Динамика ротора в упруго-вязких опорах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ С УПРУГО-ВЯЗКИМИ ЭЛЕМЕНТАМИ

1.1. Уравнения движения для систем с упруго-вязкими элементами модели Кельвина.

1.2. Сравнительный анализ моделей упруго-вязких тел по Фойпу и Кельвину.

1.3. Динамический гаситель колебаний на основе упруго-вязкого тела модели Кельвина.

ГЛАВА 2. ДИНАМИКА РОТОРА НА УПРУГО-ВЯЗКОМ ВАЛУ

2.1. Постановка задачи и вывод уравнений движения.

2.2. Устойчивость движения ротора второй динамической схемы.

2.3. Устойчивость движения ротора третьей динамической схемы.

2.4. Исследование устойчивости движения первой динамической схемы.

2.4.1. Неустойчивость движения, вызванная вязкими свойствами материала вала.

2.4.2. Влияние внутреннего трения, не зависящего от частоты вращения, на устойчивость.

2.4.3. Случай произвольной зависимости трения от частоты.

ГЛАВА 3. ДИНАМИКА ЖЕСТКИХ РОТОРОВ В УПРУГО

ВЯЗКИХ ОПОРАХ

3.1. Постановка задачи и вывод уравнений движения жесткого ротора в упруго-вязких опорах модели Кельвина.

3.2. Устойчивость движения.

3.2. Вынужденные колебания ротора, обусловленные дисбалансом, при неограниченном увеличении угловой скорости.

3.3. Вынужденные колебания ротора, обусловленные статическим и динамическим дисбалансами при установившемся режиме вращения.

3.5. Колебания ротора, вызванные колебаниями основания.

ГЛАВА 4. ДВИЖЕНИЕ СБАЛАНСИРОВАННОГО РОТОРА НА ЖЕСТКОМ ВАЛУ В ОПОРАХ СКОЛЬЖЕНИЯ С УЧЕТОМ СИЛ РЕАКЦИИ ПОДДЕРЖИВАЮЩЕГО СЛОЯ ЖИДКОСТИ

4.1. Постановка задачи. Определение сил реакции поддерживающего слоя жидкости.

4.2. Уравнения движения центра шипа относительно неподвижного вкладыша. Устойчивость движения.

4.3. Уравнения движения сбалансированного ротора на жестком валу в податливых опорах.

4.4. Исследование устойчивости движения идеально сбалансированного ротора схемы 1.

4.5. Исследование устойчивости движения идеально сбалансированного ротора схемы 2.

ГЛАВА 5. КОЛЕБАНИЯ УПРУГО-ВЯЗКИХ БАЛОК, НЕСУЩИХ

ВРАЩАЮЩИЙСЯ РОТОР

5.1. Постановка задачи. Уравнения движения.

5.2. Собственные колебания упругой балки, несущей вращающийся ротор.

5.3. Собственные колебания упруго-вязкой балки, несущей вращающийся ротор.

В современной технике, начиная от гироскопических приборов и кончая газотурбинными двигателями самолетов, турбинами электростанций, основным элементом является ротор, вращающийся в опорах [1, 13, 23, 28, 36, 39, 80, 84, 88]. Развитию динамики роторов в XX веке во многом способствовали такие отечественные и зарубежные ученые, как Н.Е. Жуковский, Ю.А. Архангельский, Е.Л. Николаи, А.Н. Крылов, Ф.М. Дименберг, А.С. Кельзон, Я.Н. Ройтенберг, К. Магнус, Р. Граммель, А. Тондл и многие другие. По динамике гироскопа и ротора в опорах написаны монографии, учебники, статьи, защищено множество кандидатских и докторских диссертаций [4, 6, 8, 10, 11, 14, 15-17, 25, 28, 31, 48, 51, 60-62, 75, 79, 89, 97, 101].

На всех этапах развития гироскопического приборостроения, двига-телестроения основной задачей является уменьшение колебаний ротора, вызванных дисбалансом, а также изоляция чувствительных приборов системы ориентации от внешних возмущений, так как система ротор - опоры определяет ресурс всего механизма [14, 37]. Кроме того, вибрации, передаваемые через основания механизмов несбалансированными роторами, при известной интенсивности оказывают вредное влияние на человека. В настоящее время в связи с ростом мощностей турбин, турбокомпрессоров, с возрастающими требованиями точности к гироскопическим приборам проблема уменьшения колебаний и защита от них становится все более актуальной.

Уменьшить колебания ротора можно балансировкой, а также защитой от внешних сил. Указанные пути снижения амплитуд колебаний оказываются порой недостаточными. Поэтому необходимо изыскивать методы, основанные на активном противодействии возмущающим силам. Таким эффективным методом является демпфирование. Первым, кто обратил внимание на создание и расчет демпферов с заранее определенной силой трения, был П.Л.

Капица. Уже в тридцатые годы им было рассчитано и создано несколько быстроходных турбин с оригинальными демпферами. Затем расчет демпфирующих устройств нашел отражение в ряде работ [12, 21, 22, 33, 38, 41, 44, 45, 78, 79, 86, 93, 96]. В указанных работах авторы рекомендуют преодолевать виброперегрузки и виброперемещения за счет уменьшения жесткости системы ротор - опоры. Разработанные ими методы позволяют добиваться сужения зоны неустойчивости и обеспечивать тем самым прохождение ее при приемлемых амплитудах колебаний. В работах [78, 79} дан анализ различных типов демпфирующих устройств, в том числе и оригинальной схемы демпфера, разработанного П.Л. Капицей.

Для изготовления демпфирующих опор может быть с успехом применен ряд материалов с высокими энергопоглощающими свойствами. Теоретические соображения и экспериментальные исследования показывают, что реальные тела сопротивляются пропорционально приложенным нагрузкам лишь в известных интервалах температур и скоростей приложения нагрузки или деформирования. При высоких температурах и скоростях проявляется зависимость деформаций от времени действия нагрузки, то есть система ведет себя как упруго-вязкое (реологическое) тело. Многие строительные материалы, высокодемпфирующие сплавы, композиционные материалы уже при комнатной температуре проявляют упруго-вязкие (реологические) свойства. Поэтому при расчетах необходимо не только считаться с рассеянием энергии в реологических телах, а также использовать реологические материалы для демпфирования колебаний. Современные методы позволяют получать композиционные материалы и высокодемпфирующие сплавы с необходимыми реологическими свойствами. Исследованию упруго-вязких свойств материалов посвящена обширная литература [7, 9, 65-71, 73, 74, 76, 77, 81, 82,88, 91, 99-103, 105, 106, 108,109113].

Состояние вопроса о поведении упруго-вязких тел на сегодняшнее время базируется на ряде теорий, гипотез, которые являются порой не согласующимися даже для одних условий деформации. Экспериментальные данные, полученные у нас в стране и за рубежом, еще не позволяют построить общую теорию. Но это не дает основания откладывать теоретические исследования до окончательного накопления знаний, необходимых для построения единой теории упруго-вязких тел [8, 75]. В работах [74, 75, 113] дан анализ различных моделей упруго-вязких тел, нашедших применение при расчетах. Наибольшее распространение из них получили модели Фойгта, Кельвина, а также модели, на основании которых получают интегральные уравнения со слабо сингулярными ядрами [74, 75, 113]. Наиболее близкой к реальной картине деформации материала является модель упруго-вязкого тела Кельвина [73, 75], материал которого подчиняется закону:

СТ + П&- Ее + пНе, (1) где Е,Н- длительный и мгновенный модули упругости, сг- напряжение, б - относительная деформация элемента, п - время релаксации.

В отечественной и зарубежной печати исследование моделей упруго-вязких (реологических) тел представлено большим числом монографий и журнальных статей. Наиболее полное исследование дается в монографиях А.Р. Ржаницына, Ю.Н. Работного, А.Ю. Ишлинского, а также их учеников.

Уравнения гироскопических систем могут быть составлены тремя способами: Эйлера, Лагранжа и д' Аламбера [63]. Оценивая преимущества и недостатки каждого из способов, можно сказать, что уравнения Лагранжа обладают весьма ценным качеством: в них не входят реакции связей. Это преимущество тем существеннее, чем сложнее система [2, 39,60].

Вопрос составления уравнений типа Лагранжа для гироскопических систем с упруго-вязкими элементами модели Кельвина в литературе практически не освещался. При составлении уравнений Лагранжа в такого рода системах обычно вводится поправка на рассеяние энергии в виде нелинейной функции, учитывающей гистерезисные потери в элементах системы [66, 68, 69, 70, 71, 81, 82, 84, 109-113] или линейной диссипативной функции, пропорциональной квадрату скорости перемещения [10, 20, 23, 32, 37]. Исследования гироскопических систем с упруго-вязкими элементами, материал которых подчиняется закону (1), до настоящего времени не проводились.

Подшипники скольжения находят широкое применение в технике в силу ряда существенных преимуществ перед подшипниками качения: они могут воспринимать значительные нагрузки, обладают большой устойчивостью при динамических возмущениях, работоспособны на высоких скоростях, не вызывают серьезных аварий при неисправностях, имеют низкую себестоимость и т.д. Исследованию поведения роторов с учетом гидродинамических сил смазочного слоя подшипников скольжения с жидкостной смазкой посвящено также множество работ [1, 3-5, 14, 26, 32, 36, 37, 40, 45, 78, 86] и др. В указанных работах показано, что гидродинамические силы, возникающие в смазочном слое, могут служить причиной повышенных вибраций. Определение гидродинамических сил в этих работах проводится на основании законов гидродинамики, но только в работе [3] гидродинамические силы определены с учетом членов, включая вязкостные, инерционные и массовые силы до порядка малости относительного радиального зазора включительно.

На основании вышеизложенного можно сформулировать цель исследования: вывод уравнений движения, подобных уравнениям Лагранжа, для систем, содержащих упруго-вязкие (реологические) тела модели Кельвина, и исследование на их основе движений роторов на реологических основаниях, а также валов, изготовленных из реологического материала; исследование поведения жесткого ротора с учетом гидродинамических сил.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, приложения и списка литературы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе проведено исследование динамики ротора на упруго-вязком валу в упруго-вязких опорах. Основные полученные результаты могут быть сформулированы в виде следующих выводов:

1. Получены уравнения движения для систем, содержащих упруго-вязкие тела модели Кельвина, обладающие теми же достоинствами, что и уравнения Лагранжа. Проведен сравнительный анализ динамического гасителя колебаний на основе модели тела Кельвина с динамическим гасителем колебаний на основе модели Фойгта, выявлены принципиально новые преимущества модели Кельвина перед моделью Фойгта.

2. На основании полученных уравнений сформулирована и решена задача о движении ротора на упруго-вязком валу в упруго-вязких опорах модели Кельвина. Исследована устойчивость движения ротора, построены граничные поверхности устойчивости, проведен анализ влияния параметров упруго-вязких опор модели Кельвина на устойчивость ротора, сделан сравнительный анализ влияния внутреннего трения в материале модели Кельвина с трением по Фойгту, представленному в работе Болотина В.В.[10].

3. Поставлена и решена задача о движении несбалансированного ротора на абсолютно жестком валу в упруго-вязких опорах. С помощью критерия Рауса-Гурвица для полиномов с комплексными коэффициентами исследована устойчивость движения. Рассмотрены вынужденные колебания ротора, построены графики амплитудно-частотных характеристик для роторов дисковой и барабанной конструкции; исследованы колебания ротора, обусловленные колебаниями основания. Выявлены особенности влияния трения в материала модели Кельвина.

4. Поставлена и решена задача о движении слабонагруженного сбалансированного ротора на абсолютно жестком валу в опорах скольжения с учетом сил реакции поддерживающего слоя жидкости. Силы реакции определялись с точностью до порядка малости величины относительного зазора по методике, представленной в работе Андрейченко К.П. [2]. Исследование устойчивости движения с помощью метода D- разбиений позволило установить, что ротор в абсолютно жестких опорах неустойчив, и только установка ротора в податливые опоры делает систему устойчивой. Дальнейшие изыскания проводились для схем: а) абсолютно упругие опоры; б) упруго-вязкие опоры модели Фойгта. Получены принципиально новые символьные результаты оценки границ устойчивости и дан сравнительный анализ с результатами полученными другими авторами.

5. Проведено исследование колебаний упруго-вязкой балки, материал которой сопротивляется согласно модели тела Кельвина, несущей произвольно ориентированный ротор. При этом установлено: а) учет внутреннего трения по модели Кельвина приводит к тому, что корни характеристического уравнения в отличие от классического случая, становятся комплексными; б) характер изменения частот прецессионного и нутационного движений в рассмотренном и классическом случае качественно совпадают; в) вследствие учета упруго-вязких свойств по модели Кельвина колебательные движения представляют собой периодические затухающие колебания. В отличие от классического случая с вязким трением по Фойгту, здесь появляется третье - апериодическое затухающее движение, скорость которого не зависит от угловой скорости ротора; г) прецессионные движения, в отличие от классического случая с внешним вязким трением, затухают значительно быстрее нутационных.

1. Агафонов В.А. Вынужденные и самовозбуждающиеся колебания роторов на подшипниках скольжения. -Тр. ЦКТИ им. И.И. Ползунова, 1964, № 46. -С.46-55.

2. Ананьев И.В., Колбин Н.М., Серебрянский Н.П. Динамика конструкций летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1972- 416 с.

3. Андрейченко К.П. Влияние гидродинамических сил инерции на устойчивость цилиндрической гидродинамической опоры.—Машиноведение № 5, 1983.-С.96—102.

4. Андрейченко К.П. Устойчивость цилиндрического гидродинамического подвеса .—Изв. АН СССР, МТТ, № 6,1975,- С.32—39.

5. Андрейченко К.П. К теории демпферов с тонкими слоями жидкости. -Машиноведение № 1, 1978,-С. 69-75.

6. Бабаков И.М. Теория колебаний -М.: Наука, 1968.-560 с.

7. Безухов Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести.-М.: Высшая школа, 1968. -916 с.

8. Бергер Е.Г., Кельзон А.С., Левин А.И. Исследование разгона и выбега жесткого ротора, вращающегося в шарнирной и упругих опорах.//Прикл. механика, 1977.-13, № 3. С.81-87.

9. Бленд Д. Теория линейной вязко упругости.-М.: Мир, 1965,- 200 с.

10. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости.-М. : Физматгиз, 1961.-339 с.

11. Болотин В.В. Нелинейные колебания валов за критическими скоростями вращения //Проблемы прочности в машиностроении -М.: АН СССР, Вып.1, 1958-С.25-53.

12. Бояринов B.C. О вибрациях валов в шарикоподшипнике.-Изв. АН СССР, Механика,№ 3, 1965,- С.49-59.

13. Бургвиц А.Г., Завьялов Г.А. О влиянии сил инерции смазочного слоя на устойчивость движения шипа в гидродинамическом подшипнике сколь-жения.-Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа, № 1, 1974 С. 149-155.

14. Винсон Жак Р., Сираковский, Роберт. Поведение конструкций из композиционных материалов /Пер. С англ. И М. Пановой; Под ред. В.В. Васильева, Б.С. Митина. М.: Металлургия, 1991.- 263 с.

15. Ганиев Р.Ф., Воробьев В.М., Лютый А.И. Резонансные колебания гироскопических систем.- Киев: Наукова думка, 1979 186 с.

16. Ганиев Р.Ф., Кононенко В.О. О нелинейных колебаниях твердого тела, несущего вращающийся ротор//Изв. АН СССР, Механика, №5, 1965 -С.31-37.

17. Ганиев РФ., Лютый А.И. Об устойчивости гироскопа на вибрирующем основании в условиях резонансов //Прикл. механика, 1972.-8,Вып.1.-С.43-50.

18. Григорьев Н.В. Нелинейные колебания элементов машин и сооружений.-М.: Машгиз, 1961.-256 с.

19. Гробов В.А. Теория колебаний механических систем. Киев: Вища школа, 1982,- 184с.

20. Дидковский B.C., Павловский М.А. Нестационарные колебания гироскопа с динамическим гасителем колебаний при разгоне ротора //Изв. АН УССР. Сер. А.-1975 № 12.-С. 1094-1097.

21. Дименберг Ф.М. Изгибные колебания вращающихся валов.-М.: АН СССР, 1959.-248 с.

22. Дименберг Ф.М., Шаталов К.Г., Гусаров А.А. Колебания машин. М.: Машиностроение, 1964,- 308 с.

23. Емцев Б.Т. Техническая гидромеханика М.: Машиностроение, 1978463 е., ил.

24. Жуковский Н.Е. Об упругой оси Лаваля и об осях с качающимися подшипниками. Полн. собр. соч. М-Л.: Гостехиздат, 1949. -т.З, 700 с.

25. Иосилевич Г.Б., Лебедев П.А., Стреляев B.C. Прикладная механика.-М.: Машиностроение, 1985. 576 е., ил.

26. Ишлинский А.Ю. Механика гироскопических систем. М. Изд-во АН СССР, 1963.-482 с.

27. Ишлинский А.Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация. -М.: Наука, 1976.-670 с.

28. Кац. A.M. Вынужденные колебания при прохождении через резонанс. -Инж. сборник, 1947, т.З, вып. 2 С.125-137.

29. Кельзон А.С. Динамика жесткого ротора, вращающегося в двух упругих опорах. Ученые записки ЛВИМУ им. адм. С.О. Макарова, 1958, № 10 -С.41-60.

30. Кельзон А.С. Самоцентрирование уравновешивание жесткого ротора, вращающегося в двух упругих опорах. ДАН СССР, 1956 -Т. 110 - №1-С.31-33.

31. Кельзон А.С., Бергер Е.Г. Влияние вязкого трения на самоцентрирование жесткого ротора, вращающегося в шарнирной и упругой опорах. Изв. вузов СССР, Машиностроение, 1963, № 5. - С.60-67.

32. Кельзон А.С., Бергер Е.Г. Свободные и вынужденные колебания жесткого ротора при нелинейной характеристике восстанавливающей силы. В кн.: V Международная конф. по нелинейным колебаниям. Киев: АН УССР, 1969 - С.23-24.

33. Кельзон А.С., Бергер Е.Г. Самоцентрирование и уравновешивание соосных роторов,- Вестник ЛГУ, 1963.-№ 13- Вып.З.-С. 119-121.

34. Кельзон А.С., Бергер Е.Г., Прядилов В.И. и др. Исследование колебаний системы соосных роторов. Изв. вузов, Машиностроение № 4, 1963 -С.58-79.

35. Кельзон А.С., Журавлев Ю.Н., Январев Н.В. Расчет и конструирование роторных машин. -JT.: Машиностроение/ Лен. отд./, 1977 288 с.

36. Кельзон А.С., Циманский Ю.П., Яковлев В.И. Динамика роторов в упругих опорах. М. Наука, 1982. - 280 с.

37. Кононенко В.О., Павловский М.А. Влияние несовершенной упругости амортизаторов на амплитуды пространственных колебаний твердого тела // Изв. АН СССР. Механика твердого тела, № 6, 1976 С.5-12.

38. Крылов А.Л., Шустер В.Г. Об устойчивости центрального положения шипа в гидродинамическом подшипнике. ДАН. СССР, 1966,- Т. 169, № 5, с.1030-1038.

39. Кушуль М.Я. Автоколебания роторов. М.: АН СССР, 1963 - 168 с.

40. Кушуль М.Я. Поперечные колебания вращающихся валов при наличии внутреннего и внешнего трения. Изв. АН СССР, ОТН, 1954.- № 10-С.60-74.

41. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа,- М. Наука. Гл. ред. физ,-мат. лит. 1987,-840 с.

42. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз, 1961. - 824 с.

43. Лестнев A.M. Резонансные явления при движении гироскопа в кардановом подвесе на вибрирующем основании. Изв. вузов, Приборостроение № 2, 1977 -С.86-90.

44. Луно, Штернлихт. Динамика системы "ротор-подшипник" и проблема ослабления колебаний. Тр. американского общества инженеров механиков. Теоретическая механика. Серия Д. - М.: Мир, 1962,- № 4,- С.97-109.

45. Ландау JT.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. —М.: Наука, 1965 202 с.

46. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.: Гостех-издат, 1950 - 386 с.

47. Магнус К. Гироскоп. Теория и применение. М.: Мир, 1974.-526 с.

48. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966,- 480 с.

49. Михальченко Г.В. О колебаниях балки, несущей вращающийся ротор. //Динамика механических систем. Сб. тр. семинара кафедры теоретической механики КГУ//. Киев, 1985 С.49-61. Деп. в Ук. НИИНТИ № 2640.

50. Михальченко Г.В. Уравнения движения для систем с реологическими элементами. М.,2000.-9с. Деп. в ВИНИТИ 28.08.00, № 2317-ВОО.

51. Михальченко Г.В. Динамика ротора в реологических опорах. М., 2000 -14 с. Деп. в ВИНИТИ 13.12.00, № 3129-ВОО.

52. Михальченко Г.В. Колебания реологических балок, несущих произвольно ориентированный ротор. //Динамика механических систем. Сб. трудов семинара кафедры теоретической механики КГУ//. Киев, 1987 С.87-106. Деп. в Ук. НИИНТИ № 1821.

53. Михальченко Г.В. Динамика сбалансированного ротора на жестком валу в опорах скольжения с учетом реакции поддерживающего слоя жидкости-М., 2001.-21 с. Деп. в ВИНИТИ, № 1824-В2001.

54. Михальченко Г.В. Динамика абсолютно жестких роторов в упруго-вязких опорах модели Кельвина М., 2001 - 13 с. Деп. в ВИНИТИ, № 1825.

55. Михальченко Г.В. Динамика абсолютно жестких роторов в упруго-вязких опорах модели Кельвина.// Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред. Межвузовский научный сборник, Саратов, СГТУ, 2001. С. 139-146.

56. Михальченко Г.В. Уравнения движения для систем с упруго-вязкими элементами модели Кельвина//Механика и процессы управления. Труды XXXI Уральского семинара/ Уральское отделение РАН. Екатеринбург, 2001 С.289-293.

57. Неймарк Ю.И. Устойчивость линеаризованных систем /дискретных и распределенных/.-Л.: ЛКВВИА, 1949.-140 с.61 .Николаи Е.Л. Гироскоп в кардановом подвесе. М.: Наука, 1964.-136 с.

58. Николаи Е.Л. О движении уравновешенного гироскопа в кардановом подвесе. М.: Прикладная матем. и механика, 1939,- 3, вып.4.-С.3-34.

59. Николаи Е.Л. Теория гироскопов-М.: Гостехиздат, 1948 172 с.

60. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний. М.: Наука, 1971.-270 с.

61. Пановко Я.Г. Основы прикладной теории упругих колебаний. М.: Машиностроение, 1967 - 316 с.

62. Пановко Я.Г. Внутреннее трение при колебаниях упругих систем. М.: Физматгиз, 1960.-384 с.

63. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем,-М.: Наука, 1967,-420 с.

64. Писаренко Г.С. Рассеяние энергии при механических колебаниях. Киев: АН УССР, 1962,-436 с.

65. Писаренко Г.С. Колебания механических систем с учетом несовершенной упругости материала. Киев: Наукова думка, 1970 - 390 с.

66. Писаренко Г.С., Бочигин Г.Е. Колебания кинематически возбуждаемых механических систем с учетом диссипации энергии. -Киев: Наукова думка, 1981-218 с.

67. Писаренко Г.С., Яковлев A.JL, Матвеев В.В. Вибропоглощающие свойства конструкционных материалов. Справочник. Киев: Наукова думка, 1971,-376 с.

68. Подильчук И.Ю. Некоторые свойства резольвентных операторов Вольтерра линейной теории вязкоупругости /Теор. и прикл. мех.: Киев. 2001, №32. С. 109-114.

69. Романенко С.Г., Ландау Б.Е., Левин СЛ. О движении роторов электростатических гироскопов безкарданной системы ориентации орбитального космического аппарата./ Гироскопия и навигация. 2000. №3. С 3-11.

70. Ржаницын А.Р. Некоторые вопросы механики систем деформирующихся во времени. М-Л.: ГИТТЛ, 1949,- 250 с.

71. Ржаницын А.Р. Строительная механика. М.: Высшая школа, 1982 400 с.

72. Савин Г.Н., Рушицкий Я.Я. элементы механики наследственных сред /на украинском языке/. Киев: Вища школа, 1976 - 252 с.

73. Самуль В.И. основы теории упругости и пластичности. М.: Высшая школа, 1970,-288 с.

74. Сергеев С.И. Демпферные опоры турбомашин. Научно-технический Бюллетень . Кислород, 1949 - № 3 - С. 1-11.

75. Сергеев С.И. Демпфирование механических колебаний. -М.: Физматгиз, 1959.-408 с.

76. Скурбачевский Г.С. Авиационные газотурбинные двигатели. Конструкция и расчет деталей. М.: Машиностроение, 1974. - 520 с.

77. Сорокин Е.С. Внутреннее и внешнее сопротивления при колебаниях твердых тел. ЦНИИСК, Госстройиздат. -М.: 1957, научное сообщение, Вып.З. - 65 с.

78. Сорокин Е.С. К теории внутреннего трения при колебаниях упругих систем. М.: Стройиздат, 1960,- 186 с.

79. Сорокин Е.С. К вопросу неупругого сопротивления строительных материалов при колебаниях. М.: ЦНИТС, Стройиздат, 1954 - 216 с.

80. Суслов Г.К. Теоретическая механика. M-JI.: Гостехиздат, 1946.-656 с.

81. Тондл А. Автоколебания механических систем. М.: Мир, 1979 - 430 с.

82. Тондл А. Динамика роторов турбогенераторов. М-Л.: Энергия, 1979 -386 с.

83. Уринцев A.J1. Об устойчивости равномерного вращения ненагруженного шипа в гидродинамическом подшипнике скольжения. / Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1974, № 1 -С. 149-155.

84. Филин А.П. Прикладная механика деформируемого твердого тела. т.З. -М.: Наука, 1981,-480 с.

85. Филиппов А.П. Колебания механических систем. Киев, Наукова думка, 1965,-715 с.

86. Хронин Д.В. Теория и расчет колебаний в двигателях летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1970 - 412 с.

87. Цейтлин А.И. Об учете внутреннего трения в нормативных документах по динамическому расчету сооружений. Строительная механика и расчет сооружений, 1981.- № 4,- С.33-38.

88. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1965,- 208 с.

89. Яблонский А.А., Норейко С.С. Курс теории колебаний. М.: Высшая школа, 1975.-248 с.

90. Яновский М.И. Конструирование и расчет судовых паровых турбин. МЛ.: ОНТИ, 1937,-449 с.

91. Альперин Л.Б. Некоторые вопросы динамики гироскопа с учетом внутреннего трения в демпфирующем элементе. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата ф/м наук. Новосибирск, 1971.

92. Бояринов B.C. Исследование вибрации вала, вращающегося в шарикоподшипниках. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата ф/м наук. Горький, 1966.

93. Виноградов Л.В. Поперечные колебания роторов с динамическим гасителем в стационарном и переходном режимах. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук. Москва, 1974.

94. Горелик А.В. Линейные задачи механики разрушения вязко-упругих композитных материалов. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата ф/м наук. Киев, 1980.

95. Гуменюк Б.П. Динамическое поведение вязко-упругих тел при циклическом нагружении. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата ф/м наук. Киев, 1975.

96. Дименберг М.Ф. Исследование статических задач колебаний механических систем. Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук. Киев, 1971.

97. Долинина Н.И. Некоторые вопросы теории упруго-наследственных сред. Автореферат диссертации, на соискание ученой степени кандидата ф/м наук. Москва, 1967.

98. Кейс И.П. Некоторые вопросы динамики гиростатов. Автореф. дис. на соискание ученой степени кандидата ф/м наук. Москва, 1976.

99. Кретова Л.Д. Некоторые вопросы динамики упруго-пластических сред. Автореферат диссертации, на соискание ученой степени кандидата ф/м наук. Воронеж, 1969.

100. Медведев А.А. Устойчивость движения некоторых гироскопических приборов на подвижном основании. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата ф/м наук. Алма-Ата, 1969.

101. Парнев И.В. Малые колебания системы двух гироскопов с учетом членов второго порядка малости. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата ф/м наук. Ленинград, 1973.

102. Сараев Л.А. Модели упруго-пластического деформирования композитных сред. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата ф/м наук. Куйбышев, 1979.

103. Ситникова Н.В. Исследование упруго-пластической деформации на основании смеси упругой и пластической субструктур. Автореферат, диссертации на соискание ученой степени кандидата ф/м наук. Томск, 1986.

104. Шестаков А.А. Некоторые задачи деформации вязко-упругих тел. Автореферат диссертации, на соискание ученой степени кандидата ф/м наук. Москва, 1973.

105. Hendricks S. L. The Effect of Viscoelasticity on the Vibration of a Rotor//Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1986.- V.53.- P.5.

106. Zhand W., Ling F.N. Dynamic Stability of the Rotating Shaft Made of Bolt-zmann Viscoelastic Solid.// Trans. ASME. J. Appl. Mech 1986- V.53.-P.7.

107. Crooigmans M. Non-linear dinamics of flexible rotor sistem // Conf. Vibr. Ro-tat. Mach. Pap. Int. Heslington./ Vibration in Rotating Machinery -1987 P.7.

108. Lewis F. M. Vibration during acceleration through a critical speed -Transaction of the ASME. 1932. v.54, № 23, p. 253.

109. Narisawa I., Ishikawa M., Ogawa H.// J. Mater. Sci., 1980. -V. 15,- P.2059.