Динамика высокооборотных роторных машин тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

МЕЛЛЕР Александр Самуилович

ДИНАМИКА ВЫСОКООБОРОТНЫХ РОТОРНЫХ МАШИН 01.02.01 - Теоретическая механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург, 1997

Работа выполнена на кафедре теоретической механики Государственной морской академии им.адмирала С.О.Макарова

Научные руководители:

Кельзон А.С.

доктор техн.наук

канд.техн.наук, доцент Клочков Б.Ф.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Журавлев Юрий Николаевич

кандидат физико-математических наук, доцент Пасынкова Инна Анатольевна

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный технический университет

Защита состоится ЕАО^ 1998 г. в час. на заседании

диссертационного совета Д 063.57.34 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу 198904, Санкт-Петербург, Петродворец, Библиотечная пл., 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета по адресу Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан "2§"__ОЧ_1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат.наук

С. А.Зегжда

- 3 -

РЕШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В современной технике - в промышленности и на транспорте - широчайшее применение имеют высокооборотные роторные 1ашины. Это газовые турбины, компрессоры. центробежные насосы, генераторы. центрифуги. сепараторы, текстильные машины, гироскопические приборы, шлифовальные станки и так далее.

Уровень технических характеристик указанных машин и приборов в шачительной степени определяется возможностью повышения их частоты фащения. Так. напор компрессора пропорционален квадрату частоты фащения рабочего колеса, в электронавигационных приборах рост частоты фащения - основное условие повышения точности показаний, в шлифовальных станках чистота обработки поверхностей связана с частотой фащения шпинделя.

Поэтому повышение частоты вращения машин является постоянной ¡адачей конструкторов.

Увеличение частот вращения роторов имеет естественные »граничения, которые накладываются со стороны системы ротор -годшипники - корпус машины. В прошлом, при относительно низких тстотах вращения роторных машин конструктивные решения сводились, как 1равило, к достаточно точной балансировке ротора. Тогда, в идеале, при ¡овладении главной центральной оси инерции ротора с осью его вращения данамические усилия между ротором и подшипниковыми опорами (и, :ледовательно, вибрации) исчезали. При этом не учитывались свойства юдшипников. их нелинейная упругость.

Однако, с ростом частоты вращения существенную роль приобретают шлинейные упругие свойства подшипников.

Динамика роторов в нелинейных упругих опорах (каковыми являются, ! частности, подшипники качения) изучена недостаточно. Именно она и осматривается в настоящей работе. Из трех в принципе возможных видов колебаний вращающихся роторов: продольных, крутильных и поперечных, усматриваются присутствующие в самом широком классе механизмов -юперечные.

В работе исследуются вибрации ротора, обусловленные статической [ моментной неуравновешенностью, которые присущи всем роторным гашинам. Осуществлен анализ динамики жесткого ротора, вращающегося в >адиальных шарикоподшипниках, радиально-упорных шарикоподшипниках, а ■акже в конических роликовых подшипниках.

Цель работы состоит в определении возможных форм движения пре-(ессирующего ротора, разработке математического аппарата оценки рацио-[альных пределов балансировки роторов, определении оптимальных режимов >аботы конических роликовых и радиально-упорных шарикоподшипников.

Научная новизна.

1. На основе применения к высокооборотным роторным машинам юдели жесткого ротора, вращающегося в радиальных шарикоподшипниках, шисываемых нелинейной жесткостной характеристикой, найдены величины 1мплитуд вибраций и выявлены формы прецессий оси ротора; получены ¡ыражения для рациональных пределов его балансировки.

2. Проведен анализ динамики жесткого ротора, вращающегося в да радиально-упорных подшипниках, на основе модели нелинейно-упруг опор, разработана методика выбора оптимального преднатяга.

3. Исследована динамика ротора в двух конических роликов подшипниках (Hydra-Rib и Spring-Rib); разработана методика определен возможных режимов прецессии ротора и пределов его быстроходности.

Практическая ценность. Результаты работы могут быть использова при проектировании высокооборотных роторных машин: для определен величин вибраций ротора в подшипниках разных типов; для выбс требуемой точности балансировки ротора; для определения величи преднатяга в радиально-упорных подшипниках; для выбора типа коническ роликовых подшипников по условиям быстроходности ротора.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на:

- Седьмом Всесоюзном съезде по теоретической и прикладн механике (Москва. 15-21 августа 1991 г.);

- семинаре по теоретической механике (Санкт-Петербург, Д ученых, 27 мая 1992 г.).

Кроме того, результаты неоднократно докладывались на научно-те нических и научно-методических конференциях профессорско-преподав тельского состава ГМА им.адмирала С.О.Макарова (1991, 1993, 1994 гг)

Публикации. Основное содержание работы отражено в статьях [1-8

Объем и структура диссертации. Работа состоит из 4 глав заключения. Каждая из глав разбита на разделы. Глава 1 являет вводной и содержит общие сведения о рассматриваемых проблемах и об состоянии в настоящий момент. Глава 2 посвящена анализу динами жесткого ротора, вращающегося в двух радиальных шарикоподшипниках, главе 3 исследуется динамика жесткого ротора в двух радиально-упорн шарикоподшипниках, в главе 4 - в конических роликовых подшипника Объем диссертации - 106 листов.

СОДЕРЖАНИЕ И ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Глава 1 "Введение" содержит общие сведения о работе. В разде 1.1 дается описание предмета и цели исследования, обоснован актуальности темы. Раздел 1.2 содержит анализ состояния исследуем проблемы и сравнение работы с исследованиями других авторе Обсуждаются работы, в которых при рассмотрении динамики жестк роторов в подшипниках качения использовалась модель абсолютно жестк опор, а также работы в которых применялись различные моде нелинейно-упругих подшипниковых опор.

Глава 2 посвящена исследованию динамики ротора, вращающегося двух радиальных шарикоподшипниках.

Раздел 2.1 содержит описание модели и исходные дифференциалы) уравнения движения ротора. Для обоснования необходимости уче нелинейной упругости подшипника рассматривается задача о вращен симметричного статически неуравновешенного вертикального ротора в дв одинаковых радиальных шарикоподшипниках. Зависимость между радиальи деформацией и реакцией радиального подшипника, определяется форму* Герца:

Р в До r*/z. (1)

"де Р - реакция в направлении, противоположном деформации; а0 - коэффициент, рассчитываемый для каждого типа подшипника, г - деформация, :кладывающаяся из сближения между телами качения и внутренним кольцом, 1 также сближения между телами качения и наружным кольцом.

Рассмотрен симметричный ротор, установленный в два радиальных гарикоподшипника. Центр масс ротора С снещен на расстояние е от оси фащения. Ротор вращается с постоянной частотой ш = const. Тогда, сог-тасно теореме о движении центра масс, M(r+e)uf = 2Р. где М - масса ротора, (г+е) - радиус прецессии, описываемой центром масс ротора (скла-ц>вается из деформации подшипника и эксцентриситета), Р - реакция под-шпников, определяемая формулой Герца. Учитывая зависимость (1), имеем

М(г+е)о? = 2а0г3/2. (2)

Рассмотрение этой формулы как зависимости г=г(е) при постоянном шачении частоты вращения показывает, что при е-0 (при практически уравновешенном роторе) г стремится к ненулевой величине [Мм2/2а0]2. 'еакция между ротором и подшипником в свою очередь стремится к ¡еличине Р = ш6М3/8а02, то есть растет пропорционально шестой степени [астоты вращения. Этот результат, полученный в Д.Р.Меркиным (книга :ельзон A.C. и др., "Динамика роторов в упругих опорах".- М.-.Наука, 982.), объясняет причину разрушения подшипников качения при самой очной балансировке роторов. Таким образом, явление, необъяснимое в 1амках модели жестких подшипниковых опор, может быть объяснено при [спользовании модели нелинейных упругих подшипников.

Для выбранной модели - твердого ротора в двух подшипниковых inopax с нелинейной жесткостной характеристикой - получена система дифференциальных уравнений движения. Считается, что ротор обладает севой симметрией и вращается с угловой скоростью ш. Главный осевой юмент инерции ротора обозначен А, экваториальные - В, масса ротора -f. Трение в опорах считается пренебрежимым. Предполагается, что [еремещение ротора в осевом направлении отсутствует. Положение оси отора в пространстве определяется декартовыми координатами rjt, zt. i2. z2 двух точек, соответствующих опорам. Эти величины считаются [алыми первого порядка. Статическая неуравновешенность ротора пределяется смещением центра масс от оси вращения на малое расстояние , моментная - мальм углом 5 между главной центральной осью инерции и сью вращения. Расстояния от центра масс ротора до опор обозначены Ls Lz, расстояние между опорами - L. Составляющие реакций двух опор по аправлениям координатных осей обозначены соответственно Р, у, Р1г, '2у, P2z. В принятых обозначениях искомые дифференциальные уравнения дижения ротора приведены в упомянутой выше книге и имеют вид

Mdjife — Lz'yl )-PlyL-P2yL = MeLo)2 cosait,

MiLi'z'z ± L2z1)-PizL-PZzL = MeLof simt,

АшСуг - У) )-BCz'z - ¿J) - P1ZLL1±PZZLLZ =(A-B)(DzL5sin(d)t-i),

Aü(z2 - Zi)+B(yz - y'1)-(iPZyLL2-PiyLLi) = (B-A)üizL5cos((nt-c).

Здесь верхний знак перед Ьг соответствует случаю, когда цент масс расположен между опорами, а нижний - случаю, когда центр масс вк опор ("консольный" случай). Система дифференциальных уравнений (с может быть представлена в комплексной форме:

WÍLjs¿ ± L2sj J-P^-PaL = Мейí/eipíiuí), ...... (4

B(s2 - st )-id)i4(s2 - st)-(±P2LLZ-Pj LLj )=(B-A)w?L5 eip(i(ojt-£)),

где s^yj+iZj , s2=y2+iz2 , Pj =Piy+iPi2 . p2=pzy+ipzz • i " мнима единица.

Составлены также уравнения движения ротора в полярных координата для частного случая симметричного ротора, имеющего только статически неуравновешенность: 5=0; L,=L2=L/2. Кроме того, считается, что ос прецессирует цилиндрически, то есть координаты точек ротора, соответс твующих двум опорам, одинаковы в любой момент времени: si=sz=s.

Введены полярные координаты г и q> соотношением s=r exp(itp) Последнее соотношение дважды продифференцировано по времени. Пос; подстановки полученных выражений в первое уравнение (4) с учете Р1 = Рг- -Р exp(iip) и приравнивания вещественных и мнимых частей леве и правой сторон уравнения получены искомые дифференциальные уравнени движения ротора в полярных координатах:

г - гфг - еш2 cos((ut-<p) = -2Р/И,

.. .. (í г ip + 2r ip - еш2sin(ot-ф) = 0.

В разделе 2.2. рассматривается динамика практичен уравновешенного ротора.

Сначала составлены уравнения, описывающие вынужденные колебат ротора при наличии статической неуравновешенности е и моментне неуравновешенности 5. Считается, что центр масс равноудален от опор, реакции опор определяются формулой Герца |Pj| = а» г,3/2 (j=l,2), тх Pj и ij - реакция и смещение ротора в опоре номер j. Учитывая, чт реакция опоры направлена противоположно смещению ротора Р,= -а0 |Sj \1/г • Sj. Из уравнений (4) получено:

ML/2 (Sj + s^J+OoL Sj/lSj 1+Sj/lSj | = MeLoíeipíiüjt),

l ) (6]

В(s¿ -sI) -Ш (s2 -¿i) -a0L2/2 |sj )/| Sj |-s2 /|s2 || = (B-A)ш215 exp(i (шt-c

Решение этой системы, соответствующее установившемуся движенш ищется в виде ^ехрС!^ 1+ф!)]. э2 ^ехрЖоП+Фг)]. При люб! ненулевых значениях е и 5 последние соотношения могут удовлетворя" уравнениям (6) только при со" = о, то есть в случае прямой синхронш прецессии оси ротора. Так как идеальная балансировка рото] неосуществима, то есть физически невозможно обеспечить строп равенство е и 5 нулю, далее решения уравнений движения ротора всег) ищутся как прямая синхронная прецессия.

Далее рассмотрен ротор, у которого величины е и 5 пренебрежиг

чалы и который назван практически уравновешенным. Для него составлены /равнения

-Мш2/2• S, +а„S,11 eapiip, + | -Мш2/2■Sz+aQSi/[s~г \ | expiyz =0.

Z(B-AW /— \ / 2 (Б-А) (ü2

(7)

/— 1 I Z[B-A)Uf ,- ^

S^SiVMk ! jexpi<p2-1--—-Sy +a0S1(/|51 ijexpiq>, = 0

л введены функции fl и fZ:

ft (S) = S t-MaP/2 + Oo/i^i ]; fz (S) = S [-2(B-A)ü?/Ls +a0(/|s[ ].

D6e функции - нечетные и имеют корень S=0. Кроме того, функция f, (S) дмеет корни S=± (Mai2 /20о)2. а функция f2 (S) (при соблюдении условия В-А > 0) - корни S=±[2(B-j4)cü2/g0L2 ]2. Нетривиальные корни функций f, я /2 могут совпадать только в случае В-А-Ш?/4, однако строгое выполнение этого равенства в случае реального ротора является событием кулевой вероятности.

Система (7) представлена в виде:

ft (Sj Jeipiipj + ft (5г)еа;ргф2 = 0, /2 (Sj Jeipiipj - f2 (Sg) eipiip2 =0.

Так как несовпадение tpj и <j>2 может иметь место только при эбращении в нуль всех четырех величин ft (S1), f1[Sz), f2[S1) и /2(S2). что, как показано выше, возможно только при St= S2 = 0, при поиске нетривиальных решений считается tpt = <рг. Таким образом, уравнения приобретают вид:

ft (St) + ft (S2) = 0, (8)

f2(St) - /2(S2) = 0. (9)

Для решения этой системы достаточно найти множество точек пересечения кривых, заданных уравнениями (8) и (9) на координатной плоскости (S,, S2).

В результате анализа кривых, показано, что количество нетривиальных решений системы (8)-(9) определяется величиной Э = ML2/[4 Ш-А)] и возможны 5 случаев.

1) (В-А) < 0. Имеют место 2 физически эквивалентных решения, соответствующих цилиндрической форме прецессии с амплитудой

s0 = {M/2a0)z. (10)

2) 0 < 2(В-А)/Ьг < (2/3)Н/2. Имеют место 4 решения: 2 решения соответствуют цилиндрической прецессии с амплитудой tAicü2/(2a0) ]2, 2 решения - конической прецессии с неподвижным центром масс ротора с амплитудой 12 (В-А)и?/{а,, Lz )1г. При этом больше по величине решение, соответствующее цилиндрической прецессии с амплитудой [Мш2/(2а0)]г.

3) (2/3)W/2 < 2(В-А)/]? < М/2. Имеется 4 решения общего вида (то есть Sj * ±S2). а также те же 4 решения, что и в случае 2. Наибольшее решение - цилиндрическая прецессия с амплитудой [Мш2/(2а0)]2.

4) M/2 < 2(B-A)/L2 < (3/2)М/2. Отличие от предыдущего случая заключается в том, что наибольшее решение - коническая прецессия с

амплитудой

50 = [2(В-у1)(о2/(а012)]2. (11)

5) (3/2)М/2 < 2{В-А)/Ьг. Как и в случае 2, имеется 2 решения, соответствующих цилиндрической. и 2 решения, соответствующих конической прецессии с неподвижным центром масс ротора, однако здесь наибольшее решение - коническая прецессия с амплитудой [2 (В-Л) (и2 / Со,,!2 )32.

Наибольшее нетривиальное решение всегда соответствует одной из двух форм. При 2(В-А)/Ьг < М/2 это цилиндрическая прецессия с амплитудой [Мо)2/(2а0 )]2. а при 2(В-А)/Ьг > М/2 - коническая с амплитудой [2(В-у4)ш2/(а0^)]г.

Таким образом, в случае любого сочетания параметров ротора при стремлении к нулю его неуравновешенности (и статической, и моментной) амплитуда прецессии не обращается в нуль и может достигать величин, данных выражениями (10) или (11)

В разделе 2.3 показано, что найденные в предыдущем разделе наибольшие прецессии оси уравновешенного ротора - цилиндрическая или коническая с неподвижным центром масс - устойчивы.

Сначала рассмотрена цилиндрическая прецессия с амплитудой [Мь?/2а0)г. которая является наибольшей формой при выполнении условия (В-А)/1г < М/4. Введена новая система координат я. ф, г. к, определяющих положение оси ротора в пространстве, я и ф - полярные координаты точки оси ротора в одной опоре, г и к - декартовы координаты точки оси ротора в другой опоре относительно положения оси в первой опоре в подвижной системе координат. Координатные оси г и к проходят в плоскости, перпендикулярной оси вращения ротора и направлены соответственно по нормали и по касательной к окружности радиуса я с центром на оси вращения. Точка начала координат определяется положением оси ротора в первой опоре.

Составлены выражения для кинетической и потенциальной энергии ротора:

з /(з+г)2+}сг

П=а0 ja3/г М + а,, а?/г йа: Т = - |(Б+г/2-ф)с/2)2 + |(з+г/2)ф+к/2| | +

о о

В( г-ф7с 1г В( ?с+фг )г А/ 1р г2+ кг гк-кг

21 Ь I 2\ I ) 21 2 Ьг 2Ьг

Очевидно, что ф является циклической координатой, что и оправдывает выбор координатной системы.

Выражение для кинетической энергии продифференцировано по ф:

, . , В А 2\ М(з+г/2)к Т = ф\м(з*г/2)г+№г /4 + - (г2* кг)+ -(г2 + к2) +

Г.' -

Ф *

1г Ш ) 2

Msk MB.. Лш(г2 +Jc2) A . .

----+ —(kr-rfc)--+ —(Jcr-rJc) (t^+Jc2) = n = const.

2 4 Iz 2LZ 4L4

гсюда выражена, q> и составлена функция Рауса R = Т - ц>( т' чагаемые R. не содержащие скоростей имеют вид:

Лш(г2+к2) \г

R0-

+

М 1 I 2L2 2

s + -2 J

т? в(г2+гс2) + — +-

4 L2

Составлено выражение для приведенной потенциальной энергии = П - й0. Доказано. что М имеет изолированный минимум при =з0 = (Ммг/2а0)2; г=7с=0; ф = ш; п=шМз02 (что соответствует рассматрива-гой цилиндрической прецессии) в случае выполнения условия ?/4 ХВ-А), то есть когда цилиндрическая прецессия является наиболь-1М решением. Поэтому, согласно теореме Рауса, данное стационарное шжение устойчиво относительно возмущений э, г. К, э, г. к и ф.

При выполнении условия Ж.2/4 < (В-А) наибольшей по амплитуде ¡ляется коническая прецессия с неподвижным центром масс ротора и амплитудой 50=[2(В-Л)шг/(а012)]2. (Этой форме прецессии »ответствуют <р=ш; з=з0; г=-2э0; к=0). Доказательство устойчивости 1нной формы прецессии абсолютно аналогично вышеизложенному.

Таким образом, при любом сочетании параметров ротора А, В, Ми! йденная в разделе 2.2 наибольшая по амплитуде форма прецессии оси »тора устойчива, может быть реализована при движении и поэтому шлется наиболее опасной с точки зрения разрушения системы »тор-подшипники.

Раздел 2.4 посвящен нахождению рациональных пределов статической моментной балансировки ротора. В предыдущих разделах показано, что 1И гипотетической идеальной балансировке, то есть стремлении к нулю ■атической и моментной неуравновешенности, прецессия оси ротора не [рождается в тривиальную, а сохраняет определенную конечную величину, фма и амплитуда прецессии оси уравновешенного ротора могут быть яличными при различных сочетаниях его геометрических параметров.

Балансировкой, то есть уменьшением неуравновешенности ротора, 1жно снизить его вибрации в опорах. Однако балансировка имеет смысл шь до тех пор, пока амплитуда прецессии неуравновешенного ротора не «близится к своему предельному значению, данному выражением (10) или 1). После достижения этого рационального предела балансировки даль-

И

нейшее повышение ее точности не может привести к уменьшению вибраций.

Для определенности принято, что достаточно ограничиться такс балансировкой ротора, при которой амплитуды вибраций в опор; составляют не более 110% 5 {5 - предельное значение амплитул вибраций, реализующееся для уравновешенного ротора). Соответствующ; амплитуде 1.1-5 величина неуравновешенности ротора и буд< рациональным пределом балансировки. По достижении его любое дальнейш уменьшение неуравновешенности ротора не может снизить вибрации боле( чем на 10%, и поэтому затраты на дальнейшую балансировку неоправданы.

Для нахождения рационального предела статической балансировки < прецессия практически уравновешенного ротора (е-Ю, 5-Ю) считает! невозмущенным движением и определяется, какое возмущение в движет может вносить малый эксцентриситет е. Амплитуды Й! (е) и Бг (е) вибрац) в опорах могут быть разложены в ряда по степеням е в окрестности е=( В случае, если ' (е)*0 и 5г' (е)*0, при малых е можно ограничить! разложением лишь до линейных членов. Для разных форм прецеса уравновешенного ротора вычислены производные (51 )е' и (£2)е' при е=( Для этого продифференцированы по е уравнения (6) и, в результат! получена система двух линейных уравнений относительно (21 )е * и (52)е Из последней найдено: )е"=()е'=2 при В-А<И12/4

(51}е* = (52)е* = [6(В-Л)/ИЬ2—и"1 при В-А>МЬгМ. При малых значениях амплитуды вибраций ротора в опорах приближенно определяются следуклци] соотношениями: 5г (е)«51 + (51 )е'-е. ^ (е)~5г+(52)е' е, где под 5! и, понимаются амплитуды вибраций в невозмущенном движении, то есть п е-Ю. Так как принято, что при достижении рационального преде, статической балансировки (е=е*) амплитуды вибраций 1(е*) | и [ 52 (е* должны составлять не более 110% от соответствующих значений д уравновешенного ротора.

Ив,).'! е* < 0.1 |; КЗ^еЧ е* <0,1 откуда, учитывая, что ^ )е' = (52)е' и 12] | = (1, получено:

е* » 0,1-^/(^еЧ (1

В итоге, получено:

е*= 0,05- [Мо2/20о]г (при В-А < М12/4);

е* =0.1 • [2(В-А)ш2/а2а0)]г-[6(В^)/(М,2)-1] (при В-А > МЬг/4): Аналогичным методом получены выражения для рационального преде моментной балансировки б*:

5* =0,2- ДОЛг«,»* Ь"1 • |1-ЗЖ2/8(В-Л) I (при В-А < МЬ2/4); 5*»0.1- 12(В-А)^/(1гак>)]г -Г1 (при В-А > МЬг/4).

Таким образом, получена оценка рационального предела к статической, так и моментной балансировки ротора

В разделе 2.5 рассматривается влияние на динамику рото зависимости реакций подшипников от угла поворота. Ран предполагалось, что реакция подшипника, нелинейно зависящая радиальной деформации, не зависит от угла поворота подшипника. 3 соответствует идеальному случаю бесконечного количества шариков.

В реальном подшипнике радиальная реакция является периодичесв функцией угла мезду вектором нагрузки и угловой координатой выбраннс

- И -

аарика. В случае п шариков период зависимости составляет 2П/п. Из щтературы известно, что в разложении этой функции в ряд Фурье, соэффициенты при гармониках быстро убывают с увеличением их частот, юэтому можно приближенно считать, что функция является суммой ¡лагаемого, зависящего только от величины деформации подшипника, и ¡инусоиды с частотой 2П/п. При этом амплитуда синусоиды мала по ¡равнению с постоянным слагаемым.

Рассматривается динамика ротора в двух подшипниках, реакции юторых имеют вид /(г,) = Г (г3) [1+ X, згп(ггшЬ/2+1))0)], где ^ - малый коэффициент, зависящий от г3 и п; Г (г.,) - невозмущенная функция )адиальной реакции л-го подшипника. Здесь предполагается, что диаметр »ариков мал по сравнению с диаметром подшипника. Решение системы Шфференциальных уравнений (4) ищется в виде

"3 =г3 * згп(ггш1/2+ф0 )+£з соз(тиг*%) ]; <рл =ш{+(р03 +]И., згп(шЬ/2+1()0) + соя (пшС/2+-ф0), где г,* и - полярные координаты точки ротора,

юответствующей 3-й опоре в невозмущенном движении, то есть при Чг, )=/*(г3). В результате довольно громоздких преобразований юлучено: К1Ч■ ре (п)/ча (п): у2=^ г6 (п)/яа (п);

>1 =1 ■ з5 (п)/ца (п): v2=t•t 5(п)/д3(л). гдер6(п), г6(п), з5(п). с5 (тг), 18 (тг> - полиномы соответственно б-й, 5-й и 8-й степеней. Таким )бразом, искомые коэффициенты "¡(1. Кг • . V;, - быстро убывающие )ункции п. Кроме того, и сам малый коэффициент X, убывает с ростом п. В >еальных подшипниках (при п>10) К!, у2. , у2 становятся исчезающе ильми. Поэтому отклонения решений уравнений движения, обусловленные [ульсацией радиальной реакции подшипника, пренебрежимы.

В главе 3 изучается динамика ротора, вращающегося в двух 1адиально-упорных подшипниках. Раздел 3.1 содержит обоснование модели, шисывающей жесткостную характеристику радиально-упорных подшипников с ;редварительным осевым натягом. Рассматривается подшипник. :арактеризующийся следующими величинами: гк - радиус желоба; с^ -[иаметр шарика; 5Р - радиальный зазор; 50С - осевой зазор (50 - угол :онтакта. Усилие осевого натяга Р0 создается пружиной жесткостью Са.

В радиально-упорных подшипниках под действием радиальной нагруз-:и центр опорного сечения вала может сместиться по двум причинам:

а) в результате перекатывания соответствующих дорожек качения по ■елам качения в осевом направлении; подобное явление произойдет, если 1ежду осевым натягом Р0 и радиальной нагрузкой Р будет иметь место оотношение Р0 < Р

б) в результате упругих деформаций в местах контакта.

Как известно из литературы, взаимосвязь радиального усилия и 1адиального смещения вала в однорядном радиально-упорном подшипнике, |бусловленного первым фактором, дается выражением: P(r)=0.5Ca(íc+г){25oc/C4(гJt-(^llI/2)(25p-г)-(25p-r)2]1/2-l}+Foctg^, (13) де к = (гГя-Зщ-гбр) - константа. характеризующая геометрию юдшипника. Здесь шарики и дорожки качения считаются жесткими и юэтому их контактные деформации не учитываются.

Характеристика радиальной жесткости подшипника, обусловленной

контактными деформациями дорожек качения и шариков, в случае наличи преднатяга, из-за которого шарики и дорожки качения имеют начальну деформацию, линейна при малой радиальной деформации:

Р(г) = 0,75 F0cíg(P0)r /х0, (14

где i0=tF0/{nJCo -sin5 /2р0)]2/3 - взаимное осевое перемещение коле подшипника, вызванное контактными деформациями от предварительног натяга; л - количество шариков; к0 - коэффициент в формуле Герца для шарика. Под малой радиальной деформацией понимается случа г < г0= r0tg£0.

Таким образом, при малых радиальных смещениях радиально-упорны подшипник ведет себя, как упругая опора. При г сравнимых с г0 ил больших, отличия радиального и радиально-упорного подшипников вызванные преднатягом, исчезают, и жесткостная характеристика обусловленная контактными свойствами материала шариков и дороже качения» описывается формулой Герца (1).

Так как при данном радиальном усилии в подшипнике существую деформации, обусловленные обоими описанными факторами - осевы смещением и контактными деформациями. - при заданной величине радиальная деформация представляет собой сумму величин, обусловленны выражениями (13) и. в зависимости от величины г, (14) или (1).

В разделе 3.2 рассматривается динамика ротора и обсуждаете вопрос об оптимальном выборе преднатяга. Рассмотрен жесткий ротор вращающийся в двух радиально-упорных шарикоподшипниках с углово скоростью tu. Предполагается, что 5=0, L¡=Lz=L/2, е*0. Решени уравнений движения ищутся в виде s3=Sj expCitot+ipj)], (j=l,2) Учитывая вид выражения для реакции j-й опоры: Р,=-/()г, 1)Sj/|Sj|, гд под /(г,) понимается суммарная зависимость радиального усили подшипника от смещения опорного сечения, описанная в разделе 3.1 используются дифференциальные уравнения, описывающие движение ротор (4). Аналогично тому, как это было сделано в разделе 2.2, можн показать, что <pi=<p2=0- Получена система двух алгебраических уравнени для определения амплитуд и Бг:

1/2 Жш2 +Sz) + L/dSj |)sign(5!) + 1/(1% |)stgn(S2) = MeLta2, (Л-В)и2 Si+I/Ve-fdS! DsigndS! |) = (15

DsigndSj |).

В общем случае система (15) может быть численно решена на ЭВМ Для одних и тех же условий может существовать несколько различны решений, соответствующих различным формам прецессии.

Рассмотрен частный случай практически сбалансированного ротор (е-»0). Тогда среди решений последней системы присутствует S1=SZ=S, чт соответствует цилиндрической прецессии. Из (15) получено:

1/2 MtfS = f(|S|)sign(S). (16

Количество решений этого уравнения определяется значением Maf/2 видом функции /, в частности, величиной F0. При относительно маль: значениях Ма2 или относительно больших значениях F0 (кого Sto2/2<f(|S|)sign(S) при любых значениях S) имеется единственно

тривиальное решение уравнения (16), то есть ось сбалансированного ротора не прецессирует. При относительно больших значениях Мшг существует одно или несколько нетривиальных решений.

Для сбалансированного ротора рассмотрены также решения вида 5,=S, S2=-S , соответствующие конической прецессии с неподвижным центром масс ротора. Из системы (15) получено уравнение

2<В-Л)ш2S/L2 = f (|S|)sign(S). (17)

Это уравнение отличается от (16) только величиной коэффициента при S. При В < А уравнение имеет только тривиальное решение, соответствующее отсутствию прецессии оси ротора. При В > А кроме тривиальных может быть несколько, одно или ни одного решения в зависимости от величин (B-A)(d2/Lz и F0, причем количество решений определяется аналогично описанному выше случаю.

Далее доказано, что если уравнения (16) и (17) имеют только тривиальные решения, то при е=0 система (15) также не имеет нетривиальных решений. Иными словами, если невозможны ни коническая с неподвижным центром масс ротора, ни цилиндрическая прецессии, то невозможна и никакая другая форма.

Итак, у практически сбалансированного ротора при определенном соотношении параметров существует ненулевая прецессия оси. Величина вибраций уменьшается с увеличением осевого натяга и при определенной величине F0 исчезает.

В случае несбалансированного ротора (е>0) прецессия не вырождается в тривиальную ни при каких значениях F0, однако величины вибраций по достижении необходимого значения F0 принимают малые значения, обусловленные только контактными деформациями тел качения.

Таким образом, для уменьшения вибраций ротора следует выбирать усилие преднатяга F0 так, чтобы при любых положительных г удовлетворялось неравенство /(г) > гш2 шх[М/2, 2(В-Л)/12]. Задача нахождения F0 лз последнего неравенства легко решается численно при помощи ЭВМ.

Если удовлетворяется приведенное неравенство, то дальнейшее увеличение F0 не имеет смысла, так как не ведет к уменьшению вибраций. Решение F0, находимое по описанной методике, быстро возрастает с увеличением частоты вращения ротора ш.

Глава 4 посвящена динамике ротора, вращающегося в двух конических роликовых подшипниках. В разделе 4.1 рассмотрена модель, вписывающая жесткостную характеристику конических роликовых юдшипников типа Hydra-Rib и Spring-Rib. В подшипниках этих типов конструктивно предусмотрен осевой натяг, обеспечивающийся давлением со :тороны кольца на ролики. Будучи принципиально схожими, они отличаются гем, что в подшипнике Spring-Rib натяг создается пружинами, а в тодшипнике Hydra-Rib - гидравлической системой. Усилие, действующее со стороны кольца на ролики, определяется для подшипника Spring-Rib зыражением: F=F0+£r1, где F0 -начальное усилие (преднатяг); xt -)севое перемещение кольца: С - суммарная жесткость пружин. Для юдшипника Hydra-Rib можно считать, что усилие не зависит от осевого теремещения кольца: F = F0. В предположении, что дорожки качения и

ролики абсолютно жесткие, показано, что для подшипников Spring-Rib Hydra-Rib соответственно:

Р(г)= 1(г) Г„ * Сг/(tgOg - t№) р{г)ш 1(г) г

tgtta - tgctj tgOg - tgcq

где oq и c^ - углы между осью подшипника и коническими поверхности» внутреннего и внешнего колец. Разрыв полученных функций при г=( обусловленный множителем 1(г), связан с тем, что ролики и дорож! качения считались абсолютно жесткими.

Учитывая, что реальные тела качения имеют податливость, прич« аналогично случаи радиально-упорных шарикоподшипников при мал! радиальных смещениях вала, соизмеримых с деформацией роликов ( преднатяга, реакция подшипника линейно зависит от г, в выражения; описывающих жесткостную характеристику, должна присутствовать i функция Кг), имеющая разрыв при г=0, а функция с круто возрастающ] участком. Такая функция обозначена 1"(г).

В разделе 4.2 исследована динамика ротора и сделаны выводы пределах быстроходности ротора в подшипниках Spring-Rib и Hydra-Ri] Рассмотрена цилиндрическая прецессия ротора, при условиях 5=( .Ц =12 =Ь/2, е*0. Из дифференциальных уравнений движения ротора получе] алгебраическое уравнение для амплитуды прецессии г* соответственно д: подшипников Spring-Rib и Hydra-Rib:

2 F„ l-(r')/(tgfl8-tga1) t ftfe. 2 F0 1~ (r*) t c

Muf - 2C г (r'JAtga,, - ¿get,)2' MtfUgOz - tga,)

При e->0 уравнения (18) имеют, в частности, тривиальное решен1 г* = 0. Амплитудно-частотные характеристики, описываемые уравнения (18). содержат ветви, весьма близкие к оси абсцисс, обусловлена контактными деформациями роликов и дорожек качения, а также ветв! соответствующие осевому взаимоперемещению колец подшипниш Показано, что при выполнении условия ш< /2F0/[ Me(tgaz-tga1) : одинакового для обоих рассматриваемых типов подшипников, имеет мес цилиндрическая прецессия. обусловленная малыми контактны деформациями, а при превышении данной величины происходит недопустим! осевое взаимоперемещение колец подшипника. Таким образом, приведен» условие является выражением для предела быстроходности ротора конических роликовых подшипниках. На примере подшипников Spring-R рассмотрен вопрос об устойчивости движения ротора, для че: использованы уравнения движения в полярных координатах (5) и получе уравнения возмущенного движения

Г - 2шг* Ё + Г (г*) г" = Z,

• • (1 г*е + 2шг~ ± oree = Е.

где г~ и е - возмущения движения соответственно по амплитуде и фаз Е и 1 - члены, содержащие г", е . г~ и е в степенях выше первой;

- 15 -

F0 + CrVitgOg - tgUj)

fir )= 2-1~ (r*) ----— - Ыт'±и?е).

(tgdg - tgoCj ) M

В результате исследования системы (19) показано, что до достижения приведенного выше предела быстроходности ротора цилиндрическая прецессия является устойчивой.

В заключении в сжатом виде сформулированы основные результаты и выводы, содержащиеся в работе.

1. Исследована динамика неуравновешенного жесткого ротора, вращающегося в двух радиальных шарикоподшипниках. Принята модель подшипника, радиальная жесткость которого описывается формулой Герца.

Показано, что как в случае статически неуравновешенного ротора, так и при моментной неуравновешенности ось вращения ротора прецессирует с частотой, совпадающей с частотой вращения самого ротора. Количество форм прецессии может быть различным и определяется соотношением геометрических и инерционных характеристик ротора. В частности, показано, что при стремлении статической и моментной неуравновешенности к нулю (случай практически сбалансированного ротора) амплитуда прецессии сохраняет ненулевую величину.

Показано, что существуют значения статической и моментной неуравновешенности, именуемые рациональными пределами статической и моментной балансировки, по достижении которых дальнейшее повышение точности балансировки не ведет к ощутимому уменьшению амплитуды прецессии. Получены выражения, позволяющие определять эти значения.

Рассмотрена модель радиального шарикоподшипника, в которой введено уточнение - учет периодической зависимости радиальной реакции от угла поворота с периодом, обратно пропорциональным количеству шариков. Показано, что для реальных подшипников поправки, вносимые этим фактором в полученные решения, пренебрежимо малы и что приведенные выше выводы не претерпевают изменений.

2. Исследована динамика статически неуравновешенного жесткого ротора, вращающегося в двух радиально-упорных шарикоподшипниках с предварительным осевым натягом. Использована модель радиально-упорного подшипника, упругие свойства которого определяются как его геометрическими характеристиками, так и контактными свойствами материала тел качения - шариков и дорожек.

Показано, что как и в случае радиальных подшипников, ось вращения ротора прецессирует с частотой, совпадающей с частотой вращения самого ротора, и что в зависимости от величины преднатяга подшипников, инерционных характеристик ротора и частоты вращения возможно существование различного числа форм прецессии. Показано, что в частном случае практически сбалансированного ротора также существуют прецессии оси с ненулевой амплитудой - цилиндрическая или другой формы.

Установлено, что при увеличении предварительного осевого натяга подшипников может быть достигнуто значение, при котором ненулевая прецессия оси вращения уравновешенного ротора становится невозможной. Дана методика определения этого значения.

3. Проанализирована динамика статически неуравновешенного ротора, вращающегося в двух конических роликовых подшипниках типа Hydra-Rib или Spring-Rib. Как и для радиально-упорных подшипников, в модели радиальной жесткости конических подшипников учтены и их геометрические характеристики, и контактные свойства материала тел качения - дорожек и роликов.

Определены возможные амплитуды цилиндрической прецессии оси вращения ротора, проанализирована устойчивость движения прецессирующей оси.

Найдена величина частоты вращения ротора, зависящая от характеристик подшипника, массы ротора и его неуравновешенности, до достижения которой ось прецессирует с относительно малой амплитудой, определяющейся только контактными деформациями роликов и дорожек качения. После превышения этой величины частоты вращения происходит скачкообразное увеличение амплитуды прецессии, что связано с недопустимым осевым перемещением роликов. Таким образом, определена предельная допустимая частота вращения ротора в двух конических роликовых подшипниках.

РАБОТЫ. ОПУБЛИКОВАНИЮ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Меллер А.С., Кельзон А.С. Рациональные пределы точности балансировки.- Проблемы машиностроения и надежности машин. 1992, N1, стр.19-25.

2. Меллер А.е., Кельзон А.С. Динамика статически неуравновешенного ротора в подшипниковых опорах.- Доклады АН СССР. 1991. Т.318, И. стр.69-72.

3. Меллер А.е.. Кельзон А.С. Динамика ротора, вращающегося в двух радиально-упорных подшипниках и выбор предварительного натяга.-Доклады АН СССР. 1991. Т.318, N5, стр.1120-1124.

4. Меллер А.С., Кельзон А.С. К динамике роторов в подшипниках качения.- Доклады Российской АН. 1992. Т.323, N5, стр.851- 857.

5. Меллер А.С., Кельзон А.С. Динамика роторов в конических подшипниках.- Доклады Российской АН. 1992. Т.327. N2, стр.191- 195.

6. Меллер А.С.. Кельзон А.С. Пределы быстроходности роторов в конических подшипниках.- Доклады Российской АН. 1994. Т.338. W3. стр. 329-332.

7. Меллер А.С.. Кельзон А.С. Выбор рационального предела статической и моментной балансировки жесткого ротора, вращающегося в двух радиальных шарикоподшипниках. Вестник машиностроения. 1996, N2. стр.10-15.

8. Меллер А. С.. Кельзон А. С. Рациональные, пределы точности балансировки роторов, вращающихся в радиальных шарикоподшипниках. Седьмой Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике. Москва. 15-21 августа 1991 г. Аннотации докладов, стр.186.

Подписано в печать 12.01.1998. БЕСПЛАТНО. Зак.201. Тир. 100 экз.

Отпечатано в тип.АО «ВНИТИ», С.-Петербург, Малый np.ILС., 87.