Динамика упругой пластины при движении по плоскости с трением, зависящим от скорости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

: 'САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ИЛИХМЕНЕВ Андрей Львович

ДИНАМИКА УПРУГОЙ ПЛАСТИНЫ ПРИ ДВИЖЕНИИ ПО ПЛОСКОСТИ С ТРЕНИЕМ, ЗАВИСЯЩИМ ОТ СКОРОСТИ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 3 907

Работа выполнена на кафедре теоретической механики и баллистики Балтийского государственного технического университета.

Научный руководитель -

доктор технических наук, профессор

Алдошин Геннадий Тихонович

Официальные оппоненты -

доктор физико-математических наук, профессор

Даль Юрий Михайлович

кандидат физико-математических наук, доцент

Файнпшидт Виктор Лейбович

Ведущая организация -

Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова

Защита состоится "2 и " . 1997 г. в "у / час. на заседа-

нии диссертационного совета К 063.57.13 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу :

198904, Санкт-Петербург, Ст. Петергоф, Библиотечная площадь, дом 2, математико-механический факультет.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке им. Горького СПбГУ, Университетская наб., 7/9

Автореферат разослан "20 " ШЬ^сЪи 199" г.

Учении '-екрот <-рь диссертационного «•••>; . докюр ммико-мате^упгческих наук, /ю.м ,

ОБШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В условиях динамического контакта с трением работают различные элементы конструкций (опоры скольжения, фрикционные муфты, узлы станков и.т.д.). Кроме того, подобные механические модели могут быть использованы при анализе явлений землетрясения и их характеристик. Учет влияния при анализе динамических режимов работы системы трения, нелинейно зависящего от скорости точек проскальзывания, на динамику упругого тела является недостаточно исследованным, что дополнительно подчеркивает актуальность данной тематики. Одной из моделей может служить упругая пластина, движущаяся по поверхности с трением, зависящим от скорости.

Цель работы - выявление возможных динамических режимов пластины при скольжении по плоскости с трением, зависящим от скорости точек проскальзывания, анализ влияния на них параметров системы и условий, при которых то или иное приближенное описание трения является приемлемым. При решении соответствующих динамических задач теории упругости разрабатывается методика расчета динамики пластины. По результатам работы могут быть даны практические рекомендации.

Методика исследования. Постановка задач представляет собой соответствующие динамические задачи теории упругости в перемещениях для пластины. При различных аппроксимациях условий, отражающих трение, используется метод малого параметра для построения приближений решения и отыскание решения исходной задачи на основе вида приближений.

Научная новизна. Рассмотрены задачи динамики упругой пластины при наличии внешнего трения, нелинейно зависящего от скорости точек проскальзывания. Подобная постановка задачи ранее в литературе не рассматривалась. Найдено относительное равновесие пластины. При рассмотрении динамики пластины построены решения, соответствующие различной аппроксимации граничных условий, отражающих трение. Найдены условия приемлемости каждой из этих аппроксимаций при расчете и исследовании динамики пластины. В соответствии с найденными решениями обнаружены возможные режимы относительного равновесия, асим-

з

птотического стремления к нему и колебаний, в зависимости от параметров трения, упругих свойств системы и внешней нагрузки. Границы между данными режимами в области значения параметров выражены аналитически. Применение полученных результатов при рассмотрении конкретных примеров подтверждает результаты, полученные ранее с использованием более простых моделей, уточняет, расширяет и обобщает их.

Практическая ценность результатов заключается в возможности применения их при моделировании элементов конструкций, работающих в указанных условиях, выработке практических рекомендаций при расчете, исследовании и конструировании. Кроме того, подобные модели и результаты могут быть использованы в задачах геодинамики о сдвиге слоя земной поверхности при землетрясении.

Достоверность результатов следует из обоснованности принятых механических моделей, строгости используемого математического аппарата и согласования результатов с результатами, полученными другими авторами для более простых моделей и с имеющимися экспериментальными данными.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на IX, X, XI Зимних школах по механике сплошных сред (Пермь, 1991, 1995, 1997 г.); XVI конференции по вопросам рассеяния энергии при колебаниях механических систем (Ивано-Франковск, 1992); II Международной научно-технической конференции "Актуальные проблемы фундаментальных наук" (Москва, МГТУ им. Н.Э.Баумана, 24-28.01.94), где доклад был удостоен Диплома лауреата конкурса научных работ, представленных на конференцию; всероссийской конференции "Первые поляховские чтения" (С.-Пб., 29-31.01.97), научных семинарах кафедры теоретической механики и баллистики Балтийского государственного технического университета и кафедры теории упругости С-ПбГУ.

Публикации. По результатам исследований по теме опубликовано 9 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы из 79 наименований

и 11 приложений. Общий объем составляет 207 страниц текста, включая 17 страниц рисунков и 57 страниц приложений.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан обзор работ, связанных с темой диссертации.

Вначале рассмотрена литература, посвященная математическому описанию сил трения. В основе лежит закон Кулона-Амонтона при динамической силе трения, направленной в сторону, противоположную скорости точек проскальзывания и пропорциональной нормальной реакции. Рассмотрены факторы, влияющие на коэффициент трения, прежде всего на зависимость его от скорости точек проскальзывания, и различные варианты этой зависимости. Наиболее общей формулой является предложенная И.В. Крагель-ским и B.C. Щедровым и содержащая в себе экспоненциальную зависимость. В зависимости от значения параметров характеристика трения f(V) может иметь падающий и возрастающий участки при стремлении к постоянному значению с ростом скорости, а сами параметры зависят от физических свойств материала трущихся тел, степени шероховатости и упругих свойств. Важную роль играет отношение скорости скольжения к скорости распространения упругих волн. При наличии колебаний отмечается уменьшение коэффициента трения по сравнению со случаем отсутствия колебаний. При малой скорости отмечена неоднозначность зависимости f(V) с направлением петли гистерезиса по часовой стрелке.

Значение порога статической силы трения, соответствующее переходу к проскальзыванию, до недавнего времени определялось, согласно гипотезе И.В. Крагельского и А.Ю. Ишлинского, в зависимости от времени неподвижного контакта. В последнее время в отечественных и зарубежных работах указано, что решающим фактором здесь является не время неподвижного контакта, а скорость изменения сдвигающей нагрузки (чем она выше, тем меньше значение силы трения перехода от покоя к скольжению).

Среди методов динамической теории упругости по имеющейся литературе отмечены лишь те, которые могут иметь применение к подобным задачам о динамике упругого тела при наличии внешнего трения. Это либо использование представления решения в определенном виде, либо переход к интегральным уравнениям, либо использование вариационной постановки задач, либо сеточные

s

и гранично-элементные методы.

Явления, характерные для систем с упругими связями и трением, отмечены достаточно давно и многообразны. Самовозбуждающиеся колебания возникают в системе осциллятор Б. Ван-дер-Поля при падающей характеристике трения, что показали Н.Л. Кайдановский и С.Э. Хайкин, они носят либо релаксационный при малой скорости, либо близкий к гармоническим характер. Учет составляющей момента трения, кубически зависящей от относительной угловой скорости, показывает наличие предельного цикла автоколебаний или неограниченного роста амплитуды в задаче о маятнике Фроуда. При возрастающей характеристике трения отмечается устойчивость относительного равновесия. В ряде систем отмечено влияние соотношения между фрикционными и упругими характеристиками на условия работы системы, а также возможность возникновения хаотических колебаний.

Модели упругих систем с трением использовались (в основном за рубежом) при анализе сдвига слоя земной поверхности при землетрясении. Модель Р. Бэрриджа и Л. Кнопова (ВК-модель) представляет упругий слой совокупностью точечных масс на шероховатом нижнем основании, соединенных линейно-упругими пружинами между собой и линейно-упругими струнами с верхним основанием. Сила трения нелинейно зависела от скорости точек проскальзывания. По результатам численных исследований отмечается неустойчивость относительного равновесия при достаточно большом наклоне падающей характеристики трения и обязательность учета трения. Движение системы напоминало релаксационные колебания. Возвращение в последние годы рядом авторов к данной модели приводит их к условию, являющемуся границей между релаксационными и нерелаксационными колебаниями в области значения параметров, содержащему скорость верхнего основания, упругие характеристики системы и параметры трения. Зависимость смещения от времени при релаксационных колебаниях отлична от отмеченной И.В. Крагельским линейно-пилообразной и время роста деформаций больше времени их ослабления.

В настоящей работе рассмотрены задачи о динамике упругой пластины при скольжении по плоскости с трением, ранее в литературе не рассматривавшиеся, как задачи теории упругости без сведения системы к модели с сосредоточенными параметрами.

В первой главе приведена постановка данной задачи о динамике упругой пластины. Верхнее основание прямоугольной однородной изотропной пластины малой толщины поджато постоянным

в

нормальным давлением и движется в направлении, параллельном двум боковым сторонам с постоянной заданной скоростью. Нижнее основание скользит по шероховатой плоскости с трением, вообще говоря нелинейно зависящим от скорости точек проскальзывания. Боковая поверхность свободна от напряжений. Лапная задача ставится как динамическая задача теории упругости в перемещениях.

Решение, соответствующее относительному равновесию, ищется с использованием метода малого параметра после перехода к безразмерным переменным. Оно включает в себя члены, отражающие движение как твердого целого с заданной скоростью, сжатие по толщине при расширении по длине и ширине за счет давления, зависящие от упругих постоянных Ламэ, сдвиговый перекос вследствие трения на угол, определяемый поджатием, модулем сдвига и коэффициентом трения.

Во второй главе рассмотрены задачи о динамике данной пластины при различных по отношению к составляющим относительной скорости точек проскальзывания аппроксимациях граничных условий, отражающих трение.

В параграфе 2.1. задача с простейшей аппроксимацией указанных граничных условий эквивалентна задаче о динамике упругой пластины при движении по плоскости с анизотропным не зависящим от скорости трением при пренебрежимо малой боковой составляющей силы трения, и результат поэтому может иметь самостоятельное значение. При решении после перехода к безразмерным переменным также используется метод малого параметра. Решение ищется с использованием метода разделения переменных. Найденные приближения показывают взаимосвязанные упругие колебания по всем направлениям около положения относительного равновесия. При невыполнении некоторого условия, содержащего упругие постоянные, переменность амплитуды колебаний имеет место только для сдвиговых составляющих колебаний, при выполнении же этого условия амплитуда колебаний по всем направлениям переменна, и связь между колебаниями сложнее. Последнее объясняется тем, что при выполнении данного условия совпадают частоты сдвиговых колебаний и колебаний по толщине пластины для разных форм колебаний, что ведет к взаимному переходу колебаний, внутреннему резонансу и усложнению решения. Указанное условие особенно характерно для материала близкого к несжимаемому. Формы колебаний выражаются через тригонометрические функции.

В 2.2. для данной задачи рассмотрена линейная по отношению

к составляющим относительной скорости точек проскальзывания аппроксимация граничных условий, отражающих трение. Здесь решение обнаруживает важную роль параметров

Г» = г„ =

где р - поджатие, /(V) - зависящий от скорости коэффициент трения, р - модуль сдвига, р - плотность.

При г„ ф 0, -г„ Ф г» или —Гц = г», < 1 (при достаточно большом наклоне характеристики трения по отношению к модулю сдвига и плотности) решение отражает возможные колебания около положения относительного равновесия по толщине пластины при отклонении от равновесия в начальных условиях. При г„ = -г„ < -1, (/'(V) = /(У)/У), то есть при этом условии при значении скорости точек проскальзывания на достаточно резко возрастающем участке характеристики трения, решение показывает асимптотическое стремление к относительному равновесию. Скорость стремления определяется наклоном характеристики трения, давлением, модулем сдвига и плотностью материала. При ги « 0 (при малом наклоне характеристики трения или вблизи точки ее экстремума) решение показывает взаимосвязанные колебания в плоскости, параллельной боковым сторонам, вдоль которых происходит движение верхнего основания пластины в условиях плоской деформации. Сдвиговые колебания и колебания по толщине взаимосвязаны, причем эта связь является более сложной при выполнении условия, о котором упоминается в 2.1. Проявляется это начиная с первого приближения и объясняется, как и в 2.1., совпадением при этом условии частот колебаний в двух направлениях (или скоростей волн), соответствующих разным формам колебаний.

Как видно, данное решение из 2.2. при непренебрежении боковой составляющей силы трения для всех случаев значения параметров системы существенно отличается от решения из 2.1. при простейшей аппроксимации граничных условий, отражающих трение. Поэтому использование простейшей аппроксимации с пренебрежением боковой составляющей силы трения для данной задачи неприемлемо.

В 2.3. данная задача о динамике пластины рассмотрена при квадратичной аппроксимации граничных условий, отражающих трение. Новым по сравнению с 2.2. результат оказался при |г„| > 1, /"(V) = 0, то есть для резко возрастающей или резко падающей характеристики трения вблизи точки ее перегиба или при кусочно-линейной аппроксимации характеристики трения. Здесь

решение обнаруживает возможность асимптотического стремления к относительному равновесию при г„ < -1 ( при достаточно резко возрастающей характеристике трения {'{V) > у/Цр/р ) и ухода из области начального положения при г» > 1 (при значении скорости точек проскальзывания на достаточно резко в указанном смысле падающем участке характеристики трения) при колебаниях во внутренних точках пластины между ее основаниями. Скорость ухода зависит от наклона характеристики трения, давления р, модуля сдвига ц и плотности р.

Кубическая аппроксимация граничных условий, отражающих трение, рассмотренная в 2.4., не вносит в результат данной задачи существенных изменений.

При произвольной заданной характеристике трения /(У) следует в качестве решения использовать соединение результатов 2.2. - 2.4. в зависимости от значения параметров системы. Постоянные и функции, входящие в решение, определяются из начальных условий и граничных условий на боковой поверхности.

В качестве примера для применения полученных результатов в 2.5. рассмотрена задача о динамике упругой пластины при движении из состояния статического равновесия с заданной экспоненциально зависящей от скорости характеристикой трения с петлей гистерезиса по часовой стрелке при малых скоростях. До начала скольжения функции перемещения удовлетворяют той же динамической задаче теории упругости с отличием в граничных условиях на нижнем основании, отражающих неподвижность. Решение показывает нарастание касательных напряжений в точках нижнего основания, и соответственно рост сдвигающих усилий с течением времени, до начала проскальзывания. Пороговое значение силы трения, при котором наступает проскальзывание, определяется на основе предположения о зависимости его от скорости изменения сдвигающих усилий, высказанного Ле Суан Анем и Л. Т. Оуденом.

После начала проскальзывания динамика пластины определяется видом харектеристики трения, в соответствии с результатами из 2.2. - 2.4. При возрастающей выпуклой вверх характеристике трения с наличием резко возрастающего ее участка г„ < — 1 при скорости движения верхнего основания V < Ц : /'(Ц) = л/1Тр/р точки пластины стремятся перейти в положение относительного равновесия. При V > пластина переходит к колебаниям около положения относительного равновесия. В отличие от систем с сосредоточенными параметрами с трением, зависящим от скорости, и упругими связями здесь асимптотическое стремление к относи-

тельному равновесию наблюдается не при любом, а при достаточно большом в указанном смысле наклоне характеристики трения (г. < -1).

При наличии выпуклого вниз и вверх участков возрастающей характеристики трения при малой скорости верхнего основания О < У < У\ ввиду гистерезиса трения возможны релаксационные колебания, при Уг < V < Уз : ги(У2) = —1 пластина переходит в окрестность относительного равновесия с асимптотическим стремлением к нему (на резко возрастающем участке характеристики трения), при У > Уз происходит переход к колебаниям около положения относительного равновесия.

При наличии возрастающей и падающей ветви характеристики трения с точкой ее максимума при V <У\ пластина стремится в положение относительного равновесия, при V > Ух для пластины характерен режим колебаний, описываемый тригонометрическими и экспоненциальными функциями.

При падающей выпуклой вниз характеристике трения при V < V-! : /'(VI) = -^Цр/р (на резко падающем ее участке) деформации экспоненциально нарастают до достижения точками нижнего основания скорости Уу, после чего упругость становится более существенным фактором, чем наклон характеристики трения, и некоторое время спустя начинается обратное движение с уменьшением скорости проскальзывания "по обратной ветви" петли гистерезиса характеристики трения до остановки. Далее переход к скольжению происходит при достижении сдвигающими усилиями порога статического трения, значение которого может отличаться от соответствующего началу первого проскальзывания вследствие изменившейся скорости изменения сдвигающих усилий, и т.д. Результатом оказываются релаксационные колебания с возможно переменной амплитудой и описываемые экспоненциальными и тригонометрическими функциями. Результат подтверждает отмеченное отличие колебаний от линейно-пилообразного характера с участком "вползания" в колебания и превышение временем нарастания деформаций времени торможения.

При V > У\ происходит переход к нерелаксационным колебаниям около положения относительного равновесия. Таким образом данная модель подтверждает результаты последних зарубежных работ по геодинамике сдвига слоя земной поверхности, но на основе более общей модели с распределенными, а не сосредоточенными параметрами, и дает аналитическое решение задачи с аналитическим выражением границы между релаксационными и нерелакса-

ю

ционными колебаниями при произвольной падающей характеристике трения.

При наличии падающего и возрастающего участка характеристики трения также имеют место эти явления с дополнением в виде асимптотического стремления к относительному равновесию на резко возрастающей ветви характеристики трения при г„(У) < -1.

При слабо падающей характеристике трения при близкой к нулю скорости V также возможны релаксационные колебания, как и при падающей характеристике трения с выпуклым вверх и вниз участком.

Результаты, полученные авторами с использованием более простых моделей, существенно уточнены, расширены и обобщены.

В приложения ввиду достаточно большого объема вынесен ряд формул, отражающих результаты, и их вывод.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Рассмотрены задачи динамики упругой пластины при скольжении по поверхности с трением, нелинейно зависящим от скорости точек проскальзывания, являющиеся новыми и ранее не рассматривавшиеся. Их приближенное решение выражено аналитически.

2. Получено решение, соответствующее относительному равновесию пластины в указанных условиях, отражающее движение как твердого целого, сжатие по толщине при продольном и поперечном расширении вследствие поджатая и включающее упругие постоянные, и перекос вследствие трения, угол которого зависит от давления, коэффициента трения и модуля сдвига.

3. При простейшей аппроксимации граничных условий, отражающих трение, получен результат для эквивалентной задачи о динамике упругой пластины при движении по плоскости с анизотропным трением. Он показывает колебательные режимы двух видов в зависимости от упругих свойств системы.

4. Выяснены условия приемлемости той или иной аппроксимации граничных условий, отражающих трение, в данной задаче о динамике пластины. Показана необходимость как минимум линейной аппроксимации данных граничных условий, и соответственно недопустимость пренебрежения боковой составляющей сил трения.

5. При малом наклоне характеристики трения в данной задаче достаточно воспользоваться линейной аппроксимацией указанных граничных условий. Результат показывает колебания около положения относительного равновесия различного характера в зависимости от упругих свойств системы в условиях плоской деформации.

6. Показано, что при достаточно большом наклоне характеристики трения в данной задаче необходимо использовать квадратичную по отношению к составляющим относительной скорости точек проскальзывания аппроксимацию граничных условий, отражающих трение, при кусочно-линейной аппроксимации характеристики трения. Результат соответствует асимптотическому стремлению к относительному равновесию при возрастающей характеристике трения и уходу из начальной области при падающей, с возможным наложением колебаний во внутренних точках пластины. Результат выражен через наклон характеристики трения, модуль сдвига, поджатие и плотность.

7. При анализе динамики пластины с заданной характеристикой трения необходимо использовать соединение найденных решений с учетом полученных условий.

8. С помощью полученных результатов рассмотрена динамика упругой пластины при движении из состояния статического равновесия. Обнаружены режимы асимптотического стремления к относительному равновесию и колебаний релаксационного и нерелаксационного характера и условия их существования. Результаты подтверждают, уточняют, расширяют и обобщают полученные другими авторами на более простых моделях с сосредоточенными параметрами.

Ряд результатов диссертации опубликован в работах

1. Алдошин Г.Т., Илихменев А.Л. Скольжение упругой пластины по поверхности с трением. //Девятая зимняя школа по механике сплошных сред. Тезисы докладов. - Пермь, 1991, с. 6.

2. Алдошин Г.Т., Илихменев А.Л. Автоколебания упругой пластины при скольжении по поверхности с трением, зависящим от скорости. //XVI конференция по вопросам рассеяния энергии при колебаниях механических систем. Тезисы докладов. - Киев, 1992, с. 2-3.

3. А л дошил Г.Т., Илихменев А.Л. Движение упругого тела по поверхности с трением, зависящим от скорости. //Труды II МНТК "Актуальные проблемы фундаментальных наук". Россия, Москва, 24 - 28.01.94, МГТУ. - Техносфера информ, 1994, с. А-50 -А-53.

4. Алдошин Г.Т., Зимин Б.А., Илихменев A.JI. Моделирование движения упругих тел по поверхности с трением, зависящим от скорости. //X зимняя школа по механике сплошных сред. -Пермь, 1995, с. 8.

5. Илихменев A.JI. Равновесие упругой полосы при движении по плоскости с трением, зависящим от скорости. //К 90-летию со дня рождения проф. Н.Н.Поляхова. - С-Пб., 1997, с. 66 - 73. (Прикл. мех. Вып. 10).

6. Илихменев A.JI. Динамика упругой полосы при движении по плоскости с трением, нелинейно зависящим от скорости. //К 90-летию со дня рождения проф. Н.Н.Поляхова. - С-Пб., 1997, с. 181. (Прикл. мех. Вып. 10).

7. Илихменев А.Л. Динамика упругой полосы при движении по поверхности с трением, зависящим от скорости. Часть 1. -Балтийский государственный технический ун-т. - С-Пб., 1997.

- 35 с. /Рук. деп. в ВИНИТИ 8.01.97, № 44 - В97/.

8. Илихменев А.Л. Динамика упругой полосы при движении по поверхности с трением, зависящим от скорости. Часть 2. -Балтийский государственный технический ун-т. - С-Пб., 1997.

- 32 с. /Рук. деп. в ВИНИТИ 8.01.97, № 43 - В97/.

9. Илихменев А.Л. Динамика упругой пластины при движении по плоскости с трением, зависящим от скорости. //11-я Международная зимняя школа по механике сплошных сред. Тезисы докладов. Книга 2. - Пермь, 1997, с. 152.