Динамика структурно-неоднородных оболочечных конструкций с учетом упруго-пластических свойств материала тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение.••••

Глава 1. Постановка задачи об осесимметричном деформировании тороидальной оболочки произвольного сечения с учетом внутреннего давления.

§1.Физические свойства материала.

§2. Механическая модель для изгиба тороидальной оболочки.

§3. Механическая модель для изгиба цилиндрической оболочки.

§4. Соотношения теории малых упругопластических деформаций.

§5. Границы применимости теории малых упругопластических деформаций.

Глава 2. Разработка метода решения задач чистого изгиба тороидальных оболочечных конструкций.

§1. Деформация оболочек при изгибе.

§2. Вариационное уравнение равновесия тора.

§3. Определение внешнего изгибающего момента.

§4. Линеаризация краевой задачи методом Ньютона-Канторовича.

§5. Метод ортогональной прогонки Годунова.

Глава 3. Результаты и анализ расчетов изгиба оболочек различного профиля.

§1. Исследование изгиба цилиндрической оболочки кругового сечения.

1.1. Расчеты изгиба пластической оболочки.

1.2. Сравнение пластической оболочки с упругой оболочкой из несжимаемого материала.

1.3. Влияние коэффициента Пуассона на зависимость изгибающего момента от кривизны упругой оболочки.

1.4. Влияние толщины стенки на зависимость изгибающего момента от кривизны упругой оболочки.

§2. Изгиб цилиндрической оболочки некругового сечения, содержащей угловые точки.

2.1. Расчет изгиба оболочки квадратного сечения.

2.2. Расчет изгиба оболочки ромбовидного сечения.

§ 3. Изгиб цилиндрической оболочки незамкнутого сечения.

3.1. Изгиб оболочки П-образного сечения.

3.2. Изгиб незамкнутой оболочки, имеющей периодически повторяющийся элемент сечения.

§ 4. Изменение кривизны трубки Бурдона под действием изгибающего момента и внутреннего давления.

Работа посвящена расчету напряженно-деформированного состояния и динамики оболоченных конструкций, взаимодействующих с жидкостью и газом, с учетом влияния пластичности и других физико-механических характеристик материала.

Такой учет пластических деформаций необходим для описания реальных процессов деформирования конструкций при различных внешних условиях и их запаса прочности, что в свою очередь способствует более рациональному проектированию и эксплуатации изделий при обеспечении гарантии их прочности и безопасности.

Разнообразие машиностроительных конструкций и их элементов, для которых необходимо проводить такой анализ и определять критические значения действующих нагрузок настолько велико, что приходится структурировать последние на отдельные классы. Одним из них является обширный класс тонкостенных пространственных конструкций, расчетную схему которого можно представить в виде некоторой композиции из стержней и тонких оболочек.

Тонкие оболочки обладают замечательным свойством выдерживать значительные нагрузки при минимальной толщине. Данное обстоятельство позволяет создавать из такого рода оболочек легкие конструкции с достаточными жесткостными и прочностными характеристиками, что в полной мере расширяет применение оболочек в судостроении, самолетостроении, строительстве крупных сооружений, в космической технике, - везде, где малый вес является жизненно необходимым. В работе мы имеем дело с оболочками несущих конструкций, способных воспринимать значительные нагрузки. Гибкость такой оболочки (способность к значительным перемещениям) является лишь следствием, обычно нежелательным для малой толщины оболочки; она неразрывно связана с геометрической нелинейностью и потерей устойчивости.

Вместе с тем, существует обширный класс тонких оболочек, само назначение которых требует гибкости - перемещений, превышающих толщину оболочки иногда в десятки раз. Все это достигается специальной формой оболочки и характером ее закрепления, обеспечивающими напряженное состояние определенного вида: на большей части оболочки возникает значительный изгиб и кручение стенки. Такого рода оболочки находят все более широкое применение в технике и машиностроении. Например, трубчатый компенсатор представляет собой тороиддльную оболочку с круговой или близкой к окружности формой сечения, (некруговые компенсаторы применяются реже). К расчетной схеме тороидальной и цилиндрической оболочек сводятся и некоторые другие конструкции, в частности улитки гидротурбин, емкости и магистральные трубопроводы атомных реакторов. Плавные переходы от одного диаметра к другому обычно выполняют также в виде части цилиндрической поверхности. Иными словами, тороидальные и цилиндрические оболочки достаточно широко используются в тонкостенных конструкциях, и исследования процессов их деформирования при внешних многофакторных воздействиях является одной из важнейших задач, диктуемых потребностями производства.

Особый интерес представляет изучение реакции оболочечных конструкций на изгиб. Очевидно, что под действием изгибающего момента сечение оболочки значительно деформируется (например сплющивается), что, в свою очередь, существенно изменяет (как правило - снижает) ее жесткостные характеристики. В частности, при изгибе тора его реальная жесткость может быть в несколько раз меньше значений полученных при расчете по эквивалентной схеме (балка с неизменным сечением). В работе исследовался также изгиб тороидальных и цилиндрических оболоченных конструкций с учетом физической нелинейности материала.

Опытные данные показывают, что кривая труба имеет значительно меньшую жесткость при изгибе по сравнению с расчетной формулой сопротивления материалов. Первые исследования в этом направлении принадлежат K.M. Дубяге [22]. При изгибе криволинейной трубы (рис. 1) возникают нормальные к линии продольного волокна напряжения, направленные к средней линии. Данное обстоятельство принуждает растянутые волокна трубы смещаться к центру кривизны, сжатые - от центра. Геометрически за счет такого перемещения уменьшается удлинение продольных волокон, в которых существенно (по сравнению с брусом) снижаются касательные напряжения, что, в свою очередь, ведет к значительному уменьшению изгибающего момента. В данном случае существенно, что даже при незначительной деформации поперечного сечения за счет перераспределения напряжений в волокнах изгибная жесткость может уменьшится в несколько раз.

Т7 Г СЕЧЕНИЕ

М М

Рис. 1.

Такая задача, как указал Дубяга, была поставлена Л. Прандтлем в 1906 г., а решение ее при помощи рядов Фурье и метода Ритца получено в 1911 г. Т. Карманом [88].

Изучая чистый изгиб, Т. Карман предположил, что все поперечные сечения деформируются одинаково (условия на краях выполнены по Сен-Венану). и что радиус сечения мал сравнительно с радиусом кривизны оси трубы. Расчетные формулы, полученные в работе [88], применяются и в настоящее время. Влияние деформации поперечного сечения на жесткость тонкостенного криволинейного стержня не только круговой формы и не только при изгибе [6] принято называть эффектом Кармана.

Подробное исследование задачи Кармана для всевозможных размеров труб кругового сечения, представляющих практический интерес, провел Л. Бескин [69]. где решения были получены энергетическим методом с помощью тригонометрических полиномов, так же как в работе [88]. Удерживая достаточное число членов полинома, Л. Бескин подтвердил точность результатов Т. Кармана (вопреки некоторым предыдущим работам).

Иной подход был предложен в работе Р. Кларка и Э. Рейснера [33]. где путем решения обобщенного уравнения Мейсснера в тригонометрических рядах были вновь получены результаты работ [88, 69] по чистому изгибу труб. Асимптотические решения названных уравнений дают более простые формулы для определения напряжений и перемещений.

Задача Кармана изучалась и для некруговых труб. Прямоугольное коробчатое сечение сечение рассмотрено еще в 1923 г. С.П. Тимошенко [53]; изгиб труб эллиптической и плоскоовальной формы - в книге В.И. Федосьева [55] и в статьях

-Гл.

Кларка и др. [76], Д.Л. Костовецкого [32]; линзообразное сечение рассмотрено в статье Олесяка [98].

При помощи ЭВМ задача Кармана решена путем численного интегрирования уравнений Мейсснера и для труб большой кривизны [21, 63]. Пространственный изгиб трубы расчитал для широкого диапазона геометрических параметров Л. Бескин [69] с применением энергетического метода и тригонометрических рядов. Несколько раньше для ограниченных случаев это решение получил Виньес [116].

В работе К.Ф. Черных [62] задача Сен-Венана о пространственном изгибе трубы решена методами теории оболочек при помощи комплексного уравнения типа Мейсснера. Решением уравнений [61, 118] эта задача изучалась в [106]. Упомянутые работы касались линейного приближения.

При больших перемещениях возникает существенная нелинейность зависимости изгибающего момента от изменения кривизны, что в значительной мере влияет на распределение напряжений, волокна при этом смещаются к нейтральной линии сечения. В результате при изгибе, увеличивающем кривизну трубы, ее жесткость уменьшается. Характеристика изгибающего момента от изменения кривизны оси достигает экстремума, при максимальном моменте кривизна изменяется скачком, при этом возникает потеря устойчивости, описанная впервые JT. Бразье [70]. В работе [70] изгиб цилиндрической трубы кругового сечения изучается энергетическим способом всего с одним параметром (форма деформированного сечения считается эллиптической).

И. Вуд [119] рассмотрел задачу Бразье с учетом равномерного нормального давления, далее Э. Рейсснер [99, 100] решив специально составленные им нелинейные дифференциальные уравнения изгиба цилиндрической оболочки кругового сечения, уточнил результаты Л. Бразье и И. Вуда. В работе [99] получено также приближенное решение задачи Бразье для трубы с малой начальной кривизной. В статьях Э.Л. Аксельрада [4, 6] задача об изгибе трубы при больших упругих перемещениях решалась для труб с неограниченной начальной кривизной и произвольной формой сечения при помощи уравнений работы [2]. Точное решение задачи Бразье получено для цилиндрической круговой трубы в работе [100] путем численного интегрирования уравнения Э. Рейсснера из [99]. Результаты расчета [99] подтвердили достоверность величины критического момента, установленной Л. Бразье [70].

В области расчета оболочек вращения значительные успехи были достигнуты уже в первый период создания теории тонких оболочек, в частности в работах Г. Рейсснера [105]. Решение осесимметричной задачи, основанное на использовании интегралов уравнений равновесия и совместимости, было впервые получено для сферической оболочки Г. Рейсснером [105]. Там же был предложен асимптотический метод интегрирования разрешающего уравнения. Э. Мейсснер [93] вскоре обобщил упомянутые разрешающие уравнения на оболочки вращения произвольной формы и с неременной толщиной стенки. Решение уравнений Мейсснера и их вариантов (отличающихся выбором переменных), предложенных А.И. Лурье [40], Э. Рейсснером [101, 102] и др., дало возможность детально изучить многие осесимметричные задачи.

При осесимметричной деформации оболочка сохраняет форму тела вращения, изменяется лишь форма меридионального сечения.

Все это позволило обобщить уравнение Мейсснера на большие перемещения упругой оболочки. Для пологой оболочки такие уравнения были получены В. И. Феодосьевым [56], уравнения и их модификации для слоистой оболочки [7, 17] были использованы при решении ряда задач о больших перемещениях и устойчивости.

Э. Рейсснер [103] вывел уравнения Мейсснера для больших осесимметричпых перемещений непологой оболочки, а в [104] развил эти уравнения на большие деформации, Р. Кларк и Э. Рейсснер. а ранее М. Туеда обобщили уравнения Мейсснера на случай осесимметричного изгиба стержня-оболочки.

Рассмотрению оболочек открытого профиля посвящены работы [108, 59, 80, 49].

В работе [3] Э. JI. Аксельрадом для случая осесимметричного изгиба оболочки замкнутого сечения были выведены в окончательный постановке два разрешающих дифференциальных уравнения второго порядка, одно из которых включало интегралы с переменным верхним пределом по независимой переменной. При решении линиаризованного варианта уравнений для круговой оболочки методом Фурье была получена аналитическая формула, уточняющая формулу Кармана. Для решения билинейного варианта уравнений предлагался метод Фурье с решением на ЭВМ путем последовательных приближений. При этом задавалась произвольная форма сечения, с разложением задающей ее функции в ряд Фурье.

Среди публикаций последних лет теория тонких оболочек достаточно подробно освещается в работах [24, 121, 47]. Значительному изгибу тороидальной оболочки посвящены работы [30, 127], где используются асимптотические и численные методы, где малым параметром является отношение внутреннего радиуса трубы к ее радиусу кривизны. В работе [31] изгиб оболочек вращения расчитывается численно методом ортогонализации.

В настоящей работе задачи расчета динамики и осесимметричного деформирования тороидальной оболочки с учетом физической нелинейности материала, равномерного нормального давления решались в существенно геометрически нелинейной постановке; принимались следующие гипотезы:

• Гипотеза Кирхгофа-Лява.

• Предположение о равенстве коэффициента Пуассона одной второй.

С точки зрения геометрии исследуемой оболочки:

• Радиус сечения необязательно должен быть мал по сравнению с радиусом кривизны средней линии тора.

• Возможно существенное изменение формы поперечного сечения тора вплоть до смыкания его стенок.

• Рассматривается большое перемещение краев участка тора при изгибе, сопоставимое с его размерами.

• Поперечное сечение тора может быть не только замкнутым, но и разомкнутым, и иметь различные краевые условия на своих разомкнутых краях соответствующие жесткой заделке, шарниру, свободному краю, скользящему шарниру, скользящей заделке.

• Поперечное сечение может иметь форму произвольной гладкой кривой, а также содержать угловые точки.

Именно в смысле вышеуказанных особенностей ниже применяется термин «обобщенный эффект Кармана».

Проводилось численное моделирование процессов деформирования и анализ результатов расчетов широкого класса оболочек различного профиля . а также степень влияния их физических и геометрических характеристик на напряженно-деформированное состояние и устойчивость конструкций в целом. Причем выбор класса конструкций определялся прежде всего практикой и интересами заказчика, степенью научной разработки проблемы и достоверности получаемых результатов. В частности так была определена предметная область исследований чувствительных элементов различных робототехнических систем на базе трубок Бурдона.

Проблемы обеспечения безопасности эксплуатации атомных электростанций обуславливают потребность в исследованиях динамики магистральных трубопроводов, задействованных в рабочем цикле. Данной проблеме посвящена вторая часть настоящей работы, построенная на базе численно-аналитических моделей, предложенных в первой части диссертации.

Впервые задача о свободных колебаниях прямолинейного трубопровода, содержащего поток жидкости была поставлена и решена X. Эшли и Ж. Хевилейндом [66] с позиции теории стержней. Однако, из-за неполного учета сил инерции протекающей жидкости авторами был получен неверный результат. Допущенная ошибка была исправлена В.И. Феодосьевым. Причем, разными путями Феодосьевым [111], Хаузнером [86] и Ниордсоном [96] было получено основное уравнение движения прямой трубы, свободно опертой на концах и содержащей стационарный поток жидкости.

В настоящее время вопросами динамики криволинейных трубопроводов посвящено большое количество литературы. Системы уравнений, описывающих движение криволинейной трубы, в том числе и в пространстве рассмотрены в работах [14, 29, 8, 43,52,36, 18,23].

Трубы, продольная ось которых представляет дугу окружности, изучались аналитически [50, 72, 73, 74, 113, 89, 114, 109]. Обзор таких методов и расчетов дан в [111]. Трубы более сложной формы, например, Ь- и Б-образные часто исследуются методом конечных элементов [15, 11, 79, 85, 94, 38, 1, 1 12. 81, 82, 67]. Для получения достаточно точного решения как правило применяются численные методы [34. 12. 9, 77. 84. 44]. Трудность, возникающая при расчете кривых труб, связана с тем. что форма статического равновесия и напряженное состояние трубы сильно зависят от скорости потока. Таким образом, чтобы установить равновесное состояние при заданной скорости потока, необходимо провести статический анализ, а затем исследовать устойчивость равновесного состояния.

В работах [57. 39, 27. 54. 120. 65. 26. 58] исследуются вибрации ф>б. в |58| содержатся экспериментальные данные. Общей динамике посвящены [107, 20]. трехмерная задача решается в [16]. Однако данные работы учитывают лишь малые колебания и перемещения. Большие перемещения и прогибы рассматриваются в [97, 68, 95]. Результаты прочностных испытаний на изгиб приведены в [71].

Такие сложные случаи, как динамика с пластичностью рассчитывались в [91, 92, 117]; учет физической нелинейности приводится в [77, 125]; вопросы устойчивости освещаются в работах [90, 1.15]; исследование труб с квадратным сечением были приведены в [115, 110].

Большое внимание уделяется изучению реакции трубопроводов на сейсмическое воздействие. Сейсмодинамика прямолинейных и кривых участков трубопроводов, имеющих различные варианты закрепления, теоретически изучались и рассчитывались в работах [60,35,75,87,83. 117].

В настоящее время в связи с повышением требований безопасности проектирования и эксплуатации АЭС возникает необходимость нормативных расчетов динамики конкретных узлов АЭС, состоящих из криволинейных трубопроводов с протекающей под высоким давлением жидкостью. Такого рода задачи рассматривались в работах [78, 64, 41. 37, 54, 120, 58, 65, 26]. В [58] содержатся экспериментальные результаты по данному вопросу. Одной из таких нормативных задач является расчет движения трубопровода после аварийного разрыва, называемая задачей максимальной проектной аварии. Описанию движения кривой трубы после разрыва посвящены статьи [37, 41, 7]. На рис. 2 показана схема такого движения для трубопровода, содержащего одно колено и имеющего жесткую заделку слева.

Рис. 2.

В указанных работах допускалось возникновение в месте заделки пластического шарнира, труба же движется вокруг него как жесткое целое. При этом рассматривались перемещения, сопоставимые с диаметром трубопровода, нагрузка сил считалась сосредоточенной. Однако практика показывает, что пластический шарнир может возникнуть и на неподкренленном участке трубопровода в случае, когда воздействие, не успев дойти до места заделки, уже превышает критическую для потери устойчивости величину. Подробное рассмотрение задачи разрыва в сильно геометрически нелинейной постановке осуществлено в ряде статей Трояновским U.E., Пашковым PI.А. и др. [54, 122-126].

Предлагаемая в работе постановка допускает перемещение трубопровода, сопоставимое с его размерами. Нагрузка считается распределенной по длине средней линии трубы. Изгибная жесткость берется с учетом эффекта Кармана в виде численной сильно нелинейной зависимости, полученной при решении задачи о чистом изгибе тороидальной оболочки. Максимум зависимости изгибающего момента от изменения кривизны считается точкой потери устойчивости, что позволяет моделировать повторные разрывы, возникающие в местах образования пластических шарниров.

Учитывая все вышеизложенное, можно сформулировать общую характеристику настоящей работы.

АКТУАЛЬНОСТЬ ПРОБЛЕМЫ: Современные требования, предъявляемые к оболоченным конструкциям предполагают на стадии их проектирования расчет на надежность и прочность при различных статических и динамических нагрузках.

При этом существенную роль в применимости расчетных моделей играет учет реальных физических свойств материала оболочек. Эксплуатационные характеристики, натурные испытания и численные исследования показывают, что материалы с упруго-пластичекими или физически-нелинейными свойствами дают существенное изменение, в частности, по изгибно-жесткостным характеристикам оболочек, по сравнению с упругими материалами для широкого класса тороидальных оболочек. Наиболее распространенным типом оболочек с широким практическим применением представляются структурно-неоднородные ортотропные оболочки.

Подобные оболочки позволяют не только реализовывать необходимые и порой противоречивые механические характеристики, но и обеспечить целевые свойства, требуемые данной областью применения, будь то химическая, электротехническая, радиоэлектронная промышленность или атомная энергетика, строительство, машиностроительный комплекс и т.д.

Численные исследования изгиба различных открытых и замкнутых профилей со сложной геометрией сечения из упруго-пластического материала показали значительное снижение изгибной жесткости и порога устойчивости, что принципиально важно при проектировании такого рода объектов (различных емкостей, гофрированных покрытий, профилей усиления жесткости и т.д.).

В частности актуальной представляется разработка методики численного моделирования в упруго-пластической постановке процессов деформирования и динамики элементов магистрального трубопровода АЭС с протекающей пароводяной смесью давлением свыше 100 атм. после аварийного разрыва последнего в поперечном сечении.

Применение расчетов изгиба упруго-пластических оболочек позволяет таким образом прогнозировать нештатные аварийные ситуации на АЭС. связанные системами трубопроводов.

Учет потери устойчивости при изгибе упруго-пластической оболочки, являющийся следствием эффекта Кармана, дает возможность исследовать динамику трубы после потери устойчивости и возникновения пластического шарнира, что также важно для определения конструкционных решений по расположению и взаимодействию различных узлов АЭС и их защите в случае возникновения аварийных ситуаций.

Точный численный расчет чувствительных элементов из физически нелинейных материалов, реализующих разности давлений и принцип трубки Бурдона, позволяют не только создавать измерительные приборы с заранее заданными рабочими характеристиками, но и решить в определенной степени проблему проектирования роботов-манипуляторов. Анализ и необходимые для заказчика расчеты процессов деформирования, параметров чувствительности, геометрии и других характеристик рабочих оболоченных элементов манипуляторов для электровакуумной техники создают новые предпосылки рационального проектирования подобных робототехнических систем.

ЦЕЛИ ИССЛЕДОВАНИЙ:

1. Разработка методик расчета изгиба оболочек и динамики трубопроводов с учетом упруго-пластических и неоднородно-ортотропных свойств материала, давления и существенной нелинейности краевой задачи, описывающей модель.

2. Создание программно-вычислительного комплекса для численного моделирования процессов деформирования, способного реализовать расчеты и многопараметрический анализ широкого класса оболочек, а также оценить степень влияния их физических, геометрических характеристик и учета пластических деформаций на напряженно-деформированное состояние и устойчивость оболоченных конструкций в целом.

3. Проведение численного исследования изгиба упруго-пластических оболочек для различных геометрически сложных открытых и замкнутых сечений с определением критических значений потери устойчивости изгибающего момента и кривизны средней линии. Исследование явления бифуркации при изгибе оболочек незамкнутого, в том числе периодического профиля.

4. Разработка в упруго-пластической постановке методики численного моделирования процессов деформирования и динамики элементов магистрального трубопровода АЭС с протекающей пароводяной смесью давлением свыше 100 атм. В том числе и после аварийного разрыва последнего в поперечном сечении. Определение линейной координаты и времени появления пластического шарнира в результате локальной потери устойчивости. Исследованию подлежат большие перемещения трубы, сопоставимые с ее размерами.

5. Проведение анализа и выборочных расчетов процессов деформирования, параметров чувствительности, геометрии и характеристик проектирования оболоченных конструкций, работающих по принципу трубок Бурдона для создания предпосылок рационального проектирования рабочих элементов манипуляторов электровакуумной техники.

Метод исследования.

Состоит в численном расчете на ЭВМ методом ортогональной прогонки моделей, описываемых краевой задачей для системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного порядка по координате и второго порядка по времени (в случае анализа динамики). Научная новизна.

В точной постановке численно решается с учетом давления задача чистого изгиба тороидальной оболочки произвольного профиля из упруго-пластического или неоднородного ортотропного материала. Данные результаты могут быть применены к численному расчету динамики упруго-пластической трубы для больших перемещений, после аварийного поперечного разрыва.

Достоверность результатов работы обоснована применением классических уравнений механики деформируемого твердого тела; использованием апробированных математических методов; тестированием пакета прикладных программ на классических задачах и хорошо изученных моделях; сравнением результатов с решениями, полученными ранее другими авторами и результатами проводившихся натурных экспериментов.

Апробация работы:

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры Математического моделирования МГИЭМ;

На семинарах кафедры Газовой и волновой динамики МГУ им. М.В. Ломоносова; Международной научно-практической конференции по проблеме «Безопасность трубопроводов» (август 1997г); на ежегодных науно-практических конференциях аспирантов и молодых ученых МГИЭМ, 1999 г., 2000 г.; 7ой Международной конференции «Новые информационные технологии», Крым, 1999 г.; Научном семинаре по механике сплошной среды института проблем механики РАН, 2000 г.; научном семинаре по механике деформируемого твердого тела МГТУ «МАМИ»: научном семинаре по алгоритмизации задач механики МГТУ «Станкин» и др.

Основные результаты работы:

1. В работе осуществлены строгая постановка задачи расчета изгиба и динамики тороидальной оболочки с учетом упруго-пластических и неоднородно-ортотропных свойств материала, внутреннего давления и существенной нелинейности краевой задачи, описывающей модель. Для случая произвольной начальной формы сечения оболочки методами численного моделирования получена зависимость изгибающего момента - М от начальной - к0 и конечной - к кривизн средней линии - М=к(к°,к), дополняющая классическую аналитическую формулу Кармана. Причем, полученная зависимость справедлива не только для оболочек кругового сечения.

2. Предложена методика численного моделирования динамики процессов деформирования элементов магистрального трубопровода АЭС с протекающей пароводяной смесью и давлением свыше 100 атм., в том числе после аварийного разрыва последнего в поперечном сечении. Определению подлежат линейные координаты и время появления пластического шарнира в результате полной потери устойчивости, а также большие перемещения трубопровода (сопоставимые с размерами грубы) и повторные разрывы, возникающие в местах образования пластических разрывов. Учет пластичности существенно снижает критическое значение момента - Мкр, после которого наступает потеря устойчивости; значение критической кривизны - ккр изменяется незначительно (уменьшается до 10%); влияние коэффициента Пуассона материала оболочки, если последний отличен от 1Л, может внести для Мкр и ккр поправку численного моделирования до 5%.

3. Численное моделирование изгиба упруго-пластических оболочек для различных геометрически сложных открытых и замкнутых сечений (в том числе и периодического профиля) с определением критических значений потери устойчивости изгибающего момента и кривизны средней линии позволило выявить ряд практически важных для эксплуатации, проектирования и процесса создания оболоченных конструкций с наперед заданными свойствами, рекомендаций и регламентирующих положений.

В частности, изгиб оболочек квадратного сечения показывает, что при малых изменениях кривизны (к<0,013) до появления пластичности в крайних по толщине волокнах изгибаемая оболочка ведет себя как упругая, а далее, при увеличении к следует распространение пластических деформаций по толщине оболочки и М(к) становится существенно зависимой от параметра Ег. Учет пластичности значительно по сравнению с упругим случаем снижает значение Мкр, величина ккр изменяется несущественно. Моделирование изгиба цилиндрических оболочек незамкнутого сечения (в частности - Г1-образного) показывает, что потеря равновесия последних происходит при незначительном изменении формы сечения, учет пластичности существенно уменьшает Мкр и ккр.

Проведенный в строгой постановке анализ и выборочные расчеты процессов деформирования, параметров чувствительности, геометрии и характеристик проектирования оболоченных конструкций, работающих по принципу трубок Бурдона, позволили выявить ряд принципиальных предпосылок рационального проектирования рабочих элементов манипуляторов электровакуумной техники, в частности по точности позицирования и амплитудным значениям перемещений. Исследования выявили существенное влияние эффекта Кармана на расчетные характеристики динамики рассматриваемых в работе конструкций. Для учета данного эффекта при расчете динамики труб показана принципиальная возможность использования численно заданной, существенно нелинейной зависимости изгибающего момента от изменения кривизны, рассчитанной для малого сектора трубы как тороидальной оболочки.

Алгоритмизация решения задач и разработанный программный комплекс для численного моделирования динамики и процессов деформирования позволяют проводить многопараметрический анализ широкого класса оболочек; для численной реализации задач использовались методы Ньютона и ортогональной прогонки. Исследованные сходимости решения путем увелечения числа точек ортогонализации приводило к погрешности в пределах 1%. Полученные численные результаты решения тестовых задач сравнивались с классическими, результатами или данными натурных

Блок-схема решения статической краевой задачи для упруго-пластического случая

Блок-схема решения статической краевой задачи для неоднородного ортотропного случая

Блок-схема программы для расчета динамики трубы

1. Айнбиндер А.Б., Шнееров A.JL, Определение усилий и перемещений пространственного трубопровода, Оценка надежности магистральных трубопроводов, М., 1987, с 3-17.

2. Аксельрад Э.Л., Уравнения деформации оболочек вращения и изгиба тонкостенных стержней при больших упругих перемещениях, Изв. АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение, № 4, 1960.

3. Аксельрад Э.Л., "Гибкие оболочки", Москва, 1976, 376 с.

4. Аксельрад ЭЛ., Изгиб тонкостенных стержней при больших упругих перемещениях. Изв. АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение, № 3, 1961.

5. Аксельрад ЭЛ., Изгиб и потеря устойчивости тонкостенных труб при гидростатическом давлении, Изв. АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение, № 1, 1962.

6. Аксельрад ЭЛ., "Тонкостенные криволинейные стержни и трубы", сборник трудов ЛИИЖТ, 249, 1966.

7. Аксельрад ЭЛ., Большие осесимметричные прогибы пологой оболочки вращения при нагреве и нагрузке. Сб. "Расчет пространственных конструкций". В. 6, Госсройиздат, 1961.

8. Андреев Л.В., Рузин В.И., Об уравнениях деформирования плоских криволинейных стержней, Межвуз. Сб. науч. Тр. Днепропетровск, 1960, с 62 - 65.

9. Белостоцкий А., Воронова Г., Духовный И., Школьникова Ф., Расчетное обоснование прочности трубопроводных систем атомных электростанций на стадии их проектирования, Энергетика, 1991, № 3 с82-91.

10. Бреховских Л.М., Гончаров В.В. "Введение в механику сплошных сред", Наука, 1982.

11. П.Бурдин П.Г. Экспериментальное исследование устойчивости круговыхцилиндрических оболочек при совместном действии изгиба и внешнего давления / Исследование прочности, устойчивости и выносливости элементов летательных аппаратов, М., 1959.

12. Ведута Т.Н., Бондарин Э.А., Шунько Н.И., Исследование напряженного и деформированного состояния пространственного стержня при помощи ЭВМ, Матер 47й Науч.-техн. конф., Минск, 1992, с92.

13. Виноградов А.Ю., Виноградов Ю.И., Совершенствование метода прогонки С.К. Годунова для задач строительной механики, Изв. АН Мех. тверд, тела, 1994, № 4, с187-191.

14. Гайдайчук В.В. Метод построения решения нелинейных уравнений теории гибких стержней, Сопр. матер, и теор. сооруж., с 19-23.

15. Газизов Х.Ш., О конечных элементах оболочек в строительной механике, Изв. вузов в авиац. техн., 1994, № 2, с74-76.

16. Герштейн М.С., Динамика пространственного трубопровода составленного из плоских кривых при действии подвижной нагрузки, ВНИИСТ, М, 1990, с. 102-109.

17. Григолюк Э.И., Тонкие биметаллические оболочки и пластины, Инж. сб. 17, 1953.

18. Гуляев В.И., Гайдайчук В.В., Кошкин B.JL, Упругое деформирование гибких стержней, Пробл. мех. оболочек-Камепин, 1988, с. 40-52.

19. Гунин В.В., Нелинейное поведение оболочек вращения при сильном осесимметричном изгибе, Деп в ВИНИТИ 28.2.95.545В95.

20. Динасылов А.Д., Ким Е.И., Алгоритмы и программа для решения на ЭВМ статических и динамических задач изгиба стержней методом начальных параметров, Алма-Ата. энер. ин-т, 1990, Деп. в КазНИИНТИ 13.11.90, N3205-Ka90.

21. Джонс, "Плоский изгиб кривой трубы большой кривизны", Конструирование и технология машиностроения, Ил, № 2, 1967.

22. Дубяга K.M., "Изгиб тонкостенных кривых трубок", Известия С.-Петербургского политехнического института, т. 2, 1909.

23. Елисеев В.В. Упругая деформация плоского криволинейного стержня, Тр. Ленингр. политехи, ин-та-1988, № 425, с. 46-51.

24. Исследования по теории оболочек: Тр. семин. Вып. 21.4.1/АН СССР, казан, физ.-техн. ин-т, Казань. 1988, 161 с.

25. Канторович Л.В. Акилов Г.Р., "Функциональный анализ", М., 1984, 684 с.

26. Каплунов С., Статников И., О выборе параметров многопролетных трубных пучков с учетом их вибронадежности, Энергетика, 1991. № 3, с. 171-179.

27. Карпенко Ю.В., Исследование нестационарных гидромеханических процессов в трубопроводных системах и разработка методов снижения вибрации АЭС, Автореф. дис. (к.т.н.), М., 1974, 31 с.

28. Карчевский М.М., Смешанные схемы МКЭ для нелинейных задач теории оболочек, Междунар. совещ. прогр. и мат. мет., Дубна, 1994, с. 62-64.

29. Каюк Я.Ф. Твердохлеб Е.В., Определение характеристик напряженного состояния цилиндрических оболочек с криволинейной осью на основе соотношений пространственной теории упругости, Ивано-Франковск, 1992 г., Деп. в УкрИНТЭИ 24.09.92., № 1472-Ук92.

30. Коровайцев A.B., Евкин А.Ю., Осесимметричное деформирование тороидальной оболочки при сильном изгибе, Прикл. мех. Киев. 1992, № 4. с. 16-23.

31. Коровайцев A.B., Петроковский С.А., Расчет напряженно-деформированного состояния гибких тонких оболочек методом ортогонализации, Моск. авиац. технол. ин-т, М., 1991, с. 68-72.

32. Костовецкий Д.Л., "Об устойчивости равновесия кривой тонкостенной трубы кругового сечения, нагруженной наружным давлением", Изв. АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение, № 1, 1961.

33. Кларк Р., рейсснер Э., "Изгиб труб с криволинейной осью", сб. "проблемы механики", ИЛ, М., 1955.

34. Кондрашков A.B., Французов С.Б., Плоская задача о сильном изгибе нелинейного упругого криволинейного стержня, Ред. Ж. Изв. вузов, Казань, 1991, 92 с.

35. Кондрашков A.B., Маляров А.Ф., Методика расчета трубопроводов при сейсмических воздействиях, Обеспечение сейсмостойкости АС, М, 1987,с 101-103.

36. Кругленко М.В., К единой теории тонкостенных стержней произвольного поперечного сечения, Мсслед. по мех. строит, конструкций и мат.,Л.1988,с 5-9.

37. Кузеванов B.C., Нестационарные процессы в системе реактор-петля-перемещение, связанные с разрывом трубопровода петли, Автореф. дис. к.т.н.,М, 1974,31с.

38. Куликов Ю.А., Расчет параметров свободных и вынужденных колебаний трубопроводов с пульсирующим потоком жидкости методом конечных элементов, Расчеты на прочность,М., 1990,N32, р.177-192.

39. Лещинский Г.А., Нестационарное движение пароводяных сред в трубопроводах и их вибрационное состояние. Автореф. дисс.(к.т.н.).Харьков. 1983,24с.

40. Лурье A.M., Об уравнениях общей теории упругих оболочек, ПММ. 14, Ы5, 1950.

41. Лутовинов С.З., Исследование истечения горячей воды при разрыве трубопровода применительно к аварийной ситуации на АЭС. Автореф. дис. к.т.н., МЛ 985, 20с.

42. Мяченков В.М.,Мальцев В.П. "Методы и алгоритмы расчета пространственных конструкций на ЭВМ".Машиностроение, 1984.

43. Никобадзе М.У., Плоские криволинейные стержни, МГУ-М., 1990, деп. в ВМШТМ 07.08.90 N4509-1390.

44. Никольский М.Д.Клещев Н.Е., Вариационная постановка и численный метод расчета гибких упругих стержней, Пробл. прочн. матер, и сооруж.,0-Пб,1995, с99-101.

45. Новожилов В.В. "Теория тонких оболочек", М 1962,431с.

46. Пашков М.А., Трояновский М.Е. , Белоусова O.A., Собственные плоские колебания упругого цилиндра с внешним треиием. ММЭМ, 1988,1 1с,деп. в ВМШТМ,Ы324-688.

47. Пикуль В.В., К проблеме построения физически корректной теории оболочек, Изв. РАН Мех. тверд, тела, 1992, N3,c 18-25.

48. Ржезников Ю.В., Кан JI.M., Светличный А.П. "Нестационарная реактивная сила при истечении вскипающей воды", "локализация аварий на АЭС", сборник научных трудов ,ред.БукринскогоА.М,1987.

49. Романчук H.H., Жеварина Ю.А., О рациональной форме сечения тонкостенных стержней открытого профиля при изгибе с кручением, Ленингр. зонал. н.-и. и проект, ин-т. проектир. общест. зданий, Л, 1989,с 46-53.

50. Светлицкий В.А., Статика, устойчивость и малые колебания стержней, заполненных движущейся идеальной несжимаемой жидкостью, Расчеты на прочность,вып.14, 1969, с.332-351.

51. Светлицкий В.А., Нарайкин О.С. "Упругие элементы машин", МЛ 989.

52. Стасенко М.В., Толмачева Е.А., Основные соотношения изгиба тонкостенных криволинейных, труб, Моск. ин-т приборостр.М,1991, 153с.

53. Стефенс, Старнес, Олмрот, "Разрушение длинных цилиндрических оболочек", Ракетн. техн. и космонавтика, 13, N1, 1975.

54. Трояновский М.Е., Пашков М.А., Ястребова М.Е., Устойчивость и колебания трубопровода при поперечном разрыве. ММЭМ.М. Деп. в ВМНМТМ 23.1.91 .372-В91.

55. Феодосьев В.М., "Упругие элементы точного приборостроения", Оборонгиз, 1949,344с.

56. Феодосьев В.М., О больших прогибах и устойчивости круглой мембраны с мелкой гофрировкой, ПММ, 9,1945.N5.

57. Феодтовский B.C. Динамика трубопроводов и стержневых пучков с двухфазным потоком при вибрационных воздействиях, Обнинск, 1985, 13с.

58. Халтурина Н.В., Саркисова М.Ф., Экспериментально-теоретические исследования напорного трубопровода Загорской ГАЭС, Гидротехн. ctp-bo,1992,N8,c. 27-30.

59. Хмыров А.Ф., Развитие теории кривых тонкостенных стержней -оболочек открытого профиля с учетом деформаций сдвига срединной поверхности, Матер, н-т. конф., поев. 60-летию Воронеж. Мнж.-строит, ин-та: Воронеж. 1991,с 4-5.

60. Хохметов Г.Х., Хромова Г.А., Эксперементальное исследование н-д-с трубопроводов при одновременном действии динамической нагрузки и гидравлического удара, Сейсмодинамика зданий и сооружений, Ташкент,1988,58-62.

61. Чернина B.C., "0 системе дифференциальных уравнений равновесия оболочки вращения, подверженной изгибающей нагрузке", ПММ 23, Ы2, 1959.

62. Черных К.Ф. "Задача Сен-Венана для тонкостенных труб с круговой осью". Прикладная математика и механика, 24, ЫЗ ,1960.

63. Almroth В.О., Stames .Т.Н. "The computer in shell stability Analisys, ASCE Nat. Struct.

64. Engng. Meeting, San Francisco, 1973.

65. Anderson J.C. Analytical experimental correlation of a noninear system subjest to a dynamic load, US Nucl. regulat. commiss , 1979,52p.

66. Arguelles P.A., Modelación matematica para el diagnostico de tuberías mediante la medición de sus vibraciones, Constr. mag.,1991,16, N2, p84-89.

67. Asley A., Haviland G. Bending vibrations of a pipe-line containing flowing fluid, J.Appl. Mech. 17, N3,1950,p229-232.

68. Bakry M. A. M., Pujitani Y., Finite element analysis for the geometrical section properties of thin-walled beam, Mem. Fac. Eng. Hirosima Univ., 1992,11N2, p41 -50.

69. Banan M.R., Non-linear theory for elastic spatial rods. Int. J. Solids and Struct, 1991,27, N6,p713-724.

70. Beskin L., Bending of curved thin-walled tubes, J. Appl. Mech. 12, 1945.

71. Brazier L.G. Bending of thin cylindrical shells and other thin sections; Proc.Soc. Sept 1 , 1927.

72. Charalambus B., Bestimming der von Rohrleitugen maximal Ubertraqgbaren Biegemomente, Jahrestag. Kerntechr, Bonn, 1987, p. 351-354.

73. Chen S.S., Plow-inducted inplane instabilities of curved pipes, Nucl.Eng., N23,dec.1972,p 29-38.

74. Chen S.S., Out of plane vibration and stability of curved tubes conveying fluid, J.Appl. Mech., vol. 40,N2, 1973, p975-979.

75. Chen S.S., Vibration and stability of a uniformly curved tube conveying fluid, J. Acoust. Soc. Amer., vol.51, 1972,p223-232.

76. Chiba T.,Koyanagi R., An experimental stady of the multiple suppont piping systems, Stract. Mech. React. Technol. Trans. 9th Int. Gonf., Lausanne, Aug. 1987, Vol. B- Rotterdam; Boston, 1987,975-980.

77. Clark R., Gilrov T., Reissner E., "Stresses and deformations of toroidal shells of elliptical cross sections", J. Appl. Mech. 19, 1952.

78. Coulter B.A.,Miller R.E., Numerical analusis of a generalized plane elastica with nonlinear material behaviour, Int. J. Numer. Meth. Eng.,1988, 26, N3, p617-630.

79. Curreri J.,Bezlen P., Dynamic analisis of piping using the stractural overlap method, US Nucl. regulat. commiss 1981, 9,60p.

80. Doll G.W.,Mote C.D. The dynamidc formulation and the finite element analysis of curved and twisted tubes transporting fluds// Report to the National Science Foundation,Department of Mech.Eng. .University of California,Berkeley, 1974.

81. Gizejowski M.A.,Parameswar H.C., A consistent nonlinear theoryfor thin-walled members of open crossection, Stab.Steel Stract: Int.Conf., Budapest, apr. 25-27,1990,c 1311-1319.

82. Gregeric M.,Cizelj L., Steam generator tube Streses During hupothetical steam line break, Z.Angew.Math. and mech.,1989,N4,p230-232.

83. Parchad M.,Karami G., Banan MR., A Theoretical and numerical finite element analusis of spatial rod sistems, Comput. Meth. Appl. Mech. andEng., 1989,73,bI2, p. 111-132.

84. Hara F., Seto K., Basic concepts about application of dual vibration absorbers to seismic design of nuclear piping systems, Stract. Mech. React. Technol. Trans. 9th Int. Confi, Lausanne, Aug. 1987, Vol. B- Rotterdam; Boston,1987, p 29-34.

85. Heidi Ivan, Tonkovik Zdenka, Numeri eke metode proracuna stapnih tankosjenih konstrukcija, StraJarstra, 1994-36,bIl,p49-53.

86. Hill J.L.,Davis C.G., The Effect of initial forces on the Hudroelastic vibration and stability of planar curved tubes, J.Appl. Mech., vol.41, 1952,p205-208.

87. Housner G.W. Bending vibrations of a pipe line containing flowing fluid, Frans. ASME,vol.74,1952,p 205-208.t

88. Iyengar R.N.,Dynamic analysis of the coolant channel assembly under seismic excitation, Stract. Mech. React. Technol. Trans. 9th Int. Confi, Lausanne, Aug. 1987, Vol. B-Rotterdam; Boston, 1987, p 1055-1060.

89. Karman Th. von, Uber die Formänderung dünnwandiger Rohre insbesondere federnder Ausgleichrohre, Zeitsehr.VDI 55 (191 l),n.45.

90. Kohoutek R., Dunamics of beam with semi-rigid joints, Nat. Conf.Publ.,Austal. 1990,N9 ,p 339-343.

91. Kokubo K., Buck ling behaviors of short cylindrical shells under dynamic loads. Stract. Mech. React. Technol. Trans. 9th Int. Confi, Lausanne, Aug. 1987, p 167-172.

92. Lazzeri L., Effects of plastisity on dynamic response of piping Structures, Trans. ASME J. Pres. ves. Technol, 1988, 110, N3, p. 263-269.

93. Lazzeri L,, On the design of piping in non linear conditions under dynamic loads, Stract. Mech. React. Technol. Trans. 9th Int. Confi, Lausanne, Aug. 1987, p 875-879.

94. Meissner E., Das Elasticiyatsproblem fur dünne Schalen von Ringflachen, Kugel-oder Kegel form, Phyikalische Zeitschr., 14,1913,41-52.

95. Mohammadi J., Amin M. Stochastic nonlinear dynamic analysis of piping system on yielding supports, Stract. Mech. React. Technol. Trans. 9th Int. Confi, Lausanne, Aug. 1987, 137-143.

96. Nakagiri S., A note on shape finding of elastic bending rod, Mech.,1991, 3B792.

97. Niordson F.J. Vibrations of a cylindrical tube containing flowing fluid, Kungliga tekniska Hogskolans Handlingar, Stockholm, 1953, n73.

98. Ohtsuki A., An analysis of large deffections in a nonsymmetrical Three-point bending of beanes, Trans Jap. soc. Mech. Eng. A.-198S,54, N507, p 2014-2018.

99. Olesiak Z., "The Bending of thin-walled pipes with lenticular cross section", Bull, de l'acad. Polon des Sci., CL. 4,5, 1957.

100. Reissner E., On the finite bending of pressurised tubes, J. of Appi.Mech. ,1959,sept.

101. Reissner E., Weinitschke H.J., Finite pure bending of circular cylindrical tubes, Quart. Appl.Math. 21 ,1963,n2 , 305-319.

102. Reissner E.,Stress-strain relations in the theory of thin elastic shells, J. Math. andPhus., 31,1952,n.2.

103. Reissner E., Wan F.Y.M.,Rotationally symmetric stress and strain in shells of revolution, Studies in Appl. Math., 48,1969,n.l.

104. Reissner E., On axisymmetrical deformations of thin shells of revolution, Proc. Sumpos. Appl. Math. 3, 1950.

105. Reissner E., On Finite Simmetrical Strain in thin Shells of Revolution, J. Appl. Mech. 39,1972,1137.

106. Reissner H., Spunnungen in Kugelschalen, Festschrift H.MulIer-Breslau, Leipzig, 1912,181-193.

107. Seaman W.J., Wan F.Y., Lateral beading and twisting of thin-walled curved tubes, Stud, in Appl. Math.8,n.l,1974.

108. Shalk M., Henkee P.O., Rohrleitungs berechnungen fur dunamische lastfalle, 3R Int.1990, 29, L>19, p. 470-477.

109. Schanz Karl-Heinz, Zur Berechnung von kreisforming gekrummten Tragern mil dunnwandigem offehen Querschnitt unter Querlasten, Wiss.Z.Techn.Univ. Magdeburg,1991,n5,c 49-54.

110. Schmidt Robert, Pure flexure of a curved bar mith a narrow traperaidel cress section.Ind,Math, 1990, bl 1 ,c. 19-29.

111. Skaloud M., General report on Theme 6: Plate and box girders, Int.Collog.East-Eur.Sess.,Apr.25-27,1990.pl 11-116.

112. Slagis G.G., Basis of current dynamic stress criteria for piping, Weld. Res. Come. Bull., 1991,N367, pi-46.

113. Sutjahjo Endhi, Morris G. Robert, Indegrated bending field finite element for curved beams, J.Eng.Mech., 198S.N9, p 1497-1511.

114. Svetlitsky V.A., vibration of tubes conveying fluids, J. Acoust. Soc. of Amer.,vol62, 1977,p595-600.

115. Unny Т.Е., Martin E.L., Dubey R.N., Hydrostatic instability of uniformly curved pipe-fluid system, J. Appl. Mech., vol 37, ЫЗ, 1970, p. 617-622.

116. Takenaka M.,0saki Т., Buckling Strenght of square ducts usubjected to bending, Stract. Mech. React. Technol. Trans. 9th Int. Conf., Lausanne, Aug. 1987, Vol. B- Rotterdam; Boston,1987, p 29-34.

117. Vigness I., "Elastic properties of curved circular thin-walled tubes",Trwans. ASME, 65, 1943.

118. Villarende R., Approximate seismic analysis of piping or equipment mounted on elastoplastic structures, Stract. Mech. React. Technol. Trans. 9th Int. Conf., Lausanne, Aug. 1987,p 827-832.

119. Wan F.Y. Latere. 1 у loaded shells of revolution, Ing. Arch. 42,1973,245-258.

120. Wood I., The flexure of a uniformly pressurised circular cylindrical shell, J. of Appl. Mech. 25,1958,453.

121. Yotsos A.G., High freguency response evaluation of piping systems. Int.J.Pressure Vessels and p!P.,1989,36,N4,p. 269-287.

122. Zhang R.J., Zhang W., Benoling theory of toroidal shells under arbitrary loadings, 18th Int. Congr. Theor. and Appl. Mech., Haifa,Aug.22-28,1992,c 167.

123. Пашков M.A., Рогов А.А. Трояновский M.E. "Влияние эффекта Кармана на движение трубопровода при разрыве в поперечном сечении", деп. в ВИНИТИ 13.05.1991,N 1932-В91.

124. Пашков М.А., Рогов А.А., Трояновский М.Е. Влияние эффекта Кориолиса и переносных сил на движение трубопровода при разрыве в поперечном сечении, МИЭМ, деп. в ВИНИТИ 29.11.1993г., Ы 2941 В-93

125. Пашков М.А. Рогов А.А., Трояновский М.Е., Влияние нелинейного эффекта Кармана на динамику трубопровода после аварийного разрыва, Доклады Академии Наук, 1995, том 342, N 3, с.342-344.

126. Кульчихина JI.JL, Майборода В.П., Рогов А.А. Титкова Е.А. Трояновский М.Е., Сильный изгиб тороидальной оболочки некругового сечения с учетом пластичности. МГИЭМ, деп. в ВИНИТИ. N 330 В96.

127. Кульчихина Л.Л., Майборода В.П., Рогов А.А., Титкова Е.А., Трояновский М.Е., Плоское движение пластического криволинейного стержня под действием распределенной нагрузки, МЕИЭМ, деп. в ВИНИТИ 30,01.1996г. N 329 В96 .

128. Майборода В.П., Рогов A.A., Эйхорн Х.Ю., Эффект Кармана в случае изгиба неоднородной ортотропной тороидальной оболочки, МГИЭМ, деп. в ВИНИТИ 30.04.1996г. Ы 1349-В96 .

129. Майборода В.П., Рогов A.A.» Эйхорн Х.Ю., Влияние пластического эффекта Кармана на динамику трубопровода после разрыва, МГИЭМ, деп. в ВИНИТИ Ы 1350-В9б,30.04.1996г.

130. Бергер.И.А., Пановко.Я.Г., Болотин.,В.В.и др. Прочность. Устойчивость.Колебания.-м. Машиностроение, 1968.-т.2.

131. Годунов.С.К.О численном решении краевых задач для систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Успехи математических наук, 1961, т. 16, вып.3(99), с.174-177.

132. Ильюшин A.A. К теории малых упруго-пластических деформаций, ПММ.1946, том 10, вып. 3, о 347-356.

133. Ильюшин A.A. Пластичность. М.-Л.:Гостехиздат.1948.

134. Ляв А. Математическая теория упругости. М.,Л.ЮНТИ.1935. 134 Малинин И.И. Прикладная теория пластичности и ползучести. М. Машиностроение, 1975.

135. Малинин И.И. • Прикладная теория пластичности и ползучести. М. Машиностроение, 1995.

136. Новожилов В.В.,Черных К.Ф.Михайловский Е.М. Линейная теория тонких оболочек-Л.: Политехника, 1991.

137. Новожилов В.В. О погрешности одной из гипотез теории оболочек // Докл. АН CCCP.-1943.-t.38.-N5-6.-c.174-179.

138. Новожилов В.В., Финкельштейн P.M. О погрешности гипотез Кирхгофа в теории оболочек ПММ.-1943.-т.7.-вын.5.-с.ЗЗ 1-340.

139. Курчанова М.В., Рогов A.A., Шленов А.Ю. "Собственные колебания вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрическом объеме", МГИЭМ. 12с., деп. в ВИНИТИ 17.09.99 г., № 2868-В99.

140. Курчанова М.В., Рогов A.A., Шленов А.Ю. "Краевые условия в задаче о колебаниях упругого цилиндра с несжимаемой идеальной и вязкой жидкостью", МГИЭМ, 18с., деп. в ВИНИТИ 22.07.99 г., № 2408-В99.

141. Курчанова М.В., Рогов A.A., Шленов А.Ю. "Численное исследование собственных колебаний полого упругого цилиндра". МГИЭМ. 16с., деп. в ВИНИТИ 22.07.99 г. № 2409-В99.

142. Курчанова М.В., Рогов A.A., Шленов А.Ю. " Численное исследование собственных колебаний толстостенного цилиндра, заполненного вязкой несжимаемой жидкостью", МГИЭМ, 15с., деп. в ВИНИТИ 17.09.99 г., № 2869-В99.

143. Курчанова М.В., Рогов A.A., Шленов А.Ю. " Частные случаи движения идеальной несжимаемой жидкости в цилиндрическом объеме", МГИЭМ, Юс., деп. в ВИНИТИ 26.06.99 г., № 2094-В99.

144. Курчанова М.В., Рогов A.A., Шленов А.Ю. " Уравнения движения толстостенного цилиндра, заполненного вязкой несжимаемой жидкостью в смешанных переменных", МГИЭМ, 21с., деп. в ВИНИТИ 29.06.99 г., № 2093-В99.

145. Шленов А.Ю., Майборода В.П., "Построение математических моделей стратегического анализа и поиска синергос-технологий конструкционных материалов", МГИЭМ, 12с., деп. в ВИНИТИ 17.03.99 г., № 805-В99.

146. Шленов А.Ю., Майборода В.П., "К вопросу моделирования динамики структурно-неоднородных конструкций", МГИЭМ. 5с., деп. в ВИНИТИ 22.07.99 г., № 2409-В99.

147. Шленов А.Ю., Программный комплекс численного моделирования краевых задач, описываемых системой нелинейных дифференциальных уравнений произвольного порядка", НТК МГИЭМ, тезисы докладов, 2000 г.

148. Шленов А.Ю., Рогов A.A., Программная реализация численного решения задач на собственные формы и собственные частоты колебаний в комплексной области, 8-я Международная конференция "Новые информационные технологии", Сборник конференции, Крым, 2000 г.