и тезисах докладов:

[1] Курбанова, В. Р. Приливные взаимодействия и поляризация бозонов в поле гравитационного излучения / В. Р. Курбанова, А. Б. Ба-лакин // Новейшие проблемы теории поля. 1998 / ред.: проф. А. В. Аминова - Казань : Канцлер, 1999. - С. 204-210.

[2] Курбанова, В. Р. Поляризационно-приливные взаимодействия, индуцированные полем гравитационной излучения // В. Р. Курбанова // Труды общефакультетского научного физического семинара студентов - Казань, 1999. — С. 66—71.

[3] Курбанова, В. Р. Об аномальном взаимодействии спина с кривизной / В. Р. Курбанова // Труды общефакультетского научного физического семинара студентов - Казань, 2000. - С. 59-64.

[4] Kurbanova, V. R. Polarization-tidal phenomena in bozon systems in the field of gravitational radiation / V. R. Kurbanova // Новейшие проблемы теории поля. 1999-2000 / ред.: проф. А. В. Аминова -Казань: Хэтер, 1999. - С. 182-191.

[5] Balakin, A. Relativistic dynamics of vector bosons in the field of gravitational radiation / A. Balakin, V. Kurbanova // Foundations of Physics. - 2001. - V. 31. - № 7. - P. 1039-1049.

[6] Kurbanova, V. R. Dynamic model for birefringence induced by curvature / V.R. Kurbanova, A. B. Balakin// Spacetime & Substance. -2001. - V. 2. - № 2. - P. 82-83.

[7] Balakin, A. Precession of a particle with anomalous magnetic moment in electromagnetic and gravitational pp-wave fields / A. Balakin, V. Kurbanova, W. Zimdahl // Gravitation & Cosmology. - 2002. -V. 8. - Suppl. 2. - P. 6-9.

[8] Balakin, A. B. Parametric phenomena of the particle dynamics in a periodic gravitational wave field / Alexander B. Balakin, Veronika R. Kurbanova, Winfried Zimdahl // Journal of Mathematical Physics. - 2003. - V. 44. - № 11. - P. 5120-5140.

[9] Балакин, А. Б. Кинетический подход к описанию приливных явлений в электродинамических системах / А. Б. Балакин, В. Р. Кур-банова // Сб. науч. тр. Пятой Российской конференции по атмосферному электричеству : в 2 т. Т. 2 / редкол.:.к.ф.-м.н., доц. Л. В. Грунская и др. - Владимир: Транзит Икс, 2003. - С. 13-16.

[10] Balakin, A. Anomalous polarization-curvature interaction in a gravitational-wave field / Alexander Balakin, Veronika Kurbanova // Gravitation & Cosmology. - 2004. - V. 10. - № 1-2. - P. 98-106.

[11] Курбанова, В. Р. Приливные взаимодействия и поляризация бозонов в поле гравитационного излучения / Курбанова В.Р., Бала-кин А.Б // Тез. докл. X Международной школы-семинара "Волга -10'98" по современным проблемам теоретической и математической физики - Казань, 1998. - С. 34-36.

[12] Курбанова, В. Р. Гравитационное излучение и приливные явления в массивной электродинамике (кинетический подход к проблеме) / Курбанова В.Р., Балакин А. Б. // Тез. докл. V Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых ВНКСФ-5. - Екатеринбург, 1999. - С. 385-387.

[13] Курбанова, В. Р. Поляризационно-приливные взаимодействия, индуцированные полем гравитационного излучения / В. Р. Курба-нова // Тез. докл. XI Международной школы-семинара "Волга-11'99" по современным проблемам теоретической и математической физики - Казань, 1999. - С. 46-47.

[14] Курбанова, В. Р. Эволюция поляризационных свойств фотонных систем под действием гравитационного излучения / В. Р. Курба-нова // Тез. докл. студенческой научной конференции физического факультета КГУ. - Казань, 2000. - С. 16.

[15] Kurbanova, V. R. Polarization-tidal model ofbirefringence in the gravitational wave field / V. Kurbanova // Гравитация, космология и релятивистская астрофизика "GRAV2000" : программа конференции и тез. докл. - Харьков, 2000 - С. 25..

[16] Курбанова, В. Р. Гравитационное излучение и скрытые взаимодействия в многочастичных системах / В. Р. Курбанова // Тез. докл. студенческой научной конференции физического факультета

КГУ. - Казань, 2001. - С. 21.

[17] Kurbanova, V. Kinetics of photons in a gravitational wave background / V. Kurbanova // Тез. докл. XIII Международной школы-семинара "Волга-2001" по современным проблемам теоретической и математической физики. - Казань, 2001. - С. 94-95.

[18] Kurbanova, V. Gravitational radiation and hidden interactions in mul-tipartial systems / V. Kurbanova // "Geometrization of physics V" : Abstracts of Contributed papers. - Kazan, 2001. - P. 23.

[19] Kurbanova, V. Evolution of relativistic many-particle systems with supplementary degrees of freedom in a gravitational radiation background / V. Kurbanova // Abstracts of Contributed Papers. V International Conference on Gravitation and Astrophysics of Asian-Pacific Countries. - Moscow, 2001. - P. 17-18.

[20] Курбанова, В. Р. Эволюция релятивистских многочастичных систем со скрытыми взаимодействиями в поле гравитационного излучения / Курбанова В. Р // Тез. докл. итоговой конференции Республиканского конкурса научных работ среди студентов и аспирантов на соискание премии им. Н.И. Лобачевского : в 2 т. Т 1. -Казань, 2002 - С. 207-208.

[21] Курбанова, В. Кинетическое описание эволюции фотонов в гравитационно-волновом поле / В. Курбанова // Тез. докл. XV Международной школы-семинара "Волга-2003" по современным проблемам теоретической и математической физики. - Казань, 2003. -С. 30.

Отпечатано в типографии Издательского центра Казанского государственного университета им. В.И.Ульянова-Ленина Тираж 130 экз. Заказ 9/45 420008, г. Казань, ул. Университетская, 17 тел.38-05-96

Р 169Ю

Введение

1 Частицы со спином во внешнем поле: способы математического описания и исторические сведения

1.1 Частица со спином во внешнем поле.

1.1.1 Классическая теория спина в рамках специальной и общей теории относительности

1.1.2 Связь классической и квантовой теории спина.

1.1.3 Классическая теория спина в рамках общей теории относительности

1.2 Девиация мировых линий частиц во внешнем поле

1.2.1 Уравнение геодезического отклонения для свободных бесструктурных частиц

1.2.2 Обобщение уравнения геодезического отклонения на случай заряженных частиц в электромагнитном поле

1.3 Кинетическое описание системы релятивистских частиц с дополнительными степенями свободы

1.3.1 Релятивистское кинетическое уравнение

1.3.2 Релятивистское кинетическое уравнение на расширенном фазовом пространстве.

1.4 Поле гравитационного излучения и электромагнитное поле, наследующее его симметрию.

1.4.1 Нелинейная плоская гравитационная волна.

1.4.2 Примеры точных решений уравнений электродинамики на фоне нелинейной плоской гравитационной волны

2 Частицы со спином в электромагнитном поле, наследующем симметрию гравитационно-волнового фона

2.1 Динамика отдельно взятой частицы со спином и ее вектора поляризации во внешних гравитационно-волновом и электромагнитном полях.

2.1.1 Эволюционные уравнения частицы со спином во внешних гравитационном и электромагнитном полях в терминах 4-векторов скорости и поляризации.

2.1.2 Точные решения уравнений Баргманна-Мишеля-Телегди для плосковолновых гравитационного и электромагнитного полей.

2.1.3 Точные решения уравнений Баргманна-Мишеля-Телегди в продольном магнитном поле на плосковолновом гравитационном фоне.

2.2 Девиация мировых линий частиц со спином и отклонение вектора поляризации во внешних гравитационно-волновом и электромагнитном полях.

2.2.1 Обобщение теории девиации на случай частиц с дополнительной векторной степенью свободы во внешних гравитационном и электромагнитном полях

2.2.2 Точные решения обобщенных уравнений девиации в плосковолновых гравитационном и электромагнитном полях.

2.2.3 Точные решения обобщенных уравнений девиации в продольном магнитном поле на плосковолновом гравитационном фоне.

2.3 Кинетика системы частиц со спином во внешних электромагнитном и гравитационном плосковолновых полях

2.3.1 Решение уравнений характеристик.

2.3.2 Преобразование элемента объема расширенного фазового пространства

2.3.3 Модельная функция распределения.

2.3.4 Макроскопические моменты функции распределения

2.3.5 Обсуждение результатов.

3 Частицы со спином в гравитационно-волновом поле

3.1 Уравнения эволюции частицы со спином в гравитационном поле.

3.1.1 Уравнения эволюции массивной частицы со спином в гравитационном поле.

3.1.2 Уравнения эволюции фотона в гравитационном поле

3.2 Точные решения уравнений эволюции частицы со спином в гравитационно-волновом поле.

3.2.1 Ключевая система уравнений

3.2.2 Точные решения ключевой системы уравнений

3.2.3 Анализ точных решений полной системы эволюционных уравнений.

3.2.4 Модель со стохастической константой аномального взаимодействия спина с кривизной.

3.2.5 Обсуждение результатов.

3.3 Девиация мировых линий фотонов и отклонение вектора поляризации в поле гравитационного излучения.

3.3.1 Обобщенные уравнения отклонения мировых линий фотонов и уравнения отклонения поляризации в отсутствие аномального взаимодействия спина с кривизной

3.3.2 Точные решения обобщенных уравнений девиации

3.3.3 Обсуждение результатов.

3.4 Кинетическое описание системы частиц со спином во внешнем гравитационно-волновом поле

3.4.1 Решение уравнений характеристик.

3.4.2 Преобразование элемента объема расширенного фазового пространства.

3.4.3 Модельная функция распределения.

3.4.4 Макроскопические моменты функции распределения

3.4.5 Обсуждение результатов.

3.5 Кинетическое описание системы фотонов во внешнем поле гравитационной волны.

3.5.1 Решение уравнений характеристик.

3.5.2 Преобразование элемента объема расширенного фазового пространства.

3.5.3 Модельная функция распределения.

3.5.4 Моменты функции распределения

3.5.5 Обсуждение результатов.

Гравитационное излучение, теоретическое предсказание существования которого пока не нашло прямого экспериментального подтверждения, является перспективным объектом теоретических исследований. Интерес к гравитационным волнам вызван, во-первых, тем, что пространства-времена плосковолнового типа представляют один из типов физического вакуума, и поэтому часто используются в качестве фонового поля при решении различных задач как в классической (см., например, [1-4] так и в квантовой теории [5, 6]. Во-вторых, по гравитационному излучению сложных астрофизических объектов можно реконструировать гравитационные поля, создаваемые этими объектами и, следовательно, структуру самих источников излучения [7, 8]. В-третьих, теоретические исследования взаимодействия гравитационных волн с материальными средами и полями как на самой Земле, так и на всем пути их распространения от источника до земной поверхности чрезвычайно важны для обоснования экспериментов по обнаружению гравитационного излучения [9, 10]. Положительный результат таких экспериментов станет еще одним подтверждением правильности общей теории относительности и откроет новый канал получения информации об удаленных участках Вселенной [8]. На данный момент главным источником информации об объектах за пределами Солнечной системы являются электромагнитные волны различного диапазона. Согласно теоретическим предсказаниям, гравитационное излучение оказывает влияние и на них, изменяя как поляризацию, так и энергию фотонов, причем под воздействием гравитационного излучения энергия начинает зависеть от поляризации фотонов. Такое явление получило названия двойного лучепреломления, индуцированного кривизной [11, 12]. Оно является примером того, что нестационарные гравитационные поля вообще и поле гравитационного излучения в частности индуцируют неравновесные явления в системах частиц, снимая вырождение по скрытым параметрам взаимодействий, присутствующим в системе изначально [13-16]. К скрытым параметрам относится и спин. Учет спиновых степеней свободы в динамике частицы в гравитационном поле приводит к неминимальному обобщению уравнений движения частицы, т.е. вовлекает в рассмотрение тензор кривизны, его свертки и производные. Неминимальное описание спин-гравитационного взаимодействия элементарных частиц, вообще говоря, противоречит принципу эквивалентности Эйнштейна [17, 18]. Поэтому экспериментальное исследование поведения элементарных частиц со спином в гравитационно-волновых полях явилось бы одновременно и проверкой принципа эквивалентности [19, 20]. В связи с вышесказанным исследование эволюции частиц со спином в гравитационно-волновом поле является актуальной задачей.

Спин - это собственный момент количества движения элементарных частиц, не связанный с перемещением частицы как целого [21]. Спином называют также собственный момент количества движения составной частицы, ведущей себя в том или ином рассматриваемом круге явлений как элементарная. Это может быть, например, атомное ядро или атом - в этом случае спин определяется как векторная сумма спинов элементарных частиц, образующих систему, и орбитальных моментов этих частиц, обусловленных их движением внутри системы [21]. Проекция спина на любое фиксированное направление в пространстве может принимать дискретный ряд значений, который задается спиновым квантовым числом s, которое часто называют просто спином. Частица со спином s может находиться в 2s + 1 спиновых состояниях, что эквивалентно наличию у нее дополнительных внутренних степеней свободы [21]. Спиновое квантовое число может принимать положительные целые и полуцелые значения, включая 0. Оно является неизменным для каждой частицы. Частицы со спином, равным нулю, называют скалярными, со спином 1/2 - спинорными, со спином 1 - векторными, со спином 3/2 - спин-векторными, со спином 2 - тензорными [22].

Собственному моменту количества движения пропорционален собственный магнитный момент частицы, являющийся измеряемой величиной [21]. Со спином частицы и его направлением в пространстве связано и понятие поляризации частиц и ансамблей частиц, которую также можно измерить. Поляризация фотонов, например, измеряется с помощью различных поляризационных приборов, простейшими из которых являются оптические призмы, а для измерения поляризации электронов используются метод вну-трипучкового рассеяния, метод аннигиляции, метод комптоновского рассеяния и др. [23, 24].

Спин элементарных частиц имеет квантовую природу и измеряется в единицах постоянной Планка Н. Существует, тем не менее, классическая теория спина, которая является пределом квантовой теории при h —> О [25]. Классическая теория спина стала развиваться около века назад, примерно в одно время с квантовой теорией, но долгое время - независимо от последней. Несмотря на быстрое и успешное развитие квантовой теории спина, классическая теория спина оказалась не менее востребованной в связи с удобством в интерпретации поляризационных эффектов и определении фундаментальных постоянных [25].

Как отметил Л.Г.Томас в работе [26], впервые движение электрона "с осью" рассматривал подробно М.Абрагам [27]. Сам Л.Г.Томас был первым, кто применил элементы специальной теории относительности к классической теории спина [26]. Однако систематические основы релятивистской классической теории спина были заложены советскими физиками Я.И.Френкелем и И.Е.Таммом. Теория Я.И.Френкеля [28] была построена на основе тензора магнитного момента, пропорционального тензору спина. Тремя годами позже И.Е.Тамм [29] построил классическую теорию спина, основываясь на векторе спина. Впоследствии было показано, что теории, построенные на основе вектора спина и тензора спина, эквивалентны [25].

После открытия аномального магнитного момента уравнение, полученное Я.И.Френкелем для спина, было обобщено Г.К.Корбеном [30]. Однако само понятие аномального магнитного момента в классическую теорию спина впервые было введено В.Баргманном, Л.Мишелем и В.Л.Телегди [31], исследовавшими прецессию спина в однородном стационарном магнитном поле, для которого уравнения Френкеля-Корбена и уравнения Баргманна-Мишеля-Телегди совпадают.

Уравнения Баргманна-Мишеля-Телегди представляют собой наиболее простые уравнения динамики частицы и ее вектора поляризации, учитывающие аномальный магнитный момент. Изучение спиновой прецессии на основе классического уравнения Баргманна-Мишеля-Телегди позволило с большой точностью измерить аномальный магнитный момент электрона и других легких частиц [25].

Хорошее соответствие теории в приближении Баргманна-Мишеля-Телегди и эксперимента привело к тому, что эти уравнения приобрели статус "тестовых" уравнений. Уравнения Баргманна-Мишеля-Телегди стали использоваться в качестве одного из критериев правильности того или иного подхода к получению уравнений динамики частицы со спином. Неоднократно предлагались различные лагранжевы и гамильтоновы подходы (см., например, [32-41]) к получению уравнений динамики пробных частиц со спином и аномальным магнитным моментом во внешних полях, авторы которых стремились к тому, чтобы дать наиболее полное описание динамики частицы со спином и ее поляризации в различных внешних полях. Обобщенные уравнения Баргманна-Мишеля-Телегди строились, например, для того, чтобы учесть силу реакции излучения реальных фотонов при исследовании явления радиационной поляризации электронов [24].

В уравнениях, полученных Я.И.Френкелем, [28], учитывалось, в принципе, и гравитационное поле. Однако Френкель считал, что добавочный член, связанный с гравитационным полем, есть бесконечно малая величина по сравнению с членом, описывающем электромагнитное поле, и даже не упоминал о том факте, что его уравнения отличаются от первого закона Ньютона для свободной частицы. По сути, динамика релятивистской частицы, обладающей внутренним моментом количества движения, во внешнем гравитационном поле впервые рассматривалась в 1937 году выдающимся польским ученым Мироном Матиссоном [42, 43], работавшем в Казанском университете конце 30-х годов. После Второй Мировой войны работы Матиссона были развиты А.Раабе и Яном Вейсенхофом [44-48] (о Ма-тиссоне, Раабе и Вейсенхофе, а также их исследовании динамики частиц со спином можно прочитать в работе П.А.Хорвати [49]). А в 1951г. А. Папапе-тру [50], используя метод Фока для вывода уравнений движения, показал, что релятивистская частица с внутренним моментом движется не по геодезической, и в результате переоткрыл уравнения Матиссона, которые с тех пор получили большую известность под названием "уравнения Папа-петру", хотя последнее время их все чаще называют уравнениями "Матиссона, Палапетру и других" [51], или "Матиссона-Папапетру-Диксона" [52]. В.Г.Диксон [53-56] разрабатывал концепцию мулътиполъных моментов, являющуюся естественным обобщением концепции "частица+вектор", которая использовалась для описания частицы со спином в рамках классической теории. Следует отметить, что понятие о "мультипольных частицах", аналогичное концепции мультипольных моментов, было введено ранее В.Тульчиевым [57]. Концепция мультипольных моментов применялась, например, для исследования движения пробных заряженных частиц со спином во внешнем поле Рейснера-Нордстрема [58] и при обсуждении движения протяженных объектов в гравитационном поле, создаваемом самими мультипольными объектами [59].

Уравнения, аналогичные уравнениям Матиссона-Папапетру, были получены А.Бардуччи, Р.Касалбуони, Л.Люсанной [60] и Ф.Равндалом [61] с помощью грассмановых переменных. И.Б. Хриплович [62] дал один из самых простых и общих выводов уравнений движения релятивистской частицы, обладающей внутренним моментом количества движения, во внешнем гравитационном поле. Он показал, что добавочная сила, делающая движение частицы негеодезическим, является гравитационным аналогом силы Лоренца. Свой вклад в изучение динамики спина в рамках общей теории относительности внес французский математик Ж.-М.Сурьо [63-66]. Он вывел уравнения динамики частицы со спином во внешних полях на основе вариационного принципа. В отличие от уравнений Матиссона-Папапетру, изначально полученных в терминах вектора скорости, Ж.-М.Сурьо получил уравнения в терминах вектора обобщенного импульса, который в общем случае мультипольных частиц не коллинеарен вектору скорости [63].

В последнее время широкий интерес вызывают исследования динамики частиц со спином в поле гравитационного излучения [67-76]. К.Клейдис, Х.Варвоглис, Д.Пападопулос и А.Анастасиадис [67, 68], изучая резонансное взаимодействие заряженных частиц, движущихся в однородном магнитном поле, с плоской поляризованной гравитационной волной, показали, что компоненты четырехмерных векторов скорости и спина подвержены резонансу, который перестает иметь место в отсутствие гравитационной волны. Это явление было подтверждено результатами исследования взаимодействия гравитационных волн со спин-частицами в присутствие однородного магнитного поля, сделанного позднее Д.Пападопулосом [76]. Изучая рассеяние частиц обычными [70] и ударными [71] гравитационными волнами, Дж.Джемелли показал, в частности, что в движении дипольной частицы, т.е. частицы со спином, в поле гравитационной волны, имеется неустранимая особенность [70]. Изучением рассеяния незаряженных частиц со спином плоскими гравитационными и электромагнитными волнами занимались С.Кессари, Д.Сингх, Р.Такер и Ч.Вонг [52]. Они брали в качестве фоновой метрики общее волновое решение уравнений Эйнштейна-Максвелла и нашли точные решения уравнений динамики. Также М.Мох-сени, Р.Такер и Ч.Вонг [73] исследовали динамику частиц со спином на фоне гравитационной волны произвольной поляризации. Им удалось свести систему уравнений динамики к одному уравнению типа Матье-Хилла. Они показали, что частицы со спином могут испытывать параметрическое возбуждение в поле гравитационной волны.

Наряду с исследованиями частиц со спином в рамках классической теории гравитации, в ряде работ используется описание частицы со спином в поле гравитационной волны в рамках квантовой теории [77-79]. Такое описание строится на основе решений уравнений релятивистской квантовой теории на заданном фоне, в качестве которого расматривается фоновое гравитационно-волновое поле. Квантовая теория поля на искривленном пространстве-времени представляет собой некоторое приближение пока не существующей строгой квантовой теории гравитации [80]. Применение этой теории к исследованию частиц со спином и спинорных полей, можно найти во множестве работ (см., например, [81-93]). Ряд работ В.А.Фока и Д.Д.Иваненко [81-85], опубликованных в различных журналах в 1929г., посвящен геометризации квантовой теории и, в частности, уравнению Дирака в рамках общей теории относительности [85]. В работах А.А. Соколова и Д.В.Гальцова с соавторами [86, 87] расматривается излучение релятивистских частиц в гравитационных полях. Разделению переменных в уравнении Дирака в пространствах Штеккеля посвящен ряд работ В.Г.Багрова, А.В.Шаповалова и А.А.Евсеевича [89-91].

При движении двух и более частиц, оказавшихся по соседству в искривленном пространстве-времени, возникает девиация (отклонение) их мировых линий [94]. Уравнения девиации частиц на фоне гравитационно-волнового поля также, как и динамика отдельных частиц, являются сейчас объектом пристального внимания [95-100]. С одной стороны, они представляют собой способ описания систем частиц во внешнем гравитационном поле [100], с другой стороны - являются инструментом для изучения геометрии внешнего гравитационного-волнового поля [95-99]. Поскольку отклик системы частиц на внешнее воздействие сложнее и многообразнее, чем отклик отдельно взятой частицы, то и девиация мировых линий системы частиц в гравитационно-волновом поле дает больше информации об этом поле, чем динамика отдельно взятой частицы. Дополнительные внутренние степени свободы также расширяют круг явлений, возникающих в системе частиц в поле гравитационной волны [3], вследствие чего исследование девиации частиц с дополнительными степенями свободы, к которым относится и спин, являются перспективными в плане применения их к детектированию гравитационных волн [101]. Об экспериментах по измерению параметров гравитационного взаимодействия путем точного слежения за относительным движением двух пробных тел см., например, работы [102, 103].

Следуя логике "чем сложнее система, тем сложнее и многообразнее ее отклик на внешнее воздействие", получаем, что наиболее перспективными с точки зрения изучения воздействия гравитационно-волнового поля являются многочастичные системы. Чем сложнее структура этих систем и входящих в нее частиц, тем больше различных явлений возникает в таких системах под воздействием гравитационно-волнового поля. Соответственно, поведение таких систем в поле гравитационного излучения может дать нам наиболее полную информацию об этом излучении. В Казани на кафедре теории относительности и гравитации КГУ в начале 80-х годов стало развиваться новое направление по изучению эволюции релятивистской плазмы на фоне нелинейной плоской гравитационной волны, инициаторами которого стали сотрудники кафедры Ю.Г. Игнатьев и Г.Г.Иванов. Этой теме посвящен ряд работ [104-123] Ю.Г.Игнатьева, Г.Г.Иванова, А.Б.Балакина, В.Ю.Шуликовского, А.А.Попова, Н.Р.Хуснутдинова и других. Эти работы в совокупности дают всесторонний анализ эволюции релятивистских плаз-моподобных систем в поле нелинейной плоской гравитационной волны. В последние годы тема эволюции релятивистской плазмы в поле гравитационной волны стала разрабатываться и за рубежом [124-126]. Общие закономерности формирования отклика релятивистских иерархических систем, в том числе и с дополнительными степенями свободы, на воздействие поля гравитационного излучения были сформулированы А.Б.Балакиным в его докторской диссертации [127].

Целью диссертационной работы является исследование динамики релятивистских частиц со спином и их поляризационных свойств в поле нелинейной плоской гравитационной волны. Исследование заключается в решении следующих трех задач:

• Найти точные решения модельных уравнений динамики релятивистской частицы со спином и эволюции ее вектора поляризации в поле нелинейной плоской гравитационной волны.

• Построить обобщение теории геодезического отклонения для двух частиц со спином во внешнем поле и найти точные решения обобщенных уравнений девиации на фоне нелинейной плоской гравитационной волны.

• В рамках кинетической теории на расширенном фазовом пространстве построить одночастичную функцию распределения как решение релятивистского кинетического уравнения, обобщенного на случай частиц со спином во внешнем поле, а также найти ее макроскопические моменты.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, трех приложений и списка литературы.

Заключение

Целью настоящей работы являлось исследование динамики релятивистских частиц со спином и их поляризационных свойств в поле нелинейной плоской гравитационной волны. В ходе исследования были выявлены следующие особенности динамики частиц и их поляризационных свойств в поле гравитационного излучения.

1. Снятие вырождения по скрытым степеням свободы

Взаимодействие спина с кривизной пространства-времени, ассоциируемой с гравитационно-волновым полем, приводит к снятию вырождения по спиновым степеням свободы. Это проявляется в зависимости энергии одной частицы (3.44) от начальных значений вектора поляризации и макроскопических параметров системы (3.66), (3.67) от типа поляризации. Вследствие неминимального взаимодействия поляризации фотонов с кривизной энергия фотона (3.45) зависит от двух параметров, определяющих его поляризацию, в связи с чем можно говорить о явлении двойного лучепреломления, индуцированного кривизной.

2. Инвариантные критерии, свидетельствующие о приходе гравитационной волны

Появление зависимости энергии массивных частиц от их параметров поляризации и двойное лучепреломление в системе фотонов, индуцированное кривизной, можно рассматривать как критерий прихода гравитационного излучения. Для системы частиц со спином существуют скалярные величины (инварианты), построенные с помощью вектора поляризации, которые равны нулю в отсутствие гравитационной волны и становятся ненулевыми с ее приходом [см. формулы (2.128) и (3.88)]. Таким образом, поляризационные характеристики дают инвариантные критерии, свидетельствующие о приходе гравитационной волны.

3. Прецессия вектора поляризации

В результате исследования были выявлены три типа прецессии вектора поляризации во внешнем поле нелинейной плоской гравитационной волны: геодезическая прецессия, прецессия, обусловленная наличием аномального магнитного момента и гиперболическая прецессия, возникающая в случае аномального взаимодействия спина с кривизной.

• Минимальное взаимодействие спина с кривизной пространства-времени, порожденной полем нелинейной гравитационной волны, в которой присутствуют обе поляризации, приводит к геодезической прецессии вектора поляризации [см. формулы (2.34), (2.30) и (2.31)].

• В плосковолновых гравитационном и электромагнитном полях при наличии у частицы аномального магнитного момента возникает дополнительная прецессия вектора поляризации. Согласно формулам (2.44) и (2.46), вектор поляризации вращается с частотой (2.40), которая пропорциональна величине аномального магнитного момента и зависит от параметров как электромагнитной, так и гравитационной волн, являясь, таким образом, двоякопериодической функцией, т.е. она зависит от периодов функций, описывающих как гравитационную, так и электромагнитную волны. В случае отсутствия аномального магнитного момента эта прецессия исчезает. В случае отсутствия гравитационного поля эта прецессия остается, но ее частота уже не является двоякопериодической функцией, а определяется лишь периодом электромагнитной волны.

• Аномальное взаимодействие спина с кривизной приводит к возникновению гиперболической прецессии вектора поляризации, описываемой формулами (3.29)-(3.30). Частота этой прецессии (3.22) пропорциональна константе аномального взаимодействия спина с кривизной. Гиперболическая прецессия означает поворот вектора на конечный угол за конечный промежуток запаздывающего времени.

Положения, выносимые на защиту

1. В рамках минимального обобщения модели Баргманна-Мишеля-Телег-ди найдены точные решения эволюционных уравнений, описывающие динамику поляризации релятивистской частицы со спином в магнитном поле и поле периодического гравитационного излучения. Показано, что прецессия вектора поляризации сопровождается параметрическими осцилляциями.

2. Найдены точные решения эволюционных уравнений для релятивистской частицы со спином и аномальным магнитным моментом в плосковолновых периодических гравитационном и электромагнитном полях. Показано, что наряду с геодезической прецессией вектор поляризации испытывает индуцированные внешними полями двояко-периодические осцилляции.

3. Найдены точные решения неминимальных уравнений эволюции частицы со спином с учетом аномального взаимодействия спина и кривизны на фоне нелинейной плоской гравитационной волны; показано, что аномальное взаимодействие спина и кривизны порождает новый тип прецессии вектора поляризации, названный гиперболической прецессией.

4. Построено обобщение теории геодезического отклонения для двух частиц со спином во внешнем поле и найдены точные решения обобщенных уравнений девиации на фоне нелинейной плоской гравитационной волны.

5. В рамках обобщенной релятивистской кинетической теории, сформулированной для двенадцатимерной функции распределения, заданной на расширенном фазовом пространстве, найдены и исследованы точные решения эволюционных уравнений и макроскопические средние величины для систем массивных и безмассовых частиц со спином, который рассматривается как дополнительная векторная степень свободы при усреднении по статистическому ансамблю.

6. Предложена и исследована точно интегрируемая 13-мерная кинетическая модель, в которой параметр, описывающий взаимодействие спина и кривизны, ассоциируемой с полем гравитационного излучения, имеет статуе стохастической переменной.

7. Построена точно интегрируемая модель для фотонов в поле гравитационного излучения, описывающая известное в электродинамике явление -двойное лучепреломление, индуцированное кривизной.

1. Balakin, А. В. An exactly integrable model of evolution of relativistic isospin system in the field of gravitational radiation / A. B. Balakin, F. G. Suslikov // C. R. Acad. Sci. Paris. Serie lib. 1997. - T. 324. -№ 10. - P. 619-626.

2. Balakin, A. B. Optical activity induced by curvature in a gravitational wave background / Alexander B. Balakin, Jose P. S. Lemos // Class. Quantum Grav. 2002. - V. 19. - № 17. - P. 4897-4908.

3. Balakin, A. B. Motions and worldline deviations in Einstein-Maxwell theory / A. Balakin, J.-W. van Holten, R. Kerner // Class. Quantum Grav. -2000. V. 17. - № 24. - P. 5009-5023.

4. Barducci, A. Scalar and spinning particles in a plane wave field / A. Bar-ducci, R. Giachetti //J. Phys. 2003. - V. A 36. - P. 8129-8140.

5. Bicak, J. Selected solutions of Einstein's field equations: their role in general relativity and astrophysics / Jiri Bicak // Lect. Notes Phys. 2000. -V. 540. - P. 1-126.

6. Chu, C.-S. A note on string interaction on the pp-wave background / C.-S. Chu, V. V. Khose, M. Petrini, R. Russo, A. Tanzini // Class. Quant. Grav. 2004. - V. 21. - P. 1999-2009.

7. Schutz, B. F. Gravitational waves, sources and detectors / Bernard F. Schutz, Franco Ricci // Gravitational waves / Eds.: I. Ciufolini, V. Gorini, U. Moschella, P. Pre. London, 2001. - P. 11-88.

8. Centrella, J. M. What can we learn about cosmic structure from gravitational waves? / Joan M. Centrella // AIP Conf. Proc. 2003. - V. 666. -№ 1. - P. 337-346.

9. Pizzella, G. Gravitational-wave detectors / Guido Pizzella, Angela Di Vir-gilio, Peter Bender, Francesco Fucito // Gravitational waves / Eds.: I. Ciu-folini, V. Gorini, U. Moschella, P. Pre. London, 2001. - P. 89-178.

10. Мизнер, Ч. Гравитация : в 3 т. / Ч. Мизнер, К. Торн , Дж. Уиллер. -М. : Мир, 1977. Т. 1. - 474 е., Т. 2. - 525 е., Т. 3. - 510 с.

11. Drummond, I. Т. QED vacuum polarization in a background gravitational field and its effect on the velocity of photons / I. T. Drummond, S. J. Hathrell // Phys. Rev. 1980. - V. D 22. - № 2. - P. 343-355.

12. Balakin, A. B. Gravitational radiation and birefringence induced by curvature / A. B. Balakin // Class. Quantum Grav. 1997. - V. 14. - № 10. -P. 2881-2893.

13. Melnikov, V. N. Spontaneously broken symmetries in gravitational fields / V. N. Melnikov, V. M. Nikolaenko, S. V. Orlov // Gen. Rel. Grav. 1985. -V. 17. - P. 63-88.

14. Балакин, А. Б. О неоднородных структурах, формируемых гравитационно-волновым фоном в релятивистском газовом слое / А. Б. Балакин, A. JI. Трондин // Изв. вузов. Физика. 1991. - № 8. -С. 110-115.

15. Балакин, А. Б. Гравитационно-волновой фон как инициатор образо-t вания продольных структур в релятивистском ограниченном газе /

16. А. Б. Балакин, A. JI. Трондин // Изв. вузов. Физика. 1992. - № 6. -С. 73-78.

17. Балакин, А. Б. Гравитационное излучение и снятие вырождения по скрытым параметрам в релятивистской гидродинамике / А. Б. Балакин, Д. Н. Горохов // Изв. вузов. Физика. 1993. - № 8. - С. 108-111.

18. De Sabbata, V. Theoretical approach to treatment of nonnewtonian forces / V. De Sabbata, V. N. Melnikov, P. I. Pronin // Prog. Theor. Phys. 1992. - V. 88. - P.623-661.

19. Mashhoon, B. Gravitational couplings of intrinsic spin / Bahram Mash-hoon // Class. Quantum Grav. 2000. - V. 17. - № 21. - P.2399-2409.

20. Lafrance R. Gravity's Rainbow: Limits for the applicability of the equivalence principle / Rene Lafrance, Robert C. Myers // Phys. Rev. 1995. -V. D 51. - № 6. - P. 2584-2590.

21. Mohanty, S. Experimental tests of curvature couplings of fermions in General Relativity / S. Mohanty, B. Mukhopadhyay, A. R. Prasanna // Phys. Rev. 2002. - V. D 65. - № 12. - P. 122001-1-122001-3.

22. Ландау, JI. Д. Теоретическая физика : в 10 т. Т. 3. Квантовая механика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц М. : Наука, 1989. - 768 с.

23. Окунь, Л. Б. Физика элементарных частиц / Л. Б. Окунь М. : Наука, 1988. - 272 с.

24. Кесслер, И. Поляризованные электроны / И. Кесслер. М. : Мир, 1988. - 368 с.

25. Тернов, И. М. Радиационная поляризация электронов и позитронов при их движении в накопительных кольцах / И. М. Тернов // Физика элементарных частиц и атомного ядра. 1986. - Т. 17. - Вып. 5. -С. 884-928.

26. Бордовицын, В. А. Спиновые свойства релятивистских частиц / В. А. Бордовицын // Теория излучения релятивистских частиц / В. Г. Багров, Г. С. Бисноватый-Коган, В. А. Бордовицын и др. М. : Физматлит, 2002. - Гл. 2. - С. 81-155.

27. Thomas, L. Н. The kinematics of an electron with an axis / L. H. Thomas // Phil. Mag. 1927. - Ser. 7. - V. 3. - № 13. -P. 1-22.

28. Abraham, M. Prinzipien der Dynamik des Elektrons / M. Abraham // Annalen der Physik. 1903. - Ser. 4. - V.10. - P. 105-179.

29. Frenkel, J. Die elektrodynamik des rotierenden elektrons / J. Frenkel // Zs. Phys. 1926. - Bd. 37. - S. 243-262.

30. Tamm, I. Zur Elektrodynamik des rotierenden elektrons / Ig. Tamm // Zs. Phys. 1929. - Bd. 55. - S. 199-220.

31. Corben, H. C. Spin in classical and quantum theory. / H. C. Corben // Phys. Rev. 1961. - V. 121. - № 6. - P. 1833-1839.

32. Bargmann, V. Precession of the polarization of particles moving in a homogeneous electromagnetic field / V. Bargmann, Louis Michel, V. L. Telegdi // Phys. Rev. Lett. 1959. - V. 2. - № 10. - P. 435-436.

33. Якупов, M. Ш. Ковариантный лагранжев формализм в динамике пробного вращающегося тела / М. Ш. Якупов // Гравитация и теория относительности. Казань : КГУ, 1992. - Вып. 29. - С. 95-106.

34. Good, R.H. Classical equations of motion for a polarized particle in an electromagnetic field / R. H. Good, Jr. // Phys. Rev. 1962. - V. 125. -№ 6. - P. 2112-2115.

35. Bailey, I. Lagrangian dynamics of spinning particles and polarized media in general relativity / I. Bailey, W. Israel // Commun. Math. Phys. -V. 42. -P. 65-82.

36. Hojman, S. Lagrangian theory of the motion of spinning particles in torsion gravitational theories / Sergio Hojman // Phys. Rev. 1978. -V. D 18. - № 8. - P. 2741-2744.

37. Cognola, G. On the Lagrangian formulation of a charged spinning particle in an external electromagnetic field / G. Cognola, L. Vanzo, S. Zebrini, R. Soldati // Phys. Lett. 1981. - V. В 104. - № 1. - P. 67-69.

38. Barducci, A. Pseudoclassical description of relativistic spinning particles with anomalous magnetic moment / A. Barducci // Phys. Lett. 1982. -V. В 118. - № 1-3. - P. 112-114.

39. Balachandran, A.P. Spinning particles in general relativity / A. P. Bal-achandran, G. Marmo, B. S. Skagerstam, A. Stern // Phys. Lett. 1980. -V. В 89. - P. 199-202.

40. Costella, J.P. Electromagnetic deflection of spinning particles / John P. Costella, Bruce H. J. McKellar // Int. J. Mod. Phys. 1994. - V. A 9. -P. 461-474.

41. Chaichian, M. Spinning relativistic particle in an external electromagnetic field / M. Chaichian, R. Gonzalez Felipe, D. Louis Martinez // Phys. Lett. 1997. - V. A 236. - № 3. - P. 188-192.

42. Turakulov, Z. Motion of a vector particle in a curved spacetime. I. La-grangian approach / Zufar Turakulov, Margarita Safonova // Mod. Phys. Lett. 2003. - V. A 18. - P. 579-586.

43. Mathisson, M. Neue mechanik materieller systeme / Myron Mathisson // Acta Phys. Polon. 1937. - V. 6. - № 3 - P. 163-200.

44. Mathisson, M. Das Zitternde Elektron und seine Dynamik / Myron Mathisson // Acta Phys. Polon. 1937. - V. 6. - № 3 - P. 218-227.

45. Weyssenhoff, J. Relativistic dynamics of spin fluids and spin particles / Jan Weyssenhoff, A. Raabe // Acta Phys. Polon. 1947. - V. 9. - № 1. -P. 7-18.

46. Weyssenhoff, J. Relativistic dynamics of spin-particles moving with the velocity of light / Jan Weyssenhoff, A. Raabe // Acta Phys. Polon. -1947. V. 9. - № 1. - P. 19-25.

47. Weyssenhoff, J. Further contributions to the dynamics of spin-particles moving with the velocity smaller than that of light / Jan Weyssenhoff // Acta Phys. Polon. 1947. - V. 9. - № 1. - P. 26-33.

48. Weyssenhoff, J. Further contributions to the dynamics of spin-particles moving with the velocity of light / Jan Weyssenhoff // Acta Phys. Polon. -1947. V. 9. - № 1. - P. 34-45.

49. Weyssenhoff, J. On two relativistic models of Dirac's electron / Jan Weyssenhoff // Acta Phys. Polon. 1947. - V. 9. - № 1. - P. 46-53.

50. Horvathy, P. A. Mathisson' spinning electron: noncommutative mechanics & exotic Galilean symmetry, 66 years ago / P. A. Horvathy // Acta Phys. Polon. 2003 - V. В 34. - P. 2611-2622.

51. Papapetrou, A. Spinning test particles in general relativity. 1 / A. Papa-petrou // Proc. Roy. Soc. bond. 1951. - V. A 209. - P. 248-258.

52. Duval, C. A conformal invariant model of localized spinning test particles. / C. Duval, H.-H. Fliche //J. Math. Phys. 1978. - V. 19. - № 4. -P. 749-752.

53. Kessari, S. Scattering of spinning test particles by plane gravitational and electromagnetic waves / S. Kessari, D. Singh, R. W. Tucker, C. Wang // Class. Quantum Grav. 2002. - V. 19. - № 19. - P. 4943-4952.

54. Dixon, W. G. A covariant multipole formalism for extended test bodies in general relativity / W. G. Dixon // Nuovo Cim. 1964. - V. 34. - № 2. -P. 317-339.

55. Dixon, W. G. Dynamics of extended bodies in general relativity. I. Momentum and angular momentum / W. G. Dixon // Proc. Roy. Soc. bond. 1970. - V. A 314. - № 1519. - P. 499-527.

56. Dixon, W. G. Dynamics of extended bodies in general relativity. II. Moments of the charge current vector / W. G. Dixon // Proc. Roy. Soc. bond. 1970. - V. A 319. - № 1539. - P. 509-547.

57. Dixon, W. G. Dynamics of extended bodies in general relativity / W. G. Dixon // Phil. Trans. Roy. Soc. Lond. 1974. - V. A 277. -P. 59119.

58. Tulczyjew, W. Motion of multipole particles in general relativity theory / W. Tulczyjew 11 Acta Phys. Polon. 1959. - V. 18. - № 5. - P. 393-409.

59. Bini, B. Spinning test particles in general relativity: nongeodesic motion in the Reissner-Nordstrom space-time / Donato Bini, Gianluca Gemelli, Remo Ruffini // Phys. Rev. 2000. - V. D 61. - P. 064013-1-064013-10.

60. Ohashi, A. Multipole particle in relativity / Akira Ohashi // Phys. Rev. -2003. V. D 68. - P. 044009-1-044009-10.

61. Barducci, A. Classical spinning particles interacting with external gravitational fields / A. Barducci, R. Casalbuoni, L. Lusanna // Nucl. Phys. -1977. V. В 124. - № 4. - P. 521-538.

62. Ravndal, F. Supersymmetric Dirac particles in external fields / F. Ravn-dal // Phys. Rev. 1980. - V. D 21. - № 10. - P. 2823-2832.

63. Хриплович, И. Б. Частица с внутренним моментом в гравитационном поле / И. Б. Хриплович // ЖЭТФ. 1989. - Т. 96. - Вып. 2. - С.385-390.

64. Souriau, J.-M. Sur le mouvement des particules a spin en relativite generale / Jean-Marie Souriau // C. R. Acad. Sc. Paris. 1970. -Т. A 271. - № 15. - P. 751-753.

65. Souriau, J.-M. Sur le mouvement des particules dans le champ electromagnetique / Jean-Marie Souriau // C. R. Acad. Sc. Paris. -1970. Т. A 271. - № 21. - P. 1086-1088.

66. Souriau, J.-M. Modele de particule a spin dans le champ electromagnetique et gravitationnel / Jean-Marie Souriau // Ann. Inst. H. Poincaree. 1974 - T. 20. - № 4. - P. 315-364.

67. Duval, Ch. Un modele de particule a spin dans le champ gravitationnel et electromagnetique / Christian Duval, Henri-Hugues Fliche, Jean-Marie Souriau // C. R. Acad. Sc. Paris. 1972. - Т. A 274. - № 13. - P. 10821084.

68. Kleidis, К. Parametric resonant acceleration of particles by gravitational waves / K. Kleidis, H. Varvoglis, D. B. Papadopoulos // Class. Quantum Grav. 1996. - V. 13. - № 9. - P. 2547-2562.

69. Anastasiadis, A. Kinetic description of particle interaction with a gravitational wave / A. Anastasiadis, K. Kleidis, H. Varvoglis // Gen. Rel. Grav. 1997. - V. 29. - № 4. - P. 499-514.

70. Bini, В., Scattering of spinning test particles by gravitational plane waves / B. Bini, G. Gemelli // Nuovo Cim. 1997. - V. В 112. - P. 165171.

71. Gemelli, G. Gravitational waves and discontinuous motions / Gianluca Gemelli // Gen. Rel. Grav. 1997. - V. 29. - № 2. - P. 161-178.

72. Gemelli, G. Dynamical effects of gravitational shock waves / Gianluca Gemelli // Gen. Rel. Grav. 1997. - V. 29. - № 9. - P. 1163-1180.

73. Mohseni, M. Gravitational waves and spinning test particles / M. Mohseni, H. R. Sepangi // Class. Quantum Grav. 2000. - V. 17. -№ 22. - P. 4615-4625.

74. Mohseni, M. On the motion of spinning test particles in plane gravitational waves / M. Mohseni, Robin W. Tucker, Charles Wang // Class. Quantum Grav. 2001. - V. 18 - № 15. - P. 3007-3017.

75. Bini, D. Neutrino current in a gravitational plane wave collision background / Donato Bini, Christian Cherubini, Gianluca Cruciani, Andrea Lunari // Int. J. Mod. Phys. 2003. - V. D 22. - № 10. - P. 1983-2000.

76. Bini, D. Test particle motion in a gravitational plane wave collision background / Donato Bini, Gianluca Cruciani, Andrea Lunari // Class. Quantum Grav. 2003. - V. 20. - № 2. - P. 341-350.

77. Papadopoulos, D. B. Gravitational waves interacting with a spinning charged particle in the presence of a uniform magnetic field / D. B. Papadopoulos // Gen. Rel. Grav. 2004. - V. 36. - № 5. - P. 949-966.

78. Гальцов, Д. В. Излучение гравитационных волн электродинамическими системами / Д. В. Гальцов, Ю. В. Грац, В. И. Петухов М. : МГУ, 1984. - 128с.

79. Villalba, V. М. Exact solutions to the Dirac equation in the presence of an exact gravitational plane wave / Victor M. Villalba // Phys. Lett. -1989. V. A 136. - N.4-5. - P. 197-199.

80. Garriga, J. Scattering of quantum particles by gravitational plane waves / Jaume Garriga, Enric Verdaguer // Phys. Rev. 1991. - V. D 43. - № 2. -P. 391-401.

81. Биррел, H. Квантовые поля в искривленном пространстве-времени / Н. Биррел, П. Дэвис М.: Мир, 1984. - 356 с.

82. Fock, V. A. Uber eine mogliche geometrische Deutung der relattvistischen Quantentheorle / V. A. Fock, D. D. Ivanenko // Zs. Phys. 1929. -Bd. 54. - № 11-12 - S. 798-802.

83. Fock, V. A. Geometrisierung der Diracschen Theorie des Electrons / V. A. Fock // Zs. Phys. 1929. - Bd. 57. - № 3-4. - S. 261-277.

84. Fock, V. A. Zur Quantengeometrie / V. A. Fock, D. D. Ivanenko // Phys. Zs. 1929. - Jg. 30. - № 19. - S. 648-651.

85. Fock, V. A. Geometrie quantique lineare et deplacement parallele / V. A. Fock, D. D. Ivanenko // C. R. Acad. Sci. Paris. 1929. - T. 188. -P. 1470-1472.

86. Fock, V. A. Sur les equation de Dirac dans la theorie de relativite general / V. A. Fock // C. R. Acad. Sci. Paris. 1929, T. 189, № 1. - P. 25-28.

87. Sokolov, A. A. Radiation emitted by relativistic particles moving in the vicinity of the schwarzschild black hole, immersed in an external magnetic field / A. A. Sokolov, D. V. Galtsov, V. I. Petukhov // Phys. Lett. 1978 -V. A 68. - P. 1-2.

88. Sokolov, A. A. Radiation from relativistic particles in a strong gravitational field / A. A. Sokolov, A. N. Aliev, D. V. Galtsov // Vestn. Mosk. Univ., Fiz. 1982. - V. 23. - № 5. - P. 88-91.

89. Rudiger, R. The Dirac equation and spinning particles in general relativity / R. Rudiger // Proc. Roy. Soc. Lond. 1981. - V. A 377. - P. 417-424.

90. Багров, В. Г. Разделение переменных в уравнении Дирака в пространствах Штеккеля / В. Г. Багров, А. В. Шаповалов, А. А. Евсее-вич // Гравитация и теория относительности. Казань : КГУ, 1990. -Вып. 27. - С. 55-79.

91. Bagrov, V. G. Separation of variables in the Dirac equation in Stackel spaces / V. G. Bagrov, A. V. Shapovalov A. A. Yevsyevich // Class.Quantum Grav. -1990. V. 7. - №. 4. - P. 517-531.

92. Bagrov, V. G. Separation of variables in the Dirac equation in Stackel spaces. II. External gauge fields / V. G. Bagrov, A. V. Shapovalov A. A. Yevsyevich // Class.Quantum Grav. -1991. V. 8. - №. 1. - P. 163173.

93. Bezerra de Mello, E. R. Vacuum polarization of a massless spinor field in global monopole spacetime / E. R. Bezerra de Mello, V. B. Bezerra, N. R. Khusnutdinov // Phys. Rev. 1999. - V. D 60. - № 6. - P. 063506-1063506-9.

94. Obukhov, Y. N. Spin, gravity, and inertia / Yuri N. Obukhov Phys. Rev. Lett. 2001. - V. 86. - P. 192-195.

95. Синг, Дж. JI. Общая теория относительности / Дж. JI. Синг М. : ИЛ, 1963. - 432 с.

96. Steinbauer, R. Geodesies and geodesic deviation for impulsive gravitational waves / R. Steinbauer // J. Math. Phys. 1998. - V. 39. - P. 22012212.

97. Kunzinger, M. A rigorous solution concept for geodesic and geodesic deviation equations in impulsive gravitational waves / M. Kunzinger, R. Stein-bauer // J. Math. Phys. 1999. - V. 40. - P. 1479-1489.

98. Podolsky, J. Geodesies in spacetimes with expanding impulsive gravitational waves / Jiri Podolsky, Roland Steinbauer // Phys. Rev. 2003. -V. D 67. - P. 064013-1-064013-13.

99. Kerner, R. Geodesic deviation in Kaluza-Klein theories / Richard Kerner, Jerome Martin, Salvatore Mignemi, Jan-Willem van Holten // Phys. Rev. 2001. - V. D 63. - P. 027502-1-027502-4.

100. Kerner, R. Relativistic epicycles: another approach to geodesic deviations / R. Kerner, J. W. van Holten, R. Colistete Jr. // Class. Quantum Grav. 2001. - V. 18. - № 22. - P. 4725-4742.

101. Mohseni, M. Spinning particles in gravitational wave space-time / Morteza Mohseni // Phys. Lett. 2002. - V. A 301. - P. 382-388.

102. Nieto, J. A. Relativistic top deviation equation and gravitational waves / J. A. Nieto, J. Saucedo, V. M. Villanueva // Phys. Lett. 2003. -V. A312. - P. 175-186.

103. Alekseev, A. D. SEE project for testing gravity in space: current status and new estimates / A. D. Alekseev, K. A. Bronnikov, N. I. Kolosnitsyn, M. Yu. Konstantinov, V. N. Melnikov, A. J. Sanders // Grav. Cosmol. -1999. V. 5. - P. 67-78.

104. Игнатьев, Ю. Г. Нелинейные гравитационные волны в плазме / Ю. Г. Игнатьев, А. Б. Балакин // Изв. вузов. Физика. -1981. Т. 24. -№ 7. - С.20-24.

105. Игнатьев, Ю. Г. Бесстолкновительный газ в поле плоской гравитационной волны / Ю. Г. Игнатьев // ЖЭТФ. 1981. - Т. 81. - № 1(7). -С. 3-12.

106. Балакин, А. Б. О воздействии сильной гравитационной волны на анизотропную плазму / А. Б. Балакин // Изв. вузов. Физика. 1982. -№ 9. - С. 48-52.

107. Игнатьев, Ю. Г. Столкновительная релаксация плазмы в поле плоской гравитационной волны / Ю. Г. Игнатьев, В. Ю. Шуликовский // Изв. вузов. Физика. 1982. - № 10. - С. 85-89.

108. Balakin, А. В. The effect of gravitational wave at the contact of conductors / A. B. Balakin, Yu. G. Ignat'ev // Phys. Lett. 1983. - V. A 96. -№ 1. - P. 10-12.

109. Игнатьев, Ю. Г. Идеальная жидкость с коротким скалярным взаимодействием в поле плоской гравитационной волны / Ю. Г. Игнатьев // Изв. вузов. Физика. 1983. - № 12. - С. 7-9.

110. Игнатьев, Ю. Г. Кинетическое уравнение и массовая поверхность / Ю. Г. Игнатьев // Гравитация и теория относительности. Казань : КГУ, 1983. - Вып. 18. - С. 79-88.

111. Балакин, А. Б. Действие плоских гравитационных волн на бесстолк-новительные плазмоподобные среды / А. Б. Балакин, Ю. Г. Игнатьев // Проблемы теории гравитации и элементарных частиц. -М. : Энергоатомиздат, 1984. Вып. 14. - С. 43-62.

112. Иванов, Г. Г. Статистические системы частиц со спином в электромагнитном и гравитационном полях / Г. Г. Иванов // Проблемы теории гравитации и элементарных частиц. М. : Энергоатомиздат, 1984. - Вып. 14. - С. 62-69.

113. Иванов, Г. Г. Релятивистская струна в пространстве-времени Переса / Г. Г. Иванов // Изв. вузов. Матем. 1985. - № 9. - С. 64-66.

114. Балакин, А. Б. Точное решение граничной задачи для бесстолкно-вительного газа в поле нелинейной плоской гравитационной волны / А. Б. Балакин // Изв. вузов. Физика. 1985. - № 12 - С. 41-45.

115. Хуснутдинов, Н. Р. Интеграл столкновений для плазмы в поле сильной гравитационной волны / Н. Р. Хуснутдинов // Гравитационная энергия и гравитационные волны. Дубна, 1990. - С. 158-163.

116. Хуснутдинов, Н. Р. Сила самодействия заряженной частицы в поле сильной гравитационной волны / Н. Р. Хуснутдинов // Изв. вузов. Физика. 1990. - № 10. - С. 111-112.

117. Хуснутдинов, Н. Р. Интеграл столкновений с точностью до членов линейных по кривизне / Н. Р. Хуснутдинов // ЖЭТФ. 1991. - Т. 10. -№ 10. - С. 1409-1422.

118. Балакин, А. Б. Эволюция релятивистской плазмы с радиационным трением в интенсивном гравитационно-волновом поле / А. Б. Балакин // Гравитация и теория относительности Казань, 1992. -Вып. 29 - С. 19-31.

119. Балакин А. Б. Ковариантная теория многопараметрической модуляции электромагнитных волн путем периодического гравитационного излучения / Гравитация и теория относительности Казань, 1992. -Вып. 30. - С. 16-31.

120. Ignat'ev, Yu. G. Magnetohydrodynamic equations in a gravitational field and excitation of magnetohydrodynamic shock waves by a gravitational wave / Yu. G. Ignat'ev // Grav. Cosmol. 1995. - № 1. - P. 287-300.

121. Ignat'ev, Yu. G. Gravitational magnetic shocks as a detector of gravitational waves / Yu. G. Ignat'ev // Phys. Lett. 1997. - V. A. 230. -P. 171-176.

122. Счетчиков, П. В. Общерелятивистские динамические системы с мультипликативными ланжевеновскими источниками / П. В. Счетчиков, А. Б. Балакин // Новейшие проблемы теории поля. 1998 / ред.: проф. А. В. Аминова Казань : Канцлер, 1999. - С. 313-318.

123. Brodin, G. Parametric excitation of plasma waves by gravitational radiation / Gert Brodin, Mattias Marklund // Phys. Rev. Lett. 1999. -V. 82. - № 15. - P. 3012-3015.

124. Servin, M. Resonant interaction between gravitational waves, electromagnetic waves and plasma flows / Martin Servin, Gert Brodwin // Phys. Rev. 2003. - V. D 68. - P. 044017-1-044017-1.

125. Papadopoulos, D. B. Plasma waves driven by gravitational waves in an expanding universe / D. B. Papadopoulos // Class. Quantum Grav. -2002. V. 19. - № 11. - P. 2939-2950.

126. Балакин, А. Б. Эволюция релятивистских иерархических систем в поле гравитационного излучения : дисс. . докт. физ.-мат. наук : 01.04.02 / Балакин Александр Борисович. Казань, 1999. - 327 с.

127. Ландау, JT. Д. Теоретическая физика : в 10 т. Т. 4. Квантовая электродинамика. В. Б. Берестецкий, Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский -М. : Наука, 1989. - 728 с.

128. Тернов, И. М. Об аномальном магнитном моменте электрона / И. М. Тернов, В. Г. Багров, В. А. Бордовицын, О. Ф. Дорофеев // ЖЭТФ. 1968. - Т. 55. - С. 2273-2280.

129. Schwinger, J. On quantum electrodynamics and the magnetic moment of the electron / Julian Schwinger // Phys. Rev. 1948. - V. 73. - № 4. -P. 416-417.

130. Тернов, И.М. Электромагнитное излучение нейтрона во внешнем магнитном поле / И. М. Тернов, В. Г. Багров, А. М. Хапаев // ЖЭТФ. -1965 Т. 48. - № 3. - С. 921-927.

131. Yee, К. Equations of motion for spinning particles in external electromagnetic and gravitational fields / Kark Yee, Myron Bander // Phys. Rev. -1993. V. D 48. - P. 2797-2799.

132. Померанский, А. А. Релятивистские частицы с внутренним моментом во внешних полях / А. А. Померанский, Р. А. Сеньков, И. Б. Хрипло-вич // УФН. 2000. - Т. 170. - № 10. - С. 1129-1141.

133. Levi-Civita, Т. The absolute differential calculus / Т. Levi-Civita London: Blackie and Son, 1926; NY: Dover Publications. 1977. - 452 p.

134. Bazanski, S. L. Dynamics of relative motion of test particles in general relativity / S. L. Bazanski // Ann. Inst. H. Poincare, Nouv. Ser. 1977. -V. A 27. - P. 145-166.

135. Bazanski, L. S. Geodesic deviation in the Schwarzschild space-time / S. L. Bazanski, P. Jaranowski // J. Math. Phys. 1989. - V. 30. - № 8. -P. 1794-1803.

136. Ciufolini, I. Generalized geodesic deviation equation / Ignazio Ciufolini // Phys. Rev. 1986. - V. D 34. - № 4. - P. 1014-1017.

137. Vanzo, L. On a generalization of the equation of geodesic deviation / L. Vanzo // Nuovo Cim. 1992. - V. В 107. - P. 771-776.

138. Rietdijk, R. H. Spinning particles in Schwarzschild spacetime / R. H. Ri-etdijk, J. W. van Holten // Class. Quantum Grav. 1993. - V. 10. -№ 3. - P. 575-594.

139. Koley, R. Geodesies and geodesic deviation in a two-dimensional black hole / R. Koley, S. Pal, S. Kar // Am. J. Phys. 2003. - V. 71. - P. 10371042.

140. Черников, Н. А. Кинетическое уравнение для релятивистского газа в произвольном гравитационном поле / Н. А. Черников // ДАН СССР.1962. Т. 144. - № 1. - С.89-92.

141. Черников, Н. А. Релятивистское распределение Максвелла-Больцмана и интегральная форма законов сохранения / Н. А. Черников // ДАН СССР. 1962. - Т. 144. - № 3. - С.544-547.

142. Chernikov, N. A. The relativistic gas in gravitational field / N. A. Chernikov // Acta Phys. Polon. 1963. - V. 23. - P. 629-645.

143. Chernikov, N. A. Derivation of the equations of relativistic hydrodynamics from the relativistic transport equation / N. A. Chernikov // Phys. Lett.1963. V. 5. - P. 115-117.

144. Chernikov, N. A. Equilibrium distribution of the relativistic gas / N. A. Chernikov // Acta Phys. Polon. 1964. - V. 26. - P. 1069-1092.

145. Власов, А. А. Статистическая функция распределения / А. А. Власов -M : Наука, 1966. 356 с.

146. Tauber, G. Е. Internal state of a graviting gas / G. E. Tauber, I. W. Weinberg // Phys. Rev. 1961. - V. 122. - № 4. - P. 1342-1365.

147. Israel, W. Relativistic kinetic theory of a simple gas / W. Israel //J. Math. Phys. 1963. - V. 4. - № 9. - P. 1163-1181.

148. Israel, W. Nonstationary irreversible thermodynamics: a causal relativistic theory / W. Israel // Ann. Physic. 1976. - V. 100. - P. 310-331.

149. Де Гроот, С. Релятивистская кинетическая теория. Принципы и применения / С. де Гроот, В. ван Леувен, X. ван Верт. М. : Мир, 1983, -422 с.

150. Ehlers, J. General Relativity and Kinetic Theory / J. Ehlers // Relativita Generale e Cosmologia / Ed. R. Sashs. NY: Academic Press, 1971. -P. 1-70.

151. Очелков, Ю. П. Релятивистская кинетика и гидродинамика / Ю. П. Очелков, О. Ф. Прилуцкий, И. JI. Розенталь М. : Атомиз-дат, 1979. - 196 с.

152. Ландау, J1. Д. Теоретическая физика : в 10 т. Т. 10. Физическая кинетика / Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский М : Наука, 1979. -528 с.

153. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика : в 10 т. Т. 2.Теория поля / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц М. : Наука, 1988. - 512 с.

154. Картан, Э. Теория конечных и непрерывных групп и дифференциальная геометрия, изложенная методом подвижного репера / Э. Картан -М. : МГУ, 1963. 368 с.

155. Лаптев, Б.Л. Пространство опорных элементов / Б.Л.Лаптев // Геометрия и теория относительности. Казань : КГУ, 1958. - С. 75-147.

156. Israel, W. The dynamics of polarization / Werner Israel // Gen. Rel. Grav. 1978. - V. 9. - P. 451-468.

157. Feldman, Y. The internal state of a gas of particles with spin / Y. Feldman, G. E. Tauber // Gen. Rel. Grav. 1980. - V. 12. - № 10. - P. 837-856.

158. Elze, H. T. Quark-gluon transport theory / Hans-Thomas Elze, Ulrich Heinz // Phys. Rept. 1989. - V. 183. - № 3. - P. 81-135.

159. Litim, D. F. Semi-classical transport theory for non-Abelian plasmas / Daniel F. Litim, Cristina Manuel // Phys. Rept. 2002. - V. 364. -P. 451-539.

160. Лапидус, Л. И. Поляризационные явления в адронных соударениях при промежуточных энергиях / Л. И. Лапидус // Физика элементарных частиц и атомного ядра. 1984. - Т. 15. - Вып. 3. - С. 493-554.

161. Точные решения уравнений Эйнштейна / Д. Крамер, X. Штефани, Э. Херльт Э, М Мак-Каллум / Под ред. Э. Шмутцера. М. : Энер-гоиздат, 1982. - 416 с.

162. Петров, А. 3. Пространства Эйнштейна / А. 3. Петров М. : Наука, 1961. - 463 с.

163. Петров, А. 3. Новые методы в общей теории относительности / А. 3. Петров М. : Наука, 1966. - 496 с.

164. Сибгатуллин, Н. Р. Колебания и волны в сильных гравитационных и электромагнитных полях / Н. Р. Сибгатуллин М. : Наука, 1984. -351 с.

165. Maugin, G. A. On the covariant equations of the relativistic electrodynamics of continua / G. A. Maugin //J. Math. Phys. 1978. - V. 19. -P. 1198-1226.

166. Уиттекер, Э. Т. Курс современного анализа : в 2 ч. Ч. 2 Трансцендентные функции / Э. Т. Уиттекер, Дж. Н. Ватсон М. : Физматлит, 1963. - 516 с.

167. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции : в 3 ч. Ч. 3. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье //Г. Бейтмен, А. Эрдейи // М. : Наука, 1967. 299 с.

168. Мак-Лахлан, Н. В. Теория и приложение функций Матье / Н. В. Мак-Лахлан М. : ИЛ, 1953. - 476 с.

169. Стокер, Дж. Нелинейные колебания в механических и электродинамических системах / Дж. Стокер М. : ИЛ, 1953. - 256 с.

170. Хаяси, Т. Вынужденные колебания в нелинейных системах / Тихиро Хаяси М. : ИЛ, 1957. - 204 с.

171. Градштейн, И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И. С. Градштейн, И. М. Рыжик М. : Наука, 1971. - 1108 с.

172. Уизем, Дж. Линейные и нелинейные волны / Дж. Уизем М. : Мир. 1977. - 622 с.

173. Курбанова, В. Р. Приливные взаимодействия и поляризация бозонов в поле гравитационного излучения / В. Р. Курбанова, А. Б. Балакин // Новейшие проблемы теории поля. 1998 / ред.: проф. А. В. Аминова -Казань : Канцлер, 1999. С. 204-210.

174. Курбанова, В. Р. Поляризационно-приливные взаимодействия, индуцированные полем гравитационной излучения // В. Р. Курбанова // Труды общефакультетского научного физического семинара студентов Казань, 1999. - С. 66-71.

175. Курбанова, В. Р. Об аномальном взаимодействии спина с кривизной / В. Р. Курбанова // Труды общефакультетского научного физического семинара студентов Казань, 2000. - С. 59-64.

176. Kurbanova, V. R. Polarization-tidal phenomena in bozon systems in the field of gravitational radiation / V. R. Kurbanova // Новейшие проблемы теории поля. 1999-2000 / ред.: проф. А. В. Аминова Казань: Хэтер, 1999. - С. 182-191.

177. Balakin, A. Relativistic dynamics of vector bosons in the field of gravitational radiation / A. Balakin, V. Kurbanova // Foundations of Physics. -2001. V. 31. - № 7. - P. 1039-1049.

178. Kurbanova, V. R. Dynamic model for birefringence induced by curvature / V.R. Kurbanova, A. B. Balakin // Spacetime & Substance. 2001. -V. 2. - № 2. - P. 82-83.

179. Balakin, A. Precession of a particle with anomalous magnetic moment in electromagnetic and gravitational pp-wave fields / A. Balakin, V. Kurbanova, W. Zimdahl // Gravitation к Cosmology. 2002. - V. 8. -Suppl. 2. - P. 6-9.

180. Balakin, A. B. Parametric phenomena of the particle dynamics in a periodic gravitational wave field / Alexander B. Balakin, Veronika R. Kurbanova, Winfried Zimdahl // Journal of Mathematical Physics. 2003. -V. 44. - Ns 11. - P. 5120-5140.

181. Balakin, A. Anomalous polarization-curvature interaction in a gravitational-wave field / Alexander Balakin, Veronika Kurbanova // Gravitation к Cosmology. 2004. - V. 10. - № 1-2. - P. 98-106.

182. Курбанова, В. Р. Эволюция поляризационных свойств фотонных систем под действием гравитационного излучения / В. Р. Курбанова // Тез. докл. студенческой научной конференции физического факультета КГУ. Казань, 2000. - С. 16.

183. Kurbanova, V. R. Polarization-tidal model of birefringence in the gravitational wave field / V. Kurbanova // Гравитация, космология и релятивистская астрофизика "GRAV2000" : программа конференции и тез. докл. Харьков, 2000 - С. 25.

184. Курбанова, В. Р. Гравитационное излучение и скрытые взаимодействия в многочастичных системах / В. Р. Курбанова // Тез. докл. студенческой научной конференции физического факультета КГУ. -Казань, 2001. С. 21.

185. Kurbanova, V. Kinetics of photons in a gravitational wave background / V. Kurbanova // Тез. докл. XIII Международной школы-семинара "Волга-2001" по современным проблемам теоретической и математической физики. Казань, 2001. - С. 94-95.

186. Kurbanova, V. Gravitational radiation and hidden interactions in mul-tipartial systems / V. Kurbanova // "Geometrization of physics V" : Abstracts of Contributed papers. Kazan, 2001. - P. 23.

187. Курбанова, В. Кинетическое описание эволюции фотонов в гравитационно-волновом поле / В. Курбанова // Тез. докл. XV Международной школы-семинара "Волга-2003" по современным проблемам теоретической и математической физики. Казань, 2003. - С. 30.