Дискретная квантовая гравитация в формализме Редже тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ОО^^ ( пРавах рукописи

ХАЦИМОВСКИЙ Владимир Михайлович

ДИСКРЕТНАЯ КВАНТОВАЯ ГРАВИТАЦИЯ В ФОРМАЛИЗМЕ РЕДЖЕ

01.04.02 - теоретическая физика

01.01.03 - математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

2 Я ми/*

НОВОСИБИРСК - 2009

003471284

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте ядерной физики им. Г.И. Будкера Сибирского отделения РАН.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

БЕЛАВИН

Александр Абрамович

ЛИПАТОВ

Лев Николаевич

НОВИКОВ

Виктор Александрович

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ:

доктор физико-математических наук, Учреждение Российской академии наук Институт теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН, п. Черноголовка Московской области.

член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, Учреждение Российской академии наук Петербургский институт ядерной физики им. Б.П. Константинова РАН, г. Гатчина Ленинградской области.

доктор физико-математических наук, ГНЦ РФ "Институт теоретической и экспериментальной физики им. А.И. Алиханова", г. Москва.

Московский инженерно-физический институт (государственный университет), г. Москва.

18

июня

2009 г.

Защита диссертации состоится в " 11°° " часов на заседании диссертационного совета Д.002.113.03 в Институте космических исследований РАН.

Адрес: 117997, г. Москва, ул. Профсоюзная 84/32. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИКИ РАН. Автореферат разослан " 5" _ 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физ.-мат. наук,

Т.М. Буринская

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Квантовая теория гравитации (конкретно, общей теории относительности, ОТО) является неперенормируемой теорией: подход в рамках теории возмущений, в которой в настоящее время мы только и умеем последовательно рассматривать квантовую теорию поля, неэффективен из-за сколь угодно больших, неустранимых расходимостей, происходящих из области малых расстояний. Разложение в ряд теории возмущений идет по степеням константы, длины Планка, = Ог/с3 и (1,6-10_33см)2 размерности (длина)2 или (импульс)-2, построенной из константы Ньютона

постоянной Планка Н и скорости света с. Диаграммы теории возмущений, описывающие взаимодействие квантов тех или иных полей с виртуальными гравитонами (а в силу универсальности гравитационного взаимодействия, с гравитонами взаимодействуют все поля), расходятся на малых расстояниях или, что то же, при больших импульсах. Если регу-ляризовать эти вклады введением предела интегрирования по импульсам Л < оо, то степень п в значении диаграммы ~ Лп должна расти с ростом порядка теории возмущений, чтобы обезразмерить соответствующую степень /р|. Если расходимости в первых порядках теории возмущений можно включить в перенормировку нескольких констант теории, в том числе б, более сильные расходимости остаются. Надежда — на выход за рамки теории возмущений, в предположении, что вклады импульсов виртуальных гравитонов от до Л > ¿р* заведомо не суммируются по теории возмущений. Возможный часто и давно обсуждаемый сценарий в этой связи — наличие фундаментальной длины, то есть подавленность вклада расстояний меньше некого масштаба, а именно 1р\ (или подавленность вклада импульсов выше ¿р/). Наличие фундаментальной длины могло бы помочь и в разрешении классических сингулярностей типа черных дыр — при этом мы бы имели стабилизацию коллапса на масштабе этой длины. Корректное описание гравитации было бы важно и для других квантованных полей, так как они существуют в пространстве-времени, описываемом ОТО. Это бы позволило ввести в рассмотрение, наряду с перенормируемыми, также и неперенормируемые поля материи. Даже в перенормируемых теориях промежуточно получаются бесконечные величины, такие как электромагнитный вклад в массу электрона или средняя плотность энергии [Е2(х) + Н2(х)]/8тг вакуума электромагнитного поля. Хотя процедура перенормировки избавляет нас от расходимостей

в конечном ответе, все же в полностью последовательной физической теории их не должно быть вообще, как и было бы при наличии фундаментальной длины. Простейший пример теории с фундаментальной длиной — теория поля на решетке, в которой фундаментальная длина — шаг решетки — введен извне. Интерес, однако, представляет возможность получить фундаментальную длину внутри самой теории. Для анализа возможности такого сценария естественно было бы иметь описание гравитации, в котором основной переменной как раз и была бы длина. С другой стороны, для выхода за рамки теории возмущений, например, при вычислении негауссова функционального интеграла, бывает необходимо иметь вместо континуального числа степеней свободы сколь угодно большое, но дискретное их число. Двумя этими свойствами обладает исчисление Редже, когда вместо произвольного пространства-времени мы рассматриваем его частный случай — пространство-время, составленное из плоских четырехмерных тетраэдров (4-симплексов) — кусочно-плоское пространство-время. Геометрия такого пространства-времени полностью описывается дискретным набором переменных — длин ребер. Поскольку любое гладкое пространство-время может быть сколь угодно точно приближено кусочно-плоским, когда характерный размер ребер тетраэдров стремится к нулю, мы не теряем в существенном гравитационных степеней свободы, когда ограничиваемся рассмотрением кусочно-плоской геометрии.

Цель и научные задачи работы

Основная цель — изучение исчисления Редже в качестве кандидата на роль самосогласованного описания гравитации с наличием фундаментальной длины. Самосогласованность описания предполагает, что квантовые средние длин ребер не равны бесконечности либо нулю (последний случай означал бы возврат к непрерывной теории). Если к тому же квантовое распределение вероятностей значений длин заметно отлично от нуля только вблизи определенных значений (порядка планковской длины, как единственного размерного параметра в задаче), то мы получим и эффект фундаментальной длины как в теории на решетке, с тем отличием, что решетка — динамическая, то есть длины, играющие роль шага, сами являются полевыми переменными. Для достижения указанной цели ставится задача изучения возможных подходов к квантовому описанию исчисления Редже, а также (и в том числе) изучение свойств, классических (лагранжев и гамильтонов формализм) и квантовых следствий формулировки, основанной на предлагаемом нами представлении действия гравитации с использованием матриц вращений как независи-

мых переменных. Основными подходами к квантованию дискретной теории могут быть операторное квантование в пределе непрерывного времени либо подход в рамках функционального интеграла. В свою очередь, вид функционального интеграла может определяться с помощью разных исходных постулатов. Ставятся задачи изучить следующие подходы к квантовому исчислению Редже.

1. Каноническое операторное квантование. Для этого осуществляется переход к непрерывному времени и строится гамильтонов формализм с использованием матриц вращений как независимых переменных.

2. Определение функционального интеграла в исчислении Редже через определение дискретно-мерной аппроксимации элемента интегрирования континуальной размерности.

3. Выделение из континуального элемента интегрирования объема калибровочной группы, то есть вычисление фактора Фадцеева-Попова, и затем вычисление функционального интеграла в частном случае геометрии Редже.

4. Определение функционального интеграла внутри исчисления Редже, без обращения к непрерывной теории. Применяется формализм с использованием матриц вращений как независимых переменных. Функциональный интеграл определяется требованием того, чтобы он переходил в каноническую форму всякий раз, когда осуществляется переход к пределу непрерывного времени вдоль какой-либо из координат.

Научная новизна

Из наиболее важных результатов можно отметить следующие.

1. Предложено точное представление действия Редже с использованием матриц связностей, позволившее затем явно найти лагранжиан и, в конечном счете, провести квантование гравитации в формализме Редже.

2. Найдено, что в операторном формализме (в исчислении Редже с непрерывным временем) элементарная площадь Редже обладает дискретным

спектром (во времениподобной области).

3. Найдено, что непрерывные поля материи плохо определены в исчислении Редже на квантовом уровне и должны быть дискретизованы. В сочетании с другим результатом, показывающим, что средняя элементарная длина - порядка длины Планка, это означает, что квантовая гравитация в формализме Редже является естественным ультрафиолетовым регулятором для полей материи, наподобие решетки с шагом порядка длины Планка.

4. Предложен подход к фиксированию формы дискретного функцио-

нального интеграла, основанный на соответствии с каноническим функциональным интегралом в пределе непрерывного времени. В этом подходе рассматривается квантование исчисления Редже в расширенном конфигурационном пространстве с независимыми тензорами площадок, получены конечные вакуумные средние площадей (в единицах планковско-го масштаба Ю-33 см).

5. Предложен подход, трактующий исчисление Редже с независимыми площадками как систему с разрывной метрикой, индуцированной на гранях 4-мерных тетраэдров. В рамках этого подхода квантовое распределение вероятностей площадей в обычном исчислении Редже получается путем наложения условий непрерывности индуцированной на гранях метрики. В конечном счете это приводит к элементарным длинам (длины ребер Редже) сосредоточенным вблизи планковского масштаба.

Практическая ценность результатов работы

Полученные в данной работе результаты играют важную роль для изучения структуры пространства-времени, как с теоретической, так и с экспериментальной точек зрения. В теоретическом аспекте возникает возможность построения конечной квантовой теории гравитации вместе с полями материи, в которой хорошо определены и конечны амплитуды физических процессов с учетом эффектов квантовой гравитации. В экспериментальном аспекте, существование ненулевой элементарной длины должно привести к экспериментально наблюдаемым эффектам, таким, как модификация дисперсионного соотношения для космических частиц высоких энергий или флуктуация длин, проявляющаяся в шумах при измерении длин лазерным интерферометром. Возможность соответствующих экспериментов, хотя и требующая более высокого технологического уровня, чем существующий в мире сейчас, уже обсуждается в ряде работ.

Достоверность полученных результатов

Выполненные в работе исследования опираются на использование канонических методов теоретической физики, функционального анализа и теории функций комплексной переменной, методов канонического квантования и континуального интегрирования. Подавляющая часть результатов получена в аналитической форме, что дает возможность ясно интерпретировать полученные эффекты.

На защиту выносится

1. Предложено точное представление действия Редже с использованием матриц связностей (конечных вращений) и тензоров площадок (треугольников) как независимых переменных. Это дискретный аналог пред-

ставления Картана-Вейля для действия Эйнштейна в непрерывной ОТО, и его использование значительно упрощает вид действия и его анализ.

2. В пределе непрерывного времени найдены лагранжиан и гамильтониан в исчислении Редже. Изучены следствия операторного квантования в полученной гамильтоновой формулировке, в частности, наличие дискретного спектра площадей треугольников в исчислении Редже с непре-

' рывным временем (и дискретными остальными тремя координатами).

3. Исследованы поля материи в геометрии Редже. Найдено, что непрерывные поля материи плохо определены в 4-мерном исчислении Редже на квантовом уровне из-за £-функционного распределения кривизны и потому должны быть дискретизованы.

4. В исчислении Редже с независимыми матрицами связностей и независимыми тензорами площадок найден вид функционального интеграла, который в непрерывном пределе вдоль любой из координат сводится к канонической (гамильтоновой) форме функционального интеграла, в котором роль времени играет эта координата. (Независимость тензоров площадок означает формальное описание, в котором, вообще говоря, длина того же самого ребра может быть разной в разных 4-мерных тетраэдрах, его содержащих.) Найдены конечные, порядка планковского масштаба, вакуумные средние произведений компонент тензоров площадок с помощью этого функционального интеграла.

5. Исчисление Редже с независимыми тензорами площадок рассмотрено как система с разрывной метрикой (индуцированной на гранях четырехмерных тетраэдров). Функциональный интеграл в обычном исчислении Редже найден из функционального интеграла в исчислении Редже с независимыми тензорами площадок путем наложения условий непрерывности индуцированной на гранях метрики.

6. Рассмотрено вероятностное распределение площадей (длин), следующее из найденного функционального интеграла в исчислении Редже, и найдено, что вероятностное распределение длин сконцентрировано вокруг средних значений порядка планковского масштаба.

Апробация работы

Работы, положенные в основу диссертации, докладывались на сессиях Отделения ядерной физики РАН, Международной гравитационной конференции в Москве (2001 г.), обсуждались на семинарах Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН (г. Новосибирск), Математического института им. В.А. Стеклова (г. Москва), Института теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН (п. Черноголовка), Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стеклова

(г. Санкт-Петербург), теоретического отдела Института Ядерной Физики им. Г.И. Будкера СО РАН (г. Новосибирск), были поддержаны грантами Минобразования ЕОО-3.3-148, РФФИ 00-15-96811-а, 01-02-16898-а, 03-02-17612-а, 05-02-16627-а, 08-02-00960-а. Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в работах 1, 4, 5, 6, 7, 10 - 20 списка публикаций автора по теме диссертации. Личный вклад автора. Все результаты, изложенные в диссертации, получены автором самостоятельно.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Введения, пяти глав и Заключения, изложена на 177 страницах машинописного текста, содержит 87 наименований библиографии.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обсуждается исчисление Редже как возможное средство при построении квантовой теории гравитации. Исчисление Редже — это ОТО для кусочно-плоского пространства-времени [1]. Кусочно-плоское

пространство-время состоит из плоских 4-мерных тетраэдров, обозначаемых <т4 — частный случай n-симплекса стп (так что а3 — обычный тетраэдр, а2 — треугольник, ах — ребро, сг° — вершина). Действие Эйнштейна на кусочно-плоском пространстве-времени имеет вид

\ J Ry/gd4x = ^o^vl^, (1)

ст2

где Ааг - площадь треугольника a2, aai - угловой дефект на с2, то есть 27г минус сумма гипердвухгранных углов всех 4-симплексов, сходящихся в <72, а суммирование идет по всем а2. Использованы евклидовы обозначения. Ситуации, специфичные для минковского пространства-времени, оговариваются в работе специально.

В первой главе изучено представление действия в исчислении Редже с использованием матриц конечных вращений или связностей. Это дискретный аналог записи действия Эйнштейна в форме Картана-Вейля:

~ J RJgtfx =l-J eabcdex^elel[d, + wV) др + ujp]cdd4x. (2)

Здесь правая часть сводится к левой как функции метрики — с^с^ ^ при подстановке в качестве связности = —ее выражения через тетраду е" посредством уравнений движения для о>да.

Дискретные аналоги связности и кривизны впервые рассмотрены в исчислении Редже Фрелихом [2]. Дискретный аналог формы Картана-Вейля действия в исчислении Редже с использованием вместо матриц конечных вращений или связностей (SO(4) или SO(3,l)), заданных на тетраэдрах а3, имеет вид

S(v,il) — ) Ьд.2 arcsin-1-г1--^, (3)

2 К2

а*

гДе = (-abcdJ-1

/2/2 - тензор площадки (треугольника сг2, построенного на векторах ij, /5), а для двух тензоров Л, S мы определили А о В

— \АаЬВаь, \А\ = (А о А)1'\ в частности, \va2 | - площадь треугольника сг2; Ra2(Cl) - матрица кривизны, произведение связностей Г2стз (или iij3) для сг3, содержащих о-2, вдоль пути, охватывающего а2. Смысл (3)

— на уравнениях движения для связностей оно сводится к действию Эйнштейна для пространства-времени Редже (1). Этот факт и само представление (3) изучены в нашей работе [3].

Более детально, есть варианты представления действия Редже, связанные с представлением антисимметричных тензоров и вращений в 4-мерном пространстве-времени как пар 3-мерных векторов и вращений. Ситуация подобна имеющейся в электродинамике, где вместо электромагнитного тензора Fab можно рассматривать векторы E+iH или E—iH. Точно так же из тензора площадки уа2аь образуем т. н. само- и антиса-модуальный векторы площадки +va2 и ~va?. Повороты Q сводятся к некоторым поворотам этих векторов: +va2 —> +va2, —> ~~П ~va2 с соответствующими матрицами Более того, можно перейти к

2-мерным матрицам, если вместо вращений 3-мерных векторов рассматривать вращения самих (анти-)самодуальных тензорных частей, на которые разлагается г/а2аЬ,

vab = +vab + -vab> ^ фк (4)

Здесь базисные матрицы i ^kab удовлетворяют алгебре матриц Паули. Соответственно, можно рассматривать как 2x2 матрицы (

— из группы SU(2)). Если в (3) под и, О подразумевать только (анти-)самодуальные части, можно показать, что на уравнениях движения для связностей получим ровно половину действия Редже [3]. Представление действия Редже при произвольных связностях запишем как сумму само-и антисамодуальных частей (в минковском случае это дает вещественную

величину, так как данные части взаимно комплексно сопряжены),

В уравнении (5) матрицы отвечают 811(2)-вращениям. В

терминах самих векторов и ~ис2 (то есть, в представлении 80(3)) это будут вращения на углы, вдвое большие. С учетом этого обстоятельства, можно записать

5(1>, П)

Здесь ь*Я= \уаЕЬсеа1,с для 3-мерного вектора V и 3 х 3-матрицы Л и для симметрии взята полусумма само- и антисамодуального представлений. Представления (5) и (6) приведены в наших работах [4, 5].

Действия (3), (5) и (6) сводятся к одному и тому же действию Редже (1) на уравнениях движения для связностей П; с независимыми же связ-ностями это разные выражения (в то же время их непрерывные аналоги, хоть и с независимыми связностями, тождественно сводятся к одной и той же форме Картана-Вейля (2)).

Во второй главе рассмотрено исчисление Редже в пределе непрерывного времени, найден лагранжиан, исследована каноническая структура теории. Переход к пределу непрерывного времени означает сплющивание симплексов вдоль некоторой координаты, принятой за время Ь. Этот предельный переход изучался в работах [6, 7, 8, 9]. Источник трудностей, не позволивших решить до конца поставленную задачу в этих работах, состоит в сингулярном характере описания симплексов с помощью длин ребер, когда размеры вдоль некоторого направления стремятся к нулю. Указанная трудность как раз и преодолевается расширением набора переменных теории путем добавления новых независимых переменных — матриц связности. В рамках такой постановки задачи несингулярный

2 агсвт-

№

+ (5)

у/-VI*

£ 2

, • а (И)

+ > -—агс81п-, :—

^ 2 /_ 2

предел существует, если каждый симплекс содержит бесконечно малое ребро — тогда 4-мерная дискретная геометрия Редже конструируется из 3-мерных сечений-геометрий Редже сходной структуры (нумеруемых координатой t с шагом е —> 0) путем соединения каждой вершины 3-мерного сечения с соответствующей вершиной соседнего сечения и с ее соседями в этом сечении. Расстояние между соответствующими вершинами соседних сечений О (в). Лагранжиан исследовался в наших работах [10, 11, 12] и имеет вид

Здесь 7гст2 обозначает тот же тензор ьаг, но для треугольников 3-мерного сечения <г2, по которым идет суммирование в первом, кинетическом слагаемом. Матрица относится к призме с основанием а2 между двумя соседними сечениями (а не к отдельному тетраэдру <т3, как в полностью дискретном случае (3)). Нединамические переменные совокупно обозначены Ха и связаны с компонентами остальных тензоров площадок и связ-ностей.

Таким образом, тензоры площадок и связности канонически сопряжены. В частности, времениподобные компоненты площадок сопряжены евклидовым поворотам, которые компактны. Поэтому в непрерывном времени эти площадки имеют дискретный спектр [13], подобно тому, как в квантовой механике момент импульса имеет дискретный спектр из-за того, что канонически сопряженный угол поворота меняется в компактной области от 0 до 27г.

Третья глава затрагивает аспекты исчисления Редже, не связанные с представлением тетрада-связность. Обсуждается вопрос, какие поля материи (в широком смысле понимаемые как поля, отличные от гравитации), дискретные или непрерывные, согласованно могут быть описаны в исчислении Редже. Например, в работе [14] рассматривалось поле деформаций системы координат (х) (фактически, поле духов Фаддеева-Попова, то есть калибровочных степеней свободы, для метрики) как обычное непрерывное поле, определенное в каждой точке пространственно-временного континуума независимо от его значений в других точках. Но поле, как, например, электромагнитное, может быть и дискретизовано в пространстве-времени Редже [15, 16]. Мы обсуждаем влияние дельта— функционных сингулярностей кривизны геометрии Редже (что соответствует бесконечной напряженности гравитационного поля в некоторых точках) на непрерывные поля материи [17], в частности, на поля духов

Фадцеева-Попова самого гравитационного поля [18], обосновываем необходимость дискретизации полей материи.

Речь идет о квантовой теории любого непрерывного поля материи во внешнем гравитационном поле. Эффекты рождения и уничтожения виртуальных квантов поля материи эффективно сводятся к появлению некоторого эффективного действия ({длДя)}) как функции (точнее, функционала) гравитационного поля. Вопрос в том, будет ли это эффективное действие хорошо определенным (конечным) в пространстве-времени Редже. Так как кривизна имеет дельта-функционный вид, то, например, в случае наличия в эффективном действии билинейных по кривизне членов ответ на этот вопрос априори необязательно будет утвердительным.

Рассматривается функциональная производная от Бец({дхц{х)}) — среднее тензора энергии-импульса в точке < Хдм(х) >= (функционал метрики). Более конкретно, обсуждается аномальный вклад в след тензора энергии-импульса, который имеет чисто квантовую природу (связан с регуляризацией расходящихся диаграмм теории возмущений) и может быть вычислен точно как локальная величина (зависящая от тензора кривизны в той же точке) [19],

< >= + Ъ - + сЛЯ +

(8)

где Схцир - тензор Вейля (дающая нуль при свертке по любой паре индексов часть Ях^р).

На отдельной конической сингулярности билинейным по кривизне членам в < Тд > придается смысл с помощью некоторой процедуры перенормировки. Именно, в некоторых координатах х, у, и, V коническую сингулярность можно расположить в плоскости и = О, v = 0, так, что тензор кривизны имеет единственную ненулевую компоненту

Яхуху ~ 5(х)8(у). (9)

Билинейные инварианты кривизны в < > пропорциональны

А5{хЩу),

где А обозначает ¿(0)5(0), понимаемое в смысле некоторой регуляризации. Вклад в аномалию следа пропорционален АЯ и может быть устранен добавлением к действию пропорционального Я члена, то есть перенормировкой гравитационной постоянной. Тем самым в случае одной

конической сингулярности аномалия следа может быть хорошо определена.

Тем не менее, мы показываем, что на пересечении конических сингу-лярностей аномалия следа, а значит, и эффективное действие, содержит неустранимые бесконечности. Использование известных величин коэффициентов а, Ъ,с,й в (8) ([19]) для практически важных случаев скалярного, спинорного и векторного полей показывает, что случайных сокращений неустранимых бесконечных слагаемых не происходит, так что эффективное действие в данном случае плохо определено.

К задаче нахождения некоторого эффективного действия в исчислении Редже сводится и определение меры (элемента интегрирования) в функциональном интеграле в исчислении Редже с помощью нормировки по отношению к суперметрике ДеВитта на суперпространстве метрик, развивавшееся в ряде работ {14, 20, 21, 22]. Подход состоит в следующем. Суперметрика ДеВитта на бесконечно малых вариациях метрики 5д\ц выбирается в виде [14]:

{5д,5д) = У ¿4хОх^»5дХ1>5д„р, (10)

где

= |+ 3А V - Л"')- (Ц)

Суть нормировки меры: интеграл от ехр(—(3д. 5д)) (гауссов) по искомой мере должен быть равен 1. Вариация метрики

— сумма физической и калибровочной вариации при бесконечно малых вариациях координат (поле духов). Пусть физические степени свободы метрики параметризуются (шестью)

величинами Аа(х). Записав искомую меру N РЦ с1Аа(а;) определим фактор N с помощью вышеназванной нормировки. (Бесконечный объем калибровочной группы / Пг П„ ^^(х), связанной с заменами координат, мы можем впоследствии отбросить, как постоянный фактор.) Вычисление Аг таким образом сводится к вычислению определителя некоторого дифференциального оператора второго порядка, или, эквивалентно, к вычислению эффективного действия для поля £ с лагранжевой плотностью, пропорциональной

+ (12)

С помощью стандартного подхода [23, 24, 25, 26] мы вычисляем аномальный след тензора энергии-импульса для этого эффективного действия (находим коэффициенты а, Ь,с,(1 в (8)) и, как и выше, убеждаемся, что

неустранимые бесконечные слагаемые не обращаются в нуль и, более того, не могут сокращаться с бесконечными вкладами полей материи, так как имеют тот же знак.

Таким образом, непрерывные поля материи в исчислении Редже не являются хорошо определенными объектами. В качестве возможного выхода обсуждается дискретизация полей материи в исчислении Редже.

В четвертой главе также изучаются аспекты исчисления Редже как теории в терминах только метрики (длин). В работе [27] мы рассматриваем подход, трактующий исчисление Редже как способ придать смысл мере (элементу интегрирования) в континуальном интеграле, известной из непрерывной ОТО как формальное произведение по континуальному числу точек конечномерных мер. Именно, мера рассматривается как (линейный) функционал, ставящий в соответствие некой функции метрики (тоже функционалу, но нелинейному) число — ее среднее. Функция, определенная на произвольных метриках, определена, в частности, и на кусочно-плоских метриках. Потребуем, чтобы искомая мера в исчислении Редже совпадала на полной системе пробных функций, определенных на произвольных метриках, с мерой в непрерывной ОТО, вид которой формально известен. В качестве пробных функций естественно взять континуальный аналог плоских волн, тогда речь идет о континуальном преобразовании Фурье.

Фактически, речь идет о мере в функциональном интеграле в исчислении Редже, в этом смысле наилучшим образом аппроксимирующей и в то же время доопределяющей меру в непрерывной ОТО. Показано, что существуют две такие меры, определяющиеся через наилучшую аппроксимацию на функциональных плоских волнах, в соответствии с тем, что эти плоские волны могут быть как относительно ковариантного метрического тензора, так и относительно контравариантного. Эти меры во многом напоминают непрерывные, пропорциональные Пл>^,г ^д\и{х) или Пл>м,г меры, но с переходом от континуума к дискретному

числу точек х.

Рассматривается предложенная Мизнером [28] в непрерывной ОТО инвариантная мера,

= П^ П 9 = аекИ0Ам11- (13)

X \<ц

В качестве фундаментального метрического поля выбирается либо с/Лд, либо д\ц. В соответствии с этими возможностями существуют две возможности определить на суперпространстве метрик бесконечномерное

преобразование Фурье меры, как некий функционал,

Ас(/) = У>(ЛФс(<7), (14)

где линейный функционал метрики д(/) имеет вид

= (15)

(если поле считается фундаментальным) либо

I/^9х^4х = 92(Л, (16)

(если поле д\м считается фувдаментальным). /дй (х) или /Хи(х) - пробная функция. Естественный выбор для дискретной версии тензора / — /л (на пространстве-времени Редже) - взять его кусочно-постоянным в кусочно-аффинной системе координат, то есть постоянным на каждом из 4-симплексов всякий раз, когда д\ц постоянен на нем. Естественное описание тензора второго ранга f\|i, постоянного в симплексе а - компоненты !{ав) вдоль ребра (АВ), соединяющего вершины А, В [29]:

/(лв) = 1ав1авь»> 1ав = ®в. (17)

- координаты вершины А. Для частного случая тензора его компонента вдоль ребра совпадает с квадратом длины этого ребра а в) ■ Чтобы обеспечить соответствие числа переменных /(лв)> Фурье-сопряженных к метрике, числу независимых переменных 5(дв)) параметризующих метрику (число ребер), должен параметризоваться величинами /(ав)> одними и теми же для всех а, содержащих данное ребро (АВ). Тогда (по формулам работы [29])

(ав)с<7 (ав> {ав) {ав)

(18)

Здесь Ур - это объем сг, V = Уа - объем многообразия.

Аналогично, постоянный в каждом 4-симплексе «т контравариантный симметричный тензор второго ранга параметризуется набором переменных на ребрах лв

/А*И= £ ^ЛВ)1лв1"АВ• (19)

(ав) с<?

С использованием этого анзаца получается

S2(/r) = = £ f(AB)S(AB)V{AB). (20)

(АВ)

Здесь объем, ассоциированный с ребром, обозначен

V(AB)= £ V<" (21)

О (АВ)

Требование совпадения искомой дискретной d/iR({s(A£)}) и непрерывной d/xcKIflV^)}) меры на плоских волнах дает

I = I e»'«^(®)})d/ic({flAM(a;)}) (22)

Je»MABi»drfl>({slAB)}) = J (23)

где fxji (или /Л,г) связаны с /(ав) (соответственно с формулами

(17), (19). Правые части (22), (23) факторизуются в поточечные произведения обыкновенных элементарно вычислимых интегралов, пропорциональных (det /лд(я))~£ или (det/Лм(ж))~£/3, где е —► 0 параметризует регуляризацию меры Мизнерад~5/2+£ Пл<^ ^ЭЛм- Поточечные произведения через еще одну промежуточную регуляризацию, заключающуюся в конечности числа точек х на симплекс а, сводятся к произведениям по симплексам (detf{cr))~e, f = f\fl или /A,i с некоторыми другими соответствующими е —» 0.

Важный простейший случай — всего один 4-симплекс, точнее, замкнутое пространство-время Редже, состоящее из двух одинаковых, с точностью до отражения, копий одного 4-симплекса сп, его со взаимно отождествленными вершинами. В этом случае геометрию Редже можно с равным успехом описать как десятью длинами ребер, так и десятью компонентами метрики д\ц в одном из симплексов о\, 02 ПРИ фиксированных координатах вершин. Вышеупомянутые выкладки дают для обоих вариантов d/х^', d/i^ дискретизации меры (13) одно и то же выражение, отличающееся от (13) только отсутствием знака произведения по точкам:

d/4a) = d^2) = (détail)-6/2 П (24)

\<ц

что представляется естественным и разумным. Для более сложных геометрий d/ip могут различаться.

В пятой главе обсуждается вопрос о том, каким образом определить функциональный интеграл в исчислении Редже с тем, чтобы обеспечить соответствие с каноническим формализмом в пределе непрерывного времени, обсуждавшимся выше. В каноническом формализме мы выделяем переменные р, д — сопряженные импульсы и координаты, по паре на каждую степень свободы. В квантовой теории системе соответствуют волны вероятности с амплитудой ехр(г5), а амплитуда перехода из точки 1 в точку 2 в фазовом пространстве р, д получается суммированием ехр(г5) по всем траекториям перехода. Более общо, можно определить матричные элементы, в том числе квантовое среднее некой наблюдаемой величины. /(р,д),

(/(Р. <?)> = / /(Р, Я) ехр(гЗ(р, ИрИд = Д <1р(4)фК*), (25)

— интеграл по траекториям, он же функциональный или континуальный.

При переходе от непрерывной теории к дискретной обычно возникают сингулярности в определении функционального интеграла. В непрерывной ОТО деформация координатной сетки в пространстве-времени

— преобразование симметрии. Этому соответствует движение вершин в исчислении Редже, но оно является симметрией только в плоском случае. При сколь угодно малом отклонении от плоского случая движение вершин означает реальное изменение геометрии, так что скачкообразно возникают новые степени свободы. Это означает сингулярный характер функционального интеграла, в частности, отсутствие теории возмущений вблизи плоской геометрии. Выход может состоять в снятии геометрических ограничений на тензоры площадок, обусловливающих существование векторов ребер таких, что ьа2аЬ ~ СаЬЫ^ъ/Я — тогда в (3) в качестве у^аъ фигурируют независимые антисимметричные тензоры. Тем самым мы переходим в расширенное конфигурационное пространство теории, в котором Уа1аъ пробегают максимальный диапазон значений. В этом пространстве классические уравнения движения для (3) приводят к благоприятному для нас решению = 1, когда движение вершин является симметрией. После нахождения через функциональный интеграл распределения вероятностей значений площадок найденную вероятностную меру сужаем на нужный нам физический диапазон значений уа2аь. Заметим, что идея о том, что наиболее естественные переменные для исчисления Редже - площади треугольников, а не длины ребер, высказывалась и ранее, например, в работе [30]. Площади трактовались как фундаментальные независимые переменные в работах [31, 32].

Можно поставить задачу найти функциональный интеграл в дискретной теории такой, чтобы в пределе непрерывного времени он переходил в обсуждаемый выше определенный в каноническом формализме (25), независимо от того, какая координата берется в качестве времени. Мы показываем, что эта задача имеет решение в 3-мерном исчислении Ре-дже [33] и в исчислении Редже (4-мерном) с независимыми тензорами площадок [34]. В последнем для усреднения/взятия матричных элементов величины /({г;}, {П}) ее надо интегрировать с

ехр[г5(М,{П})] (26)

по тензорам площадок с13+и(г2<13~исг2 и по связностям Т>^азТ>~0.аз. В показателе экспоненты оказывается отличающееся от 5 (5) заменой функции агсзт.гна,г. Это неудивительно, так как, с одной стороны, действие 3 эквивалентно 5 с точки зрения уравнений движения при независимых тензорах площадок, с другой — именно 5 автоматически (без применения уравнений движения) оказывается линейным по всем нединамическим переменным Л (см. (7)) в пределе непрерывного времени. А согласно выводу функционального интеграла, именно форма действия Б(р, д, А), линейная по нединамическим переменным А, должна стоять в показателе экспоненты, которую затем интегрируют по совокупности переменных ¿рёдйХ. С феноменологической же точки зрения, & само по себе может служить допустимым действием, так как со стремлением к нулю шага триангуляции пространства-времени угловые дефекты стремятся к нулю и могут быть заменены синусами от них, так что <5 сходится к действию Эйнштейна. Далее, интегрирование идет не по всем тензорам площадок. В противном случае в силу линейности 5' по тензорам площадок мы получим произведение дельта-функций от кривизны (если, например, усредняется / = 1). Это произведение не определено, так как матрицы кривизны Яст2 для разных <т2 связаны друг с другом тождествами Бианки. Поэтому часть тензоров площадок фиксируется: по ним нет интегрирования. Эта фиксация в пределе непрерывного времени, соответствия с которым мы и добиваемся, оказывается некоторой фиксацией калибровки.

Рассмотрение в евклидовой области (с возможностью последующего аналитического продолжения в минковскую область) является в ряде отношений более удобным и проводится в большей части работы (в частности, из-за того, что в минковской теории Т> ^ экспоненциально растут на лоренцевых поворотах, и определение интеграла требует осторожно-

сти). При этом контуры интегрирования по тензорам площадок сдвигаем согласно уаь —> —гьаь, чтобы экспонента с действием по-прежнему была осциллирующей. Интеграл сходится, но неабсолютно, как это имеет место для функциональных интегралов. Мы фиксируем его исходя из результата усреднения произведений компонент (мономов) тензоров площадок.

Проиллюстрируем свойства указанным образом определенного евклидова интеграла следующим выражением, формально получающимся из обсуждавшейся выше формы функционального интеграла в воображаемом случае только одной площадки.

< /(„) > = I /(—ги)ег(+ио +Е+ "ьо "Як3 ~ьТ> +ЯТ> ~Л

= У13+^а3-г?. (27)

Усредняя функцшо только и, мы тем самым интересуемся распределением вероятностей ЛГ(у) значений площади. Интеграл по V +11Т> напоминает преобразование Фурье единицы, но при больших значениях векторных переменных ^ф (поворот на ^ф =- \/вокруг оси ^ф/^ф), которые параметризуют матрицы ±Д, эти матрицы и элементы интегрирования Т> нелинейно зависят от них. Поэтому вместо дельта-функции 83(+1))53(~у) получим для пик ненулевой ппфины.

Возьмем в качестве /(г») произведение компонент v. Интеграл по (I3 с13 сводится к производным дельта-функций от (антисимметричных частей) интегрирование же дельта-функций (по V V -Я) ко-

нечно. Конечность интегралов некоторой функции с любыми сте-

пенями ее аргументов означает, что такая функция должна быть экспоненциально убывающей. Повторить это качественное рассуждение мы можем для любого представления действия Редже, (3), (5) или (6). Вычислить по своим моментам интегралы типа Л/"(г>) в явном виде удается для представлений (5) или (б), эффективно 3-мерных. Они выражаются через экспоненциально убывающие спецфункции (модифицированные функции Бесселя) от значений площади. Вид результирующих зависимостей от площади для этих двух представлений аналогичен (различие в основном в типе функций Бесселя). Для определенности, формулы в большей части работы как раз и пишутся в применении к представлению

(5). Получаем

КМ-?*- е"1'^, (И)

7TV 'hV2 7TV TJ J Sin <р

О

Ki(l) - модифицированная функция Бесселя.

В минковской теории заменяется —v — ^и2, получается N(v) = \Ki(V~ +v'¿)ir~1(— +u2)-1/2¡2, а квадратный корень \fz стандартно определен в комплексной плоскости С1 с разрезом вдоль отрицательной полуоси Imz = 0, Rez < 0, так что \/Т = 1; тогда Re\/z > 0. Получаем экспоненциальное убывание для обычных, пространственноподобных площадок (— > 0). Экспоненциального убывания нет лишь во временипо-добной области ( ^v2 > 0), только степенное, так как тогда Re\/— +v2 = 0, но и эта ситуация изменяется для известного в литературе однопара-метрического обобщения формы Картана-Вейля непрерывного действия Эйнштейна в терминах тетрады и связности [35, 36, 37, 38]. Оно свелось бы к переопределению тензоров площадок —> (1 ± г/у) ^v в представлениях (5), (6) — перед само- и антисамодуальным вкладами появляются коэффициенты 1±г/у (7 известен как параметр Барберо-Иммирци), сумма этих вкладов на уравнениях движения для связностей — по-прежнему действие Редже. У аргументов функции Бесселя действительная часть ^ I/7)2 ^у2 > 0 при I/7 Ф 0, и убывание экспоненциально.

Зная распределение вероятностей для независимых тензоров площадок, мы сужаем его на реальное конфигурационное пространство зависимых площадок. Так как число ребер меньше числа треугольников, то теория с независимыми тензорами площадей предполагает неоднозначность длин на стыке соседних 4-симплексов. Мы трактуем такую систему как систему с метрикой, разрывной на трехмерных гранях (тетраэдрах) [39]. Тогда задача состоит в наложении условий существования векторов ребер в каждом 4-симплексе, соответствующих данным тензорам vai и условий отсутствия разрывов метрики на общих 3-мерных гранях пар 4-симплексов. Результат однозначно фиксируется требованием "отсутствия решеточных артефактов", т. е. максимальной независимости от возможных движений граней. Искомое сужение получается, во-первых, умножением на дельта-функционный фактор, выражающий собой исчезновение разрывов индуцированной на гранях метрики. Этот фактор определен однозначно требованием независимости от выбора ре-перной тройки векторов, задающих трехмерную гиперплоскость каждой грани, на которой производится сравнение метрик, индуцированных из

двух содержащих грань 4-симплексов. Во-вторых, должен быть дельта-функционный фактор, выражающий собой условия того, что тензоры площадок внутри данного 4-симплекса построены на каких-то векторах ребер, например, баЬс^а!>иы = 0 [40]. Он также может быть однозначно фиксирован требованием независимости от аффинных преобразований тетрад векторов ребер в каждом 4-симплексе. По построению, данные факторы инвариантны относительно изменений общего масштаба длин.

Итак, вероятность спадает экспоненциально при больших площадях. Но имеются еще интегрирования по с16ист2. Пусть х - характерный масштаб площадей в данной области. Если в данной области имеется тг площадок, распределение вероятностей имеет вид (е~хха)п. Подсчет степеней дает а > 0. При большом п это приближается к 5{х — а). С другой стороны, для конечности теории отсутствие длин меньше некой величины не является необходимым; достаточно иметь достаточно быстрое степенное спадание вероятности, свое для каждого конкретного эффекта.

В Заключении суммированы основные результаты, полученные в настоящей работе:

1. Исчисление Редже сформулировано в терминах векторов ребер и матриц связностей (конечных вращений). Действие может выражаться через тензоры треугольников и матрицы связностей в разных представлениях. Это аналоги формы Картана-Вейля для действия Эйнштейна в непрерывной ОТО.

2. С использованием этого точного представления удается найти хорошо определенный предел непрерывного времени, построить и исследовать канонический формализм исчисления Редже (для действия Редже в терминах только длин это является сингулярной задачей). Рассмотрение теории в пределе непрерывного времени и канонический формализм упрощают анализ проблемы начальных данных в классической теории и необходимы для канонического квантования системы.

3. Найдено, что площади треугольников, составляющих трехмерное (пространственное) дискретное сечение пространства-времени в исчислении Редже в непрерывном времени, обладают дискретным спектром (во времениподобной относительно локальных индексов области) с величиной кванта порядка планковского масштаба.

4. Рассмотрены поля материи в геометрии Редже. Найдено, что непрерывные поля материи плохо определены в 4-мерном исчислении Редже

на квантовом уровне из-за 6-функционного распределения кривизны и потому должны быть дискретизованы.

5. Точно так же найдено, что и непрерывные поля духов Фаддеева-Попова самбй гравитации плохо определены в 4-мерном исчислении Ре-дже на квантовом уровне из-за Я-функционного распределения кривизны. Дискретизуя же эти поля, можно найти, что фактор Фаддеева-Попова в фейнмановском интеграле по путям сингулярен вблизи плоской геометрии. Это означает неприменимость теории возмущений вблизи плоского пространства-времени и физическую неадекватность данного подхода к квантованию (конструирование анзаца Фаддеева-Попова в непрерывной теории с последующим переносом его на дискретный случай).

6. Рассмотрена задача о нахождении вида меры (элемента интегрирования) в функциональном интеграле в исчислении Редже, наилучшим образом аппроксимирующей и в то же время доопределяющей меру в непрерывной ОТО в том смысле, что интегрирование с этой мерой определенных пробных функций метрики ("функциональных плоских волн") дает тот же результат, что и интегрирование их с мерой в функциональном интеграле непрерывной теории. Показано, что существуют две такие меры (соответственно тому, какая метрика, ко- или контравариантная, берется за основу), их свойства изучены.

7. Обсуждается исчисление Редже в представлении с матрицами связ-ностей и тензорами площадок. Несингулярная (вблизи плоского пространства-времени) теория возникает при трактовке тензоров площадок как независимых. Найдена форма функционального интеграла, которая в непрерывном пределе вдоль любой из координат сводится к канонической (гамильтоновой) форме функционального интеграла, в котором роль времени играет эта координата. Эта мера приводит к конечным (порядка планковского масштаба) положительно определенным вакуумным средним функций площадей.

8. Мы трактуем теорию с независимыми тензорами площадок как систему с метрикой, разрывной на трехмерных гранях (тетраэдрах). Наложение условий непрерывности индуцированной на гранях метрики позволяет однозначно определить сужение распределения вероятностей для независимых тензоров площадок на конфигурационное пространство реальных зависимых площадок из требования "отсутствия решеточных артефактов", т. е. максимальной независимости от возможных движений граней.

9. Определяя распределение вероятностей для независимых тензоров площадок из конечных вакуумных средних для произведений их компонент (пункт 7) как экспоненциально убывающее с площадями и сужая это распределение на конфигурационное пространство реальных зависимых тензоров площадок (пункт 8), получаем основной вывод о том, что вероятностное распределение длин сконцентрировано вокруг среднего значения наподобие 5-функции, так что вклад произвольно малых длин подавлен и теория конечна наподобие теории поля на обычной решетке с фиксированным шагом.

Цитируемая литература

[1] Regge Т. General relativity theory without coordinates. - Nuovo Cimento, 1961, v. 19, No. 3, p. 558-571.

[2] J. Frohlich, Regge Calculus and Discretized Gravitational Functional Integrals, I. H. E. S. preprint 1981 (unpublished); Non-Perturbative Quantum Field Theory: Mathematical Aspects and Applications, Selected Papers - World Scientific, Singapore, 1992, pp. 523-545.

[3j Khatsymovsky V.M. Tetrad and self-dual formulations of Regge calculus. - Class. Quantum Grav., 1989, v. 6, No. 12, p. L249-L255.

[4] Khatsymovsky V.M. Feynman path integral in area tensor Regge calculus and correspondence principle. - Phys. Lett., 2004, v. 601B, Nos. 3-4, p. 222-228, gr-qc/0406049.

[5] Khatsymovsky V.M. Feynman path integral in area tensor Regge calculus and positivity. - Phys. Lett., 2004, v. 601B, Nos. 3-4, p. 229-235.

[6J Collins P.A., Williams R.M. Dynamics of the Friedman Universe using Regge calculus. - Phys. Rev. D, 1973, v. 7, No. 4, p. 965-971.

[7] Collins P.A., Williams R.M. Regge-calculus model for the Tolman universe. - Phys. Rev. D, 1974, v. 10, No. 10, p. 3537-3538.

[8] Brewin L. Friedman cosmologies via the Regge calculus. - Class. Quantum Grav., 1987, v. 4, No. 4, p. 899-928.

[9] Brewin L. A continuous time formulation of the Regge calculus. - Class. Quantum Grav., 1988, v. 5, No. 6, p. 839-847.

[10] Khatsymovsky V.M. Regge calculus in the canonical form. - Gen. Rel. Grav., 1995, v. 27, p. 583-603, gr-qc/9310004.

[11] Khatsymovsky V.M. Continuous time Regge gravity in the tetrad-connection variables. - Class. Quantum Grav., 1991, v. 8, No. 6, p. 12051216.

[12] Khatsymovsky V.M. On kinematical constraints in Regge calculus. -Class. Quantum Grav., 1994, v. 11, No. 6, p. L91-L95, gr-qc/9311005.

[13] Khatsymovsky V.M. On the quantization of Regge links. - Phys. Lett., 1994, v. 323B, Nos. 3-4, p. 292-295, gr-qc/9311001.

[14] Jevicki A., Ninomiya M. Functional formulation of Regge gravity. - Phys. Rev. D, 1986, v. 33, No. 6, p. 1634-1637.

[15] Sorkin R. The electromagnetic field on a simplicial net. - Journ. Math. Phys., 1975, v. 16, No. 12, p. 2432-2440.

[16] Don Weingarten. Geometric formulation of electrodynamics and general relativity in discrete space-time. - Journ. Math. Phys., 1977, v. 18, No. 1, p. 165-170.

[17] Khatsymovsky V.M. Continuous matter fields in Regge calculus. - Phys. Lett., 2001, v. 504B, No. 4, p. 356-358, gr-qc/0012095.

[18] Khatsymovsky V.M. On the Faddeev-Popov determinant in Regge calculus. - Phys. Lett., 2001, v. 504B, No. 4, p. 359-361, gr-qc/0012097.

[19] Birrell N.D., Davies P.C.W. Quantum Fields in Curved Space. - Cambridge, 1982. (Имеется перевод: H. Биррелл и П. Девис, Квантованные поля в искривленном пространстве-времени. - М., Мир, 1984).

[20] Menotti P., Peirano P.P. Faddeev-Popov determinant in 2-dimensional Regge gravity. - Phys. Lett., 1995, v. 353B, No. 4, p. 444-449, hep-th/9503181.

[21] Menotti P., Peirano P.P. Functional integration on two-dimensional Regge geometries. - Nucl. Phys. B, 1996, v. 473, Nos. 1-2, p. 426-454, hep-th/9602002.

[22] Menotti P., Peirano P.P. Diffeomorphism invariant measure for finite-dimensional geometries. - Nucl. Phys. B, 1997, v. 488, No. 3, p. 719-734, gr-qc/0111063.

[23] Романов В.Н., Шварц A.C. Аномалии и эллиптические операторы. -ТМФ, 1979, т. 41, вып. 2, стр. 190-204.

Schwarz A.S. Instantons and fermions in the field of instanton. -Commun. Math. Phys., 1979, v. 64, No. 3, p. 233-268.

Chnstcnsen S.M., Duff M.J. Axial and conformal anomalies for arbitrary spin in gravity and supergravity. - Phys. Lett., 1978, v. 76B, No. 5. p. 571-574.

Christensen S.M. Regularization, renormalization, and covariant geodesic point separation. - Phys. Rev. D, 1978, v. 17, No. 4, p. 946963.

Khatsymovsky V.M. Path integral measure in Regge calculus from the functional Fourier transform. - Phys. Lett., 2002, v. 530B, Nos. 1-4, p. 251-257, gr-qc/0111063.

Misner C.W. Feynman quantization of general relativity. - Rev. Mod. Phys., 1957, v. 29, No. 3, p. 497-509.

Piran T., Williams R.M. Three-plus-one formulation of Regge calculus. - Phys. Rev. D, 1986, v. 33, No. 6, p. 1622-1633.

Rovelli C. Basis of the Ponzano-Regge-Turaev-Viro-Ooguri quantum gravity model is the loop representation basis. - Phys. Rev. D, 1993, v. 48, No. 6, p. 2702-2707, hep-th/9304164.

Barrett J.W., Rocek M., Williams R.M. A note on area variables in Regge calculus. - Class. Quantum Grav., 1999, v. 16, No. 4, p. 13731376, gr-qc/9710056.

Regge T., Williams R.M. Discrete structures in gravity. - Journ. Math. Phys., 2000, v. 41, No. 6, p. 3964-3984, gr-qc/0012035.

Khatsymovsky V.M. A version of quantum measure in Regge calculus in three dimensions. - Class. Quantum Grav., 1994, v. 11, No. 10, p. 2443-2453, gr-qc/9310040.

Khatsymovsky V.M. Area expectation values in quantum area Regge calculus. - Phys. Lett., 2003, v. 560B, Nos. 3-4, p. 245-251, gr-qc/0212110.

Hoist S. Barbero's Hamiltonian Derived from a Generalized Hilbert-Palatini Action. - Phys. Rev. D, 1996, v. 53, p. 5966-5969, gr-qc/9511026.

[36] Barbero J.F., Real Ashtekar Variables for Lorentzian Signature Spacetimes. - Phys. Rev. D, 1995, v. 51, p. 5507-5510, gr-qc/9410014.

[37] Immirzi G., Quantum Gravity and Regge Calculus. - Nucl. Phys. Proc. Suppl., 1997, v. 57, p. 65-72, gr-qc/9701052.

[38] Fatibene L., PVancaviglia M., Rovelli C., Spacetime Lagrangian Formulation of Barbero-Immirzi Gravity. - Class. Quantum Grav., 2007, v. 24, p. 4207-4218, arXiv:0706.1899.

[39] Khatsymovsky V.M. Regge calculus from discontinuous metrics. - Phys. Lett., 2003, v. 567B, Nos. 3-4, p. 288-293, gr-qc/0304006.

[40] Khatsymovsky V.M. Length expectation values in quantum Regge calculus. - Phys. Lett., 2004, v. 586B, Nos. 3-4, p. 411-419, gr-qc/0401053.

Список публикаций автора по теме диссертации:

1. Khatsymovsky V.M. Tetrad and self-dual formulations of Regge calculus.

- Class. Quantum Grav., 1989, v. 6, No. 12, p. L249-L255.

2. Khatsymovsky V.M. Feynman path integral in area tensor Regge calculus and correspondence principle. - Phys. Lett., 2004, v. 601B, Nos. 3-4, p. 222228, gr-qc/0406049.

3. Khatsymovsky V.M. Feynman path integral in area tensor Regge calculus and positivity. - Phys. Lett., 2004, v. 601B, Nos. 3-4, p. 229-235.

4. Khatsymovsky V.M. Regge calculus in the canonical form. - Gen. Rel. Grav., 1995, v. 27, p. 583-603, gr-qc/9310004.

5. Khatsymovsky V.M. Continuous time Regge gravity in the tetrad-connection variables. - Class. Quantum Grav., 1991, v. 8, No. 6, p. 1205-1216.

6. Khatsymovsky V.M. On kinematical constraints in Regge calculus. - Class. Quantum Grav., 1994, v. 11, No. 6, p. L91-L95, gr-qc/9311005.

7. Khatsymovsky V.M. On the quantization of Regge links. - Phys. Lett., 1994, v. 323B, Nos. 3-4, p. 292-295, gr-qc/9311001.

8. Khatsymovsky V.M. The simplest Regge calculus model in the canonical form. - Phys. Lett., 2000, v. 477B, p. 248-252, gr-qc/9912112.

9. Khatsymovsky V.M. Path integral in the simplest Regge calculus model.

- Phys. Lett., 2000, v. 484B, p. 160-166, gr-qc/9912111.

10. Khatsymovsky V.M. Continuous matter fields in Regge calculus. - Phys. Lett., 2001, v. 504B, No. 4, p. 356-358, gr-qc/0012095.

11. Khatsymovsky V.M. On the Faddeev-Popov determinant in Regge calculus. - Phys. Lett., 2001, v. 504B, No. 4, p. 359-361, gr-qc/0012097.

12. Khatsymovsky V.M. Path integral measure in Regge calculus from the functional Fourier transform. - Phys. Lett., 2002, v. 530B, Nos. 1-4, p. 251257, gr-qc/0111063.

13. Khatsymovsky V.M. A version of quantum measure in Regge calculus in three dimensions. - Class. Quantum Grav., 1994, v. 11, No. 10, p. 2443-2453, gr-qc/9310040.

14. Khatsymovsky V.M. Area expectation values in quantum area Regge calculus. - Phys. Lett., 2003, v. 560B, Nos. 3-4, p. 245-251, gr-qc/0212110.

15. Khatsymovsky V.M. Area Regge calculus and continuum limit. - Phys. Lett., 2002, v. 547B, Nos. 3-4, p. 321-327, gr-qc/0206067.

16. Khatsymovsky V.M. Regge calculus from discontinuous metrics. - Phys. Lett., 2003, v. 567B, Nos. 3-4, p. 288-293, gr-qc/0304006.

17. Khatsymovsky V.M. Length expectation values in quantum Regge calculus.

- Phys. Lett., 2004, v. 586B, Nos. 3-4, p. 411-419, gr-qc/0401053.

18. Хацимовский B.M. Дискретная квантовая гравитация в формализме исчисления Редже. - ЖЭТФ, 2005, т.128, вып. 3(9), стр.489-496, gr-qc/0506071.

19. Khatsymovsky V.M. On the possibility of finite quantum Regge calculus.

- Phys. Lett., 2007, v. 651B, Nos. 4-5, p. 388-393, gr-qc/0612143.

20. Khatsymovsky V.M. Path integral in area tensor Regge calculus and complex connections. - Phys. Lett.,2006, v. 637B, Nos.4-5, p.350-355, gr-qc/0602116.

ХАЦИМОВСКИЙ Владимир Михайлович

Дискретная квантовая гравитация в формализме Редже

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Сдано в набор 8.04.2009 г. Подписано к печати 9.04.2009 г. Формат 60x90 1/16 Объем 1,6 печ.л., 1,3 уч.-изд.л. Тираж 100 экз. Бесплатно. Заказ X« 11 Обработано на РС и отпечатано на ротапринте ИЯФ им. Г.И. Будкера СО РАН, Новосибирск, 630090, пр. академика Лаврентьева, И.

Введение

1 Представление исчисления Редже с использованием матриц конечных вращений в качестве переменных

2 Исчисление Редже в пределе непрерывного времени

2.1 Структура геометрии Редже и обозначения.

2.2 Геометрия Редже периодической структуры.

2.2.1 Тетрадный сектор теории.

2.2.2 Сектор связностей теории.

2.2.3 Лагранжиан, свойства.

2.3 4-мерная геометрия Редже, построенная из 3-мерных слоев произвольной структуры

2.3.1 Описание системы.

2.3.2 Лагранжиан.

2.3.3 Структура связей.

2.3.4 Выводы.

2.4 Квантование площадей Редже

3 Непрерывные поля в геометрии Редже

3.1 Непрерывные поля материи в геометрии Редже

3.2 Детерминант Фаддеева-Попова для гравитации Редже

4 Квантовая мера в исчислении Редже из функционального преобразования Фурье

5 Подход с использованием канонического квантования в расширенном конфигурационном пространстве

5.1 Трехмерная модель . . . .'.

5.1.1 Гамильтонов формализм.

5.1.2 Каноническая мера.

5.1.3 Полная дискретная мера.

5.1.4 Вакуумные средние длин.

5.2 Исчисление Редже с независимыми тензорами площадей (4-мерный случай).

5.3 Непрерывный предел в исчислении Редже с независимыми тензорами площадей.

5.4 Исчисление Редже как частный случай системы с разрывными метриками.

5.4.1 Исчисление Редже как гиперповерхность в суперпространстве разрывных метрик.

5.4.2 Действие на разрывных метриках.

5.5 Вакуумные средние длин в исчислении Редже.

5.5.1 Общий вид квантовой меры, конечность средних

5.5.2 Оценка с помощью анализа зависимости от масштаба площадей, возможность конечной теории.

5.6 Возможность представить квантово-гравитационную меру в виде абсолютно сходящегося интеграла.

5.7 Простая модификация квантовой меры.

5.8 Флуктуации длины.

5.9 Регуляризующее влияние гравитации на поля материи

5.10 Положительность квантовой меры.

Интерес к формулировке общей теории относительности (ОТО) в дискретном виде обусловлен, не в последнюю очередь, сложностью теории. В классическом аспекте, запись существенно нелинейных уравнений теории, уравнений Эйнштейна, в терминах дискретного набора физических величин, то есть их дискретизация, облегчает применение численных методов для их решения. В квантовом аспекте, дискретизация может быть введена, как и в любой другой теории поля, для регуляризации изначально расходящихся выражений. Однако в случае ОТО мы имеем следующие две отличительные особенности. Во-первых, согласно стандартной классификации, ОТО является неперенормируемой теорией, поэтому зависимость результата от конкретного выбора регуляризации не может быть устранена процессом перенормировок. Следовательно, в данном случае дискретизация должна быть не просто математическим приближением типа конечно-разностной аппроксимации изначально непрерывной теории, но представлять собой некую физическую реальность, конкретизирующую вид теории на малых расстояниях. Во-вторых, специфичной для ОТО является ковариантность теории относительно произвольных преобразований координат, плохо согласующаяся с квантовой механикой, в формулировке которой время играет выделенную роль. Для преодоления этой трудности молено попытаться сформулировать ОТО в виде, не использующем какой-либо функциональной зависимости от координат вообще.

В рамках исчисления, предложенного Тулио Редже в 1961 году [1], точная ОТО оперирует с частным случаем риманова пространства-времени - так называемыми кусочно-плоскими многообразиями, то есть плоскими везде, за исключением множества точек меры нуль. Любое такое пространство можно представить состоящим из плоских 4-мерных симплексов, то есть 4-мерных тетраэдров. В n-мерном случае в рассмотрение вводятся п-мерные симплексы ап. n-мерный симплекс ап состоит из п 4- 1 вершины, каждая из которых соединена ребрами с остальными п вершинами. Все геометрические характеристики n-симплекса однозначно определены длинами пп "2 его ребер, которые задаются свободно. Геометрия пространства Редже определяется свободным заданием длин всех его ребер, то есть 1-симплексов. При этом длины ребер двух n-симплексов, имеющих некоторый (п — 1)-симплекс в качестве их общей грани, должны совпадать на этой грани. Если же рассмотреть совокупность всех n-симплексов, содержащих некоторый (п — 2)-симплекс в качестве (п — 2)-мерпой грани, то при свободном задании всех длин такую конструкцию, вообще говоря, нельзя вложить в плоское n-мерное пространство, поскольку сумма гипердвухгранных углов всех n-симплексов, сходящихся в этой (п — 2)-мерной грани, равна 27г -а, где так называемый угловой дефект а необязательно равен 0. При параллельном переносе вектора по замкнутому контуру, содержащемуся в указанных n-симплексах и охватывающему данный (п — 2)-симплекс, вектор повернется на угол а. Это соответствует £-функционному распределению кривизны, с носителем на (п — 2)-симплексах, пропорциональному угловым дефектам на этих симплексах. Действие для 4-мерного пространства-времени Редже пропорционально

Ео^Мт*. (0.0.1) а2 где Аа2 - площадь треугольника (2-мерного симплекса) а2, аа2 - угловой дефект на этом треугольнике, а суммирование идет по всем 2-мерным симплексам о2. В работе [2] показано, что действие (0.0.1) может быть получено из выражения / Ry/gtfx, (0.0.2) которому пропорционально действие Эйнштейна, путем предельного перехода к случаю 5-функционного распределения кривизны R. Таким образом, исчисление Редже представляет собой ОТО, в которой все степени свободы, за исключением дискретного их числа, заморожены, то есть так называемую теорию минисуперпространства для ОТО. Тем самым удовлетворяется первое из упомянутых выше требований к дискретной ОТО, а именно, многообразие Редже представляет собой частный (хоть и отчасти сингулярный) случай многообразия Римана. Кроме того, взаимное расположение вершин (0-мерных симплексов сг°), а значит, и геометрия, однозначно фиксировано свободным заданием инвариантов - длин ребер (1-мерных симплексов сг1), которые, таким образом, играют роль полевых переменных. Поэтому и второе требование, возможность бескоординатного описания, тоже выполнено.

Несмотря на то, что исчисление Редже соответствует лишь некоторому подмножеству в конфигурационном пространстве ОТО, это подмножество плотно в этом пространстве. То есть, каждое несингулярное многообразие Римана можно в некотором смысле аппроксимировать сколь угодно точно соответствующим образом выбранным многообразием Редже. Построить такое многообразие Редже можно, если разбить риманово многообразие на достаточно малые области, топологически эквивалентные симплексам сг4, ребра которых - это геодезические. В качестве искомого кусочно-плоского многообразия можно взять многообразие этого типа с той же топологией, схемой соединения вершин и длинами ребер, что и данное разбиение рима-нова многообразия. В работе [3] показано, что действие Эйнштейна (0.0.2) получается как предел действия Редже (0.0.1) для таких аппроксимирующих пространств, когда характерная длина ребра (длина триангуляции) стремится к нулю. В работе [4] для случая п измерений доказано более общее утверждение, что при стремлении к нулю мелкости (соответствующим образом определенной) разбиения на n-симплексы к своим непрерывным аналогам стремятся так называемые кривизны Липшица-Киллинга, причем стремятся в смысле мер, то есть сходятся интегралы от обсуждаемых величин по областям пространства. Частными случаями таких интегралов являются объем области, вклад области в действие Эйнштейна, а также топологический вклад Гаусса-Боинэ.

Исчисление Редже обладает точными дискретными аналогами многих величин, которые могут быть определены в непрерывной ОТО. Первым примером служат уравнения Эйнштейна, дискретный аналог которых был получен Редже путем варьирования действия (0.0.1) по длинам ребер. При этом оказывается, что вариация аа2 в (0.0.1) не дает вклада, и уравнение, полученное вариацией длины конкретного ребра сг1, имеет вид аа2 ctg г?(сг\ а2) = 0. (0.0.3) a 2Z)a-1

Здесь ^(сг1,^2) - угол в треугольнике а2, противолежащий стороне а1, а суммирование идет по всем треугольникам, имеющим а1 в качестве ребра. Очевидно, дискретная бескоординатная формулировка в терминах физических величин (длин) идеально подходит для численных расчетов, и первоначально исчисление Редже было применено как раз для численного анализа классических уравнений Эйнштейна [5].

Однако наибольший интерес исчисление Редже вызвало именно в применении к квантовой гравитации. В этом аспекте основная задача состояла в построении гамильтонова формализма - аналога формализма Арновитта, Дезера и Мизнера в непрерывной ОТО [6]. В соответствии с их результатом, лагранжиан ОТО приводится к виду

L = Т,РАЯа - Е ^с*Фа(р, q) (0.0.4)

А а с каноническими переменными рл, qа и переменными Аа, играющими при вариации роль множителей Лагранжа, значение и динамика которых не определяются из уравнений движения. Таким образом, ОТО - теория, описывающаяся совокупностью связей Фа(р, q) = 0 и нулевым гамильтонианом. В случае исчисления Редже, бескоординатной теории в своей основе, надо было частично вернуться к координатному описанию, но в отношении лишь одной координаты - времени t, причем перейти от дискретного распределения полей (в данном случае - длин и их функций) к распределению, гладкому по t. Переход к такому так называемому (3+1)-мерному исчислению Редже (дискретное 3-мерное пространство плюс непрерывное время) и к гамильтонову формализму был предпринят в ряде работ [7] - [18]. В основном, тем или иным образом пытались определить дискретные аналоги переменных рл, Ча и связей Фа(р, q), причем основное внимание уделялось тому, чтобы алгебра скобок Пуассона для этих связей была близка к таковой в случае непрерывной ОТО. Если придерживаться стратегии, которая требует на каждом этапе иметь дело с частным случаем риманова многообразия, (3+1)-мерное исчисление Редже получается как предел 4-мерного исчисления, когда в некотором направлении, выбранном за направление времени, размеры 4-симплексов стремятся к нулю: Этот предельный переход изучался в работах [7, 8, 15, 16]. При этом, в частности, виден источник трудностей, не позволивших решить до конца поставленную задачу в цитированных работах: он состоит в сингулярном характере описания симплексов с помощью длин ребер, когда размеры вдоль некоторого направления стремятся к нулю. В качестве иллюстрации можно представить себе треугольник, одна из сторон которого бесконечно мала: тогда бесконечно малые изменения длин двух других сторон приводят к конечным изменениям углов. В результате не все степени свободы системы могут быть описаны в выбранных переменных типа длины несингулярным образом, и потому не все дискретные аналоги связей Фа(р, q) могут быть найдены.

Указанная трудность, связанная с описанием геометрии Редже с помощью одних только длин, преодолевается расширением набора переменных теории путем добавления новых независимых переменных - матриц связности, которые являются конечными вращениями, а именно, элементы группы SO(4) в евклидовой теории или SO(3,l) в теории Минковского. Действие записывается с использованием расширенного набора переменных таким образом, что, если исключить матрицы связности с помощью уравнений движения, оно сводится к действию Редже в терминах длин ребер (0.0.1). Эта формулировка исчисления Редже аналогична представлению непрерывной ОТО в переменных тетрада и связность, и ее свойства рассматриваются в главе 1. В главе 2 такое представление исчисления Редже применено к изучению предела непрерывного времени в этой теории, нахождению лагранжиана и построению гамильтонова формализма, необходимого для канонического квантования. В разделе 2.4 показано, что площади треугольников в исчислении Редже в физическом случае сигнатуры пространства-времени Минковского квантуются, но только во времениподобной области (когда доминируют времениподобные компоненты тензора площадки). Комбинаторная сложность 4-мерной решетки Редже даже простейшей периодической структуры делает нетривиальными многие задачи, связанные с исчислением Редже. Поэтому аиализу в главе 2 предшествует описание в разделе 2.1 структуры и обозначений, относящихся к решетке Редже и использующихся также и далее (в главе 5). В главе 3 показано, что непрерывные поля материи плохо определены в 4-мерной геометрии Редже. Причиной этому служит 5-функционный вид кривизны, но ситуация не столь проста: как оказывается, для единственной конической сингулярности или в 2-мерном случае сингулярный вклад в эффективное действие может быть устранен перенормировкой гравитационной постоянной. Неустранимый же сингулярный вклад ассоциируется не с треугольниками, несущими кривизну, а с их пересечениями, то есть с ребрами. Выход состоит в дискретизации полей материи. Частным примером служит поле духов Фаддеева-Попова самой гравитации. Его дискретизация однозначна и позволяет определить детерминант Фаддеева-Попова, возникающий в стандартном анзаце для интеграла по путям. Полученный интеграл по путям сингулярен вблизи плоской геометрии. В этом состоит недостаток анзаца. В главе 4 исследован другой подход, основанный на трактовке элемента интегрирования в функциональном интеграле как функционала на пространстве функционалов полей, в данном случае - метрики, дискретной и непрерывной. Именно тот факт, что геометрия Редже - это частный случай геометрии Римана непрерывной ОТО, дает возможность определить некоторый полный набор функционалов метрики (функциональный аналог плоских волн), существующих как в дискретной, так и в непрерывной теории, и для которых имеется точное определение интеграла континуальной кратности. Требование, чтобы непрерывная и дискретная мера (элемент интегрирования) совпадали на одних и тех же функционалах, позволяет определить меру Редже по известной мере в непрерывной ОТО (заодно доопределяя последнюю). Показано, что существуют две такие меры в исчислении Редже, имеющие разумный вид для многообразий Редже простейшей структуры. Для более сложных геометрий, имеющих отношение к реальности, анализ затруднен комбинаторной и аналитической сложностью возникающих выражений. В главе 5 рассмотрено квантование исчисления Редже в представлении в переменных типа тетрада и связность главы 1. Рассмотрена задача построения квантовой меры (функционального интеграла) в полностью дискретной теории, которая в непрерывном пределе вдоль любой из координат приводит к каноническому (гамильтонову) функциональному интегралу, причем роль времени играет эта непрерывная координата. Эта задача имеет решение для модификации исчисления Редже с расширенным конфигурационным пространством, когда тензоры треугольников считаются независимыми. Поскольку переменных, описывающих площадки, больше, чем переменных, описывающих ребра, их независимость означает, что длины ребер данного 4-симплекса неоднозначны и зависят от того, по какой группе тензоров площадок они определены. Если наложить на эти тензоры условия, гарантирующие однозначность длин, то есть метрики, внутри 4-симплексов, остается еще неоднозначность длин ребер 4-симплексов на их общих гранях, что можно трактовать как разрывность индуцированной на гранях метрики. Поэтому исчисление Редже соответствует гиперповерхности, выделенной условиями существования метрики и непрерывности индуцированной на гранях метрики, в конфигурационном пространстве исчисления Редже с независимыми тензорами треугольников. Построенная квантовая мера приводит в разделе 5.2 (в разделе 5.1 рассмотрена 3-мерная модель) к конечным вакуумным средним площадей порядка планковского масштаба, после чего возникает задача сужения меры на указанную гиперповерхность. Эта задача решается в два этапа: в разделе 5.4 показано, что при наложении условий непрерывности индуцированной на гранях метрики сужение меры из более широкого конфигурационного пространства однозначно, если потребовать минимума зависимости результата от размера и формы граней (так сказать, минимум решеточных артефактов); в разделе 5.5 сужение идет из еще более широкого конфигурационного пространства, но добавляется условие существование метрики в 4-симплексах. Налагая определенные физические требования (минимум решеточных артефактов), меру в исчислении Редже можно однозначно определить из меры в теории с независимыми тензорами треугольников; при этом вакуумные средние длин ребер ненулевые и порядка планковской длины. Более того, приводится рассуждение, показывающее, что длины ребер флуктуирующей решетки сконцентрированы вблизи средней длины, а вероятности малых длин сильно подавлены. Так как предел малых длин означает фактически переход к непрерывной теории, то есть снятие эффективной решеточной регуляризации, подавление вклада малых длин необходимо для того, чтобы теория была конечна. В рассмотренной простой вычислительной модели распределение вероятностей длин имеет 5-функционный вид, то есть вклад сколь угодно малых длин отсутствует. Это является аргументом в пользу того, что теория конечна наподобие обычной теории поля на обычной же решетке с фиксированным шагом. Далее в разделах 5.6 - 5.10 обсуждаются свойства квантовой меры, такие как возможность представления абсолютно сходящимися интегралами или возможность вероятностной интерпретации (положительность). Из рассмотренных в настоящей работе подход данной главы на данный момент представляется наиболее перспективным.

Заключение

В диссертации изучено точное бескоординатное дискретное описание ОТО в терминах длин триангуляции - исчисление Редже, как альтернатива обычному непрерывному описанию. В исчислении Редже кривизна имеет £-фун-кционное распределение и равна нулю почти везде, в то же время на больших масштабах выглядит в среднем как гладкая функция. В рамках этого подхода получены следующие результаты.

1. Предложено точное представление действия Редже с использованием матриц связностей (конечных вращений) и тензоров площадок (треугольников) как независимых переменных. Это дискретный аналог представления Картана-Вейля для действия Эйнштейна в непрерывной ОТО, и его использование значительно упрощает вид действия и его анализ.

2. С использованием этого точного представления удается найти хорошо определенный предел непрерывного времени, построить и исследовать канонический формализм исчисления Редже (для действия Редже в терминах только длин это является сингулярной задачей). Рассмотрение теории в пределе непрерывного времени и канонический формализм упрощают анализ проблемы начальных данных в классической теории и необходимы для канонического квантования системы.

3. Найдено, что площади треугольников, составляющих трехмерное (пространственное) дискретное сечение пространства-времени в исчислении Редже в непрерывном времени, обладают дискретным спектром (во времениподобной относительно локальных индексов области) с величиной кванта порядка планковского масштаба.

4. Рассмотрены поля материи в геометрии Редже. Найдено, что непрерывные поля материи плохо определены в 4-мерном исчислении Редже на квантовом уровне из-за £-функционного распределения кривизны и потому должны быть дискретизованы.

5. Точно так же найдено, что и непрерывные поля духов Фаддеева

Попова самой гравитации плохо определены в 4-мерном исчислении Редже на квантовом уровне из-за £-функционного распределения кривизны. Дискретизуя же эти поля, можно найти, что фактор Фаддеева-Попова в фейнмановском интеграле по путям сингулярен вблизи плоской геометрии. Это означает неприменимость теории возмущений вблизи плоского пространства-времени и физическую неадекватность данного подхода к квантованию (конструирование анзаца Фаддеева-Попова в непрерывной теории с последующим переносом его на дискретный случай).

6. Рассмотрена задача о нахождении вида меры (элемента интегрирования) в функциональном интеграле в исчислении Редже, наилучшим образом аппроксимирующей и в то же время доопределяющей меру в непрерывной ОТО в том смысле, что интегрирование с этой мерой определенных пробных функций метрики ("функциональных плоских волн") дает тот же результат, что и интегрирование их с мерой в функциональном интеграле непрерывной теории. Показано, что существуют две такие меры (соответственно тому, какая метрика, ко- или контравариантная, берется за основу), их свойства изучены.

7. Обсуждается исчисление Редже в представлении с матрицами связ-ностей и тензорами площадок. Несингулярная (вблизи плоского пространства-времени) теория возникает при трактовке тензоров площадок как независимых. Найдена форма функционального интеграла, которая в непрерывном пределе вдоль любой из координат сводится к канонической (га-мильтоновой) форме функционального интеграла, в котором роль времени играет эта координата. Эта мера приводит к конечным (порядка планков-ского масштаба) положительно определенным вакуумным средним функций площадей.

8. Мы трактуем теорию с независимыми тензорами площадей как систему с метрикой, разрывной на трехмерных гранях (тетраэдрах). Наложение условий непрерывности индуцированной на гранях метрики позволяет однозначно определить сужение распределения вероятностей для независимых тензоров площадок на конфигурационное пространство реальных зависимых площадок из требования "отсутствия решеточных артефактов", т. е. максимальной независимости от возможных движений граней.

9. Определяя распределение вероятностей для независимых тензоров площадок из конечных вакуумных средних для произведений их компонент (пункт 7) как экспоненциально убывающее с площадями и сужая это распределение на конфигурационное пространство реальных зависимых тензоров площадок (пункт 8), получаем основной вывод о том, что вероятностное распределение длин сконцентрировано вокруг среднего значения наподобие ^-функции, так что вклад произвольно малых длин подавлен и теория конечна наподобие теории поля на обычной решетке с фиксированным шагом.

Я благодарен А.И.Вайнштейну и И.Б.Хрипловичу за внимание к работе и обсуждение.

1. Regge Т. General relativity theory without coordinates. - Nuovo Cimento, 1961, v. 19, No. 3, p. 558-571.

2. Friedberg R., Lee T.D. Derivation of Regge's action from Einstein's theory of general relativity. Nucl. Phys. B, 1984, v. 242, No. 1, p. 145-166.

3. Feinberg G., Friedberg R., Lee T.D., Ren M.C. Lattice gravity near the continuum limit. Nucl. Phys. B, 1984, v. 245, No. 2, p. 343-368.

4. Cheeger J., Mtiller W., Shrader R. On the curvature of the piecewise flat spaces. Commun. Math. Phys., 1984, v. 92, No. 3, p. 405-454.

5. Wong C.-Y. Application of Regge calculus to the Schwarzshild and Reissner-Nordstr0m geometries at the moment of time symmetry. Journ. Math. Phys., 1971, v. 12, No. 1, p. 70-78.

6. Arnowitt R., Deser S., Misner C.W. Canonical variables for general relativity. Phys. Rev., 1960, v. 117, No. 6, p. 1595-1602.

7. Collins P.A., Williams R.M. Dynamics of the Friedman Universe using Regge calculus. Phys. Rev. D, 1973, v. 7, No. 4, p. 965-971.

8. Collins P.A., Williams R.M. Regge-calculus model for the Tolman universe. Phys. Rev. D, 1974, v. 10, No. 10, p. 3537-3538.

9. Williams R.M. Quantum Regge calculus model in the Lorentzian domain and its Hamiltonian formulation. Class. Quantum Grav., 1986, v. 3, No. 5, p. 853-869.

10. Friedman J.L., Jack I.J. 3+1 Regge calculus with conserved momentum and Hamiltonian constraints. Journ. Math. Phys., 1986, v. 27, No. 12, p. 2973-2986.

11. Piran Т., Williams R.M. Three-plus-one formulation of Regge calculus. -Phys. Rev. D, 1986, v. 33, No. 6, p. 1622-1633.

12. Porter J. A new approach to the Regge calculus. I. Formalism. Class. Quantum Grav., 1987, v. 4, No. 2, p. 375-389.

13. Porter J. A new approach to the Regge calculus. II. Application to spherically symmetric vacuum spacetimes. Class. Quantum Grav., 1987, v. 4, No. 2, p. 391-410.

14. Porter J. Calculation of relativistic model stars using Regge calculus. -Class. Quantum Grav., 1987, v. 4, No. 3, p. 651-661.

15. Brewin L. Friedman cosmologies via the Regge calculus. Class. Quantum Grav., 1987, v. 4, No. 4, p. 899-928.

16. Brewin L. A continuous time formulation of the Regge calculus. Class. Quantum Grav., 1988, v. 5, No. 6, p. 839-847.

17. Tuckey P.A., Williams R.M. A 3+1 Regge calculus model of the Taub universe. Class. Quantum Grav., 1988, v. 5, No. 1, p. 155-166.

18. Tuckey P.A. Independent variables in 3+1 Regge calculus. Class. Quantum Grav., 1989, v. 6, No. 1, p. 1-21.

19. Bander M. Functional measure for lattice gravity. Phys. Rev. Lett., 1986, v. 57, No. 15, p. 1825-1827.

20. Bander M. Hamiltonian lattice gravity. Deformations of discrete manifolds. Phys. Rev. D, 1987, v. 36, No. 8, p. 2297-2300.

21. Bander M. Hamiltonian lattice gravity. II. Discrete moving-frame formulation. Phys. Rev. D, 1988, v. 38, No. 4, p. 1056-1062.

22. Khatsymovsky V.M. Tetrad and self-dual formulations of Regge calculus. Glass. Quantum Grav., 1989, v. 6, No. 12, p. L249-L255.

23. Caselle M., D'Adda A., Magnea L. Regge calculus as a local theory of the Poincare group. Phys. Lett., 1989, v. 232B, No. 4, p. 457-461.

24. Khatsymovsky V.M. Feynman path integral in area tensor Regge calculus and correspondence principle. Phys. Lett., 2004, v. 601B, Nos. 3-4, p. 222-228, gr-qc/0406049.

25. Khatsymovsky V.M. Feynman path integral in area tensor Regge calculus and positivity. Phys. Lett., 2004, v. 601B, Nos. 3-4, p. 229-235.

26. Rocek M., Williams R.M. Quantum Regge calculus. Phys. Lett., 1981, v. 104B, No. 1, p. 31-37.

27. Misner C.W., Thorne K.S., Wheeler J.A. Gravitation. W.H. Freeman and Company, San Francisco, 1973. (Имеется перевод: Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация. - М., Мир, 1977).

28. Khatsymovsky V.M. Regge calculus in the canonical form. Gen. Rel. Grav., 1995, v. 27, p. 583-603, gr-qc/9310004.

29. Khatsymovsky V.M. Continuous time Regge gravity in the tetrad-connection variables. Class. Quantum Grav., 1991, v. 8, No. 6, p. 1205-1216.

30. Khatsymovsky V.M. On kinematical constraints in Regge calculus. Class. Quantum Grav., 1994, v. 11, No. 6, p. L91-L95, gr-qc/9311005.

31. Khatsymovsky V.M. The simplest Regge calculus model in the canonical form. Phys. Lett., 2000, v. 477B, p. 248-252, gr-qc/9912112.

32. Khatsymovsky V.M. Path integral in the simplest Regge calculus model. -Phys. Lett., 2000, v. 484B, p. 160-166, gr-qc/9912111.

33. Hamber H.W., Williams R.M. Two-dimensional simplicial quantum gravity. Nucl. Phys. B, 1986, v. 267, No. 2, p. 482-496.

34. Hamber H.W., Williams R.M. Simplicial quantum gravity with higher derivative terms: formalism and numerical results in four dimensions. Nucl. Phys. B, 1986, v. 269, No. 4, p. 712-743.

35. Khatsymovsky V.M. On the quantization of Regge links. Phys. Lett., 1994, v. 323B, Nos. 3-4, p. 292-295, gr-qc/9311001.

36. Ashtekar A., Rovelli C., Smolin L. Weaving a classical geometry with quantum threads. Phys.Rev.Lett., 1992, v. 69, No. 2, p. 237-240.

37. Khatsymovsky V.M. Continuous matter fields in Regge calculus. Phys. Lett., 2001, v. 504B, No. 4, p. 356-358, gr-qc/0012095.

38. Khatsymovsky V.M. On the Faddeev-Popov determinant in Regge calculus. Phys. Lett., 2001, v. 504B, No. 4, p. 359-361, gr-qc/0012097.

39. Sorkin R. The electromagnetic field on a simplicial net. Journ. Math. Phys., 1975, v. 16, No. 12, p. 2432-2440.

40. Don Weingarten. Geometric formulation of electrodynamics and general relativity in discrete space-time. Journ. Math. Phys., 1977, v. 18, No. 1, p. 165-170.

41. Jevicki A., Ninomiya M. Lattice gravity and strings. Phys. Lett., 1985, v. 150B, No. 2, p. 115-118.

42. Jevicki A., Ninomiya M. Functional formulation of Regge gravity. Phys. Rev. D, 1986, v. 33, No. 6, p. 1634-1637.

43. Polyakov A.M. Quantum geometry of bosonic strings. Phys. Lett., 1981, v. 103B, No. 3, p. 207-210.

44. Polyakov A.M. Quantum geometry of fermionic strings. Phys. Lett., 1981, v. 103B, No. 3, p. 211-213.

45. Birrell N.D., Davies P.C.W. Quantum Fields in Curved Space. Cambridge, 1982. (Имеется перевод: H. Биррелл и П. Девис, Квантованные поля в искривленном пространстве-времени. - М., Мир, 1984).

46. Menotti P., Peirano P.P. Faddeev-Popov determinant in 2-dimensional Regge gravity. Phys. Lett., 1995, v. 353B, No. 4, p. 444-449, hep-th/9503181.

47. Menotti P., Peirano P.P. Functional integration on two-dimensional Regge geometries. Nucl. Phys. B, 1996, v. 473, Nos. 1-2, p. 426-454, hep-th/9602002.

48. Menotti P., Peirano P.P. Diffeomorphism invariant measure for finite-dimensional geometries. Nucl. Phys. B, 1997, v. 488, No. 3, p. 719-734, gr-qc/0111063.

49. Романов B.H., Шварц А.С. Аномалии и эллиптические операторы. -ТМФ, 1979, т. 41, вып. 2, стр. 190-204.

50. Schwarz A.S. Instantons and fermions in the field of instanton. Commun. Math. Phys, 1979, v. 64, No. 3, p. 233-268.

51. Christensen S.M, Duff M.J. Axial and conformal anomalies for arbitrary spin in gravity and supergravity. Phys. Lett, 1978, v. 76B, No. 5, p. 571-574.

52. Christensen S.M. Regularization, renormalization, and covariant geodesic point separation. Phys. Rev. D, 1978, v. 17, No. 4, p. 946-963.

53. Khatsymovsky V.M. Path integral measure in Regge calculus from the functional Fourier transform. Phys. Lett., 2002, v. 530B, Nos. 1-4, p. 251-257, gr-qc/0111063.

54. Misner C.W. Feynman quantization of general relativity. Rev. Mod. Phys., 1957, v. 29, No. 3, p. 497-509.

55. DeWitt B.S. Quantization of fields with infinite-dimensional invariance groups. III. Generalized Shwinger-Feynman theory. Journ. Math. Phys., 1962, v. 3, No. 6, p. 1073-1093.

56. Leutwyler H. Gravitational field: equivalence of Feynman quantization and canonical quantization. Phys. Rev., 1964, v. 134, No. 5B, p. 1155-1182.

57. Fradkin E.S., Vilkovisky G.A. S matrix for gravitational field. II. Local measure; general relations; elements of renormalization theory. Phys.Rev. D, 1974, v. 8, No. 12, p. 4241-4285.

58. Glimm J., Jaffe A. Quantum Physics. A Functional Integral Point of View.- Springer-Verlag, NY, 1981. (Имеется перевод: Глимм Дж., Джаффе А. Математические методы квантовой физики. Подход с использованием функциональных интегралов. М., Мир, 1984).

59. Rovelli С. Basis of the Ponzano-Regge-Turaev-Viro-Ooguri quantum gravity model is the loop representation basis. Phys. Rev. D, 1993, v. 48, No. 6, p. 2702-2707, hep-th/9304164.

60. Makela J. Variation of area variables in Regge calculus. Class. Quantum Grav., 2000, v. 17, No. 24, 4991-4997, gr-qc/9801022.

61. Makela J., Williams R.M. Constraints on area variables in Regge calculus.- Class. Quantum Grav., 2001, v. 18, No. 4, p. L43-L47, gr-qc/0011006.

62. Barrett J.W., Rocek M., Williams R.M. A note on area variables in Regge calculus. Class. Quantum Grav., 1999, v. 16, No. 4, p. 1373-1376, gr-qc/9710056.65